河北省唐山市滦南县青坨营镇初级中学九年级数学下册30.4二次函数的应用(第1课时)教案(新版)浙教版(新)

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九年级数学下册第三十章二次函数30.4《二次函数的应用(2)》教学课件(新版)冀教版

0 x 13
所以所求的函数解析式为y=x520-40x 200
40
x
13 2
2
1490
即y 40x2 520x 200(0 x 13)
(2)在自变量取值范围内, 运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值.
例题探究
例2. 用总长度为24m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD, AB平行. 设AB=xm, 当x为多少时，矩形框架ABCD的面积s最大? 最大面积是多少平方米？
A
D
B
C
例3. 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4 件，如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
1
x 292 729
(2 x 56)
x
3
回顾总结
1.利用函数解决实际问题的基本思想方法? 解题步骤?
实际问题
抽象
运用
数学问题
问题的解
转化
数学知识
返回解释检验
2. 利用二次函数的性质解决生活和生产实际中的最大和最小值的问题,它的一般方法是:
(1)列出二次函数的解析式. 列解析式时, 要根据自变量的实际意义, 确定自变量的取值范围.
答: s与x之间的函数关系式为 S (x 3)2 9(0 x 6)
（2）请你设计一个方案使获得的设计费最多,并求出这个费用. S (x 3)2 9(0 x 6)
解: (2) Q a 1 0 S有最大值
且x 3在0 x 6
当x 3时，S最大值 9 此时最高费用：91000 9000元答:当矩形为一个正方形时获得的设计费最多为9000元.

九年级数学下册第三十章二次函数30.4《二次函数的应用(1)》教学课件(新版)冀教版

y
y
o
x
o
x
类型突破
一条隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系：（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道,顶点B(1,2.25).
设抛物线为y=a(x-1)2+2.25,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.
当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).
根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m, 才能使喷出的水流不致落到池外.
由此可知,如果不计其它因素,那么水流的最大高度应达到约3.72m.
巩固练习
如图，在相距2m的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面2.6m，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高1.1m的小妹距离较近的那棵树0.5m时，头部刚接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？
设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c.
将点B和点C的坐标代入，得 3.5=c
解得 a= -02
3.05=1.52a+c
c= 3.5
∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5
球的出手点A的横坐标为-2.5，将x=-2.5代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高度为 2.25m时，才能投中.
y BC
(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m, 要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确0.1m)？
数学化
y
●B(1,2.25)
y x 1 2 2.25 ●A(0,1.25)

河北省唐山市滦南县青坨营镇初级中学九年级数学下册30.1认识二次函数教案(新版)冀教版【精品教案】

认识二次函数
体验如何用数学的方法去描述变量之间的关系。

3.
后来提价销售，经统计售价与月销量，得到下面的数据表：
00
比较一下，上表中的
否都是
结二次函数的定义：。

.一块矩形草地，它的长比宽多2米，设它的长为x 米，面积为y 米，请写出用x 表示y 的函数表达式：。

一台机器原价万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价格为y 万元，则用x 表示y 的函数表达式：。

能力提升
5.已知函数1)1()2
2＋＋－
＋－＝（m x m x m m y ①若这个函数是一次函数，求m 的值？
②若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？
6．如图所示，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6,P 是线段BC 上的一点（P 不与B 重合），M 是DB 上一点且BP=DM ，设BP=x ，△MBP 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式。

四、小结
P
M
D
C
B
A
人起组团，每人。

中学九年级数学下册《二次函数的应用(第1课时)》讲学案

《6.4 二次函数的应用（1）》讲学案学习目标:1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。

2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。

学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。

学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。

学习过程:一、情景导学：1、问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?问题1、总利润=×，单件利润=—。

2、在这个问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？3、根据前面的分析我们若设每个降价x元，总利润为y元，此时y与x之间的函数关系式是，化为一般式。

这里y是x的函数。

现在求最大利润，实质就是求此二次函数的最值，你会求吗？试试看。

二例题1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x（10万元）0 1 2 …y 1 1．51．8…（1）求y与x（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？三、练一练1、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?四、拓展训练：某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量yx 3 5 9 11y 18146 2①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P 元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．§6.4二次函数的运用（1）分层作业1.A．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？2.A.将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3.C．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？。

九年级数学下册第三十章二次函数30.4《二次函数的应用(2)》课件1(新版)冀教版

二次函数的应用（2）
独立思考
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
xm
ym2
xm
2m
想一想何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形
N
值时,y的最大值是多少?
40m
解 : 1.由勾股定理得MN 50m, PH 24m.
设AB bm,易得b 12 x 24. 25
2.y xb x 12 x 24 12 x2 24x 12 x 252 300.
25
25
25
或用公式 :当x
b 2a
25时, y最大值
4ac b2 4a
300.
M
C
H
30m
DG
B
P┐
A
N
40m
例1 何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形, 制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多 (结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
xx y
解 : 1.由4 y 7 x x 15. 得, y 15 7 x x .
4
2.窗户面积S 2xy x2 2x 15 7 x x x2
2
4 2
7 2
x2
15 2
x
7 2
x
15 14
2
225 56
.
xx
所以，当x 15 1.07时， 14
y
S最大
225 56

30.4二次函数的应用第1课时课件冀教版九年级数学下册

学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
(1)问排球上升的最大高度是多少？分析：表达式为：h=v0t-0.5gt2，题目中给出g=10m/s2，v0=10m/s. 解：根据题意，得 h=10t-0.5×10t2(t≥0). ∴h=-5(t-1)2+5(t≥0). 因为抛物线开口向下，所以顶点坐标为（1,5）. 故即上升的最大高度为5m.
8 5
时， y
25 6
( 8)2 5
10 3
8 5
16 3
.
A
运动员距水面的高度为10－ 16＝ 14 (米)<5米，
33
∴此次跳水会出现失误．
B
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
根据二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题第一能根据题意或图象确定函数的表达式，再利用函数的性质解决抛物线形运动轨迹问题．
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
4.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动
路线是如图所示坐标系下经过原点O的抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面10 2 米，
3
入水处距池边4米．运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾
学习目标
概念剖析
典型例题
当堂检测
课堂总结
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t 来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 4 s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离

2019_2020学年九年级数学下册第三十章二次函数30.4二次函数的应用教学课件(新版)冀教版

确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用。
某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包。起初以40元每个售出，平均每个月能售出200个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨1元，每个月就少卖出10个。现在请你帮帮他，如何定价才使他的利润达到2160元？
y \ 元(月利润）
2250 2000
05
20 x \ 元(每件涨价）
小组讨论合作探究一般式的基本步骤.
1.设 y=ax2+bx+c 2.找（三点） 3.列（三元一次方程组） 4.解（消元） 5.写（一般形式） 6.查（回代)
当自变量x= 0时函数值y=-2，当自变量x= -1时，函数值y= -1，当自变量x=1时，函数值y= 1,求这个二次函数的表达式.
解：设 y=ax2+bx+c （a≠0）（0,-2）（-1,-1）（1,1） c=-2 a-b+c=-1 a+b+c=3
为 w 元。则 w x 10 x 40 x2 50x 400 7分
x 252 225
10分
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利
润为225元。
12分
旅行社何时营业额最大 1.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元. 旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
解得 a=2，b=1，c=-２ ∴y=2x2+x-2
已知抛物线的顶点为（－1，－3），与x轴交点为（-5，0）求抛物线的解析式？解：设 y=a(x＋1)2-3

河北省唐山市滦南县青坨营镇初级中学九年级数学下册30.4二次函数的应用(第2课时)教案(新版)浙教版

二次函数的应用
三、课上训练3、你能利用公式求出所得函数图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗？
4、你能画出这个函数图像，并借助图像说出y的最大值吗？
三、课上训练
1、一个运动员打尔夫球，若球的飞行高度(m)
y与水平距离(m)
x之间的函数表达式为()2
1
3010
90
y x
=--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（）
A．10m B．20m C．30m D．60m
2、小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2 3、已知二次函数
22(0)
y ax x c a
=++≠有最
大值，且4
ac=，则二次函数
的顶点在（）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4、如图，小明的父亲在相距2
米的两棵树间拴了一根绳子，
给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是 2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为。

河北省唐山市滦南县青坨营镇初级中学九年级数学下册30.3二次函数的的图像和性质教案1(新版)浙教版

二次函数的的图像和性质图34—3 图34—4问题一：2x y ＝的图像是否具有对称性，它的对称轴是哪条直线？问题二：2x y ＝的图像有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？问题三：根据图像的对称性，观察并思考表中的每对数（x,y ）有什么特点？试着做一做请你按照小明画2x y ＝的图像的步骤，在同一直角坐标系内，分别画出二次函数221x y ＝221x y ＝－的图像，并就上述三个问题谈谈你的看法。

列表 x-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 221x y ＝221x y ＝－描点并用光滑曲线顺次连结各点四、课堂小结五、课后作业y有最值，这个值是。

4.二次函数241xy＝﹣，当21＜＜xx时，21yy与的大小为5．如图，⊙O的半径为2，C1是函数221xy＝的图像， C2是函数221xy＝﹣的图像，则阴影部分的面积是6.若对任意实数x，二次函数2)1(xay＋＝的值总是非负数，则a的取值范围是（）A.a≥－1B.a≤－1C.a＞－1.D.a＜－1小结课后作业1.已知二次函数2axy＝（a≠0）的图像经过点(-3,-6)(1).求a的值,并写出这个二次函数的解析式；(2).在平面直角坐标系中,画出这个函数的图像,并指出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。

2．已知一次函数baxy＋＝的图像上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，-1，若二次函数231xy＝的图像经过A、B两点。

（1）.请求出一次函数的表达式；（2）.设二次函数的顶点为C,求△ABC的面积。

河北省唐山市滦南县青坨营镇初级中学九年级数学下册30.3二次函数的的图像和性质教案2(新版)冀教版

二次函数的的图像和性质在对称轴的左侧（即x ＜h 时），y 随x 的增大而在对称轴的右侧（即x ＞h 时），y 随x 的增大而巩固练习 1.画出二次函数1)1(2＋＋＝－x y 的图像，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明当x 取哪些值时，y 随x 的增大而增大；当x 取哪些值时，y 随x 的增大而减小。

2.课本第13页练习2、3题抛物线22x y ＝的顶点坐标是；抛物线122＋＝x y 的顶点坐标是；抛物线222）－（＝x y 的顶点坐标是；抛物线1222＋）－（＝x y 的顶点坐标是。

3.把抛物线2x y ＝－向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A.3)12－－＝－（x y . B.3)12－＋＝－（x y C.3)1(2＋－＝－x y D.3)1(2＋＋＝－x y 4.已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1,10），求此二次函数的解析式。

小结课后作业课本第14页习题：3题已知抛物线 3)122－＋（＝x y ，如果y 随x 的增大而增大，那么x 的取值范围是将抛物线32＋＝x y 向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为不论m 取任何实数，抛物线m m x a y ＋＋＝2)(的顶点都（） A.在y=x 直线上 B.在直线y=－x 上 C.在x 轴上 D. 在y 轴上5.任给一些不同的实数n,得到不同的抛物线n x y ＋＝22 ，如当n=0,±2时，关于这些抛物线有下列结论：①开口方向都相同②对称轴都相同③形状都相同④都有最低点，其中判断正确的个数是（）A.1个B.2个C. 3个D.4个 6.某幢建筑物,从10米高的窗口A 处用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如图所示，如果抛物线最高点M 离墙1米，离地面340米，求水流落地点B 离墙的距离OB 的长。

学习反思。

河北省唐山市滦南县青坨营镇初级中学九年级数学下册30.2二次函数的图像和性质教案2(新版)冀教版

二次函数的图像和性质教学目标会画y=a(x-h)2+k 形式的二次函数的图像；经理探究并掌握y=a(x-h)2+k 形式的二次函数图像的性质重点难点掌握y=a(x-h)2+k 形式的二次函数图像的性质，并能灵活运用。

教学内容师生随笔 y=ax 2 (a ≠0) a>0a<0 图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最值抛物线y=ax 2 (a ≠0)的开口大小是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大, 抛物线的开口就越小.|a|越小, 抛物线的开口就越大.（1）完成下表：y x O x yO函数y= - (x+1)2+1是二次函数吗？画画它的函数图像看看：（1）完成下表：xy= - (x+1)2+1（2）描点：（3）连线：三、合作探究：探究形如y=a(x-h)2+k 的二次函数的图像的性质：图像是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。

怎样列表才能保证描出的点具有对称性？图像的开口方向由谁决定，最高（或最低）点就是图像的顶点，其坐标是什么？根据图像能确定函数的最大（或最小）值吗？如果能，那么，请指出最大（或最小）值；1 2 4 x 0 -1-2-3-4-5-6 -7 2 y -1 -4 1 -5 -3 -2 3 5它有怎样的增减性呢？四、总结填表：y=a（x-h）2 +k(a≠0)a>0 a<0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最值五、课堂练习1、填表：y=2（x-1）2+3y=(x+2)2+4 y= - (x-3)2- 6 开口方向对称轴顶点坐标最值当x= 时y(最 ) =当x= 时y(最 ) =当x= 时y(最 ) =在对称轴左侧y随x的增大而y随x的增大而y随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而y随x的增大而2. y=-2(x-1)2＋5 的图象开口向，顶点坐标为，当x＞1时，y 值随着x 值的增大而。

4.二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值是5. 二次函数2(1)y x a =-++的图像如右图：抛物线与x 轴交与A 、B 两点，若A 点坐标为（-3,0）那么B 点坐标为6.如5题图，为二次函数y=a （x-h ）2 +k 的图像则：a 0 h 0 k 0 （填“＜、＝、＞”）7.老师给出一个y 关于x 的函数，甲、乙、丙三位同学各指出这个函数的一个说明：甲：函数图象是抛物线；乙：图像有最高点；丙：它的顶点坐标为（2、3）.请写出满足上述性质的一个函数______________.师生反思、总结：。

河北省唐山市滦南县青坨营镇初级中学九年级数学下册 3

1、你知道甲车刹车前的行驶速度吗？甲车是否违章超速？
2、你知道乙车刹车前的行驶速度在什么范围内吗？乙车是否违章超速？
大家谈谈
对于二次函数 ;
(1)当s甲=12 时，我们得到一元二次方程，请谈谈这个一元二次方程的实际意义。
（2）当s甲=11 时，不经过计算，你能说明两车相撞的主要责任者是谁？
（3）由乙车的刹车距离比甲车的刹车距离短，就一定能说明事故责任者是甲车吗？为什么？
四、小结
你有哪些收获
五、布置作业
课本25页：练习和习题1
学习
反思
(1)设HG=ycm,HE=xcm,确定用x表示y的函数关系式。
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？
（3）以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个无底圆桶，怎样围，圆桶的体积较大？请说明理由。（接缝处忽略不计，结果保留π）
2、某种爆竹点燃后，其上升的高度（米）和时间（秒）符合关系式，其中重力加速度以米/秒计算．这种爆竹点燃后以米/秒的初速度上升，
在平面直角坐标系中描出每对（v,s）所对应的点，并用光滑的曲线顺次连结各点。
利用图像验证刹车距离s(m)与车速v(km/h)是否有如下关系：
（3）求出当s=9m时的车速。
三、课上训练
1、如图△ABC是一块铁皮余料，已知底边BC=160cm,高AD=120cm.在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC 上，点E、F在BC上，AD交HG于点M.
（当出现意外情况时，避免出现意外情况。）
汽车刹车时向前滑行的距离，（称为刹车距离）。与什么因素有关？请看示例
二、一起探究
例1、甲、乙两车在限速为40km/h的湿滑弯道上相向而行，待望见对方，同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了，事后经现场勘查，测得甲车的刹车距离是12m，乙车的刹车距离超过10m，但小于12m，根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离与车速x(km/h)之间的关系为，乙车的刹车距离与车速x(km/h)之间的关系式为 .

九年级数学下册30、2二次函数的图像和性质第1课时二次函数y=ax2的图像和性质习题新版冀教版

的图像，则图像中从里到外的三条抛物线对应的函数依次
是___①__③__②_____.(填序号)
5.二次函数y=ax2的图像如图所示.
(1)求这个二次函数表达式；
(2)若另一函数图像与该函数图像关于x轴对称，试求另一个函数的
表达式.
解： (1)因为图像经过(2,2)，代入表达式，
得a=
1 2
，
故所求的表达式为y=
(a<0)
(0,0) 当x>0时,y随x的增大而减小当x=0时,y最大=0
二次函数y=ax2的性质
问题2.1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2, y x2 的图像． 2
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y 1 x2 2
九年级数学下册冀教版
第三十章二次函数
30.2 二次函数的图像和性质
第1课时二次函数y=ax2的图像和性质
1 2
CONTENTS
1
看一看：观察下列运动，试着发现它们的规律
CONTENTS
2
二次函数y=ax2的图像
问题1.1 一次函数、反比例函数的图像分别是什么形状? 一条直线、双曲线
问题1.2 画函数图像的基本步骤是什么? 列表、描点、连线
CONTENTS
3
1.若点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y=-4x2图像上两点，且x1＞x2＞0，
则y1与y2的大小关系是( B )
A.y1＞y2
B.y1＜y2
C.y1≥y2
D.y1≤y2
2.已知抛物线y=ax2(a＞0)过点A(-2，y1)，点B(1，y2)，则下列关系式

九年级数学下册第30章二次函数30.4二次函数的应用第1课时教案新版冀教版

第1课时抛物线形问题1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥、涵洞关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点：拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y＝－112(x－6)2＋6＝－112x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计建立二次函数模型：（1）拱桥问题；（2）涵洞问题.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。

九年级数学下册 30.4 二次函数的应用(第1课时)教案 (新版)冀教版-(新版)冀教版初中九年级下

（2）一元二次方程有两个相等的实数根，则二次函数的图像与x轴有几个交点？
（3）一元二次方程没有实数根，则二次函数的图像与x轴有几个交点？
3、已知二次函数
（1）观察这个函数图像，
一元二次方程的
两个根分别在哪两个整数之间？
（2）①由在0至1X围内的x值所对应的y的值（见下表）。你能说出一元二次方程精确到十分位的正根吗？
5、根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，判断方程（为常数）的一个解的X围是（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
6、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为．
6
7根据下表中的二次函数
的自变量
与函数的对应值，
可判断该二次函数的图象
与轴（）．
…
…
…
…
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在轴两侧
经历根据二次函数图像求一元二次方程的近似解的过程，了解求一元二次方程的近似解的基本思想方法
情感目标：
深刻体会数形结合思想在数学学习中的应用。
重点
二次函数图像与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的解的关系。
难点
根据二次函数图像，确定一元二次方程的近似解。
学习
环节
教学过程
师生
随笔
一、
引入新课
C．有两个交点，且它们均在轴同侧 D．无交点
四、小结
五、布置作业习题1、2
学习
反思
二、
大家
谈谈
一起
探究
三、
课堂训练营：
四、
课堂
小结
五、课后
作业
一、创设情境，引入课题

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x2 2 x m 0 的解为
7 根据下表中的二次函数
y ax2 bx c 的自变量
x 与函数 y 的对应值，
可判断该二次函数的图象与 x 轴（）．
x
O
1
1
1
4
x
四、课堂小结
… …
0
12…y源自7 42
7 4
…
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧 C．有两个交点，且它们均在 y 轴同侧 D．无交点
教学目标
重点难点学习环节一、引入新课
一、创设情境，引入课题二次函数 y x 2 x 2 的图像与 x 轴的交点的横坐标是什么？它与方程 x x 2 0 的根有什么关系？
2
二、大家谈谈一起探究
二、大家谈谈、一起探究 1．如果方程 ax2 bx c 0(a 0) 有实数根，那么它的根和二次函数 y ax bx c(a 0) 的图像与 x 轴的交点的横坐
2
吗？ X y 0 -1 0.2 -0.76 0.4 -0.44 0.6 -0.04 0.7 0.19 0.9 0.71 1 1
②由在 0.6 至 0.7 范围内的 x 值所对应的 y 的值（见下表），你能说出一元二次方程 x x 1 0 精确到十分位的正根吗？
2
x y x y
0.60 -0.040 0.66
2
标有什么关系？ 2、（！）一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 有两个不相等的
2
实数根，则二次函数 y ax bx c(a 0) 的图像与 x 轴有
2
几个交点？
1
（2）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两个相等的实数根，则二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像与 x 轴有几个交点？（3）一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 没有实数根，则二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像与 x 轴有几个交点？
2
证上面求出的近似解。归纳：利用二次函数的图像，通过直观观察图像与 x 轴的交点确定一元二次方程根的存在范围，在对该范围内的 x 的值进行细分，求出 y 的值，得出近似解。三、课堂训练营：三、课上训练 2 1 ．已知抛物线 y ＝ x － 2kx ＋ 9 的顶点在 x 轴上，则 k ＝ ____________． 2 2．已知抛物线 y＝kx ＋2x－1 与坐标轴有三个交点，则 k 的取值范围___________． 3、已知二次函数 y x2 2x m 的部分图像如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x 2 x m 0 的解为
y
3、已知二次函数 y x 2 x 1 （1）观察这个函数图像，一元二次方程 x x 1 0 的
2
3 2 1 -3 -2 -1 O -1 -2 1 2
两个根分别在哪两个整数之间？
x
（2）①由在 0 至 1 范围内的 x 值所对应的 y 的值（见下表）。你能说出一元二次方程 x x 1 0 精确到十分位的正根
2
．）．
4、抛物线 y x2 2 x 1与 x 轴交点的个数是（（A）0 （B）1 （C）2
（D）3
5、根据下列表格中二次函数 y ax2 bx c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值，判断方程 ax bx c 0（ a 0，a，b，c
2
为常数）的一个解 x 的范围是（
二次函数的应用
知识目标： 1．认知一元二次方程的解和二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标之间关系，进而明确二次函数的图像与 x 轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 2．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。能力目标：经历探索二次函数的图像与一元二次方程的解的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。经历根据二次函数图像求一元二次方程的近似解的过程，了解求一元二次方程的近似解的基本思想方法情感目标：深刻体会数形结合思想在数学学习中的应用。二次函数图像与 x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的解的关系。根据二次函数图像，确定一元二次方程的近似解。教学过程师生随笔
） 6.18 6.19 6.20
x
y ax2 bx c
Ａ． 6 x 6.17 Ｃ． 6.18 x 6.19
6.17
0.03
0.01
0.02
0.04
Ｂ． 6.17 x 6.18 Ｄ． 6.19 x 6.20
3
6、已知二次函数 y x2 2x m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 y ． 6
0.61
0.62
0.63 0.027 0.68 0.142
0.64 0.050 0.69 0.166
0.65 0.073 0.70 0.190
2
-0.018 0.004 0.67 0.119
0.096
③请仿照上面的方法，求出一元二次方程 x x 1 0 的另一
2
个精确到十分位的根。
④请利用一元二次方程的求根公式解方程 x x 1 0 。并验
四、小结五、课后作业
五、布置作业
习题 1、2
学习反思
4