材料力学第三讲
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材料力学课件第三章
O
dϕ =G ∫ A ρ 2dA dx
dϕ T = GI p dx
令
I p = ∫ A ρ 2dA
dϕ T = dx GIp
dϕ 得： 代入物理关系式 τρ = ρ G dx
T⋅ρ τρ = Ip
T⋅ρ τρ = Ip
—横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论： 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料， ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 直杆。 式中： 横截面上的扭矩， ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得。
T
N × 103 TBC = m = 2πn
150 × 103 = (N ⋅ m) 2 × 3.14 × 15 .4 = 1.55(kN ⋅ m)
x
3 ②计算并校核剪应力强度 τ = T = 1.55 × 10 = 23MPa ≤ [τ ] max Wt π ⋅ 0.073 16
③此轴满足强度要求。
m
T
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正， 反之为负。 反之为负。
4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 |T|max 截面 截面 。 扭矩变化规律
T
⊕
x
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 例 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩 图。 解：①计算外力偶矩
τ = G⋅γ
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ 无 量纲，故G的量纲与τ 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢 材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系 （推导详见后面章节）：
[VIP专享]材料力学,第三章
![[VIP专享]材料力学,第三章](https://img.taocdn.com/s3/m/85c4f98376a20029bd642d92.png)
2005年注册岩土工程师考前辅导精讲班材料力学第三讲扭转【内容提要】扭转是杆件的又一种基本变形形式，本节主要学习杆件发生扭转时的受力和变形特点，熟悉传动轴的外力偶矩计算，掌握求扭矩和作扭矩图的方法。
掌握横截面上剪应力分布规律和剪应力计算，了解斜截面上的应力计算，掌握剪应力强度条件的应用。
熟悉圆截面极惯性矩，抗扭截面系数计算公式的应用。
熟悉圆截面杆扭转角的计算和刚度条件的应用，了解受扭圆杆应变能的计算。
【重点、难点】求扭矩和作扭矩图的方法，横截面上剪应力分布规律和剪应力计算，剪应力强度条件。
【内容讲解】一、扭转的概念受力特征：杆两端承受一对力偶矩相等．转向相反作用面与杆轴线相垂直的外力偶作用。
变形特征：杆件各横截面绕轴线作相对旋转。
截面间轴线的相对角位移，称为扭转角，用表示。
杆件表面上的纵向线同时倾斜了一个角，即剪应变。
以扭转变形为主要变形的直杆，简称为轴。
二、传动轴外力偶矩传动轴所传递的功率、转速与外力偶矩之间关系式中P为传递功率，常用单位为kW(千瓦)，为转速，常用单位为r／min(转每分)，T为外力偶矩，常用单位为N•m(牛•米)。
三、扭矩扭矩图扭矩:受扭杆件横截面上产生的内力，是一个在横截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩，用表示。
扭矩正负号规定扭矩以右手法则表示扭矩矢量方向，若该矢量方向与截面外向法线方向一致时为正，反之为负。
扭矩计算应用截面法和扭矩正负号的规定，可直接根据横截面左侧(或右侧)杆上作用的外力偶矩，计算该横截面上的扭矩法则：某横截面上的扭矩，在数值上等于该截面的左侧(或右侧)杆上所有外力偶矩的代数和，外力偶矩矢量方向(按右手法则离开该横截面的均取正值，反之取负值。
扭矩图表示沿杆轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
以横坐标轴表示横截面的位置．纵坐标表示相应横截面上扭矩。
根据平面假设，应用几何、物理与静力学三方面，可建立圆截面轴扭转剪应力，变形公式。
四、圆轴扭转剪应力与强度条件(一)横截面上的剪应力1．剪应力分布规律横截面上任一点的剪应力，其值与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于该点所在的半径。
材料力学(第三讲)
α αα α A β F
思考：为什么要研究变形？下述问题是否与变形相关？
•A点位移? 位移是否与力F 同方向？ •各杆内力？ •各杆材料不同时内力？
第三章
轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
F
b
b1
l l1
F
•轴向变形 Δ l = l1 -l (伸长为正) 胡克定律
l1 l2
轴向拉压变形
解1：1、静力学方面
F − FAx − FBx = 0
2、几何方面
FAx
•
F
FBx
Δl AC + ΔlCB = 0
3、物理方面 FAx l1 FBx l2 , ΔlCB = − Δl AC = EA EA 4、支反力计算 补充方程： FAx l1 − FBx l2 = 0
FAx = Fl2 l1 + l2 FBx = Fl1 l1 + l2
符合强度要求
第三章
轴向拉压变形
4、解答
2 1 3
45D
FN1
( =
2 −1 F 2
)
FN 2 FN 3
3− 2) F ( = 2− 2) F ( = 2 2
C
F
思考：由上式设计的 A 1, A 2, A 3, 能否取各自 由上式的计算值？为 什么？
6、设计截面
(设
F = 40kN, [σ ] = 160 MPa )
第三章
轴向拉压变形
第三章
§3-1 引言
轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理 §3-3 桁架的节点位移 §3-4 拉压与剪切应变能 §3-5 简单拉压静不定问题 §3-6 热应力与预应力 §3-7 拉压杆弹塑性分析简介 §3-8 结构优化设计概念简介
材料力学 第三章 扭转PPT课件
8
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
(Torsion)
9
(Torsion)
10
(Torsion) 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。
齿轮轴
11
(Torsion)
二、受力特点(Character of external force)
杆件的两端作用两个大小相等、方
向相反、且作用平面垂直于杆件轴
线的力偶.
me
三、变形特点(Character of deformation)
4
(Torsion)
§3-1 扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)
一、工程实例(Example problems)
1、螺丝刀杆工作时受扭。
5
(Torsion)
6
(Torsion)
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
7
(Torsion)
MA ml
2、截面法求扭矩 TMAmx
Tm (lx)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
21
(Torsion)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Tors
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.
Me
Me
12
(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算 (Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
1秒钟输入（出）的功：P×1000N•m
材料力学第三章ppt课件
R
该定理表明：在单元体相互垂直的 两个平面上，切应力必然成对存在，
y t
´
a
b
且数值相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向或共同
dy
c
´
d
x
背离该交线。
z dx
三、切应变、剪切胡克定律
T=M
= T
2A 0t
=R L
剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（τ
用截面法研究横截面上的内力
T = Me
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
扭矩图
扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
目 ①扭矩变化规律；
的 ②|T |max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
x
例题1已知：一传动轴，n =300r/min，主动轮输入
M 4 9 .5 5P n 4 9 .5 5 3 2 0 0 0 06 .3(k N m )
解：（2）求扭矩（扭矩按正方向设）
M1 15.9
1-1 截面
M2M34.8
M4 6.3
M 0 x
T1 M2 0
M2 1
T 1M 24.8kN m
M3 2
M1 3 M4
≤τp )，切应力与切应变成正比关系。
三、切应变、剪切胡克定律
G
拉压胡克定律： E
式中：G 是材料的一个弹性常数，称为切变模量
切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常 数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：
材料力学第三章-PPT
Me3
r / min
Me1 15915 N m
2
3
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
Me1 n Me4
1
4
6366 N·m
+
2)画扭矩图
4774.5 N·m
9549 N·m
【课堂练习】若将
Me2
Me4
从动轮3与4对调如
18
Me1 n Me3
图,试作扭矩图、
2
BC段内:
2,max
T2 Wp 2
π
14103 71.3MPa 100 103 3
3)校核强度
16
2,max >1,max且2,max<[ ] = 80MPa,满足强度条件、
36
§3-5 等直圆杆扭转时得变形·刚度条件
Ⅰ、 扭转时得变形
等直圆杆得扭转变形可用两个横截面得
相对扭转角(相对角位移) j 来度量。
GIP
j Tl 180 GIP
—单位为度 (º)
若圆轴在第i段标距li内Gi、IPi、Ti为常 数,则相对扭转角:
n
j
T i li
—单位为弧度(rad)
i1 Gi I Pi
n
j
T i li 180 —单位为度 (º)
i1 Gi I Pi
39
【例3-4】钢制实心圆轴中,M1=1 592 N·m,M2 = 955 N·m,M3 = 637 N·m,lAB = 300 mm,lAC = 500 mm,d = 70 mm ,切变模量G = 80 Gpa、试求横截面C 相对于
Me
Me
FS左=τ左dydz
FS右=τ右dydz
材料力学第三章
T M e
13
扭矩图
M2
快速做扭矩图的方法：上上下下 M3 M1 D M4
B C A T1 4.78kN m T2 9.56kN m
T3 6.37kN m
6.37
4.78
T 图(kN· m)
14
9.56 Tmax = 9.56 kN· m 在BC段内
思考：如果将从动轮D与B的位置对调，试作该传动 轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
M2 A M2 A D M3 M1 M4
B
M4
C
M1 C
D
M3
B
15
M2 A
B
M3
M1
C
M4 D
M2
A
M4 D
M1
C
M3 B
16
§3-2 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒——通常指
1 r 10
（的圆筒 r：为平均半径）
I. 薄壁圆轴扭转时横截面上的切应力
17
I. 薄壁圆轴扭转时横截面上的切应力 1.实验现象： 各纵向线仍为直线，但 都倾斜了同一角度γ ， 原来的小矩形变成平行 四边形。 圆周线大小、形状、 间距均不变 横截面大小、形状、间 距均不变，只是绕圆 的轴线发生刚性转动 18
3
11
2、分别计算各段的扭矩
M2 A M2 A
1 1
1 1
M3 B
T1 x M3 B
2 2
M1
3
3
M4
D
C
T1 M 2 4.78kN m
2 2
M2
T2
T2 M 2 M 3
x
9.56kN m
T3
12
《材料力学》课件——第三章 扭转
F
Me
F
M'e
汽车的转向操纵杆
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
A
B
B'
Me
扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于 直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将 绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线， 而轴线仍维持直线。
3.1 扭转的概念和实例
Me
A'
g
A
B
j
B'
Me
外力偶作用平面和杆件横截面平行
M2
M3
M1
M4
解：①计算外力偶矩
M1
9.55
P1 n
9.55 500 300
A
15.9(kN m)
B
C
M2
M3
9.55
P2 n
9.55 150 300
4.78
(kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37
(kN m)
n D
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
②求扭矩（扭矩按正方向设）
M 0 , C
T1 M 2 0
T1 M 2 4.78kN m
M2 1 M2
A1 M2
M3
M1
2
3M4
n B 2 C 3D
T2 M 2 M 3 0 ,
T2 M 2 M 3
A
(4.78 4.78)
9.56kN m
T3-M4=0
T3=M4=6.37KN·m
T1
T2
T3
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
代入上式得：
G g
材料力学第3讲-绘制梁内力图的基本方法
m dx
②弯矩的正负号规定
(Sign convention for bending moment)
Mm
M
+
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半
部受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
-
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
m
m （受压）
【例题2-3-3】图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c 和 l 亦均为已知.试求梁在E、F 点处横截面处的剪力和弯矩.
B
l
Fx 0 , FRAx 0
MA 0 ,
FRB
Fa l
FRAxA
F B
Fy 0 ,
FRAy
F (l l
a)
FRAy
FRB
求内力——截面法
Fy 0 , MC 0 ,
FS
FRAy
F
(l l
a)
M FRAy x
FRAx A FRAy
剪力
x
1）受弯构件的内力
弯矩
①弯矩(Bending moment)) M
《材料力学》第3讲 绘制梁内力图的基本方法
土木工程学院 马守才 2020年3月
授课提纲
复习与提问：上一次课中我们学习了哪些这门课程的哪
些内容？其中比较重要的内容是什么？ 新课导入：如何对梁进行内力分析？
讲授新课
2. 杆件的内力分析（本单元共有6节，分5次学习） 2.1 轴力方程与轴力图 （已学习） 2.2 扭矩方程与扭矩图 （已学习） 2.3 绘制梁内力图的基本方法 ？√
n
FS
Fi
i 1左（右）
材料力学第三章知识点总结
直升机的旋转轴
电机每秒输入功：外力偶作功完成：
×
=P W
M W
e
⋅
=
形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
τdα
τ
l
ϕ
做薄壁圆筒的扭转试验可得
l
是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，G的量纲各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：
ρργγtg ≈x
d d d ′=x d d ϕρ⋅=O 1O 2ABCD 为研究对象
D’
微段扭转变形d dx Rd dx DD tg ϕγγ==≈'d ϕ/ d x －扭转角沿x 轴的变化率
扭转变形计算式
O d A ρTρ⋅
（实心截面）
1、横截面上角点处，切应力为零；
2、横截面边缘各点处，切应力
3、切应力沿横截面周边形成与
4、横截面周边长边中点处，切应力最大。
有关，见教材P93 之表3.2。
抗扭—材料力学第3章讲解
γ
m
R
dx
m
l
观察变形：纵向线倾斜了一微小角度， 变成斜直线；
周向线仍是圆，圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
23
平面假设：横截面 变形后仍为平面；
1. 变形几何关系：
γ
m
AC BD
dx ldγO NhomakorabeaC
AD B
dx
ρ R
m
24
dx
O
O
ρ RE
F
A
γC
C´
G
G´ d
H
材的G值约为80GPa。
剪切弹性模量G、弹性模量E和泊松比μ是表明材料弹性性质 的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关 系（推导详见后面章节）：
G E
2(1 )
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量 就可以推算出来。
22
§3–4 圆轴扭转时的应力
一、横截面上的应力
2. 物理关系：
虎克定律： G
G
G d
dx
27
G
d
dx
剪应力在横截面上的分布
28
3. 静力学关系：
T A( dA)
A
G 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
记 Ip A 2dA
Ip 横截面的极惯性矩
m
m
轴：工程中以扭转为主要变形的构件称为轴。 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。
4
§3–2 外力偶矩的计算
高等材料力学课件第三章-应变状态
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z
yz
( yz xz xy ) 2 2 y
y x y z
xz
( yz xz xy ) 2 2 z
z x y z
xy
§3.3 应变协调7
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛 盾。
•变形协调方程的物理意义
而且改变了物体内部各个点的相对 位置。
§3.1 变形2
M (x, y, z) M (x, y, z)
u=x'（x，y，z）－ x=u（x，y，z） v=y'（x，y，z）－ y=v（x，y，z） w=z'（x，y，z）－ z=w（x，y，z）
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析假定位移函 数具有连续的三阶导数
• 目录
• §3.1 变形与应变概念
• §3.2 向
主应变与主应变方
• §3.3 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素 ——载荷或温度变化 • 位移—— 物体内部各点空间位置发
生变化 • 位移形式 • 刚体位移：物体内部各点位置变化，
但仍保持初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，
§3.3 应变协调15
• 如果物体表面的位移已知，称为位移边界 • 位移边界用Su表示。
• 如果物体表面的位移 u, v, w,已知
• 边界条件为
uu vv ww
• 称为位移边界条件
§3.3 应变协调16
• 设物体表面为S • 位移已知边界Su • 面力已知边界Ss
则 S＝Su＋Ss
• 弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边 界构成的。
《材料力学I第三章》PPT课件
1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M 1 ( 9 . 5 1 3 5 5 3 0 ) N m 0 0 1 . 9 0 0 1 5 3 N m 0 1 . 9 k 5 m N
M 2 M 3 ( 9 . 5 1 3 5 1 3 0 ) N m 5 0 4 . 7 0 0 1 3 N 8 m 0 4 . 7 k m 8
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
例题 3-1
一传动轴如图，转速n=300 r/min，转向如以 下图。主动轮A输入的功率P1= 500 kW，三个从 动B、C、D轮输出的功率分别为：P2= 150 kW， P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
例题 3-1
M 4 ( 9 . 5 1 3 5 3 2 0 ) N 0 0 m 6 . 3 0 0 1 3 7 N m 0 6 . 3 k m 7 N
主动轮上M1的转向和轴的转向一样，从动轮
上的M2、M3、M4的转向和轴的转向相反。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
例题 3-1
2. 计算各段的扭矩
BC段内：
推论： (1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横
截面如 同刚性平面一样； (2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面
之间的距离未变。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，
且圆周上所有点处的切应力一样； (2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； (3) 横截面上无正应力。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
薄壁圆筒的扭转动画
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
M 1 ( 9 . 5 1 3 5 5 3 0 ) N m 0 0 1 . 9 0 0 1 5 3 N m 0 1 . 9 k 5 m N
M 2 M 3 ( 9 . 5 1 3 5 1 3 0 ) N m 5 0 4 . 7 0 0 1 3 N 8 m 0 4 . 7 k m 8
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
例题 3-1
一传动轴如图，转速n=300 r/min，转向如以 下图。主动轮A输入的功率P1= 500 kW，三个从 动B、C、D轮输出的功率分别为：P2= 150 kW， P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
例题 3-1
M 4 ( 9 . 5 1 3 5 3 2 0 ) N 0 0 m 6 . 3 0 0 1 3 7 N m 0 6 . 3 k m 7 N
主动轮上M1的转向和轴的转向一样，从动轮
上的M2、M3、M4的转向和轴的转向相反。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
例题 3-1
2. 计算各段的扭矩
BC段内：
推论： (1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横
截面如 同刚性平面一样； (2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面
之间的距离未变。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，
且圆周上所有点处的切应力一样； (2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； (3) 横截面上无正应力。
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
薄壁圆筒的扭转动画
材料力学(Ⅰ)电子教案
扭转
6-材料力学讲稿第3章扭转1-1
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于 横截面上的切应力分布，有图中(A)、(B)、(C)、 (D)所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
材料力学
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
灰铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
（+）
（-）
63.7Ngm
159.2Ngm
Tmax 159.2(Ngm)
（在CA段和AD段）
扭 转/杆受扭时的内力计算
将A、D轮的位置更换，则
B
C
A D
63.7
（-）
159.2
扭矩T-图
318.3
Tmax 318.3(N m) （AD段）
因此将A、D轮的位置更换不合理。
三、薄壁圆轴的扭转
A
B
C
D
扭 转/杆受扭时的内力计算 解： 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
MA
9.549
PA n
9.549 10 300
0.3183(kNgm)
MB
9.549 PB n
9549 2 300
63.7(Ngm)
MC 95.5(Ngm),
B
C
I
M D 159.2(Ngm),
A
D
II
当 R时， max
TR Ip
T Wp
式中
Wp
Ip R
称为抗扭截面模量。
材料力学
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 (4)公式中几何量 I p 与 Wp 的计算。
D=2R
a、实心圆截面
dA 2d
dA 因此
材料力学
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件： 沿横截面断开。
灰铸铁试件： 沿与轴线约成45的 螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
（+）
（-）
63.7Ngm
159.2Ngm
Tmax 159.2(Ngm)
（在CA段和AD段）
扭 转/杆受扭时的内力计算
将A、D轮的位置更换，则
B
C
A D
63.7
（-）
159.2
扭矩T-图
318.3
Tmax 318.3(N m) （AD段）
因此将A、D轮的位置更换不合理。
三、薄壁圆轴的扭转
A
B
C
D
扭 转/杆受扭时的内力计算 解： 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为
MA
9.549
PA n
9.549 10 300
0.3183(kNgm)
MB
9.549 PB n
9549 2 300
63.7(Ngm)
MC 95.5(Ngm),
B
C
I
M D 159.2(Ngm),
A
D
II
当 R时， max
TR Ip
T Wp
式中
Wp
Ip R
称为抗扭截面模量。
材料力学
扭 转/圆轴扭转时的应力和变形 (4)公式中几何量 I p 与 Wp 的计算。
D=2R
a、实心圆截面
dA 2d
dA 因此
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（拉） 1 127 MPa
1 2 3
FN 2 3 2 F 8.04 kN
（拉） 2 26.8MPa
2013年8月17日星期六
2 FN 3 F 34.6kN 3 3 86.6MPa（压）
材料力学
一、温度应力
第二章 拉伸、压缩与剪切
§2-11 温度应力和装配应力
2、计算名义应力 3、确定许用应力
F F
直接试验结果
2013年8月17日星期六
材料力学
1、受力特征: 2、变形特征：
n
下刀刃 n
第二章 拉伸、压缩与剪切
一、剪切的实用计算
上刀刃
F
F
剪切面
F
FS
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的切应力相等，于 是得剪切面上的名义切应力为：
Fa FBl 0 EA EA Fa 由此求得 FB l 所得FB为正值，表示FB的指向与假
设的指向相符，即向上。 4.由平衡方程 FA+FB-F=0
得FA=F-Fa/l=Fb/l。 5. 利用相当系统(如图)求得
FA a Fab ΔC EA lEA
2013年8月17日星期六
b b
或 :
材料力学
F
NN(x) F （x）
第二章 拉伸、压缩与剪切
FL ΔL A FN L FL ΔL EA EA
二、拉压杆的弹性定律
E
x x
F
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
FN ( x)dx (dx) EA( x) dx dx FN ( x)dx ΔL Δ(dx) L L EA( x) 内力在n段中分别为常量时 n FNi Li ΔL i 1 Ei Ai 2013年8月17日星期六
D
F
Fy 0
FN1 sin 30 0 FN 3 sin 30 0 F
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
x
即：
3FN1 2FN 2 3FN 3 1
FN1 FN 3 2F
F
2
2013年8月17日星期六
材料力学
y
A
第二章 拉伸、压缩与剪切
将A点的位移分量向各杆投影，得
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-8-3 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm²的钢索 绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂 直位移。设刚索的 E =177GPa。
解：1）求钢索内力：以ABCD为对象 A B 60° 60° D
m A 0, T sin 60 o 0.8 1.2 P 1.6T sin 60 0
4 Pa EA
-
P
3P
2013年8月17日星期六
材料力学
A L1
第二章 拉伸、压缩与剪切
B
L1
uB
例2-8-2 写出图2中B点位移与两杆变形间的关系
L2
解：变形图如图， B点 位移至B'点，由图 知：
L2 C
vB
uB L1
L2 B' vB L1ctg sin
2013年8月17日星期六
由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。
理论应力集中因数：
max K
具有小孔的均匀受拉平板， K≈3。
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
应力集中对强度的影响
塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：
荷载增大进 入弹塑性 极限荷载
Fu s Aj
2013年8月17日星期六
FN 1 FN 3 cos 2
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-10-1 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并 求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。
解:FA+FB-F=0，故为一次超静定问题。
2013年8月17日星期六
材料力学
2.相容条件Δ
3.补充方程为
第二章 拉伸、压缩与剪切
BF+Δ BB=0，参见图c，d。
1、静定问题无温度应力。 B C
2、静不定问题存在温度应力。
1 A 2
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-11-1 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结 构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线 膨胀系数分别为i ; △T= T2 -T1)
解 (1)平衡方程: FN3
F 0, F sin F sin 0 F 0, F cos F cos F 0
y N1 N2 N3
几何方程
L2
( L3 ) cos L1材料ຫໍສະໝຸດ 学第二章 拉伸、压缩与剪切
、物理方程及补充方程：
FN 1 L1 FN 3 L3 L1 , L3 E1 A1 E3 A3
FN 3 2FN1 2FN 2
2013年8月17日星期六
3
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
联立①②③，解得： 3FN1 2FN 2 3FN 3
FN1 FN 3 2F
FN 3 2FN1 2FN 2
2 FN 1 2 F 25.4kN 3
FN1
A F
B
FN2 1
D 3
C
A
2
X FN1 sin FN 2 sin 0 Y F
N1
cos FN 2 cos FN 3 0
2013年8月17日星期六
材料力学
B
3 1 D
第二章 拉伸、压缩与剪切
(2) 几何方程 C 2
L1 L3 cos
2、静不定问题存在装配应力。 B C
1
A
2
2013年8月17日星期六
材料力学
B 1
第二章 拉伸、压缩与剪切
N3 解： 平衡方程: N1
例2-11-3 如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。
A1 A
3 D 2
C
N2
A1
x N1 N2
L3 A 1
L1
A
2013年8月17日星期六
A
d 2
4
3.4cm
FN
F
d
4P
(2)按钢板剪切强度计算 t
Fs u A
A dt
F
u
F t 1.04cm d u
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
§2-8 轴向拉伸或压缩时变形
一、拉压杆的变形及应变
1．杆的纵向总变形： 2．线应变： b
L L1
ΔL L1 L F
b1
F
3．杆的横向变形：
ΔL L1 L L L
b b1 b
4．杆的横向应变：
5．泊松比（或横向变形系数）
2013年8月17日星期六
(3) 物理方程：
A
L2
L3
A1
L1
(4) 补充方程： FN 1 L1 FN 3 L3 T1 L1 ( T 3 L3 ) cos E1 A1 E3 A3 (5) 解平衡方程和补充方程，得: E1 A1 (1 3 cos2 )T FN 1 FN 2 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 3 2 E1 A1 (1 3 cos2 )T cos 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FNi Li Li T i Li Ei Ai
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
二、装配应力——预应力
1、静定问题无装配应力。
FS ——剪切强度条件 A
剪切面为圆形时，其剪切面积为：
F S A
A
d
4
2
对于平键 ，其剪切面积为：
A bl
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-13-1 如图所示冲床， Fmax=400kN，冲头[σ ]＝400MPa，冲剪 钢板τ u=360 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。 解(1)按冲头的压缩强度计算d
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
◆塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可
不考虑应力集中的影响。
▼均匀的脆性材料或塑性差的材料(如高强度钢)
制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中
的影响。
★非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因
存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可
不考虑外部因素引起的应力集中。
2013年8月17日星期六
、解得:
FN 1 FN 2 FN 3
E1 A1 cos2 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
2 E1 A1 cos3 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
§2-12 应力集中的概念
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-8-1 图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E， 试计算D点的位移。
解：
P A
a
3P
a
3P x D
B
C
a
图5-1
1 2 3
FN 2 3 2 F 8.04 kN
（拉） 2 26.8MPa
2013年8月17日星期六
2 FN 3 F 34.6kN 3 3 86.6MPa（压）
材料力学
一、温度应力
第二章 拉伸、压缩与剪切
§2-11 温度应力和装配应力
2、计算名义应力 3、确定许用应力
F F
直接试验结果
2013年8月17日星期六
材料力学
1、受力特征: 2、变形特征：
n
下刀刃 n
第二章 拉伸、压缩与剪切
一、剪切的实用计算
上刀刃
F
F
剪切面
F
FS
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
剪切实用计算中，假定剪切面上各点处的切应力相等，于 是得剪切面上的名义切应力为：
Fa FBl 0 EA EA Fa 由此求得 FB l 所得FB为正值，表示FB的指向与假
设的指向相符，即向上。 4.由平衡方程 FA+FB-F=0
得FA=F-Fa/l=Fb/l。 5. 利用相当系统(如图)求得
FA a Fab ΔC EA lEA
2013年8月17日星期六
b b
或 :
材料力学
F
NN(x) F （x）
第二章 拉伸、压缩与剪切
FL ΔL A FN L FL ΔL EA EA
二、拉压杆的弹性定律
E
x x
F
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
FN ( x)dx (dx) EA( x) dx dx FN ( x)dx ΔL Δ(dx) L L EA( x) 内力在n段中分别为常量时 n FNi Li ΔL i 1 Ei Ai 2013年8月17日星期六
D
F
Fy 0
FN1 sin 30 0 FN 3 sin 30 0 F
FN 1 FN 2 FN 3
y
A
x
即：
3FN1 2FN 2 3FN 3 1
FN1 FN 3 2F
F
2
2013年8月17日星期六
材料力学
y
A
第二章 拉伸、压缩与剪切
将A点的位移分量向各杆投影，得
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-8-3 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm²的钢索 绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂 直位移。设刚索的 E =177GPa。
解：1）求钢索内力：以ABCD为对象 A B 60° 60° D
m A 0, T sin 60 o 0.8 1.2 P 1.6T sin 60 0
4 Pa EA
-
P
3P
2013年8月17日星期六
材料力学
A L1
第二章 拉伸、压缩与剪切
B
L1
uB
例2-8-2 写出图2中B点位移与两杆变形间的关系
L2
解：变形图如图， B点 位移至B'点，由图 知：
L2 C
vB
uB L1
L2 B' vB L1ctg sin
2013年8月17日星期六
由于杆件横截面骤然变化而引起的应力局部骤然增大。
理论应力集中因数：
max K
具有小孔的均匀受拉平板， K≈3。
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
应力集中对强度的影响
塑性材料制成的杆件受静荷载情况下：
荷载增大进 入弹塑性 极限荷载
Fu s Aj
2013年8月17日星期六
FN 1 FN 3 cos 2
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-10-1 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并 求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。
解:FA+FB-F=0，故为一次超静定问题。
2013年8月17日星期六
材料力学
2.相容条件Δ
3.补充方程为
第二章 拉伸、压缩与剪切
BF+Δ BB=0，参见图c，d。
1、静定问题无温度应力。 B C
2、静不定问题存在温度应力。
1 A 2
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-11-1 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结 构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线 膨胀系数分别为i ; △T= T2 -T1)
解 (1)平衡方程: FN3
F 0, F sin F sin 0 F 0, F cos F cos F 0
y N1 N2 N3
几何方程
L2
( L3 ) cos L1材料ຫໍສະໝຸດ 学第二章 拉伸、压缩与剪切
、物理方程及补充方程：
FN 1 L1 FN 3 L3 L1 , L3 E1 A1 E3 A3
FN 3 2FN1 2FN 2
2013年8月17日星期六
3
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
联立①②③，解得： 3FN1 2FN 2 3FN 3
FN1 FN 3 2F
FN 3 2FN1 2FN 2
2 FN 1 2 F 25.4kN 3
FN1
A F
B
FN2 1
D 3
C
A
2
X FN1 sin FN 2 sin 0 Y F
N1
cos FN 2 cos FN 3 0
2013年8月17日星期六
材料力学
B
3 1 D
第二章 拉伸、压缩与剪切
(2) 几何方程 C 2
L1 L3 cos
2、静不定问题存在装配应力。 B C
1
A
2
2013年8月17日星期六
材料力学
B 1
第二章 拉伸、压缩与剪切
N3 解： 平衡方程: N1
例2-11-3 如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。
A1 A
3 D 2
C
N2
A1
x N1 N2
L3 A 1
L1
A
2013年8月17日星期六
A
d 2
4
3.4cm
FN
F
d
4P
(2)按钢板剪切强度计算 t
Fs u A
A dt
F
u
F t 1.04cm d u
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
§2-8 轴向拉伸或压缩时变形
一、拉压杆的变形及应变
1．杆的纵向总变形： 2．线应变： b
L L1
ΔL L1 L F
b1
F
3．杆的横向变形：
ΔL L1 L L L
b b1 b
4．杆的横向应变：
5．泊松比（或横向变形系数）
2013年8月17日星期六
(3) 物理方程：
A
L2
L3
A1
L1
(4) 补充方程： FN 1 L1 FN 3 L3 T1 L1 ( T 3 L3 ) cos E1 A1 E3 A3 (5) 解平衡方程和补充方程，得: E1 A1 (1 3 cos2 )T FN 1 FN 2 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 3 2 E1 A1 (1 3 cos2 )T cos 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FNi Li Li T i Li Ei Ai
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
二、装配应力——预应力
1、静定问题无装配应力。
FS ——剪切强度条件 A
剪切面为圆形时，其剪切面积为：
F S A
A
d
4
2
对于平键 ，其剪切面积为：
A bl
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-13-1 如图所示冲床， Fmax=400kN，冲头[σ ]＝400MPa，冲剪 钢板τ u=360 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。 解(1)按冲头的压缩强度计算d
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
◆塑性材料制成的杆件受静荷载时，通常可
不考虑应力集中的影响。
▼均匀的脆性材料或塑性差的材料(如高强度钢)
制成的杆件即使受静荷载时也要考虑应力集中
的影响。
★非均匀的脆性材料，如铸铁，其本身就因
存在气孔等引起应力集中的内部因素，故可
不考虑外部因素引起的应力集中。
2013年8月17日星期六
、解得:
FN 1 FN 2 FN 3
E1 A1 cos2 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
2 E1 A1 cos3 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
2013年8月17日星期六
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
§2-12 应力集中的概念
材料力学
第二章 拉伸、压缩与剪切
例2-8-1 图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E， 试计算D点的位移。
解：
P A
a
3P
a
3P x D
B
C
a
图5-1