2014年高考真题——理科数学(上海卷)解析版

2 0 1 4年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试

上海 数学试卷（理工农医类）

考生注意：

1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂（选择题）或写

（非选择题）在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对

后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数._______)2(cos 212

的最小正周期是x y -=

【答案】 2π

【解析】

2

π4π2∴4cos -)2(cos 2-12==

==T x x y 周期

2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛_z 1 +z z ⋅=___________. 【答案】 6

【解析】

61)41(1)1

(∴21=++=+=•++=z z z z

z i z

3、若抛物线y 2

=2px 的焦点与椭圆15

92

2=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.

【答案】 x=-2 【解析】

2

-2

-)0,2(2)0,2(15

922

2==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为

4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),

,[,),,(,)(2

a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.

【答案】 ]2,∞

-( 【解析】

]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f +=

5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +2

2y 的最小值为______________. 【答案】 22 【解析】

22,2222≥22y ∴12

2

2222所以，是=•+

=+=x x x x x xy

6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为 （结果用反三角函

数值表示）。 【答案】 22arctan 【解析】

2

2arctan 2

2arctan θ,22θtan 83ππ∴3,π221

,,22222222

22所以，是，即解得，化简得则底面半径设圆锥高底侧底侧=====+=+•==+••=r

h

h r r h r r h r r S S r S h r r S r h π

7. 已知曲线C 的极坐标方程为)sin 4cos 3(θθρ-=1，则C 与极轴的交点到极点的距离是 。

【答案】 31

【解析】

3

1

).0,31(14-3∴1)θsin 4-θcos 3(ρ所以，是交于点==y x

8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞

→a a a n ，则q= 。

【答案】 21

-5

【解析】

2

1

-5).(2

5

-1-,1251-,01-∴-1-1)-1-1(lim )(lim ,1≠22

132-3∞→543∞→1所以，是

舍去或解得=>+==+=

=•=++++=q q q q q q a q a q q a a a a a a q n n n n

9. 若2

13

2)(--=x x x f ，则满足0)(

【答案】 )1,0( 【解析】

)

1,0(.101,01-0,0-6

76

76

72

1-

-3

2

Q <<∴<<∴>

10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。

【答案】 151

【解析】

15

1.1518310所以，是概率==

C p

11.已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a+b= 。

【答案】 -1 【解析】

1

-.1-),-)((--,0≠,0≠,≠,20≠,0≠,≠,)1(.

2

2

2

2

22所以，是解得则且，）若（，则解集为空

且，若若分类讨论b a a b a b b a b a b a b a a b b a b a b a b b a a +=+=+=====

12.设常数a 使方

程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则

123x x x ++= 。

【答案】 37π

【解析】

3

7π

π23π0]π2,0[∈,)3πsin(2π3π2π,,03]π2,0[∈,sin 2]

π2,0[∈,)3

π

sin(2cos 3sin 2212321221221=

=+∴====+==+=====+=+x x x x x x x x a x x x x x x x x a x x a x x x ，，时，当，根，则时有当

13.某游戏的得分为1,2,3,4，5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分。若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 。 【答案】 2.0 【解析】

是最小值

这时，取最小值取最大值时，同理，当这时，取最小值取最大值时，即当则设解析则为对应的概率分别设随机变量2.0∴1,02

.4431,220.2.44321,20,2≤-22],1,0[∈2

.44321543220130616ξ,,,,,3737805925,4,3,2,1ξ55432154543354353222323254325432154321==+====+++==++++==+=+=++++=++++==p p p p p p p p p p p p p p p p p p p m p m p p m p p p p p p p p p p p E p p p p p qq

14.已知曲线C

：x =l ：x=6。若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 。 【答案】 ]3,2[