2010年北京朝阳区高三二模文科数学

朝阳2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试（文史类） 2010.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。

一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1, 2, 3, 4, 5, 6U =，集合{}2, 3A =，集合{}3, 5B =，则()UA B ðI 等于（A ）{}2 （B ）{}2,3,5 （C ）{}1,4,6 （D ）{}5 （2）设i 为虚数单位，则复数2i1iz =-所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）过点(4,4)引圆22(1)(3)4x y -+-=的切线，则切线长是（A ） 2 （B （C ）（D ） （4）一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是4π3，则正方体的表面积是 （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）3（5）某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取64人，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）16 （D ）12（6）函数321()2f x x x =-+的图象大致是（7）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A ）112 （B ）80 （C ）72 （D ）64（8）如图所示，()f x 是定义在区间[, ]c c -（0c >）上的奇函数，令()()g x a f x b =+，并有关于函数()g x 的四个论断：①对于[, ]c c -内的任意实数, m n （m n <），()()0gn gm n m->-恒成立；②若0b =，则函数()g x 是奇函数；③若1a ≥，0b <，则方程()0g x =必有3个实数根；④若0a >，则()g x 与()f x 有相同的单调性.其中正确的是（ ）（A ）②③ （B ）①④ （C ）①③（D ）②④xyO（A ） （B ） （C ）（D ）xyO xyOxyO1第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）函数22cos y x =的值域是 .（10）已知向量(1, 2)=a ，(3, 2)=-b ，如果k +a b 与b 垂直，那么实数k 的值为 .（11）设变量x ，y 满足0,10,3260,y x y x y ìïïï--íïï--ïïî≥≥≤ 则该不等式组所表示的平面区域的面积等于 ；z x y =+的最大值为 .（12）若某程序框图如右图所示， 该程序运行后，输出的31x =， 则a 等于 .（13）上海世博园中的世博轴是一条1000m 长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧（如下图所示）. 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120. 据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是 m .（14）已知数列{}n a 为等差数列，若1a a =，n a b =（2n ≥，n *ÎN ），则11n nb aa n +-=-. 类比等差数列的上述结论，对等比数列{}n b （0n b >，n *ÎN ），若1b c =，n b d = （3n ≥，n *ÎN ），则可以得到1n b +=三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分13分）设函数()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--．CB世博轴·A 中国馆120º（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0,]3x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值. (16) （本题满分13分）某运动员进行20次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：（Ⅰ）求此运动员射击的环数的平均数；（Ⅱ）若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果（2次、7次、8次、3次）中，随机取2个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为m 次、n 次，每个基本事件为（m ，n ）. 求“10m n ≥+”的概率.(17) （本题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O .（Ⅰ）求证：SO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）已知E 为侧棱SC 上一个动点. 试问对于SC 上任意一点E ，平面BDE 与平面SAC(18) （本题满分14分）已知函数2()ln (1)2ax f x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥． （Ⅰ）若(2)1f '=，求a 的值；（Ⅱ）当0a =时，求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）求函数()f x 的单调递增区间． (19) （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右焦点分别为1(2, 0)F -，2(2, 0)F ．在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C的坐标，AB所在直线的斜率为3． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）当ABC ∆的面积最大时，求直线AB 的方程．20．（本题满分14分）已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且10(21)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）是否存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的,,m n k 的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设32n n n b a -=-，若对于任意的*n ∈N ，不等式 12111(1)(1)(1)n b b b +++ m 的最大值．（考生务必将所有题目的答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试答案（文史类） 2010.5一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）因为()2sin cos cos(2)6f x x x x π=--sin 2(cos 2cossin 2sin )66x x x ππ=-+1sin 222x x = sin(2)3x π=-，所以()sin(2)3f x x π=-.函数()f x 的最小正周期为π. ………………………………………………7分（Ⅱ）因为2[0,]3x π∈，所以2,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当π232x π-=，即5π12x =时函数()f x 的最大值为1. ………………………………13分16. 解：（Ⅰ）此运动员射击的总次数为2+7+8+3=20次，射击的总环数为277889310172⨯+⨯+⨯+⨯=（环）.所以此运动员射击的平均环数为1728.620=（环）. …………………………………6分 （Ⅱ）依题意，用(, )m n 的形式列出所有基本事件为（2，7），（2，8），（2，3），（7，8），（3，8），（3，7），（7，2），（8，2），（3，2），（8，7），（8，3）（7，3）所以基本事件总数为12. 设满足条件“10m n ≥+”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件为（2，8），（7，8）， （3，8），（3，7），（8，2），（8，7），（8，3），（7，3）总数为8，所以82().123P A == 答：满足条件“10m n ≥+”的概率为2.3………………………………………13分17. 解：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，AC BD O = ，所以O 是AC ，BD 中点. 由已知，SA SC =, SB SD =, 所以SO AC ⊥,SO BD ⊥, 又AC BD O = ，所以SO ⊥平面ABCD . ………………………………………………6分（Ⅱ）对于SC 上任意一点E ，平面BDE ⊥平面SAC . 证明如下：由（Ⅰ）知SO ABCD ⊥面， 而BD ABCD ⊂面，所以SO BD ⊥.又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 因为AC SO O = ，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面SAC .………………………13分 18.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞，1()(1)f x ax a x'=+-+. 由(2)1f '=，解得32a =． ……………………………………………………3分 （Ⅱ）由()ln f x x x =-，得11()1xf x x x-'=-=．由1()0x f x x -'=>，解得01x <<；由1()0xf x x-'=<，解得1x >． 所以函数()f x 在区间(0, 1)递增，(1,)+∞递减. 因为1x =是()f x 在(0, )+ 上唯一一个极值点，故当1x =时，函数()f x 取得最大值，最大值为(1)1f =-．…………………7分（Ⅲ）因为21(1)1(1)(1)()(1)ax a x ax x f x ax a x x x-++--'=+-+==（1）当0a =时，1()x f x x -'=.令1()0xf x x-'=>解得01x << （2）0a >时，令(1)(1)0ax x x --=，解得1x a =或1x =.（ⅰ）当11a>即01a <<时，由2(1)10ax a x x-++>，及0x >得 2(1)10ax a x -++>， 解得01x <<，或1x a>； （ⅱ）当11a=即1a =时， 因为0x >，2221(1)()0x x x f x x x-+-'==≥恒成立.（ⅲ）当11a <即1a >时，由2(1)10ax a x x-++>，及0x >得 2(1)10ax a x -++>，解得10x a<<，或1x >； 综上所述，当0a =时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)；当01a <<时，函数()f x 的递增区间是(0, 1)，1(, )a+∞； 当1a =时，函数()f x 的递增区间是(0, )+∞；当1a >时，函数()f x 的递增区间是1(0, )a，(1, )+∞.……………………14分19.解：（Ⅰ）由椭圆的定义知2a =解得 26a =，所以2222b a c =-=.所以椭圆M 的方程为22162x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意设直线AB的方程为y x m =+，由221,62,3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222360x m ++-=． 因为直线AB 与椭圆M 交于不同的两点,A B ，且点C 不在直线AB 上，所以221224(2)0,1.m m m ⎧∆=-->⎪⎨≠⎪⎩解得22m -<<，且0m ≠． 设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则12x x +=，212362m x x -=，113y x m =+，223y x m =+．所以||AB ==点1)C到直线3y x m =+的距离|2m d =. 于是ABC ∆的面积221(4)||||2222m m S AB d m +-=⋅==当且仅当||m =m =时=“”成立.所以m =时ABC ∆的面积最大，此时直线AB的方程为3y x =即为0x =．……………………………………………………………13分 20.解：（Ⅰ）11110(21)(2)a a a =++，得2112520a a -+=，解得12a =，或112a =． 由于11a >，所以12a =．因为10(21)(3)n n n S a a =++，所以210252n n n S a a =++. 故221111101010252252n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++---，整理，得22112()5()0n n n n a a a a ++--+=，即11()[2()5]0n n n n a a a a +++--=． 因为{}n a 是递增数列，且12a =，故10n n a a ++≠，因此152n n a a +-=． 则数列{}n a 是以2为首项，52为公差的等差数列. 所以512(1)(51)22n a n n =+-=-.………………………………………………5分 （Ⅱ）满足条件的正整数, , m n k 不存在，证明如下：假设存在*, , m n k N ∈，使得2()m n k a a a +=，则15151(51)2m n k -+-=-． 整理，得3225m n k +-=， ①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数, , m n k 不存在． ……………………8分 （Ⅲ）313(51)21222n n n n b a n n --=-=--=+，12111(1)(1)(1)n b b b +++ ≤3121231111n n b b b b b b b b ++++⋅⋅4682235721n n +=⋅⋅⋅⋅+设46822()35721n f n n +=⋅⋅⋅⋅+ 则(1)()35721f n f n n +=⋅⋅⋅⋅+2423n n +==+24124n n +=>===+.所以(1)()f n f n +>，即当n 增大时，()f n 也增大．12111(1)(1)(1)n b b b +++ *n ∈N 恒成立，只需min ()31mf n ≤即可．因为min 4()(1)315f n f ===. 即43112448151515m ⨯==≤. 所以，正整数m 的最大值为8． ………………………………………14分。