2018年广东省揭阳市高三高考第二次模拟考试数学(理)试题

绝密★启用前揭阳市2018年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．（1）已知集合{|A x y =，{|31}x B x =≥，则（A ）B A = （B ）B A ⊆ （C ）R B A =（D ）A B φ=（2）已知复数z 满足i z i +=⋅+3)21(，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）平面直角坐标系xOy 中，i 、j 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，向量2a i = ，b i j =+，以下说法正确的是（A ）1a b ⋅= （B ） a b = （C ）()a b b -⊥（D ）//a b（4）已知直线a 、b ，平面γβα、、，下列命题正确的是（A ）若γα⊥，γβ⊥，a =βα ，则γ⊥a ．（B ）若a =βα ，b =γα ，c =γβ ，则c b a ////． （C ）若a =βα ，a b //，则α//b ．（D ）若βα⊥，a =βα ，α//b ，则a b //．（5）已知直线034=+-a y x 与⊙C ：0422=++x y x 相交于A 、B 两点，且︒=∠120AOB ，则实数a的值为 （A ）3（B ）10（C ）11或21（D ）3或13（6）已知5)1)(1(xax x -+的展开式中常数项为40-，则a 的值为 （A ）2 （B ）2- （C ）2±（D ）4（7）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )20,0,0(πϕω<≤>>A 的部分图象如图1示，则ϕ的值为 图1（A ）3π或32π（B ）32π（C ）34π（D ）3π或34π（8）在如图2的程序框图中，输出的n 值为（A ）14（B ）32 （C ）46（D ）53（9）已知双曲线的焦距为4，A 、B 是其左、右焦点，点C 在双曲线右支上，△ABC 的周长为10，则||AC 的取值范围是（A ）)5,2( （B ）)6,2( （C ）)5,3(（D ）)6,3(（10）图3是某几何体的三视图，图中每个小正方形的边长为1，则此几何体的体积为 （A ）38（B ）316 （C ）4 （D ）320 （11）过抛物线y x 22=上两点A 、B 分别作切线，若两条切线相互垂直，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离的最小值为 （A ）21 （B ）1 （C ）23（D ）2 （12）把函数)1(log )(2+=x x f 的图象向右平移一个单位，所得图象与函数)(x g 的图象关于直线xy =对称；已知偶函数)(x h 满足)1()1(--=-x h x h ，当]1,0[∈x 时，1)()(-=x g x h ；若函数)()(x h x f k y -⋅=有五个零点，则k 的取值范围是（A ）)1,2(log 3 （B ）)1,2[log 3（C ）)21,2(log 6 （D ） ]21,2(log 6 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题 第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题 第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上．（13）曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程为 ．（14）题库中有10道题，考生从中随机选取3道，至少做对2道算通过考试。

某考生会做其中8道，有2道不会做，则此考生能通过考试的概率为 ．（15）已知等差数列}{n a 中，1642=+a a ，111421+++a a a 、、成等比数列，把各项如下图4排列：a 1图3图5EDBCAa 2 a 3 a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16a 17 a 18 a 19 a 20 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25图4则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为__________．（16）平面四边形ABCD 中，60A ∠= ，AD DC ⊥，AB =， 2BD =，则BC 的最小长度为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项的和为n S ，满足12=a ，1361-=+n n a S . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n a b 2=，数列}{n b 的前n 项和与积分别为n R 与n T ，求n R 与n T .（18）（本小题满分12分）如图5，在四面体ABCD 中，︒=∠=∠90ADC ABC ，CD BD BC 22==． （Ⅰ）求证：BD AD ⊥；（Ⅱ）若AB 与平面BCD 所成的角为︒60，点E 是AC 的 中点，求二面角E BD C --的大小．（19）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工．其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n ）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的n 值为依据作出选择，丙以n 的平均值为依据作出选择．（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率． （20）（本小题满分12分）已知椭圆1:22221=+by a x C )0(>>b a 的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2C 经过椭圆1C 的两个焦点和两个顶点，点P 在椭圆1C 上，且22||1+=PF ，22||2-=PF . （I ）求椭圆1C 的方程和点P 的坐标；（II ）过点P 的直线l 1与圆2C 相交于A 、B 两点，过点P 与l 1垂直的直线l 2与椭圆1C 相交于另一点C ，求△ABC 的面积的取值范围. （21）（本小题满分12分） 已知函数m x ax x ex f mx -+++-=+)2()2ln()(，（I ）若0>a ，且)1(-f 是函数的一个极值，求函数)(x f 的最小值； （II ）若0=a ，求证：]0,1[-∈∀x ，0)(≥x f ．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12，现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）设,M N 是圆C 上两个动点，满足23MON π∠=，求OM ON +的最小值． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1||1|)(++++=m x x x f ，R m ∈，（I ）若不等式|2|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的取值范围； （II ）求不等式m x f 2)(<-的解集．揭阳市2018年高中毕业班高考第二次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明解析：（11）方法1：由22x y =，得x y ='，设),(11y x A ，),(22y x B ，两切线的斜率满足：11x k =，22x k =，得121-=x x ，线段AB 的中点到抛物线准线的距离为22121212111(2)(2||2)12244y y x x x x ++=++≥+=。

方法2：同法1推出121-=x x ，设直线AB 为b kx y +=，联立y x 22=，得0222=--b kx x ，所以1221-=-=b x x ，21=b ，设AB 中点),(00y x C ，则k x x x =+=2210，212121200≥+=+=k kx y ，AB 中点到准线的距离为121||0≥+y ．方法3：同法2推出AB 为21+=kx y ，所以AB 过焦点)21,0(F ，可知AB 中点到准线的距离的最小值为焦点到准线的距离为1．（12）曲线)1(log )(2+=x x f 右移一个单位，得x x f y 2log )1(=-=，所以x x g 2)(=；)1()1()1(+=--=-x h x h x h ，周期为2，当]1,0[∈x 时，12)(-=x x h ；)()(x h x f k y -⋅=有五个零点，等价于方程)()(x h x f k =⋅两边的函数图象有五个公共点，由图象知1)3(<kf 且1)5(>kf ，得212log 6<<k ．（15）解：设公差为d ，t a =+11，则83=a ，2)()3(d t d t t +=+⋅，得821=+d a ，d t =，得d =3，21=a ，13-=n a n ．第10行第11个数的下标为：（1+3+5+…+17）+11＝92．所求值为27519232109=-⨯=+⨯a ． 【或归纳第n 行第n -1个数的下标，为(n -1)n ，得第n 行第n +1个数的下标为(n -1)n+2．】（16）在ABD ∆中，由正弦定理，sin sin AB BD ADB A =∠∠，解得3sin 4ADB ∠=，故3cos 4CDB ∠=，sin CDB ∠==sin BC BD CDB ≥⨯∠=BC CD ⊥时取等号． 三、解答题： （17）解：（Ⅰ）1361-=+n n a S ，1361-=∴-n n a S )2(≥n ，两式相减，得n n n a a a 3361-=+)2(≥n ，n n a a 31=∴+)2(≥n ，又12=a ，所以当2≥n 时，}{n a 是首项为1，公比为3的等比数列，-------------------3分22233--=⋅=n n n a a ，-----------------------------4分由13621-=a a 得311=a ，满足上式，所以通项公式为23-=n n a *)(N n ∈；--------------------------6分（Ⅱ）122293--===n n n n a b ，得11=b ，公比为9，--------------------------7分8199191-=--=n n n R ，--------------------------------9分1213219991-⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=n n n b b b b T)1(2)1(121399---+++===n n n n n ．-----------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）由已知得222CD BD BC =+，BC BD ⊥∴，----------------------------------1分 又BC AB ⊥，B AB BD = ，ABD BC 平面⊥∴，-----------------------------2分 AD BC ⊥∴，----------------------------------------3分 又AD CD ⊥，C CD BC = ，BCD AD 平面⊥∴，----------------------------------4分 BD AD ⊥∴.---------------------------------------------5分（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知，AB 与平面BCD 所成的角为ABD ∠，即︒=∠60ABD ，设BD ＝2，则BC ＝2，在ADB Rt ∆中，AB ＝4， 由（Ⅰ）中ABD BC 平面⊥，得平面ABC ⊥平面ABD ，在平面ABD 内，过点B 作AB Bz ⊥，则Bz ⊥平面ABC ，以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -，则)0,0,0(B ，)0,0,4(A ，)0,2,0(C ，)0,1,2(E ，由160cos ||=︒=BD x D ，360sin ||=︒=BD z D ，得)3,0,1(D ，-------------------------------7分 ∴)0,1,2(=BE ，)3,0,1(=BD ，设平面BDE 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0302z x m y x m ，取1=z ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=323y x ，∴)1,32,3(-=m是平面BDE 的一个法向量，---------------------------9分又)3,0,3(-=AD 是平面CBD 的一个法向量．----------------------------10分 设二面角E BD A --的大小为θ，易知θ为锐角，则2132434|||||,cos |cos =⨯==><=AD m AD mθ，∴60θ= ，即二面角C BD E --的大小为60 ．-------------------------12分【解法2：由（Ⅰ）知，AB 与平面BCD 所成的角为ABD ∠，即60ABD ∠=，-----6分分别取CD 、BD 的中点F 、G ，连EG 、FG ，在Rt ABC ∆和Rt ADC ∆中，E 为斜边AC 中点，故12BE DE AC ==，∴EG BD ⊥；--------------------------------------------------------------------------------7分 又∵BC ⊥平面ABD ，∴BC BD ⊥，又∵//BC FG ∴FG BD ⊥；-------------------------------------------------8分 ∴EGF ∠为二面角C BD E --的平面角，--------------------------------------------9分 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，又//AD EF ，故EF ⊥平面BCD ，从而EF FG ⊥，------------------------------------------------10分∴12tan 12ADEF EGF FG BC BC ∠====60EGF ∴∠=，即二面角C BD E --的大小为60 ．--------------------------12分】 （19）解：（Ⅰ）按计酬方式一、二的收入分别记为)(n f 、)(n g ，(10)250(3010)5000f =⨯-=，52002020010120)10(=⨯+⨯=g ，所以甲选择计酬方式二；------------------------------2分 由频数分布表知频率最大的n=8， 5500)830(250)8(=-⨯=f ，5360222008120)8(=⨯+⨯=g ，所以乙选择计酬方式一；--------------------------------4分 n 的平均值为10)1132122101938(91=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯， 所以丙选择计酬方式二；-----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）甲统计了1个月的情况，乙和丙统计了9个月的情况，但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据，---------------------------------------7分 所以丙的统计范围最大，--------------------------------------------------------8分 三人中丙的依据更有指导意义；---------------------------------------------------9分（Ⅲ）任选一年，此月下雨不超过11天的频率为3296=，以此作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率为94)321()32(223=-⨯C .-------------------------12分（20）解：（I ）设)0,(1c F -，)0,(2c F ，可知圆2C 经过椭圆焦点和上下顶点，得c b =， 由题意知4||||221=+=PF PF a ，得2=a ，--------------------------1分由222a c b =+，得2==c b ，-----------------------------------------2分所以椭圆1C 的方程为12422=+y x ，---------------------------------------3分 点P 的坐标为)0,2(.----------------------------------------4分 （II ）由过点P 的直线l 2与椭圆1C 相交于两点，知直线l 2的斜率存在，设l 2的方程为)2(-=x k y ，由题意可知0≠k ，联立椭圆方程，得0488)12(2222=-+-+k x k x k ，--------------------5分设),(22y x C ，则12482222+-=⋅k k x ，得1224222+-=k k x ， 所以1214|2|1||2222++=-+=k k x k PC ；-----------------------------------7分由直线l 1与l 2垂直，可设l 1的方程为)2(1--=x ky ，即02=-+ky x圆心)0,0(到l 1的距离212kd +=，又圆的半径2=r ，所以1)1(2142)2||(222222+-=+-=-=k k k d r AB ， 1122||22+-⋅=k k AB ，-------------------------------------------------------------9分 由r d <即2122<+k ，得12>k ， 112||||2122+-⋅==∆k k PC AB S ABC1212412142222+-⋅=++⋅k k k k ，--------10分设12-=k t ，则0>t，232332ABC S t t t∆==≤=++，当且仅当t =k =时，取“＝”， 所以△ABC的面积的取值范围是(0,3．-----------------------------------------------12分（21）解：（I ）m ax ax x e x f m x -+++-=+2)2ln()(2，定义域为),2(∞+-，a ax x e x f m x 2221)('+++-=+．由题意知0)1('=-f ，即011=--m e ，解得1=m ，-------------------------2分所以1)2()2ln()(1-+++-=+x ax x e x f x ，a ax x e x f x 2221)('1+++-=+， 又1+=x e y 、21+-=x y 、a ax y 22+=（0>a ）在),2(∞+-上单调递增，可知)('x f 在),2(∞+-上单调递增，又0)1('=-f ，所以当)1,2(--∈x 时，0)('<x f ；当),1(∞+-∈x 时，0)('>x f ． 得)(x f 在)1,2(--上单调递减，)(x f 在),1(∞+-上单调递增，所以函数)(x f 的最小值为a a f -=--=-11)1(．--------------------------------4分（II ）若0=a ，得m x e x f mx -+-=+)2ln()(，21)('+-=+x e x f m x 由)('x f 在]0,1[-上单调递增，可知)(x f 在]0,1[-上的单调性有如下三种情形： ①当)(x f 在]0,1[-上单调递增时，可知0)('≥x f ，即0)1('≥-f ，即011≥--m e，解得1≥m ， m e f m -=--1)1(，令m e m g m -=-1)(，则01)('1≥-=-m e m g ，所以)(m g 单调递增，0)1()(=≥g m g ，所以0)()1()(≥=-≥m g f x f ；-----------7分 ②当)(x f 在]0,1[-上单调递减时，可知0)('≤x f ，即0)0('≤f ，即021≤-me ，解得2ln -≤m ，得02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=mm m e e m e f ，所以0)0()(>≥f x f ；------9分[或：令2ln )(--=m e m h m，则0211)('<-≤-=m e m h ，所以)(m h 单调递减，021)2ln ()(>=-≥h m h ，所以0)()0()(>=≥m h f x f ；]③当)(x f 在]0,1[-上先减后增时，得)('x f 在]0,1[-上先负后正，所以)0,1(0-∈∃x ，0)('0=x f ，即2100+=+x e mx ，取对数得)2ln(00+-=+x m x ，可知)()(0min x f x f =m x emx -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x ， 所以0)(>x f ；综上①②③得：]0,1[-∈∀x ，0)(≥x f ．------------------------------------------------------12分【或：若0=a ，得m x e x f mx -+-=+)2ln()(，21)('+-=+x e x f m x 由)('x f 在]0,1[-上单调递增，分如下三种情形： ①当0)('≥x f 恒成立时，只需0)1('≥-f ，即011≥--m e，解得1≥m ，可知)(x f 在]0,1[-上单调递增，m e f m -=--1)1(，令m e m g m -=-1)(， 则01)('1≥-=-m e m g ，所以)(m g 单调递增，0)1()(=≥g m g ， 所以0)()1()(≥=-≥m g f x f ；②当0)('≤x f 恒成立时，只需0)0('≤f ，即021≤-me ，解得2ln -≤m ， 可知)(xf 在]0,1[-上单调递减时，02ln 2ln 2ln )0(>=+-≥--=m m m e e m e f ， 所以0)0()(>≥f x f ；③当)('x f 在]0,1[-上先负后正时，)(x f 在]0,1[-上先减后增，所以)0,1(0-∈∃x ，0)('0=x f ，即2100+=+x e mx ，取对数得)2ln(00+-=+x m x ，可知)()(0min x f x f =m x emx -+-=+)2ln(0002)1(2102000>++=++=x x x x ， 所以0)(>x f ；综上①②③得：]0,1[-∈∀x ，0)(≥x f . 】选做题：（22）解：（I ）圆C 的直角坐标方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，----------------------2分化为极坐标方程为cos ρθ=；---------------------------------------------------4分（II ）设()122,,,3M N πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，----------------------------------------------------5分122sin sin 3OM ON πρρθθ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭1sin sin 223πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，--------------------8分 由0203θππθπ≤≤⎧⎪⎨≤+≤⎪⎩，得03πθ≤≤，2333πππθ≤+≤，sin 13πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即OM ON +--------------------------10分 (23)解：（I ）|||)1(1||1||1|)(m m x x m x x x f =++-+≥++++=，---------------------2分由题意知|2|||-≥m m ，得22)2(-≥m m ，解得1≥m ；------------------------------4分 （II ）不等式为m x m x 2|1||1|<-++-，即m m x x 2|)1(||1|<+-+-若0≤m ，显然不等式无解； 若0>m ，则11>+m ．①当1≤x 时，不等式为m x m x 211<-++-，解得21mx ->，所以121≤<-x m；------------------------------------------------------------------------6分 ②当11+<<m x 时，不等式为m x m x 211<-++-，恒成立，所以11+<<m x ；-------------------------------------------------------------------------8分③当1+≥m x 时，不等式为m m x x 2)1(1<+-+-，解得123+<mx ， 所以1231+<≤+mx m ；综上所述，当0≤m 时，不等式的解集为空集， 当0>m 时，解集为}12321|{+<<-m x m x ．-------------------------------------------10分。