虚二次环的商环的立方映射图的半正则性
半素PI-环的正则元
和 右零化 子． 特别地 ， ｌ（ ） ， 若 日 一０ 则称 ｎ是 Ｒ 的左 正则元 ；Ｒ以 一Ｏ 则 称 ａ是 Ｒ 的右 则元 ； ａ既是 Ｒ ｒ （） ， 若
的左 正则元 ， 是 尺 的右 正则元 ， 称 ａ是 Ｒ 的正则 元 ． 又 则
对 半 素环 Ｒ， ｊ Ｒ， Ｊ＝ （） Ｊ （ ）一０ 若 ｒ 令 ： Ｊ △ ＝ —Ｏ Ｕ 。
文 章 编 号 ：０ ０ ３ ５ ２ １ ）４— ３ １ ３ １０ —２ ７ （０ ０ ０ ０ ５ —０
半 素 Ｐ 一 的正 则 元 Ｉ环
游松发
（ 湖北 大学 数学与计算机科学学 院， 湖北 武汉 ４ ０ ６ ） ３ ０ ２
摘要 ： 考察半素 Ｐ＿ 的左 、 ｌ Ｕ ， 到如下 ３ 方面的结果 ：１ 半素 Ｐ － Ｉ 环 右ｉ ￣ 元 得 ？ 个 （） ｌ 环的左正则元一定是右 正则 的 ；２ 半素 Ｐｒ Ｒ的ｉ Ｎ元 ｎ所生成 的左理想 Ｒａ在 Ｒ 中是本 质的 ， Ｒ （） ＿ 环 Ｅ 且 ａ与Ｒ 满足相 同的多项 式恒等式 ； （） ３ 半素 Ｐ － 的正则元在其有 １的商环 中是可逆的． Ｉ 环 关键词 ： 半素 Ｐ － ； Ｉ 正则元 ； 环 奇异理想 ； 本质理想 ； ｕ ｎ － Ｎｅｍａ ｎ正则
Ｙ １ ） ｎ ａ Ｒ≠Ｏ 即 Ｒａ包 含 Ｒ 的一 个非 零理 想 Ｒｆｌｎａ … ，ｎ１ ） － ， （ ， ｔ～ ａ Ｒ． －
收 稿 日期 ：２ ｌ —０ ０ Ｏ ０ ３— ９ 作 者 简 介 ： 松 发 （９ ６一 ， ， 士 ， 教授 游 １６ ） 男 硕 副
３２ ５
湖北大学学报（ ） 口 一０所 以 厂 （ｌ ， ，ｎ １ ）ｎ １ｒａ … ｔ一 ａ ｒ ∈Ｒａ ， ＾ （ ， ， １强） Ｒ 从 而 － 故 ｎ。 … ｒ ａ Ｒ 一 以，
模n高斯整数环的商环的立方映射图
到 口有 一 条 有 向边 。本 文 对 映 射 图 留 （ ｙ ） 的 结 构 进 行 了研 究 ， 包括 留 （ ｙ ） 中不 动 点 的个 数 ， 顶点 ０ 、 １的 入 度 ，
（ ｙ ） 的半 正 则 性 ， 以及 任 一个 零 因 子 顶 点 在 映 射 图 中 的高 度 等 。
一
个 图称 为正 则 的 当且 仅 当存 在 正整 数 ｄ， 使 得 图 中所有 顶 点 的Байду номын сангаас人度 等 于 ｄ。一 个 图 称 为半 正则 的
当且仅 当存 在正整 数 ｄ， 使 得 图 中所 有顶 点 的人度 等于 ｄ或 者 ０ 。在 映射 图 中 ， 如果 ｈ是最小 的非负 整数
使 得 位 于 圈上 ， 则称顶 点 的高度 ｈ 口为 ｈ。如果 是 圈上 的点 ， 则ｈ 口 一０ 。
高斯整 数环 ｚ ｒ － ｉ － １ 是 很典 型且 构造 特殊 的一类 环 ， 在 环论 中 占很 重 要 的地 位 ， 由于 Ｚ［ ｉ ］ 既 融入 环 论 的 思想 ， 同时 又有数 论 的思想 贯穿 其 中 ， 国内外学 者 们从 多个 方 面对 Ｚｉ － ｉ － １ 进 行 了研究 。例 如 ： 文献 ［ １ ］ 确 定 了商 环 Ｚ［ ｉ － ］ ／ （ ｙ ＞ 中的等价 类 ， 并 对该 商环 进行 了同构分 类 ； 文献 ［ ２ — ３ ］ 研究 了 ＺＥ ｉ ］ 的一些 商环 的立 方映 射 图 的结 构 ； 对于 ｚＢ］ 的商 环 的单位 群 的研 究 ， 则在 文献 ［ ４ — ５ ］ 中获得 了完 全 的结 果 ； 文献 ［ ６ — ７ ］ 则从 零 因子
关键词 ： 高斯 整 数 环 ； 立方映射图 ； 人度 ； 圈； 半 正 则性
中图 分 类 号 ： Ｏ１ ５ ３ ． ３ ， Ｏ１ ５ ７ ． ５ 文献标志码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ０ ０ １ — ６ ６ ０ ０ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ３ — ０ ０ ５ ３ — ０ ９
近世代数-环与域题解讲解
近世代数第四章-环与域题解讲解第四章环与域§ 1环的定义一、主要内容1.环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环.2.环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：a tiG S ——>■戊 f 占€ S *3 循环坏的定义和性质.■■；加群是循环群的环称为循环环•其性債在本节内的主要有s1）循环环必为交怏环；，2）循坏环的子环也是循坏环；3〉循环环的子加群必为子环；. '4）pq是互异素数）阶环必为循环环*二、释疑解难1 •设R是一个关于代数运算十，•作成的环•应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的.所以有时把这个环记为（R,十，•）（或者就直接说“ R 对十，•作成一个环”）•但不能记为R,-,十）•因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同•我们知道，环的代数运算符号只是一种记号.如果集合只有二代数运算记为:,®，又R对：作成一个交换群，对®满足结合律且①对: 满足左、右分配律，即by） =（◎㊉仍叮门㊉门* （⑴力㊉匸=@0小{底^芒扎则就左能说尿对叫，㊉静作成一个氐或记为侦宀㊉X 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序.2 •设R对二代数运算十，•作成一个环•那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R 对“ • ”作成一个半群，这个乍群记为（R，- ）•再用左、右分配律把二者联系起来就得环（R，十.•）.现在啊，引：K中的这个半辟（氏，* ［是占lit有可能作血一小將呢？回甞是百定的"降非I ^1 = H禺若tJ^A—刖空#?中任蕊元隶日兴O懸右< .D -0=^=0,这说.明Q 不是^尺* • 7杓单悅元.W.B. <1在C R,・）中坦逑有逆元* 因此- ）Hftfe作血半PT而不能作庇曲.遊--比"如覲去艸Oi^PA R的全睹耶呼元索对乘怯是否作成群呃？这是可能的.例如任何敢據就舅于这轴繪磁.芳播，R旳全休卄*元血荷不fife作就靜的*如傾數环和整觀歼★等等-& 由于在环K中倉；a *0 = （）P =<D »寂-- '芒显7?的左电右rXX边）单位兀=!=>芒启半那〔杞* •［的屋g r双边〉单便元.儿丹阶诟环环的稠竽元和其有単悅元酌承件-设R^<a>—{ 0 > cz » Su . < n—1〉£1、戈一个n阶餡环环，且/ —臭业収T 三例阐弱艮有学位元的鋼件和I其稱警兀的情况-以下三例均假W 尺=<« ）. H阶馅环环，B- a2—山2. WWE.0>1 1 R 有单位元 Mn 保1.证发、则有整救材心茨 矗 lt+ HU = 1 - 于屋对R 中仟意元巌如冇（伍心）（珂“ ）—（sztjfc »U = 5< 1 ——NTT JtL — Sti ・ 由于斥足可换环，故叫是尺的单■也元* 反之+设尺有樂位尤-=炖’则w = a 、 «(r<? * =s C/>r>Hti — U (tk — 1 ><!/ = 0 T 于是算I M —丄”设th 一 1 =呵丫则tk + «<—7 >—1 > 放"山)・1“ 例2 田是R 的科等元=> k 泌产一札 证 设S 显环尺的科尊元，耻 {£«>' = t 2Au = co > CA ；F — f)a=0,01由于a^R 灼加醉的H 砂応索.枚比I 和一" 反之■设^\kt^ — “则因科皿一0.故(点卢一i 、0=a 冃.ta — jfer 14 — e £*ku —^^ = <iu)\却皿是*的幕等元. 例3 环R 有2冲一"屛个幕零元・Jl 中少【小为扣的不同*因 数的个栽•声 n 为压与打 的盘大公闵ffcdm 》的不同素因数的 个數. 证 设”=时拧…金冇 是啊旋标准分解式・由上例知・R 中壽 等充的个数就足冋余式 kI 1 — J — 0 (nv^l rr) ( 1 ) 的解的个數・疝这牛同余式的济的个数等于m个同余式■ b 匕工* — j=0 < mod <i^1 ,2 »**- t JM) < 2)的解的个敷的来税.但易知，对一令固定2,当帆I 矗时ft(2)R 冇册小半a 杠fll-[bT(X 故脅證致 获仪|总剔=1..于是 p.^Vt 戸？丨此匸一】* 悄\讥屋巳一、、一2 —工 战卞是方磊住> 的一个非零粧*又0晁然为其一解哀而冃方程(仍没冇别昶擀.即此时方程O 只有阿亍解.干堆同余式门)有2旳l申w个解,即R有旷梢计名柿牛慕奪元.三、习题4. 1解答1・1H 虽據覇知乘怯。
拟ZI-环的强正则性
ａ １一ｂ （ ）∈ Ｒａ １一 ｂ （ （ （ ）ｎ ｌ ａ １一 ｂ ） ）．
由 Ｒ 是 左弱正 则环 且 （ （ ａ １一ｂ ） ） ＝ ０知
Ｒ （ ａ １一ｂ ）
且
（ １一ｂ ） ａ（ ），
Ｒ （ ａ １一ｂ ）＝ Ｒ （ ａ １一 ｂ Ｒ １一ｂ ｌ ａ（ ） ａ（ ） （ １一ｂ ） （ ）Ｒａ １一ｂ ． ）
且使得 每个 单左 Ｒ． 模是 Ｐ －内射 的或 者平坦 的 ． 广 了文献 ［ ］ 推 ５ 的主要 结果 ， 同时也 改进 或推 广 了
有 关正则环 的某 些结果 ． 关键词 ： 正则环 ； Ｚ －环 ； 强 拟 Ｉ 正则环 ： Ｆ Ｓ －环
中图分 类号 ： ５ ． Ｏ１ ３ ３
文献 标识码 ： Ａ
由命 题 ５ ， 知 Ｒ为约 化 的 ， （ ）＝ ｒ ａ）从 而 Ｒ Ｒ ＋ｚ ａ ≤ ． Ｒ Ｒ ＋Ｚ ａ ≠ Ｒ， ｌａ （ ， ａ （） 若 ａ （） 则存 在极 大左理 想 Ｍ ，
使 得
Ｒ Ｒ 十 ｌａ ａ （） Ｍ ≤ ， ｒ＋ Ｍ ．
从而 Ｒ／ 是 Ｐ Ｍ －内射 的 ． 由于 ｌ ｎ） Ｍ ， 在左 尺一 同态 （ 存 模
收 稿 日期 ：０ ０ ５ ４ ２ １ 一Ｏ —１
基金项 目： 国家 自然科学基 金资助项 目（０ ７ ０ ９ ． １ ９ １９ ）
作 者 简 介 ： 小 龙 （９７一）男 ， 士研 究 生 ， 究 方 向 ： 论 李 １８ ， 硕 研 环
３ 卷第 ｌ ４ 期
李小龙 ， 吴 俊 ： 拟 一 环的强正则性
又因为 ｌ ａ（ （ １一ｂ ） ａ １一 ｂ Ｒ （ ）Ｒ （ ） ａ １一 ｂ （ （ ）ｎ ｚ ｎ １一 ｂ ） ）， 故有
2014高考浙江理科状元沈剑豪化学选修课知识点
化学选修课局部知识点整理一、薛定谔方程求解- -四个量子数1.主量子数(n ) - -电子层2.角量子数(l ) - -电子亚层3.磁量子数(m ) - -轨道数4.自旋量子数(m s ) - -电子自旋方向1.主量子数(n )电子层数表示原子中出现几率最||大区域离核远近,它决定电子层数E n2*Z2 (eV ){Z表示原子序数}注：核外电子的能量还与亚层数有关2.角量子数(l )亚层数同一电子层,l值越小,该电子亚层能级||越低,能量越低3.磁量子数(m )轨道数表示原子轨道或电子云在空间的伸展方向m：-l……+l的整数共(2l +1 )个n层轨道总数为n2同一亚层的各原子轨道,在没有外加磁场下,能量石相等的,称为等价轨道(简并轨道) 4.自旋量子数(m s )描述电子在轨道中的自旋状态m s= +1/2 (顺) -1/2 (逆)基态：电子处于能量最||低状态激发态：电子不处于能量最||低状态二、核外电子排布1.泡利不相容原理在同一原子中,没有运动状态完全相同的电子2.能量最||低原理3.洪特规那么(1 )同一亚层中的各个轨道上,电子的排布尽可能分占不同的轨道,并且自旋方向相同(2 )在等价轨道上的电子排布在全充满、半充满、全空状态时具有较低能量和较大稳定性电子排布式N 1S22S22P37K 1S22S22P63S23P64S1 [Ar]4S119屏蔽效应在多电子原子中,每个电子不仅受到原子核对它的吸引力,而且还要受到其它电子的斥力,其它电子对某一电子的排斥作用抵消了一局部核电荷,从而使有效核电荷降低,削弱了核电荷对该电子的吸引能量顺序ns<np<nd<nf 同一层上不同亚层会发生能级||分裂钻穿效应外层电子钻到内层空间而靠近原子核的现象,称为钻穿作用由于电子的钻穿作用不同而使它的能量发生变化的现象,称为钻穿效应(4s<3d )电子构造原理(电子排布原理)7s 7p 7d 7f 7g 7h 7i6s 6p 6d 6f 6g 6h5s 5p 5d 5f 5g4s 4p 4d 4f3s 3p 3d2s 2p1sFe:1s22s22p63s23p64s23d6 1s22s22p63s23p63d64s2(2 -8 -14 -2)26由ns开始到ns结束,称为建立一个周期1.周期系中约有20种元素的基态电中性原子的电子组态(又叫构型或排布)不符合构造原理,如24Cr ,29Cu ,42Mo ,47Ag ,79Cu (洪特规那么可解释)2.但第五周期Ru ,Rh ,Pd ,Pt ,La ,Ce ,Gd ,Ac ,Th ,Pa,U,Np,Cm 不符合构造原理,也不能用洪特规那么解释3.钨(W )符合构造原理,不需洪特规那么第五周期4d能级||与5s能级||的轨道能差异较小,导致5s1构型比5S2构型能量低第六周期"6s2惰性电子效应〞：6s能级||能量低,稳定性增大这是由于6s电子相对于5d 电子有更强的钻穿效应,受到核的有效吸引力更大,使核外电子向原子核紧缩,整个原子能量下降.影响：原子半径、过渡元素的低价稳定性、汞在常温下呈液态(分子间作用力结合) 电离能(I )气态电中性的基态原子失去一个电子转化为气态基态正离子所需要的能量叫做第|一电离能同一族比较,从上到下,I减小,同一周期从左到右,I增大但是第二主族>第三主族,第五主族>第六主族1°前者因为第二主族失s上电子,第三主族失p上电子2°后者第五主族半充满,较稳定电子亲和能(势)气态电中性的基态原子得到一个电子转化为气态基态负离子放出能量叫做第|一亲和能O、F竟出乎意料地小：半径过小,电子云密度过高电负性1932泡林提出化合物中的原子对电子吸引能力的相对大小以下为赠送资源,您可以删除后打印28、不管发生什么事,都请安静且愉快地接受人生,勇敢地、大胆地,而且永远地微笑着 . - -卢森堡29、一个有信念者所开发出的力量,大于99个只有兴趣者 .30、知识给人重量,成就给人荣耀,大多数人只是看到了荣耀,而不去称量重量 .31、出门走好路,出口说好话,出手做好事 .32、未曾失败的人恐怕也未曾成功过 .33、忘掉失败,不过要牢记失败中的教训 .34、伟人所到达并保持着的高处,并不是一飞就到的,而是他们在同伴们都睡着的时候,一步步艰辛地向上攀爬的 .35、如果你希望成功,以恒心为良友,以经验为参谋,以小心为兄弟,以希望为哨兵 .36、人生伟业的建立,不在能知,乃在能行 .37、很多人不敢去追求成功,不是追求不到成功,而是因为他们的心里面也默认了一个"高度〞,这个高度常常暗示自己的潜意识：成功是不可能的,这是没有方法做到的 . "心理高度〞是人无法取得成就的根本原因之一 .38、信仰是伟大的情感,一种创造力量 . - -高尔基39、两粒种子,一片森林 .40、黄金诚然是珍贵的,但是生气蓬勃、勇敢的爱国者却比黄金更为珍贵 . - -林肯41、假设不给自己设限,那么人生中就没有限制你发挥的藩篱 .42、我们不得不饮食、睡眠、游玩、恋爱,也就是说,我们不得不接触生活中最||甜蜜的事情,不过我们必须不屈服于这些事物 . - -居里夫人43、世|界会向那些有目标和远见的人让路 .44、挫折其实就是迈向成功所应缴的学费 .45、智慧、勤劳和天才,高于显贵和富有 . - -贝多芬46、喷泉的高度不会超过它的源头；一个人的事业也是这样,他的成就绝||不会超过自己的信念 . - -林肯47、任何的限制,都是从自己的内心开始的 .48、人之所以能,是相信能 .49、以诚感人者,人亦诚而应 .50、与其临渊羡鱼,不如退而结网 .51、蚁穴虽小,溃之千里 .52、价值产生信心,信心产生热忱,而热忱那么征服世|界 . - -华特·H·柯亭姆53、许多时候,我们不是跌倒在自己的缺陷上,而是跌倒在自己的优势上,因为缺陷常常给我们以提醒,而。
第11章 环的定义及性质
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近世代数
实例
例2 在环中计算(a+b)3, (ab)2 . 解: (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b)
= (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 (ab)2 = (ab)(ab) = a2baab+b2
对于任意的 [i], [j]∈Zp, [i] ≠ [0]有 [i] [j] = [0] p 整除 ij p| j [j] =[0]
所以 Zp 中无零因子.
注意：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
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近世代数
域中除法及其性质
在域F中可以引入除法，如果a,b ∈F， a ≠ 0， 则b被a除记为b/a，且b/a=a-1b.
(3) 设nZ, n2, 则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵 加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和
无零因子环，也不是整环.
(4) (Z6,,)构成环，它是交换环, 含幺环, 但不是无 零因子环和整环. [2][3]=[3][2]=[0]，[2]和[3]是零
因子.
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近世代数
有以下性质：
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近世代数
练习1
1. 在整数环中定义∗和◇两个运算, a,b∈Z 有 a∗b = a+b1, a◇b = a+bab.
证明(Z, ∗,◇)构成环.
证 a,b∈Z有a∗b, a◇b∈Z, 两个运算封闭. 任取a,b,c∈Z (a∗b)∗c = (a+b1)∗c = (a+b1)+c1 = a+b+c2 a∗(b∗c) = a∗(b+c1) = a+(b+c1)1 = a+b+c2 (a◇b)◇c = (a+bab)◇c = a+b+c (ab+ac+bc)+abc a◇(b◇c) = a◇(b+cbc) = a+b+c (ab+ac+bc)+abc
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数．有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子．二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛1就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(Qyxyx∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性
拓扑空间之间的映射对主要拓扑性质的保持性摘 要拓扑学是近代发展起来的一个数学分支，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
近年来，拓扑学思想愈来愈渗入到物理学、化学和生物学领域中，愈来愈显示出它的重要地位。
在一般拓扑学中，拓扑空间的连通性、可数性、分离性、可度量化、紧性等是整个学科的主要内容，拓扑空间在一些重要映射作用之后是否保持原有性质在拓扑学研究中具有很重要的理论意义和价值。
本论文从最基本的拓扑性质出发，讨论各种映射（连续映射，开映射，闭映射，商映射，同胚映射或几种映射复合）对主要拓扑性质是否保持，保持的给出了证明，不保持的给出了反例。
首先，论文中所涉及的拓扑性质都是拓扑不变性质；其次，在连续映射下保持的性质有连通性、道路连通性、可分、Lindeloff 、紧致、可数紧致、序列紧致，从而它们也都是可商性质，不保持的性质有局部连通性、第一可数性、第二可数性、分离性、可度量化、仿紧致；然后，除了前面所说的可商性质外，还有局部连通性是可商性质，而第一可数性、第二可数性、有关分离性、可度量化、仿紧致都不是可商性质；最后，在开映射和闭映射下，这些拓扑性质都未必能保持，而对于那些在连续映射下也不保持的性质，通过进一步加强映射，发现在连续开映射下保持的有局部连通性、正规和正则，在连续闭映射下保持的有局部连通性、1T 、 3.5T 、4T 和正规。
关键词 连通性 可数性 分离性 紧性 映射To Preserve the Topological Properties by Mappings betweenTwo Topographical SpacesABSTRACTTopology, as a branch of mathematics, was introduced by mathematicians in the middle of the nineteenth century and developed in recent years. Its main purpose is to study some geometric problems originated from mathematical analysis. Invariants and invariant properties of a topological space under topological transformations are the main objects of study. In recent years, Topology becomes more and more important, as its ideas gradually infiltrated into the field of physics, chemistry and biology. In General Topology, connectivity, countability, Axioms of separation, metrizability, and compactness of a topological space are the main contents of the subject. Whether some important topological properties are preservedunder some main mappings has theoretical significance and value in the study of Topology. In this paper, based on the basic topological properties, we discuss whether the main topological properties are preserved under various mappings, such as continuous mapping, open mapping, closed mapping, quotient mappings, and homeomorphism mapping. We give the proofs for the affirmative ones and give counterexamples for the negative ones. First of all, all the topological properties involved in this article are topological invariant properties. Secondly, properties preserved under the continuous mappings are connectivity, path-connectivity, separability, Lindeloff, compactness, countable compact, and sequentially compact. Thus they are preserved under quotient mappings. Properties not preserved under the continuous mappings are the local connectivity, the first countability, the second countability, Axioms of separation, metrizability, and paracompactness. Then, besides the properties previously mentioned, the local connectivity is also preserved under quotient mappings. While the first countability, the second countability, Axioms of separation, measurability, and paracompactness are not preserved under quotient mappings. Finally, under open mappings and closed mapping, these topological properties may not be able to keep. For the properties which are neither preserved under open mappings and closed mapping nor preserved under continuous mappings, we can further consider whether they are preserved under the strengthened mappings. We find that under continuous open mappings, local connectivity, regularity and normality are preserved; under continuous closed mapping ,the local connectivity, 1T , 3.5T , 4T and regularity are preserved.KEY WORDS connectednesscountability Axioms of separationcompactness mapping目 录第一章 拓扑基本概念 (1)1.1 拓扑，邻域，开集，闭集，点列的极限，基，邻域基 (1)1.2 连续映射，同胚映射，开映射，闭映射 (2)1.3 商拓扑，商映射 (3)第二章 连通性 (4)2.1 有关连通性 (4)2.2 局部连通空间 (5)2.3 道路连通空间 (7)第三章 可数性 (9)3.1 第一与第二可数性 (9)3.2 可分空间 (10)3.3 Lindeloff 空间 (11)第四章 分离性 (13)4.1 01,,ausdorff T T H 空间 (13)4.2 正则，正规，3T ，4T 空间 (14)4.3 完全正则空间，Tychonoff 空间 (16)4.4 分离性与商空间 (17)4.5 拓扑空间的可度量化 (19)第五章 紧致性 (22)5.1 紧致空间 (22)5.2 可数紧致和序列紧致 (23)5.3 仿紧致空间 ............................................................................................................................ 24 参考文献 ....................................................................................................................................................26 致 谢 . (27)第一章 拓扑基本概念这一章主要介绍一些基本概念，由于我们对朴素集合论中关于集合的概念及运算关系等都比较熟悉，这里便不再赘述。
基于像素交叉循环移位与混沌映射的图像加密
11228987_伪凸函数的判断准则
收稿日期:2012-04-18;修订日期:2012-05-15作者简介:赵丽丽(1987-),女,陕西宝鸡人,在读硕士研究生,主要研究方向:最优化理论与应用。
基金项目:陕西省教育厅专项科研基金资助课题(06JK152)。
第30卷 第3期2012年6月江 西 科 学JIANGXI SCIENCEVol.30No.3Jun.2012 文章编号:1001-3679(2012)03-0280-03伪凸函数的判断准则赵丽丽,张庆祥,赵 阳(延安大学,陕西 延安716000)摘要:首先,给出了伪凸函数的充要条件的证明,然后利用其定理的证明思想,在E⁃凸集、伪⁃E⁃凸函数概念的基础上,得出了伪⁃E⁃凸函数的2个必要条件,并给出其反例验证充分条件不成立。
关键词:E⁃凸集;E⁃凸函数;伪凸函数;伪⁃E⁃凸函数。
中图分类号:O174.13 文献标识码:ANew Criteria for Pseudo Convex FunctionZHAO Li⁃li,ZHANG Qing⁃xiang,ZHAO Yang(College of Mathematics and Computer Science,Yanan University,Shanxi Yanan 716000PRC)Abstract :Firstly,the proof of a necessary and sufficient condition of the pseudo⁃convex function is given,then by using the proof ideas of the theorem,two necessary condition for pseudo⁃E⁃convex functions is obtained on the basis of the concept of E⁃convex sets and concept of pseudo⁃E⁃convex functions,contrary examples to prove sufficient condition does not hold is given.Key words :E⁃convex set,E⁃convex function,Pseudo⁃convex function,Pseudo⁃E⁃convex function 凸集和凸函数在数学中有广泛应用,但实际问题中大量的集合和函数是非凸的,为了更好的发展和应用数学中的最优化理论,因此有必要对凸集和凸函数进行推广,1999年,Youness [1]引入了一类重要的广义凸集和广义凸函数的概念,称之为E⁃凸集和E⁃凸函数。
数字信号处理简答题
1. 举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z变换的收敛域。
答：因果序列定义为x (n)= 0 , n<0，例如x (n)= a n u(n)，其z变换收敛域：R x z 。
逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。
例如x (n )=a n u n 1 ,其z变换收敛域：0 z R x2. 用差分方程说明什么是IIR和FIR数字滤波器，它们各有什么特性？答：1 )冲激响应h (n)无限长的系统称为IIR数字滤波器，例如y(n)印y n 1 a2y n 2 b0x(n) b1x n 1。
IIR DF的主要特性：①冲激响应h (n)无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
(2 )冲激响应有限长的系统称为FIR DF。
例如y(n) x(n) Dx(n 1) b2x n 2。
其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。
3. 用数学式子说明有限长序列x (n )的z变换X (z)与其傅里叶变换X(e j )的关系，其DFT系数X (k)与X (z)的关系。
答：(1) x (n)的z变与傅里叶变换的关系为X z Z e j X e j(2)x (n )的DFT与其z变换的关系为X z ,^k X KZ W N K e j N4. 设x (n)为有限长实序列，其DFT系数X (k)的模X(k)和幅角arg[X (k)] 各有什么特点？答：有限长实序列x (n)的DFT之模x k和幅角arg X (k)具有如下的性质：(1) X(k)在0-2 之间具有偶对称性质，即X(k) X(N k)(2) arg x(k)具有奇对称性质，即arg X(k) arg X N k5. 欲使一个FIR数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应h(n)应具有什么特性？具有线性相位的FIR数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答：要使用FIR具有线性相位，其h (n)应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1) 或h(n)=-h(N-n-1)。
《拓朴学》题库及答案
《拓扑学》题库及答案一、单项选择1．关于笛卡儿积，下面等式成立的是（A ）)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- （B ）)()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ （C ）)()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y （D ）D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,2．设Y X f →:是映射，)(,,X B A P ∈，)(,Y D C P ∈，则下面结论不成立的是： （A ）)()()(111D f C f D C f ---=Y Y （B ）)()()(111D f C f D C f---=I I（C ）)()()(B f A f B A f Y Y = （D ）)()()(B f A f B A f I I =3．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }2{是：（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，也非闭集4．设R R →2:d 为映射，（R 表示实数集合），R ∈∀y x ,，下面关于d 的定义中是R 的度量的是：（A ）2(,)()d x y x y '=- （B ）22),(y x y x d -=（C ）||||),(y x y x d += （D ）⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 01),(5．设)T ,(X 是平庸拓扑空间，b a X b a ≠∈,,，则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是： （A ）∅ （B ）}{a （C ）},{b a （D ）X6．设}},{},{,,{},3,2,1{},,,{1b a a X Y c b a X ∅===T ，}}2{},3,2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}{b A =，}1{=B ，则在积空间Y X ⨯中B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b7．设},,,{d c b a X =，{,,{,,},{,,},{,}}x a b c b c d b c =∅T ，},,{d c a Y =，},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部等于：（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a8．拓扑空间的Lindel öff 性，可分性，紧致性，完全正则性中是有限可积性质的有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 9．下列拓扑空间的蕴涵关系中，成立的有完全正则空间⇒正则空间，完全正则空间⇒正规空间，连通空间⇒局部连通空间， 度量空间⇒可分空间，度量空间⇒Lindel öff 空间（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个10．拓扑空间的可分性，紧致性，Lindel öff 性，连通性中在连续射下保持不变的性质有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 11．设X X R ⨯⊆是一个等价关系，则R 不满足的条件是（A ）R X ⊆∆)( （B ）R ∩R -1=∅ （C ）R R R ⊆ο （D ）1-=R R12．设Y X f →:是映射，)(}|{X J A P ⊆∈αα，)(}|{Y r B r P ⊆Γ∈则下面等式中不成立的是 （A ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=Y Y （B ）)()(ααααA f A f JJ∈∈=II（C ）)()(11r r r r B f B f-Γ∈Γ∈-=Y Y （D ）)()(11r r r r B f B f -Γ∈Γ∈-I I13．在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中，子集+⨯Z }1{是：（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集14．设},,{c b a X =，}},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间)T ,(X 中常值序列Λ,,a a 的 收敛点集合是 （A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ） X15．设},,{c b a X =，}3,2,1{=Y ，}{},{},{,,{c b a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{Y ∅=2T ，}2,1{},,{==B b a A ，则在积空间Y X ⨯中，0)(B A ⨯等于：（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(a a （C ）}{)2,(),1,(b b （D ）}{)2,(),1,(),2,(),1,(b b a a16.设},,,{d c b a X =，}},{},,,{},,,{,,{d c d c a d c b X ∅=T ，}{},,,{c A d c a Y ==，则在子空间Y 中，A 的闭包等于（A ）}{c （B ）},{a c （C ）},{b c （D ）},,{c d a17．设)T ,(X 是拓扑空间，)T ,(X 是可度量空间是指存在X 的度量R →2:X d 使得由d 诱导的拓扑d T 满足： (A)T T ⊆d (B)d T T ⊆ (C)d T T = (D))(X P T d = 18．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有 （A ）1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 19．下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有满足第二可数理空间⇒可分空间 度量空间⇒Lindel öff 空间 正规空间⇒完全正则空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个20．设),(T X 是拓扑空间，则对X 中任意两个不相交闭集B A ,存在连续映射]1,0[:→X f 使得}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间 （B ）完全正则空间 （C ）正规空间 （D ）4T 空间 21．设X 是全集，,()A B X ∈P ，A B ⊆则当且仅当（A ）∅='B A I （B ）∅='B A I （C ）A B A =Y （D ）B B A =I 22．设Y X f →:是映射，,()A B y ∈P ，则下面结论不成立的是（A ）)()()(111B f A f B A f ---=Y Y （B ）111()()()f A B f A f B ---=I I （C ）)()()(111B f A fB A f----=- （D ）()B B f f =-)(123．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集 24．定义度量R R R →⨯22:d ，),(21x x x =∀，221),(R ∈=y y y ，}{|||,|m ax ),(2211y x y x y x d --=，则度量空间（d ,2R ）中的单位球是（A （B ）（C （D ）25．设)T ,(X 是离散拓扑空间，b a X b a ≠∈,,, 则在)T ,(X 中交错序列Λb a b a ,,,的收敛点集合是 （A ）∅ (B) }{a (C) },{b a (D)X26．设},,,,{d c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X T ∅=，},,{c b a Y =，}{b A =，则在子空间Y 中A 的闭包等于（A ）}{b （B ）},{b a （C ）},{c b （D ）},,{c b a27．设}3,2,1{},,,{==Y c b a X ，}{,,{,},{},{,}X a b b b c =∅1T ，}{}2,1{},1{,,2Y ∅=T ，},{c b A =，}3,1{=B 则在积空间Y X ⨯中()o A B ⨯等于（A ）∅ （B ）}{)2,(),1,(b b （C ）}{)1,(),1,(c b （D ）}{(,1),(,2),(,1),(,2)b b c c28．拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性，Lindel öff 性，满足第二可数公理性中是可遗传性质的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 29．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有：满足第二可数合理空间⇒可分空间， 度量空间⇒满足第一可数公理空间 完全正则空间⇒正则空间， 紧致空间⇒Lindel öff 空间 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个}0{)(⊆A f ，}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是：（A ）正则空间 （B ）完全正则空间 （C ）正规空间 （D ）4T 空间 31．设f Y X f ,⨯⊆是映射，则f 满足的条件是 （A ）X Y f =-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y =（B ）X Y f=-)(1；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =（C ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21y y = （D ）Y X f =)(；如果f y x y x ∈),(),,(21，则21x x =32．设,,(),,(),R X Y A B Y C D X ⊆⨯∈∈P P 则下面等式成立的是 （A ）)()()(111B R A R B A R---=Y Y （B ）)()()(111B R A R B A R ---=I I（C ）)()()(D R C R D C R I I = （D ）)()()(D R C R D C R -=- 33．在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中，子集+⨯Z }2{是（A ）开集，非闭集 （B ）闭集，非开集 （C ）即开，且闭集 （D ）即非开集，亦非闭集 34．设),(d X 是度量空间，d T 是X 的由d 诱导的拓扑，dU ∈T ，则下列关于U 的结论不正确的是（A ）存在0,>∈εX x 使得),(εx B U =（B ）+∈∃∈∀Z n U x ,使得U nx B ⊆)1,(（C ）0,>∃∈∀εU x 使得U x B ⊆),(ε（D ）存在}0,|),({>∈⊆εεX x x B U B 使得U U =U B35．设},,,{c b a X =}{},{},{,,{b a a X ∅=T ，则在拓扑空间),(T X 中常值序列,,,a a a …的收敛点集合是 （A ）}{a （B ）},{c a （C ）},{b a （D ）X36．设},,,{c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X ∅=T ，},,,{d c a Y =},{c a A =，则在子空间Y 中A 的内部是（A ）∅ （B ）}{a （C ）}{c （D ）},{c a37．设},,,{c b a X =},3,2,1{=Y }},{},{,,{b a a X ∅=1T ，}}3,2{},2{},2,1{,,{2Y ∅=T ，}1{},{==B b A ，则在积空间Y X ⨯中，B A ⨯等于（A ）)}1,{(b （B ）)}1,(),1,{(c b（C ）)}2,(),1,{(b b （D ）)}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b38．拓扑空间的可分性，Lindel öff 性，紧致性，正规性，连通性中是有限可积的性质有： （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 39．下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 局部连通空间⇒连通空间 满足第二可数公理空间⇒可分空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 度量空间⇒可分空间}1{)(,0)(⊆=A f x f 当且仅当),(T X 是（A ）1T 空间 （B ）正规空间 （C ）完全正则空间 （D ）4T 空间二．证明题1.设Y X ,是两个拓扑空间，Y X f →:是映射，证明若f 是连续映射，则)(Y B Ρ∈∀，11()(())o o fB f B --⊆。
第13次课密码学中常用数学知识
• 群、环、域 • 素数和互素数 • 模运算
• 费尔玛定理和欧拉定理
• 素性检验
• 欧几里德算法
• 中国剩余定理
群<G,*>的定义: 一些数字组成的集合 一个二元运算，运算结果属于此集合（封闭性） 服从结合律。有单位元，逆元 。 如果是可交换的，则成为Abel群
(a mod p) ×(2a mod p) ×…×(n-1)a mod p=(p-1)!ap-1 mod p
因此：(p-1)! ap-1 mod p =(p-1)!modp
(p-1)!与p互素，所以乘法可约律，ap-1=1 mod p
• 欧拉函数 – 设n为一正整数，小于n且与n互素的正整数的个数 称为n的欧拉函数，记为φ(n) 例：Φ(6)=2, Φ(7)=6, Φ(8)=4 显然，若n是素数， Φ(n)=n-1
定义Zn为小于n的所有非负整数集合 Zn={0,1,2,…,n-1}
费尔玛定理： 若p是素数，a是正整数且gcd(a,p)=1，则ap-1≡1 mod p 证明： 当gcd(a,p)=1,则a×Zp=Zp 。
又因为a×0≡0modp,所以a×(Zp-{0})=Zp-{0}
即：{a mod p,2a mod p,…,(n-1)a mod p} ={1,…,p-1}
定理： 若n是两个素数p和q的乘积，则Φ(n)＝ Φ(p) Φ(q)=(p-1)(q-1)
例：21=3×7 ，因此φ(21)= φ(3) × φ(7)=2×6=12
• 欧拉定理
若a和n互素,则aφ (n)=1 mod n
对给定的数检验其是否为素数
爱拉托斯散(Eratosthenes)筛法 定理： 设n是正整数，若对所有满足p≤ n 的素数p，都有 p | n，那么n一定是素数。
复旦大学 计算机院 赵一鸣 离散数学 图论习题
W(T)=(1+2)*3+(3+4+5+6+7)*2+8=67 * 67
8-15： 证明一棵树最多只有一个完美匹 ： 配。 8-16：对于 ：对于n=2,3,4,5，分别找出一个没有 ， 完美匹配的n-正则简单图的例子 正则简单图的例子。 完美匹配的 正则简单图的例子。 8-17：证明二分图 具有完美匹配当且仅 ：证明二分图G具有完美匹配当且仅 当对任意V的子集 的子集A， 当对任意 的子集 ， |Γ（A）|≥A成立。 （ ） 成立。 成立
树，树叶，分支点，树的等价定义 树叶，分支点， 生成树，最小生成树，余树， 生成树，最小生成树，余树，枝，弦， 定理7.3,G连通当且仅当 有生成树 连通当且仅当G有生成树 定理 连通当且仅当 定理7.1和 就可获知 就可获知,一个简单连通图如 定理 和7.3就可获知 一个简单连通图如 果不是树,就一定存在 棵不同的生成树. 就一定存在3棵不同的生成树 果不是树 就一定存在 棵不同的生成树 m分树，正则 分树 最优树 分树， 分树,最优树 分树 正则m分树 最优树. 点割，割点，点连通度(平凡或不连通 平凡或不连通) 点割，割点，点连通度 平凡或不连通 断集，割集， 边连通度(平凡或不连 断集，割集，桥，边连通度 平凡或不连 通)
点连通度，边连通度， 点连通度，边连通度，最小度数的关系 定理8.1 定理 网络，容量，流量，可行流，最大流， 网络，容量，流量，可行流，最大流， 割容量， 割容量，最小割 匹配， 关于 饱和，完美匹配， 关于M饱和 匹配，v关于 饱和，完美匹配，最大匹 配，完全匹配 交错路，增广路，定理8.8(最大匹配的充 交错路，增广路，定理 最大匹配的充 要条件。 要条件。 邻集， 邻集，霍尔定理
半Abelianπ-正则环结构的研究
半Abelianπ-正则环结构的研究
卢建伟
【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2015(042)004
【摘要】设R为一个非Abel的半Abelian лΝ正则环,证明了下述条件等价:1)R 仅有2个极大理想;2)Id(R)-{1}是本原的;3)E(R)={0,1}且对于(A)e∈S0r?,f∈S0l?均有ef=0.进一步证明了如果S0r?R与RS0r?均为R极大理想,那么R同构于一个正交准正则环与一个Abelian π-正则环的亚直接和.
【总页数】6页(P385-390)
【作者】卢建伟
【作者单位】沈阳工业大学理学院,辽宁沈阳 110870
【正文语种】中文
【中图分类】O153
【相关文献】
1.Abelian π-正则环的理想准素分解 [J], 卢建伟
2.半交换π-正则环的结构 [J], 卢建伟
3.左半正则纯整群并半群的左半织积结构 [J], 曹永林
4.关于半交换环与强正则环 [J], 杜先能
5.虚二次环的商环的立方映射图的半正则性（英文） [J], 韦扬江;梁林花;苏磊磊;徐合燕
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关于二次系统的若干种有界分界线环的判别问题
关于二次系统的若干种有界分界线环的判别问题
沈伯骞
【期刊名称】《辽宁师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1993(016)002
【摘要】本文通过三种类型的例子研究了在旋转向量场中二次系统的极限环随参数按适当方向单调变化而扩大时,将变成何种类型的有界分界线环的判别问题,而且得出二次系统极限环存在的精确参数区间的三个推论.
【总页数】7页(P89-94,115)
【作者】沈伯骞
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O175.12
【相关文献】
1.二次系统存在一类四次曲线分界线环的充要条件（续） [J], 司成斌;沈伯骞
2.存在两个有界分界线环的二次系统的例子 [J], 司成斌
3.二次系统与三次系统的椭圆分界线环的存在性问题 [J], 沈伯骞
4.一类具有细鞍点的二次系统极限环的唯一性及分界线环的稳定性 [J], 张平光
5.判别二次系统有界分界线环的例子 [J], 沈伯骞;何平
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Banach空间集值映射的度量正则性与变分方程的Lipschitz稳定性
Banach空间集值映射的度量正则性与变分方程的Lipschitz
稳定性
宋文
【期刊名称】《应用泛函分析学报》
【年(卷),期】2011(13)4
【摘要】综述了集值映射的某些概念,例如度量正则性、伪Lipschitz性质(Aubin 性质)、度量次正则性和Calm性质和这些概念的相互关系以及某些判据.也给出了他们在变分方程解的鲁棒Lipschitz稳定性、约束优化问题的最优性条件、集合族的线性正则性质和广义方程迭代过程的收敛性.
【总页数】12页(P337-348)
【作者】宋文
【作者单位】哈尔滨师范大学数学科学学院,哈尔滨150025
【正文语种】中文
【中图分类】O177
【相关文献】
1.Banach空间中有关多值增生映射的集值变分包含问题 [J], 熊归凤;毕公平;程筠;袁达明
2.Banach空间中带T-增生映射的集值拟变分包含 [J], 李观荣
3.超凸度量空间中一类单调型集值映射拟变分不等式解的存在定理 [J], 张惠丽
4.一类具有集值映射的集值变分包含问题的解的存在性 [J], 谷桂花;吴梅花
5.度量空间上具有Lipschitz条件的集值映射族的公共不动点 [J], 金光植;朴勇杰;崔海兰
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２０１８年９月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报(自然科学版)S e p．２０１８第３５卷第３期㊀㊀㊀㊀㊀J o u r n a l o fG u a n g x i T e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y:N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n V o l．３５N o．３D O I:１０．１６６０１/j．c n k i．i s s n１００１Ｇ８７４３．２０１８．０３．００１文章编号:１００１Ｇ８７４３(２０１８)０３Ｇ０００１Ｇ０６S e m i r e g u l a r i t y o f t h eC u b i cM a p p i n g G r a p h so f Q u o t i e n tR i n g s o f t h e I m a g i n a r yQ u a d r a t i cR i n g s∗W E IY a n gＧj i a n g,L I A N GL i nＧh u a,S U L e iＧl e i,X U H eＧy a n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s,G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,N a n n i n g５３０２９９,C h i n a)A b s t r a c t:L e t K＝(d),w h e r e i s t h e r a t i o n a l n u m b e r f i e l da n d d＜０i s a s q u a r eＧf r e e i n t e g e r．L e tΓ(γ) b e t h e c u b i cm a p p i n gg r a p ho f R d/‹γ›,w h e r eγi s an o nＧi n v e r t i b l e e l e m e n t i n R d,t h e r i n g o f a l g e b r a i c i n t e g e r s o f K．T h e v e r t e x s e t o fΓ(γ)c o n s i s t s o f a l l e l e m e n t s o f R d/‹γ›．I fα３＝β,t h e n t h e r e i s a d i r e c t e d e d g e f r o mαt oβ．I n t h i s p a p e r,w e i n v e s t i g a t e t h e s e m i r e g u l a r i t y o fΓ(γ)f o r d＝－３,－７,－１１,－１９,－４３,－６７,－１６３．K e y w o r d s:i m a g i n a r yq u a d r a t i c r i n g;c u b i cm a p p i n gg r a p h;i n d e g r e e;s e m i r e g u l a r i t yC L Cn u m b e r:O１５３．３㊀㊀D o c u m e n t c o d e:A１㊀I n t r o d u c t i o nL e t K＝(d)b e t h e q u a d r a t i c f i e l do v e r t h e r a t i o n a l n u m b e r f i e l d,w h e r e d(ʂ０,１)i sa s q u a r eＧf r e e i n t e g e r．W e d e n o t e b y R d t h e r i n g o f a l g e b r a i c i n t e g e r s o f K,a n d R d i s c a l l e d a n i m a g i n a r y q u a d r a t i c r i n g i f d＜０．I tw a s s h o w n i n[１]t h a t t h e i m a g i n a r yq u a d r a t i c r i n g R d i s a u n i q u eＧf a c t o r i z aＧt i o nd o m a i n i f a n do n l y i f d＝－１,－２,－３,－７,－１１,－１９,－４３,－６７,－１６３．F o r t h e q u o t i e n t r i n g s R d/‹γ›,w e u s eΓ(γ)t od e n o t e t h e c u b i cm a p p i n gg r a p ho f R d/‹γ›．T h e v e r t e xs e t o f t h e c u b i cm a p p i n gg r a p h c o n s i s t s o f a l l e l e m e n t s o f R d/‹γ›．I fα３＝β,t h e n t h e r e i s a d iＧr e c t e d e d g e f r o mαt oβ．L e tβb eav e r t e xo fΓ(γ),i n d e g(α)d e n o t e s t h en u m b e ro fd i r e c t e de d g e s c o m i n g i n t oα．I f t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e i n t e g e r d s u c h t h a t e a c hv e r t e xo fΓ(γ)h a s i n d e g r e e e i t h e r d o r０,t h e nΓ(γ)i s s a i d t ob e s e m i r e g u l a r．F u r t h e r m o r e,Γ１(γ),Γ２(γ)i s d e n o t e db y t h e s u b g r a p ho f Γ(γ)i n d u c e db y a l l t h eu n i t s,z e r oＧd i v i s o r,r e s p．,o f R d/‹γ›．I n２０１６,t h es t r u c t u r eo f t h ec u b i c m a p p i n gg r a p h o f R d/‹γ›w a s s t u d i e d i n[２]f o r t h e c a s e d＝－１,w h e r eγi s n o t a u n i t．I n t h i s p a p e r, w e s t u d y t h e s e m i r e g u l a r i t y o f t h e c u b i cm a p p i n gg r a p h s o f R d/‹γ›f o r d＝－３,－７,－１１,－１９,－４３,－６７,－１６３．I nw h a t f o l l o w s,U(R)d e n o t e s t h e u n i t g r o u p o f t h e r i n g R,D(R)d e n o t e s t h e s e t o f z e r oＧd i v i s o r o f t h e r i n g R,a n d l e t‹γ›d e n o t e t h e i d e a l i n R g e n e r a t e d b yγɪR．T h eL e g e n d r e s y m b o l(a p),w h e r e p i s a p r i m e a n d p⫮a,e q u a l s t o１i f t h e r e e x i s t s a n i n t e g e r x s u c ht h a t x２ʉa(m o d p),o t h e r w i s e, (a p)＝－１．F r o m T h e o r e m１．２o f[３],w e f a c t o rγɪR d\U(R d)i n R d a s f o l l o w s:R e c e i v e dd a t e:２０１８Ｇ０５Ｇ０２❋F o u n d a t i o n i t e m:T h i s r e s e a r c hw a s s u p p o r t e db y t h eN a t i o n a lN a t u r a l S c i e n c eF o u n d a t i o no fC h i n a(１１４６１０１０)B i o g r a p h y:W E IY a n gＧj i a n g(１９６９ ),f e m a l e,p r o f e s s o r,d o c t o r,d o c t o r a l t u t o r．E m a i l:g u s０２＠１６３．c o m２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷γ＝(－１)i ２w δkᵑh j ＝１p t jjᵑls ＝１πλs s,(１．１)w h e r e δ＝d ,p ᶄjs ,q ᶄs s a r e d i s t i n c t r a t i o n a l p r i m e i n t e g e r s ．M o r e o v e r ,(p j －d)＝－１,πs ɪR d s u c h t h a t qs ＝ʃπs πs a n d (q s－d)＝１．I n t h e f o l l o w i n gl e mm a ,w e d e n o t e w ᶄ＝０i f w ＝１,w ᶄ＝４c i f w ＝３c a n d c ȡ１,w ᶄ＝４c ＋２i f w ＝３c ＋１a n d c ȡ１,w ᶄ＝４c ＋２i f w ＝３c ＋２a n d c ȡ０．D e n o t e db y D ＝－d ,A ＝ᵑh j ＝１p ２(t j － t j /３⌉)j ,B ＝ᵑls ＝１qλs － λs/３⌉s,w h e r e qs ＝N (πs )．L e m m a １．１([４,T h e o r e m３．３．１])㊀L e t d ＝－３,－１１,－１９,－４３,－６７,－１６３．L e t γɪR d \U (R d )b e o f t h e f o r m (１．１)．T h e n t h e i n d e g r e e o f t h e e l e m e n t ０i n Γ(γ)i s i n d e g(０)＝２w ᶄˑD ４n ＋rˑA ˑB ,k ＝２(３n ＋r ),n ȡ０,r ＝０,１,２２wᶄˑD ４nˑA ˑB ,k ＝２ˑ３n ＋１,n ȡ０２w ᶄˑD ４n ＋r ＋１ˑA ˑB ,k ＝２(３n ＋r )＋１,n ȡ０,r ＝１,２ìîíïïïï．I f d ＝－７,t h e i n d e g r e e o f t h e e l e m e n t ０i n Γ(γ)c a nb e o b t a i n e d f r o mt h e a b o v e f o r m u l a b y ca n Ｇc e l i n g th e f a c t o r ２wᶄ．２㊀T h e s e m i r e g u l a r i t y of Γ２(γ)I t i s e v i d e n t t h a t Γ１(γ)i s s e m i r eg u l a r ([５,Th e o r e m２．７])．I n t h e f o l l o wi n g ,w e s t u d y t h e s e m i Ｇr e g u l a r i t y of Γ２(γ)．T h e o r e m ２．１㊀S u p p o s e d ＝－７,－１９,－４３,－６７,－１６３．L e t p s ɪb e a no d d p r i m e s a t i s f y i n g ３|p s －１a n d (p s －d )＝－１;l e t ３ʂp t ɪb e a no d d p r i m e s a t i s f y i n g ３⫮p t －１a n d (p t－d )＝－１．W h i l e q m＝ʃπm πm ɪi s a n o d d p r i m e s a t i s f y i n g ３|q m －１a n d (q m－d)＝１;qn ＝ʃπn πn ɪi s a n o d d p r i m e s a t i s Ｇf y i n g ３⫮qn －１a n d (q n－d)＝１．L e t k b e a p o s i t i v e i n t e g e r ,D ＝－d ．T h e n (１)Γ２(δk)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l yi f k ＝１,２,３．(２)Γ２(３k )i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k ＝１,２,３,４,５．(３)Γ２(p k s )i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k ＝１,２,３．(４)Γ２(p k t )i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k ＝１,２,３,４．(５)Γ２(πk m )i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k ＝１,２,３．(６)Γ２(πk n )i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k ＝１,２,３,４．P r o o f ㊀(１)L e t k ＝１,２,３．B y L e mm a １．３,i n d e g (０)＝D (R /‹δk ›),t h e n Γ２(δk)i s s e m i r e g u Ｇl a r ．L e t k ＝４．S u p po s e α＝[a ＋b d ]ɪR d /‹δ４›s u c h t h a t α３＝[D d ]．A s αi s a z e r o Ｇd i v i s o r o f R d /‹δk ›,t h e n D |a ．I t i se v i d e n t t h a t α３＝[D d ]i f a n do n l y i f t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f c o n gr u e n c e s h o l d:a ３－３D a b ２ʉ０(m o d D ２),(２．１)３a ２b －D b ３ʉD (m o d D ２)．(２．２)R e c a l l t h a t D |a ,t h e n t h e c o n g r u e n c e (２．１)a l w a y sh o l d s ,t h e c o n gr u e n c e (２．２)r e d u c e s t o －b ３ʉ１(m o d D )．D u e t o D ʉ１(m o d ３),t h e l a s t c o n g r u e n c e h a s ３s o l u t i o n s ．S o t h e n u m b e r o f a s a t i s f y i n g D第３期㊀㊀㊀㊀W E IY a n gＧj i a n g,e t a l．:T h e s e m i r e g u l a r i t y o f t h e c u b i cm a p p i n gg r a p h s ３㊀ |a i s D,a n d t h en u m b e r o f b s a t i s f y i n g－b３ʉ１(m o d D)i s３D．H e n c e,i n d e g([D d])＝Dˑ３D＝３D２．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)ʂ３D２,t h e nΓ２(δ４)i s n o t s e m i r e g u l a r．L e t k＝５,６．B y t h e s i m i l a r a r g u m e n t t o k＝４a b o v e,w e g e t t h a t i n d e g([D d])＝Dˑ３D＝３D２．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)ʂ３D２,h e n c eΓ２(δk)i s n o t s e m i r e g u l a r．L e t k＝２m,mȡ４．C l e a r l y,i n d e g([D３])＞０．S u p p o s eα＝[a＋b d]ɪR d/‹δ２m›s u c h t h a tα３＝[D３]．A sαi s a z e r oＧd i v i s o r o f R d/‹δ２m›,t h e n D|a．I t i s e v i d e n t t h a tα３＝[D３]i f a n d o n l y i f t h e f o lＧl o w i n g s y s t e mo f c o n g r u e n c e sh o l d:a３－３D a b２ʉD３(m o d D m),(２．３)３a２b－D b３ʉ０(m o d D m)．(２．４)㊀㊀S i n c e D|a,t h e n D２|a２．W e d e d u c e f r o mt h e c o n g r u e n c e(２．４)t h a t３a２b D－b３ʉ０(m o d D m－１)．B e c a u s e D２|a２,w eh a v e D|３a２b D．S o D|b．L e t a＝D t a１,b＝D s b１,w h e r e s,t a r e p o s i t i v e i n t e g e r s, a n d D⫮a１b１．I f t＞１,t h e nb y t h e c o n g r u e n c e(２．３),D３t－３a３１－３D t＋２s－２a１b２１ʉ１(m o d D m－３),w h i c h i s i m p o s s i b l e．T h u s t＝１．S u b s t i t u t i n g t＝１i n t o t h e c o n g r u e n c e(２．４),w eh a v e３D s＋２a２１b１－D３s＋１b３１ʉ０(m o d D m)．(２．５) I f s＝１,b y c o n g r u e n c e(２．５),w eh a v e３a２１b１－D b３１ʉ０(m o d D m－３),w h i c h i s i m p o s s i b l e．S o s＞１．F r o mt h e c o n g r u e n c e(２．５),w e g e t t h a t s＋２ȡm,i．e．,sȡm－２．H e n c e,D m－２|b．D u e t o０ɤbɤD m －１,t h e n t h en u m b e r o f b s a t i s f y i n g D m－２|b i s D２．O n t h eo t h e rh a n d,f r o mt h e c o n g r u e n c e(２．３), w e o b t a i n a３１ʉ１(m o d D m－３)．S i n c e３|D－１f o r d＝－７,－１９,－４３,－６７,－１６３,w eo b t a i n t h a t t h e e q u a t i o n a３１ʉ１(m o d D m－３)h a s e x a c t l y３s o l u t i o n s．S o S１＝３D２,w h e r e１＝{aʒ０ɤaɤD m－１,a＝D a１,a３１ʉ１(m o d D m－３)}．H e n c e,i n d e g([D３])＝３D２ˑD２＝３D４．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)ʂ３D４．T h u s,Γ２(δ２m)i sn o t s e m iＧr e g u l a r f o r mȡ４．L e t k＝２m＋１,mȡ３．I t c a nb e p r o v e d s i m i l a r l y t o k＝２m,a n dΓ２(δ２m＋１)i s n o t s e m i r e g u l a r f o r mȡ３．(２)L e t k＝１,２,３．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)＝D(R/‹３k›)．T h e nΓ２(３k)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝４．B y c a l c u l a t i n g,w e k n o w i n d e g([３３(s＋t d)])＝３４,w h e r e０ɤs,tɤ２．A s D(R/‹３４›)＝３６＝３２ˑ３４,e a c hv e r t e x i nΓ２(３４)h a s i n d e g r e e０o r３４．H e n c e,Γ２(３４)i s s e m i r e g uＧl a r．L e t k＝５．B y c a l c u l a t i n g w e g e t t h e f o l l o w i n g c a s e s．I f d＝－７,－４３,i n d e g([x＋y d])＝３６, w h e r e(x,y)ɪ{(０,０),(３３,０),(８ ３３,０),(０,２ ３３),(０,７ ３３),(２,４),(２,５),(７,４),(７,５)}．I f d ＝－１９,－１６３,i n d e g([s＋t d])＝３６,w h e r e(s,t)ɪ{(０,０),(３３,０),(８ ３３,０),(０,３３),(０,８ ３３), (２,２),(２,７),(７,２),(７,７)}．I f d＝－６７,i n d e g([u＋v d])＝３６,w h e r e(u,v)ɪ{(０,０),(３３,０),(８ ３３,０),(０,４ ３３),(０,５ ３３),(２,１),(２,８),(７,１),(７,８)}．A s D(R/‹３５›)＝３８＝３２ˑ３６,t h e n e a c hv e r t e x i nΓ２(３５)h a s i n d e g r e e０o r３６．T h u s,Γ２(３５)i s s e m i r e g u l a r．L e t kȡ６．S u p p o s eα＝[a＋b d]ɪR d/‹３k›s a t i s f y i n gα３＝[３３]．A sαi s a z e r o－d i v i s o r o f R d/‹δk›,t h e n３|a,３|b．I t i s e v i d e n t t h a tα３＝[３３]i f a n do n l y i f:a３－３D a b２ʉ３３(m o d３k),(２．６)３a２b－D b３ʉ０(m o d３k)．B y t h e s i m i l a r a r g u m e n t t o t h e c o n d i t i o n(１)o f t h i s t h e o r e m,w e k n o w３a,３k－３b．L e t a＝３a２,b＝３k－３b２,w i t h３⫮a２．S u b s t i t u t i n g a＝３a２,b＝３k－３b２i n t oc o n g r u e n c e(２．６),w e g e t t h a t a３２ʉ１(m o d ３k－３)．A s k－３＞２,w e o b t a i n t h a t t h e l a s t c o n g r u e n c eh a s e x a c t l y３s o l u t i o n s．S o２＝３３,w h e r e ２＝{aʒ０ɤaɤ３k－１,a＝３a２,a３２ʉ１(m o d３k－３)}．４㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷A n d t h e n u m b e r o f b s a t i s f y i n g３k－３|b i s３３．T h u s,i n d e g(３３)＝３３ˑ３３＝３６．B y L e mm a１．３,i n d e g(０)＞３６．H e n c eΓ２(３k)i s n o t s e m i r e g u l a r,w i t h kȡ６．(３)L e t k＝１,２,３．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)＝p２s＝D(R/‹p２s›)．T h e nΓ２(p k s)i s s e m i r e g uＧl a r．L e t kȡ４．S u p p o s eα＝[a＋b d]ɪR d/‹p k s›s a t i s f y i n gα３＝[p３s]．A sαi s a z e r o－d i v i s o r o f R d/‹δk›,t h e n p s a,p s b．I t i s o b v i o u s t h a tα３＝[p３s]i f a n do n l y i f t h e f o l l o w i n g c o n g r u e n c e sh o l d:a３－３D a b２ʉp３s(m o d p k s),(２．７)３a２b－D b３ʉ０(m o d p k s)．B y t h e s i m i l a r a r g u m e n t t o(１),w ed e r i v e t h a t p s a,p k－２s b．S u p p o s e a＝p s a３,b＝p k－２s b３,w i t h p s ⫮a３．S u b s t i t u t i n g a＝p s a３,b＝p s k－２b３i n t o c o n g r u e n c e(２．７),w e g e t t h a t a３３ʉ１(m o d p k－３s)．S i n c e３|p s－１,w e o b t a i n t h a t c o n g r u e n c e a３３ʉ１(m o d p k－３s)h a s３s o l u t i o n s．S o S３＝３p２s,w h e r e ３＝{aʒ０ɤaɤp k s－１,a＝p s a３,a３３ʉ１(m o d p s k－３)}．A n d t h e n u m b e r o f b s a t i s f y i n g p k－２s|b i s p２s．T h u s,i n d e g([p３s])＝３p２sˑp２s＝３p４s．B y L e mm a１．３,i nＧd e g(０)ʂ３p４s．T h e r e f o r e,Γ２(p k t)i s n o t s e m i r e g u l a r,w i t h kȡ４．(４)L e t k＝１,２,３．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)＝D(R/‹p２t›)．T h e nΓ２(p k t)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝４．D u e t o３⫮p t－１,w eh a v e i n d e g([p３t(x＋y d)])＝p４t,w h e r e０ɤx,yɤp t－１．B eＧc a u s e D(R/‹p４t›)＝p６t＝p２tˑp４t,t h e ne a c hv e r t e x i nΓ２(p４t)h a s i n d e g r e e０o r p４t．T h e r e f o r e,Γ２(p４t)i s s e m i r e g u l a r．L e t kȡ５．B y t h e s i m i l a r a r g u m e n t t o(１),w e d e r i v e t h a t p t a,p k－２t b．S i n c e３⫮p t－１,t h e n i nＧd e g([p３t])＝p４t．B y L e mm a１．３,i n d e g(０)ʂp４t．T h e r e f o r e,Γ２(p k t)i s n o t s e m i r e g u l a r,w i t h kȡ５．(５)B e c a u s e o f R d/‹πk›≅q k,b y T h e o r e m３．７o f[６],t h e r e s u l t h o l d s o b v i o u s l y．(６)B e c a u s e o f R d/‹πk›≅q k,b y T h e o r e m３．７o f[６],t h e r e s u l t h o l d s o b v i o u s l y．T h e o r e m２．２㊀S u p p o s e d＝－３,k i s a p o s i t i v e i n t e g e r,D＝－d．L e t p b e a no d d p r i m e s a t i s f y i n g t h eL e g e n d r e s y m b o l(p－d)＝－１．L e tπ π＝qɪb e a no d d p r i m e s a t i s f y i n g(q s－d)＝１．T h e n (１)Γ２(δk)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k＝１,２,３,４,５,６,８．(２)Γ２(p k)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k＝１,２,３,４．(３)Γ２(πk)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k＝１,２,３．P r o o f㊀(１)L e t k＝１,２,３．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)＝D(R/‹δk›),w e g e t t h a tΓ２(δk)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝４．B y c a l c u l a t i n g,w e g e tt h a ti n d e g([３x－３])＝９,w i t h０ɤxɤ２．B e c a u s e D(R/‹δ４›)＝２７,t h e ne a c hv e r t e x i nΓ２(δ４)h a s i n d e g r e e０o r９．T h u s,Γ２(δ４)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝５．B y c a l c u l a t i n g,w eh a v e i n d e g([３y－３])＝３３,w i t h０ɤyɤ２．A s D(R/‹δ５›)＝８１,e a c hv e r t e x i nΓ２(δ５)h a s i n d e g r e e０o r２７．S oΓ２(δ５)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝６．B y c a l c u l a t i n g,t h e ni n d e g(０)＝i n d e g([３－３])＝i n d e g([２４－３])＝３４．D u et o D(R/‹δ６›)＝３５,t h e ne a c hv e r t e x i nΓ２(δ５)h a s i n d e g r e e０o r３４．S oΓ２(δ６)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝７．S u p p o s eα＝[a＋b d]ɪR d/‹δk›s a t i s f y i n gα３＝[３－３]．A sαi s a z e r o－d i v i s o r o f R d/‹δk›,t h e n３|a．I t i s e v i d e n t t h a tα３＝[３－３]i f a n do n l y i f t h e f o l l o w i n g c o n g r u e n c e s h o l d:a３－９a b２ʉ０(m o d３４),(２．８)a２b－b３ʉ１(m o d３２)．(２．９) S i n c e３|a,t h e c o n g r u e n c e(２．９)r e d u c e s t o－b３ʉ１(m o d３２)．F r o mt h e a b o v e c o n g r u e n c e,w e g e t t h a t bʉ２,５,８(m o d３２)．S o S４＝３２,w h e r e４＝{bʒ０ɤbɤ３３－１,－b３ʉ１(m o d３２)}．第３期㊀㊀㊀㊀W E IY a n gＧj i a n g,e t a l．:T h e s e m i r e g u l a r i t y o f t h e c u b i cm a p p i n gg r a p h s ５㊀ O n t h e o t h e r h a n d,l e t a＝３a１．S u b s t i t u t i n g a＝３a１i n t o t h e c o n g r u e n c e(２．８),w e h a v e a１(a１－２)(a１＋２)ʉ０(m o d３),i t h o l d s o b v i o u s l y．T h u s,i n d e g([３－３])＝３５．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)ʂ３５．S o Γ２(δ７)i s n o t s e m i r e g u l a r．L e t k＝８．B y t h e s i m i l a r a r g u m e n t t o k＝７,w e h a v e i n d e g([x])＝i n d e g([y－３])＝３５,w i t h x ＝０,２７,５４,y＝３,２４,３０,５１,５７,７８．S i n c e D(R/‹δ８›)＝３７＝３２ˑ３５,w eo b t a i nt h a t e a c hv e r t e x i n Γ２(δ８)h a s i n d e g r e e０o r３５．S oΓ２(δ８)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝２m,mȡ５．S u p p o s eα＝[a＋b d]ɪR d/‹δk›s a t i s f y i n gα３＝[３３]．A sαi s a z e r o－d i v i s o r o f R d/‹δk›,t h e n D|a．I t i s e v i d e n t t h a tα３＝[３３]i f a n do n l y i f:a３－９a b２ʉ３３(m o d３m),a２b－b３ʉ０(m o d３m－１)．B y t h e s i m i l a r a r g u m e n t t oT h e o r e m２．１(１),w ed e r i v e t h a t３a,３m－３b,a n d i n d e g([３３])＝３６．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)ʂ３６．S oΓ２(３２m)i s n o t s e m i r e g u l a r,w i t h mȡ５．L e t k＝２m＋１,mȡ４．I t c a nb e p r o v e d s i m i l a r l y t o k＝２m,a n dΓ２(δ２m＋１)i s n o t s e m i r e g u l a r f o r mȡ４．(２)a n d(３)c a nb e p r o v e d s i m i l a r l y t oT h e o r e m２．１．T h e o r e m２．３㊀S u p p o s e d＝－１１．L e t p s,p t,πm,πn b eo f t h e f o r m o fT h e o r e m２．１,ξ＝１２＋１２－１１,k i s a p o s i t i v e i n t e g e r．T h e n(１)Γ２(δk)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k＝１,２,３,４．(２)Γ２(ξk)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k＝１,２,３,４,５．(３)Γ２(p k s)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k＝１,２,３．(４)Γ２(p k t)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k＝１,２,３,４(５)Γ２(πk m)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k＝１,２,３．(６)Γ２(πk n)i s s e m i r e g u l a r i f a n do n l y i f k＝１,２,３,４．P r o o f(１)L e t k＝１,２,３．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)＝D(R/‹δk›),t h e nΓ２(δk)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝４．B y c a l c u l a t i n g,w e g e tt h a ti n d e g([x－１１])＝１１２,w i t h０ɤxɤ１０．A s D(R/‹δ４›)＝１１３,w e o b t a i n t h a t e a c hv e r t e x i nΓ２(δ４)h a s i n d e g r e e０o r１１２．S oΓ２(δ４)i s s e m iＧr e g u l a r．L e t k＝５．S u p p o s eα＝[a＋b d]ɪR d/‹δ４›s u c h t h a tα３＝[１１－１１]．A sαi s a z e r o－d i v i s o r o f R d/‹δk›,t h e n１１|a．I t i s e v i d e n t t h a tα３＝[１１－１１]i f a n d o n l y i f t h e f o l l o w i n g c o n g r u e n c e s h o l d:a３－３３a b２ʉ０(m o d１１３),３a２b－１１b３ʉ１１(m o d１１２)．B y t h e s i m i l a r a r g u m e n t t oT h e o r e m２．１(１),w e d e r i v e t h a t１１２|a,－b３ʉ１(m o d１１)．H e n c e,i n d e g ([１１－１１])＝１１ˑ１１＝１１２．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)ʂ１１２,t h e nΓ２(δ５)i s n o t s e m i r e g u l a r．L e t k＝６．B y t h e s i m i l a r a r g u m e n t t o k＝５a b o v e,t h e n i n d e g([１１－１１])＝１１ˑ１１＝１１２．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)ʂ１１２,t h e nΓ２(δ６)i s n o t s e m i r e g u l a r．L e t kȡ７．B y t h e s i m i l a r a r g u m e n t t oT h e o r e m２．１(１),w eh a v eΓ２(δk)i s n o t s e m i r e g u l a r．(２)L e t k＝１,２,３．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)＝D(R/‹ξk›),t h e nΓ２(δk)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝４．B y c a l c u l a t i n g,w e g e t t h a t i n d e g([３３x])＝３２,w i t h０ɤxɤ２．B e c a u s e D(R/‹ξ４›)＝３３,t h e ne a c hv e r t e x i nΓ２(ξ４)h a s i n d e g r e e０o r３２．S oΓ２(ξ４)i s s e m i r e g u l a r．L e t k＝５．B y c a l c u l a t i n g,w e g e tt h a ti n d e g([３３x])＝３３,w i t h x＝０,１,８．B e c a u s e D(R/‹ξ５›)＝３４,t h e ne a c hv e r t e x i nΓ２(ξ５)h a s i n d e g r e e０o r３３．S oΓ２(ξ５)i s s e m i r e g u l a r．L e t kȡ６．S u p p o s eα＝[a]ɪR d/‹ξk›s a t i s f y i n gα３＝[３３]．A sαi s a z e r o－d i v i s o ro f R d/‹ξk›,６㊀ ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀广西师范学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷t h e n３|a．I t i s e v i d e n t t h a tα３＝[３３]i f a n do n l y i f t h e f o l l o w i n g c o n g r u e n c e s h o l d:a３ʉ３３(m o d３k)．(２．１０)F r o mt h e c o n g r u e n c e(２．１０),w e g e t t h a t３a．L e t a＝３a１,w i t h３⫮a１．T h e nw eh a v e a１３ʉ１(m o d ３k－３),t h i s c o n g r u e n c eh a s e x a c t l y３s o l u t i o n s．T h u s i n d e g([３３])＝３３．B y L e mm a１．１,i n d e g(０)ʂ３３．S oΓ２(ξk)i s n o t s e m i r e g u l a r,w i t h kȡ６．(３),(４),(５)a n d(６)c a nb e p r o v e d s i m i l a r l y t oT h e o r e m２．１．R e f e r e n c e s:[１]S t a r kH M．Ac o m p l e t ed e t e r m i n a t i o no f t h ec o m p l e x q u a d r a t i c f i e l d so f c l a s sＧn u m b e ro n e[J]．M i c h i g a n M a t hJ,１９６７,１４(１):１Ｇ２７．[２]W e iY a n gＧj i a n g,L i a n g Y iＧy a o,T a n g G a oＧh u a．C u b i cm a p p i n gg r a p h so nt h e q u o t i e n t r i n g so f t h eG a u s s i a n i n t e g e r r i n g s o fm o d u l o n[J]．JG u a n g x iN o r m a lU n i v,２０１６,３４(３):５３Ｇ６１．[３]W e iY a n gＧj i a n g,S uL e iＧl e i,T a n g G a oＧh u a．O n t h e u n i t g r o u p s o f q u o t i e n t r i n g s o f i m a g i n a r y q u a d r a t i c n u m b e r r i n g s [J]．J o fM a t h,２０１８,３８(４):６０２Ｇ６１８．[４]S uL e iＧl e i．T h e u n i t g r o u p s a n d c u b i cm a p p i n g g r a p h s o f q u o t i e n t r i n g s o f t h e i m a g i n a r y q u a d r a t i c r i n g s[D]．N a n n i n g: G u a n g x iT e a c h e r sE d u c a t i o nU n i v e r s i t y,２０１７．[５]W e iY a n gＧj i a n g,T a n g G a oＧh u a．T h e i t e r a t i o nd i g r a p h s o f f i n i t e c o mm u t a t i v e r i n g s[J]．T u r k i s h J o u r n a l o fM a t h e m a tＧi c s,２０１５,３９:８７２Ｇ８８３．[６]W e iY a n gＧj i a n g,N a nJ iＧz h u,T A N G G a oＧh u a．T h e c u b i cm a p p i n gg r a p h so f t h e r e s i d u e c l a s s e so f i n t e g e r s[J]．A r sC o m b i n,２０１０,９７:１０１Ｇ１１０．虚二次环的商环的立方映射图的半正则性韦扬江,梁林花,苏磊磊,徐合燕(广西师范学院数学与统计科学学院,广西南宁５３０２９９)摘㊀要:令为有理数域,d＝－３,－７,－１１,－１９,－４３,－６７,－１６３,K＝(d)．该文研究了K的整数环的商环的立方映射图的半正则性．关键词:虚二次环;立方映射图;入度;半正则性[责任编辑:班秀和]。