2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十四双曲线理

2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十
四双曲线理
对点练(一) 双曲线的定义和标准方程
1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的( )
A ．离心率相等
B ．虚半轴长相等
C ．实半轴长相等
D ．焦距相等
解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．
2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( ) A.x 23－y 212＝1
B.x 212－y 23＝1
C.y 2
3－x 2
12
＝1 D.
y 2
12－x 2
3
＝1 解析：选A 由题意，设双曲线C 的方程为y 2
4－x 2
＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，
则22
4－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 2
4－x 2
＝－3，即x 2
3－y 2
12
＝1. 3．已知双曲线x 2
－y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线
上一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2
＝e ，则F 2P ―→·F 2F 1―→
的值为( )
A ．3
B ．2
C ．－3
D ．－2
解析：选B 由题意得，在△PF 1F 2中，由正弦定理得，sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|
|PF 2|＝e ＝2，又因
为|PF 1|－|PF 2|＝2，结合这两个条件得，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由余弦定理可得cos ∠F 1F 2P ＝14
，则F 2P ―→·F 2F 1―→
＝2，故选B. 4．(2018·河南新乡模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚
轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→
|＝4，则双曲线C 的方程为( )
A.x 26－y 2
5
＝1 B.x 28－y 2
12
＝1
C.x 28－y 2
4
＝1 D.x 24－y 2
6
＝1 解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C
的方程可得49×c 2
a 2－1
9
＝1，
即49·a 2
＋b 2
a 2＝109，∴
b 2
a 2＝3
2
，① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＋2b 2
＝16，② 由①②可得，a 2
＝4，b 2
＝6，
∴双曲线C 的方程为x 24－y 2
6
＝1，故选D.
5．设双曲线x 24－y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交双曲线左支于A ，
B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )
A.192
B ．11
C ．12
D ．16
解析：选B 由题意，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，
|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，所以|BF 2|＋|AF 2|＝8＋|AF 1|＋|BF 1|
＝8＋|AB |，显然，当AB 垂直于x 轴时其长度最短，|AB |min ＝2·b 2
2＝3，故(|BF 2|＋|AF 2|)min
＝11.
6．(2018·河北武邑中学月考)实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程为____________________．
解析：2a ＝2,2b ＝4.当焦点在x 轴时，双曲线的标准方程为x 2
－y 2
4＝1；当焦点在y 轴
时，双曲线的标准方程为y 2
－x 2
4
＝1.
答案：x 2
－y 2
4＝1或y 2
－x 2
4
＝1
7．设F 1，F 2分别是双曲线x 2
－y 2
b
2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，
若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．
解析：由题意可得|AF 2|＝2，|AF 1|＝4，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|.又∠
F 1AF 2＝45°，所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形，则|AB |＝|BF 1|＝22，所以其
面积为1
2
×22×22＝4.
答案：44
对点练(二) 双曲线的几何性质
1．(2018·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±2x ，则
双曲线C 的离心率为( )
A.52
B. 5
C.62
D. 6
解析：选B 依题意知b a ＝2，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2
a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
＝ 5.
故选B.
2．(2018·安徽黄山模拟)若圆(x －3)2
＋y 2
＝1上只有一点到双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)
的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为( )
A.35
5
B.33
4
C. 3
D. 5
解析：选A 不妨取渐近线为bx ＋ay ＝0，由题意得圆心到渐近线bx ＋ay ＝0的距离d ＝
|3b |
b 2＋a 2
＝2，化简得b ＝23c ，∴b 2＝49c 2，∴c 2
＝95a 2，∴e ＝c a ＝355，故选A.
3．(2018·湖北四地七校联考)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
直线l 经过点F 1及虚轴的一个端点，且点F 2到直线l 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为( )
A.1＋5
2
B.3＋5
4
C. 1＋5
2
D.
3＋5
2
解析：选D 设虚轴的一个端点为B ，则S △F 1BF 2＝12b ×2c ＝12
a ×
b 2＋
c 2
，即b ×2c ＝
a ×
b 2＋
c 2，∴4c 2(c 2－a 2)＝a 2(－a 2＋2c 2)，∴4e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝
3＋5
4
，∴e ＝3＋5
2
(舍负)．故选D.
4．设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2
的垂线与双曲线交于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A ．±12
B ．±
22
C ．±1
D ．± 2
解析：选C 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2
a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－
b 2
a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴
b 2a
c ＋a ·－b 2
a c －a ＝－1，整理得a ＝
b .∵渐近线方程为y ＝±b a
x ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.
5．(2018·江西五市部分学校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(1,0)，
若双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，则实数a 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，223
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，13 D.⎝
⎛⎭⎪⎫0，223
解析：选D 法一：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c ＝1.由双曲线上存在点P ，使得P
到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，可知b a >122，所以8b 2>a 2，即8(1－a 2)>a 2
，所以0<a <223
.
法二：由双曲线的焦点为(1,0)，可知c ＝1.由双曲线上存在点P ，使得P 到y 轴与到x 轴的距离的比值为22，不妨设P 在第一象限，且P (x 0，y 0)，则y 0＝1
22x 0，代入双曲线方
程得x 20
＝8a 2b 2
8b 2－a 2>a 2，可知8b 2>a 2，即8(1－a 2)>a 2
，所以0<a <
223
. 6．(2018·山西重点中学联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两
个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1―→＋PF 2―→|≤|F 1F 2―→
|，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )
A ．(1，2]
B ．(1,2]
C ．[2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选D 设O 为坐标原点，由2|PF 1―→＋PF 2―→|≤|F 1F 2―→|，得4|PO ―→
|≤2c (2c 为双曲线
的焦距)，∴|PO ―→|≤12c ，又由双曲线的性质可得|PO ―→
|≥a ，于是a ≤12
c ，∴e ≥2.故选D.
7．过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的
两条渐近线的交点分别为A ，B ，若F 1A ―→＝AB ―→
，则双曲线的渐近线方程为________________．
解析：由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ＋c ，y ＝－b
a x 得x ＝－ac
a ＋
b ，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋c ，y ＝b
a x ，
解得x ＝
ac
b －a
，不妨设x A ＝－
ac a ＋b ，x B ＝ac b －a
， 由F 1A ―→＝AB ―→
可得－ac a ＋b ＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b
，
整理得b ＝3a .
所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0. 答案：3x ±y ＝0
8．(2018·安徽池州模拟)已知椭圆x 216＋y 2
12＝1的右焦点F 到双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，
b >0)的渐近线的距离小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是________．
解析：椭圆x 216＋y 2
12
＝1的右焦点F 为(2,0)，
不妨取双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为bx ＋ay ＝0，
则焦点F 到渐近线bx ＋ay ＝0的距离d ＝|2b |
b 2＋a 2
<3，
即有2b <3c ，∴4b 2
<3c 2
， ∴4(c 2
－a 2
)<3c 2
， ∴e <2， ∵e >1，∴1<e <2. 答案：(1,2)
[大题综合练——迁移贯通]
1．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点
M (3，m )在双曲线上．
(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→
＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．
解：(1)∵e ＝2，
∴双曲线的实轴、虚轴相等． 则可设双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 2
6
＝1.
(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点， 则MF 1―→
＝(－23－3，－m )， MF 2―→
＝(23－3，－m )．
∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2
， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2
＝6，即m 2
－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→
＝0.
(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.
∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝1
2
×43×3＝6.
2．(2018·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．
解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ，所以a ＝b ， 所以c 2
＝a 2
＋b 2
＝2a 2
＝4，所以a 2
＝b 2
＝2， 所以双曲线方程为x 22－y 2
2＝1.
(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，
所以直线AO 的斜率满足y 0x 0
·(－3)＝－1， 所以x 0＝3y 0，①
依题意，圆的方程为x 2
＋y 2
＝c 2
，
将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2
，即y 0＝12c ，
所以x 0＝
32c ，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32
c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14
c 2
b
2＝1，
即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2
，② 又因为a 2
＋b 2
＝c 2
，
所以将b 2
＝c 2
－a 2
代入②式，整理得 34
c 4
－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2＋4＝0，
所以(3e 2
－2)(e 2
－2)＝0， 因为e >1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.
3．已知椭圆C 1的方程为x 2
4
＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而
C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．
(1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→
＞2，求
k 的取值范围．
解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
则a 2
＝4－1＝3，c 2
＝4，再由a 2
＋b 2
＝c 2
，得b 2
＝1， 故双曲线C 2的方程为x 2
3－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 2
3－y 2
＝1，
得(1－3k 2
)x 2
－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，
得⎩⎨
⎧
1－3k 2
≠0，Δ＝－62k
2
＋－3k
2
＝－k
2
＞0，
∴k 2＜1且k 2
≠13.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－9
1－3k 2.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2
＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋7
3k 2－1
. 又∵OA ―→·OB ―→
＞2，即x 1x 2＋y 1y 2＞2，
∴3k 2
＋73k 2－1＞2，即－3k 2
＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2
＜1，
故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－
33∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫33，1.。