中考数学满分冲刺讲义 第9讲 依据特征构造-补全模型
北师版九年级数学下册培优精品讲义(最新版;可直接打印)
学科教师辅导讲义．cosB|+．、正弦，余弦，正切的概念、特殊角的三角函数值、tanA是一个比值（数值）、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关学科教师辅导讲义知识梳理m（m （参考数据：≈（5、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）A．200米B．200米C．220米D．100（）米6、海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这是测得小岛A在北偏东60°方向上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为（ ）A．5B．6C．6D．8如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为7、急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．面用土石进行加固，（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？8、一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．（1）请根据以上描述，画出图形．（2）已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？课后反击1、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）A．6tan18°cm B．cm C．6sin18°cm D．6cos18°cm2、如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（ ）A．CD=b sin33°+a B．CD=b cos33°+aC．CD=b tan33°+a D．CD=3、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，上的影长为2米，则树的高度为（ ）A．（）米B．12米C．（）米D．10米4、如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（ ）A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63PCD=衡阳】如图，为了测得电视塔的高度，再向电视塔方向前进+12、【2014•深圳】小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米3、【2013•深圳】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）A．B．C．D．4、【2016•十堰】在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为 米．（结果保留根号）理解坡度的概念，利用坡度解决实际问题熟练掌握相关方位角、观察角的概念，准确构造直角三角形、将实际问题中，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；、寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解是解决问题的关键．学科教师辅导讲义知识梳理五、知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解：开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。
九年级数学中考专题(空间与图形)-第九讲《四边形(一)》课件(北师大版)
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
最新中考数学教材全册知识点梳理复习 专题9.对角互补模型 课件PPT
专题9.
对角互补模型
类型一
互补的两个角都是直角
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，则过点C作CM⊥OA，垂足为
点M，过点C作CN⊥OB，垂足为点N，则可以得到△CMD≌△CNE（ASA），进而得
到下列几个结论：
1
2
①CD＝CE，②OD＋OE＝ 2OC，③S△OCD＋S△OCE＝ OC2.
＝，
∴△MBD≌△NCD（AAS），
∴BM＝CN，DM＝DN.
第3题图
∠＝∠，
在△EMD和△FND中，ቐ＝，
∠＝∠，
∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，
∴BE＋CF＝BM＋EM＋CF＝BM＋FN＋CF＝BM＋CN＝2BM
＝2BD×cos 60°＝BD＝ BC＝2.
图1
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA＋∠ADF＝∠CDF＋∠FDA＝90°，
∴∠EDA＝∠CDF.
∠＝∠，
在△AED与△CFD中，ቐ＝，
∠＝∠，
∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF.
∵BE＋CF＝4，∴AB＝BE＋AE＝4，
2
∴S四边形AFDE＝S△AFD＋S△AED＝S△AFD＋S△CFD＝S△ADC＝ S△ABC＝ × AB ＝ ×42＝4.
（2）如图2，求证：BE2＋CF2＝EF2.
证明：如图2，延长ED至点G，使得DG＝DE，连接FG，CG.
∵DE＝DG，DF⊥DE， ∴DF垂直平分EG，∴EF＝FG.
∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.
＝，
在△BDE和△CDG中，ቐ∠＝∠，
2022年九年级中考数学冲刺-几何模型讲义
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
中考数学满分冲刺讲义第9讲依据特征构造-补全模型
第9讲、依据特征构造——补全模型（讲义）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC=∠BAC =120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE =60°，若BD =2CE ，则DE 的长为_____．AD CB EAD CB E2. 如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边B′C′交CD 边于点G ．连接BB′，CC′，若AD =7，CG =4，AB′=B′G ，则CC BB ''的值是________．C'B'GD CBAC'B'GD CBA3. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF，EF=，则BC 边的长为____________．FDECBAFDE CBA4. 如图，已知△ABC 是等边三角形，直线l 过点C ，分别过A ，B 两点作AD ⊥l 于点D ，作BE ⊥l 于点E ．若AD =4，BE =7，则△ABC 的面积为____________．lE DC B A5. 如图，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，连接BD ，AE ．（1）如图1，证明：BD =AE ．（2）如图2，如果D 在AC 边上，BD 交AE 于点F ，连接CF ，过E 作EH ⊥CF 于点H ，若FB -FA =6，CF =4DF ，求CH 的长．lE D C BAEDCBADH FEABC图1 图26. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y =x -3经过B ，C 两点．（1）过点C 作直线CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，点P 是直线CD 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PE 交CD 于点F ，交BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，设点P 的横坐标为t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（2）在（1）的条件下，连接PC ，过点B 作BQ ⊥PC 于点Q （点Q 在线段PC 上），BQ 交CD 于点T ，连接OQ 交CD 于点S ，当ST =TD 时，求线段MN 的长．7. 如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求抛物线的函数表达式．（2）点D 为直线AC上方抛物线上一动点．①连接BC ，CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求12S S 的最大值．②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1.32.5 3.14.35. （1）证明略；（2）CH 的长为154． 6. （1）d =； （2）线段MN的长为5． 7. （1）抛物线的函数表达式为213222y x x =--+； （2）①12S S 的最大值为45； ②存在，点D 的坐标为(-2，3)，(2911-，300121)． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
中考数学考前专题复习对角互补模型
中考数学考前专题复习对角互补模型学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．如图，在Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且CMAC＜312，请直接写出NCPC的值（用含k的式子表示）．2．（1）特例感知：如图1，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF∠DE交AC于点F，求证：BE ＝AF；（2）探索发现：如图2，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF∠DE交AC延长线于点F，求AF的长；（3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．3．（1）如图，Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC 上的动点，且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；（2）如图2，Rt ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD∠BC，∠EDF＝90°．∠求证：DF•DA＝DB•DE；∠求EF的最小值．4．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为线段AD上一动点，连接CE，过点B 作BF∠CE，交射线CD于点F，垂足为P．(1)求证：CED∠BCF；(2)当F为CD的中点时，求tan∠BAP的值；(3)若ABP为等腰三角形时，直接写出DE的长．5．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB 边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt∠ABC与Rt∠ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt∠ABD 绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt∠AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．参考答案：1．（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3）131NC kPC k+=-【解析】【分析】（1）作OD∠AM，OE∠BC，证明∠DOM∠∠EON；（2）作OD∠AM，OE∠BC，证明∠DOM∠∠EON；（3）设AC＝BC＝a，解Rt∠EON和斜∠AOM，用含,a k的代数式分别表示,,NC PN再利用比例的性质可得答案．【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD∠AM于D，OE∠CB于E，∠∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∠∠DOE＝90°，∠AC＝BC，∠ACB＝90°，∠∠A＝∠ABC＝45°，在Rt∠AOD中，2sin2OD OA A OA=∠=，同理：OE＝22OB，∠OA＝OB，∠OD＝OE，∠∠DOE＝90°，∠∠DOM＋∠MOE＝90°，∠∠MON＝90°，∠∠EON＋∠MOE＝90°，∠∠DOM＝∠EON，在Rt∠DOM和Rt∠EON中，MDO NEOOD OEDOM EON∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠DOM∠∠EON（ASA），∠OM＝ON．（2）如图2，作OD∠AM于D，OE∠BC于E，由（1）知：OD＝22OA，OE＝22OB，∠1OD OAOE OB k==，由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∠∠DOM∠∠EON，∠1OM ODON OE k==，∠ON＝k•OM．（3）如图3，设AC＝BC＝a，∠AB＝2a，∠OB ＝k •OA ，∠OB ＝2•1k k +a ，OA ＝2•11k +a ， ∠OE ＝22OB ＝1k k +a ， ∠∠N ＝∠ABC ﹣∠BON ＝45°﹣15°＝30°，∠EN ＝tan OE N ∠＝3OE ＝3•1k k +a ， ∠CE ＝OD ＝22OA ＝11k +a ， ∠NC ＝CE ＋EN ＝11k +a ＋3•1k k +a ， 由（2）知：1OM OA ON OB k==，∠DOM ∠∠EON ， ∠∠AMO ＝∠N ＝30°∠1AM PN k =， ∠OM AM ON PN=， ∠∠PON ∠∠AOM ，∠∠P ＝∠A ＝45°，∠PE ＝OE ＝1k k +a ， ∠PN ＝PE ＋EN ＝1k k +a ＋3•1k k +a ， 设AD ＝OD ＝x ，∠DM ＝3x ，由AD ＋DM ＝AC ＋CM 得，（3＋1）x ＝AC ＋CM ，∠x ＝312-（AC ＋CM ）＜312-（AC ＋312-AC ）＝12AC ， ∠k ＞1 ∠1313113311k a a NC k k k k k PN k k a a k k ++++==++++， 31,13PN PC NC PC k k NC NC NC k++∴==+=+1,13PC kNC k-∴=+∠131NC kPC k+=-．【点睛】本题考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解决问题的关键是作OD∠AC，OE∠BC；本题的难点是条件312CMAC-＜得出k＞1．2．（1）见解析；（2）4；（3）5212-或3132-+或3132+【解析】【分析】（1）证明∠BDE∠∠ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF；（2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题；（3）证明∠EBD∠∠DCF，推出BE BDCD CF=，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可．【详解】（1）证明：如图1中，∠∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，∠BD＝CD＝AD12=BC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD12=∠BAC＝45°，∠DF∠DE，∠∠EDF＝∠ADB＝90°，∠∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，在△BDE和△ADF中，45BDE ADFBD ADB CAD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∠∠BDE ∠∠ADF （ASA ），∠BE ＝AF ；（2）解：如图2中，由（1）知，BD ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∠∠EDF ＝∠ADB ＝90°，∠∠BDE ＝∠ADF ＝90°+∠ADE ，在△BDE 和△ADF 中，45BDE ADF BD AD B CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∠∠BDE ∠∠ADF （ASA ），∠BE ＝AF ，∠AB ＝3，AE ＝1，∠BE ＝AB +AE ＝4，∠AF ＝4；（3）解：如图3中，∠AB ＝AC ，BD ＝CD ，∠AD ∠BC ，∠BAD ＝∠CAD 12=∠BAC ＝60°， ∠BD ＝CD ＝AB •sin 60°＝23，∠AE ＝4AF ，∠可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，∠∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∠∠FDC＝∠BED，∠∠B＝∠C，∠∠EBD∠∠DCF，∠BE BD CD CF=，∠4423423mm-=-，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m5212-=或5212+（舍弃），经检验，m5212-=是分式方程的解．当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∠∠DCF，可得BE BD CD CF=，∠4423423mm-=+，解得，m3132-+=或3132--（舍弃），经检验，m3132-+=是分式方程的解．当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∠∠EBD∠∠DCF，∠BE BD CD CF=，∠4423423mm +=-解得，m3132+=或3132-（舍弃），经检验，m3132+=是分式方程的解．综上所述，满足条件的AF的值为5212-或3132-+或3132+．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．（1）见解析；（2）∠见解析；∠125【解析】【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得∠ADE＝∠BDF，从而得到∠BDF∠∠ADE，即可求证；（2）∠先证得∠BDF＝∠ADE，∠B＝∠DAE，可证得∠BDF∠∠ADE，即可求证；∠连接EF，根据勾股定理可得BC=5，根据三角形的面积可得AD125AB ACBC⋅==，从而得到DC165=，再由∠ADB∠∠CAB，可得BD ABAD AC=，再根据BD DFAD DE=，可得到DF ABDE AC=，从而得到∠EDF∠∠CAB，进而得到EF54DE=，可得到当DE最小时，EF取最小值，即可求解．【详解】证明：（1）如图1，连接AD，∠AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∠AD∠BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAE＝45°，∠∠ADB＝∠EDF＝90°，∠∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠ADE＝∠BDF，在∠BDF和∠ADE中，B DAEBD ADBDF ADE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠BDF∠∠ADE（ASA），∠DE＝DF；（2）∠证明：∠AD∠BC，∠∠ADB＝90°，∠∠ADB＝∠EDF，∠∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠BDF＝∠ADE，∠∠BAD+∠DAE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∠∠B＝∠DAE，∠∠BDF∠∠ADE，∠BD DFAD DE=，∠DF•DA＝DB•DE；∠解：如图2，连接EF，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，则BC22AB AC=+=5，∠AD125AB ACBC⋅==，由勾股定理得：DC22165AC AD=-=，∠∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB=90°，∠∠ADB∠∠CAB，∠DB ADAB AC=，∠BD ABAD AC=，由∠可知，BD DFAD DE=，∠DF AB DE AC=， ∠∠EDF ＝∠CAB ＝90°，∠∠EDF ∠∠CAB ，∠EF DE BC AC =，即54EF DE =， ∠EF 54DE =， 当DE 最小时，EF 取最小值，当DE ∠AC 时，DE 最小，此时，DE 12164855425AD DC AC ⨯⋅===， ∠EF 的最小值为：485122545⨯=． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．4．(1)见解析(2)2711 (3)625-或3或25【解析】【分析】（1）由矩形的四个角都是直角和BF CE ⊥可推出CED ∆和BCF ∆有两组对应角相等，从而证明CED BCF ∆∆∽ ；（2）过点P 作GH CD ⊥于点G ，交AB 于点H ，由四边形BCGH 是矩形，由勾股定理求出BF 的长，再由相似三角形对应边成比例求出PH 、BH 的长，从而求出AH 的长，即可求得tan BAP ∠的值；（3）ABP ∆ 为等腰三角形分为三种情况，按不同情况分类讨论，添加辅助线构造相似三角形，求出DE 的长．(1)∠四边形ABCD 是矩形，BF CE⊥，90BPC︒∴∠=，90.DCE BCP CBF︒∴∠=-∠=∠，CED BCF∴∆∆∽．(2)如图1，过点P作GH CD⊥于点,G，交AB于点H，4CD AB==，122DCF C=∴=，6BC=，2222640BF=+=，40210BF∴==；cosBP BCCBFBC BF==∠，2BP BF CB⋅∴=，22106BP∴=，解得9105=BP，90HBC BCG CGH︒∠=∠=∠=，∠四边形BCGH是矩形，90,//PHA PHB GH BC︒∴∠=∠=，BPH FBC∴∠=∠，cosPH BCFBCBP BF∴==∠，91021065PH∴=⨯，解得275PH=，sinBH CFFBCBP BF==∠，BBF H BP CF⋅=⋅∴，91021025BH∴=⨯，解得95BH=，911455AH∴=-=，272751tan.11115PHBAPAH∴∠===(3)当PA PB=时，如图2，作PH AB⊥于点H，则AH＝BH，90,//BHP BAC AD BC︒∠=∠=，APH D BC∴∥∥，1EP AHCP BH∴==，EP CP∴=，BF CE⊥，6BE BC∴==，∠AE226425=-=，∠DE＝625-；当P A ＝AB 时，如图3，作AM ∠BP 于点M ，则12BM PM BP ==， cos BP BC CBF BC BF==∠， 22636BC BF F BP BF B ===∴， 1182B B P BFM =∴= //AB CD ，ABM F ∴∠=∠，cos BM CF F AB BF∴==∠， 184CF BF EF∴=， ∠整理得CF 92=， 90DCE BCP CBF ︒∠=-∠=∠，tan DE CF CBF CD BC∴==∠， 94236CD CF BC DE ⨯⋅=∴==；当BP ＝AB ＝4时，如图4，则226425PC =-=，,90,DEC PCB EDC CPB CD AB BP ︒∠=∠∠=∠===，()CDE BPC AAS ∴∆∆≌，25DE PC ∴==．综上所述，DE 的长为625-或3或25．【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，解第（3）题时要分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题难度较大，属于考试压轴题．5．（1）矩形或正方形；（2）AC=BD ，理由见解析；（3）10417 或12﹣372． 【解析】【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD ，理由为：连接PD ，PC ，如图1所示，根据PE 、PF 分别为AD 、BC 的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB ，利用SAS 得到三角形ACB 与三角形DPB 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i ）当∠AD′B=∠D′BC 时，延长AD′，CB 交于点E ，如图3（i ）所示，由S 四边形ACBD′=S △ACE ﹣S △BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii ）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E∠AC 于点E ，如图3（ii ）所示，由S 四边形ACBD′=S △AED′+S 矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∠PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∠PA=PD，PC=PB，∠∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∠∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∠∠APC=∠DPB，∠∠APC∠∠DPB（SAS），∠AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∠∠ED′B=∠EBD′，∠EB=ED′，设EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，过点D′作D′F∠CE于F，∠D′F∠AC，∠∠ED′F∠∠EAC，∠D F ED AC AE''=，即4.544 4.5D F'=+，解得：D′F=36 17，∠S△ACE=12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S△BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117，则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣8117=10417；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E∠AC于点E，如图3（ii）所示，∠四边形ECBD′是矩形，∠ED′=BC=3，在Rt∠AED′中，根据勾股定理得：AE=7，∠S△AED′=12AE×ED′=12×7×3=372，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣7）×3=12﹣37，则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=372+12﹣37=12﹣372．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．。
中考数学专题复习——几何综合(最新讲义)
中考数学——几何综合（讲义）➢ 知识点睛1. 几何综合问题的处理思路①标注条件，合理转化 ②组合特征，分析结构 ③由因导果，执果索因 2. 常见的思考角度304560 1 ↔⎧⎪↔⎪⎪↔⎨⎪↔⎪⎪︒︒︒↔⎩，，同位角、内错角、同旁内角平行内角、外角、对顶角、余角、补角转化计算角圆心角、圆周角在圆中，由弧找角，由角看弧直角互余、勾股定理、高、距离、直径特殊角等在直角三角形中，找边角关系（） 2 ↔⎧⎪⎧⎪↔⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪↔⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪↔⎩、角平分线、垂直平分线轴对称性质勾股定理放在直角三角形中边角关系遇弦，作垂线边、线段连半径转移边放在圆中遇直径找直角遇切线连半径结合全等相似线段间比（例关系） 3 n ⎧⎧⎪⎪⎪⎪→⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩倍长中线中位线中点三线合一特殊点斜边中线等于斜边的一半相似等分点面积转化（） 4 ⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩公式法相似规则图形转化法同底面积共高分割求和不规则图形割补法）补形作差（3. 常见结构、常用模型⎧→⎧⎪⎪→⎪⎪⎨⎪→⎪⎪⎪→⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩中点结构中点的思考角度直角结构斜转直常见结构旋转结构全等变换折叠结构轴对称的思考层次角平分线模型弦图模型常用模型相似基本模型三等角模型半角模型 ➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．若∠AEF =55°，则∠EAF=________．F EDCBA提示：倍长中线，构造全等三角形转移条件．具体操作：D 为中点，延长AD 到G 使DG =AD ，连接BG ．得到△ADC ≌△GDB ．2. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC =90°，∠C =70°，点E 是BC的中点，CD =CE ，则∠EAD 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°提示：平行夹中点，构造全等三角形补全图形．AD CE B具体操作：AB ∥CD ，E 为BC 的中点，延长AE 交直线CD 于点F ．得到△ABE ≌△FCE ．3. 如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB =66°，∠CAD =20°，则∠EFG =____．AB CD FEG提示：多个中点考虑中位线，利用中位线性质转移角、转移边．具体操作：GF ，GE 分别为△CDA ，△ABC 的中位线．4. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =DC =3，sin C =45，则△ABC 的周长为______．提示：等腰三角形底边上的的中点——通过等腰三角形三线合一，构造直角三角形．具体操作：连接AD ，得到Rt △ADC ．5. 如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC =60°，BN ，CM 为高，P 是BC 的中点，连接MN ，MP ，NP ．则以下结论：①NP =MP ；②当∠ABC =60°时，MN ∥BC ；③BN =2AN ；④当∠ABC =45°时，BNPC ．其中正确的有（ ）具体操作：在Rt △BMC 中，MP 为斜边中线；在Rt △BNC 中，NP 为斜边中线．6. 如图，正方形ABCD 边长为9，点E 是线段CD 上一点，且CE 长为3，连接BE ，作线段BE 的垂直平分线分别交线段AD ，BC 于点F ，H ，垂足为G ，则AF 的长为______．H G F EDCBA方法1：提示：从边的角度考虑直角，往往先表达，然后用勾股定理建等式． 具体操作：连接BF ，EF ，则BF =EF ，设AF 为x ，分别在Rt △BAF 和Rt △EDF 中表达BF 2，EF 2，再利用BF 2=EF 2求解． 方法2：提示：从角度转移考虑直角，往往先找角相等，然后证相似或全等． 具体操作：过点F 作FM ⊥BC 于点M ，则可证△FMH ≌△BCE ，则MH =CE =3，连接EH ，利用勾股定理求解EH （BH ），则AF =BH -MH ． 7. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于D ．则AD 的长为_______________．DCBA提示：①特殊角+直角；②直角两边可看做是面积中的底或高．具体操作：①过点C 作CE ⊥AB ，交BA 延长线于点E ，在Rt △CAE 中利用特殊角60°求解；②将AD 看成高，求出BC 后，利用CE AB AD BC ⋅=⋅求解．8. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，则BD =________．ABECD提示：直角+角平分线，逆用三线合一构造出等腰三角形．具体操作：BE 既是角平分线、又是高．延长BA ，CE 交于点F ，可证△CAF ≌△BAD ．9. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，BD =2，AD =8，则CD =_________．DC提示：多个直角（直角三角形斜边上的高），考虑母子型相似．具体操作：由∠ACB =∠ADC =90°，考虑△BDC ∽△CDA ∽ △BCA ．10. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若∠AED =90°，则CE =_____．ABCDE提示：多个直角（一线三等角），考虑三等角模型．具体操作：∠ABE =∠ECD =∠AED =90°，考虑△ABE ∽△ECD ．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC=BC 的长为________．CB OAED提示：多个直角（斜放置的正方形、等腰直角三角形），考虑弦图．具体操作：过点D 作DF ⊥CB ，交CB 延长线于点F ，连接OF ．由弦图可知，△OCF 是等腰直角三角形．12. 如图，将三角板放在矩形ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点B ，三角板的直角顶点E 落在矩形对角线AC 上，另一边交CD 于点F ．若AB =3，BC =4，则EF EG=________． FEDCG (B )A提示：斜直角要放平（关键是与其他直角配合），利用互余转移角后，寻找三角形相似或全等．具体操作：过点E 分别作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥BC 于N ，则△EMF ∽△ENG ．13. 已知直线l 1：y =112x b -+与直线l 2垂直，且直线l 2经过定点A (3，0)，则直线l 2表达式为________________．提示：坐标系下的垂直，优先考虑121k k ⋅=-． 具体操作：由121k k ⋅=-求得k 2，再利用A (3，0)求b 2．14. 如图，在⊙O 中，弦AB，弦ADACB =45°，则弦AD 所对的圆心角为_______．CA提示：圆背景下，要构造直角，考虑：①直径所对的圆周角是直角；②垂径定理．具体操作：连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接DE ，BE ．在Rt △ABE 中，求解直径AE ；在Rt △ADE 中，利用边角关系，求解∠AED 进而得到∠AOD ． 15. 如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边上的点B ′处．若AE =2，DE =6，∠EFB =60°，则矩形ABCD 的面积是__________．B'A'F EDCBA提示：折叠，考虑：①利用对应边、对应角相等，考虑转移边、转移角；②矩形中的折叠常出现等腰三角形．具体操作：由折叠∠EFB =∠EFB′=60°，AE =A′E =2，∠B =∠A′B′F =90°，结合内错角∠B′EF =∠BFE =60°，可在Rt △A′B′E 中求解A′B′，即AB 的长．16. 如图，将长为4cm ，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长为__________．BCFAEMD提示：折叠，考虑折痕是对应点连线的垂直平分线．具体操作：连接BE ，BM ，ME ，则BM =ME ，在Rt △BAM 和Rt △MDE 中表达BM 2，ME 2，利用相等建等式求解．17. 如图，已知直线l ：y =122x -+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则点C 的坐标为_________．提示：折叠，可考虑折痕垂直平分对应点连线．函数背景下的折叠可以考虑121k k ⋅=-和中点坐标公式的组合应用．具体操作：连接OC ，先利用原点坐标和121k k ⋅=-求得OC 解析式；联立OC 和AB 解析式求出OC 的中点坐标后，进而求出点C 坐标．18. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，ACACB =90°，∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为__________．（结果保留π）19.的位置，使得CC′∥AB ，则∠BAB′的度数为（ ） A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°C'B'ABC提示：旋转是全等变换，对应边相等，对应角相等；会出现等腰三角形． 具体操作：由旋转可知AC =AC′（对应边相等），∠BAB′=∠CAC′（旋转角相等）．20. 如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连接P A ，PB ，PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接PQ ，CQ ．若P A :PB :PC =3:4:5，则∠PQC =________．QBCPA提示：利用旋转可以重新组合条件．当看到等腰结构时往往会考虑利用旋转思想构造全等．具体操作：由等腰结构AB =BC ，PB =BQ ，先考虑△APB 和△BQC 的旋转关系，证明△APB ≌△CQB 后验证，重新组合条件后利用勾股定理进行证明．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE =12∠BAC ，CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________． FEDBA2. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，点E 是AD 上一点，且AE =4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，交AB 于点H ，连接EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是_______．HGOB A DEC F3. 如图，在□ABCD 中，AB :BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 边上，且AE :EB =1:2，F 是BC 的中点，过点D 分别作DP ⊥AF 于点P ，DQ ⊥CE 于点Q ，则DP :DQ 等于（ ） A ．3:4BCD．QDCFBPEACBGFEDA第3题图 第4题图4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE ⊥BD于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG ，DF ．若AG =13，CF =6，则四边形BDFG 的周长为________．5. 如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB =CD，AD =CD 中点，连接AE，且AE =BF =________．BCEADF6. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =3，BC =5，将腰DC 绕点D 逆时针方向旋转90°并缩小，恰好使DE =23CD ，连接AE ，则△ADE 的面积是________．7. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x 上一点P (1，1)，C 为y 轴上一点，连接PC ．线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ．若直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的坐标为__________．8. 如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ．若DE :AC =3:5，则ADAB的值为_________． ED C B AEDCBA9. 如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ；如图2，展开再折叠一次，使点C 落在线段EF 上，折痕为BM ，BM 交EF 于O ，且△NMO的周长为3，展开再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为P ，EP 交AB 于Q ，则△AQE 的周长为_______．图1BAD FC EMN图2OBAD F CE PHG 图3Q BA D F CE10.如图，在边长为的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE =DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE ，BH ．若BH =8，则FG =_______．GHBA D F CE11.顺时针旋转得到△A B′C′，连接CC ′并延长，交AB 于点O ，交BB ′于点F ．若CC ′=CA ，则BF =_____．C'O B AFC B'12. 如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ，连接BP ．若AE =AP =1，PB =APD ≌△AEB ；②BE ⊥DE ；③点B 到直线AE；④1△△APD APB S S +=⑤4ABCD S =正方形 ） A ．③④⑤B ．①②⑤C ．①③⑤D ．①②④⑤PDA B CE【参考答案】 ➢ 课前预习1. 55°2. A3. 23°4. 165. B6. 27.7 8. 10 cm 9. 410. 1或6 11. 712. 4313. 26y x =-14.120°15.16.138cm17.816 () 55，18.(4π19.C20.90°➢精讲精练1.12.73.D4.205.4-6.27.99 () 44，8.1 29.1210.11.5 212.B。
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
15直线与圆的位置关系一 16直线与圆的位置关系二 17与圆相关的比例线段
18圆与圆的位置关系 19平面几何的定值问题 20平面几何的最值问题
21分而治之 22数形结合 23顺思逆想
内容截图：
15直线与圆的位置关系一16直线与圆的位置关系二17与圆相关的比例线段
九年级数学培优满分讲义内容（23专题23个word文档150多页）
1、转化与化归一般
5、最优化 6、是偶然还是必然 7、三角函数 8、旋转变换
9、平行线分线段成比例 10、从全等到相似 11、相似三角形的性质
2023中考数学常见几何模型《全等模型-倍长中线与截长补短》含答案解析
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
中考数学几何模型之截长补短模型(解析版)
中考数学几何模型之截长补短模型(解析版)中考数学几何模型：截长补短模型名师点睛有一类几何题，主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目可以采取“截长”或“补短”的方法来求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的题目采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
典题探究例题1：如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上。
求证：（1）BE⊥CE；（2）XXX。
解答：1）因为BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，所以∠1=∠2，∠3=∠4.又因为AB∥CD，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°，因此∠2+∠3=90°，所以∠BEC=90°，因此BE⊥CE。
2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF。
在△ABE和△FBE中，因为∠A=∠5，而且AB∥CD，所以∠A+∠D=180°，因此∠5+∠D=180°。
又因为∠5+∠6=180°，所以∠6=∠D。
因此△ABE≌△FBE（SAS）。
在△CDE和△CFE中，因此CF=CD。
因为BC=BF+CF，所以XXX。
因此△CDE≌△CFE（AAS）。
例题2：已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O。
试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由。
解答：在BC上取点G使得CG=CD。
因为∠BOC=180°−（∠ABC+∠ACB）=180°−（180°−60°）=120°，所以∠BOE=∠COD=60°。
因为在△COD和△COG中，所以△COD≌△COG（SAS）。
人教版初三全册数学满分班讲义
满分晋级阶梯中考内容与要求中考内容中考要求ABC二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题中考考点分析二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定1二次函数图象特征与变换函数16级方程与函数思想函数15级二次函数图象特征与变换函数14级二次函数实际应用二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2011年2012年2013年题号7，8，238，2310，23分值11分11分9分考点抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性知识互联网思路导航图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则：开口方向00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小．题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系例题精讲【引例】二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<；1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>典题精练【例1】⑴设0＞b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为（）A ．152--B ．152-+C ．1-D ．1⑵二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（）⑶若二次函数2y ax bx c =++的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴，则点,c P a b ⎛⎫⎪⎝⎭在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】⑴二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，已知OA OB 2=，OC OA ＜，则a ，b ，c 满足的关系式是⑵如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为．C BAOy x【例3】(1)已知二次函数c bx ax y ++=2满足：⑴c b a ＜＜；⑵0=++c b a ；⑶图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①0a <；②0a b c -+<；③0c >；④20a b ->；⑤412＜a b -(2)已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b +=；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例4】⑴二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a的取值范围⑵二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．思路导航平移“左加右减，上加下减”．对称关于x 轴对称2y ax bx c =++的图象关于x 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =---．关于y 轴对称2y ax bx c =++的图象关于y 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+．关于原点对称2y ax bx c =++的图象关于原点对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+-．旋转主要旋转180︒和90︒.例题精讲【引例】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，．⑴求该二次函数的解析式；⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．【解析】⑴设二次函数解析式为2(1)4y a x =--，∵二次函数图象过点(30)B ，，∴044a =-，得1a =．∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--．⑵令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-．∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，．典题精练题型二：二次函数的图象变换【例5】已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与反比例函数xa y 4+=的图象交于点A (a ,-3)，与y 轴交于点B .⑴试确定反比例函数的解析式;⑵若∠ABO =135︒,试确定二次函数的解析式;⑶在⑵的条件下,将二次函数y =ax 2+bx +c 的图象先沿x 轴翻折,再向右平移到与反比例函数xa y 4+=的图象交于点P (x 0,6).当x 0≤x ≤3时,求平移后的二次函数y 的取值范围.【例6】已知抛物线()221:22101C y ax amx am m a m =-+++>>，的顶点为A ，抛物线2C 的对称轴是y 轴，顶点为点B ，且抛物线1C 和2C 关于点()13P ，成中心对称．⑴用含m 的代数式表示抛物线1C 的顶点坐标；⑵求m 的值和抛物线2C的解析式.【例7】已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，310=OP ，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b的取值范围.复习巩固题型一二次函数图象与其解析式系数关系巩固练习【练习1】在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（）【练习2】如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x 轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．12b -<<D ．01b <<【练习3】二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，且2P a b c a b =-+++，2Q a b c a b =+++-，请比较P 、Q 的大小．-1-1BAO yxDCBAxyO xyO xyO O yx1xyO题型二二次函数的图象变换巩固练习【练习4】如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．⑴求P 点坐标及a 的值；⑵如图⑴，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P M 、关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式.（福建宁德中考）y xAO B PM图1C 1C 2C 3图⑴【练习5】二次函数2y x =的图象所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．⑴画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式．⑵求经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？思维拓展训练(选讲)训练1.⑴设a 、b 是常数，且0b >，抛物线2256y ax bx a a =++--为下图中四个图象之一，则a 的值为（）-111-1xyOxyOx yO xyOA ．6或1-B ．6-或1C ．6D ．1-⑵已知0b <时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示．-111-1xyOxyOx yO x yO根据图象分析，a 的值等于．．．．（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2训练2.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点()20-，和()10-，之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 内（包括边界和内部）的一个动点，则①abc _______0（填“>”或“<”）；②a 的取值范围是_____________．训练3.已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．⑴求该抛物线与x 轴的交点及顶点的坐标(可以用含k 的代数式表示)；⑵若记该抛物线顶点的坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值；⑶将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．训练4.已知抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．⑴求m 的取值范围；⑵若m >1,且点A 在点B 的左侧，OA :OB =1:3,试确定抛物线的解析式；⑶设⑵中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴,将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折,抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象.请你结合新图象回答:当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0,y 0)且07y ≤时,求b 的取值范围.第十七种品格：成就古往今来，古今中外，很多人取得了各种成就。
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 对角互补模型(从全等到相似)(解析版)
专题04 对角互补模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.对角互补模型（全等模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。
该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等. 【常见模型及结论】1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120º，OC 平分∠AOB . 则可得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠234CODCOESS+=. 2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，OC 平分∠AOB . 则可以得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠212ODCE OCDCOES SSOC =+=. 3）全等型—2α和1802α︒-：如图3，已知∠AOB ＝2α，∠DCE ＝1802α︒-，OC 平分∠AOB . 则可以得到以下结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝2OC ·cos ，∠2sin cos OCDCOESSOC αα+=⋅⋅.1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．（探究发现）（1）如图①，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＝∠ADC ＝90︒．求证：AD ＋AB ＝AC ；（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＋∠ADC ＝180︒．①猜想AB 、AD 、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）①AD ＋AB ＝AC ，见解析；②【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，然后根据直角三角形中30o 是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ，构造AAS 证明∠CFB ≅∠CED ，根据全等的性质得到FB ＝DE ，结合第一问结论即可写出数量关系； ②根据题意应用60o 的正弦值求得CE 的长，然后根据()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋的数量关系即可求解四边形ABCD 的面积．【详解】（1）证明：∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ，∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ， ∠∠ADC ＝∠ABC ＝90o ，，∠∠ACD ＝∠ACB ＝30o ，∠AD ＝1122AC AB AC ，＝．∠AD ＋AB ＝AC ， （2）①AD ＋AB ＝AC ，理由：过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ．∠AC 平分∠BAD ，∠CF ＝CE ，∠∠ABC ＋∠ADC ＝180o ，∠EDC ＋∠ADC ＝180o ，∠∠FBC ＝∠EDC ， 又∠CFB ＝∠CED ＝90o ，∠∠CFB ≅∠CED ()AAS ，∠FB ＝DE ， ∠AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF ，在四边形AFCE 中，由∠题知：AE ＋AF ＝AC ，∠AD ＋AB ＝AC ； ②在Rt ∠ACE 中，∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，又∠AC ＝10，∠CE ＝A sin 10sin 60o DAC ∠＝＝∠CF ＝CE ，AD ＋AB ＝AC ，∠()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋＝111022AC CE ⨯⨯⨯＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．2．（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到'DAB △，则'BDB △的形状是 ．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角为120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长． ）将BDM 绕点，得到DCP ，则DCP =∠，NPD ≅△，证得AMN 的周长【详解】解：（1）将DCB 绕点顺时针方向旋转60︒，得到'DAB ， ∠DCB ∠'DAB △，'BD B D =，60BDB ∠=︒， 'BDB △是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）过B ′于E ，2224）解：将BDM 绕点，得到DCP ， CDP △，，CP BM =PDC ∠， ∠BDC 是等腰三角形，且BD CD =DBC ∠=∠又∠ABC 等边三角形，ABC ACB ∠=∠MBD ACB ∠=∠同理可得NCD ∠PCD NCD =∠DCN NCP +∠在NMD △和NPD 中，MD PD MDN PDN DN DN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∠()NMD NPD SAS ≅△△， ∠MN PN NC CP NC BM ==+=+，∠AMN 的周长224AM AN MN AM AN NC BM AB AC =++=+++=+=+=．故AMN 的周长为4．【点睛】本题考查三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特殊角锐角三角函数，掌握三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特别是利用图形旋转进行图形的转化特殊角锐角三角函数，是解题关键． 3．（2022·河南安阳·二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，120MAN ∠=︒，AC 平分,,MAN CD AM CB AN ∠⊥⊥，求证：AB AD AC +=． 【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的DCB ∠绕点C 逆时针旋转，CD 交MA 的延长线于点D ，CB 交射线AN 于点B ，写出线段AD ，AB ，AC 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．【应用】（3）如图3，ABC 为等边三角形，4AB =，P 为BC 边的中点，120MPN ∠=︒，将MPN ∠绕点P 转动使射线PM 交直线AC 于点M ，射线PN 交直线AB 于点N ，当8AM =时，请直接写出AN 的长． 的结论可得PEM PFN ≌，根据含FN AF EM AF =+=） AC 平分MAN ∠，60DAC BAC ∠=∠=1AC =，∴AB AD +∠MAN ∠=BAD ∠+∠CED ∠=CED CFB ∴≌，ED ∴,AE ED AD AF =-AE AF ED AD ∴+=-又AE AF AC +=，∴（3）①如图，当M P 是BC 的中点，ABC 是等边三角形，∠B =∠C =60°）可得PEM PFN ≌，EM ∴AB 1122CP BC AB ∴===FPB =90°-60°=30°，1，3AE AF ∴==，AM AN AF FN AF ∴=+=模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
中考数学满分冲刺讲义第10讲依据特征构造_最值问题
第10讲、依据特征构造——最值问题（讲义）1. 如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线AB 交于A (-4，-4)，B (0，4)两点，直线AC ：交y 轴于点C ，点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF ⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G ．（1）求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式．（2）连接GB ，EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标．（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，以A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E ，H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求AM +CM的最小值．162y x =--122. 如图，抛物线y =ax 2+bx -a -b （a ＜0，a ，b 为常数）与x 轴交于A ，C 两点，与y 轴交于点B ，直线AB 的函数关系式为．（1）求该抛物线的函数关系式与点C 的坐标．（2）已知点M (m ，0)是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D ，E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形？ （3）在（2）问条件下，当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON （旋转角在0°到90°之间）． i ．探究：线段OB 上是否存在定点P （P 不与O ，B 重合），无论ON 如何旋转，始终保持不变．若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． ii ．试求出此旋转过程中，(NA +NB )的最小值．81693y x =+N P N B343. 已知抛物线y =a (x +3)(x -1)（a ≠0），与x 轴从左至右依次相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线与抛物线的另一个交点为D ． （1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒个单位的速度运动到点D 后停止，则当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？y b =-+34.如图，抛物线y=x2+bx+c经过B(-1，0)，D(-2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．（1）求抛物线的解析式．（2）是否存在点P，使∠APB=90°？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中的用时t最少？备用图【参考答案】1. （1）抛物线的表达式为y =-x 2-2x +4；（2）点G 的坐标为(-2，4)； （3）①此时E (-2，0)，H (0，-1)； ②AM +CM 的最小值为．2. （1）抛物线的函数表达式为；C (1，0)；（2）当m =-4时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形； （3）i ．存在，P 点坐标为(0，3)； ii ．(NA +NB )的最小值为3. （1）抛物线的函数解析式为（2）点P 的坐标为(-4，)或(-6，；122284016993y x x =--+342y =--+3--（3）当点E 的坐标为(1，时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少．4.（1）抛物线的解析式为y =x 2-2x -3；（2）存在，点P 的横坐标为（3）当点Q 的坐标为(-1，4)时，点M 在整个运动过程中的用时t 最少．-1+1-。
【中考必读】对角互补模型—构造全等或相似
【中考必读】对角互补模型—构造全等或相似在做中学在学中做因为坚持就有希望。
一、2019年3月份测试卷(点击下方序号可跳转至试题)【1】2019年沈阳第126中学3月份测试卷解析【2】2019年沈阳第134中学3月份测试卷解析【3】2019年沈阳第 43 中学3月份测试卷解析【4】2019年沈阳3月私立校联考试卷解析-系列一【5】2019年沈阳3月私立校联考试卷解析-系列二二、模型(点击下方序号可跳转至试题)【1】角含半角模型【2】定弦定角模型【3】燕尾模型三、沈阳中考试题(点击下方序号可跳转至试题)【1】沈阳市2017年中考数学第25题解析【2】沈阳市2012-2018年中考数学第24题汇编【3】沈阳市2013-2018年中考数学第16题汇编常见的对角互补模型，都有哪些呢？分别能得出什么样的结论呢？下面跟着小编一起来探索其中的奥秘。
【对角互补模型-第一种】【原题再现】【对角互补模型-第二种】当∠ DCE的一边与AO的延长线相交于点D时 ,当∠ DCE的一边与BO的延长线相交于点E时 ,【2017年皇姑区二模[第24题]】【原题再现】【思维教练】（1）DE⊥AB；用四边形内角和为360°，求出∠AED的度数即可。
（2）只需证明△DEN和△DFM全等即可；（3）在旋转过程中要分两种情况讨论，如下图2，BN=CM=(1/2)BD=(1/4)AB，通过图3，证明EN=FM，所以BE+CF=BN+CM=2BN=BD=(1/2)AB；【对角互补模型-第三种】在此小编给出一种证法，另一种同前，延伸：当∠DCE的一边与∠AOB的一边延长线相交时，证法同上。
【对角互补模型-第四种】【2011年浙江绍兴中考数学[第25题]】【原题再现】【思维教练】【2015年沈河区二模[第25题]】【变式训练】。
2024年九年级数学中考一轮复习考点突破课件：构造辅助圆
A'在线段CE上时，A'C的长取最小值.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠EBC
＝90°，BC＝AD＝3.在Rt△BCE中，BE＝1，BC＝3，∠EBC＝90°，∴
CE＝ ＋ ＝ .∴ A'C长的最小值＝CE－A'E＝ －1.
类型二 四点共圆构造圆
模型解读：1. 如图①，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，则点
O'A＝ ＋′ ＝ ＋ ＝5.当A，D，O'三点共线
时，AD的长有最小值，此时AD＝O'A－O'D＝5－4＝
1.∴ AD长的最小值为1.
强化训练
1. 如图，△ABC为等边三角形，AB＝3.若P为△ABC内一动点，且满足
∠PAB＝∠ACP，则线段PB长的最小值为（ B ）
A. 1.5
6
解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ADC＝90°.∴ ∠ADF
＋∠FDC＝90°.∵ ∠ADF＝∠DCF，∴ ∠FDC＋∠DCF＝
90°.∴ ∠DFC＝90°.
∴ 点F在以DC为直径的半圆上运动（不与点C，D重合）.如
图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的
正方形AB'C'D，则点B的对应点是B'，连接B'O，交AD于点
∴ C，D，P，E四点共圆，且PC为直径，圆心为点O.
∴ ∠EOD＝2∠ECD＝120°.∵ OD＝OE，OH⊥DE，
∴ DH＝EH，∠ODE＝∠OED＝30°.∴ 易得
EH＝DH＝
OE.∴
DE＝ OE.∴ 当OE长的值最小，
即PC长的值最小时，DE长的值最小.根据垂线段最短，
可知当CP⊥AB时，PC最短，易得此时PC＝3 ，则OE
中考总复习+与角数量关系相关的模型++讲义+2023—2024学年人教版九年级下册数学
与角数量关系相关的模型类型1绝配角绝配角(若两个角满足α+2β = 180°，则称α，β为一组绝配角)条件中出现绝配角或者导角后得到绝配角，（1）由绝配角构造镜面角(入射光线CO、反射光线OB和平面镜OA的夹角)经典模型图常用结论2α+β=180°(1) 反向延长OB ：∠AOD=∠AOC=α(2) 反向延长OA：∠BOD=∠AOC=α（2）由绝配角构造等腰三角形经典模型图常用结论∠A=2α，∠B=90°-α过点B作BD⊥AC于点D，在CA上取一点E，使CD=DE∠C=90°-αAB=AC，∠CBD=αBC=BE例1、如图，在四边形ABCD中ADBC，∠BAC=90∘−12∠CAD，AC，BD相交于点E，且∠BEC= 60°，若AD=5，BD=15，求AC的长.例2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，连接DE，2∠C+∠BDE=180°，AC= BD，∠AED=∠C，BE=3，求CD 的长.例3、如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=60°，过点C作CD⊥AB于点D ，点E在弧AC上，∠ACE，若CD=a，CE=b，求AB 的长.(用含a，b 的连接AE，BE，CE，满足∠ACB=90∘−12式子表示)练习题∠BDC；1、如图，在△ABC中，AB=AC，D在△ABC外，且∠ADB=90∘−12(1)求证：∠DBC=∠DAC；(2)若∠ACD=60°，BD=5，CD=3，求AD的长。
2、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在BC上，点E在AC 上，∠ADC=2∠EBC ，若CD=mCE ，求CEAD 的值。
(用含m 的代数式表示)小明通过探究发现，将△ACD 绕点C 顺时针旋转90°得到ΔBCM （图2），再证出EM=BM ，问题就得到解决，(1) 请你根据小明的思路解决这个问题； 参考小明解决问题的方法，解决下面的问题；(2)如图3，在等边△ABC 中，D 为边AB 上一点，E 为CD 上一点，∠EBC=2∠ACD ，F 为BE 上一点且∠FDE=60°，若EF=kBF ，求 DEDF 的值.(用含有k 的代数式表示)类型2 倍半角经典模型图常用结论 角平分线法：作二倍角的角平分线，从而得到相等的角； 条件：∠AOB=2∠CO′D ； 辅助线：作 OE 平分∠AOB∠AOE=∠BOE =∠CO' D加倍法：加倍半角，从而得到相等的角； 条件：∠AOB=2∠CO′D ； 辅助线：作∠CO' E=∠CO' D∠DO′E=∠AOB等腰法：由二倍角关系，作以二倍角为顶角的外角的等腰三角形条件：∠ABC=2∠C；辅助线1：作BD平分∠ABC；辅助线2：∠CAD=∠C；辅助线3：延长CB至点D，使DB=ABDB=DC，AB=AD=DC，AD=AC例1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，E分别在边AC，BC上，∠C=2∠BAE，EA 平分∠BED，BE=5，CD=12，求CE的长.例2、如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，点F在CE上，且∠BAF=2∠DAE，求证：EF=CF.例3、如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，点F在边AB上，点G 在边AC上，CD=CG，FD⊥BC于D，且FD平分∠BFG，FD=kDG，探究AB与AC之间的数量关系，并证明.(用含k 的式表示)练习题1、如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点O，若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，求AD的长．2、如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，连接AC，BD，AB＝AC，并且∠ADB＝2∠CBD，若AD＝5，BC＝8，求AB的长．。
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第9讲、依据特征构造——补全模型（讲义）
1. 如图，
在△ABC 中，AB =AC
=∠BAC =120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE =60°，若BD =2CE ，则DE 的长为_____．
A
D C
B E
A
D C
B E
2. 如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边
B′C′交CD 边于点G ．连接BB′，CC′，若AD =7，CG =4，AB′=B′G ，则
CC BB '
'
的值是________．
C'
B'
G
D C
B
A
C'
B'
G
D C
B
A
3. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将
AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF
，EF
=，
则BC 边的长为____________．
F
D
E
C
B
A
F
D
E C
B
A
4. 如图，已知△ABC 是等边三角形，直线l 过点C ，分别过A ，B 两点作AD ⊥l 于点D ，
作BE ⊥l 于点E ．若AD =4，BE =7，则△ABC 的面积为____________．
l
E D
C B A
5. 如图，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，连接BD ，AE ．
（1）如图1，证明：BD =AE ．
（2）如图2，如果D 在AC 边上，BD 交AE 于点F ，连接CF ，过E 作EH ⊥CF 于点
H ，若FB -FA =6，CF =4DF ，求CH 的长．
l
E D C B
A
E
D
C
B
A
D
H F
E
A
B
C
图1 图2
6. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两
点，交y 轴于点C ，直线y =x -3经过B ，C 两点．
（1）过点C 作直线CD ⊥y 轴交抛物线于另一点D ，点P 是直线CD 下方抛物线上的一个动点，且在抛物线对称轴的右侧，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PE 交CD 于点F ，交
BC 于点M ，连接AC ，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，设点P 的横坐标为t ，线段MN 的
长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，连接PC ，过点B 作BQ ⊥PC 于点Q （点Q 在线段PC 上），
BQ 交CD 于点T ，连接OQ 交CD 于点S ，当ST =TD 时，求线段MN 的长．
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线1
22
y x =
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2
12
y x bx c =-
++经过A ，C 两点，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求抛物线的函数表达式．
（2）点D 为直线AC
上方抛物线上一动点．
①连接BC ，CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为
S 2，求1
2
S S 的最大值．
②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
1.
3
2.
5 3.
1
4.
3
5. （1）证明略；
（2）CH 的长为
154
． 6. （1
）d =
； （2）线段MN
的长为
5
． 7. （1）抛物线的函数表达式为213
222
y x x =-
-+； （2）①
12S S 的最大值为4
5
； ②存在，点D 的坐标为(-2，3)，(2911-
，300
121
)． 感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。