黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三第二次模拟考试理科数学答案
2020年黑龙江哈尔滨香坊区哈尔滨第九中学校高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年黑龙江哈尔滨香坊区哈尔滨第九中学校高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第1题5分已知集合A={x∈Z||x−1|<2}，B={x|x2⩽4}，则A∩B=（）．A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {x|−1<x⩽2}2、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第2题5分已知复数z满足z(1−i)=|1+√3i|，则复数z的共轭复数为（）．A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i3、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第3题5分2020~2021学年10月山东青岛崂山区青岛第二中学高三上学期月考第3题5分2020~2021学年湖北武汉洪山区湖北省水果湖高级中学高一上学期期中第4题5分2019~2020学年山东青岛崂山区青岛第二中学高二下学期开学考试第2题5分“a<2”是“∀x>0，a⩽x+1x”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第4题5分函数y=cosx⋅(e x−1e x+1)的图象大致为（）．A.B.C.D.5、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第5题5分刘徽（约公元225年−295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin3°的近似值为（ ）．A. π90B. π180C. π270D. π606、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第6题5分 若a >b >0，则下列不等式恒成立的是（ ）．A. a 2<b 2B. (12)a <log 12b C. 2a <2bD. log 12a <log 12b7、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第7题5分 已知(x 2+a )(x −2x )5的展开式中所有项的系数和为−2，则展开式中含x 项的系数为（ ）． A. 80 B. −80 C. 40 D. −408、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第8题5分 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过右焦点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点P ，以F为圆心，FP 为半径作圆，该圆与双曲线交于M ，N 两点，且M ，N ，F 三点共线，则双曲线的离心率为（ ）．A. √3B. √2C. 2D. √59、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第9题5分 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 在平面A 1B 1C 1D 1上，N 为C 1D 1的中点，连接A 1N 且P 在线段A 1N 上，已知BB 1=2，BM =√5，则PM 的最小值为（ ）．A. 1B. 45√5−1 C. √2−1D. √210、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第10题5分 若抛物线y 2=2px 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB =π3，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为N ，则2|MN||AB|的最大值为（ ）．A. 1B. 2C. √33D. √311、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第11题5分 在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a 3=3，a n+3+(−1)n a n+1=1(n ∈N ∗)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是（ ）．A. 数列{a n }为等差数列B. a 18=11C. a 17=3D. S 31=14612、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第12题5分 已知函数f (x )=−13cos2x −a (sinx −cosx )，且对于任意的x 1，x 2∈(−∞,+∞)，当x 1≠x 2时都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<1成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A. [−14,14] B. [−√23,√23] C. [−√26,√26]D. [−1,1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第13题5分 2020年福建泉州高三一模理科第13题5分已知向量a →=(1,1)，b →=(2,1)，若(λa →−b →)⊥(a →+b →)，则λ= ．14、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第14题5分记n =b(moda)表示正整数n 除以正整数a 后所得的余数为b ，例如8=2(mod6)表示8除以6后所得的余数为2．执行右图的程序框图，若输入的n 值为5，则输出的n 的值为 ．15、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第15题5分如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形，现分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为．16、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第16题5分半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为2，则其体积为；若其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第17题12分已知多面体P−ABCD中，AB//CD，∠BAD=∠PAB=90°，CD，M是PB的中点．AB=PA=DA=PD=12(1) 求证：PA⊥CM．(2) 求直线DB与平面PBC所成角的正弦值．18、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第18题12分)cosA=cosC．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin(B−π6(1) 求角A的大小．a+b=2c，求cosC的值．(2) 若2319、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第19题12分已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1、F 2分别为左右焦点，直线l ：x =my +1与椭圆C 交于M 、 N 两点，△MF 1F 2和△NF 1F 2的重心分别为G 、H ，当m =0时，△OMN 的面积为√32．(1) 求椭圆C 的方程．(2) 当−12<m <0时，证明：原点O 在以GH 为直径的圆的外部．20、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第20题12分近期，湖北省武汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情．为了尽快遏制住疫情，我国科研工作者坚守在科研一线，加班加点、争分夺秒与病毒抗争，夜以继日地进行研究．新型冠状病毒的潜伏期检测是疫情控制的关键环节之一．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．钟南山院士带领的研究团队统计了武汉市某地区10000名医学观察者的相关信息，并通过咽拭子核酸检测得到1000名确诊患者的信息如下表格：(1) 求这1000名确诊患者的潜伏期样本数据的平均数x （同一组数据用该组数据区间的中点值代表）．(2) 新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响，为了研究潜伏期与患者性别的关系，以潜伏期是否超过7天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100名，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有90%的把握认为潜伏期与患者性别有关．(3) 由于采样不当、标本保存不当、采用不同类型的标本以及使用不同厂家试剂都可能造成核酸检测结果“假阴性”而出现漏诊．当核酸检测呈阴性时，需要进一步进行血清学IgM/IgG 抗体检测，以弥补核酸检测漏诊的缺点．现对10名核酸检测结果呈阴性的人员 逐一．．地进行血清检测，记每个人检测出IgM （IgM 是近期感染的标志）呈阳性的概率为p (0<p <1)且相互独立，设至少检测了9个人才检测出IgM 呈阳性的概率为f (p )，求f (p )取得最大值时相应的概率p ．附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，其中n =a +b +c +d ．21、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第21题12分 已知函数f (x )=ae x +e −x +(a −1)x ，g (x )=(a +1)cosx ．(1) 当a =0时，直线y =kx 与函数f (x )的图象相切，求k 的值．(2) 若f (x )⩾g (x )在[0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）22、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t（t 为参数），圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数）．(1) 写出直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程．(2) 已知点M (1,0)，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求||MA |−|MB ||的值．23、【来源】 2020年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三二模理科第23题10分 2020年广东深圳高三一模理科（网考）第23题10分已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c =1，证明：(1) 1a +1b +1c⩾9．(2) ac +bc +ab −abc ⩽827．1 、【答案】 C;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 D;6 、【答案】 D;7 、【答案】 D;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 C;13 、【答案】85;14 、【答案】17;15 、【答案】2764;16 、【答案】40√23;16π;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √105．;18 、【答案】 (1) π3．;(2) √23−√36．;19 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) 4.984天．;(2)不能有90%的把握认为潜伏期与患者性别有关．;(3) p=1−2√5．5;21 、【答案】 (1) k=−e−1．;(2) a⩾1．;22 、【答案】 (1) x−y−1=0，ρ=4cosθ．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。
【5月哈九中二模理综】2020年哈尔滨市第九中学高三第二次模拟考试理科综合试卷含答案解析
6．下图 1 是种群数量特征的概念图，图 2 是某城市人口出生率和死亡率的变化曲线。下列相 关叙述错误的是
A．图 1 中的 c 是种群密度，调查方法有样方法、黑光灯诱捕法等 B．图 1 中 b 特征的含义是种群中各年龄期个体数目的比例 C．利用性引诱剂改变某种害虫的图 1 中 a，从而降低种群密度属于生物防治 D．仅由图 2 可判定图中所示时间范围内该城市人口数量变化是先稳定后增加 7．关于新型冠状病毒感染的肺炎防控，下列有关说法错误的是 A．抗病毒疫苗冷藏存放的目的是避免蛋白质变性 B．体积分数为 75%的酒精的水溶液可以杀灭病毒 C．“84”消毒液的有效成分为次氯酸钠，它与过氧乙酸均具有强氧化性可以杀灭病毒 D．制造医用口罩的熔喷布以聚丙烯树脂为原料，合成聚丙烯的丙烯主要来源于石油分馏 8．科学家通过实验发现环己烷在一定条件下最终可以生成苯，从而增加苯及芳香族化合物的
哈尔滨市第九中学 2020 届高三第二次模拟考试
理科综合能力测试
本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题），共 38 题，满分 300 分， 考试时间 150 分钟。 可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Al-27 Ti-48 Fe-56
第I卷 一、选择题（本题包括 13 小题，每题只有一个选项符合题意，每题 6 分） 1．下列关于人体细胞呼吸的说法中，正确的是
A．人体无氧呼吸产生的乳酸是由丙酮酸转化而来的 B．1mol 葡萄糖参加无氧呼吸，大部分能量以热能的形式散失了 C．人体剧烈运动时，所需要的能量由乳酸分解提供 D．CO2 是有氧呼吸和无氧呼吸的共同产物 2．下列关于实验材料选择的描述中，正确的是 A．用洋葱鳞片叶外表皮为实验材料提取类胡萝卜素和叶绿素 B．用大肠杆菌细胞进行质壁分离与复原实验 C．用人的成熟红细胞进行检测生物组织中蛋白质的实验 D．用花生子叶细胞进行观察 DNA 和 RNA 在细胞中的分布的实验 3．新型冠状病毒是单链 RNA 病毒，研究发现冠状病毒的 RNA 还包含一小段 RNA 复制酶的 信息，下列有关说法正确的是 A．RNA 与 DNA 共有的化学组成成分只有 A、G、C B．该病毒的有害突变不能成为进化的原材料 C．病毒的蛋白质合成过程发生在核糖体上 D．RNA 复制酶可以与 DNA 的特定碱基序列结合 4．现有基因型为 AaBb 的二倍体动物（2N=10），其体内某些细胞正在进行减数分裂（不考虑 染色体变异），下列关于该过程叙述正确的是 A．基因组成为 AaBB 的细胞一定是基因突变的结果 B．含有 2 个染色体组的细胞可能正在发生基因重组 C．基因组成为 AAaaBBbb 的细胞中含有的染色体数为 20 条 D．基因组成为 AABB 的细胞形成的子细胞一定都是生殖细胞 5．下列有关动物生命活动调节的叙述，错误的是 A．由垂体分泌的促甲状腺激素只作用于甲状腺 B．去甲肾上腺素可在神经细胞之间传递信息 C．由记忆细胞增殖分化形成的浆细胞不能继续增殖分化，但能识别抗原 D．下丘脑分泌的抗利尿激素能提高肾脏集合管对水的通透性，促进水的重吸收
2020年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年黑龙江省哈尔滨九中高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−5<x<2}，B={x||x|<3}，则A∩B=()A. {x|−3<x<2}B. {x|−5<x<2}C. {x|−3<x<3}D. {x|−5<x<3}2.若复数z=2+i1−2i，则|3+z|=()A. √10B. 2√3C. 4D. √153.命题“∀x∈[14,3]，x2−a−2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥9B. a≤8C. a≥6D. a≤114.函数f(x)=(e x−1)cosxe x+1的部分图象大致为()A. B.C. D.5.圆心角为α的扇形的面积为3π，α所对的弧长为2π，则sinα=()A. 12B. √32C. √22D. √336.已知函数f(x)={(x−1)3,x≤1lnx,x>1，若f(a)>f(b)，则下列不等关系正确的是()A. 1a2+1<1b2+1B. √a3>√b3C. a2<abD. ln(a2+1)>ln(b2+1)7.在(x2−2x)7的展开式中，x5的系数为()A. −35B. 35C. −280D. 2808.以双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为圆心，a为半径的圆与该双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. √5D. 59. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，点P 在底面A 1B 1C 1D 1内，点Q 在线段A 1N 上，若PM =√5，则PQ 长度的最小值为( )A. √2−1B. √2C. 3√55−1 D. 3√5510. 抛物线y 2=8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF|+|BF|=2√33|AB|，则∠AFB的最大值为( )A. π3B. 3π4C. 5π6D. 2π311. 数列{a n }中，a n+1+(−1)n a n =2n −1，则数列{a n }前40项和等于( )A. 820B. 800C. 840D. 86012. 对于∀x ∈[12,+∞)都有2x +a ≥√2x −1恒成立，则a 的取值范围为( )A. (−∞,−14]B. [−14,+∞)C. (−∞,−34]D. [−34,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(3,2)，b ⃗ =(1,−1)，若(a ⃗ −λb ⃗ )⊥b ⃗ ，则λ=______． 14. 当m =7，n =3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为______．15. 如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于直线6x +2y −7=0图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M取自E内的概率为______．16.已知三棱锥O−ABC中，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=2，点D是▵ABC的重心，则以OD为体对角线的正方体体积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，空间几何体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB//EF，AF=EF=BE=1，DF=√5．(1)求证：BF⊥平面ADF；(2)求直线BF与平面DCEF所成角的正弦值．18.在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(√3sinB−cosB)(√3sinC−cosC)=4cosBcosC．(1)求角A的大小；(2)若sinB=psinC，且ΔABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．20.2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕，为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到2×2列联表．(1)将2×2列联表补充完整；(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？，n=a+b+c+d附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=1+x，g(x)=1−ax2．e x(1)若函数f(x)和g(x)的图象在x=1处的切线平行，求a的值；(2)当x∈[0,1]时，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=8，证明：(1)(4+a)(4+b)(4+c)≥216；(2)(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2≥48．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：不等式的解法以及集合的交集运算，属于基础题．先解不等式，得到集合B，再根据交集的定义计算，即可得到答案．解：B={x||x|<3}={x|−3<x<3}，又A={x|−5<x<2}，所以A∩B={x|−3<x<2}．故选A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再代入复数模的计算公式求解．解：因为z= 2+i 1−2i = (2+i)(1+2i) (1−2i)(1+2i) = 5i 5 =i，所以3+z=3+i，故|3+z|=|3+i|=√32+12=√10，故选A．3.答案：A解析：解：∀x∈[14,3]，x2−a−2≤0，则a+2≥x2在x∈[14,3]恒成立，故a+2≥9，解得：a≥7，命题“∀x∈[14,3]，x2−a−2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a≥9，故选：A．问题转化为a+2≥x2在x∈[14,3]恒成立，求出a的范围，得到其充分不必要条件即可．本题考查了函数恒成立问题，考查充分必要条件，是一道基础题．解析：解：f(−x)=(e −x −1) cos(−x)e −x +1=−(e x −1)cosxe x +1=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，故排除B ，D ， 当x →+∞时，f(x)→0，故排除C ， 故选：A ．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于中档题5.答案：B解析：本题考查弧度及弧长公式，扇形面积公式，属于基础题． 解：依题意，有，r =3， 圆心角，sinα=√32． 故选B ．6.答案：B解析：解：∵f(x)在R 上单调递增，且f(a)>f(b)，∴a >b ． ∵a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定， 对A ，当a =1，b =−1时，1a 2+1=1b 2+1，故A 错误； 对C ，当a =1，b =−1时，a 2=1，ab =−1，故C 错误； 对D ，当a =1，b =−1时，ln (a 2+1)=ln (b 2+1)，故D 错误；对B ，对a >b ，则√a 3>√b 3，故B 正确，故选B ．易知f(x)在R 上单调递增，可得a >b ，再逐项判断即可． 本题主要考查函数的性质以及不等式的性质，属于基础题．解析：解：二项式(x2−2x)7的展开式的通项公式为T r+1=∁7r⋅(x2)7−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅∁7r⋅x14−3r，令14−3r=5，解得r=3；∴展开式中x5的系数为：(−2)3⋅∁73=−280．故选：C．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x5的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题8.答案：A解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．设F(c,0)，渐近线方程为y=bax，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F 的半径，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．解：设F(c,0)，一条渐近线方程为y=bax，可得F bc√22=b，又因为圆F的半径为b，即a=b，c=√a2+b2=√2a，即离心率e=ca =√2，故选A. 9.答案：C解析：本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，即MO ⊥OP ，可得点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上．即O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值，作OH ⊥A 1N 于N ，可得OH =3√55，PQ 长度的最小值为3√55−1．解：如图，取B 1C 1中点O ，则MO ⊥面A 1B 1C 1D 1，OP ⊂面A 1B 1C 1D 1， 即MO ⊥OP ，∵PM =√5，则OP =1，∴点P 在以O 为圆心，1以半径的位于平面A 1B 1C 1D 1内的半圆上． 可得O 到A 1N 的距离减去半径即为PQ 长度的最小值， 作OH ⊥A 1N 于N ，△A 1ON 的面积为2×2−12×2×1−12×1×1−12×2×1=32， ∴12×A 1N ×OH =32，可得OH =3√55，∴PQ 长度的最小值为3√55−1． 故选：C ．10.答案：D解析：本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题． 根据抛物线的定义，再由余弦定理，结合基本不等式即可求出∠AFB 的最大值． 解：设|AF|=m ，|BF|=n ，∵|AF|+|BF|=2√33|AB|， ∴2√33|AB|≥2√mn ，当且仅当m =n 时取等号，mn ≤13|AB|2，在△AFB 中，由余弦定理cos∠AFB =m 2+n 2−AB 22mn=(m+n)2−2mn−AB22mn=13AB2−2nm2mm≥−12，∵∠AFB∈(0,π)∴∠AFB的最大值为2π3．故选：D．11.答案：A解析：本题考查数列的前40项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．由已知条件推导出从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．由此能求出{a n}的前40项和．解：由于数列{a n}满足a n+1+(−1)n a n=2n−1，故有a2−a1=1，a3+a2=3，a4−a3=5，a5+a4=7，a6−a5=9，a7+a6=11，…a50−a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前40项和为：10×2+[10×8+12(10×9)×16]=20+80+720=820．故选：A．12.答案：D解析：本题考查了不等式的恒成立问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．问题转化为a≥√2x−1−2x在[12,+∞)恒成立，令f(x)=√2x−1−2x，x∈[12,+∞)，根据函数的单调性求出a的范围即可．解：对于∀x∈[12,+∞)都有2x+a≥√2x−1恒成立，则a ≥√2x −1−2x 在[12,+∞)恒成立， 令f(x)=√2x −1−2x ，x ∈[12,+∞)， f ′(x)=1−2√2x−1√2x−1， 令f ′(x)>0，解得：12≤x <58， 令f ′(x)<0，解得：x >58，故f(x)在[12,58)递增，在(58,+∞)递减， 故f(x)max =f(58)=−34， 故a ≥−34， 故选：D ．13.答案：解析：解：a ⃗ −λb ⃗ =(3−λ,2+λ)； ∵(a ⃗ −λb ⃗ )⊥b ⃗ ；∴(a ⃗ −λb ⃗ )⋅b ⃗ =3−λ−(2+λ)=0； 解得λ=12． 故答案为：12．可求出a ⃗ −λb ⃗ =(3−λ,2+λ)，根据(a ⃗ −λb ⃗ )⊥b ⃗ 即可得出(a ⃗ −λb ⃗ )⋅b ⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出λ．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算．14.答案：210解析：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键，属于基础题． 解：由程序框图知：算法的功能是求S =7×6×…×k 的值， 当m =7，n =3时，m −n +1=7−3+1=5， ∴跳出循环的k 值为4，∴输出S =7×6×5=210． 故答案为210．15.答案：1316解析：解：由题意，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为阴影部分的面积与矩形面积比，直线与矩形的交点分别是(1,12)，(12,2)， 所以阴影部分的面积为2×1−12×12×32=138，所以所求概率为1×2−12×12×321×2=1316；故答案为：1316；利用几何概型的公式，求出阴影部分与矩形的面积比即可． 本题考查了几何概型的概率求法；本题利用面积比求概率是关键．16.答案：827解析：本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题，由题意画出图形，利用等积法求出OD ，进一步求出以OD 为对角线的正方体的棱长，则答案可求． 解：如图，将三棱锥O −ABC 补形为正方体OM ，过D 分别作正方体前侧面、上底面、作侧面的平行面，交正方体可得以OD 为对角线的正方体，设其棱长为a ， 则OD 2=3a 2，又由等体积法可得：13×12×2×2×2=13×12×2√2×√6×OD ， 则OD =2√3， ∴a 2=OD 23=49，a =23．则以OD 为体对角线的正方体体积为(23)3=827． 故答案为827．17.答案：证明：(1)等腰梯形ABEF 中，∵AB =2，EF =AF =BE =1，∴cos∠FAB =π3， ∴BF =√1+4−2×1×2×cos60°=√3， ∴AF 2+BF 2=AB 2，∴AF ⊥BF ， 在△DFB 中，BF 2+DF 2=BD 2，BF ⊥DF ∵AF ∩DF =F ，∴BF ⊥平面ADF ．解：(2)作FO ⊥AB 于O ，以OF ，OB 为x ，y 轴建立如图的空间直角坐标系，则F(√32,0,0),B(0,32,0),E(√32,1,0),C(0,32,2)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,2)， 设平面DCEF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0n ⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x +12y +2z =0，取x =2，得平面DCEF 的法向量为n ⃗ =(2,0,√32)，又BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−32,0) ∴cos <BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=BF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√1919． ∴BF 与平面DCEF 所成角的正弦值为2√1919．解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出cos∠FAB=π3，BF=√3，AF⊥BF，再求出BF⊥DF，由此能证明BF⊥平面ADF．(2)作FO⊥AB于O，以OF，OB为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，利用向量法能求出BF与平面DCEF所成角的正弦值．18.答案：解：(1)由题意得3sinBsinC+cosBcosC−√3sinBcosC−√3cosBsinC=4cosBcosC∴−√3sin(B+C)=3cos(B+C)，∴tan(B+C)=−√3，∴B+C=2π3∴A=π3；(2)p=sinBsinC =sin(120°−C)sinC=√32tanC+12，∵△ABC为锐角三角形，且A=π3，∴π6<C<π2，∴tanC>√33，∴12<p<2．解析：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和与差的三角函数公式，属于基本知识的考查．(1)由已知及三角函数中的恒等变换应用得−√3sin(B+C)=3cos(B+C)，从而可求tan(B+C)=−√3，即可解得A的值；(2)由已知得p=sinBsinC =sin(120°−C)sinC=√32tanC+12，由△ABC为锐角三角形，且A=π3，可求tan C的范围，即可解得实数p的取值范围．19.答案：解：(1)∵椭圆的短轴长为2，∴b=1，又∵e=√1−b2a2=√1−1a2=√22，a2=2,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)①F 2(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，{x 2+2y 2=2y =k(x −1)，x 2+2k 2(x 2−2x +1)=2,(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2−21+2k 2， |x 1−x 2|=√16k 4(1+2k 2)2−4(2k 2−2)(1+2k 2)(1+2k 2)2=2√2√1+k 21+2k 2，|AB|=2√2(1+k 2)1+2k 2， ∵K AB K CD =−12，用−12k 替换上式中的k 得 ∴|CD|=√2(4k 2+1)2k 2+1， |AB|+|CD|=2√2(k 2+1)1+2k 2+√2(4k 2+1)1+2k 2=6√2k 2+3√21+2k 2=3√2．②由①知，x 1+x 2=4k 21+2k 2，M 点的横坐标为2k 21+2k2，代入直线方程得y =k(2k 21+2k 2−1)=−k 1+2k 2，即M(2k 21+2k 2,−k1+2k 2)，用−12k 替换M 点坐标k 得N(11+2k 2,k1+2k 2)， MN 的中点T 的坐标为(12,0)，S ΔOMN =12×OT ×|y M −y N |=14×|2k|1+2k 2=12×|k|1+2k 2=12×11|k|+2|k|≤122√2=√28，当且仅当|k|=√22时取等号． ∴ΔOMN 面积的最大值为√28．解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由b 根据离心率求出a 即可；(2)①设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，根据弦长公式求出|AB|，再根据斜率的关系求出|CD|，整理即可；②求出M ，N 的坐标，代入面积公式，利用基本不等式即可求解．20.答案：解：(1)补充列联表如下：(2)由列联表知K2=100×(30×40−10×20)250×50×40×60≈16.67>10.828，所以可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为喜爱足球运动与性别有关．解析：(1)根据表格中数据可将列联表补充完整；(2)根据列联表中数据，利用公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)可得K2，与临界值比较从而可得结果．21.答案：解：(1)f′(x)=−xe x ，f′(1)=−1e，g′(x)=−2ax，g′(1)=−2a，由题意得：−2a=−1e ，解得：a=12e；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=1+xe x−1+ax2，问题转化为ℎ(x)≤0对∀x∈[0,1]恒成立．则ℎ′(x)=−xe x+2ax，(i)当a≤0时，ℎ′(x)≤0，故ℎ(x)在[0,1]单调递减，ℎmax(x)=ℎ(0)=0，满足条件；(ii)当a>0时，ℎ′(x)=x(2ae x−1)e x，令ℎ′(x)=0，得，(10)当即a≥12时，ℎ′(x)≥0对∀x∈[0,1]恒成立，故ℎ(x)在[0,1]单调递增，ℎmax(x)=ℎ(1)=2e−1+a>0，不满足条件；(20)当，即12e <a<12，当时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减；当时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)单调递增；又ℎ(0)=0, ℎ(1)=2e −1+a≤0，得a≤1−2e，故12e <a≤1−2e;(iii)当，即0<a≤12e时，ℎ′(x)≤0对∀x∈[0,1]恒成立，故ℎ(x)单调递减，ℎmax(x)=ℎ(0)=0，满足条件．综上可得，a的取值范围为(−∞,1−2e]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道难题．(1)分别求出f(x)，g(x)的导数，计算得到f′(1)=g′(1)，求出a的值即可；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=1+xe x−1+ax2，问题转化为ℎ(x)≤0对∀x∈[0,1]恒成立，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρsin(θ−π4)=√22，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：证明：(1)∵a >0，b >0，c >0，∴4+a =2+2+a ≥3√2×2×a 3=3√4a 3，同理4+b =2+2+b ≥3√2×2×b 3=3√4b 3，4+c =2+2+c ≥3√2×2×c 3=3√4c 3． ∴(4+a)(4+b)(4+c)≥27√64abc 3=216， 当且仅当a =b =c =2时取等号，∴(4+a)(4+b)(4+c)≥216;(2)∵a ，b ，c 为正数，且满足abc =8， ∴(a +b)2+(b +c)2+(c +a)2≥3√(a +b)2(b+c)2(c+a)23=3[(a +b)(b +c)(c +a)]23，≥3×(2√ab ×2√bc ×2√ac)23=3×(8abc)23=3×6423=3×16=48， 当且仅当a =b =c 时取等号，∴(a +b)2+(b +c)2+(c +a)2≥48．解析：本题考查了利用综合法证明不等式和基本不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．(1)根据4+a =2+2+a ≥3√2×2×a 3=3√4a 3，利用综合法证明(4+a)(4+b)(4+c)≥216成立；(2)根据a ，b ，c 为正数，且满足abc =8，连续利用基本不等式即可证明不等式．。
2020年黑龙江高三二模数学试卷(理科)
2020年黑龙江高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知复数 的实部为，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）．A. B. C. D.3.已知双曲线则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）．A. B. C. D.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：，，，，，其中，．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭．塔共层，若，，则这五层正六边形的周长总和为（ ）．A.B.C.D.5.对于直线，和平面，，，有如下四个命题：（）若，，则； （）若，，，则；（）若，，，则； （）若，，则．其中真命题的个数是A.B.C.D.6.已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．A.B.C.D.7.函数，若要得到奇函数的图象，可以将函数的图象（ ）．A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位8.一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，表为各个学段每个内容主题所包含的条目数，图是将表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图．由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是：学段内容主题第一学段（年级）第二学段（年级）第三学段（年级）合计数与代数图形与几何统计与概率综合与实践合计表第一学段第二学段第三学段综合与实践统计与概率图形与几何数与代数图A.除了"综合与实践"外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其"图形与几何"在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍．B.在所有内容领域中，"图形与几何"内容最多，占，"综合与实践"内容最少，约占．C.第一、二学段"数与代数"内容最多，第三学段"图形与几何"内容最多．D."数与代数"内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，"图形与几何"内容条目数，百分比都随学段的增长而增长．9.定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（ ）．A.B.C.D.10.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心为半径的圆弧上运动，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.11.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.12.设椭圆的两焦点为，，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点．若，且，则椭圆的离心率为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，满足约束条件，则的最大值是 ．14.甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15.数列是等差数列，前项和为，，，且，则实数．16.在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值．若为锐角三角形，求的最小值．（1）（2）18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课不选修生涯规划课总计根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由．如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）．参考附表：参考公式，其中．19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面．（1）（2）证明：平面平面．若与底面所成的角为，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知点，为抛物线上任意一点，且为的中点．设动点的轨迹为曲线．求曲线的方程．关于的对称点为．是否存在斜率为的直线交曲线于，两点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，．讨论函数在上的单调性．判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．求曲线的参数方程与直线的普通方程．设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且，求面积的取值范围．（1）（2）23.已知函数，，．当时，有，求实数的取值范围．若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．【答案】解析:集合，集合，∴．故选项．解析:∵ 复数，∵ 实数部为，即，∴ 复数，故复数的虚部为．故选．解析:由题意得：，，∴，故双曲线的焦点坐标为和，令，则，即双曲线的渐近线方程为：，∴双曲线焦点到其渐近线的距离为：．故选．解析:五层：，，，，，∴周长和．故选．D 1.A 2.B 3.C 4.解析:（）∵，∴（设面），又∵，∴，又∵，∴，（）∵，又∵，∴，又∵，∴，（）∵，，∴，又∵，∴，（）时，不平行于，∴（）（）（）正确，∴选．解析:C 5.C 6.以正方体，为坐标原点，边为轴，为轴，为轴作空间坐标系，设，则，，，，，，，，则，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．故选．解析:∵函数，要得到有函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位．故正确．故选．D 7.解析:∵，时，，∴在单调递减，∵为偶函数，∴在单调递增，∵，∴，∵，∵，，∴，∴．故选．解析:，∵设，则，且，∴，∵，即，∴，∴．故选：．D 8.D 9.B 10.解析:由题意知，即，则，，逐项累加得：，又∵，∴，∴，则，，，，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为．故选．解析:如图所示：由椭圆定义知，，∵，∴．∵，A 11.C 12.∴，∴．在，由余弦定理知：，在，由余弦定理知：．∵，∴，∴，即，∴，∴，故选．13.解析:如图所示阴影部分为约束条件表示的可行域，目标函数可化为，其中表示直线的纵截距，平移直线至点时，纵截距最大，即最大．∵,∴．14.解析:由题意可知：三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为：,故答案为：．15.解析:，则，∵，∴，，，∴，．16.解析:，交于点，过点作面，四棱锥球心在直线上，（1）设球心为，过点作面的垂线，交面于点，取中点为，连接，，，∵为等边三角形，，∴，设，，在中，，在中，，即，解得，∴，，过点作交于点，，设，在中，，即①，在中，，即②，①②联立可得，∴四棱锥外接球表面积为．解析:在中，，由正弦定理，得，故，（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，则．由得，，∵，由均值不等式得，，当且仅当时，等号成立，解得，∴的最小值为．解析:由题意知，的观测值，所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”．由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，可取值为，，，，，，，，所以的分布列为：∵，（1）有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”，证明见解析．（2）．18.（1）（2）∴．解析:∵，∴四边形是平行四边形，∴．又∵，∴．又∵面面，面面，面，∴面，且面，∴平面平面．连结，∵，为中点，∴又平面，平面平面，平面平面，∴底面，又，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，取平面的法向量，，，∴，，∴，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）∴，，设平面的法向量，∴，令，∴，，设二面角的平面角为，∴，又为钝角，∴，即二面角的余弦值为．解析:设，，∵是的中点，则，∵在上，∴，∴，∴，故曲线的方程为．由题意得，设，，，将代入得，∴，∴的中点，∵，∴，∴符合，∴存在，∴化为，∴，，∴．（1）．（2）存在，．20.（1）（2）解析:，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，由得：，由得：，所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增．函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即，若与的图象有公切线，则，由①得代入②整理得：，③由题意只需判断关于的方程在上解的个数，令，，令，解得，单调递减极小值单调递增∴，∵，，∴，（1）函数在上单调递减，函数在上单调递增．（2）与的图象有两条公切线，证明见解析．21.①②（1）（2）（1），且图象在不连续不断，∴方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．解析:由题意：，∴，∴，∴，∴曲线的参数方程为（为参数），由直线的参数方程得代入，得，∴，∴直线的普通方程为．设到直线的距离为，，，∴，∴面积的取值范围是．解析:∵在上恒成立，∴，∴，又∵，（1）（为参数）；．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）当且仅当，即时等号成立，∴，即．令，∴，①若时，∴解集为，不符合题意，②若时，解集为，不符合题意，③若时，∴，∴，又∵，∴，综上所述，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时，∴当，时，．。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨第九中学上学期高三第二次月考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨第九中学上学期高三第二次月考数学（理）试题一、单选题1．复数z=，则z的共轭．．复数为（）A．i B．-i C．1-i D．)i 【答案】B【解析】由题意得z i=，即可得解.【详解】由题意1iz i+===，所以z的共轭复数为i-.故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数的概念，属于基础题.2．若,a b是任意实数，且a b>，则（）A．22a b>B．1ba<C．()10g a b->D．1122a b⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据指数函数的单调可得D正确，举反例可判断其他选项是错误的.【详解】解：a、b是任意实数，且a b>，如果0a=，2b=-，显然A不正确；如果0a=，2b=-，显然B无意义，不正确；如果0a=，12b=-，显然C，102lg<，不正确；因为指数函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b>，1122a b⎛⎫⎛⎫∴<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．故选：D．【点睛】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，属于基础题．3．已知等比数列{}n a 的各项都为正数，且3a ，512a ，4a 成等差数列，则公比q 为（ ）A ．51- B ．51+ C ．35- D ．35+ 【答案】B【解析】转化条件得234111a q a q a q +=，解出方程后即可得解.【详解】由题意得234111a q a q a q +=，10a ≠，0q >，所以21q q +=，解得51q +=或512q =-+（舍去）. 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于基础题. 4．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．6π B ．3π C ．2πD ．π 【答案】A【解析】试题分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积21212S ππ=⨯⨯=，高1h =，故半圆锥的体积136V Sh π==，故选：D ． 【考点】由三视图求面积、体积．5．将函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移6π后，图象关于原点对称，则ϕ的可能值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】先求出平移之后的函数()sin(2)3g x x πϕ=++，由题意令()3k k ϕπ+=π∈Z 即可得解. 【详解】设平移之后的函数为()g x ，由题意()sin(2)3g x x πϕ=++，Q ()g x 图象关于原点对称，∴()3k k ϕπ+=π∈Z 即()3k k ϕπ=π-∈Z . 当1k =时，23ϕπ=. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的平移和三角函数的性质，属于基础题. 6．下列命题是真命题的是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，0303log xx <B ．若a b >，则22am bm >C ．已知A ，B 为ABC V 的两个内角，若A B >，则cosA cosB <D ．函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的所有对称中心为,0()26k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】根据3xy =与3log y x =的图像关于直线y x =对称，可判断A 选项；由不等式的性质可判断B 选项；由三角函数的性质可判断C 、D 选项.即可得解. 【详解】令()3xf x x =-，当(0,)x ∈+∞时，()ln3031xf x -'>=，所以()()300xx f f x ->==即3x x >，由3xy =与3log y x =的图像关于直线y x =对称，故A 错误；当0m =时，22am bm =，故B 错误；(),0,A B π∈，若A B >，由余弦函数单调性可知C 正确；令232k x ππ-=可得46k x ππ=+，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为,0()46k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的关系、不等式的性质和三角函数的性质，属于基础题. 7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，201820192017S S S <<，则n S 取最小值时n 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．2020【答案】B【解析】结合等差数列前n 项和性质2n S an bn =+，再结合二次函数的性质作出图象即可得解. 【详解】由等差数列前n 项和的性质可得2n S an bn =+，由二次函数的性质结合题意可知2018S 、2019S 、2017S 的关系如图：易知n S 取最小值时n 的值为2018. 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质与二次函数的性质，考查了数形结合的思想，属于基础题.8．已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><图象的最高点与相邻的最低点分别为M ，N ，若直线2230x y +-=经过M ，N 两点，则（ ） A ．2πω=，4πϕ=B ．ωπ=，0ϕ=C ．2πω=，4πϕ=-D ．ωπ=，2ϕπ=【答案】A【解析】由题意得1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出T 后可得ω，再令()12222k k Z ππϕπ⨯+=+∈即可得解. 【详解】由题意得M 、N 的纵坐标分别为1、1-，Q 直线2230x y +-=经过M 、N 两点，可得1,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,12N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴512222T =-=，∴22T ππω==，∴()12222k k Z ππϕπ⨯+=+∈即()24k k Z πϕπ=+∈. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+解析式的确定，属于基础题.9．已知平面向量(2cos ,2sin )a αα=r，(cos ,sin )b ββ=r ，若对任意的正实数λ，||a b λ-r r ，则此时||a b -=rr （ ）A ．1B CD ．2【答案】B 【解析】由题意得a b λ-=r r ，可得()1cos 2αβ-=，表示出||a b -rr 即可得解. 【详解】由题意得()2cos cos ,2sin sin a b λαλβαλβ-=--r r，∴a b λ-==r r≥， 当且仅当()2cos 0λαβ=->时，等号成立，∴()244cos 3αβ--=解得()1cos 2αβ-=或()1cos 2αβ-=-（舍去）.∴||a b -=r r==故选：B. 【点睛】本题考查了利用坐标表示向量的模与三角函数的化简，考查了函数思想，属于中档题.10．对于大于1的白然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，373911⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是123，则m 为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】由题意从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共()()212m m +-，而123是从3开始的第61个奇数，通过给m 赋值即可得解. 【详解】由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共()()212342m m m +-+++⋅⋅⋅+=个，123是从3开始的第12331612-+=个奇数，当10m =时，用去了()()210101542+-=个奇数，当11m =时，用去了()()211111652+-=个奇数，故11m =.故选：C. 【点睛】本题考查了归纳推理的能力，属于中档题.11．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()31,4D ．()34,2【答案】D【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34<a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解12．已知数列{}n a 满足11a =，2122(1)24nn n n n a a a na n ++=++，则8a =（ ） A ．64892-B ．32892-C ．16892-D ．7892- 【答案】A【解析】转化条件得21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2n n n b a =+，再对两边同时取对数1lg 2lg n n b b +=可得，可得648lg lg 9b =，即可得解.【详解】由题意得222124(1)1n n n na na n a n a +++=+， 则2222212414222n n n n n n n a na n n n n na a a a a +⎛⎫⎛⎫+++==++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则21122n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，令2nn n b a =+，则21n n b b +=， 对两边同时取对数得1lg 2lg n n b b +=，由11a =可得13b =，1lg lg 3b =， 则数列{}lg n b 是以lg 3为首项，公比为2的等比数列，∴7648lg 2lg 3lg 9b ==，∴6489b =，∴684892a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了转化化归的思想，属于难题.二、填空题13．已知向量(1,2)a =r ，(1,)b m =-r ，若//()a a b -r r r，则m =________.【答案】-2【解析】先求出()2,2a b m -=-r r ，利用向量共线的性质可得2220m --⨯=，即可得解. 【详解】Q 向量(1,2)a =r ，(1,)b m =-r ，∴()2,2a b m -=-rr ，又//()a a b -r r r ，∴2220m --⨯=即2m =-.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示和平面向量共线的坐标表示，属于基础题. 14．已知a ，b 为正实数，且30a b ab +-+=，则ab 的最小值为_________. 【答案】9【解析】转化条件为30ab +≤3≥，即可得解. 【详解】由题意得323a b ab ab ab +-+≥-+即230ab ab -+≤， 转化为：()()310ab ab -+≥解得3ab ≥或1ab ≤-（舍去），∴9ab ≥，当且仅当3a b ==时等号成立.故答案为：9. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，属于中档题.15．已知点G 是△ABC 的重心，AG u u u r ＝λAB u u u r ＋μAC u u u r （λ，μ∈R ），若∠A ＝120°，AB u u u r ·ACu u ur ＝－2，则｜AG u u u r｜的最小值是_____________．【答案】【解析】延长AG 交BC 于点D因为G 是ABC ∆的重心，所以D 是BC 中点，23AG AD =u u u r u u u r而,0AD AB BD AC CD BD CD =+=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，则1()3AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r 因为120,2A AB AC ∠=⋅=-o u u u r u u u r ，所以21cos 2AB AC A AB AC AB AC⋅-===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故4AB AC ⋅=u u u r u u u r所以2222111||2||4333AG AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 122433AB AC ≥⋅-=u u u r u u u r 当且仅当AB AC =u u u r u u u r 时取等号 所以AG 的最小值为2316．设f'（x ）是函数f （x ）的导数，f''（x ）是函数f'（x ）的导数，若方程f''（x ）=0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数f （x ）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g （x ）=x 3﹣3x 2+4x+2，利用上述探究结果计算：1231910101010g g g g L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 【答案】76【解析】由题意可得：()()2'36,''66g x x x g x x =-=-，令()''0g x =可得1x =，()113424g =-++=， 则函数()g x 关于点()1,4中心对称，据此可得：119218911248101010101010g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 则：1231910101010g g g g L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭89476⨯+=.三、解答题17．已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+，x ∈R . （1）求函数()f x 的对称轴和单调递减区间； （2）若6()5f α=且7312ππα<<，求12f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）对称轴23k x ππ=+，k Z ∈，单调减区间5,36k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭k Z ∈（2 【解析】（1）由题意得()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()262x k k Z πππ-=+∈即可求出对称轴，令()322,2622x k k k Z πππππ⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭即可求得单调减区间； （2）由题意得3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由7312ππα<<可得4cos 265πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用2sin 21266f πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可得解.【详解】 （1）由题意2()cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，令()262x k k Z πππ-=+∈，解得()32k x k Z ππ=+∈， ∴函数()f x 的对称轴为()32k x k Z ππ=+∈.令()322,2622x k k k Z πππππ⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭，解得()5,36ππk πk πZ x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+∈+， ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36ππk πk Z k π⎛⎫ ⎪⎝⎭+∈+.（2）由6()5f α=可得3sin 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又7312ππα<<，∴226ππαπ<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭， ∴2sin 22sin 21266f πππααα⎛⎫⎛⎫+==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2sin 66341422cos 226652525ππαπαπ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+=⨯⨯-⨯⨯=⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的化简、()sin y A ωx φ=+的性质、两角和正弦公式的应用，属于基础题.18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，2S ，2成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设22log n n b a =-，令21n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）511122426n T n n =--++ 【解析】（1）转化条件11(2)2n n a a n -=≥，再由1a ，2S ，2成等差数列求出11a =，即可得解；（2）转化条件得1(1)(3)n c n n =++，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）当2n ≥时，11n n n n n a S S a a --==-+-，即11(2)2n n a a n -=≥， 又 1a ，2S ，2成等差数列, ∴1111222a a a ⎛⎫+=+⎪⎝⎭即11a =，则112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）()21122log n n b n a n ==--=+-，1111(1)(3)213n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.则111111111224354613n T n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭1111151122323122426n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭. 【点睛】本题考查了数列通项的求解及裂项相消法的应用，属于基础题.19．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C的对边，2sin sin()sin 2b A A C B +=.（1）求角B ；（2）若ABC V 为锐角三角形，且2c =，求ABC V 面积的取值范围. 【答案】（1）3B π=（2）2ABC S <<△ 【解析】（1）转化条件得sin B B =，求出tan B =（2）由题意2ABC S =V ，由正弦定理结合23A C π+=得1tan a C =+，根据ABC V 为锐角三角形求得62C ππ<<，即可求得14a <<，即可得解.【详解】（1）由正弦定理得：2sin sin sin()sin cos B A A C A B B +=，∵A C B π+=-且sin 0A ≠，sin 0B ≠，∴sin B B =，∴tan B = ∵(0,)B π∈，∴3B π=.（2）由题意得：1sin 22ABC S ac B ==V ，由正弦定理得：22sin sin sin 31sin sin sin tan C c A C C a C C C Cπ⎛⎫- ⎪+⎝⎭===+=，又 ABC V 为锐角三角形，∴2032C ππ<-<，02C <<π故62C ππ<<，∴tan C >，∴14a <<，ABC S <<△【点睛】本题考查了正弦定理和三角形面积公式的应用，考查了转化化归的思想，属于中档题. 20．已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+. （1）求2a ，3a ； （2）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （3）数列{}n b 满足()312nn nnn b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为nT ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）214a =，3113a =（2）见解析，231n n a =-（3）23λ-<<【解析】（1）根据递推公式依次求出2a ，3a 即可得解；（2）转化条件得11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合111322a +=可得11322n n a +=即可得解；（3）由题意12n n n b -=，利用错位相减法可得1242nn n T -+=-，则条件可转化为12(1)42n n λ--<-，根据n 为偶数、n 为奇数分类讨论即可得解. 【详解】（1）由11a =得112134a a a =+=，2231313a a a ==+. （2）由13n n n a a a ++=得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32是为首项，3为公比的等比数列. 所以111333222n n n a -+=⨯=，即231n n a =-.（3）()12231nnnn n b an n --⋅==， 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯， 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯L . 两式相减得121011111222222222n n n n T n n -+=+++⋯+-⨯=-，1242n n n T -+=-，所以12(1)42n n λ--<-.令()()*1242n f n n -=-∈N ，易知()f n 单调递增， 若n 为偶数，则()21242f n λ-<-≤，所以3λ<； 若n 为奇数，则()11242f n λ--<-≤，所以2λ-<，所以2λ>-. 所以23λ-<<. 【点睛】本题考查了递推公式的应用、等比数列的证明、数列通项的求解、错位相减求数列前n 项和，考查了恒成立问题的处理方法和分类讨论的思想，属于中档题. 21．已知函数2()ln 2a f x x x =+，()(1)g x a x =+. （1）若1a =-，求()f x 的极大值点；（2）若函数()()()h x f x g x =-，判断()h x 的单调性；（3）若函数()()()m x f x g x x =-+有两个极值点()1212,x x x x <，求证：()()12ln 2am x m x a -<-. 【答案】（1）1x =（2）见解析（3）见解析【解析】（1）求导21()x f x x-'=，求出()f x 的单调区间后即可得解；（2）由题意得(1)(1)()ax x h x x'--=，根据0a =、01a <<、1a =、1a >分类讨论()h x '的正负，即可得解；（3）由21()ax ax m x x'-+=可得121x x =+，1210x x a =>且4a >，则可得()()()12111ln ln 2am x m x x ax ax -=++-，10x <<()ln ln()2ap t t at at =++-，根据()p t 的单调性求出()p t 的最大值后即可得解. 【详解】（1）当1a =-时，21()x f x x-'=.当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以1x =是()f x 的极大值点. （2）由已知得2()()()ln (1)2a h x f x g x x x a x -=-=++， ()h x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()ax x h x x'--=.当0a =时，1()xh x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 当0a <时，由(1)(1)()0ax x h x x--'==，得1x =或10x a =<.因而当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减.当01a <<时，由(1)(1)()0ax x h x x--'==，得1x =或11x a =>.因而当()0,1x ∈与1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增，当11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减.当1a =时，()0h x '≥，因而当(0,)x ∈+∞时，()h x 单调递增. 当1a >时，由(1)(1)()0ax x h x x--'==.得1x =或11x a =<，因而当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减.综上所述，当0a …时，()h x 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； 当01a <<时，()h x 在()0,1与1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()h x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭与(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （3）2()ln 2a m x x x ax =+-，则()m x 的定义域为(0,)+∞. 21()ax ax m x x'-+=. 若()m x 有两个极值点()1212,x x x x <，则方程210ax ax -+=的判别式240a a =->V ，且121x x =+，1210x x a=>，4a >. 又12x x <，∴21121x x x a <=即10x <<()()()()22121111111ln ln 112a m x m x x x x a x x ax ⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=+---- ⎪⎣⎦⎣-⎦⎝⎭- ()111ln ln 2ax ax ax =++-， 设()ln ln()2ap t t at at =++-其中1t x ⎛=∈ ⎝. 由2()0p t a t'=-=得2t a =.由于220a a =<即2a <， ∴()p t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2a ⎛ ⎝上单调递减， 即()p t 的最大值为()22ln 21ln ln 22a a p a a a ⎛⎫=-+-<- ⎪⎝⎭. 从而()()12ln 2am x m x a -<-成立. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了转化化归思想和计算能力，属于难题. 22．在极坐标系中，直线:sin()43l πρθ+=，圆:4sin C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy .（1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；（2）已知点P 在圆C 上，P 到l 和x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最大值. 【答案】（1）直线l80y +-=；圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且02απ≤<）；（2）7 【解析】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可；(2)结合(1)中的结论得到关于12d d +的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可. 【详解】（1）由:43l sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得，1422sin cos ρθρθ+=； 所以直线l80y +-=；由圆:4C sin ρθ=得，24sin ρρθ= ，因为x cos ρα=，y sin ρα= ，222x y ρ=+，所以圆C 直角坐标方程为：()2224x y +-= 由()2224x y +-=得， 圆C 的参数方程为2,22x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且02απ≤<），（2）设点P 坐标为()2,22cos sin αα+，则1d ==3sin αα-，222d sin α=+．那么125253d d sin sin πααα⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭， 当56πα=时，12d d +取得最大值7． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1）已知不等式|2|8x t t +-≤的解集是{|54}x x -≤≤，求实数t 的值；（2）已知实数x ，y ，z 满足22211249x y z ++=，求x y z ++的最大值. 【答案】（1）1（2）max()x y z ++=【解析】（1）转化条件得828t x t t --≤+≤+，结合不等式解集可得45t --=-，即可得解；（2）由柯西不等式得2222(149)()49y z x x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】（1）由|2|8x t t +-≤得80t +≥，∴8t ≥-，828t x t t --≤+≤+，44t x --≤≤.由|2|8x t t +-≤的解集是||54}x x -≤≤，得45t --=-，1t =.（2）由柯西不等式22222(149)123()4923y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++++≥⋅+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴228()x y z ≥++即x y z -≤++≤，当且仅当320123z y x ==>即049y z x ==>且222249y z x ++=，亦即x =，y =，z =时，max ()x y z ++=【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用，属于中档题.。
2020年黑龙江省实验中学联盟校高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2﹣3x ﹣4≤0}，B ＝{x |0＜lnx ＜2}，则A ∩B 的真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．82．设z ∈C 且z ≠0，“z 是纯虚数”是“z 2∈R ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是正态分布N （0，1）的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（ ）注：Φ（a ）＝P （X ≤a ） ①12−Φ(−a)②Φ（1﹣a ）③Φ(a)−12A ．0B ．1C ．2D ．34．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于（ ） A ．1B ．2C ．12D ．−125．函数f （x ）＝|x |−ln|x|x 2的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，点F 在线段CD 上，设AB →=a →，AC →=b →，AF →=xa →+y b →，则1x+4y+1的最小值为（ ）A ．6+2√2B ．6√3C ．6+4√2D ．3+2√27．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出的S 的值是（ ）A ．910B ．1011C ．1112D ．9228．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ，则cos ∠APA 1的最小值是（ ） A ．√22B ．√55C ．13D ．2√239．若变量x ，y 满足约束条件{x ≤3，x +y −3≥0，x −y +1≥0，则x ﹣2y 的最小值是（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．3D ．510．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与函数y =√x （x ≥0）的图象交于点P ，若函数y =√x 的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点F （﹣4，0），则双曲线的离心率是（ ） A ．√17+44B ．√17+34C ．√17+24D ．√17+1411．如图所示，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．√2−12B ．√2+12C ．√6−12D ．√3−1212．已知不等式x +alnx +1e x≥x a 对x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．−√eB ．−e2C ．﹣eD ．﹣2e二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），(2，12)，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．14．已知向量a →=（4，2），b →=（λ，1），若a →+2b →与a →−b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为 ． 15．若函数f （x ）={e x −a ，x ＜1(x −2a)(x −a 2)，x ≥1恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．16．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 ．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17．△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且sin （A +C ）=2√3S a 2+c 2−b2．（1）若sinBcos(π2−C)=cos 2A2，求角C 的大小．（2）若AC 边上的中线BM 的长为2，求△ABC 面积的最大值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，动点P满足CP→=λCC1→（λ＞0），当λ=12时，AB1⊥BP．（1）求棱CC1的长；（2）若二面角B1﹣AB﹣P的大小为π3，求λ的值．19．网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如表所示：年份201020112012201320142015201620172018时间代号x123456789实体店纯利润y（千万）2 2.3 2.5 2.93 2.5 2.1 1.7 1.2根据这9年的数据，对x和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254；根据后5年的数据，对x和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；（1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案：方案一：选取这9年的数据，进行预测；方案二：选取后5年的数据进行预测；从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适．附：相关性检验的临界值表：n﹣2小概率0.050.013 0.878 0.9597 0.666 0.798（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望． 20．已知点（1，e ），（e ，√32）在椭圆上C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与抛物线M ：y 2＝4x 交于P ，Q 两点，F 为椭圆的左焦点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE 的斜率为定值．21．设函数f （x ）＝ln （x ﹣1）+ax 2+x +1，g （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2． （1）若a ≥0，讨论g （x ）的零点个数； （2）证明：f （x ）≤g （x ）．选考题(共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα（t 为参数，0＜α＜π），曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosφy =1+√3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 2的极坐标方程；（2）设曲线C 1与曲线C 2的交点分别为A ，B ，M （﹣2，0），求|MA |2+|MB |2的最大值及此时直线C 1的倾斜角． （选修4-5）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤x +2的解集；（2）若函数y ＝f （x ）的最小值记为m ，设a ＞0，b ＞0，且有a +b ＝m ．求1a+1+2b+2的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2﹣3x ﹣4≤0}，B ＝{x |0＜lnx ＜2}，则A ∩B 的真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B 的真子集的个数．解：∵集合A ＝{x ∈Z|x 2﹣3x ﹣4≤0}＝{x ∈Z|﹣1≤x ≤4}＝{﹣1，0，1，2，3，4}， B ＝{x |0＜lnx ＜2}＝{x |1＜x ＜e 2}， ∴A ∩B ＝{2，3，4}，∴A ∩B 的真子集的个数为：23﹣1＝7个． 故选：C ．【点评】本题考查交集中真子集个数的求法，考查交集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设z ∈C 且z ≠0，“z 是纯虚数”是“z 2∈R ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】z ∈C 且z ≠0，“z 是纯虚数”⇒“z 2∈R ”，反之不成立，例如取z ＝2．即可判断出结论．解：∵z ∈C 且z ≠0，“z 是纯虚数”⇒“z 2∈R ”，反之不成立，例如取z ＝2． ∴“z 是纯虚数”是“z 2∈R ”的充分不必要条件． 故选：A ．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图是正态分布N （0，1）的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（ ）注：Φ（a ）＝P （X ≤a ） ①12−Φ(−a)②Φ（1﹣a ）③Φ(a)−12A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据正态分布N ∽（0，1）的正态分布曲线图，知正态曲线的对称轴是x ＝0，欲求图中阴影部分面积，只须求12−P （X ≤﹣a ），再结合对称性进行代换即可求得答案．解：：∵Φ（﹣a ）＝P （X ≤﹣a ），∴图中阴影部分的面积为12−P （X ≤﹣a ）=12−Φ（﹣a ），根据对称性可知阴影部分的面积为P （X ≤a ）−12=Φ（a ）−12， ∴①③正确， 故选：C ．【点评】本题考查了正态曲线的性质，深刻理解其性质是解决问题的关键．4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于（ ） A ．1B ．2C ．12D ．−12【分析】由等差数列的中项性质可得2S 3＝S 1+S 2，再由等比数列的通项公式解方程可得q ．解：S 1，S 3，S 2成等差数列， 可得2S 3＝S 1+S 2，即为2（a 1+a 2+a 3）＝a 1+a 1+a 2， 即有2a 1（1+q +q 2）＝a 1（2+q ）， 化为2q 2+q ＝0，解得q =−12（q ＝0舍去）， 故选：D ．【点评】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5．函数f （x ）＝|x |−ln|x|x 2的图象大致为（ ）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性可排除CD，利用导数研究可知当x＞0时，其在x＝1处取得极小值，可排除B，由此得解．解：因为f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，排除C和D．当x＞0时，f(x)=x−lnxx2，f′(x)=x3+2lnx−1x3，令f'（x）＜0，得0＜x＜1；令f'（x）＞0，得x＞1．所以f（x）在x＝1处取得极小值，排除B，故选：A．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．6．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，点F在线段CD上，设AB→=a→，AC→=b→，AF→=xa→+y b→，则1x +4y+1的最小值为（）A．6+2√2B．6√3C．6+4√2D．3+2√2【分析】用AD→，AC→表示AF→，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到1x +4 y+1关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．解：AF→=xa→+yb→=2x AD→+y AC→．∵C，F，D三点共线，∴2x+y＝1．即y＝1﹣2x．由图可知x＞0．∴1x +4y+1=1x+21−x=x+1x−x2．令f（x）=x+1x−x2，得f′（x）=x2+2x−1(x−x2)2，令f′（x）＝0得x=√2−1或x=−√2−1（舍）．当0＜x＜√2−1时，f′（x）＜0，当x＞√2−1时，f′（x）＞0．∴当x=√2−1时，f（x）取得最小值f（√2−1）=√2(√2−1)−(√2−1)2=3+2√2．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．7．执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出的S的值是（）A．910B．1011C．1112D．922【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+⋯+110×11的值，可得：S=11×2+12×3+⋯+110×11=（1−12）+（12−13）+…+（110−111）＝1−111=1011．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则cos∠APA1的最小值是（）A ．√22B ．√55C ．13D ．2√23【分析】连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ，则AO =∥PM ，从而A 1P ＝C 1M ，由此能求出cos ∠APA 1的值．解：连结AC 、BD ，交于点O ，连结A 1C 1，交EF 于M ，连结OM ， 设正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，∵在正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点， 点P 是底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面EFDB ， ∴AO =∥PM ，∴A 1P ＝C 1M =AC 4=√24，∴cos ∠APA 1=A 1PAP=√24√A1P2+AA 12=√24√18+1=13，即cos ∠APA 1的最小值是13．故选：C ．【点评】本题考查角的余弦函数值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．若变量x ，y 满足约束条件{x ≤3，x +y −3≥0，x −y +1≥0，则x ﹣2y 的最小值是（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．3D ．5【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可． 解：画出满足条件的平面区域，如图示： ，由{x =3x −y +1=0，解得A （3，4）， 设z ＝x ﹣2y 得：y =12x −12z ，平移直线y =12x −12z ，结合图象直线过A 时，z 最小，z 的最小值是：﹣5， 故选：B ．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 10．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与函数y =√x （x ≥0）的图象交于点P ，若函数y =√x 的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点F （﹣4，0），则双曲线的离心率是（ ） A ．√17+44B ．√17+34C ．√17+24D ．√17+14【分析】设P 的坐标为（m ，√m ），求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出m ＝4，根据双曲线的定义求出a ，c 即可． 解：设P 的坐标为（m ，√m ），左焦点F （﹣4，0）， 函数的导数f ′（x ）=2√x ，则在P 处的切线斜率k ＝f ′（m ）=2√m =√mm+4， 即m +4＝2m ，得m ＝4，则P （4，2），设右焦点为A （4，0），则2a ＝|PF |﹣|PA |=√64+4−√0+4=2（√17−1）， 即a =√17−1， ∵c ＝4，∴双曲线的离心率e =c a =√17+14，故选：D ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的几何意义，建立切线斜率关系，求出a ，c 是解决本题的关键．考查运算能力．11．如图所示，用一边长为√2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A ．√2−12B ．√2+12C ．√6−12D ．√3−12【分析】由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案． 解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形， 故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1， 由于鸡蛋的体积为43π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为√1−14=√32，而垂直折起的4个小直角三角形的高为12，故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为√3−12，故选：D ．【点评】本题主要考查球的截面的性质，图形的折叠问题，点、线、面间的位置关系，属于中档题．12．已知不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的最小值为（）A．−√e B．−e2C．﹣e D．﹣2e【分析】将原不等式化为e﹣x﹣lne﹣x≥x a﹣lnx a对x∈（1，+∞）恒成立；设函数f（x）＝x﹣lnx，即f（e﹣x）≥f（x a）对x∈（1，+∞）恒成立；讨论函数f（x）的单调性；解：不等式x+alnx+1e x≥x a对x∈（1，+∞）恒成立；即x+1e x≥x a−alnx=x a−lnx a对x∈（1，+∞）恒成立；即e﹣x﹣lne﹣x≥x a﹣lnx a对x∈（1，+∞）恒成立；设函数f（x）＝x﹣lnx，则f′(x)=1−1x=x−1x；所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；即f（e﹣x）≥f（x a）对x∈（1，+∞）恒成立；∵x∈（1，+∞）时，e−x∈(0，1e)；根据选项，只需讨论a＜0的情况；当a＜0 时，y＝x a在x∈（1，+∞）上单调递减，则x a∈（0，1）；则e﹣x≤x a，两边取e为底的对数，得：﹣x≤alnx（x＞1）；即a≥−xlnx（x＞1）设函数h(x)=−xlnx，则h′(x)=1−lnx(lnx)2；所以h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；则h（x）最大值＝h（e）＝﹣e，即a≥﹣e；故选：C．【点评】本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数的单调性，构造函数的构造思想，对数的等价变形等，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），(2，12)，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p=1 2，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，12）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．14．已知向量a→=（4，2），b→=（λ，1），若a→+2b→与a→−b→的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为（1−√11，2）∪（2，1+√11）．【分析】先求出a→+2b→与a→−b→的坐标，再根据a→+2b→与a→−b→不共线，且它们乘积为正值，求出实数λ的取值范围．解：∵向量a→=（4，2），b→=（λ，1），∴a→+2b→=（4+2λ，4），a→−b→=（4﹣λ，1），若a→+2b→与a→−b→的夹角是锐角，则a→+2b→与a→−b→不共线，且它们乘积为正值，即4+2λ4−λ≠41，且（a→+2b→）•（a→−b→）＝（4+2λ，4）•（4﹣λ，1）＝20+4λ﹣2λ2＞0，求得1−√11＜λ＜1+√11，且λ≠2，故答案为：（1−√11，2）∪（2，1+√11）．【点评】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．15．若函数f（x）={e x−a，x＜1(x−2a)(x−a2)，x≥1恰有2个零点，则实数a的取值范围是[12，1）∪{2}∪[e，+∞）．【分析】分四种情况讨论当a≤0时，当0＜a＜2时，当a＝2时，当a＞2时，图象使得符合函数f（x）有两个零点．解：当a ≤0时，不满足题意，当0＜a ＜2时，要使函数函数f （x ）恰有2个零点，即{e −a ＞0a 2＜1≤2a ⇒12≤a ＜1， 当a ＝2时，满足题意，当a ＞2时，a 2＞2a ＞4，要使函数函数f （x ）恰有2个零点，即e ﹣a ≤0．所以a ≥e ， 综上所述：实数a 的取值范围是[12，1）∪{2}∪[e ，+∞）．故答案为：[12，1）∪{2}∪[e ，+∞）．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．16．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13．【分析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，在分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科； 则有C 42A 33＝6×6＝36种情况，若甲辅导数学，有C 32A 22+C 31A 22＝12种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13，故答案为：13．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17．△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且sin （A +C ）=2√3S a 2+c 2−b2．（1）若sinBcos(π2−C)=cos 2A2，求角C 的大小．（2）若AC 边上的中线BM 的长为2，求△ABC 面积的最大值．【分析】（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求cos B =√32，结合范围B ∈（0，π），可得B =π6，利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin （C +π3）＝1，进而结合范围C ∈（0，π），可得C 的值．（2）延长BM 到D ，使得BM ＝MD ，连接AD ，在△ABD 中，由余弦定理，基本不等式可求得ac ≤32﹣16√3，进而根据三角形的面积公式即可求解． 解：（1）由于sin （A +C ）=2√3S a 2+c 2−b2，可得：sin B =2√3⋅12acsinB a 2+c 2−b2，所以a 2+c 2−b 22ac=√32，可得cos B =√32，所以由B ∈（0，π），可得B =π6，由sinBcos(π2−C)=cos 2A2，可得sin B sin C =1+cosA2， 可得：12sin C =1+cosA2， 可得sin C ＝1+cos （5π6−C ），可得sin （C +π3）＝1，因为C ∈（0，π），可得C +π3∈（π3，4π3），可得C +π3=π2， 可得C =π6．（2）延长BM 到D ，使得BM ＝MD ，连接AD ，在△ABD 中，有AB ＝c ，AD ＝a ，∠BAD =5π6，由余弦定理可得16＝a 2+c 2﹣2ac •（−√32），即16＝a 2+c 2+√3ac ，可得16−√3ac ＝a 2+c 2≥2ac ，可得ac ≤32﹣16√3，当且仅当a ＝c ＝2√6−2√2时取等号， 可得△ABC 的面积S =12ac sin B =12×12×ac ≤8﹣4√3，当且仅当a ＝c ＝2√6−2√2时取等号，即△ABC 面积的最大值是8﹣4√3．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．18．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点P 满足CP →=λCC 1→（λ＞0），当λ=12时，AB 1⊥BP ． （1）求棱CC 1的长；（2）若二面角B 1﹣AB ﹣P 的大小为π3，求λ的值．【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱CC 1的长．（2）求出平面PAB 的一个法向量，和平面ABB 1的一个法向量，由已知条件利用向量法能求出λ的值．解：（1）以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，设CC 1＝m ，则B 1（3，0，m ）， B （3，0，0），P （0，4，λm ），所以AB 1→=(3，0，m)，PB →=(3，−4，−λm)，AB →=(3，0，0)，…2分 当λ=12时，有AB 1→⋅PB →=(3，0，m)⋅(3，−4，−12m)=0解得m =3√2，即棱CC 1的长为3√2．…4分 （2）设平面PAB 的一个法向量为n 1→=（x ，y ，z ），则由{AB →⋅n 1→=0PB →⋅n 1→=0，得{3x =03x −4y −3√2λz =0，即{x =04y +3√2λz =0， 令z ＝1，则y =−3√2λ4，所以平面PAB 的一个法向量为n 1→=(0，−3√2λ4，1)，…6分又平面ABB 1与y 轴垂直，所以平面ABB 1的一个法向量为n 2→=(0，1，0)， 因二面角B 1﹣AB ﹣P 的平面角的大小为π3，所以|cos ＜n 1→，n 2→＞|=12−3√2λ4(3√2λ4)+1结合λ＞0，解得λ=2√69．…10分．【点评】本题考查线段长的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．19．网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如表所示： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号x 123456789实体店纯利润y （千万）22.32.52.932.52.11.71.2根据这9年的数据，对x 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254； 根据后5年的数据，对x 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985； （1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案： 方案一：选取这9年的数据，进行预测； 方案二：选取后5年的数据进行预测；从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适． 附：相关性检验的临界值表：n ﹣2小概率 0.050.0130.8780.95970.6660.798（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的40%，既开网店又开实体店的占调查总人数的20%，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只开实体店的人数的分布列及期望．【分析】（1）选取方案二更合适，理由是①中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据．②中相关系数|r |越接近1，线性相关性越强， 根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.985＞0.959，从而有99%的把握认为y 与x 具有线性相关关系．（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为35，开实体店的概率为25，设只开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ～B（5，25），由此能求出ξ的分布列和E （ξ）． 解：（1）选取方案二更合适，理由如下：①中介绍了，随差网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击， 从表格中可以看出从2014年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌， 前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据． ②相关系数|r |越接近1，线性相关性越强，∵根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.985＞0.959， ∴有99%的把握认为y 与x 具有线性相关关系．（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位， 开网店的概率为35，开实体店的概率为25，设只开实体店的店主人数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ～B （5，25），P （ξ＝0）=C 50(25)0(35)5=2433125， P （ξ＝1）=C 51(25)(35)4=162625， P （ξ＝2）=C 52(25)2(35)3=216625， P （ξ＝3）=C 53(25)3(35)2=144625， P （ξ＝4）=C 54(25)4(35)=48625， P （ξ＝5）=C 55(25)5(35)0=323125， ∴ξ的分布列为：ξ 0 12345P243312516262521662514462543625323125∵ξ～B （5，25），∴E （ξ）＝5×25=2． 【点评】本题考查方案的确定，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查线性回归方程、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知点（1，e ），（e ，√32）在椭圆上C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 经过C 的上顶点且l 与抛物线M ：y 2＝4x 交于P ，Q 两点，F 为椭圆的左焦点，直线FP ，FQ 与M 分别交于点D （异于点P ），E （异于点Q ），证明：直线DE的斜率为定值．【分析】（1）由椭圆过两个点及e 与a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线PF 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得点D 的坐标，同理可得E 的坐标，求出直线DE 的斜率可得为定值．解：（1）由题意可得{ 1a 2+e 2b 2=1e 2a2+34b 2=1e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2解得：a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）证明：由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：y ＝kx +1，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程{y =kx +1y 2=4x ，整理可得：k4y 2﹣y +1＝0，△＝1﹣k ＞0即k ＜1，且k ≠0，y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k，由（1）可得左焦点F （﹣1，0），所以直线FP 的方程为：y =y1x 1+1（x +1），联立直线PF 与抛物线的方程：{y 2=4x y =y 1x 1+1(x +1)整理可得：y 2−4(x 1+1)y 1y +4＝0，所以y 1y D ＝4，所以y D =4y 1，所以D 的坐标（4y 12，4y 1）， 同理可得：E 的坐标（4y 22，4y 2），所以k DE =4y 1−4y 24y 12−4y 22=y 1y 2y 1+y 2=1，所以可证得直线DE 的斜率为定值1．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题． 21．设函数f （x ）＝ln （x ﹣1）+ax 2+x +1，g （x ）＝（x ﹣1）e x +ax 2．（1）若a≥0，讨论g（x）的零点个数；（2）证明：f（x）≤g（x）．【分析】（1）求导可得g′（x）＝x（e x+2a），然后分a＝0及a＞0讨论即可得出零点个数；（2）令H（x）＝g（x）﹣f（x），连续求导后，可得H(x)min=H(x0)=(x0−1)e x0−ln(x0−1)−x0−1，且e x0=1x0−1，结合H（x0）＝1+x0﹣x0﹣1＝0，即可得证．解：（1）由题意，g′（x）＝xe x+2ax＝x（e x+2a），①当a＝0时，则函数g（x）＝（x﹣1）e x，此时函数g（x）有唯一的零点x＝1；②当a＞0时，令g′（x）＝0，易知当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，∴g（x）min＝g（0）＝﹣1，故函数g（x）最多有两个零点，当x＜0时，可得e x＜e0＝1且x﹣1＜0，故（x﹣1）e x＞x﹣1，∴g（x）＞ax2+x﹣1，故x→﹣∞时，g（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）有一个零点；当x＞0时，g（1）＝a＞0，故g（x）在（0，+∞）上有一个零点；综上可知，当a＝0时，g（x）有唯一零点，当a＞0时，g（x）有两个零点；（2）证明：令H（x）＝g（x）﹣f（x）＝（x﹣1）e x﹣ln（x﹣1）﹣x﹣1，x＞1，则H′(x)= xe x−1x−1−1=xe x−x x−1=x(e x−1x−1)，令t(x)=e x−1x−1，可得t（x）在（1，+∞）上是增函数，且t(1+e−2)=e1+e−2−e2＜0，t(2)=e2−1＞0，∴t（x）在（1，+∞）上有唯一零点x0∈（1，2），当x∈（1，x0）时，H′（x）＞0，H（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，H′（x）＜0，H（x）递增，故H(x)min=H(x0)=(x0−1)e x0−ln(x0−1)−x0−1，且e x0=1x0−1，∴H（x0）＝1+x0﹣x0﹣1＝0，∴H（x）≥H（x0）＝0，即得证．【点评】本题考查利用导数研究函数的零点以及不等式的证明，考查分类与整合思想，转化思想等数学思想，考查运算求解，逻辑推理等数学能力，属于中档题．选考题(共10分请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则被所做的第一题计分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα（t 为参数，0＜α＜π），曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosφy =1+√3sinφ（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 2的极坐标方程；（2）设曲线C 1与曲线C 2的交点分别为A ，B ，M （﹣2，0），求|MA |2+|MB |2的最大值及此时直线C 1的倾斜角．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 2的参数方程为{x =−1+√3cosϕy =1+√3sinϕ（φ为参数），转换为直角坐标方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝3．转换为极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣2ρsin θ﹣1＝0．（2）把直线C 1的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα（t 为参数，0＜α＜π），代入（x +1）2+（y ﹣1）2＝3，得到（﹣2+t cos α+1）2+（t sin α﹣1）2＝3， 整理得t 2﹣2（sin α+cos α）t ﹣1＝0， 所以t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1•t 2＝﹣1，则：|MA |2+|MB |2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=4（1+2sin αcos α）+2＝4sin2α+6，当α=π4时，|MA |2+|MB |2的最大值10． 此时直线C 1的倾斜角为π4．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． （选修4-5）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤x +2的解集；（2）若函数y ＝f （x ）的最小值记为m ，设a ＞0，b ＞0，且有a +b ＝m ．求1a+1+2b+2的最小值．【分析】（1）将函数f （x ）化为分段函数的形式，再作出函数f （x ）的图象及函数y ＝x +2的图象，观察图象即可得解；（2）易知(a +1)+(b +2)=92，再利用柯西不等式即可求得最小值． 解：（1）f(x)=|2x −1|+|x +1|={−3x ，x ＜−1−x +2，−1≤x ≤123x ，x ＞12，作出函数f （x ）的图象及函数y ＝x +2的图象如下，由图可知，不等式的解集为[0，1]；（2）由图可知，函数y ＝f （x ）的最小值为32，即m =32，∴a +b =32，∴(a +1)+(b +2)=92， ∴1a+1+2b+2=29[(a +1)+(b +2)](1a+1+2b+2)≥29(1+√2)2=6+4√29，当且仅当“b+2a+1=2(a+1)b+2”时取等号，∴1a+1+2b+2的最小值为6+4√29．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值，考查数形结合思想及计算能力，属于基础题．。
2020届黑龙江省哈尔滨第九中学高三上学期第二次考试数学(文)试题(解析版)
2020届黑龙江省哈尔滨第九中学高三上学期第二次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}10A x x =->，22log 1x B x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，则()A B =R I ð（ ） A ．[)0,1 B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)2,+∞【答案】C【解析】求出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义可求出集合()R A B I ð. 【详解】{}()101,A x x =->=+∞Q ，()()222log 0,12,11x x B x y xx x ⎧⎫⎧⎫--===>=-∞-⋃+∞⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭， 则[]1,2R B =-ð，因此，()(]1,2R A B =I ð. 故选：C. 【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，同时也考查了对数型复合函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．设341iz i+=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．7122i + B C ．52D ．252【答案】B【解析】利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】()()()()34134771111222i i i i z i i i i +-++====+++-Q ，因此，2z ==故选：B. 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题. 3．将复数z 的共轭复数记作z ，则复数()()13i i -+的虚部是（ ） A ．4 B ．4-C ．2D ．2-【答案】C【解析】利用复数的乘法法则将复数()()13i i -+表示为一般形式，结合共轭复数的定义可得出复数()()13i i -+的虚部. 【详解】()()1342i i i -+=-Q ，则()()1342i i i -+=+，该复数的虚部为2.故选：C. 【点睛】本题考查复数虚部的计算，涉及复数的乘法运算以及共轭复数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.4．将函数()26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A ．()23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()43x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()43x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】计算出每一步变换所得函数的解析式，进而可得出函数()y g x =的解析式. 【详解】将函数()26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，可得到函数22463y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，考查推理能力与计算能力，属于基础题.5．已知G 为ABC ∆的重心，且AG x AB yBC =+u u u r u u u r u u u r，则x 、y 的值分别为（ ）A ．13、13B ．23、23C ．13、23D ．23、13【答案】D【解析】利用三角形重心的向量性质得出1331AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再将AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r代入即可得出结果. 【详解】由于G 为ABC ∆的重心，则()111121333333AG AB AC AB AB BC AB BC =+=++=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，因此，23x =，13y =.故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及三角形重心的向量性质的应用，考查计算能力，属于基础题.6．已知sin 2αα+=，则tan α=（ ）A ．3B ．3±C D ．【答案】A【解析】利用辅助角公式结合已知条件求出α的值，即可计算出tan α的值. 【详解】sin 2sin 23πααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q ，sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得()232k k Z ππαπ+=+∈，则()26k k Z παπ=+∈，因此，tan α=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数值的计算，涉及辅助角公式的应用，求出角的值是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.7．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2【答案】A【解析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和()1*21n n S a n N -=⋅+∈，其中a 是常数，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，再由1a 满足n a 在2n ≥时的表达式可求得实数a 的值. 【详解】由于等比数列{}n a 的前n 项和()1*21n n S a n N -=⋅+∈.当1n =时，111a S a ==+； 当2n ≥时，()()122121212n n n n n n a S S a a a ----=-=⋅+-⋅+=⋅.由题意可知，11a a =+满足22n n a a -=⋅，即12aa +=，解得2a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用前n 项和公式判断等比数列，求出通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.9．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =（ ）A ．26B ．52C ．78D ．104【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比性质可得2774a a =，即77b a =，再结合13713S b =，即可得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵31174a a a =，∴2774a a =≠0，解得7a ＝4，数列{}n b 是等差数列，且77b a =． ∴()1131377131313522a a Sb a ⨯+====故选B ． 【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．在等差数列{}n a 中，12339a a a ++=，45627a a a ++=，则{}n a 的前9项的和9S =（ ）A ．63-B ．15C ．42D ．81【答案】D【解析】利用等差中项的性质求出5a 的值，即可求得9S 的值. 【详解】由等差中项的性质得4565327a a a a ++==，解得59a =， 因此，()199599812a a S a +===.故选：D. 【点睛】本题考查等差数列求和，灵活利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于基础题.11．数列{}n a 满足，1111,2?3n n n n a a a a a ++=-=，是数列{}1+n n a a 前5项和为（ ） A ．433B ．833C ．539D ．1039 【答案】C【解析】利用递推公式求得23456,,,,a a a a a 的值.进而利用裂项相消求和法，求得1223344556a a a a a a a a a a ++++的值.【详解】由递推公式112?n n n n a a a a ++-=，将113a =，代入得12122a a a a -=⋅，解得215a =；将215a =代入递推公式得23232a a a a -=⋅，解得317a =.同理解得456111,,91113a a a ===，所以1223344556a a a a a a a a a a ++++11111111113557799111113=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅1111111111123557799111113⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1115231339⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查递推公式求数列的前几项，考查裂项求和法求数列前几项的和.属于中档题.12．已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（ ）A ．B ．2CD ．1【答案】B【解析】设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为4π，可得出12x x -=，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值. 【详解】 如下图所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，122x x d -=，由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，当0x >时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0， 此时，10122d -+==12max 222x x ∴-==，故选：B.【点睛】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题.二、填空题13．已知向量()5,12a =r ，(3,33b =-r ，则b r 在a r方向上的投影为______.【答案】1536313-【解析】利用平面向量数量积的坐标运算和向量投影的定义可得出结果. 【详解】设向量a r 与b r 的夹角为θ，则b r 在a r方向上的投影为2253123315363cos 13512a b a b b b a b a θ⨯+⨯-⋅⋅-=⋅===⋅+r r r rr r r r r .故答案为：1536313-.【点睛】本题考查向量投影的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14．甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴．甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹琴的是_________. 【答案】乙【解析】根据合情推理，即可判断出会弹琴的是乙． 【详解】若甲说的是真的，则乙说的假话，表明乙也会弹钢琴，与题意矛盾；若乙说的是真的，则甲说的假话，表明甲不会弹钢琴，丙说的假话，表明甲会弹钢琴，矛盾；若丙说的是真的，则甲说的假话，表明甲不会弹钢琴，乙说的假话，表明乙会弹钢琴，符合题意．综上，会弹琴的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题． 15．若函数()22x x f x a -=-⋅为奇函数，则不等式18()630f a x-<的解集为__________．【答案】1(,0)(,)3-∞⋃+∞【解析】根据函数为奇函数知(0)0f =求出1a =，原不等式转化为163()=(3)8f f x <，又函数()f x 在R 上为增函数，即可求解. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以有(0)10f a =-=，得1a =，故()22x xf x -=-，所以63(3)8f =. 不等式18()630f a x -<可化为163()8f x <，由函数()f x 在R 上为增函数，可得13x<，解得：13x >或0x <. 所以不等式的解集为()1,0,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，故填()1,0,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，不等式的解法，转化思想，属于中档题. 16．若ABC ∆)222a cb +-，且C 为钝角，则c a 的取值范围是______. 【答案】()2,+∞【解析】利用三角形的面积公式和余弦定理可求得tan B =进而得出3B π=，由C为钝角得出06A π<<，再利用正弦定理边角互化思想得出122tan c a A=+，进而可求得ca的取值范围. 【详解】由三角形的面积公式和余弦定理得1sin 2cos 24ac B ac B =，化简得sin B B =，则tan B =0B Q π<<，3B π∴=，C Q 为钝角，则0232A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得06A π<<，所以0tan A << 所以，()1sin sin sin sin 13222sin sin sin sin 2A A AA B c C a A A A A π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=====+>. 因此，ca的取值范围是()2,+∞. 故答案为：()2,+∞. 【点睛】考查三角形中边长比值取值范围的计算，涉及三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理的应用，将问题转化为以角A 为自变量的三角函数的值域问题求解是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的方程为y =kx .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）曲线C 与直线l 交于A 、B两点，若OA OB +k 的值.【答案】（1）24cos 10ρρθ-+= （2）3或【解析】（1）先将曲线C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可求出曲线C 的极坐标方程； （2）设出直线l 的极坐标方程[)11(,0,π)θθρθ=∈∈R ，与曲线C 的极坐标方程联立，可得214cos 10ρρθ-+=，即可得到121124cos ,10ρρθρρ+==>，根据ρ的几何意义可知，1212OA OB ρρρρ+=+=+=1θ，于是可得k 的值．【详解】（1）222,410x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩Q ， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.（2）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,π)θθρθ=∈∈R ，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40ρρθρρ∆θ∴+==>=->，1212OA OB +=+=+=Q ρρρρ1cos 2θ∴=± 满足>0∆， 1π6θ∴=或56π，l 的倾斜角为6π或56π，则1tan 3k θ==或3-． 【点睛】本题主要考查曲线的参数方程化极坐标方程，以及极坐标方程和ρ的几何意义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18．（1）已知函数()()220,0f x x a x b a b =-++>>的最小值为2，求a 与b 的关系；（2）若a 、b 满足（1）中的条件，求164a b +的最小值. 【答案】（1）22a b +=；（2）8.【解析】（1）利用绝对值三角不等式可求得函数()y f x =的最小值，由此可得出a 与b 的关系；（2）将所求代数式变形为216444a b a b +=+，利用基本不等式可求得164a b +的最小值. 【详解】（1）由绝对值三角不等式得()()()22222f x x a x b x a x b =-++≥--+2a b =+，当且仅当()()2220x a x b -+≤时取等号，所以22a b +=，又0a >，0b >，所以22a b +=； （2）由（1）知22a b +=，由基本不等式得2164448a b a b +=+≥==， 当且仅当21a b ==时取等号，所以164a b +的最小值为8. 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数最值，同时也考查了利用基本不等式求和的最小值，考查计算能力，属于基础题.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24320a x S x ⋅-⋅+<的解集为2,17⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足22n an n c a =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）222(41)3nn T n n =++- 【解析】（1）由韦达定理可得3497S a =且4227a =，利用等差数列的通项公式和求和公式，列方程解得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）结合（1）求得21412n n c n -=-+,运用数列的分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式，即可得到所求和. 【详解】（1）因为24320a x S x ⋅-⋅+<的解集为2,17⎛⎫⎪⎝⎭所以3497S a =且4227a =， 1113393737a d a d a d +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩， 11,2a d ∴==，21n a n ∴=-.（2）由（1）可得22n a n n c a =+21412n n -=-+，()()()24143411224122143nn n n n T n n -+-∴=+⋅=++--. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等比数列的求和公式， “分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.20．已知函数()2cos 22cos 3x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()0f A =，1a =，求b c +的取值范围. 【答案】（1）(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]1,2. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，然后解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即可解得函数()y f x =的单调递增区间；（2）由()0f A =结合角A 的取值范围可得出角A 的值，然后利用正弦定理将b c +表示为以角B 为自变量的三角函数，并利用三角恒等变换思想将解析式化简，求出角B 的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得b c +的取值范围. 【详解】 （1）()()21cos 22cos cos 221cos 232x x x x x f x π⎛⎫⎛⎫=--=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 21sin 2126x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由()sin 2106A f x π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭得sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0A π<<Q ，112666A πππ∴-<-<，262A ππ∴-=，解得3A π=.sin sin 2b cB C ==得)21sin sin sin sin sin sin 32b c B C B B B B B π⎛⎫⎤⎛⎫+=+=+-=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭cos 2sin 6B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.3A π=Q ，由00B A B ππ<<⎧⎨<+<⎩，可得203B π<<，则5666B πππ<+<，61sin 12B π⎛⎫+∴<≤ ⎪⎝⎭，所以(]2sin 1,26B π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以b c +的范围是(]1,2.【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了三角形中边长之和取值范围的求解，利用正弦定理将问题转化为三角函数的值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.21．已知函数()()2019sin 4f x x x R ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的所有正数的零点构成递增数列{}n a .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设324nn n b a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*34n a n n N =-∈；（2）()1122n n T n +=-+. 【解析】（1）令()0f x =可得出()14x k k Z =+∈，根据题意确定数列{}n a 的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求出2nn b n =⋅，然后利用错位相减法可求得n T .【详解】（1）()2019sin 044x x x f ππππ⎛⎫=⋅-=⇒- ⎪⎝⎭()()14k k Z x k k Z π=∈⇒=+∈， 这就是函数()y f x =的全部零点.已知函数()y f x =的全部正数的零点构成等差数列{}n a ，则其首项等于14，公差等于1.因此，数列{}n a 的通项公式就是：()()*131144n a n n n N =+-⨯=-∈； （2）3224nn n nb a n ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，①()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，②①-②：()()31121122122222221212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=⋅---L ，所以，()1122n n T n +=-⋅+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()1122n n T n +=-+.【点睛】本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法求和，涉及三角函数零点的求解，考查计算能力，属于中等题. 22．已知函数()ln f ba xx x x =-+在1x =处取得极值. （1）若1a >，求函数()f x 的单调区间；（2）若3a >，函数()223g x a x =+，若存在1m 、21,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()129f m g m -<成立，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）()3,4.【解析】（1）由()10f '=可得出1b a =-，令()0f x '=得出11x =，21x a =-，然后讨论1a -与1的大小关系，结合导数可得出函数()y f x =的单调增区间和减区间； （2）利用导数求得函数()y f x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()120f a =-<，利用二次函数的基本性质得出函数()y g x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2113024g a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由此可得出()1192g f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，进而可解得实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()2'1a bf x x x =--， 由题意可知，()110f a b '=--=，则1b a =-，()()()()222211111x ax a x x a a a f x x x x x-+---+-'∴=--==， 令()'0f x =，则11x =，21x a =-.因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以12x x ≠，即2a ≠.①当11a ->时，即当2a >时，解不等式()0f x '>，得01x <<或1x a >-；解不等式()0f x '<，解得11x a <<-.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1-a ；②当011a <-<时，即当12a <<时，解不等式()0f x '>，得01x a <<-或1x >；解不等式()0f x '<，解得11a x -<<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1a -和()1,+∞，单调递减区间为()1,1a -. 综上所述，当12a <<时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1a -和()1,+∞，单调递减区间为()1,1a -；当2a >时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1和()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1-a ；（2）当3a >时，函数()y f x =在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，在(]1,2为减函数， 所以，函数()y f x =的最大值为()120f a =-<， 因为函数()y g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，所以，函数()y g x =的最小值为2113024g a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 所以，()()g x f x >在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.要使存在1m 、21,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()129f m g m -<成立，只需要()1192g f ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()213294a a +--<，所以84a -<<. 又因为3a >，所以实数a 的取值范围是()3,4. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式能成立问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三5月第二次模拟考试试题文 (数学)
点评：本题主要考查几何体的截面问题，考查几何体的结构特征，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.有限数列 为其前 项和，定义 为 的“凯森和”，如有504项的数列 的“凯森和”为2020，则有505项的数列 的“凯森和”为（ ）
A. 2014B. 2016C. 2018D. 2020
3.设非零向量 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ）
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
答案：C
设 与 的夹角为 ，由 得 ，结合 即可求出答案．
【解：解：设 与 为单位向量，夹角为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
点评：本题主要考查平面向量数量积的定义的应用，属于基础题．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F.
答案：（1） ；（2）见解析.
【解：（1）设P（x，y），M（ ）,则N（ ），
由 得 .
因为M（ ）在C上，所以 .
因此点P的轨迹为 .
由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则
，
（3）求这 名工人年龄的方差.
答案：（1）众数为 ，极差为 ；（2）详见解析；（3） .
【解：试题分析：（1）根据频率分布表中的相关信息结合众数与极差的定义求出众数与极差；（2）根据频率分布表中的信息以及茎叶图的作法作出这 名工人年龄的茎叶图；（3）根据茎叶图所反映的信息，先求出平均数，然后根据方差的计算公式求出这 名工人年龄的方差.
（1）这 名工人年龄的众数为 ，极差为 ；
（2）茎叶图如下：
（3）年龄的平均数为 ，
2020年黑龙江省哈尔滨九中高考(理科)数学二模试卷(Word 含解析)
2020年高考（理科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x∈Z||x﹣1|＜2}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{x|﹣1＜x≤2} 2．已知复数z满足z(1−i)=|1+√3i|，则复数z的共轭复数为（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．”a＜2”是”∀x＞0，a≤x+1x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f(x)=cosx(e x−1)e x+1的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．刘徽（约公元225年一295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin3°的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π606．若a ＞b ＞0，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2＜b 2 B ．（12）a ＜log12bC ．2a ＜2bD ．log12a ＜log 12b 7．已知(x 2+a)(x −2x )5的展开式中所有项的系数和为﹣2，则展开式中含x 项的系数为（ ） A ．80 B ．﹣80C ．40D ．﹣408．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，过右焦点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点P ，以F 为圆心，FP 为半径作圆，该圆与双曲线交于M ，N 两点，且M ，N ，F 三点共线，则双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．√2C ．2D ．√59．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 在平面A 1B 1C 1D 1上，N 为C 1D 1的中点，连接A 1N 且P 在线段A 1N 上．已知BB 1＝2，BM =√5，则PM 的最小值为（ ） A ．1B ．45√5−1C ．√2−1D ．√210．若抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB =π3，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为N ，则2|MN||AB|的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．√33D ．√311．在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a 3=3，a n+3+(−1)n a n+1=1(n ∈N ∗)，数列{a n }的前n 项和为S n ，下列结论正确的是（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．a 18＝11 C ．a 17＝3D ．S 31＝14612．已知函数f(x)=−13cos2x−a(sinx−cosx)，且对于任意的x1，x2∈（﹣∞，+∞），当x1≠x2时都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜1成立，则实数a的取值范围是（）A．[−14，14]B．[−√23，√23]C．[−√26，√26]D．[﹣1，1]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a→=(1，1)，b→=(2，1)，若(λa→−b→)⊥(a→+b→)，则λ＝．14．记n＝b（moda）表示正整数n除以正整数a后所得的余数为b，例如8＝2（mod6）表示8除以6后所得的余数为2．执行如图的程序框图，若输入的n值为5，则输出的n 值为．15．如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形，现分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为．16．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为2，则其体积为．三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共60分）17．已知多面体P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝∠PAB ＝90°，AB ＝PA ＝DA ＝PD =12CD ，M 是PB 的中点． （1）求证：PA ⊥CM ；（2）求直线DB 与平面PBC 所成角的正弦值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin(B −π6)cosA =cosC ． （1）求角A 的大小；（2）若23a +b =2c ，求cos C 的值．19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为左右焦点，直线l ：x ＝my +1与椭圆C 交于M 、N 两点，△MF 1F 2△NF 1F 2的重心分别为G 、H ，当m ＝0时，△OMN 的面积为√32．（1）求椭圆C 的方程；（2）当−12＜m ＜0时，证明：原点O 在以GH 为直径的圆的外部．20．近期，湖北省武汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情．为了尽快遏制住疫情，我国科研工作者坚守在科研一线，加班加点、争分夺秒与病毒抗争，夜以继日地进行研究．新型冠状病毒的潜伏期检测是疫情控制的关键环节之一．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．钟南山院士带领的研究团队统计了武汉市某地区10000名医学观察者的相关信息，并通过咽拭子核酸检测得到1000名确诊患者的信息如表格：潜伏期（单位：天）[0，7] （7，14] （14，21]（21，28]人数80019082（1）求这1000名确诊患者的潜伏期样本数据的平均数x （同一组数据用该组数据区间的中点值代表）．（2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响，为了研究潜伏期与患者性别的关系，以潜伏期是否超过7天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100名，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有90%的把握认为潜伏期与患者性别有关．潜伏期≤7天潜伏期＞7天总计 男性患者 12 女性患者 50 总计100（3）由于采样不当、标本保存不当、采用不同类型的标本以及使用不同厂家试剂都可能造成核酸检测结果“假阴性”而出现漏诊．当核酸检测呈阴性时，需要进一步进行血清学IgM /IgG 抗体检测，以弥补核酸检测漏诊的缺点．现对10名核酸检测结果呈阴性的人员逐一地进行血清检测，记每个人检测出IgM （IgM 是近期感染的标志）呈阳性的概率为p （0＜p ＜1）且相互独立，设至少检测了9个人才检测出IgM 呈阳性的概率为f （p ），求f （p ）取得最大值时相应的概率p ． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82821．已知函数f （x ）＝ae x +e ﹣x +（a ﹣1）x ，g （x ）＝（a +1）cos x ． （1）当a ＝0时，直线y ＝kx 与函数f （x ）的图象相切，求k 的值；（2）若f （x ）≥g （x ）在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：（共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√22t （t 为参数），圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数）． （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程；（2）已知点M （1，0），直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求||MA |﹣|MB ||的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝1．证明： （1）1a +1b+1c≥9；（2）ac +bc +ab ﹣abc ≤827．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A＝{x∈Z||x﹣1|＜2}，B＝{x|x2≤4}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1，2}D．{x|﹣1＜x≤2}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：集合A＝{x∈Z||x﹣1|＜2}＝集合A＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，B＝{x|x2≤4}＝[﹣2，2]，∴A∩B＝{0，1，2}，故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数z满足z(1−i)=|1+√3i|，则复数z的共轭复数为（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．解：由z(1−i)=|1+√3i|=√12+(√3)2=2，得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，则z=1−i．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题．3．”a＜2”是”∀x＞0，a≤x+1x”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出：∀x＞0，a≤x+1x，由y＝x+1x≥2，（x＞0），a＜2是a≤2的充分不必要条件，得到答案解：∀x＞0，a≤x+1 x，由y＝x+1x≥2，（x＞0），故a ≤2，a ＜2是a ≤2的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】考查四个条件的判断，考查了恒成立问题，基础题． 4．函数f(x)=cosx(e x −1)e x +1的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】由函数为奇函数，排除BD ，由f(π4)＞0，排除C ．解：因为f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，排除B ，D ； 又f(π4)＞0， 故选：A ．【点评】本题考查由函数解析式确定函数图象，属于基础题．5．刘徽（约公元225年一295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形（如图所示），当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin3°的近似值为（）A．π90B．π180C．π270D．π60【分析】将一个单位圆分成120个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为3°，由这1820个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，能求出sin3°的近似值．解：将一个单位圆分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2°，∵这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，∴120×12×1×1×sin3°＝60sin3°≈π，∴sin3°≈π60故选：D．【点评】本题考查3°角的正弦值的近似值的求法，考查扇形、单位圆等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6．若a＞b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＜b2B．（12）a＜log12bC．2a＜2b D．log12a＜log12b【分析】由a＞b＞0，取a＝2，b＝1可排除错误选项．解：由a＞b＞0，取a＝2，b＝1可排除ABC，故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数点单调性，属基础题．7．已知(x2+a)(x−2x)5的展开式中所有项的系数和为﹣2，则展开式中含x项的系数为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣40【分析】先利用赋值法求出a的值，然后将原式拆开后转化为求第二个二项式展开式中系数的问题．解：令x ＝1得﹣（1+a ）＝﹣2，所以a ＝1． 故原式=(x 2+1)(x −2x)5=（x ﹣3+x ﹣5）（x 2﹣2）5．＝x ﹣3（x 2﹣2）5+x ﹣5（x 2﹣2）5．所以要求原式含x 项的系数，只需求出（x 2﹣2）5展开式中含x 4与x 6的系数之和即可．故所求为C 53(−2)3+C 52(−2)2=−40．故选：D ．【点评】本题考查二项式展开式的应用，以及系数求法．要注意合理将二项式进行转化，便于求解和计算．属于基础题． 8．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，过右焦点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点P ，以F 为圆心，FP 为半径作圆，该圆与双曲线交于M ，N 两点，且M ，N ，F 三点共线，则双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．√2C ．2D ．√5【分析】设F （c ，0），一条渐近线的方程为bx ﹣ay ＝0，由点到直线的距离公式可得圆F 的半径，再由图象可得F 为MN 的中点，进而可得MN 垂直于x 轴，求得MN 的长，可得a ＝b ，再由离心率公式计算可得所求值． 解：设F （c ，0），一条渐近线的方程为bx ﹣ay ＝0， 可得|FP |=√a 2+b=bcc =b ，则圆F 的圆心为（c ，0），半径为b ，又该圆与双曲线交于M ，N 两点，且M ，N ，F 三点共线， 可得MFN 为直径，F 为MN 的中点，显然MN 垂直于x 轴，可令x ＝c ，则y ＝±b √c 2a 2−1=±b 2a ，可得圆F 的直径为2b 2a=2b ，即a ＝b ， 则e =c a=√1+b 22=√2， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查圆的性质，注意运用数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 在平面A 1B 1C 1D 1上，N 为C 1D 1的中点，连接A 1N 且P 在线段A 1N 上．已知BB 1＝2，BM =√5，则PM 的最小值为（ ） A ．1B ．45√5−1C ．√2−1D ．√2【分析】由题意画出图形，可知M 在平面A 1B 1C 1D 1上以B 1为圆心，以1为半径的圆弧上，由等面积法求出B 1 到A 1N 的距离，减去1得答案． 解：如图，∵BB 1＝2，BM =√5，∴M 在平面A 1B 1C 1D 1上以B 1为圆心，以1为半径的圆弧上． 连接B 1N ，可得S △A 1NB 1=12×2×2=2， ∵A 1N =√5，过B 1作B 1P ⊥A 1N ，由12×√5×B 1P =2，得B 1P =4√55．∴PM 的最小值为4√55−1．故选：B ．【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，正确找出M 的轨迹是关键，是中档题．10．若抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB =π3，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为N ，则2|MN||AB|的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．√33D ．√3【分析】设AF ＝a ，BF ＝b ，由抛物线定义，2|MN |＝a +b ．再由余弦定理可得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°，进而根据a +b ≥2√ab ，求得|AB |的范围，进而可得答案． 解：设AF ＝a ，BF ＝b ，由抛物线定义，2|MN |＝a +b ． 而余弦定理，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝（a +b ）2﹣3ab ， 再由a +b ≥2√ab ，得到|AB |≥12（a +b ）． 所以2|MN||AB|的|最大值为112=2故选：B ．【点评】本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．在数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a 3=3，a n+3+(−1)n a n+1=1(n ∈N ∗)，数列{a n }的前n 项和为S n ，下列结论正确的是（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．a 18＝11 C ．a 17＝3D ．S 31＝146【分析】利用数列的递推公式，通过n 为奇数和偶数，分别判断数列的特点，然后求解即可．解：当n 是奇数时，a n +3﹣a n +1＝1，即数列的{a n }中偶数项构成以a 2＝2，公差为1的等差数列，∴a 18＝2+1×（9﹣1）＝10，当n 是偶数时，a n +3+a n +1＝1，则a n +5+a n +3＝1，两式相减可得a n +5＝a n +1，即数列{a n }中的奇数项从a 3开始，每间隔一项的两项相等，即数列{a n }的奇数项呈周期变化， 在a n +3+a n +1＝1中，令n ＝2可得a 5+a 3＝1，即a 5＝﹣2， ∴a 17＝a 4×3+5＝a 5＝﹣2，在数列{a n }中，a 5+a 3＝1，a 7+a 9＝1，…a 27+a 29＝1，a 31＝a 4×7+3＝a 3＝3，偶数项构成以a 2＝2，公差为1的等差数列， ∴S 31＝1+7+3+15×2+15(15−1)2=146，故选：D ．【点评】本题考查了数列的递推公式，求和公式，通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．12．已知函数f(x)=−13cos2x −a(sinx −cosx)，且对于任意的x 1，x 2∈（﹣∞，+∞），当x 1≠x 2时都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜1成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[−14，14]B ．[−√23，√23]C ．[−√26，√26]D ．[﹣1，1]【分析】先根据不妨设x 1＜x 2，可得f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2，设g （x ）＝f （x ）﹣x ，可得函数g （x ）在R 上为减函数，根据导数和函数单调性的关系，结合换元法即可求出a 的范围．解：对于任意的x 1，x 2∈（﹣∞，+∞），当x 1≠x 2时都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜1成立，不妨设x 1＜x 2，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2，设g （x ）＝f （x ）﹣x =−13cos2x ﹣a （sin x ﹣cos x ）﹣x∴g （x 1）＞g （x 2），对x 1，x 2∈（﹣∞，+∞），且x 1＜x 2恒成立， ∴g （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数，∴g ′（x ）=23sin2x ﹣a （cos x +sin x ）﹣1=23[（cos x +sin x ）2﹣1]﹣a （cos x +sin x ）﹣1≤0，在（﹣∞，+∞）上恒成立，设t ＝cos x +sin x =√2sin （x +π4），∴t ∈[−√2，√2]，∴g ′（t ）=23t 2﹣at −53≤0，在t ∈[−√2，√2]恒成立，即2t 2﹣3at ﹣5≤0在t ∈[−√2，√2]恒成立， ∴{4+3√2a −5≤04−3√2a −5≤0， 解得−√26≤a ≤√26，故选：C ．【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系，以及参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于难题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →=(1，1)，b →=(2，1)，若(λa →−b →)⊥(a →+b →)，则λ＝85．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出λ的值．解：∵已知向量a →=(1，1)，b →=(2，1)，若(λa →−b →)⊥(a →+b →)，∴（λa →−b →）•（a →+b →）＝λa →2+（λ﹣1）•a →•b →−b →2=2λ+（λ﹣1）•3﹣5＝0，求得λ=85， 故答案为：85．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题． 14．记n ＝b （moda ）表示正整数n 除以正整数a 后所得的余数为b ，例如8＝2（mod 6）表示8除以6后所得的余数为2．执行如图的程序框图，若输入的n 值为5，则输出的n 值为 17 ．【分析】从框图可以看出，它的算法功能是从5，8，11，14，……，这些数中找到第一个被4除余数是1的整数．解：该框图的功能是从5，8，11，14，……，中找出第一个被4除余1的整数． 易知，当n ＝17时，满足题意． 故答案为：17．【点评】本题考查程序框图的算法功能判断问题，要注意循环开始与结束时的n 的值．属于基础题．15．如图所示的三角形称为希尔宾斯基三角形，现分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为2764．【分析】设图①阴影面积为1，求出图②、③的阴影面积，根据相互独立事件的概率公式计算即可．解：依题意，设图①阴影面积为1，设图n 的阴影面积为S n ，则S 1＝1， 则图②阴影为图①面积的34，S 2=34，图③阴影为图②面积的34，S 3=34⋅34=916， 分别从图（2）和图（3）中各随机选取一个点，则此两点均取自阴影部分的概率为34⋅916=2764，故答案为：2764．【点评】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，考查推理能力和计算能力，属简单题．16．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若二十四等边体的棱长为2，则其体积为√23π ．【分析】把二十四正多面体放入正方体中，结合图形求出该几何体的体积．解：如图所示，该二十四正多面体是由棱长为2√2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：V =2√2×2√2×2√2−8×13×12×√2×√2×√2=40√23．故答案为：40√23．【点评】本题考查了正方体的性质、球的体积积计算公式，考查了推理能力与计算能力，是中档题．三、解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：（共60分）17．已知多面体P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝∠PAB ＝90°，AB ＝PA ＝DA ＝PD =12CD ，M 是PB 的中点． （1）求证：PA ⊥CM ；（2）求直线DB 与平面PBC 所成角的正弦值．【分析】（1）取PA 的中点O ，则PA ⊥DO ，推导出OM ∥DC ，从而O ，M ，D ，C 四点共面，PA ⊥OM ，进而PA ⊥面ODCM ，由此能证明PA ⊥CM ．（2）设AB ＝2，以PA 的中点O 为坐标原点，OA ，OD ，OM 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（1）证明：取PA 的中点O ，则PA ⊥DO ，∵OM ∥AB ，DC ∥AB ，∴OM ∥DC ，∴O ，M ，D ，C 四点共面， ∵OM ∥AB ，且AB ⊥PA ，∴PA ⊥OM ，∵DO ∩OM ＝O ，∴PA ⊥面ODCM ，∴PA ⊥CM ．解：（2）设AB ＝2，以PA 的中点O 为坐标原点，OA ，OD ，OM 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则B （1，0，2），D （0，√3，0），C （0，√3，4），P （﹣1，0，0）， ∴DB →=（1，−√3，2），BC →=（﹣1，√3，2），PB →=（2，0，2）， 设平面PBC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{PB →⋅n →=2x +2z =0BC →⋅n →=−x +√3y +2z =0，令x ＝1，则n →=（1，√3，﹣1）， ∴sin θ=|DB →⋅n →||DB →|⋅|n →|=√105， 则直线DB 与平面PBC 所成角的正弦值为√105．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin(B −π6)cosA =cosC ． （1）求角A 的大小；（2）若23a +b =2c ，求cos C 的值．【分析】（1）依题意，化简可得√3sinBcosA =sinAsinB ，结合A ，B 的范围即可求得A =π3；（2）先利用正弦定理化简可得sin(C −π6)=13，注意C −π6∈(−π6，π2)，故利用平方关系可得cos(C −π6)=2√23，通过配角可得cosC =cos[(c −π6)+π6]，展开即可得解．解：（1）∵2sin(B −π6)cosA =cosC ， ∴√3sinBcosA −cosBcosA =−cos(A +B)， ∴√3sinBcosA =sinAsinB ， 又sin B ≠0，故tanA =√3， 又A ∈（0，π），故A =π3；（2）由23a +b =2c ，可得23sinA +sinB =2sinC ，∴√33+sin(C +π3)=2sinC ，∴sin(C −π6)=13，又C −π6∈(−π6，π2)，故cos(C −π6)=2√23，∴cosC =cos[(c −π6)+π6]=12cos(C −π6)−√32sin(C −π6)=√23−√36．【点评】本题主要考查三角恒等变换以及正弦定理的运用，通过配角求cos C 是解题的关键，同时需注意角的范围对三角函数值的影响，属于基础题． 19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为左右焦点，直线l ：x ＝my +1与椭圆C 交于M 、N 两点，△MF 1F 2△NF 1F 2的重心分别为G 、H ，当m ＝0时，△OMN 的面积为√32．（1）求椭圆C 的方程；（2）当−12＜m ＜0时，证明：原点O 在以GH 为直径的圆的外部．【分析】（1）由离心率及a ，b ，c 之间的关系可得a ，b 的关系，设椭圆的方程，将直线x ＝1代入椭圆的方程求出M ，N 的坐标，进而求出弦长|MN |的值，代入面积公式由题意可得椭圆的参数的值，进而求出椭圆的方程．（2）设M ，N 的坐标，由△MF 1F 2△NF 1F 2的重心分别为G 、H ，可得G ，H 的坐标，将直线l 的方程代入椭圆的方程中求出两根之和及两根之积，进而求出OG →⋅OH →的表达式，由−12＜m ＜0可得数量积大于0，进而可得∠GOH ＞π2，所以可证原点O 在以GH 为直径的圆的外部．解：（1）由题意可得离心率e =c a =√32，c 2＝a 2+b 2，所以可得a 2＝4b 2，所以椭圆的方程设为：x 24b +y 2b =1，当m ＝0时，直线l 的方程：x ＝1，将其直线方程代入椭圆中可得14b +y 2b =1，解得y ＝±√b 2−14，所以|MN |＝2√b 2−14，所以S △MON =12•1•|MN |=12⋅2⋅√b 2−14=√b 2−14，由题意可得√b 2−14=√32，解得：b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2＝1；（2）证明：设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由题意△MF 1F 2△NF 1F 2的重心分别为G 、H ， 所以G （x 13，y 13），H （x 23，y 23），联立直线l 与椭圆的方程：{x =my +1x 24+y 2=1整理可得：（4+m 2）y 2+2my ﹣3＝0， y 1+y 2=−2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2， OG →⋅OH →=x 1x 29+y 1y 29=(my 1+1)(my 2+1)+y 1y 29=(1+m 2)y 1y 2+m(y 1+y 2)+19=−3(1+m 2)4+m 2+m⋅−2m 4+m 2+19=1−4m 29(4+m 2)因为−12＜m ＜0，所以1−4m 29(4+m 2)＞0，所以OG →⋅OH →＞0， 所以∠GOH ＜π2，所以可证原点O 在以GH 为直径的圆的外部．【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合和三角形的重心坐标的求法，属于中档题．20．近期，湖北省武汉市等多个地区发生新型冠状病毒感染的肺炎疫情．为了尽快遏制住疫情，我国科研工作者坚守在科研一线，加班加点、争分夺秒与病毒抗争，夜以继日地进行研究．新型冠状病毒的潜伏期检测是疫情控制的关键环节之一．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．钟南山院士带领的研究团队统计了武汉市某地区10000名医学观察者的相关信息，并通过咽拭子核酸检测得到1000名确诊患者的信息如表格：潜伏期（单位：天）[0，7] （7，14] （14，21]（21，28]人数80019082（1）求这1000名确诊患者的潜伏期样本数据的平均数x （同一组数据用该组数据区间的中点值代表）．（2）新型冠状病毒的潜伏期受诸多因素影响，为了研究潜伏期与患者性别的关系，以潜伏期是否超过7天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取100名，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有90%的把握认为潜伏期与患者性别有关．潜伏期≤7天潜伏期＞7天总计 男性患者 38 12 50 女性患者 42 8 50 总计8020100（3）由于采样不当、标本保存不当、采用不同类型的标本以及使用不同厂家试剂都可能造成核酸检测结果“假阴性”而出现漏诊．当核酸检测呈阴性时，需要进一步进行血清学IgM /IgG 抗体检测，以弥补核酸检测漏诊的缺点．现对10名核酸检测结果呈阴性的人员逐一地进行血清检测，记每个人检测出IgM （IgM 是近期感染的标志）呈阳性的概率为p （0＜p ＜1）且相互独立，设至少检测了9个人才检测出IgM 呈阳性的概率为f （p ），求f （p ）取得最大值时相应的概率p ．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）由频数分布表中的数据和平均数的计算公式求解即可；（2）先补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算其观测值，并与附表中的临界值对比即可作出判断；（3）先利用独立事件求概率的方法表示出f （p ），再采用换元法，令1﹣p ＝x ∈（0，1），则f （p ）＝g （x ）＝（1﹣x 2）x 8，对g （x ）求导，借助导数求具体函数最值的方法解答即可得解．解：（1）x =11000×(3.5×800+10.5×190+17.5×8+24.5×2)=4.984． （2）补充完整的2×2列联表如下所示，潜伏期＜7天潜伏期＞7天总计 男性患者 38 12 50 女性患者 42 8 50 总计8020100∴K 2=100×(38×8−12×42)250×50×80×20=1＜2.706，∴不能有90%的把握认为潜伏期与患者性别有关．（3）由f （p ）＝p （1﹣p ）8+p （1﹣p ）9，化简得f （p ）＝p （1﹣p ）8（2﹣p ）， 令1﹣p ＝x ∈（0，1），则p ＝1﹣x ，f （p ）＝（1﹣x ）x 8（1+x ）＝（1﹣x 2）x 8， 令g （x ）＝（1﹣x 2）x 8，x ∈（0，1），则g '（x ）＝2x 7（4﹣5x 2），令g '（x ）＞0，则0＜x ＜2√55；令g '（x ）＜0，则2√55＜x ＜1，∴g （x ）在(0，2√55)上单调递增，在(2√55，1)上单调递减，∴g （x ）有唯一的极大值为g(2√55)，也是最大值．∴当x =2√55，即p =1−2√55时，f （p ）取得最大值．【点评】本题考查平均数的求法、独立性检验、独立事件的概率和导数处理函数的最值问题等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识的能力、对数据的分析能力和运算能力，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝ae x +e ﹣x +（a ﹣1）x ，g （x ）＝（a +1）cos x ． （1）当a ＝0时，直线y ＝kx 与函数f （x ）的图象相切，求k 的值； （2）若f （x ）≥g （x ）在[0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）a ＝0时，f （x ）＝e ﹣x ﹣x ，∴f ′（x ）＝﹣e ﹣x ﹣1，设切点为A （x 0，e −x 0−x 0），k ＝f ′（x 0）=−e −x 0−1．可得切线方程为：y ＝（−e −x 0−1）x ．把点A 代入解得：x 0，可得k ．（2）f （x ）≥g （x ）在x ∈[0，+∞）上恒成立，即ae x +e ﹣x +（a ﹣1）x ﹣（a +1）cos x ≥0在x ∈[0，+∞）上恒成立．令h （x ）＝ae x +e ﹣x +（a ﹣1）x ﹣（a +1）cos x ，x ∈[0，+∞）．利用h （π2），可得a ＞0．h ′（x ）＝ae x ﹣e ﹣x +（a ﹣1）+（a +1）sin x ，对a 分类讨论即可得出．解：（1）a ＝0时，f （x ）＝e ﹣x ﹣x ，∴f ′（x ）＝﹣e ﹣x ﹣1， 设切点为A （x 0，e −x 0−x 0），∴k ＝f ′（x 0）=−e −x 0−1． ∴切线方程为：y ＝（−e −x 0−1）x ．把点A 代入可得：e −x 0−x 0＝（−e −x 0−1）x 0，解得：x 0＝﹣1， ∴k ＝﹣e ﹣1．（2）f （x ）≥g （x ）在x ∈[0，+∞）上恒成立，即ae x +e ﹣x +（a ﹣1）x ﹣（a +1）cos x ≥0在x ∈[0，+∞）上恒成立．令h （x ）＝ae x +e ﹣x +（a ﹣1）x ﹣（a +1）cos x ，x ∈[0，+∞）． h （π2）＝a e π2+e−π2+（a ﹣1）π2≥0，可得a （e π2+π2）≥π2−e −π2＞0，可得a ＞0．h ′（x ）＝ae x ﹣e ﹣x +（a ﹣1）+（a +1）sin x ，①a ≥1时，当x ∈[0，π]时，ae x ﹣e ﹣x ≥0，a ﹣1≥0，（a +1）sin x ≥0，∴h ′（x ）≥0．∴h （x ）在x ∈[0，π]上单调递增．当x ∈（π，+∞）时，h ′（x ）≥ae x ﹣e ﹣x +（a ﹣1）﹣（a +1）≥e x ﹣e ﹣x ﹣2＞e π﹣e ﹣π﹣2＞0，∴h （x ）在x ∈（π，+∞）上单调递增． h （x ）≥h （0）＝0在x ∈[0，+∞）上恒成立．②0＜a ＜1时，∴h ′（x ）≥ae x ﹣e ﹣x +（a ﹣1）﹣（a +1）＝ae x ﹣e ﹣x ﹣2．h ′（0）＝2（a ﹣1）＜0．令ae x ﹣e ﹣x ﹣2＝0，解得x ＝ln 1+√a+1a． ∴h ′（ln1+√a+1a）≥0，∴存在x 0∈（0，1+√a+1a），使得h ′（x 0）＝0，当x ∈（0，x 0）时，h ′（x ）＜0，∴函数h （x ）在x ∈（0，x 0）单调递减，∴x ∈（0，x 0），h （x ）＜h （0）＝0． ∴0＜a ＜1时不成立． 综上可得：a ≥1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√22t （t 为参数），圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数）． （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程；（2）已知点M （1，0），直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求||MA |﹣|MB ||的值． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√22t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣1＝0．圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），转换为直角坐标方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4．转换为极坐标方程为：ρ＝4cos θ．（2）把直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =√22t（t 为参数）代入（x ﹣2）2+y 2＝4， 得到t 2−√2t −3=0， 所以t 1+t 2=√2，t 1t 2＝﹣3， 所以||MA |﹣|MB ||=|t 1+t 2|=√2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝1．证明： （1）1a +1b+1c≥9；（2）ac +bc +ab ﹣abc ≤827． 【分析】（1）利用乘一法，结合基本不等式即可求证；（2）ac +bc +ab ﹣abc ）＝（1﹣a ）（1﹣b ）（1﹣c ），再利用基本不等式即可求证． 【解答】证明：（1）1a +1b+1c=(a +b +c)(1a+1b+1c)=3+a b+b a+c a+a c+b c+cb≥3+2√a b⋅b a+2√c a⋅a c+2√b c⋅c b=9，当且仅当a=b=c=13时，等号成立；（2）∵a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c）≤[(1−a)+(1−b)+(1−c)3]3=827，∴ac+bc+ab﹣abc≤827，当且仅当a=b=c=13时，等号成立．【点评】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式的证明，涉及代数恒等变形等数学运算，充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察，属于中档题．。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市高三第二次模拟考试数学(理)模拟试题word版有答案
哈尔滨市第六中学高三第二次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足3(1)()2i z i i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．1i -B ．12i +C ．1i -D ．12i -2．已知集合A ={x |2()lg(6)f x x x =-+}，B ={x |()g x ，若A B ≠∅I ，则实数m 的取值范围是( )A ．(−∞，3)B ．(−2，3)C ．(−∞，−2)D ．(3，+∞)3．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的右顶点与抛物线2y =8x 的焦点重合，且其离心率e =32，则该双曲线的方程为( )A ．22145y x -= B ．22154x y -= C ．22145x y -= D ．22154y x -= 4．已知在各项均为正数的等比数列{n a }中，13a a =16，3a +4a =24，则5a =( )A ．128B ．108C ．64D ．32 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=( )A ．13 B ．13- C ．12D ．12-6．已知命题p ：存在n R ∈，使得()f x =22n nnx+是幂函数，且在(0,)+∞上单调递增； 命题q ：“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”．则下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝7．函数()f x =2ln ||2x x +的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列”， 执行该程序，若输入6n =，则输出C =( ) A ．5 B ．8 C ．13 D ．219．从,,,,A B C D E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有( )A ．51种B ．45种C ．42种D ．36种10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为( )A ．14π B ．3πC ．12π D ．3π11．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆22221x y a b+=上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．51(0,)2- B ．51(,1)2- C ．31(,1)2- D ． 31(0,)2- 12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，且()f x =212x −(0)f x +(1)f '1x e -， ()g x = ()f x −212x x +，若方程2()x g x a -−x =0在(0，+∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0，1]B ．(−∞，−1]C ． (−∞，0)∪{1}D ．[1，+∞)第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(i)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ii)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(iii)不能同时关闭3号阀门和4号阀门．现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是 ．14．若实数x ，y 满足约束条件42y x y x y k ≤⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩，且22x y μ=++的最小值为4-，则k = ．15．若9290129(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-L ，则7a 的值为 ． 16．已知首项为13的数列{n a }的前n 项和为n S ，定义在[1，+∞)上恒不为零的函数()f x ，对任意 的x ，y ∈R ，都有()f x ·()f y =()f x y +．若点(n ，n a )(n ∈N *)在函数()f x 的图象上，且不 等式2m +23m<n S 对任意的n ∈N *恒成立，则实数m 的取值范围为______________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos c b A a B -=． （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，且满足2,23BD DC AD ==u u u r u u u r，3,b =求a ．18．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为底,AB CD 上的点，且EF AB ⊥，112,22EF EB FC EA FD ====，沿EF 将平面AEFD 折起至平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2所示．（1）求证：平面ABD ⊥平面BDF ；（2）若二面角B −AD −F 的大小为60°，求EA 的长度．图图1 图219．(本小题满分12分)小张经营一个抽奖游戏。
黑龙江省哈尔滨第九中学2020届高考数学模拟试卷
文科数学考试时间：120分钟；试卷总分:150分第I 卷（选择题)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数31m ii+-的模等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D ．甲乙两队得分的极差相等 4．已知下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“_____”处应填A ．9i ≥B ．8i =C ．10i ≥D ．8i ≥5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )6．有两条不同的直线,m n 与两个不同的平面.αβ，下列结论中正确的是（ ） A ．,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥ B ．m ,n //αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥C ．//,m n n α⊆，则//m αD ．//,//m n αβ且//αβ，则//m n7．已知函数()11|||2|2f x x x x x=++-+-，则下列关于函数()f x 图像的结论正确的是( ） A ．关于点(0,0)对称 B ．关于点(0,1)对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线1x =对称8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP mAB nAF =+（m ，n 为实数），则m n +的最大值是（ ） A ．2B ．3C ．5D ．69．设0.7310.5,log 0.33p q ==，则有（ ） A ．p q pq p q ->>+ B ．p q p q pq ->+>C ．pq p q p q >->+D ．p q p q pq +>->10．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ） A ．[0,1]B ．[1,1]-C ．22[,]22-D ．2[0,]211．如图，已知1,F 2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为第一象限内一点，且满足21122,()0F P a F P F F F P =+⋅=，线段2F P 与双曲线C 交于点Q ，若225||F P F Q =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．5y x=±B ．12y x =±C ．3y x =±D ．3y x =± 12．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞ B ．(][),22,-∞-⋃+∞ C ．(][),12,-∞-⋃+∞ D ．[]2,2-第II 卷（非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数()()5cos 2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,44x ππ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值为__________. 14．已知实数x ，y 满足3230{360220x y x y x y --≤-+≥+-≥，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这15．已知,A B 是圆22:82160C x y x y +--+=上两点，点P 在抛物线22x y =上，当APB ∠取得最大值时，AB =__________．16．已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为______． 三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：共60分.17．（本小题12分）已知向量满足，，函数．（Ⅰ）求在时的值域；（Ⅱ）已知数列，求的前项和．18．（本小题12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，12,4AA BC ==，22AB AC ==，过BC 的截面α与面11AB C 交于EF ．（1）求证：EF BC ∥．（2）若截面α过点1A ，求证：α⊥面AEF ． （3）在（2）的条件下，求1A EFA V -．19．（本小题12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题： 分组人数频率 [39．5,49．5） a 0.10 [49．5,59．5） 9 x [59．5,69．5） b 0.15 [69．5,79．5） 18 0.30 [79．5,89．5） 15 y [89．5,99．5] 3 0.05（1）分别求出,,,a b x y 的值，并补全频率分布直方图； （2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？20．（本小题12分）设函数()(1)ln (1)f x a ax x b x =+---，其中a ，b 是实数．已知曲线()y f x =与x 轴相切于点(1,0)．（1）求常数b 的值；（2）当12x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点33A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当•0AP AQ =时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：APQ 的外接圆恒过一个异于点A 的定点.（二）选考题：共10分。
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（3）由 f ( p) P(1 p)8 P(1 p)9 , 化简得 f ( p) P(1 p)8 (2 p) -----------(6 分) 令1 p x , x (0,1) ,则 p 1 x .
则 f ( p) (1 x)x8 (1 x) (1 x2 )x8
-----------------------------------------(7 分)
所以 0 a 1不成立。 ------------------------------------------------------------------------------ （11 分）
综上， a 1 ------------------------------------------------------------------------------------------ （12 分）
----------------------(5 分)
（2）设 AB 2 ，以 PA 的中点 O 为坐标原点， OA, OD, OM 分别为 x, y, z 建系。
则 B(1,0,2), D((0, 3,0), C(0, 3,4), P(1,0,0) ,所以 DB (1, 3,2), BC (1, 3,2),
3sinB cos A sin Asin B
---------------------------------------------（3 分）
又因为 sinB 0 ，所以 tan A 3 ------------------------------------------------------ （4 分）
所以切线方程为： y (ex0 1)x ，将 A 点代入得： x0 1 -------------------------（3 分） 所以 k e 1 -----------------------------------------------------------------------------------------（4 分） （2） f (x) g(x) 在 x [0,) 上恒成立 即： aex ex (a 1)x (a 1) cos x 在 x [0,) 上恒成立
设 g(x) aex ex (a 1)x (a 1) cos x ， x [0,) ，即 g(x) 0 恒成立
由
g
(
)
ae 2
e 2
(a 1)
0 a(e 2
)
e 2
0a
0 ，--------（5 分）
2
2
22
g ' (x) aex ex a 1 (a 1) sin x ------------------------------------------------------- （6 分）
分）
l : x 1代入 C 得： y b2 1 ， 所以 | MN | 2 b2 1 ，---------------------------（2 分）
4
4
所以 SOMN
1 2
| MN
|
3 b2 1 2
---------------------------------------------------------（3 分）
21. （1）a 0时，f (x) ex x ，所以 f ' (x) ex 1 ---------------------------------（1 分）
设切点为 A (x0 , ex0 x0 ) ，所以 k f ' (x0 ) ex0 1 --------------------------------（2 分）
3
3
所以 3 sin(C ) 2 sin C ， 所以 sin(C ) 1 ------------------------------（8 分）
3
3
63
C ( , ) ，所以 cos(C ) 2 2
6 62
63
------------------------------------------ （10 分）
22.（1）∵直线 l 的普通方程为： x y 1 0 ， ----------------------------------------------(2 分)
圆 C 的普通方程为： (x 2)2 y 2 4 圆 C 的极坐标方程为： 4 cos .
-------------------------------------------(3 分) -----------------------------------------------(5 分)
20. （1） x 1 (3.5 800 10.5 190 17.5 8 24.5 2) 4.984 天-----------(2 分) 1000
（2）
男性患者 女性患者
总计
潜伏期 7 天
38 42 80
潜伏期 7 天 12
8 20
总计
50
50 100
--------------(3 分)
g ' (x) aex ex a 1 (a 1) aex ex 2
令 aex ex 2 0 x ln 1 a 1 ，所以 g ' (ln 1 1 a ) 0
a
a
所以 x0 (0, ln 1
1 a
a
],
使g
'
(
x0
)
0
，且当
x
(0,
x0
)时,
g
'
(
x)
0
所以 g(x) 在 (0, x0 ) 递减，所以 x (0, x0 ) 时， g(x) g(0) 0 ，
令 g(x) (1 x2 )x8 , x (0,1) , 则 g(x) 2x7 (4 5x 2 )
---------------(8 分)
∵ 0 x 1，令 g (x) 0 解得 0 x 2 5 ; 令 g (x) 0 ,解得 2 5 x 1;
5
5
∴ g(x) 在 (0, 2 5 ) 上单调递增，在 ( 2 5 ,1) 上单调递减， -----------------------------------(10 分)
----------------------------------------------------------------------- (9 分)
DB n
∴ sin
DB n
10 5.
-----------------------------------------------------------------------(11 分)
∵ OM // AB, DC // AB, OM // DC, O, M , D, C 四点共面，
∵ OM // AB, 且 AB PA, PA OM ， ------------------------------------------------------(3 分)
又∵ DO OM O, PA 面 ODCM ，∴ PA CM .
所以椭圆 C 方程为： x2 y2 1 -----------------------------------------------------------------（4 分） 4
（2）设
M
( x1 ,
y1),
N (x2
,
y2
)
，则
G(
x1 3
,
y1 3
),
H
(
x2 3
,
y2 3
)
-----------------------------------（5 分）
3 m2 4
m
2m m2 4
1
9
9
1 4m2 9(m2 4)
0
----------------------------------------------------------------------（10 分）
所以 GOH ， 所以原点 O 在圆外。-------------------------------------------------（12 分） 2
所以 g(x)在( ,) 递增。----------------------------------------------（8 分）
综上， g(x)在[0,) 递增。 所以 g(x) g(0) 0 恒成立 ----------------------------（9 分）
② 若 0 a 1，则 g ' (0) 2a 2 0
则直线 DB 与平面 PBC 所成角的正弦值为
10
.
5
18. （1）∵ 2sin(B ) cos A cos C 6
3sinB cos A cos B cos A cos( A B)
----------------------------------(12 分) --------------------------------------（2 分）
x 1 （2）把直线的参数方程
2t 2 (t 为参数）带入到圆 C 的普通方程：(x 2)2 y 2 4
y
2t 2
中化简可得：t 2 2t 3 0 ，设 A, B 对应的参数分别为 t1, t2 ， ------------------------(7 分)
直线 l：x my 1与椭圆 C 所以椭圆联立得： (m2 4) y2 2my 3 0 ，
所以
0,
y1
y2
2m m2 4
,
y1
y2
3 m2
4
，
-----------------------------------（7 分）
OG OH
(1 m2 ) y1 y2