黑龙江省校高二数学4月月考试题文3(1)
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年高二4月月考数学(文)试题word版有答案
ASCB哈尔滨市第六中学2019届4月份阶段性测试高二文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知复数z =|z|=( ) A ．14 B ．12C ．1D ．22. 下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++<”． 3．已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( )A.45B ．50C ．55D ．604.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A.12 B.1 C.32D.2 5．阅读如图所示的程序框图，若输入919a =，则输出的 k 值是( )A ．9B ． 10C ． 11D ． 126．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上， 球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）Ａ．πＢ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π7．已知矩形ABCD ，5=AB ，7=BC ，在矩形ABCD 中随机取一点P ，则90APB ︒∠>出现 的概率为 （ ） A ．556π B ．556 C ．528π D ．5288．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π9.将所有正偶数按如下方式进行排列，则2 018位于（ ） 第1行：2 4第2行：6 8 10 12 第3行：14 16 18 20 22 24 第4行：26 28 30 32 34 36 38 40…… …………A.第30行B.第31行C.第32行D.第33行10.若函数()f x kx lnx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(],2-∞- B.(],1-∞- C.[)2,+∞ D.[)1,+∞11．已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=，则||PM 的最小值为（ ）A B ．3 C ．125D ．1 12. 定义域为R 的可导函数)(x f 的导函数为)(x f '，若对任意实数x ，有0)()(/>-x f x f ，则（ ） A. )2016()2015(f ef > B. )2016()2015(f ef < C. )2016()2015(f ef = D. 不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 14.曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 。
黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期4月月考数学试卷(文科)Word版含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期4月月考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y=f（x），当自变量x由x0改变到x+△x时，函数值的改变量△y等于（）A．f（x0+△x）B．f（x）+△x C．f（x）•△x D．f（x+△x）﹣f（x）2．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=13．将正弦曲线y=sinx经过伸缩变换后得到曲线的方程的周期为（）A．B．πC．2π D．3π4．已知f（x）=+4x，则f′（3）=（）A．2 B．C．4 D．﹣5．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B． C．D．6．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3+）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，π] B．[0，）∪[，π）C．[，） D．[0，）∪（，）7．已知函数f（x）=mx3+3（m﹣1）x2﹣m2+1（m＞0）的单调递减区间是（0，4），则m=（）A ．3B ．C ．2D ．8．设a ∈R ，若函数y=e x +ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则（ ）A ．a ＜﹣1B ．a ＞﹣1C ．D ．9．函数的最大值为（ ）A ．B ．e 2C ．eD ．e ﹣110．2ρcos θ=1与圆ρ=2cos θ相交的弦长为（ ）A ．3B ．C ．D ．111．已知f （x ）=ax 3，g （x ）=9x 2+3x ﹣1，当x ∈[1，2]时，f （x ）≥g （x ）恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤B ．a ≤11C ．a ≥D ．a ≥1112．已知定义在R 上的奇函数f （x ），设其导函数为f′（x ），当x ∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x ）＜f （﹣x ），令F （x ）=xf （x ），则满足F （3）＞F （2x ﹣1）的实数x 的取值范围是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣1，）C ．（，2）D ．（﹣1，2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知函数f （x ）=sinx•cosx，则f′（）= ．14．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 ．15．若函数f （x ）=x 3﹣ax 2+（a ﹣1）x+1在区间（7，+∞）上为增函数，则实数a 的取值范围是 ．16．函数f （x ）=上的点到直线y=﹣x ﹣1的最短距离是 ．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知抛物线y=﹣x 2+4x ﹣3及其上两点A （0，﹣3），B （3，0）， （1）分别求抛物线在A ，B 两点处的切线方程；（2）求由抛物线及其在A ，B 两点处的切线共同围成的图形的面积．18．已知f（x）=x3+2x2﹣4x+5（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[﹣3，4]上的最值．19．设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．20．在极坐标系中，已知圆C经过点（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点（1）求圆C的圆心坐标；（2）求圆C的极坐标方程．21．已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（﹣∞，0），（1，+∞）上是减函数，又．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y=f（x），当自变量x由x0改变到x+△x时，函数值的改变量△y等于（）A．f（x0+△x）B．f（x）+△x C．f（x）•△x D．f（x+△x）﹣f（x）【考点】变化的快慢与变化率．【分析】根据题意函数y=f（x），我们知道当自变量x变化时，因变量也要发生变化，因此把x 0和x+△x分别代入函数y=f（x），然后相减求出△y．【解答】解：∵自变量x由x0改变到x+△x，当x=x0，y=f（x），当x=x0+△x，y=f（x+△x），∴△y=f（x0+△x）﹣f（x），故选D．2．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x2+ax+b的导数，由切点得到切线的斜率，由切线方程得到a，再由切点在曲线上求出b．【解答】解：y=x2+ax+b的导数是y′=2x+a，则在点（0，1）处的切线斜率为a，由切线方程得a=1，再由切点（0，1）在曲线上，则b=1．故选D．3．将正弦曲线y=sinx经过伸缩变换后得到曲线的方程的周期为（）A．B．πC．2π D．3π【考点】平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】根据坐标变换得出变换后的曲线解析式，利用周期公式得出．【解答】解：∵，∴，∴=sin2x′，即y′=3sin2x′，∴变换后的曲线周期为=π．故选B．4．已知f（x）=+4x，则f′（3）=（）A．2 B．C．4 D．﹣【考点】导数的运算．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：∵f（x）=+4x，∴f′（x）=﹣+4，∴f′（1）=﹣f′（1）+4，∴f′（1）=2，∴f′（3）=﹣+4=，故选：B．5．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据函数y=f（x）的图象得到它的三个单调区间，从而得到导数在（﹣∞，0）上先正后负，在（0，+∞）上导数为负数，由此对照各个选项，可得正确答案．【解答】解：如图，设函数图象上位于第二象限上的最大值点是x=x，根据y=f（x）的图象，可得当x∈（﹣∞，x）时函数为增函数，当x∈（x，0）和x∈（0，+∞）函数为减函数∴x=x0是函数的极大值，可得f'（x）=0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＞0，当x∈（x，0）和x∈（0，+∞）时f'（x）＜0由此对照各个选项，可得函数y=f′（x）的图象只有A项符合故选：A6．若点P在曲线y=x3﹣3x2+（3+）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，π] B．[0，）∪[，π）C．[，） D．[0，）∪（，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3+=3（x﹣1）2+≥，∴tanα≥，又 0≤α＜π，∴≤α＜，故选 C ．7．已知函数f （x ）=mx 3+3（m ﹣1）x 2﹣m 2+1（m ＞0）的单调递减区间是（0，4），则m=（ ）A ．3B ．C ．2D ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f （x ）求导数f'（x ），由题意令f'（x ）＜0，根据条件得0和4是方程f'（x ）=0的两根，由根与系数的关系得到m 的值．【解答】解：函数f （x ）=mx 3+3（m ﹣1）x 2﹣m 2+1（m ＞0） 则导数f'（x ）=3mx 2+6（m ﹣1）x ， 令f'（x ）＜0即3mx 2+6（m ﹣1）x ＜0， ∵m ＞0，f （x ）的单调递减区间是（0，4）， ∴0，4是方程3mx 2+6（m ﹣1）x=0的两根， ∴0+4=，0×4=0，∴m=． 故选：B ．8．设a ∈R ，若函数y=e x +ax ，x ∈R ，有大于零的极值点，则（ ）A ．a ＜﹣1B ．a ＞﹣1C ．D ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a 的范围． 【解答】解：∵y=e x +ax ， ∴y'=e x +a ．由题意知e x +a=0有大于0的实根，令y 1=e x ，y 2=﹣a ，则两曲线交点在第一象限， 结合图象易得﹣a ＞1⇒a ＜﹣1， 故选A ．9．函数的最大值为（）A．B．e2C．e D．e﹣1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值；【解答】解：∵函数，（x＞0）∴y′=，令y′=0，得x=e，当x＞e时，y′＜0，f（x）为减函数，当0＜x＜e时，y′＞0，f（x）为增函数，∴f（x）在x=e处取极大值，也是最大值，∴y最大值为f（e）==e﹣1，故选D．10．2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为（）A．3 B．C．D．1【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．【分析】先将极坐标方程化为直角坐标系方程，联立求出其交点，再使用两点间的距离公式即可．【解答】解：将直线2ρcosθ=1化为普通方程为：2x=1．∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1．联立解得x=，y=±，∴直线与圆相交的弦长=．故选：B．11．已知f（x）=ax3，g（x）=9x2+3x﹣1，当x∈[1，2]时，f（x）≥g（x）恒成立，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≤11 C．a≥D．a≥11【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【分析】利用函数的恒成立，分离变量求出a的不等式，然后利用函数的导数求解函数的最值即可．【解答】解：f（x）=ax3，g（x）=9x2+3x﹣1，当x∈[1，2]时，f（x）≥g（x）恒成立，可得a≥+﹣，令=t，则t∈[，1]．a≥9t+3t2﹣t3．t∈[，1]恒成立，y=9t+3t2﹣t3．t∈[，1]，可得y′=9﹣6t﹣3t2=3[4﹣（t+1）2]≥0，函数y是增函数，最大值为：f（1）=11．可得a≥11．故选：D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2）【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算．【分析】根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴不等式xf′（x）＜f（﹣x），等价为xf′（x）＜﹣f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∵F（x）=xf（x），∴F′（x）=xf′（x）+f（x），即当x∈（﹣∞，0]时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数．即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|），∴|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，即﹣2＜2x＜4，∴﹣1＜x＜2，即实数x的取值范围是（﹣1，2），故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知函数f（x）=sinx•cosx，则f′（）= ﹣1 ．【考点】导数的运算．【分析】由求导法则可得：f′（x）=cos2x，代入值即可的答案．【解答】解：由导数的求导法则结合题意可得：f′（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴f′（）=cosπ=﹣1，故答案为：﹣114．在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P．直线展开化为： =1，化为直角坐标方程为：，即=0．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．15．若函数f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（7，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是a≤8 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：f（x）=x3﹣ax2+（a﹣1）x+1，f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=[x﹣（a﹣1）]（x﹣1），a﹣1≤1时，符合题意，a﹣1＞1时，令f′（x）≥0，解得：x≥a﹣1或x≤1，若f（x）在区间（7，+∞）上为增函数，则a﹣1≤7，解得：a≤8，故答案为：a≤8．16．函数f（x）=上的点到直线y=﹣x﹣1的最短距离是．【考点】曲线与方程．【分析】函数f（x）=上的点到直线y=﹣x﹣1的距离是d=≥=，即可得出结论．【解答】解：设f（x）=上的点（x，），则函数f（x）=上的点到直线y=﹣x﹣1的距离是d=≥=，当且仅当x=﹣1时取等号，∴函数f（x）=上的点到直线y=﹣x﹣1的最短距离是．故答案为：．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛物线y=﹣x2+4x﹣3及其上两点A（0，﹣3），B（3，0），（1）分别求抛物线在A，B两点处的切线方程；（2）求由抛物线及其在A，B两点处的切线共同围成的图形的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求导数，确定抛物线在A，B两点处的切线的斜率，即可求抛物线在A，B两点处的切线方程；（2）由得，利用定积分求由抛物线及其在A，B两点处的切线共同围成的图形的面积．【解答】解：（1）因为y'=﹣2x+4，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为4和﹣2，其切线方程分别为：y=4x﹣3和y=﹣2x+6（2）由得故==．18．已知f（x）=x3+2x2﹣4x+5（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[﹣3，4]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）令f'（x）＞0，得函数f（x）的单调增区间；令f'（x）＜0，得函数f（x）的单调减区间；（2）判断函数的单调性，求出函数的极值以及端点值．由此能求出函数在[﹣3，4]上的最值．【解答】解：（1）f（x）=x3+2x2﹣4x+5，可得f'（x）=3x2+4x﹣4=（3x﹣2）（x+2），令f'（x）=（3x﹣2）（x+2）＞0，得x＜﹣2或x＞，所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（，+∞）；令f'（x）=（3x﹣2）（x+2）＜0，得﹣2＜x＜，所以函数f（x）的单调减区间为（﹣2，）．（2）x∈[﹣3，4]，因为在[﹣3﹣2）上，f'（x）＞0，在（﹣2，）上，f'（x）＜0，x∈（，4]，f'（x）＞0；所以f（x）在（﹣2，）单调递减，x∈[﹣3﹣2），x∈（，4]，函数是增函数，f（﹣3）=8，f（﹣2）=13，f（）=，f（4）=85所以x=时，[f（x）]=f（）=．min=85．当x=4时，[f（x）]max19．设，其中a为正实数（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）首先对f（x）求导，将a=代入，令f′（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可．（Ⅱ）因为a＞0，所以f（x）为R上为增函数，f′（x）≥0在R上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要△≤0即可．【解答】解：对f（x）求导得f′（x）=e x …①（Ⅰ）当a=时，若f′（x）=0，则4x2﹣8x+3=0，解得结合①，可知（﹣∞，），，所以，是极小值点，是极大值点．（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号，结合①与条件a＞0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，因此△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．20．在极坐标系中，已知圆C经过点（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点（1）求圆C的圆心坐标；（2）求圆C的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）直线ρsin（θ﹣）=﹣展开： =﹣，利用互化公式可得直角坐标方程，再令y=0，可得x．（2）点（，），化为（1，1），可得r，圆的标准方程，利用互化即可得出．【解答】解：（1）直线ρsin（θ﹣）=﹣展开： =﹣，可得直角坐标方程：y﹣x+=0，令y=0，可得x=1，∴圆C的圆心坐标（1，0）．（2）点（，），化为（1，1），∴r=1，∴圆的方程为：（x﹣1）2+y2=1，展开化为：x2+y2﹣2x=0，可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ=0，∴ρ=2cosθ．21．已知f（x）=ax3+bx2+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（﹣∞，0），（1，+∞）上是减函数，又．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）由“f（x）在区间[0，1]上是增函数，在区间（﹣∞，0），（1，+∞）上是减函数”，则有f'（0）=f'（1）=0，再由．求解．（Ⅱ）首先将“f（x）≤x，x∈[0，m]成立”转化为“x（2x﹣1）（x﹣1）≥0，x∈[0，m]成立”求解．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，即解得∴f'（x）=3ax2﹣3ax，∴，∴a=﹣2，∴f（x）=﹣2x3+3x2．（Ⅱ）令f（x）≤x，即﹣2x3+3x2﹣x≤0，∴x（2x﹣1）（x﹣1）≥0，∴或x≥1．又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，∴．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g （x ）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x 2﹣x 1＞0，即证，令（t ＞1），即证（t ＞1）①，令（t ＞1），则＞0，∴h （t ）在（1，+∞）上单调递增，∴h （t ）＞h （1）=0，即（t ＞1）②综合①②得（t ＞1），即．证法二：依题意得，令h （x ）=lnx ﹣kx ，则，由h'（x ）=0得，当时，h'（x ）＜0，当时，h'（x ）＞0，∴h （x ）在单调递增，在单调递减，又h （x 1）=h （x 2），∴，即．证法三：令，则，当x ＞x 1时，h'（x ）＜0，∴函数h （x ）在（x 1，+∞）单调递减，∴当x 2＞x 1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h （x ）=x ﹣x 1lnx+x 1lnx 1﹣x 1，则，当x ＞x 1时，h'（x ）＞0，∴函数h （x ）在（x 1，+∞）单调递增，∴当x 2＞x 1时，h （x 2）＞h （x 1）=0，即x 1lnx 2﹣x 1lnx 1＜x 2﹣x 1令m （x ）=x ﹣x 2lnx+x 2lnx 2﹣x 2，则，当x ＜x 2时，m'（x ）＜0，∴函数m （x ）在（0，x 2）单调递减，∴当x 1＜x 2时，m （x 1）＞h （x 2）=0，即x 2﹣x 1＜x 2lnx 2﹣x 2lnx 1； 所以命题得证．。
高二文科数学4月月考试题含答案
12.给出命题： ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线 a, b ，如果 a 平行于平面 ，那么 b 不平行平面 ； ③两异面直线 a, b ，如果 a 平面 ，那么 b 不垂直于平面 ； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。 上述命题中，真命题的序号是
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18. （本小题满分 14 分） 如图， 在三棱柱 ABC A1 B1C1 中， 侧棱 AA1 底面 ABC , AB BC , D 为 AC 的 中点, AA1 AB 2 . (1) 求证： AB1 // 平面 BC1 D ； (2) 若 BC 3 ，求三棱锥 D BC1C 的体积。
B1 D A1 A
B
C1
第 18 题图
C
19.（本小题满分 14 分）已知动圆过定点 1, 0 ，且与直线 x 1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程； (2) 是否存在直 线 l ，使 l 过点 0,1 ，并与轨迹 C 交于 P, Q 两点，且满足 OP OQ 0 ？若存在，求出直 线 l 的方程；若不存在，说明理由.
y.
x
o
B.
x
o
x
C.
o
x
D.
开始 输入x 是 f(x)>g(x) 否
6.如图所示的算法流程图中 , 若 f ( x ) 2 , g ( x ) x 则 h(3) 的值
x 2
等于（ A.8 B.9 C. 1 D. 1
）
h(x)=f(x)
h(x)=g(x)
7.已知两条不同直线 l1 和 l2 及平面 ， 则直线 l1 // l2 的一个充分条件 是（ ） B． l1 且 l 2 D． l1 // 且 l2
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二下
学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、双空题
16．牛顿选代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在
17世纪提出的一种在实数集上近
似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设r 是函数()y f x ＝的一个零点，任意选取
0x 作为r 的初始近似值，过点()()
00,x f x 作曲线()y f x ＝的切线1l ，设1l 与x 轴交点的横
21．(1)21,1
23,2n n n a n n
-=ìï=í´³ïî；1
由导函数的导数确定导函数的单调性、极值是关键之二，利用导函数的单调性判断导函数在12[,]x x 的符号，得出函数()f x 在区间12[,]x x 的单调性是关键之三，据此可得出
12()()f x f x <.。
黑龙江省哈尔滨高二4月月考数学(文)试题(解析版)
哈尔滨高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.圆的圆心极坐标是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出圆的直角坐标方程，得圆心坐标，即可得圆心极坐标．【详解】，即，可化为，圆心坐标为,由于圆心在第四象限，所以=，即圆心的极坐标是．故选：A．【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．2.下列在曲线为参数上的点是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：,因为,所以曲线的普通方程为．显然B 正确．考点：参数方程与普通方程间的互化．3.设分别为直线（t为参数）和曲线C：（为参数）上的点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将直线和曲线分别化简成普通方程，得到直线和圆，再利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离得出结果.【详解】因为直线（t为参数）的普通方程为2x+y-15=0曲线C：（为参数）的普通方程所以曲线C是以C(1,-2)为圆心，半径的圆，圆心C（1，-2）到直线距离为所以的最小值为故选B.【点睛】本题主要考查了参数方程和普通方程的互化，还有直线与圆的位置关系，能否将参数方程化简为普通方程是解题的关键，属于较为基础的题.4.极坐标系中，点之间的距离是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理进行计算即可.【详解】由题意得,由余弦定理得,故选：C．【点睛】本题考查极坐标、余弦定理的应用,属于基础题．5.若函数则( )A. 0B. 1C. -3D. 3【答案】C【解析】【分析】对函数f(x)求导，即可求的值.【详解】函数,则故选：C【点睛】本题考查导数的求法，熟记常见函数的导数公式是解题的关键.6.已知椭圆的离心率为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的离心率求出a，然后设出P点坐标，利用两点间距离公式，转为求解最值即可．【详解】椭圆的离心率，可得：，解得a=，椭圆方程为设P，则P与定点连线距离为，当时，取得最大值3．故选：D．【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆简单的几何性质，考查含的二次函数求最值问题,属于基础题.7.在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程变换为椭圆方程，此伸缩变换公式是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过对比曲线方程中横纵坐标之间的关系即可得到伸缩变换公式.【详解】在曲线即上任意取一点P(x,y)，在伸缩变换后，得到椭圆上对应的点，可得 ,即伸缩变换公式为，故选：B．【点睛】本题考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.8.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】把直线l的方程化为直角坐标方程为x+y-1=0，点的直角坐标为，故点A到直线l的距离为，故选：A．【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9.设曲线的参数方程为为参数，直线l的方程为，则曲线上到直线l的距离为的点的个数为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将圆C化为普通方程，计算圆心到直线l的距离，通过比较所求距离与的关系即可得到满足条件的点的个数．【详解】化曲线C的参数方程为普通方程：，圆心到直线的距离，所以直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，与l平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意，故选：C【点睛】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．10.与直线平行的抛物线的切线方程是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切点坐标，由点斜式写出切线方程即可．【详解】对函数求导得，设切点坐标为（x,y）,因为切线与直线平行得斜率k=2x=2,即x=1,则切点坐标为（1,1），与直线平行的抛物线的切线方程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，属于基础题．11.若正实数满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可．【详解】，，，，当且仅当，取等号，故选D．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.12.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题.【详解】不等式去掉绝对值符号得，即对任意恒成立，变量分离得，只需，即所以a的取值范围是故选：B【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若实数满足，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】由已知条件可令代入2x-y中，利用余弦函数的性质即可得到答案.【详解】实数满足，令则，其中，由余弦函数的性质可知最小值为，故答案为：【点睛】本题考查圆的参数方程的应用，考查辅助角公式和余弦函数性质的应用，属于基础题.14.在极坐标系中，已知两点的极坐标为,则（其中为极点）的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】由已知条件得到，然后由三角形的面积公式计算即可得到答案.【详解】由题意得,由三角形的面积公式可得，故答案为：3【点睛】本题考查极坐标的应用、三角形面积的计算公式，属于基础题．15.若关于 x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___．【答案】或【解析】【分析】利用绝对值三角不等式可得|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，于是解不等式a2﹣3a≥4即可求得答案．【详解】∵|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，对任意实数x恒成立，∴a2﹣3a≥4，即（a﹣4）（a+1）≥0，解得：或，∴实数a的取值范围为或，故答案为：或．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式|x+a|﹣|x+b|≤|a﹣b|的应用，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．16.已知点,若圆上存在点,使得线段的中点也在圆上,则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：A点在圆上，可设，通过PA中点也在圆上的条件，可以建立P与圆的相关性。
高二数学4月月考试题 文
卜人入州八九几市潮王学校哈师大青冈实验二零二零—二零二壹4月份考试高二数学〔文科〕试题一、选择题：〔此题包括12个小题，每一小题只有一个正确选项，每一小题5分，一共60分〕．2．曲线2y x =在1x =处的切线方程为〔〕A ．2y x =B ．21y x =-C ．y x =D ．2y x =-3.在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线2sin cos =θρ+θρ的间隔为〔〕A.22 B.1C.2D.24.某样本数据的茎叶图如下列图，假设该组数据的中位数为85,平均数为8，那么x ＋y ＝() A ．12 B ．13 C ．14 D ．155、将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为()A ．(π，0)B ．(π，2π)C ．(－π，0)D ．(－2π，0) 6.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕 A.23B.13C.1D.127.在回归分析中，通常利用分析残差来判断回归方程拟合数据的精度上下，利用2R (2R =1-^2121()()niii n i i i y y y y =-=--∑∑〕来刻画回归效果，以下关于分析残差和2R 不正确的选项是〔〕A ． 通过分析残差有利于发现样本中的可疑数据B ． 根据获取的样本数据计算21()nii i yy -=-∑假设21()ni i i y y -=-∑越小，那么模型的拟合效果越好C ． 根据获取的样本数据计算^21()nii i yy =-∑假设^21()ni i i y y =-∑越大，那么模型的拟合效果越差D ． 根据获取的样本数据计算2R ，假设2R =0.85那么说明解释变量解释了85%的预报变量的变化8.一组数据的每一个数据都减去80，得一组新数据，假设求得新数据的平均数是，方差为，那么原来数据的平均数和方差分别是〔〕 A.8B.74.4 C.889.给出20个数：1,2,4,7,11，……，要计算这20个数的和，现已给出了 该问题的程序框图如下列图，那么框图中①处和执行框图②处应分别 填入〔〕A.i ≤20;p=p+i-1B.i ≤21？p=p+i+1C.i ≤21;p=p+iD.i ≤20;p=p+i10.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点,那么此点到坐标原点的间隔大于2的概率是 〔〕A ．4πB ．22π- C ．6πD ．44π-11．参数方程(t 为参数)所表示的曲线是() 12．点P 在曲线y=41x e +上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,那么α的取值范围是() (A)π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭(B)ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭(C)π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦(D)3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二．填空题：〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕 11i i+-的值等于.14．一个线性回归方程为yx ＋45，x i ∈{1,7,5,13,19}，那么＝________.15．为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个 容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如下列图， 其中支出在[50,60)元的同学有30人，那么n 的值是________． 16.直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，那么m 的值是.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.〔本小题总分值是10分〕在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换214x xy y'='=⎧⎨⎩后,曲线C 变为曲线224116x y ''+=，求曲线C 的方程并说出其表示的图形．18.〔本小题总分值50分的试卷中随机抽取100总分值是100分〕，进展统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答以下问题：〔Ⅰ〕求a b 、的值；〔Ⅱ〕假设从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率． 19.〔本小题总分值是12分〕目前我国城的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某城500名居民的工作场所和呼吸系统安康，组号 分组频数频率第1组 [)50,6050.05第2组 [)60,70a0.35第3组 [)70,80 30 b第4组 [)80,90 20 0.20 第5组 [)100,90100.10 合计1001.00室外工作 室内工作 合计得到列联表如下： 〔Ⅰ〕请把列联表补充完好；〔Ⅱ〕你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. 参考公式与临界表：20．〔本小题总分值是12分〕如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是PA 的中点，且PA=PB=AB=4，．〔Ⅰ〕求证：PC ∥平面EBD ； 〔Ⅱ〕求三棱锥A ﹣PBD 的体积．21．〔本小题总分值是12分〕在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：ρsin 2θ=2cosθ，过点p 〔﹣3，﹣5〕的直线〔t 为参数〕与曲线C 相交于点M ，N 两点．〔1〕求曲线C 的平面直角坐标系方程和直线l 的普通方程； 〔2〕求的值．22.〔本小题总分值是12分〕直角坐标系XOy 和极坐标系ox 的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度一样，在直角坐标系下，曲线的参数方程为{4cos 2sin ,x y φφ==()φ为参数有呼吸系统疾病 150 无呼吸系统疾病100 合计200〔1〕在极坐标系下，曲线C 与射线和射线4πθ=-分别交于A,B 两点，求AOB ∆的面积；〔2〕在直角坐标系下，直线L 参数方程为{6222x t y t =-=-，〔为参数〕，求曲线C 与直线L 的交点坐标．哈师大青冈实验二零二零—二零二壹4月份考试 高二数学〔文科〕试题答案一、选择题：〔此题包括12个小题，每一小题只有一个正确选项，每一小题5分，一共60分〕．1----5ABCBA6---10BBADD11---12DD二．填空题：〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕 1i 001三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.解:设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由且M ′(x ′，y ′)在曲线＋4y ′2＝1上， 得＋＝1，∴x 2＋y 2＝4.因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆18.解：〔I 〕35,0.30a b ==……………………………………………………………12分〔Ⅱ〕因为第3、4、5组一共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：630360⨯=人， 第4组：620260⨯=人，第5组：610160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人.…………6分设第3组的3位同学为1A 、2A 、3A ，第4组的2位同学为1B 、2B ，第5组的1位同学为1C ，那么从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：()12,,A A ()13,,A A ()11,,A B ()12,,A B ()11,,A C ()23,,A A ()21,,A B ()22,,A B ()21,,A C()31,,A B ()32,,A B ()31,,A C ()12,,B B ()11,,B C ()21,,B C …………10分所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为53159=…………12分 19.解：〔Ⅰ〕列联表如下：室外工作 室内工作 合计 有呼吸系统疾病 150 200 350 无呼吸系统疾病 50 100 150 合计200300500〔Ⅱ〕观察值.∴有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.20.证明：〔Ⅰ〕连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，那么O 是AC 的中点． 又∵E 是PA 的中点，∴EO 是△PAC 的中位线，∴PC ∥EO ， 又∵EO ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， ∴PC ∥平面EBD ．〔Ⅱ〕取AB 中点H ，连接PH ， 由PA=PB 得PH ⊥AB ， 又∵平面PAB ⊥平面ABCD ， 且平面PAB ∩平面ABCD=AB ， ∴PH ⊥平面ABCD ．∵△PAB 是边长为4的等边三角形，∴． 又∵=，∴V 三棱锥A ﹣PBD =V 三棱锥P ﹣ABD =．21.解：〔1〕由ρsin2θ=2cosθ，得ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴y2=2x．即曲线C的直角坐标方程为y2=2x．消去参数t，得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．〔2〕将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程为y2=2x，得．由韦达定理，得，t1t2=62，所以t1，t2同为正数，那么=．〔Ⅰ〕曲线C在直角坐标系下的普通方程为＋＝1，将其化为极坐标方程为分别代入θ＝和θ＝－，得|OA|2＝|OB|2＝，因∠AOB＝，故△AOB的面积S＝|OA||OB|＝．6分〔Ⅱ〕将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得(t－2)2＝0，∴t＝2，代入l的参数方程，得x＝2，y＝，所以曲线C与直线l的交点坐标为(2，)．12分。
高二数学4月月考试题 文含解析 试题(共17页)
一中2021-2021学年(xuénián)高二年级〔下〕月考数学试卷〔文科〕一、选择题〔一共12题，每一小题5分，一共计60分.在每一小题的四个选项里面，只有一项正确答案)A. “〞是“〞的充分不必要条件B. “假设，那么〞的逆否命题为：“假设，那么〞C. 假设为假命题，那么均为假命题D. 命题，使得，那么：，均有【答案】C【解析】【分析】对四个选项里面的说法进展逐一判断，由此得出说法错误的选项.【详解】对于A选项，“〞时有“〞，但“〞时可能，故“〞是“〞的充分不必要条件，A选项说法正确.对于B选项，根据逆否命题的知识可知，B选项说法正确.对于C选项，为假命题时，中可能只有一个假命题，故C选项说法错误.根据特称命题的否认是全称命题的知识可知D选项说法正确.综上所述，此题选C.【点睛】本小题主要考察充分、必要条件的判断，考察逆否命题的知识，考察含有简单逻辑联结词真假性，考察特称命题的否认是全称命题，属于根底题.〔单位：〕与身高〔单位：〕具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A. 与有正的线性相关关系(guān xì)B. 回归直线过样本点的中心C. 假设该高中某男生身高增加，那么其体重约增加D. 假设该高中某男生身高为，那么可断定其体重必为【答案】D【解析】【分析】根据最小二乘法以及回归分析的知识，对四个选项逐一分析，由此得出结论错误的选项. 【详解】根据与的线性回归方程为可得，，因此与有正的线性相关关系，故A正确；回归直线过样本点的中心， B正确；该高中某男生身高增加，预测其体重约增加，故C正确；假设该高中某男生身高为，那么预测其体重约为【点睛】本小题主要考察最小二乘法的概念，考察回归直线方程的知识，属于根底题.满足〔其中为虚数单位〕，那么以下结论正确的选项是〔〕A. B. 的虚部为C. D. 的一共轭复数为【答案】D【解析】【分析】把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由，得，∴，的虚部为1，，的一共轭复数为，应选(yīnɡ xuǎn)D．【点睛】此题主要考察了复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．4.用反证法证明命题：假设整数系数的一元二次方程有有理实数根，那么中至少有一个是偶数．以下假设中正确的选项是( )A. 假设至多有一个是偶数B. 假设至多有两个偶数C. 假设都不是偶数D. 假设不都是偶数【答案】D【解析】【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否认，即为所求．【详解】用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否认成立，而命题：“假设整数系数一元二次方程ax2+bx+c＝0〔a≠0〕有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数〞的否认为：“假设a，b，c都不是偶数〞，应选：C．【点睛】此题主要考察了用反证法的应用，关键是求命题的否认，属于根底题．〔为参数，〕和参数方程〔为参数〕所表示的图形分别是〔〕A. 直线、直线B. 直线、圆C. 圆、直线D. 圆、圆【答案】C【解析】分析：由题意逐一考察所给的参数(cānshù)方程的性质即可.详解：参数方程〔为参数，〕表示圆心为，半径为的圆，参数方程〔为参数〕表示过点，倾斜角为的直线.此题选择C选项.点睛：此题主要考察直线的参数方程与圆的参数方程的区别，属于简单题目.，，那么A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用分子有理化进展化简，结合不等式的性质进展判断即可．【详解】．，，，，即，应选：A．【点睛】此题主要考察式子的大小比拟，利用分子有理化进展化简是解决此题的关键．7.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线的方程是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析(fēnxī)：将化为直角坐标为，过点与平行的直线方程为，化为极坐标方程即可.详解：将化为直角坐标为，过点与平行的直线方程为，将化为极坐标方程为，所以过点且与极轴平行的直线的方程是，应选B.点睛：利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．在点处的切线经过点，那么的值是〔〕A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】【分析】对函数求导，求出，进而可得切线方程，再由切线过点，即可得出结果. 【详解】因为，所以，故，又，所以曲线在点处的切线方程为，又该切线过点，所以，解得.应选C【点睛】此题主要考察导数的几何意义，先对函数求导，求出函数在点处的切线方程即可，属于常考题型.与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由结合韦达定理可得解. 【详解】解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知即解得＜k＜－1.答案：D.【点睛】此题主要考察了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.的不等式解集为，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数f〔x〕=，不等式的解集为⇔a＜f〔x〕min，利用绝对值不等式可求得f〔x〕min，从而可得答案．【详解】令f〔x〕=，∵不等式的解集为，∴a＜f〔x〕min，又f〔x〕=≥|1﹣x+x+2|=3，即f〔x〕min=3，∴a＜3．应选(yīnɡ xuǎn)：D．【点睛】此题考察绝对值三角不等式，考察构造函数的思想与恒成立问题，属于中档题．：与轴，轴分别交于点，，点在椭圆上运动，那么面积的最大值为〔〕A. 6B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直线方程求出点，坐标，得到长度，再由椭圆方程设出点坐标，根据点到直线间隔公式，求出三角形的高，进而可求出结果.【详解】因为：与轴，轴分别交于点，，所以，，因此，又点在椭圆上运动，所以可设，所以点到直线的间隔为(其中)，所以.应选D【点睛】此题主要考察直线与椭圆的位置关系，需要用到点到直线间隔公式等，属于常考题型.为上的可导函数(hánshù)，其导函数为，且满足恒成立,，那么不等式的解集为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，构造函数，求导，可得在R上单调递减，结合单调性，可求出不等式的解集。
黑龙江省牡丹江市高二数学4月月考试题 文
黑龙江省牡丹江市2016-2017学年高二数学4月月考试题 文一、选择题（每题5分，共60分） 1.若f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝ （ ）A.2B.4C.81D.8 2. 函数ln xy x=的最大值为( ) A ． e B ． 1e - C ．2e D ．1033. 函数x x y 22=的单调增区间是( )A ．)2ln 2,0( B ．),2ln 2(),0,(+∞-∞ C ．)2ln 2,(-∞ D ．),2ln 2(+∞ 4.若直线)(1R k kx y ∈+=与曲线),(3R b a b ax x y ∈++=相切于点)3,1(A ，则ab k +2log 的值为（ ）A.2B.－2C.-3D.35. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图（左图）所示，则导函数y=f '(x) 的图象可能为 （ ）6.若函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则常数c 的值为（ ） A.2或6 B.6 C.2 D.47.若函数x a x x f -=)(在区间]4,1[上单调递减,则实数a 的最小值是( )A BCDA. 1B. 2C. 4D. 58. 已知b bx x x f 33)(3+-=在（0,1）内有极小值，则b 的取值范围为( ) A ．10<<b B ．1<b C ．0>b D ．21<b9． 对于R 上可导的函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有（ ） A ．f （0）＋f （2）<2f （1） B ．f （0）＋f （2）≤2f （1） C ．f （0）＋f （2）>2f （1） D ．f （0）＋f （2）≥2f （1） 10. 若3>a ，则方程0123=+-ax x 在区间（0,2）上的实根个数是（ ） A.3 个 B.2 个 C.1个 D.0个11. 设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式0)2(4)2017()2017(2>--++f x f x 的解集为（ ） A ．)2015,(--∞B ．)2019,(--∞C ．)0,2015(-D ．)0,2019(-12．已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=.0),1ln(,0,2)(2x x x x x x f 若,)(ax x f ≥则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,∞-B ． (]1,∞-C ．[]1,2-D ．[]0,2- 二、填空题（每题5分，共20分）13.函数x x x f ln 2)(3+=，则)1(f '的值为 。
黑龙江省哈尔滨市南岗区高二数学4月月考试题 文
黑龙江省哈尔滨市南岗区2016-2017学年高二数学4月月考试题 文一、 选择题：本大题共12小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内表示复数(12)i i -的点位于A . 第一象限 B. 第二象限 C . 第三象限 D. 第四象限 2.执行下面程序，输入,m n 的值为147,114，输出的为m,0INPUT m n DOr mMODn m nn rLOOP UNTIL r PRINT m END====A. 15B. 3C. 0D. 5 3.如图所示的程序运行后输出的结果为3705181x y IF x THENx y ELSEx y y y END IF PRINT x y END==<=+=-=++A. -5B. -3C. 0D. 1 4. 已知复数122,12z i z i =+=-若12z z z =则z = A.4+5i B. 45i - C. i D. i - 5. 执行下面程序，输入5432105,4,1,3,5,7,9,11n x a a a a a a =====-==-=输出的v =.1558.1549.1545.1559A B C D6. 用反证法证明命题：已知,a b N *∈，如果ab 能被7整除，则,a b 中至少有一个能被7整除时，假设的内容为A ． ,a b 都能被7整除 B. ,a b 都不能被7整除 C .,a b 不都能被7整除 D. a 不能被7整除7. 由代数式的乘法法则类比推导向量数量积的运算法则 (1)mn nm =类比得到a b b a ⋅=⋅r r r r ;（2）()m n t mt nt +=+类比得到()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ;（3）()()mn t m nt =类比得到()()a b c a c b ⋅=⋅r r r r r r;（4）0,t mt xt m x ≠=⇒=类比得到0,p a p x p a x ≠⋅=⋅⇒=u r r r u r r u r r r ;（5）mn m n =类比得到a b a b ⋅=r u r r r ;（6）ac abc b=类比得到a c ab c b ⋅=⋅r r r r r r . 其中正确结论的个数为.1.2.3.4A B C D8.设计一个计算135791113⨯⨯⨯⨯⨯⨯的算法，图中给出程序一部分，在（1）处不能填入13(1)2s i WHILE i s s ii i WEND PRINT s END==<=⨯=+.13.13.5.14.15A B C D9. 把85化成五进制的数是.302.203.320.230A B C D10. 执行如图的程序框图，若输入3n =，则输出T=.10.20.4.16A B C D11.复数21iz i=+则2z -= .1.2..A B C D 12.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A . 大前提：无限不循环小数是无理数，小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B.大前提：无限不循环小数是无理数，小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数，小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D.大前提：π是无限不循环小数，小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 二、填空题：本大题共4小题，每小题6分.13. 在平面几何里:若三边长为,,a b c 内切圆半径为r ，则三角形面积为1()2ABC S a b c r ∆=++，拓展到空间，类比上述结论，若四面体A-BCD 的四个面的面积为1234,,,S S S S ，内切球半径为'r ，则四面体的体积为_________. 14.设n为正整数，111()123f n n=++++L ，计算得35(2),(4)2,(8),(16)322f f f f =>>>观察上述结果，可推测一般的结论为_______.15.观察分析下表中的数据猜想一般凸多面体中F,V,E 所满足的等式______.16.阅读下列材料:若两个正实数12,a a 满足22121a a +=，求证：12a a +证明：构造函数2221212()()()22()1,f x x a x a x a a x =-+-=-++因为对一切实数x ，恒有()0f x ≥，所以0∆≤，从而得2124()80a a +-≤，所以12a a +≤.根据上述证明方法，若n 个正实数12,,,n a a a L 满足222121n a a a +++=L 时，你能得到的结论是_______.三 、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. (本小题13分)曲线11:(x tC t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22221cos sin :43C θθρ=+.（1）把1C 化成普通方程，2C 化成直角坐标方程;（2）P （1，0），12,C C 交于A,B 求PA PB .18.（本小题13分）四棱锥P-ABCD 中PA ⊥面ABCD ，112PA AB BC AD ====，底面ABCD 为直角梯形，090ABC BAD ∠=∠=.（1）求证：CD ⊥面PAC;（2）求点B 到面PCD 的距离.19.（本小题14分）某大型手机连锁店为了了解销售价格在[]5,30（单位：百元）内的手机的利润情况，从2016年销售的一批手机中随机抽取75部，按其价格分成5组，频数分布表如下 C APBD（1）用分层抽样的方法从价格在区间5,10，10,15，20,25内的手机中共抽取6部，其中价格在区间[)20,25内的有几部;（2）从（1）中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在[)10,15内的手机至少有一部的概率.20. （本小题14分）椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12，它的右焦点是抛物线24y x=的焦点（1）求椭圆方程;（2）过2(,0)7的直线与椭圆交于A,B，以AB为直径的圆是否过x轴上定点.2017年4月月考文科数学答案13．'12341()3r s s s s +++ 14.2(2)2nn f +>15. F+V=E+2 16.12n a a a +++L17(1)22121),1(2)435x y y x =-+=18.(1)略（2）619.（1）3部（2）3520.（1）221(2)(2,0)43x y +=。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二下册4月月考数学检测试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二下册4月月考数学检测试题一、单选题1．下列求导数运算中正确的是（）A ．()22x x'=B ．()2ln 2ln x x x x x'=+C ．cos sin x xx '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()22e e x x'=【正确答案】B【分析】根据求导法则依次计算得到答案.【详解】对选项A ：()222ln x x '=⋅，错误；对选项B ：()221ln 2ln 2ln x x x x x x x x x '=+⋅=+，正确；对选项C ：2cos sin cos x x x x x x '--⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误；对选项D ：()22e 2e '=x x ，错误.故选：B2．已知函数()2sin f x x x =-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最大值为（）A ．0B ．22π-C 3π-D 6π【正确答案】C【分析】根据函数的导函数的正负性判断函数在已知区间的单调性，结合余弦函数的性质进行求解即可.【详解】∵()12cos f x x '=-+，∴当[0,)3x π∈时，()'()0,f x f x >单调递增，当(,]32x ππ∈时，()'()0,f x f x <单调递减，∴()max 33f x f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，在同一个直角坐标系中，()y f x =和()y f x '=的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据常见函数的导函数分析，结合导函数为原函数的切线斜率关系判断即可【详解】对A ，()212f x x =和()f x x '=可满足，故A 可能成立；对B ，()ln f x x =和()()10f x x x'=>可满足，故B 可能成立；对C ，()2xf x =和()2ln 2x f x '=可满足，故C 可能成立；对D ，因为导函数为原函数的斜率函数，易得若任一一个函数图象为导函数，则原函数的切线斜率应该恒非负或非正，故不满足，故D 错误；故选：D4．已知函数()ln (1)e 2x f x x f '=-+，则(1)f =（）A ．e2e 1++B ．e2e 1-++C ．2D ．-2【正确答案】B【分析】先求导，再代值即可求解【详解】因为()ln (1)e 2x f x x f '=-+，则()1(1)e x f x xf ''=-，则(1)1(1)e f f =-''，即1(1)e 1f =+'，则(1)21ef e =-++.故选：B.5．设,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nB ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥【正确答案】C根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.6．已知1A ，2A 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左，右顶点，点P 在双曲线C 上，12PA A △为等腰三角形，且底角为30︒，则双曲线C 的离心率为（）A BC ．2D【正确答案】A【分析】不妨取P 在双曲线右支上，22PA a =，1PA =，确定()2P a ，代入方程得到a b =，得到离心率.【详解】不妨取P 在双曲线右支上，则2122PA A A a ==，12PA a ==，过P 作PD x ⊥轴于D ，260PA D ∠=︒，故2A D a =，PD =，故()2P a ，2222431a a a b-=，整理得到a b =，即c =，故c e a ==故选：A7．已知函数()y f x =对任意的ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '->（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．ππ34f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ34f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()π203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ()π04f ⎛⎫> ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据条件构造函数()()cos g x f x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求函数的导数，确定函数的单调性，利用单调性比较函数值大小即可逐项判断，即可得到结论．【详解】构造函数()()cos g x f x x =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎝⎭，则()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>，所以()g x 在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，则4ππ3g g ⎛⎫⎛⎫-<-⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即ππ34f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 不正确；则ππ34g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确；则()π03g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()ππ0cos 0cos 33f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()π203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 正确；则()π04g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()ππ0cos 0cos 44f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()π04f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 不正确.故选：C.8．已知函数()e xf x x a =-，()a ∈R 有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,e C ．e 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()20,e【正确答案】A【分析】求导分a 与0的大小关系，讨论函数的单调性，进而求得函数的极值点，再结合零点存在性定理求解即可.【详解】()1e xf x a ='-，当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 为单调递增函数，()f x 最多只有一个零点，不合题意，舍去；当0a >时，令()0f x ¢>，得1ln x a <，令()0f x '<，得1ln x a>.∴()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.∴()1ln max111ln ln e ln 1a f x f a a a a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.∵函数()e xf x x a =-有两个零点，∴1ln10a->，1ln 1a >，得10e a <<.又()00f a =-<，()()01e af a a =-<，且1ln 10a >>，1ln ln 0a a a a-=+>，故1ln a a >.故()e xf x x a =-在10,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1ln ,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上均有零点，满足题意.综上10ea <<.故选：A二、多选题9．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．4π03f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭B ．点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π7π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．将函数()f x 图像上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】AD【分析】求导计算得到A 正确，代入数据验证得到B 错误，带入数据验证得到C 错误，根据平移法则得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：()π2cos 26f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，4π4ππ5π2cos 22cos 03362f ⎛⎫⎛⎫'=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；对选项B ：当4π3x =时，π5π2π,Z 62x k k -=≠∈，错误；对选项C ：π7π,412x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,π63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，sin y x =在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是单调递减，错误；对选项D ：平移后的函数为πsin 2si 6π66πn 2y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确.故选：AD10．已知函数()ln f x x x =，下列说法正确的有（）A ．曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-B ．过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条C ．函数()f x 有极小值，无极大值D ．方程()1f x =有两个不同的解【正确答案】ABC【分析】利用导数的几何意义求得切线方程为1y x =-，可判定A 正确；设切点000(,ln )P x x x ，求得切线方程，将点()1,1-代入切线方程得到00ln 20x x -+=，令()ln 2,0g x x x x =-+>，利用导数求得函数()g x 的单调性与极值，得出方程00ln 20x x -+=有两个实根，可判定B 正确；利用导数求得函数()f x 的单调性，结合极值的概念，可判定C 正确；结合函数()f x 的单调性和极值，根据()y f x =与1y =的图象只有一个交点，可判定D 错误.【详解】对于A 中，由函数()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，可得()11f '=且()10f =，即切线的斜率为1k =且过点(1,0)，所以切线方程为01y x -=-，即切线方程为1y x =-，所以A 正确；对于B 中，设过点()1,1-的切线与曲线相切于点000(,ln )P x x x ，可得切线方程为0000ln ()()y x x f x x x '-=-，即0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，将点()1,1-代入切线方程，可得00001ln (ln 1)(1)x x x x --=+-，整理得00ln 20x x -+=，令()ln 2,0g x x x x =-+>，可得()111xg x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以函数()g x 的极大值，也为最大值为()110g =>，当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →-∞，所以在0x >上，函数()g x 有两个零点，即方程00ln 20x x -+=有两个实根，所以过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条，所以B 正确；对于C 中，由()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，解得1ex =，当1(0,ex ∈时，()0f x '<，()f x 单调减；当1(,)ex ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调增，所以当1e x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为11(0e ef =-<，无极大值，所以C 正确；对于D 中，由C 知函数()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞单调递增，且得极小值为11()0e ef =-<，又由当1(0,)ex ∈时，()0f x <；当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()y f x =与1y =的图象只有一个交点，即方程()1f x =有两个不同的解，所D 错误.故选：ABC.方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.11．已知函数f （x ）=（x -a ）（x -3）2，当x =3时，f （x ）有极大值，则a 的取值可以是（）A ．6B ．5C ．4D ．3【正确答案】ABC【分析】求得导数函数()(3)(332),f x x x a '=---只需3233a+>即可满足题意.【详解】 2()()(3),f x x a x =--∴22()(3)()(3)(3)(332),f x x x a x x x a '=---=--+-令()0f x '=，则3x =或323ax +=，当3233a +>时，即3a >时，()f x 在(),3-∞单调递增，323,3a +⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，32,3a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，此时，当x =3时，f （x ）有极大值，则a 的取值可以是4,5,6.故选：ABC.12．若1201x x <<<，则下列选项正确的是（）A ．2121e e ln ln x xx x ->-B ．1221e e x xx x >C ．1221x xx x >D ．1212x xx x >【正确答案】BC【分析】分别构造函数()e ln x A f x x =-，e ()xB f x x =，ln ()C x f x x=，()ln D f x x x =，求导得到导函数，根据函数是否在()0,1上单调得到答案.【详解】对选项A ：2121e e ln ln x xx x ->-，即2121e ln e ln x x x x ->-，设()e ln ,(0,1)x A f x x x =-∈，1()e xA f x x '=-，又(1)e 10A f '=->，1202A f '⎛⎫=< ⎪⎝⎭，，故()A f x 在(0,1)上不单调，对于()()122101,A A x x f x f x ∀<<不成立，错误；对选项B ：1221e e x x x x >，1212e e x x x x >，设e (),(0,1)xB f x x x=∈，2(1)e ()0xB x f x x -'=<，()B f x 在(0,1)上单调递减，故对()()121201,B B x x f x f x ∀<<，正确；对选项C ：1221x xx x >，即()()1221ln ln x x x x >，即1221ln ln x x x x >，即2121ln ln x x x x >，设ln (),(0,1)C xf x x x=∈，21ln ()0C x f x x '-=>，()C f x 在(0,1)上单调递增，故对()()122101,C C x x f x f x ∀<<，正确；对选项D ：1212x xx x >，即()()1212ln ln x x x x >，即1122ln ln x x x x >，设()ln ,(0,1)D f x x x x =∈，()ln 1D f x x '=+，令1()0,e D f x x '==，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0D f x '<，函数单调递减，当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0D f x '>，函数单调递增，故()D f x 在(0,1)上不单调，对于()()121201,D D x x f x f x ∀<<不成立，错误.故选：BC关键点睛：本题考查了利用导数确定函数的单调性，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造合适的函数，将大小关系转化为函数的单调性是解题的关键.三、填空题13．已知等比数列{}n a 满足11a =-，13521a a a ++=-，则357a a a ++=_______．【正确答案】84-【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】2413511(1)21,1a a a a q q a ++=++=-=- ，24121q q ++=∴，解得24q =，1352357()21484a a a a a a q ++∴++=⋅=-⨯=-，故84-14．已知()3ln π2sin 2x xf x x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为______________．【正确答案】310x y --=【分析】求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.【详解】因为()3ln π2sin 2x x f x x =+，则()()231ln ππcos 2x xf x x -'=+，所以，()12f =，()13f '=，故所求切线方程为()231y x -=-，即310x y --=.故答案为.310x y --=15．已知点()5,2A 和抛物线2:4C y x =，抛物线C 的焦点为,F P 为抛物线上的动点，则PA PF +的最小值是__________.【正确答案】6【分析】作出图形，由抛物线的定义可知，当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，即可求解.【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为=1x -，过点P 作直线=1x -的垂线，垂足为点E ，由抛物线的定义得PF PE =，||||||||PA PF PA PE +=+，当点A 、P 、E 三点共线时，即当AP 与直线=1x -垂直时，||||PA PF +取得最小值，且最小值为516+=．故答案为.616．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________．【正确答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()exg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】()e xf x ax '=- ，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e xx g x x -'=，∴当()(),00,1x ∈-∞ 时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >；212x x ≥ ，212x x ∴≥；当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2t t t t =，即2e 2e t t =，2e 2t ∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===，∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为.2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S =-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)12n n a -=；(2)221n n -+.【分析】（1）根据n S 与n a 的关系即得；（2）根据等差数列的定义结合条件求出n b ，然后利用分组求和法即得.【详解】（1）因为21n n S =-，所以，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=，此时11a =也满足上式，所以12n n a -=；（2）因为数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，所以()121n n b a n =+--，即1221n n b n -=+-，12112311223212n n n T b b b b n -=++=+++++++-+++ ()21211122122n n n n n +-==--++-.18．已知函数()()212ln R 2f x x ax x a =--∈.(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)减区间为(0,2)，增区间为(2,)+∞，极小值为2ln 2-，无极大值(2)1a ≤-【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；（2）由条件可知()0f x '≥恒成立，再分离变量求最值即可求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =时，()212ln 2f x x x x =--求导得()21f x x x '=--，整理得.()()()21x x f x x-+'=由()0f x ¢>得2x >；由()0f x '<得02x <<从而，函数()f x 减区间为(0,2)，增区间为(2,)+∞所以函数()f x 极小值为()22ln 2f =-，无极大值.（2）由已知[)1,x ∞∈+时，()0f x '≥恒成立，即20x a x --≥恒成立，即2a x x ≤-恒成立，则min 2a x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭.令函数()()21g x x x x =-≥，由()2210g x x '=+>知()g x 在[)1,+∞单调递增，从而()()min 11a g x g ≤==-.经检验知，当1a =-时，函数()f x 不是常函数，所以a 的取值范围是1a ≤-.19．已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0c a B b C -+=(1)求ABC ∠；(2)如图，点D 在AC 延长线上，且CD BC =，4AB =，7AD =，求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3.33310【分析】（1）由正弦定理边化角及和角公式化简可得结果；（2）在△ABC 中应用余弦定理解得BC 的值，代入三角形面积公式计算即可.【详解】（1）∵()2cos cos 0c a B b C -+=，∴由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0C A B B C -+=，即sin cos 2sin cos sin cos 0C B A B B C -+=，()sin 2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =又∵()0,πB ∈，∴3B π=.（2）设CD x =，则7AC x =-，在△ABC 中，()22247π1cos 3242x x x +--==⨯，解得：3310x =则△ABC 的面积1133sin 423210210ABC S AB BC π=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=△.20．已知()2ln b f x x ax x=++在1x =处的切线方程为3y x =-．(1)求函数()f x 的解析式：(2)()f x '是()f x 的导函数，证明：对任意[)1,x ∞∈+，都有()()121f x f x x x'-≤-++．【正确答案】(1)()12ln 4f x x x x=-+(2)证明见解析【分析】（1）根据条件得到关于,a b 的方程，即可得到结果；（2）根据题意，令()()()121g x f x f x x x ⎛⎫'=---++ ⎪⎝⎭，然后求导得到其在[)1,x ∞∈+上的最大值，即可得证.【详解】（1）由题意可得，()13f a b =+=-，且()22b f x a x x'=+-，则()123f a b '=+-=-，即323a b a b +=-⎧⎨+-=-⎩，即41a b =-⎧⎨=⎩，所以()12ln 4f x x x x =-+（2）由（1）可知，()12ln 4f x x x x =-+，()2214f x x x'=--所以()()2112ln 44f x f x x x x x'-=--++，令()22111212ln 44212ln 23g x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--++--++=--++ ⎪⎝⎭，则()()()22332112222x x g x x x x x--+'=-+-=，所以1x ≥时，()()()232110x x g x x--+'=≤，即()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递减，所以()()1g x g <，即()21112ln 44210g x x x x x x x ⎛⎫=--++--++≤ ⎪⎝⎭，所以()()()1210f x f x x x '---+≤，即()()121f x f x x x '-≤-++21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BCD ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，E 是AB 的中点.(1)求证：平面PDE ⊥平面PAB ；(2)棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面PDE ？若存在，确定F 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)详见解析；(2)存在，点F 为PC 的中点；详见解析.【分析】（1）连接BD ，利用线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面PAB ，然后利用面面垂直的判定定理即得；（2）通过构造平行四边形，得到线面平行．【详解】（1）连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，所以ABD △为正三角形，因为E 是AB 的中点，所以DE AB ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DE PA ⊥，因为DE AB ⊥，DE PA ⊥，AB PA A = ，AB ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以DE ⊥平面PAB ，又DE ⊂平面PDE ,所以平面PDE ⊥平面PAB ；（2）当点F 为PC 的中点时，//BF 平面PDE ，取PC 的中点F ,PD 的中点G ，连接FG ，GE ，∵FG 为三角形PCD 的中位线，∴FG ∥CD 且1=2FG CD ，又在菱形ABCD 中，E 为AB 的中点，∴BE ∥CD 且1=2BE CD ，∴FG ∥BE 且FG=BE ，所以四边形BEGF 为平行四边形.所以BF ∥GE ，又GE Ì平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴BF ∥平面PDE .22．已知函数()()()13ln 3R f x a x ax a x=---∈，ln 3 1.1≈.(1)当a<0时，试讨论()f x 的单调性；(2)求使得()0f x ≤在()0,∞+上恒成立的整数a 的最小值；(3)若对任意()4,3a ∈--，当[]12,1,4x x ∈时，均有()()()12ln 43ln 4m a f x f x +⋅>-+成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)1(3)37(,4-∞-【分析】（1）求得并化简()()()2131x ax f x x -+'=，分3a =-、()3,0a ∈-和(),3a ∈-∞-，三种情况讨论，即可求解函数的单调区间；（2）根据题意得到0a ≥，结合导数得到函数的单调性，求得()()max 3ln 330f x a a ----≤=，进而求得答案；（3）由（1）得到()()()()()213413ln494f x f x f f a a -≤-=--+，转化为394m a <-+，根据()4,3a ∈--，求得374m ≤-，即可求解.【详解】（1）由()()13ln 3f x a x ax x =---，可得函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，且()()()()2222331131313ax a x x ax a f x a x x x x -+-+-+-'=-+==，①当3a =-时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增；②若()3,0a ∈-，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当11,3a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈时，()0f x '<；当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；所以()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，③若(),3a ∈-∞-，当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当11,3x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∈时，()0f x '<；当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）由（1）知：当a<0时，()f x 在x →+∞时单调递增，又因为x →+∞时，()f x →+∞，所以0a <不符合题意，所以0a ≥，由（1）知，()()()2131x ax f x x -+'=，当0a ≥时，10ax +>，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >；所以()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()()()max 113ln 33ln 33033f x f a a a a ⎛⎫==---=----≤ ⎪⎝⎭，可得3ln 330.31ln 31 2.17a -≥≈=+，所以使得()0f x ≤在()0,∞+上恒成立的整数a 的最小值为1.（3）由（1）可知，当()4,3a ∈--时，()f x 在[]1,4上单调递增，所以()()()()()()()2113413ln 412313ln 4944f x f x f f a a a a a -≤-=------=--+，因为()()()21ln 43ln 4m a f x f x +>-+恒成立，所以()3ln 4ln 494m a a a +>-+，所以394ma a >-+，又因为0a <，所以394m a <-+，又由()4,3a ∈--，所以3371479,4416a ⎛⎫-+∈-- ⎪⎝⎭，所以374m ≤-，即实数m 的取值范围是37(,4-∞-.方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
黑龙江省哈尔滨六中高二数学下学期4月月考试卷 文(含解析)
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题：（每题5分，共50分）1．A={x|x＜1}，B={x|x2+2x＞0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）2．设i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．1B．iC．﹣1D．﹣i3．根据给出的算法框图，计算f（﹣1）+f（2）=（）A．0B．1C．2D．44．已知函数f（x）=xlnx，则（）A．在（0，+∞）上递增B．在（0，+∞）上递减C．在上递增D．在上递减5．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14πB．82+14πC．92+24πD．82+24π6．设函数f （x）在定义域内可导，y=f （x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）A． B． C． D．7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．已知三棱柱P﹣ABC的各顶点都在以O为球心的球面上，且PA、PB、PC两垂直，若PA=PB=PC=2，则球心O到平面ABC的距离为（）A． B． C．1D．9．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029B．﹣4029C．8058D．﹣805810．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（每题5分，共20分）11．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= ．12．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则 AD= ．13．已知抛物线C：，（t为参数）设O为坐标原点，点M（x0，y0）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹普通方程为．14．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．三、解答题（共50分）15．选修4一1：几何证明选讲如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．16．已知函数f（x）满足．（Ⅰ）求f（x）的解析式：（Ⅱ）求f（x）的单调区间．17．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．18．已知f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，共50分）1．A={x|x＜1}，B={x|x2+2x＞0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中的不等式变形得：x（x+2）＞0，解得：x＞0或x＜﹣2，即B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；∵A=（﹣∞，1），∴A∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1）．故选：D．2．设i为虚数单位，则复数的虚部为（）A．1B．iC．﹣1D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由题意先对复数进行分母实数化，再进行化简求出此复数的虚部．【解答】解：由题意==﹣1+i，则所求复数的虚部是1．故选A．3．根据给出的算法框图，计算f（﹣1）+f（2）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】选择结构．【分析】程序的功能是求分段函数f（x）=的值，分别求出f（﹣1），f（2），可得答案．【解答】解：由程序框图知：程序的功能是求分段函数f（x）=的值，∴f（﹣1）=﹣4；f（2）=22=4，∴f（﹣1）+f（2）=0．故选：A．4．已知函数f（x）=xlnx，则（）A．在（0，+∞）上递增B．在（0，+∞）上递减C．在上递增D．在上递减【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可得答案．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1当0＜x＜时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减当x＞时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增故选D．5．某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14πB．82+14πC．92+24πD．82+24π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5=92+14π．故选A．6．设函数f （x）在定义域内可导，y=f （x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据函数f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．【解答】解：原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为增、减、增故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为+、﹣、+．故选：D．7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F作斜率为﹣1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设F点坐标，然后根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线的渐近线联立，求出第一象限中的点P，根据三角形面积，求出a与b的关系，进而求出离心率．【解答】解：设右焦点F（c，0），则过F且斜率为﹣1的直线l方程为y=c﹣x∵直线l交双曲线的渐近线于点P，且点P在第一象限∴为解得P（，）∵△OFP的面积为，∴•c•=整理得a=3b∴该双曲线的离心率为==故答案为：C．8．已知三棱柱P﹣ABC的各顶点都在以O为球心的球面上，且PA、PB、PC两垂直，若PA=PB=PC=2，则球心O到平面ABC的距离为（）A． B． C．1D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用PA，PB，PC两两垂直，O′为△ABC的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离，求出球的半径，即可求出球心O到平面ABC的距离．【解答】解：如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，因为PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，所以AB=BC=CA=2，且O′为△ABC的中心，于是=2r，得r=，又PO′==．OO′=R﹣=d=，解得R=，故d=R﹣=．故选：D．9．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029B．﹣4029C．8058D．﹣8058【考点】函数的值．【分析】根据式子特点，判断当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=﹣4，即可得到结论．【解答】解：若x1+x2=2时，即x2=2﹣x1时，有f（x1）+f（x2）=x1+sinπx1﹣3+2﹣x1+sin（2π﹣πx1）﹣3=2﹣6=﹣4，即恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，且f（1）=﹣2，则=2014[f（）+f（）] =2014×（﹣4）﹣2=﹣8058，故选：D10．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2015，对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，则不等式f（x）＜x3+2016的解集为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x3﹣2016，求导g′（x）=f′（x）﹣3x2，从而确定不等式的解集．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x3﹣2016，g′（x）=f′（x）﹣3x2，∵对任意的x∈R．都有f′（x）＜3x2成立，∴对任意的x∈R，g′（x）＜0，∴g（x）=f（x）﹣x3﹣2016在R上是减函数，且g（﹣1）=f（﹣1）+1﹣2016=2015+1﹣2016=0，故不等式f（x）＜x3+2016的解集为（﹣1，+∞），故选：A．二、填空题（每题5分，共20分）11．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= ﹣2 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=3时的导数值，由该导数值与直线的斜率乘积等于﹣1得答案．【解答】解：∵y=，∴．∴．∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴×（﹣a）=﹣1，即a=﹣2．故答案为：﹣2．12．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则 AD= 3 ．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=BE•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3．13．已知抛物线C：，（t为参数）设O为坐标原点，点M（x0，y0）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹普通方程为y2=x ．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】先利用中点坐标公式得点P与点M坐标之间的关系，再结合点M（x0，y0）在C上运动知其坐标适合曲线C的参数方程，最终消去参数即可得到点P轨迹的普通方程．【解答】解：∵点P（x，y）是线段OM的中点，∴x0=2x，y0=2y，又点M（x0，y0）在C上，∴x0=2t2，y0=2t，∴2x=2t2，2y=2t，消去参数t得y2=x故答案为y2=x．14．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为．【考点】点到直线的距离公式．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．直线y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，x=1，或 x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，故点P到直线y=x﹣2的最小距离为，故答案为．三、解答题（共50分）15．选修4一1：几何证明选讲如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）要证DE是圆O的切线，连接AC，只需证出∠DAO=90°，由BC∥OD⇒OD⊥AC，则OD是AC的中垂线．通过△AOC，△BOC均为等腰三角形，即可证得∠DAO=90°．（Ⅱ）由BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，结合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例线段求出EB．【解答】（Ⅰ）证：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC由BC∥OD⇒OD⊥AC则OD是AC的中垂线⇒∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，⇒∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．⇒OC⊥DE，所以DE是圆O的切线．（Ⅱ）BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO⇒△ABC∽△AOD⇒⇒BC===⇒⇒⇒⇒BE=16．已知函数f（x）满足．（Ⅰ）求f（x）的解析式：（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；导数的运算．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，令x=1得f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，解得f（0）．令x=0，得f′（1）=e，即可得到f（x）．（II）设g（x）=f′（x）=e x﹣1+x，则g′（x）=e x+1＞0，可得f′（x）在R上单调递增．进而得到f（x）的单调性．【解答】解：（I）f′（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，令x=1得f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，解得f（0）=1．∴．令x=0，得f′（1）=e，∴．（II）设g（x）=f′（x）=e x﹣1+x，则g′（x）=e x+1＞0，∴f′（x）在R上单调递增．而f′（0）=0，∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．因此f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减；在区间（0，+∞）单调递增．17．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…18．已知f（x）=e x﹣ax﹣1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）f′（x）=e x﹣a，令f′（x）≥0，解得e x≥a．对a分类讨论，即可得出．（2）f（x）在定义域R内单调递增，可得f′（x）=e x﹣a≥0恒成立，即a≤e x，x∈R恒成立．即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a，令f′（x）≥0，解得e x≥a．当a≤0时，有f′（x）＞0在R上恒成立，此时函数f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x≥lna，此时函数f（x）在[lna，+∞）上单调递增．（2）f（x）在定义域R内单调递增，∴f′（x）=e x﹣a≥0恒成立，即a≤e x，x∈R恒成立．∵x∈R，∴e x∈（0，+∞），∴a≤0．当a=0时，f′（x）=e x＞0在R上恒成立．故当a≤0时，f（x）在定义域R内单调递增．。
黑龙江省双鸭山市高二数学4月月考试题 文(2021年最新整理)
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黑龙江省双鸭山市2016-2017学年高二数学4月月考试题 文一、选择题:1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481，720］的人数为 ( ） A ．11 B ．12 C ．13 D. 14 2、已知函数()()x e f x x f ln 2+'=，则()=e f （ ）A 、e -B 、eC 、1-D 、13．在8件同类产品中，有5件正品，3件次品，从中任意抽取4件,下列事件中的必然事件是（ ）A ．4件都是正品B ．至少有一件次品C ．4件都是次品D ．至少有一件正品4、函数a ax x y +-=23在()1,0内有极小值，则实数a 的取值范围( ）A 、()3,0B 、()3,∞-C 、()+∞,0D 、)23,0(5．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3ym 3 5。
5 7已求得关于y 与x 错误!( ） A ．1 B ．0。
85 C ．0.7 D ．0.56、已知函数()223a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10,则()=2f （ ） A 、11或18 B 、11 C 、18 D 、17或187。
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期4月月考试题数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期4月月考试题数学（文）试题一、单选题1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是A ．01x ∃≤，2000x x -> B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，2000x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题直接写出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是：“01x ∃>，2000x x -≤”，故选C.【点睛】本题考查了全称命题与特称命题的形式，考查了全称命题的否定，是基础题． 2．已知全集为R ，集合{}3|log 1A x x =，{}2|250B x x =-，则RABA ．(5,)+∞B ．[5,)+∞C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞【答案】A【分析】利用对数函数的性质化简集合A ，利用一元二次不等式的解法化简集合B ，然后利用补集与交集的定义求解即可. 【详解】因为{}3|log 1{|3}A x x x x ==，{}2|250{|55}B x x x x =-=-，所以RB ={|5x x <-或5}x >.所以{}5(,)|5RAB x x =>=+∞.故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且不属于集合B 的元素的集合.3．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A ．22()x xf x x+=，()2g x x =+B ．2()3f x x x =-，2()3g t t t =-C ．2()f x =，()g x x =D ．()f x =()g x x =【答案】B【分析】利用函数的定义判断.【详解】A. 22()x xf x x+=的定义域为{}|0x x ≠，()2g x x =+的定义域为R ，故不是同一函数；B. 2()3f x x x =-与2()3g t t t =-定义域都为R ，且解析式相同，故是同一函数；C. 2()f x =的定义域为{}|0x x ≥，()g x x =的定义域为R ，故不是同一函数；D. ()f x x ==与()g x x =解析式不同，故不是同一函数；故选：B4．函数()lg 3y x =-的定义域为（ ）A ．[)2,3-B ．()3,+∞C ．[]2,3-D ．(],2-∞-【答案】A【分析】根据根式函数和对数函数求解.【详解】∵lg(3)y x =-，∴2030x x +≥⎧⎨->⎩，解得23x -≤<.∴函数lg(3)y x =-的定义域为[)2,3-.故选：A.5．若函数()y f x =的定义域为[]2,4，则12log y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]4,16C ．11,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,4【答案】C【分析】由抽象函数定义域的求解原则可得出122log 4x ≤≤，解此对数不等式可求得函数12log y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域. 【详解】由于函数()y f x =的定义域为[]2,4， 对于函数12log y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有122log 4x ≤≤，解得11164x ≤≤.因此，函数12log y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是11,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C.6．函数2y x =的值域是（ ） A ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．25,24⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．25,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】利用换元法求解，设t =0t ≥），则213t x -=，从而得22(1)3t y t -=+，然后利用二次函数的性质求解值域即可【详解】解：设t =0t ≥），则213t x -=，所以2222(1)232325(1)[()]3323416t y t t t t -=+=---=---，因为0t ≥，且203-<， 所以当3t 4=时，y 取最大值为2524，即2524y ≤，所以函数的值域为25,24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦， 故选：C7．已知()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，且()()113f x f x -<-，则x 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦D ．()1,+∞【答案】A【分析】函数的单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，因为()()113f x f x -<-，可得1131111131x xx x -<-⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得102x ≤<,所以x 的取值范围是10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性和定义域，得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 8．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若(2log a f = 4.9)()0.821log ,26b f c f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】D【分析】根据对数函数的性质、指数函数的性质，结合奇函数()f x 的单调性进行判断即可.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()22211log log log 666b f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然222log 6log 4.9log 42>>=，10.8222<=， 因此0.822log 6log 4.92>>，因为()f x 在R 上是增函数，所以()()()0.822log 6log 4.92f f f >>，即c a b <<，故选：D9．已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，()()32f x g x x x a -=++，则()3g =（ ）A ．27B ．27-C ．8-D ．8【答案】B【分析】令3x =，得到()()3336f g a -=+，令3x =-，得到()()3318f g a +=-+，联立方程组，即可求解.【详解】由题意，函数()(),f x g x 分别是在R 上的偶函数和奇函数，且()()32f x g x x x a -=++，令3x =，可得()()3336f g a -=+，令3x =-，可得()()3318f g a ---=-+，即()()3318f g a +=-+， 联立方程组，可得()23183654g =--=-，所以()327g =-. 故选：B.10．定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D【分析】根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析函数的定义域和单调性，从而确定出a 所满足的不等关系，注意将本题与定义域为R 的分段函数单调性问题作区分. 11．已知()y f x =为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈时，()()2log f x x a =+，则()2023f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】根据奇函数的性质求出a 的值，再根据奇偶性求出函数的周期，最后利用函数的周期进行代入求值即可.【详解】因为()y f x =为奇函数，所以()2001log a a f =⇒==， 因此当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，.因为()1y f x =+是偶函数，所以()()11f x f x +=-+，而()y f x =为奇函数， 所以()()()11(1)1(1)f x f x f x f x f x +=-+=--⇒+=--， 因此有()11(11)()(2)f x f x f x f x ++=-+-⇒=-+， 因此有(2)(22)f x f x +=-++，所以()(4)f x f x =+， 因此()y f x =的周期为4，()22023(45061)(1)(1)log (11)1f f f f =⨯-=-=-=-+=-，故选：A12．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．12⎛ ⎝⎭D ．12⎛ ⎝⎦【答案】C【分析】设1()2g x kx =-，将题干条件转化为函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，同一坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，分别讨论12k =和12k <时交点个数，再求当12k >时，函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切，求得临界的斜率k ，结合图象分析，即可得答案.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点，即1()2f x kx =-有4个零点.设1()2g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()g x 与()f x 的图象有4个交点， 在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图.由图象可知，当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时，即12k =时，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点 当12k >时，若函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，则1'y x=，所以1k a=，所以1ln 12a a a+=，解得a e =所以ek =()g x 与()f x 的图象恰有3个交点； 当ek e>时，两函数图象至多有两个交点. 所以若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1,2e k e ⎛∈ ⎝⎭. 故选：C.【点睛】解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点的问题，数形结合，即可得答案，难点在于当12k >时，需利用导数求()ln 1y x x =>的切线的斜率，即为临界值，方可得答案，考查分析推理，数形结合的能力，属中档题.二、填空题13．已知函数2,(0)()2(2),(0)x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩，则 ()3f =___________ .【答案】4【分析】推导出f （3）2f =（1）4(1)f =-，由此能求出结果．【详解】函数2,(0)()2(2),(0)x x f x f x x +⎧=⎨->⎩， f ∴（3）2f =（1）4(1)4(12)4f =-=-+=．故答案为：4．14．已知()()222f x f x x x +-=+，则()f x 的解析式为________.【答案】()2123f x x x -=【分析】由2()2()2f x f x x x +-=+，2()2()2f x f x x x -+=-，联立可求解． 【详解】因为2()2()2f x f x x x +-=+，（1） 所以2()2()2f x f x x x -+=-， 所以22()4()24f x f x x x -+=-，（2） （2）-（1）可得，21()23f x x x =-．故答案为：21()23f x x x =-．【点睛】本题主要考查方程法求函数的解析式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 15．已知函数()()2223,log f x x x g x x m =-+=+，若对[][]122,4,16,32x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ，则实数m 的取值范围为___________. 【答案】(],1-∞-【分析】根据条件分析得到()()12min min f x g x ≥，然后根据()(),f x g x 的单调性分析出对应的最值，由此可求解出m 的取值范围.【详解】因为对[][]122,4,16,32x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥， 所以()()12min min f x g x ≥，因为()223x x x f =-+的对称轴为1x =，所以()f x 在[]2,4上单调递增，所以min23f xf ，又因为()2log g x x m =+在[]16,32上单调递增，所以()()min 164g x g m ==+， 所以34m ≥+，所以1m ≤-，即(],1m ∈-∞-， 故答案为：(],1-∞-.【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．16．已知函数()22421x xx f x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于___________. 【答案】8【分析】对函数()f x 的解析式进行化简，构造奇函数，利用奇函数的性质进行求解即可.【详解】()2244244212121x xx x xx x xf x +++⋅++===++++，()21x x g x =+， 因为()()2121xxx x g x g x ---==-=-++，所以函数()21xx g x =+是奇函数，因此()min max ()0g x g x +=，因此max min ()4()48M m g x g x +=+++=， 故答案为：8【点睛】关键点睛：本题的关键是化简函数()f x 的解析式，通过构造奇函数，利用奇函数的性质进行求解.三、解答题17．已知21:2,:502x p q x ax x +>-+>-. （1）若p 为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(2,5)；（2）(,∞-.【分析】（1）先将分式不等式化为一元二次不等式，然后求解出解集即可；（2）由逆否命题真假性相同判断出p 是q 的充分不必要条件，然后根据,p q 对应的x 的取值集合间的真子集关系将问题转化为“对任意()2,5x ∈，250x ax -+>恒成立”，利用基本不等式以及恒成立思想求解出a 的取值范围. 【详解】（1）因为p 为真，所以122x x +>-，所以502x x -<-，所以()()250x x --<， 解得25x <<，即x 的取值范围是()2,5；（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件， 所以p 对应的x 取值集合是q 对应的x 取值集合的真子集， 即对任意()2,5x ∈，250x ax -+>恒成立，所以对任意()2,5x ∈，5a x x <+，即()min 5,2,5a x x x ⎛⎫<+∈ ⎪⎝⎭，又因为5x x +≥=x =所以(,a ∈-∞.【点睛】结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分也不必要条件，则p 对应集合与q 对应集合互不包含.18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线():0l y kx x =≥与曲线12,C C 的交点分别为,(,A B A B 异于原点)，当斜率(k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）(2,.【分析】（1）利用平方关系可得1C 的普通方程，再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入普通方程中化简求得极坐标方程；曲线2C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=可化为22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式即可得解；（2）分别联立射线(0)l y kx x ≥：＝与曲线1C ，2C 的极坐标方程，求出A B ，两点的极坐标，进而得出·OA OB 的取值范围． 【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线 1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=两边同时乘ρ，得22cos sin ρθρθ=，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）设射线(0)l y kx x ≥：＝的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且(tan k ϕ=∈. 联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩得2cos A OA ρϕ== ，联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩得2sin cos B OB ϕρϕ==，所以(2sin ·2co 2,s 2tan 2cos A B OA OB k ϕρρϕϕϕ⋅==∈=⋅=，即·OA OB 的取值范围是(2,.19．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()223f x x x =+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()121f m f m +<-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩；（2）{0mm <∣或2}m >. 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）根据偶函数的性质，结合二次函数()223f x x x =+-在0x ≥时的单调性进行求解即可.【详解】（1）当0x <时，()22()()2()323f x f x x x x x =-=-+⋅--=--，所以2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩；（2）当0x ≥时，()2223(1)4f x x x x =+-=+-，因此当0x ≥时，该函数单调递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，该函数单调递增， 所以由()()()()121121121f m f m fm f m m m +<-⇒+<-⇒+<-，因此222(1)(21)202m m m m m +<-⇒->⇒>或0m <，所以实数m 的取值范围是{0mm <∣或2}m >. 20．在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2x x y y=''⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值.【答案】（1）2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)；（2.【分析】（1）根据曲线221:1C x y +=的参数方程求解2C 的参数方程即可；（2）根据2C 的参数方程，结合点到直线距离公式、辅助角公式、余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】（1）曲线221:1C x y +=的参数方程为：cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，该曲线经过伸缩变换2x x y y =''⎧⎨=⎩后变成曲线2C :2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)； （2）直线OA 的方程为：1202y x x y =⇒-=， 因为点P 是2C 上的动点，所以设(2cos ,sin )P αα，AO ==设点P 到直线OA 的距离为d，所以d ==，所以OAP △面积为：11)224d πα==+， 显然当()4k k Z παπ+=∈时，即()4k k Z παπ=-∈时，OAP △面积最大，最大值.21．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）过点()10P -，作倾斜角为α的直线1l 交2C 于A B ，两点，过O 作与1l 平行的直线2l 交1C 于Q 点，若4PA PB OQ +=，求α．【答案】（1）1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；2C 的直角方程为()2211x y +-=；（2）4πα=【分析】（1）根据加减消元得曲线1C 的普通方程，根据cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程；（2）先写出直线1l ，2l 参数方程，代入2C ，1C ，再根据参数几何意义化简条件解得结果.【详解】（1）①：∵1121m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（m为参数），∴12121111m m m m x y m m m --++=+==+++， 又∵()121211111m m x m m m-++-===-+≠-+++， ∴曲线1C 的普通方程为()101x y x +-=≠-；②∵2sin ρθ=，∴22sin ρρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴222x y y +=，即()2211x y +-=， ∴曲线2C 的直角方程为()2211x y +-=；（2）由题意，设11cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），2cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），依题意，02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，1l 与2C 联立得()22sin cos 10t t αα-++=， 2l 与1C 联立得()sin cos 1t αα+=，设点AB Q ，，对应的参数分别为A B Q t t t ，，，则 ()12sin cos A B A Bt t t t αα⋅=⎧⎨+=+⎩，1sin cos Qt αα=+， 由4PA PB OQ +=且0A B Q t t t >，，，得()12sin cos 4sin cos αααα+=⋅+．∴()2sin cos 2αα+=，即1sin 22α+=，故sin21α=，又∵02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴4πα=． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等基础知识：考查运算求解能力：考查数形结合、函数与方程思想.22．已知函数()()sin ln f x a x x a R =-∈，其导函数为()'f x . （1）若不等式1()1f x x'≥-在区间π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，求实数a 的取值范围：（2）当2a =时，证明：()'f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有两个零点.【答案】（1）2a ≥；（2）证明见解析. 【分析】（1）分离参数，将问题转化为1cos a x ≥在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，根据y cosx =的单调性，即可求得参数a 的范围；（2）对函数()f x 进行求导，通过三次求导，判断出函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断函数的零点个数. 【详解】（1）1()cos f x a x x'=-，由题意得：1()1f x x '≥-在π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立⇔即1cos a x ≥在π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立， 由于函数cos y x =在π0,3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以1cos 12x ≤<，max12cos x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2a ≥.（2）当2a =时，12cos 1()2cos x x f x x x x'-=-=. 设()2cos 1h x x x =-，则()2(cos sin )h x x x x '=-， 令()cos sin x x x x ϕ=-，则π'()2sin cos 002x x x x x x ϕ⎛⎫=--<<<⎪⎝⎭，所以()ϕx 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 又(0)10ϕ=>，ππ022ϕ⎛⎫=-<⎪⎝⎭， 故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x ϕ=，当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在()00,x 上单调递增； 当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ<，即()0h x '<，()h x 在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；又(0)10h =-<，π104h ⎛⎫=->⎪⎝⎭，π021h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， 所以()h x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点， 从而()'f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点.【点睛】本题考查根据不等式的恒成立求参数取值范围、证明函数的零点个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意零点存在定理的运用.。
黑龙江省牡丹江市高二数学4月月考试题文(2021年整理)
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黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017—2018学年高二数学4月月考试题文一、选择题（单选，每题5分，共60分）1、设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭,则B A ⋂=（ ） A ．∅ B ．()3,4 C ．()2,1- D ． ()4,+∞ 2、下列函数中，在()+∞,0上为增函数的是 （ ）A x y 2sin =B x xe y =C x x y -=3D x x y -+=)1ln( 3、复数32ii+（i 为虚数单位)在复平面上对应的点在( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4、曲线21cos sin sin -+=x x x y 在点)0,4(πM 处的切线的斜率为( )A 21-B 21C 22-D 225、命题“0x R ∃∈,3210x x -+>”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，0123≤+-x xB ．0x R ∃∈，3210x x -+<C ．0x R ∃∈，3210x x -+≤D ．R x ∉∀, 0123≤+-x x 6、设函数x xx f ln 2)(+=，则( ） A 21=x 为)(x f 的极大值点 B 21=x 为)(x f 的极小值点 C 2=x 为)(x f 的极大值点 D 2=x 为)(x f 的极小值点7、设集合{}{}ab a a B b a A ,,,,,12==，若B A =,则20182018b a +的值为（ ） A —2 B —1 C 1 D 28、函数c (s )e o x x f x =+的图象在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．329、已知)(x f y =是可导函数，如右图，直线2+=kx y是曲线)(x f y =在3=x 处的切线，令)()(x xf x g =,)(x g '是)(x g 的导函数，则=')3(g ( ）A -1B 0C 2D 4 10、已知函数()ln ln a xf x x+=在[)1,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是 ( )A ．10a e << B ．0a e <≤ C ．a e ≤ D ．a e ≥11、函数1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 的图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是（ ）A 16356<<-aB 16358-<<-aC 16158-<<-aD 16356-<<-a12、设)(x f 是定义在R 上的函数,其导函数为)(x f '，若2017)0(,1)()(=>'+f x f x f ,则不等式2016)(+>x x e x f e （其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ()+∞,0B ()0,∞-C ()0,∞-⋃()+∞,0D ()0,∞-()+∞⋃,1 二、填空题：（每题5分，共20分)13、设直线b x y +=21是曲线x y ln =的一条切线，则实数b 的值为 。
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学 习 资 料 汇编哈师大青冈实验中学2017—2018学年度4月份考试高二学年数学（文科）试题一、选择题：（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）．1.34.34.43.(.4,433)z A iB iC iiz i D i =-------（ ）已知复数则复数的共轭复数为 2．曲线2y x =在1x =处的切线方程为（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．y x =D ．2y x =- 3.在极坐标系中，圆2=ρ的圆心到直线2sin cos =θρ+θρ的距离为（ ）A.22B. 1C. 2D. 24.某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85,平均数为85.5，则x ＋y ＝( ) A ．12 B ．13C ．14D ．155、将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )A ．(π，0)B ．(π，2π)C ．(－π，0)D ．(－2π，0) 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.23 B. 13 C.1 D. 127.在回归分析中，通常利用分析残差来判断回归方程拟合数据的精度高低，利用2R (2R =1-^2121()()ni i i niii y y y y =-=--∑∑）来刻画回归效果，以下关于分析残差和2R 不正确的是（ ）A ． 通过分析残差有利于发现样本中的可疑数据B ． 根据获取的样本数据计算21()nii i yy -=-∑若21()ni i i y y -=-∑越小，则模型的拟合效果越好C ． 根据获取的样本数据计算^21()nii i yy =-∑若^21()ni i i y y =-∑越大，则模型的拟合效果越差D ． 根据获取的样本数据计算2R ，若2R =0.85则表明解释变量解释了85%的预报变量的变化 8. 一组数据的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是，方差为，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）A. 81.2 4.4B. 78.8 4.4C. 81.2 84.4D. 78.8 75.6 9.给出20个数：1,2,4,7,11，……，要计算这20个数的和，现已给出了 该问题的程序框图如图所示，那么框图中①处和执行框图②处应分别 填入（ ）A. i ≤20? ; p=p+i-1B. i ≤21 ？p=p+i+1C. i ≤21? ; p=p+iD. i ≤20? ; p=p+i 10.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ）A ．4πB ．22π- C ．6πD ．44π-11．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1t t 2－1(t 为参数)所表示的曲线是 ( )12．已知点P 在曲线y=41x e +上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) (A)π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (B)ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (C)π3π,24⎛⎤ ⎥⎝⎦(D)3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二．填空题：（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13.复数11i i+-的值等于 .14．已知一个线性回归方程为y ＝1.5x ＋45，x i ∈{1,7,5,13,19}， 则y ＝________.15．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个 容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示， 其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为________．16.已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换214x xy y'='=⎧⎨⎩ 后,曲线C 变为曲线 224116x y ''+=，求曲线C 的方程并说出其表示的图形．18.（本小题满分12分）某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为整数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：（Ⅰ）求a b 、的值；（Ⅱ）若从成绩较好的第3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率．19. （本小题满分12分） 目前我国城市的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某城市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下： （Ⅰ）请把列联表补充完整；（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. 参考公式与临界表：20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是PA 的中点，且PA=PB=AB=4，．（Ⅰ）求证：PC ∥平面EBD ； （Ⅱ） 求三棱锥A ﹣PBD 的体积．21．（本小题满分12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ=2cos θ，过点p （﹣3，﹣5）的直线（t 为参数）与曲线C 相交于点M ，N 两点．（1）求曲线C 的平面直角坐标系方程和直线l 的普通方程；（2）求的值．22. （本小题满分12分） 直角坐标系XOy 和极坐标系ox 的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线的参数方程为{4cos 2sin ,x y φφ==()φ为参数（1）在极坐标系下，曲线C 与射线 和 射线4πθ=-分别交于A,B 两点，求AOB ∆ 的面积；（2）在直角坐标系下，直线L 参数方程为{2x t y t ==，（为参数），求曲线C 与直线L 的交点坐标．哈师大青冈实验中学2017—2018学年度4月份考试 高二学年数学（文科）试题答案一、选择题：（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）． 1----5 ABCBA 6---10 BBADD 11---12 DD 二．填空题：（本大题共4个小题，每题5分，共20分） 13. i 14. 58.5 15. 100 16. 2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.解: 设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y ，且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上，得4x 216＋4y 216＝1，∴x 2＋y 2＝4. 因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆18.解：（I ） 35,0.30a b ==……………………………………………………………12分（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：630360⨯=人， 第4组：620260⨯=人，第5组：610160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人.…………6分设第3组的3位同学为1A 、2A 、3A ，第4组的2位同学为1B 、2B ，第5组的1位同学为1C ，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：()12,,A A ()13,,A A ()11,,A B ()12,,A B ()11,,A C ()23,,A A ()21,,A B ()22,,A B ()21,,A C ()31,,A B ()32,,A B ()31,,A C ()12,,B B ()11,,B C ()21,,B C …………10分所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为53159=…………12分 19.解：（Ⅰ）列联表如下：（Ⅱ）观察值. ∴有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.20.证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于点O，连接EO，则O是AC的中点．又∵E是PA的中点，∴EO是△PAC的中位线，∴PC∥EO，又∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，∴PC∥平面EBD．（Ⅱ）取AB中点H，连接PH，由PA=PB得PH⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PH⊥平面ABCD．∵△PAB是边长为4的等边三角形，∴．又∵=，∴V三棱锥A﹣PBD=V三棱锥P﹣ABD=．21.解：（1）由ρsin2θ=2cosθ，得ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴y2=2x．即曲线C的直角坐标方程为y2=2x．消去参数t，得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程为y2=2x，得．由韦达定理，得，t1t2=62，所以t1，t2同为正数，则=．22.解（Ⅰ）曲线C在直角坐标系下的普通方程为＋＝1，将其化为极坐标方程为分别代入θ＝和θ＝－，得|OA|2＝|OB|2＝，因∠AOB＝，故△AOB的面积S＝|OA||OB|＝． 6分（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得(t－2)2＝0，∴t＝2，代入l的参数方程，得x＝2，y＝，所以曲线C与直线l的交点坐标为(2，)． 12分敬请批评指正。