[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷478.doc

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考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，则( ) A．(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量B．Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C．Z=X-Y是服从均匀分布的随机变量D．Z-X2是服从均匀分布的随机变量正确答案：A解析：当X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布时，(X，Y)的概率密度为所以，(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量．因此本题选(A)．知识模块：概率论与数理统计2．设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y-X 的概率密度fZ(z)= ( )A．B．C．D．正确答案：C解析：记Z的分布函数为FZ(z)，则其中Dz={(x，y)Θy-x≤z)如图3-1的阴影部分所示，知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X与Y相互独立，且X～N，则概率P{｜X-Y｜＜1} ( ) A．随σ1与σ2的减少而减少B．随σ1与σ2的增加而增加C．随σ1的增加而减少，随σ2的减少而增加D．随σ1的增加而增加，随σ2的减少而减少正确答案：C解析：由X～N，从而由于Ф(x)是x的单调增加函数，因此当σ1增加时，减少；当σ2减少时增加．因此本题选(C)．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜p＜1)，则X+Y的分布函数( )A．为连续函数B．恰有n+1个间断点C．恰有1个间断点D．有无穷多个间断点正确答案：A解析：记Z=X+Y，则Z的分布函数是n+1个连续函数之和，所以为连续函数．因此本题选(A)．知识模块：概率论与数理统计5．现有10张奖券，其中8张为2元的，2张为5元的．今从中任取3张，则奖金的数学期望为( )A．6B．7．8C．9D．11．2正确答案：B解析：记奖金为X，则X全部可能取的值为6，9，12，并且知识模块：概率论与数理统计填空题6．设二维随机变量的分布律为则随机变量Z=Y.min{X，Y}的分布律为________正确答案：解析：Z全部可能取值为0，1，2，3，且P(Z=0)=P{Y.min{X，Y}=0}=P{min{X，Y}=0}=P{X=0)=P{Z=1}=P{Y.min{X，Y}=1}=P{Y=1，min{X，Y}=1}=P{X=1，Y=1)=P{Z=2}=P(Y.min{X，Y}=2}=P{Y=2，min{X，Y}=1}=P{X=1，Y=2}=P{Z=3}=P{Y．min(X，Y}=3)=P{Y=3，min{X，Y}=1}=P(X=1，Y=3)=所以Z的分布律为知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，则随机变量的概率密度为_______正确答案：解析：X的概率密度为知识模块：概率论与数理统计8．一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0．10，0．20，0．30，设备部件状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，则X的方差DX为________正确答案：0．46解析：X的全部可能取值为0，1，2，3，且P{X=0}=(1-0．10)×(1-0．20)×(1-0．30)=0．504，P{X=1}=(1-0．10)×(1-0．20)×0．30+(1-0．10)×(1-0．30)×0．20+(1-0．20)×(1-0．30)×0．10=0．398，P{X=2}=(1-0．10)×0．20×0．30+(1-0．20)×0．10×0．30+(1-0．30)×0．10×0．20=0．092，P{X=3}=0．10×0．20×0．30=0．006，所以EX=0×0．504+1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，E(X2)=02×0．504+12×0．398+22×0．092+32×0．006=0．82．DX=E(X2)-(EX)2=0．82-(0．6)2=0．46．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X的概率密度为为________正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量Y服从参数为1的指数分布，记则E(X1+X2)为_______正确答案：解析：所以E(X1+X2)=EX1+EX2=e-1+e-2= 知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(线性代数)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．一48正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值一1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B)．知识模块：线性代数部分3．设n维行向量，A=E—αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．A．0B．一EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分4．设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．若A，B可逆，则A+B可逆B．若A，B可逆，则AB可逆C．若A+B可逆，则A—B可逆D．若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B解析：若A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜=｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，选(B)．知识模块：线性代数部分5．设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )．A．AB为对称矩阵B．设A，B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵C．A+B为对称矩阵D．kA为对称矩阵正确答案：A解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B为对称矩阵；由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得A-1+B-1为对称矩阵；由(ka)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵，选(A)．知识模块：线性代数部分6．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB=0的充分必要条件是A=0或B=0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0且B≠0C．AB=0且r(A)=n，则B=0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分7．n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．A．｜A｜=｜B｜B．｜A｜≠｜B｜C．若｜A｜=0则｜B｜=0D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0正确答案：C解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，…，Q都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．知识模块：线性代数部分8．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r≥r1D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．知识模块：线性代数部分9．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则( )．A．r＞mB．r=mC．r＜mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B))≤n＜m，所以选(C)．知识模块：线性代数部分10．设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则( )．A．r(A)=1B．r(A)=2C．r(A)=3D．r(A)=4正确答案：C解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．知识模块：线性代数部分11．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0，则( )．A．r(B)=nB．r(B)＜nC．A2一B2=(A+B)(A—B)D．｜A｜=0正确答案：C解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜=0，选(D)．知识模块：线性代数部分12．设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分13．A．B=P1P2AB．B=P2P1AC．B=P2AP1D．B=AP2P1正确答案：D解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．知识模块：线性代数部分14．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2-1AP1D．B=P1-1AP2-1正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分填空题15．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分16．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a一2，a一1，则a=_________．正确答案：1解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．知识模块：线性代数部分17．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且=_________.正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识模块：线性代数部分18．设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=________．正确答案：-33解析：｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2—3α3，α3+2α1｜+｜2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2-3α3，α3｜+2｜α2，-3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，2α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α2，α3，α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α1，α2，α3｜=一33 知识模块：线性代数部分19．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A一2B｜=________．正确答案：63解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得｜5A一2B｜=｜5α一2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α一2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜一2｜β，γ1，γ2｜)=63 知识模块：线性代数部分20．设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分21．正确答案：0解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An一2An-1=0．知识模块：线性代数部分22．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分23．A2一B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是_________．正确答案：AB=BA解析：A2一B2=(A+B)(A一B)=A2+BA—AB一B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：线性代数部分24．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=__________正确答案：2解析：知识模块：线性代数部分25．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分26．正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故知识模块：线性代数部分27．设A为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜(一2A)*｜=_________．正确答案：576解析：因为(一2A)*=(一2)2A*=4A*，所以｜(一2A)*｜=｜4A*｜=43｜A｜2=64×9=576．知识模块：线性代数部分28．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分29．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分30．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分31．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分32．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=_________(用A*表示)．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分33．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分34．设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，，且B为A的逆矩阵，则a=________．正确答案：-1解析：知识模块：线性代数部分35．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且，则B=__________．正确答案：解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，知识模块：线性代数部分36．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=__________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数部分37．正确答案：2解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分38．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷4.doc

23设A，B为n阶矩阵．
(1)是否有AB～BA；
(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
24设α为n维非零列向量， (1)证明：A可逆并求A-1；(2)证明：α为矩阵A的特征向量．
25
26设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2一3A=0，设(1，1，一1)T为A的非零特征值对应的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩阵A．
（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A*是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵
43设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E+A+A2+…+An｜的值．
44设A为n阶实对称可逆矩阵， (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵（C）正定矩阵Fra bibliotek（D）正交矩阵

考研数学(数学一)模拟试卷500(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷500(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设当|x|＜1时f(x)＝展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝，则关于它的系数an(n＝0，1，2，…)成立的关系式为A．an＋2＝an＋1＋an．B．an＋3＝an．C．an＋4＝an＋2＋an．D．an＋6＝an．正确答案：D2．当x→0时，下列3个无穷小a＝按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是A．α，β，γ．B．γ，β，α．C．γ，α，βD．α，γ，β正确答案：D3．设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f＇(x)，则设f＇(x)存在)，则以下结论中不正确的是A．f＇(x)必以T为周期．B．必以T为周期．C．必以T为周期．D．必以T为周期．正确答案：B4．设S为球面x2＋y2＋z2＝R2(常数R＞0)的上半部分，方向为上侧．则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是A．B．C．D．正确答案：B5．设a1，a2，…，as，是线性方程组的s个互不相同的解向量，则向量组{ai一aj| i≠j，i＝1，2，…，s；j＝1，2，…，s}的秩r取值范围为A．1或2．B．2或3．C．D．1.正确答案：A6．已知P－1AP＝，α1是A的属于λ1＝1的特征向量，α2，α3是A 的属于λ2＝－1的线性无关的特征向量，则矩阵P是A．(α2，α1，α3)．B．(α1，α2一α3，α3－α1)．C．(3α1，α2＋α3，α2一α3)．D．(2α2，3α3，α1)．正确答案：C7．将一枚均匀硬币连续抛n次，以A表示“正面最多出现一次”，以B表示“正面和反面各至少出现一次”，则A．n＝2时，A与B相互独立．B．n＝2时，．C．n＝2时，A与B互不相容．D．n＝3 时，A与B相互独立．正确答案：D8．设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是正确答案：C填空题9．设空间曲线L : 其中常数a＞0．则空间第一型曲线积分＝_____________.正确答案：解析：平面x—y＝0经过球面．x2＋y2＋z2＝a2的中心，所以L是一个半径为a的圆周．今建立它的参数方程．将L投影到xOz平面上去，为此，消去y，得所以L在xOz平面上的投影是一个椭圆．引入此椭圆的参数方程：x＝，0≤t ≤2π由于L在平面x—y＝0上，所以L的参数方程为x＝于是ds＝所以10．设an＝x(1－x)n－1dx,则＝_____________.正确答案：1—21n 2解析：an＝11．微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(ex＋1)的通解为y＝___________．正确答案：，其中C1，C2为任意常数解析：该常系数线性微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2＋2r一3＝(r 一1)(r＋3)＝0，特征根r1＝1，r2＝一3，对应的齐次方程的通解为Y＝C1ex＋C2e-3x，其中C1，C2为任意常数．原给非齐次微分方程y＂＋2y＇一3y＝x(ex ＋1)＝xex＋x，可分解成两个非齐次方程y2＋2y＇一3y＝xex与y＂＋2y＇一3y＝x，用常用的待定系数法，可求得各自的特解分别为所以原给方程的通解为y＝其中C1，C2为任意常数．或写成如上所填．12．设y＝y(x)由方程x＝确定，则＝_____________.正确答案：一2π解析：将x＝0代入x＝有y＝1．再将所给方程两边对x求导，得1＝于是y＇＝将x＝0，y＝1代入，得＝一2π．13．设xi≠0，i＝1，2，3，4．则行列式D＝＝_______________.正确答案：解析：将D的第1行的一l倍加到2，3，4行，再将第i列(i＝2，3，4)的倍加到第1列，得D14．已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X＝x条件下Y服从参数为x的指数分布，则E(XY2)＝_____________．正确答案：21n 2解析：由题设知所以(X，Y)的联合概率密度为F(x，y)＝所以E(XY2)＝解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学历年真题(2008-2017)年数学一

(C) ab 0
(D) ab 2
（2）设函数 f x 可导，且 f x f x 0 则（）
(A) f 1 f 1
(B) f 1 f 1
(C) f 1 f 1
(D) f 1 f 1
（3）函数 f x, y, z x2 y z2 在点 1, 2, 0 处沿向量 n 1, 2, 2 的方向导数为（）
y)
(2x
1)e2xy , 且
f
(0,
y)
y
1,
Lt
是从点 (0, 0)
到点 (1,t)
的光滑曲线，计算曲线积分 I (t) f (x, y) dx f (x, y) dy ，并求 I (t) 的最小值
Lt x
y
（18）设有界区域由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分
A3x1 x2
B 3x1 x2
C
1
x x
2
D
1
x x2
（4）已知函数
f
x
x, x 0
1 n
,
n
1 1
x
1 n
,n
1, 2,，则（
）
（A） x 0 是 f x 的第一类间断点
（B） x 0 是 f x 的第二类间断点
（C） f x 在 x 0 处连续但不可导
（D） f x 在 x 0 处可导
0 0 1
2 1 0 1 0 0 B 0 2 0 C 0 2 0 ，则（）
0 0 1 0 0 2
1
(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似
(B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似
(C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似

考研数学一(选择题)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一（选择题）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜α1，α2，α3，β1｜＝m，｜α1，α2，β2，α3｜＝n，则4阶行列式｜α3，α2，α1，β1，β2｜等于( )A．m＋nB．－(m＋n)C．n－mD．m－n正确答案：C解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得｜α3，α2，α1，(β1＋β2)｜＝｜α3，α2，α1，β1｜＋｜α3，α2，α1，β2｜＝－｜α1，α2，α3，β1｜＋｜α1，α2，β2，α3｜＝n－m 所以应选C．知识模块：行列式2．设有向量组α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α2，α5．D．α1，α2，α4，α5．正确答案：B 涉及知识点：向量3．极限( )．A．等于1B．为∞C．不存在但不是∞D．等于0正确答案：C解析：因为当xn=(n=1，2，…)时，极限不存在但不是∞，选(C)．知识模块：高等数学4．原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+|2|=0对称的点为A．(12，8，3)．B．(一4，1，3)C．(2，4，8)．D．(一12，一4，18)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学5．已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，，则在点x=0处f(x)( ) A．不可导。

B．可导且f’(0)≠0。

C．取得极大值。

D．取得极小值。

正确答案：D解析：当x→0时，1-cosx～x2，故极限条件等价于=2。

从而可取f(x)=x2，显然满足题设条件。

而f(x)=x2在x=0处取得极小值，故选D。

知识模块：高等数学6．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：若α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0两端左乘矩阵A，得k1α1+k2α2+…+ks αs=0因k1，k2，…，ks不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：线性代数7．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示，则( )A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关．正确答案：D解析：因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s．又因为当r＞s时，必有r(Ⅰ)＜r，即向量组Ⅰ的秩小于其所含向量的个数，此时向量组Ⅰ必线性相关，所以应选D．知识模块：向量8．设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=z(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D 涉及知识点：综合9．已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1＝α1＋α3＋α4，β2＝α2－α4，β3＝α3＋α4，β4＝α2＋α3，β5＝2α1＋α2＋α3．则r(β1，β2，β3，β4，β5)＝( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)＝(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C．因4个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0．A＝(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵，A左乘C，即对C作若干次初等行变换，故有r(C)＝r(AC)＝r(AC)＝r(β1，β2，β3，β4，β5) 故知r(β1，β2，β3，β4，β5)＝r(C)＝3，因此应选C．知识模块：向量10．曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长的( )A．1倍．B．2倍．C．3倍．D．4倍．正确答案：A解析：设s1为曲线y=sinx的一个周期的弧长，s2为椭圆2x2+y2=2的周长，由弧长计算公式，有将椭圆2x2+y2=2化为参数方程则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，有从而s1=s2. 知识模块：高等数学11．设f(x)=，F(x)=∫0xf(t)dt(x∈[0，2])，则( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：当0≤x≤1时，F(x)=∫0xt2dt=；当1＜x≤2时，F(x)=∫0xf(t)dt=∫01t2dt＋∫1x(2－t)dt=，选(B)．知识模块：高等数学12．已知且a与b不平行，则以OA和OB为邻边的平行四边形OACB的对角线OC上的一个单位向量为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由向量加法运算的几何意义，以a，b为邻边的平行四边形对应的对角线向量为a+b，故它的单位向量为应选A．知识模块：向量代数与空间解析几何13．设级数收敛，则必收敛的级数为( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为级数收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数收敛，故选D。

[考研类试卷]考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷60.doc

[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷60一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条件是（A）E(X－Y)＝0．（B）D(X—Y)＝0．（C）E(X2－Y2)＝0．（D）E[X(Y－EY)]＝0．2 设A1，A2是两个随机事件，随机变量X i＝(i＝1，2)，已知X1与X2不相关，则（A）X1与X2不一定独立．（B）A1与A2一定独立．（C）A1与A2不一定独立．（D）A1与A2一定不独立．二、填空题3 每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字0，三张卡片都写有数字1，另两张卡片上分别写有数字2与9．将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为2001911的概率是_______．4 设A、B、C是三个随机事件，A C，B C，P(A)＝0．7，P(A－C)＝0．4，P(AB)＝0．5，则P(AB)＝_______．5 设A、B是两个随机事件，0＜P(B)＜1，AB＝，则P(A｜)＋P(｜B)＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6 将3个球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1，2，3的概率．7 将一颗正六面体的骰子连续掷两次，B、C分别表示第一次和第二次掷出的点数，求抛物线y＝χ2＋Bχ＋C与χ轴没有交点的概率p．8 随机地向半圆Ω＝{(χ，y)：0＜y＜}内投掷一点(r＞0)，事件A表示“掷点与原点连线和χ轴正方向夹角小于，π／6”，求P(A)．9 设A、B是两个随机事件，P(A)＝0．4，P(B｜A)＋P()＝1，P(A∪B)＝0．7，求P()．10 某批产品优质品率为80％，每个检验员将优质品判断为优质品的概率是90％，而将非优质品错判为优质品的概率是20％，为了提高检验信度，每个产品均由3人组成的检查组，每人各自独立进行检验1次，规定3人中至少有2名检验员认定为优质品的产品才能确认为优质品．假设各检验员检验水平相同．求一件被判断为优质品的产品确实真是优质品的概率．11 甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为0．7，乙为0．6，试求二人试验成功次数相同的概率．12 一条旅游巴士观光线共设10个站，若一辆车上载有30位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这10个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，规定旅游车只在有乘客下车时才停车．求：(Ⅰ)这辆车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下在第i站停车的概率；(Ⅱ)判断事件“第i站不停车”与“第i站不停车”是否相互独立．13 设离散型随机变量X的概率分布为 P{X＝n}＝a2p n，n＝0，1，2，…，试确定a 与p的取值范围．14 设钢管内径服从正态分布N(μ，σ2)，规定内径在98到102之间的为合格品；超过102的为废品，不足98的是次品，已知该批产品的次品率为15．9％，内径超过101的产品在总产品中占2．28％，求整批产品的合格率．15 设连续型随机变量X的分布函数为求使得｜F(a)－｜达到最小的正整数n．16 假定某街道有n个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为1：2．今有一汽车沿该街道行驶，若以X表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求X的分布律．17 设1000件产品中有150件次品，从中一次抽取3件，求：最多取到1件次品的概率．18 一大批种子的发芽率是99．8％，从中随机地选取1000粒进行试验，求这1000粒种子中发芽数目X的概率分布并计算恰好只有一粒种子未发芽的概率．19 一批玻璃杯整箱出售，每箱装有12只，其中含有0个，1个，2个次品的概率分别是0．6，0．2，0．2．一顾客需买该产品5箱，他的购买方法是：任取一箱，打开后任取3只进行检查，若无次品就买下该箱，若有次品则退回另取一箱检查，求他需要检查的箱数X的概率分布及检查箱数不超过6箱的概率β．20 连续进行射击直到第二次击中目标为止，假定每次射击的命中率为p(0＜p＜1)，X1表示首次击中目标所需进行的射击次数，X2表示从首次击中到第二次击中目标所进行的射击次数；Y表示第二次击中目标所需进行的射击总次数，求X1，X2，Y的概率分布．21 在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0＜p1，p2＜1)．求： (Ⅰ)甲攻擂次数X1的概率分布； (Ⅱ)乙攻擂次数X2的概率分布； (Ⅲ)擂主丙对甲、乙二人守擂总次数X3的概率分布． (Ⅳ)假设乙对丙的胜率p2是1／4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率．22 设一条生产线调试后启动时立即烧坏的概率为0．001，但它一旦启动，则无故障工作的时间服从参数为0．01的指数分布．若随机变量X表示生产线无故障工作的时间，求X的分布函数F(χ)以及P{X＞100}．23 设离散型随机变量X的概率分布为P{X＝n}＝，n＝1，2，…，求Y＝tan的分布函数．24 将一枚均匀的硬币接连掷5次．(Ⅰ)求正面出现次数X的概率分布；(Ⅱ)在反面至少出现一次的条件下，求正面与反面出现次数之比Y的概率分布．25 若随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，求随机变量Y＝X lnX的概率密度函数．26 设随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，Y＝X2，求Y的概率密度f Y(y)．27 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y＝e X，求Y的概率密度．28 设随机变量U服从标准正态分布N(0，1)，随机变量求：(Ⅰ)X与Y的联合分布； (Ⅱ)X与Y的相关系数ρXY．29 设随机变量X与Y同分布，X～，并且P{XY＝0}＝1．求(X，Y)的联合概率分布与X＋Y的概率分布．30 已知(X，Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求常数A；(X，Y)的联合分布函数F(χ，y)，并问X与Y是否独立?为什么? (Ⅱ)求条件概率密度f X｜Y(χ｜y)，f Y｜X(y｜χ)及条件概率P{X＋Y＞1｜X＜}； (Ⅲ)记Z1＝Y－X，求证Z1服从参数λ＝1的指数分布，并计算Z2＝X＋Y的概率密度．31 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，其分布参数μ1＝μ2＝0，σ12＝σ22＝1，ρ＝／2．求证： (Ⅰ)关于X的边缘分布是正态分布； (Ⅱ)在X＝χ条件下，关于Y的条件分布也是正态分布．32 设随机变量X1与X2是关于χ的一元二次方程χ2＋Y1χ＋Y2＝0的两个根，并且X1与X2相互独立都服从参数为的0－1分布． (Ⅰ)求随机变量Y1与Y2的联合分布； (Ⅱ)求DY1，DY2，cov(Y1，Y2)； (Ⅲ)若U＝Y1＋Y2，V＝Y1－Y2，求DU，DV，cov(U，V)．33 设随机变量X与Y独立，其中X服从参数p＝0．7的0－1分布，Y服从参数λ＝1的指数分布，令U＝X－Y，求U的分布函数G(u)．34 设二维随机变量(U，V)的联合概率密度为 f(u，v)＝．求证：(Ⅰ)X＝U＋V服从正态分布； (Ⅱ)Y＝U2＋V2服从指数分布．35 设随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0＜χ＜2．0＜y＜2}上服从均匀分布， (Ⅰ)求U＝(X＋Y)2的概率密度； (Ⅱ)求V＝max(X，Y)的概率密度； (Ⅲ)求W＝XY的概率密度．36 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为令随机变量U＝－X，V＝X＋Y，W＝X－Y，求： (Ⅰ)U的分布函数F1(u)； (Ⅱ)V的分布函数F2(v)； (Ⅲ)W的分布函数F3(w)； (Ⅳ)PV≤v，W≥w}(v＞w＞0)．37 设二维随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0≤χ≤2，0≤y≤1}上服从二维均匀分布，随机变量 (Ⅰ)求U和V的联合概率分布； (Ⅱ)讨论U和V的相关性与独立性．。

考研数学一(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)

考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数u=u(x，y)满足u有二阶连续偏导数，则u11’’(x，2x)= ( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得u1’+2u2’=1，两边再对x求导得u11’’+2u12’’+2u21’’+4u22’’=0，①等式u1’(x，2x)=x2两边对x求导得u11’’+2u12’’=2x，②将②式及u12’’=u21’’，u11’’=u22’’代入①式中得知识模块：多元函数微分学2．利用变量替换u=x，，可将方程化成新方程( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由复合函数微分法于是知识模块：多元函数微分学3．若函数其中f是可微函数，且则函数G(x，y)= ( )A．x+yB．x—yC．x2一y2D．(x+y)2正确答案：B解析：设，则u=xyf(t)，于是即G(x，y)=x一y．知识模块：多元函数微分学4．已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[-3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则( ) A．a=2，b=一2B．a=3，b=2C．a=2，b=2D．a=一2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(37+2y)]dy可知，以上两式分别对y，x求偏导得3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(s+2y),故得a=2,b=2. 知识模块：多元函数微分学5．设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A．最大值点和最小值点必定都在D的内部B．最大值点和最小值点必定都在D的边界上C．最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D．最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上正确答案：B解析：令由于B2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．知识模块：多元函数微分学6．函数f(x，y)=exy在点(0，1)处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式是( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知B正确．知识模块：多元函数微分学7．函数f(x，y)=x4一3x3y2+x一2在点(1，1)处的二阶泰勒多项式是( )A．一3+(4x3一6xy2+1)x一6x2.y.y+[(12x2一6y2)x2一24xy.xy一6x2.y2] B．一3+(4x2—6xy2+1)(x一1)一6x2y(y一1)+[(12x2一6y2)(x—1)2一24xy(x 一1).(y一1)一6x2(y一1)2]C．一3一(x一1)一6(y一1)+[6(x一1)2一24(x一1)(y一1)一6(y一1)2 D．一3一x一6y+(6x2一24xy一6y2)正确答案：C解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知C正确．知识模块：多元函数微分学8．若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )．A．α1，α2，α3线性无关B．α1，α2，α3线性相关C．α1，α2，α4线性无关D．α1，α2，α4线性相关正确答案：B解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．知识模块：线性代数部分填空题9．设则fz’(0，1)=___________．正确答案：1解析：知识模块：多元函数微分学10．设f可微，则由方程f(cx一az，cy一bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azx’+bzy’=_________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f1’.(cdx—adz)+f2’.(cdy—bdz)=0，即知识模块：多元函数微分学11．设f(z)，g(y)都是可微函数，则曲线在点(x0，y0，z0)处的法平面方程为_____．正确答案：f’(z0)g’(y0)(x-x0)+(y—y0)+g’(y0)(z—z0)=0解析：曲线的参数方程为：x=f[g(y)]，y=y，z=g(y)．知识模块：多元函数微分学12．函数的定义域为_______．正确答案：解析：由可得．知识模块：多元函数微分学13．设z=eminxy，则dz=___________．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycos xy.x；dz=esinxycos xy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学14．设函数f(x，y)=exln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为，则其拉格朗日型余项R2=____________．正确答案：ξ在0，x之间，η在0，y之间解析：知识模块：多元函数微分学15．设z=eminxy，则dz=___________．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycos xy.x；dz=esinxycos xy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【考研】考研数学一全真模拟卷及解析

【考研】考研数学一全真模拟卷及解析考研数学一是众多考研学子面临的一大挑战。

为了帮助大家更好地备考，我们精心准备了这份全真模拟卷及详细解析，希望能对大家的复习有所助益。

一、选择题（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分）1、设函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），则＼（f(f(x)）＼）为（）A ＼（＼frac{1}｛1 ＋ 2x^2 ＋ x^4} ＼）B ＼（＼frac{1}｛1 ＋2x^2} ＼） C ＼（＼frac{1}｛1 ＋ x^2} ＼） D ＼（＼frac{x^2}｛1＋ x^2} ＼）解析：因为＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），所以＼（f(f(x)）＝＼frac{1}｛1 ＋（＼frac{1}｛1 ＋ x^2}）＾2} ＝＼frac{1}｛1 ＋＼frac{1}｛（1 ＋ x^2)＾2}｝＝＼frac{1 ＋ x^2}｛1 ＋ x^2 ＋ 1} ＝＼frac{1 ＋ x^2}｛2 ＋ x^2} ＼neq\）选项中的任何一个，此题无正确选项。

2、设＼（y ＝ y(x)＼）是由方程＼（e^y ＋ xy e ＝ 0\）所确定的隐函数，则＼（y'（0)＼）的值为（）A －1B 0C 1D 2解析：对方程两边同时对＼（x\）求导，得＼（e^y ＼cdot y' ＋ y＋ x ＼cdot y' ＝ 0\）。

当＼（x ＝ 0\）时，代入原方程得＼（e^y e＝ 0\），解得＼（y ＝ 1\）。

将＼（x ＝ 0\），＼（y ＝ 1\）代入＼（e^y ＼cdot y' ＋ y ＋ x ＼cdot y' ＝ 0\），得＼（e ＼cdot y' ＋ 1 ＝0\），解得＼（y'（0) ＝＼frac{1}｛e}＼）。

3、设＼（f(x)＼）具有二阶连续导数，且＼（f(0) ＝ 0\），＼（f'（0) ＝ 1\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2}＼）等于（）A ＼（0\）B ＼（＼frac{1}｛2} ＼）C ＼（1\）D 不存在解析：利用泰勒公式，将＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处展开：＼（f(x) ＝ f(0) ＋ f'（0)x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2) ＝ x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)＼），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)｝｛x^2} ＝＼frac{1}｛2}f'＇（0)＼）。

考研数学一(解答题)模拟试卷3(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设A是3阶实对称矩阵，满足A2+2A=0，并且r(A)=2．(1)求A的特征值．(2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?正确答案：(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设λ是A的一个特征值，则λ2+2λ是A2+2A的特征值．而A2+2A=0，因此λ2+2λ=0，故λ=0或一2．又因为r(A—0E)=r(A)=2，特征值0的重数为3一r(A—0E)=1，所以一2是A的二重特征值．A的特征值为0，一2，一2．(2)A+kE 的特征值为k，k一2，k一2．于是当k＞2时，实对称矩阵A+kE的特征值全大于0，从而A+kE是正定矩阵．当k≤2时，A+kE的特征值不全大于0，此时A+kE不正定．涉及知识点：线性代数2．已知向量的三个解，求此线性方程组的通解．正确答案：记此线性方程组为Ax=b，因为是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，所以系数矩阵A的秩r(A)≤4—2=2，又由A的第一行与第二行不成比例知，r(A)≥2，故r(A)=2．因此η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，进而可得非齐次线性方程组Ax=b的通解为：α=α1+k1η1+k2η2=其中k1，k2为任意常数．涉及知识点：线性代数3．在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数：(Ⅰ)f(x)=tanx(x3)；(Ⅱ)f(x)=sin(sinx)(x3)．正确答案：(Ⅰ)设tanx=A0+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx 为奇函数，A0=0，A2=0)，又tanx=，则[A1x+A3x3+o(x3)][1－x2+o(x3)]=x－x3+o(x3)，即A1x+(A3－A1)x3+o(x3)=x－x3+o(x3)．比较系数可得A1=1，A3－A1=A1=1，A3=因此tanx=x+x3+o(x3)．(Ⅱ)已知sinu=u－u3+o(u3)(u→0)，令u=sinxsin(sinx)=sinx－sin3x+o(sin3x)．再将sinx=x－x3+o(x3)，代入得sin(sinx)=(x－x3+o(x3)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y′+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．正确答案：此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e－kx[C+f(t)ektdt]．y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．解析：本题实际上求该方程的特解．对此，我们先求通解，然后利用周期性确定常数C．知识模块：常微分方程5．设矩阵A满足(2E－C－1B)AT=C－1，且求矩阵A．正确答案：由(2E－C－1B)AT=C－1，得AT=(2E－C－1B－1)－1C－1=[C(2E －C－1B)]－1=(2C－B)－1，AT=(2C－B)－1 涉及知识点：线性代数6．若正项级数都收敛，证明下列级数收敛：正确答案：(1)(2)因为收敛．涉及知识点：高等数学7．已知方程组的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T。

考研数学一(向量)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学一（向量）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，—1，5)T，(0，4，—2)T，(1，3，0)T；②(a，1，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f，0，3)T；③(a，1，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(—1，3，0，—2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。

则下列结论正确的是( ) A．线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③。

B．线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②。

C．线性相关的向量组为①②；线性无关的向量组为③④。

D．线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②。

正确答案：D解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。

由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。

所以应排除C。

向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。

应排除A。

由排除法，故选D。

知识模块：向量2．设α1=(1，2,3，1)T，α2=(3，4，7，—1)T，α3=(2，6，a，6)T，α4=(0，1，3，a)T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的( ) A．充分必要条件。

B．充分而非必要条件。

C．必要而非充分条件。

D．既不充分也非必要条件。

正确答案：B解析：n个n维向量的线性相关性一般用行列式｜α1，α2，…，αn｜是否为零判断。

因为｜α1，α2，α3，α4｜=，当a=8时，行列式｜α1，α2，α3，α4｜=0，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，但a=2时仍有行列式｜α1，α2，α3，α4｜=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的充分而非必要条件，故选B。

考研数学一(函数、极限、连续)模拟试卷9(题后含答案及解析)

考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设F1(x)与F2(x)分别为任意两个随机变量的分布函数，令F(x)=aF1(x)+bF2(x)，则下列各组数中能使F(x)为某随机变量的分布函数的有( )．A．a=3/5，b=2/5B．a=1/2，b=3/2C．a=2/3，b=2/3D．a=3/2，b=1/2正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续2．设A为m×n矩阵，则有( )．A．若A有n阶子式不为零，则方程组AX=0仅有零解B．若A有n阶子式不为零，则方程组AX=B有惟一解C．当m＜n时，方程组AX=0有非零解，且基础解系含有n-m个线性无关的解向量D．当m＜n时，方程组AX=B有无穷多解正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则齐次线性方程组ABX=0( )．A．当m＞n时必有非零解B．当n＞m时仅有零解C．当n＞m时必有非零解D．当m＞n时仅有零解正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续4．设λ1，λ2是矩阵A的两个特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则( )．A．当λ1≠λ2时，α1与α2不成比例B．当λ1=λ2时，α1与α2成比例C．当λ1=λ2时，α1与α2不成比例D．当λ1≠λ2时，α1与α2成比例正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续5．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{fxn}收敛．B．若{xn}单调，则{fxn}收敛．C．若{fxn}收敛，则{xn}收敛．D．若{fxn}单调，则{xn}收敛．正确答案：B 涉及知识点：函数、极限、连续6．二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22-4x32-4x1x2-2x2x3的标准形是( )．A．2y12-y22-3y32B．-2y12-y22-3y32C．2y12+y22D．2y12+y22+3y32正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续7．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1+α2，α2+α3，α3+α1B．α1，α1+α2，α1+α2+α3C．α1-α2，α2-α3，α3-α1D．α1+α2，2α2+α3，3α3+α1正确答案：C 涉及知识点：函数、极限、连续8．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )．A．3p(1-p)B．6p(1-p)2C．3p2(1-p)2D．6p2(1-p)2正确答案：C解析：第4次射击恰好第2次命中目标意味着第4次一定命中目标且前三次中恰好有一次命中目标，故该事件的概率为C32(1-p)2×p=3p2(1-p)2，显然只有(C)是正确的．知识模块：函数、极限、连续填空题9．当x→0+时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=_______,b=________.正确答案：1，-1/6. 涉及知识点：函数、极限、连续10．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要条件为________．正确答案：a≠1 涉及知识点：函数、极限、连续11．已知向量组α1=(1，2，3，4)，α2=(2，3，4，5)，α3=(3，4，5，6)，α4=(4，5，6，t)，且r(α1，α2，α3，α4)=2，则t=________．正确答案：7 涉及知识点：函数、极限、连续12．若n个人站成一行，其中有A、B两人，问夹在A、B之间恰有r个人的概率是多少?如果n个人围成一个圆圈，求从A到B的顺时针方向，A、B 之间恰有r个人的概率．正确答案：n个人随意排序共有n!种排法，即样本空间的样本点总数为n!，A、B两人中间恰有r个人，这两人中间相隔r个位置，组成一组共有(n-r-1)种排法，A、B两人的位置有2!种排法；其他的人在剩下的n-2个人随意排序，有(n-2)!种排法；于是“夹在A、B之间恰有r个人”的排法有(n-r-1).2!.(n-2)!，故P(夹在A、B之间恰有r个人)=(n-r-1).2!(n-2)!/n!=2(n-r-1)/n(n-1)；如果围成一个圆圈，则n个人的相对位置有(n-1)!种排法，从A到B的顺时针方向有r个人的排法有(n-2)!，故P(A、B顺时针排，中间有r个人)=(n-2)!/(n-1)!=1/(n-1)．涉及知识点：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学一)模拟试卷584(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷584(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．极限＝( )．A．0B．1／2C．1／4D．1／6正确答案：D解析：【思路探索】利用洛必达法则及变上限定积分求导公式，直接计算即可．故应选(D)．【错例分析】若采用下列解法，所得结果是1／4．上述结果是错误的，其原因是带有“*”号的那一步是不对的．在利用等价无穷小替换求极限时，被代替的无穷小无论是在分子还是在分母中出现，都必须是个因子，或者说被代替的无穷小与其他项必须是相乘或相除的关系．本题就是错在将分子中的sinh用h代替．2．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )．A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数正确答案：A解析：【思路探索】通过举反例并用排除法得到结论．用排除法．对于(B)选项，取f(x)＝cosx＋1为偶函数，则F(x)＝sinx＋x＋1为f(x)的一个原函数，但F(x)不是奇函数，故排除(B)项．对于(C)选项，令f(x)＝｜sinx｜，则f(x)是周期函数，且f(x)的一个原函数是但F(x)不是周期函数，故排除(C)项．对于(D)选项，令f(x)＝2x，显然f(x)为单调增函数，但f(x)的原函数F(x)＝x2不是单调函数，因此排除(D)项．故应选(A)．【错例分析】本题有的考生选择(C)或(D)，其原因是不清楚周期可导函数的导数仍是周期函数，但其原函数未必是周期函数；而单调函数的导数及原函数均未必是单调函数．3．设当x→0时，是比xsinxm高阶的无穷小，而xsinxm是比高阶的无穷小，则正整数m等于( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：【思路探索】利用无穷小阶的定义．由条件知综上知正整数m＝2．故应选(B)．4．点P0(2，1，1)到平面π：x＋y－z＋1＝0的距离d＝( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：【思路探索】直接利用公式：其中平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，点的坐标是(x0，y0，z0)．由点到平面的距离公式，得故应选(C)．5．设A为n阶方阵，齐次线性方程组Ax＝0有两个线性无关的解，A*是A的伴随矩阵，则有( )．A．A*x＝0的解均为Ax＝0的解B．Ax＝0的解均为A*x＝0的解C．Ax＝0与A*x＝0无非零公共解D．Ax＝0与A*x＝0恰好有一个非零公共解正确答案：B解析：【思路探索】利用Ax＝0的解的性质以及A*的性质，从而求得A*x ＝0解的性质．由题意n－R(A)≥2，从而R(A)≤n－2，由R(A)与R(A*)之间关系知R(A*)＝0，即A*＝O，所以任选一个n维向量均为A*x＝0的解．故应选(B)．【错例分析】本题主要错误是没能利用A*与A的秩之间的关系．6．设3维向量α4不能由向量组α1，α2，α3线性表示，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：【思路探索】对于(A)、(B)选项可以利用如下结论：若α1，…，αm 线性无关，且β，α1，…，αm线性相关，则β可由α1，…，αm线性表示．对于(C)、(D)选项，可通过举反例加以排除．4个3维向量α1，α2，α3，α4必线性相关．若α1，α2，α3线性无关，则α4可由α1，α2，α3线性表示，所以(B)正确对于(C)选项，取易知α4不能由α1，α2，α3线性表示，但α1＋α4，α2＋α4，α3＋α4线性相关，故(C)不正确．对于(D)选项，取易知α4不能由α1，α2，α3线性表示，但α1＋a4，α2＋α4，α3＋α4线性无关，故(D)不正确．故应选(B)．7．设随机变量X1的分布函数为F1(x)，概率密度函数为f1(x)，且E(X1)＝1，随机变量X的分布函数为F(x)＝0．4F1(x)＋0．6F1(2x＋1)，则E(X)＝( )．A．0．6B．0．5C．0．4D．1正确答案：C解析：【思路探索】利用期望计算公式以及分布函数与概率密度的关系计算．已知随机变量X1的分布函数为F1(x)，概率密度函数为f1(x)，可以验证F1(2x ＋1)为分布函数，记其对应的随机变量为X2，其中x2为随机变量X1的函数，且X2＝X1－1／2，记随机变量X2的分布函数为F2(x)，概率密度函数为f2(x)，所以X的分布函数为F(x)＝0．4F1(x)＋0．6F2(x)．两边同时对x求导，得f(x)＝0．4f1(x)＋0．6f2(x)．于是即故应选(C)．8．设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记，其中a为常数．若E(T)＝λ2，则a＝( )．A．－1／nB．1／nC．－1D．1正确答案：A解析：【思路探索】利用因为X服从泊松分布P(λ)，则E(X)＝D(X)＝λ，由E(T)＝λ2，可得aλ＋λ／n＝0，则a＝－1／n．故应选(A)．填空题9．曲线的斜渐近线方程为_________．正确答案：y＝x＋3／2解析：【思路探索】直接用斜渐近线方程公式进行计算即可．因为故所求斜渐近线方程为y＝x＋3／2．故应填y＝x＋3／2．【错例分析】本题典型错误是求出a后，b却没有求对；还有一些考生粗心大意，答案填成x＋3／2，漏掉“y ＝”．10．设函数u＝f(x，y，z)有连续偏导数，且z＝z(x，y)由方程xex－yey＝zez所确定，则du＝_________．正确答案：解析：【思路探索】利用多元函数全微分公式与隐函数求导法即可得．解法一：设故而，所以解法二：在xex－yey＝zez两边微分，得故由u＝f(x，y，z)，得，因此故应填【错例分析】有些考生在用解法一时写成，很显然将公式中的负号漏掉了，造成失分．对常用的公式应该记牢、记准．11．定积分＝_________．正确答案：π／2解析：【思路探索】利用定积分的性质、换元积分法及恒等式：对于积分代入上式，于是，故应填π／2．12．设Ω是由平面x＋y＋z＝1与三个坐标平面所围成的空间区域，则＝_________．正确答案：1／4解析：【思路探索】在直角坐标系中将三重积分化为三次积分计算．解法一：利用轮换对称性，知，于是解法二：直接计算．故应填1／4．13．设A为3阶方阵，如果A－1的特征值是1，2，3，则｜A｜的代数余子式A11＋A22＋A33＝_________．正确答案：1解析：【思路探索】注意到A11＋A22＋A33恰为伴随矩阵A*的主对角线元素之和，即A*的迹，再由结论：方阵的迹等于特征值的和，只需求出A*的特征值即可．因为A－1的特征值为1，2，3，所以｜A－1｜＝1×2×3＝6，从而｜A｜＝1／6．又因为AA*＝｜A｜E＝1／6E，所以A*＝1／6A－1．故A*的特征值为1／6，1／3，1／2．所以A11＋A22＋A33＝1／6＋1／3＋1／2＝1．故应填1．【错例分析】本题常见错误有二．一是没能应用结论：方阵的迹等于特征值之和，从而不能找到正确的解题思路；二是有关伴随矩阵的定义和公式不够熟练，导致错误．14．设A和B独立，P(A)＝0．5，P(B＝0．6，则＝_________．正确答案：5／8解析：【思路探索】利用条件概率公式、概率基本性质以及事件的独立性计算结果．故应填5／8．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(线性代数)模拟试卷47(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷47(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A=，则A与B( )．A．合同且相似B．相似但不合同C．合同但不相似D．既不相似又不合同正确答案：C解析：显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE一A｜=0，得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=9，由｜λE一B｜=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选(C)．知识模块：线性代数2．设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有XTAX=O，则( )．A．｜A｜=0B．｜A｜＞0C．｜A｜＜0D．以上都不对正确答案：A解析：设二次型f=XTAX，则f=XTAX=λ1=0，同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=0，选(A)．知识模块：线性代数填空题3．f(x1，x2，x3，x4)=XTAX的正惯性指数是2，且A2一2A=O，该二次型的规范形为___________．正确答案：y12+y22解析：A2一2A=O→r(A)+r(2E—A)=4→A可以对角化，λ1=2，λ2=0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1=2，λ2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为y12+y22．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4．设A为三阶矩阵，ξ1，ξ2，ξ3是三维线性无关的列向量，且A ξ1=一ξ1+2ξ2+2ξ3，Aξ2=2ξ1—ξ2—ξ3，Aξ3=2ξ1—2ξ2—ξ3．(1)求矩阵A的全部特征值；(2)求｜A*+2E｜．正确答案：(1)A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)，因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～=B．由｜λE一A｜=｜λE一B｜=一(λ+5)(λ一1)2=0，得A的特征值为一5，1，1．(2)因为｜A｜=一5，所以A*的特征值为1，一5，一5，故A*+2E的特征值为3，一3，一3．从而｜A*+2E｜=27．涉及知识点：线性代数5．设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2一4E 的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．正确答案：设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2一4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A*｜=36=｜A｜3—1，所以｜A｜=6．由=6，得λ1=3，λ2=2，λ1=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为，因为A-1的特征值都是单值，所以A-1可以相似对角化．涉及知识点：线性代数6．设A= (1)求常数a，b，c；(2)判断A是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．若不可对角化，说明理由．正确答案：涉及知识点：线性代数7．设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．(1)证明α，Aα线性无关；(2)若A2α+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；正确答案：(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，设k2≠0，则Aα=一，矛盾，所以α，Aα线性无关．(2)由A2α+Aα一6α=0，得(A2+A—6E)α=0，因为α≠0，所以r(A2+A一6E)＜2，从而｜A2+A—6E｜=0，即｜3E+A｜．｜2E—A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E—A｜=0．若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E—A)α=0，得(2E—A)α=，即Aα=2α，矛盾；若｜2E—A｜≠0，则2E—A 可逆，由(2E—A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=一3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E—A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值一3，2，故A 可对角化．涉及知识点：线性代数8．设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．(1)求矩阵A的特征值；(2)判断矩阵A可否对角化．正确答案：(1)因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一个特征值为λ1=2；又由A(α1—α2)=一(α1—α2)，A(α2—α3)=一(α2—α3)，得A的另—个特征值为λ2=一1．因为α1，α2，α3线性无关，所以α1—α2与α2—α3也线性无关，所以λ2=一1．为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，一1，一1．(2)因为1—α2，α2—α3为属于二重特征值一1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．涉及知识点：线性代数9．设A，B为三阶矩阵，且AB=A—B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：(1)AB=BA；(2)存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP 同时为对角矩阵．正确答案：(1)由AB=A—B得A—B一AB+E=E，(E+A)(E—B)=E，即E—B与E+A互为逆矩阵，于是(E一B)(E+A)=E一(E+A)(E一B)，故AB=BA．(2)因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi=λiBξi，i=1，2，3．若Bξi≠0，则B是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi=μiξi；若Bξi=0，则ξi 是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP，P-1BP同为对角阵．涉及知识点：线性代数10．(1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*；(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．正确答案：(1)因为A可逆且A～B所以B逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，而A*=｜A｜A-1，B*=｜B｜B-1，于是由P-1AP=B，得(P-1AP)-1=B-1，即P-1A-1P=B-1，故P-1｜A｜A-1P=｜A｜B-1或P-1A*P=B*，于是A*～B*．(2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P-1AP=B，即AP=PB，于是AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故AP～BP．涉及知识点：线性代数11．设A=有三个线性无关的特征向量，求a及An．正确答案：因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以A一定可对角化，从而r(E—A)=1，涉及知识点：线性代数12．设方程组为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=一2，λ3=一1的特征向量．(1)求A；(2)求｜A*+3E｜．正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以即2，一1，一2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．涉及知识点：线性代数13．设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(一1，0，1)T．(1)求A的其他特征值与特征向量；(2)求A．正确答案：(1)因为A的每行元素之和为5，所以有又因为AX=0有非零解，所以R(A)＜3，从而A有特征值0，设特征值0对应的特征向量涉及知识点：线性代数14．设A=，求a，b及正交矩阵P，使得PTAP=B．正确答案：因为A～B，所以tr(A)=tr(B)，｜A｜=｜B｜，即因为A～B，所以矩阵A，B的特征值都为λ1=1，λ2=0，λ3=6．涉及知识点：线性代数15．设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．正确答案：因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0为A，B 公共的特征值，A的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组AX=0的非零解；B的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组BX=0的非零解，因为零解，即A，B有公共的特征向量．涉及知识点：线性代数16．设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若A α1=α2，Aα2=α3，…，Aαn—1=αn，Aαn=0．(1)证明：α1，α2，…，αn线性无关；(2)求A的特征值与特征向量．正确答案：(1)令x1α1+x2α2+…+xnαn=0，则x1Aα1+x2Aα2+…+xnA αn=0→x1α2+x2α3+…+xn—1αn=0 x1Aα2+x2Aα3+…+xn—1Aαn=0→x1α3+x2α4+…+xn—2αn=0 x1αn=0 因为an≠0，所以x1=0，反推可得x2=…=xn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关．(2)A(α1，α2，…，αn)=(α1，α2，…，αn)=B，则A与B相似，由｜λE一B｜=0→λ1=…=λn=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n一1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn=0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．涉及知识点：线性代数17．设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为，求Aβ．正确答案：因为A的每行元素之和为5，所以有，即A有一个特征值为λ1=5，其对应的特征向量为ξ1=，Aξ1=5ξ1．又AX=0的通解为，则r(A)=1→λ2=λ3=0，其对应的特征向量为ξ1=，Aξ2=0，Aξ3=0．令x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3=β，解得x1=8，x2=一1，x3=一2，则Aβ=8Aξ1—Aξ2一2Aξ3=8Aξ1=40 涉及知识点：线性代数18．A=，求a，b及可逆矩阵P，使得P-1AP=B．正确答案：由｜λE一B｜=0，得λ1=一1，λ2=1，λ3=2，因为A～B，所以A的特征值为λ1=一1，由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由｜A｜=b=λ1λ2λ3=一2，得b=—2，即A=由(—E—A)X=0，得ξ1=(1，1，0)T；由(E—A)X=0，得ξ3=(一2，1，1)T；由(2E—A)X=0，得ξ3=(一2，1，0)T，令P1=由(一E一B)X=0，得η1=(一1，0，1)T；由(E—B)X=0，得η2=(1，0，0)T；由(2E—B)X=0，得η3=(8，3，4)T，涉及知识点：线性代数19．设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．正确答案：｜λE一A｜==(λ+a一1)(λ一a)(λ一a一1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1一a，λ2=a，λ3=1+a．(1)当1—a≠a，1一a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且a≠时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化．(2)当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E—A)=2，所以方程组(E—A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化．(3)当a=，因为=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．涉及知识点：线性代数20．设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．正确答案：首先ATA为实对称矩阵，r(ATA)=n，对任意的X＞0，XT(ATA)X=(AX)T(AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX)T(AX)=αTα=‖α‖2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA为正定矩阵，所以ATA的特征值全大于零．涉及知识点：线性代数21．设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．正确答案：首先AT=A，因为(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以PTAP为对称矩阵，对任意的X≠0，XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令PX=α，因为P可逆且X≠0，所以α≠0，又因为A为正定矩阵，所以αTAα＞0，即XT(PTAP)X＞0，故XT(PTAP)X为正定二次型，于是PTAP为正定矩阵．涉及知识点：线性代数22．设P为可逆矩阵，A=PTP．证明：A是正定矩阵．正确答案：显然AT=A，对任意的X≠0，XTAX=(PX)T(PX)，因为X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是XTAX=(PX)T(PX)=‖PX‖2＞0，即XTAX为正定二次型，故A为正定矩阵．涉及知识点：线性代数23．设A，B为n阶正定矩阵．证明：A+B为正定矩阵．正确答案：因为A，B正定，所以AT=A，BT=B，从而(A+B)T=A+B，即A+B为对称矩阵．对任意的X≠0，XT(A+B)X=XTAX+XTBX，因为A，B为正定矩阵，所以XTAX＞0，XTBX＞0，因此XT(A+B)X＞0，于是A+B为正定矩阵．涉及知识点：线性代数24．三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22—2y32，且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α=，求此二次型．正确答案：因为f=XTAX经过正交变换后的标准形为f=y12+y22一2y32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=一2。

考研数学一(高等数学)模拟试卷248

考研数学一（高等数学）模拟试卷248(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设(1)x=1为可去间断点．(2)x=0为跳跃间断点．(3)x=－1为无穷间断点．中正确的个数是（分数：2.00）A.0．B.1．C.2．D.3．√解析：解析：f(x)=，x=0，±1是f(x)的间断点，按题意，要逐一判断这些间断点的类型．计算可得由于f(0+0)与f(0－0)存在但不相等，故x=0是f(x)的跳跃间断点．x=1是f(x)的可去间x=－1是f(x)的无穷间断点，因此选(D)．3.设x=0处可导，则a，b满足（分数：2.00）A.a=0，b=0．√B.a=1，b=1．C.a b=0．D.a b=1．解析：解析：首先，f(x)在x=0连续f(x)=f(0)，即b=0．然后，f(x)在x=0可导f' +(0)=f' － (0)．由求导法则知f' － (0)=(ax)'| x=0 =a．由f' + (0)=f' － (0)得a=0．因此选(A)．4.积分∫ a a+2π cosxln(2+cosx)dx的值（分数：2.00）A.与a有关．B.是与a无关的负数．C.是与a无关的正数．√D.为零．解析：解析：由于被积函数ln(2+cosx)．cosx是以2π为周期的偶函数，因此原式=∫ 02πln(2+cosx)cosxdx=∫ －ππln(2+cosx)cosxdx =2∫ 0πln(2+cosx)cosxdx=2∫ 0π ln(2+cosx)d(sinx)=2[sinxln(2+cosx)| 0π－∫ 0πsinxdln(2+cosx)]=2∫ 0πdx．又因为在[0，π]上，被积函数连续，非负，不恒为零，因此该积分是与a无关的正数．故选(C)?5.若级数n (x－1) n在x=－1处收敛，则此级数在x=2处（分数：2.00）A.条件收敛．B.绝对收敛．√C.发散．D.敛散性不能确定．解析：解析： a n t n，t=x－1，在t=－2处收敛R≥2，x=2时t=1∈(－R，R) a n tn在t=1即 an (n－1)n在x=2处绝对收敛．选(B)．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.函数 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(－∞，1)∪(1，+∞)）解析：解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3f(x)=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(－∞，1)∪(1，+∞)．7.∫ 02π sin n xcos m xdx(自然数n或m为奇数)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由周期函数的积分性质得 I n，m02πsin n xcos m x=∫ －ππ sin n xcos m xdx．当n为奇数时，由于被积函数为奇函数，故I n，m =0．当m为奇数(设m=2k+1，k=0，1，2，…)时 I n，m=∫－ππ sin n x(1－sin 2 x) k dsinx=R(sinx)|－ππ =0，其中R(u)为u的某个多项式(不含常数项)．因此I n，m =0．8.已知(x－1)y"－xy'+y=0的一个解是y 1 =x，又知x－(x 2 +x+1)，y * =－x 2－1均是(x－1)y"－xy'+y=(x－1) 2的解，则此方程的通解是y= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C 1 x+C 2 e x－x 2－1，其中C 1，C 2为任意常数．）解析：解析：由非齐次方程(x－1)y"－xy'+y=(x－1) 2的两个特解与y *可得它的相应齐次方程的另一特解－y * =e x－x，事实上y 2 =(e x－x)+x=e x也是该齐次方程的解，又e x与x线性无关，因此该非齐次方程的通解是y=C 1 x+C 2 e x－x 2－1，其中C 1，C 2为任意常数．9.过曲面z=4－x 2－y 2上点P处的切平面于2x+2y+z－1=0，则P点的坐标为 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1，1，2)）解析：解析：P(x，y，z)处一个法向量n={2x，2y，1}，平面2x+2y+z－1=0的法向量n 0 ={2，2，1}，由n=λn 0x=λ，y=λ，λx=1，y=1，z=4－1－1=2，因此P点是(1，1，2)．10.设I 12 y 2 dσ，则这三个积分的大小顺序是 1＜ 2＜3·（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：I 3；I 1；I 2）解析：解析：比较I 1与I 2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x 2 +y 2≤1)包含在正方形区域(|x|≤1，|y|≤1)中I 1＜I 2．比较I 1与I 3，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知 x 4 +y 42x 2 y 2I 1＞I 3．因此I 3＜I 1＜I 2．三、解答题(总题数：16，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学一)模拟试卷430(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷430(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，x=0是f(x)的( )A．连续点B．第一类间断点C．第二类间断点D．不能判断连续性的点正确答案：B解析：当x＞0时，；当x=0时，f(x)=；当x＜0时，f(x)=x，因为f(0+0)=1，f(0)=，f(0－0)=0，所以x=0为f(x)的第一类间断点，选(B)2．曲线的渐近线的条数为( )A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：C解析：因为，所以曲线没有水平渐近线；由，得曲线有两条铅直渐近线；由，得曲线有一条渐进斜线，选C3．设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)是微分方程yˊˊ+P(x)yˊ+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为( )A．C1φ1 (x)+ C2φ2 (x)+ C3φ3 (x)B．C1 [φ1 (x) －φ2 (x)]+ C2 [φ1 (x) －φ3 (x)]+ C3 [φ2 (x) －φ2 (x)]+ φ1 (x)C．C1 [φ1 (x) －φ2 (x)]+ C2φ2(x)+ φ3 (x)D．C1[φ1 (x) －φ2 (x)]+ C2[φ2 (x) －φ3 (x)]+ [φ1 (x) +φ2 (x) + φ3 (x) ]正确答案：D4．设幂级数在x=－4处条件收敛，则级数在x=－3处( )A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．敛散性不确定正确答案：A解析：因为在x=－4处条件收敛，所以收敛半径为R=当x=－3时，因为｜－3+1｜=2＜R=3，所以当x=－3时，级数绝对收敛，应选(A)5．设A为三阶矩阵，令，将A的第一、二两行对调，再将A的第三列的2倍加到第二列成矩阵B，则B等于( )A．P1AP2B．P1－1AP2C．P2AP1D．P1－1AP2－1正确答案：D解析：6．下列结论正确的是( )A．设A，B为n阶矩阵，若A，B非零特征值个数相等，则r(A)=r(B)；B．若A，B是n阶可逆的对称矩阵，若A2与B2合同，则A，B合同；C．若A，B是n阶实对称矩阵，若A，B合同，则A，B等价；D．若A，B是n阶实对称矩阵，若A，B等价，则A，B合同正确答案：C解析：取显然A，B非零特征值个数都为1，但r(A)≠r(B)，不选(A)；取，显然A2与B2的正惯性指数都为2，A2与B2合同，但A，B不合同，不选(B)；若A，B合同，即存在可逆矩阵P，使得pTAp=B，则r(A)=r(B)，故A，B等价，应选(C)；若A，B等价，即r(A)=r(B)，但A，B的正负惯性指数不一定相等，故A，B不一定合同，不选(D)7．设随机变量X，Y相互独立，且X～N(1，σ12)，Y～N(1，1，σ32)，则P{｜X－Y｜＜1}( )A．随σ1，σ2的增加而增加B．随σ1，σ2的增加而减少C．与σ1，σ2的取值无关D．随σ1的增加而增加，随σ2的增加而减少正确答案：B解析：8．设X，Y为两个随机变量，其中E(X)=2，E(Y)=－1，D(X)=2，D(Y)=16，且X，Y的相关系数为，由切比雪夫不等式得P{｜X+Y－1｜≤10}≥( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：令Z=X+Y，则E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+y)=D(X)+D(y)+2Cov(X，Y)=13，则P{｜X+Y－1｜≤10}=P{｜Z－E(Z)｜≤10}≥选(B)：填空题9．若当x→0时，(1+2x)x－cosx～ax2，则a=________正确答案：解析：因为当x→0时，(1+2x) x－1=所以(1+2x) x－cosx=(1+2x) x －1+1－cosx～2x2+，于是a=10．________正确答案：解析：11．设z=z(x，y)由F(az－by，bx－cz，cy－ax)=0确定，其中函数F连续可偏导aFˊ1－cFˊ2≠0，则________正确答案：b解析：F(az－by，bx－cz，cy－ax)=0两边对x求偏导得12．设函数y=y(x)在(0，+∞)上满足△y=△x+0(△x)，且，则y(x)=________正确答案：x(1－cosx)解析：由可微的定义，函数y=y(x)在(0，+∞)内可微，且，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得13．设矩阵，矩阵A满足B－1=B*A+A，则A=________正确答案：解析：14．设随机变量，且Cov(x，y)=，则(X，Y)的联合分布律为________正确答案：E(X)=，E(Y)=，由Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=E(XY)－，得E(XY)=，因为XY的可能取值为0，1，所以由P{X=1}=P{X=1，Y=0}+P{x=1，Y=1}，得P{X=1，Y=0}=，再P{Y=0}= P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=0}=，得P{X=0，Y=0)=，则(X，Y)的联合分布律为解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学一)模拟试卷478(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷478(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．把当x→0时的无穷小量α=ln(1+x2)一ln(1一x4)，γ=arctanx一x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A．α，β，γB．γ，α，βC．α，γ，βD．γ，β，α正确答案：C解析：我们分别确定当x→0时，α、β、γ分别是x的几阶无穷小．当x →0时α=ln(1+x2)一ln(1一x4) ～x2，因为ln(1+x2)～x2 ln(1一x4)～一x4=o(x2) 这表明当x→0时，α是关于x的2阶无穷小量，β是关于x的4阶无穷小量，而γ是关于x的3阶无穷小量．按题目的要求，它们应排成α，γ，β的次序．故应选C．2．设f(x)在[0，1]连续且非负但不恒等于零，记I1=∫01f(x)dx，则它们的大小关系为A．I1＜I2＜I3B．I3＜I1＜I2C．I2＜I1＜I3D．I3＜I2＜I1正确答案：B解析：通过变量替换，把不同区间上两个连续函数定积大小的比较转化为同一个区间上两个连续函数定积大小的比较．因此I3＜I1＜I2，故选B．3．设f(x，y)为区域D内的函数，则下列结论中不正确的是A．若在D内，有则f(x，y)≡常数B．若在D内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零，则f(x，y)≡常数C．若在D内，有df(x，y)≡0，则f(x，y)≡常数D．若在D内，有则f(x，y)≡常数正确答案：D解析：考生应该掌握这一结论．在区域D，df(x，y)≡0f(x，y)为常数．于是结论A、C是正确的．现在如果能在B与D中证明其中之一是正确的或举例说明其中一个是错误的，则就可作出正确的选择．考察B．设(x0，y0)∈D为任意一点，它存在两个不共线的方向向量：li=(cosαi，cosβi)(i=1，2)，使得=>f(x，y)≡常数=>B正确．因此应选D．4．下列级数中属于条件收敛的是A．B．C．D．正确答案：D解析：A，B，C不是条件收敛．由=>C绝对收敛．因此应选D．5．设A是n阶可逆矩阵，B是把A的第2列的3倍加到第4列上得到的矩阵，则A．把A-1第2行的3倍加到第4行上得到B-1B．把A-1第4行的3倍加到第2行上得到B-1C．把A-1第2行的一3倍加到第4行上得到B-1D．把A-1第4行的一3倍加到第2行上得到B-1正确答案：D解析：B=AE(2，4(3))，B-1=E(2，4(3))-1A-1=E(2，4(一3))A-1，因此B-1是把A-1第4行的一3倍加到第2行上得到。

考研数学一模考试卷一

• T细胞和巨噬细胞的免疫应答效应
14
整理版课件
细菌与肠道免疫系统的相互作用
整理版课件
15
肠道菌群对肠粘膜屏障的作用机制
纤维素益生元
释放避免病原防卫素菌定植
能量
供应
产生
粘液
肠腔粘液
细菌脂多糖鞭毛蛋白等
调节紧密连接
M细胞
产生 IgA
浆细胞
激发和维持肠相关淋巴组织
淋巴滤泡
生物屏障化学屏障机械屏障免疫屏障
• 改变信号途径，影响靶细胞的增殖和生存（如通过NFkB通路影响巨噬细胞增殖活化）
• 与树突状细胞相互作用，影响T 细胞分化为Th1，Th2或Treg，
• 分泌神经递质分子,调节痛觉受体的表达,影响肠道运动和痛觉感受
• 增加sIgA
17
整理版课件
益生菌调节信号转导途径
调整多种信号途径：
▪ NFkB （核转录因子kB） ▪ MAPK （分裂原活化蛋白激酶） ▪ Akt/PI3K （磷酸肌醇3激酶） ▪ PPARr （过氧化物酶体增殖
益生菌作用机制
一个值得不断研究的课题
整理版课件
1
益生菌作用机制三个角度
（益生菌-细胞）恢复肠道正常通透性
刺激粘液产生促进粘膜再生
（益生菌-细菌）竞争营养和定植位点
产生抗微生物物质
（益生菌-免疫）刺激或增强
•IgA的产生 •NK-cell 的活性 •白细胞的吞噬活性 •T细胞和B细胞的增殖活性 •细胞因子的产生
调节紧密连接
M细胞
产生 IgA
浆细胞
激发和维持肠相关淋巴组织
淋巴滤泡
生物屏障化学屏障机械屏障免疫屏障

2022-2023年研究生入学《数学一》预测试题1(答案解析)

2022-2023年研究生入学《数学一》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第壹卷一.综合考点题库(共50题)1.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：D 本题解析：2.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：数字型行列式，有较多的0且有规律，应当有拉普拉斯公式的构思.3.设α1=(1，2，-1，0)^T，α2=(1，1，0，2)^T，α3=(2，1，1，α)^T.若由α1，α2，α3生成的向量空间的维数为2，则α=________.正确答案：1、6.本题解析：暂无解析4.设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则P(B-A)= A.A0.1B.0.2C.0.3D.0.4正确答案：B 本题解析：5.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：A本题解析：6.设L是柱面x^2+y^2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分=________.正确答案：1、π.本题解析：暂无解析7.的（）A.极大值点B.极小值点C.不是极值点D.不确定正确答案：B本题解析：8.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：9.设二次型，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为A.A单叶双曲面B.双叶双曲面C.椭球面D.柱面正确答案：B本题解析：10.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：11.若函数z=z(x，y)由方程确定，则=_________.正确答案：1、-dx.本题解析：暂无解析12.若，则a1cosx+b1sinx=A.A2sinxB.2cosxC.2πsinxD.2πcosx正确答案：A本题解析：13.若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)e^x ，则非齐次方程y"+ay'+by=x 满足条件y(0)=2，y'(0)=0的解为y=________.正确答案：1、y=-xe^x+x+2.本题解析：暂无解析14.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：15.设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(e^xcosy)满足若f(0)=0，f'(0)=0，求f(u)的表达式.正确答案：本题解析：【分析】根据已知的关系式，变形得到关于f(u)的微分方程，解微分方程求得f(u).16.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：A本题解析：17.设总体X的分布函数为其中θ是未知参数且大于零.X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本.(Ⅰ)求EX与EX^2；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量.(Ⅲ)是否存在实数a，使得对任何ε>0，都有？正确答案：本题解析：【分析】(Ⅰ)给出F(x；θ)就有f(x；θ)，密度函数有了，就有A.A秩r(A)=m，秩r(B)=mB.秩r(A)=m，秩r(B)=nC.秩r(A)=n，秩r(B)=mD.秩r(A)=n，秩r(B)=n正确答案：A本题解析：本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)19.设函数，则=________.正确答案：1、4.本题解析：暂无解析18.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则20.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C 本题解析：21.下列反常积分中，收敛的是A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B 本题解析：22.设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是A.Af1(x)f2(x)B.2f2(x)F1(x)C.f1(x)F2(x)D.f1(x)F2(x)+f2(x)f1(x)正确答案：D本题解析：23.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：B本题解析：24.设矩阵，.当a为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时，求解此方程.正确答案：本题解析：25.设f(x)二阶可导，f(0)= f(1),且f(x)在[0,1]上的最小值为—1.证明：正确答案：本题解析：26.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D 本题解析：27.设总体X的概率分布为其中参数θ∈(0，1)未知.以Ni表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i=1，2，3).试求常数α1，α2，α3，使为θ的无偏估计量，并求T的方差.正确答案：本题解析：28.A.Ap随着μ的增加而增加B.p随着σ的增加而增加C.p随着μ的增加而减少D.p随着σ的增加而减少正确答案：B本题解析：29.设某种商品的需求函数是Q=a-bP,其中Q是该产品的销售量，P是该产品的价格，常数a>0,b>0，且该产品的总成本函数为已知当边际收益MR=56以及需求价格弹性，出售该产品可获得最大利润，试确定常数a和b的值，并求利润最大时的产量。

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[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷478
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 把当x→0时的无穷小量α=ln(1+x2)一ln(1一x4)，γ=arctanx一x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
（A）α，β，γ
（B）γ，α，β
（C）α，γ，β
（D）γ，β，α
2 设f(x)在[0，1]连续且非负但不恒等于零，记I1=∫01f(x)dx，
则它们的大小关系为
（A）I1＜I2＜I3
（B）I3＜I1＜I2
（C）I2＜I1＜I3
（D）I3＜I2＜I1
3 设f(x，y)为区域D内的函数，则下列结论中不正确的是
（A）若在D内，有则f(x，y)≡常数
（B）若在D内的任何一点处沿两个不共线方向的方向导数都为零，则f(x，y)≡常数
（C）若在D内，有df(x，y)≡0，则f(x，y)≡常数
（D）若在D内，有则f(x，y)≡常数
4 下列级数中属于条件收敛的是
5 设A是n阶可逆矩阵，B是把A的第2列的3倍加到第4列上得到的矩阵，则
（A）把A-1第2行的3倍加到第4行上得到B-1
（B）把A-1第4行的3倍加到第2行上得到B-1
（C）把A-1第2行的一3倍加到第4行上得到B-1
（D）把A-1第4行的一3倍加到第2行上得到B-1
6 设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，已知齐次方程组Ax=0的通解为c(1，一2，1，0)t，c任意．则下列选项中不对的是
（A）α1，α2，α3线性相关
（B）α1，α2线性无关
（C）α1，α2，α4线性无关
（D）α1，α2，α4线性相关
7 盒中盛有10个分币，其中含有0个，1个，2个，…，10个铜币是等可能的．现向盒中放入一个铜币，然后随机从盒中取出一个分币，则这个分币为铜币的概率是
8 设X1，X2，…，X n是取自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其样本均值和方差分别为，S2，则服从自由度为n的χ2分布的随机变量是
二、填空题
9 曲线的全部渐近线方程是______．
10 已知y1*(x)=xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y''+py'+qy=f(x)的三个解，则这个方程是______．
11 设f(x，y)有二阶连续偏导数，则f(x，y)=______．
12 设Ω是由曲面x2+y2一z2=0与平面z=2围成的空间区域，则
的值是_____．
13 已知A是3阶矩阵，A的特征值为1，一2，3．则(A*)*的特征值为______．
14 设随机变量且满足条件P{X1+X2=0}=1，则
P{X1=X2}=______．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15 已知极限，求常数a，b，c．
16 (Ⅰ)已知由参数方程确定了可导函数y=f(x)，求证：x=0是y=f(x)的极大值点．(Ⅱ)设F(x，y)在(x0，y0)某邻域有连续的二阶偏导数，且
F(x0,y0)=F x'(x0，y0)=0，F y'(x0，y0)＞0，F xx''(x0，y0)＜0．由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，求证y(x)以x=x0为极小值点．
17 (Ⅰ)设z=z(x，y)，y＞0有连续的二阶偏导数且满足
(Ⅱ)求方程的解．
18 设曲面积分其中S+为上半椭球面：的上侧．(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求曲面积分J．
19 (Ⅰ)求级数的收敛域；(Ⅱ)求证：和函数
定义于[0，+∞)且有界．
20 已知四元齐次方程组的解都满足方程式
(Ⅱ)x1+x2+x3=0．(Ⅰ)求a的值．(Ⅱ)求方程组(I)的通解．
21 设(Ⅰ)求A的特征值．(Ⅱ)a取什么值时，A可以相似对角化．
22 设随机变量X在[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X，Y 相互独立． (Ⅰ)求关于A的方程a2+Xa+Y=0有实根的概率(答案可用符号表示，不必计算出具体值)． (Ⅱ)求P｜X+2Y≤3}．
23 设总体X服从对数正态分布，其概率密度为其中μ为未知参数，且X1，X2，…，X n是来自总体X的一个简单随机样本．(Ⅰ)求
参数μ的最大似然估计量；(Ⅱ)验证是μ的无偏估计量．。