【人教A版】高中数学：必修5全集第三章3.1第2课时不等式的性质与应用
2020版数学人教A版必修5学案：第三章 3.1 不等关系与不等式 Word版含解析
§3.1不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系现实世界中存在大量的不等关系．试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a＞b(2)a小于b a<b(3)a不大于b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二作差法作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点三不等式的基本性质不等式性质：(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a>b，b>c⇒a>c(传递性)；(3)a>b⇒a＋c>b＋c(可加性)；(4)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；(5)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒a n>b n；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥21．2≥1.( √ ) 2．ab >1⇒a >b .( × ) 3．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ )4．⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d .( × )题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(x ≥2.5)．反思感悟 数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时 (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系： .(不用化简) 答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *解析 这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *.题型二 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 引申探究1．若a ＞0，b ＞0，a 5＋b 5与a 3b 2＋a 2b 3的大小关系又如何？ 解 (a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3 ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)． ∵a ＞0，b ＞0，∴(a －b )2≥0，a ＋b ＞0，a 2＋ab ＋b 2＞0. ∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解 若a ＞0，b ＞0，n ＞r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r .反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34， 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，x －1<0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x . 命题角度2 作商法比较大小例3 若0<x <1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 解|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，∵0<x <1，∴||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x，∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )<1，且1－x ＞0，∴1＋x <11－x， ∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a (1－x )||log a (1＋x )|＞1，∴|log a (1＋x )|<|log a (1－x )|.反思感悟 作商法的依据：若b ＞0，则ab ＞1⇔a ＞b .跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小． 解 a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝⎛⎭⎫ab a －b ， ∵a ＞b ＞0， ∴ab ＞1，a －b ＞0， ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b ＞1，即a a b ba b b a ＞1， 又∵a ＞b ＞0，∴a a b b ＞a b b a . 题型三 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >c b .证明 因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.反思感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质． 跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd . 证明⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎬⎫a >b >0c >0⇒ac >bc >0⎭⎬⎫c >d >0b >0⇒bc >bd >0⇒ac >bd .用好不等式性质，确保推理严谨性典例 已知12<a <60,15<b <36，求ab 的取值范围．[错解] ∵12<a <60,15<b <36，∴1215<a b <6036，∴45<a b <53. [点拨] 在确保条件的前提下，同向不等式可以相乘，但同向不等式没有相除的性质，不能臆造．确需相除，可转化为相乘．[正解] ∵15<b <36，∴136<1b <115，又12<a <60，∴1236<a b <6015，∴13<ab <4， 即ab的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4. [素养评析] 逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b答案 C解析 由a ＋b >0，知a >－b ，∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a .3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1b D.⎭⎬⎫ab >0a >b ⇒1a >1b答案 C解析 当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒a ab <b ab ，即1a >1b ，C 成立．同理可证D 不成立．4．若a ＞b ＞0，c <d <0，则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad <b c C.a c ＞b d D.a c <b d 答案 B解析 因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0， 即1－d ＞1－c＞0. 又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b－c ，从而有a d <b c.5．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小． 解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．一、选择题1．设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2<ax <a 2 B ．x 2>ax >a 2 C ．x 2<a 2<ax D ．x 2>a 2>ax答案 B解析 ∵x 2－ax ＝x (x －a )>0，∴x 2>ax . 又ax －a 2＝a (x －a )>0，∴ax >a 2，∴x 2>ax >a 2. 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12∴a b >a b 2>a .3．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b，∴A 不成立；对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立； 对于C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ， ∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 成立； 对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >c ，则ab >ac .5．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立； 对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立； 对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M <N B ．M ≤N C ．M >N D ．M ≥N 答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1， y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数， ∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)， ∴当a >0且a ≠1时，总有M >N . 二、填空题7．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时， . 答案a ＋mb ＋m >ab解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．8．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－32，52 解析 由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1， 且2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )，结合不等式的性质可得， 2a －b ∈⎝⎛⎭⎫－32，52. 9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为 ． 答案x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x 2≤12. 10．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为 ． 答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2 解析 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2 ＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0. 所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2. 三、解答题11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表示出来．解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N )．12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． 解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号．13．已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：e a －c ＞eb －d .证明 ∵c <d <0，∴－c ＞－d ＞0， 又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0， 即a －c ＞b －d ＞0，∴0<1a －c <1b －d，又∵e <0，∴e a －c ＞eb －d.14．若x >0，y >0，M ＝x ＋y 1＋x ＋y ，N ＝x 1＋x ＋y1＋y ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M <NC ．M ≤ND ．M >N答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0， ∴x 1＋x ＋y <x 1＋x ，y 1＋x ＋y <y1＋y，故M ＝x ＋y 1＋x ＋y ＝x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y <x 1＋x ＋y1＋y＝N ，即M <N .15．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是 ． 答案 [－6,9]解析 设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10， 又－4≤x －y ≤－1， ∴－6≤9x －3y ≤9.。
人教版高中数学必修五 第三章3.1第2课时不等式的性质与应用
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第2课时不等式的性质与应用A 级 基础巩固一、选择题1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .答案：D2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ＜b 2＜1 B ．log 12b ＜log 12a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1答案：C3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y 的取值范围是()A．[－7，26] B．[－1，20]C．[4，15] D．[1，15]答案：B4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()A．a3＜b3B．a2＜b2C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.答案：A5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()A．x＞a B．x＜aC．x≥a D．0≤x≤a解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.答案：A二、填空题6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是________． 答案：②④7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3，则α－β的取值范围是________．答案：(－56π，0)8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．答案：y ＜－y ＜x 三、解答题9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与ab －d 的大小．解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0， 所以0＜1a －c ＜1b －d，又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜ab －d.10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和 |log a (1＋x )|的大小．解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2log a 1－x 1＋x.因为0＜1－x 2＜1，0＜1－x1＋x＜1，所以log a (1－x 2)log a 1－x1＋x＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a （1－x ）log a （1＋x ）＝|log 1＋x (1－x )|＝ －log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x ＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，1＋x ＞1， 所以log 1＋x (1－x 2)＜0. 所以1－log 1＋x (1－x 2)＞1. 所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|. 法三：因为0＜x ＜1，所以0＜1－x ＜1，1＜1＋x ＜2， 所以log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0. 所以|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝ log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)． 因为0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1， 所以log a (1－x 2)＞0.所以|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.B 级 能力提升1．对下列不等式的推论中： ①a ＞b ⇒c －a ＞c －b ； ②a ＞b ＋c ⇒(a －c )2＞b 2； ③a ＞b ⇒ac ＞bc ；④a ＞b ＞c ＞0⇒(a －c )b ＞(b －c )b ；⑤a ＞b ，1a ＞1b ⇒a ＞0，b ＜0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A2．若－2＜c ＜－1＜a ＜b ＜1，则(c －a )(a －b )的取值范围为________．答案：(0，6)3．若二次函数f (x )的图象关于y 轴对称，且1≤f (1)≤2；3≤f (2)≤4，求f (3)的取值范围．解：由题意设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a ＋c ，f （2）＝4a ＋c ，所以⎩⎨⎧a ＝f （2）－f （1）3，c ＝4f （1）－f （2）3，而f (3)＝9a ＋c ＝3f (2)－3f (1)＋4f （1）－f （2）3＝8f （2）－5f （1）3，因为1≤f (1)≤2，3≤f (2)≤4， 所以5≤5f (1)≤10，24≤8f (2)≤32， 所以－10≤－5f (1)≤－5， 所以14≤8f (2)－5f (1)≤27， 所以143≤8f （2）－5f （1）3≤9，即143≤f (3)≤9.。
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
高中数学人教A版必修5课件：3.1.2 不等式的性质
1
1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
比较大小
【例1】 (1)比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x; (2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 分析:我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两个代 数式的大小,只需作差,并与0作比较即可. 解:(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3
当且仅当 x=y= 2 , 且z=1 时取等号.
1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
不等式性质的应用
【例2】 对于实数a,b,c,给出下列命题: ①若a>b,则ac2>bc2; ②若a<b<0,则a2>ab>b2; ③若a>b,则a2>b2;
④若 a<b<0,则 ������ > ������.
其中,正确命题的序号是 .
1 解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴ -������ ������ ������ ������ ������ 又∵a>b>0,∴ > , ∴ < . ������ ������ -������ -�
> 0.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三
证明不等式
������ ������
=
(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
高中数学人教A版必修5《3.1.2不等式的基本性质2》课件
不等式的性质如下：
1 a b b a 自反性 2 若a b,b c , 则a c 传递性 3 若a b, 则a c b c 4 若a b,c d , 则a c b d同向可加性 5 若a b,c 0 , 则ac bc
倒 数 法 则
六性质 , 三法则 再多, 又奈我何？
c c 例１:已知a>b>0,c<0,求证 a b
1 例2.(1)如果a b 0, 那么 a
1 变式a b
1 a
c (2)如果a＞b＞c＞0，那么 a
c b c ac
b 变式a＞b＞c＞0，那么 a－b
若a b,c 0 , 则ac bc
不等式的性质：
6 若a b 0 ,c d 0
7 若a b 0 ,n N*, 则a b 乘方法则 n n 8 若a b 0 ,n N*, 则 a b 开方法则
n n
则ac bd 同向可乘性
性质 7 8 在什么条件下可以去掉 大于0限制？
1 1 思考：若a b, 那么 与 的大小关系是什么？ a b
第9条性质： 1 1 若a b 0 , 则0 a b 1 1 若0 a b, 则 0 a b 1 1 若a 0 b, 则 a b
b c 练习：已知c＞a＞b＞0，试比较 与 的大小？ c-b c a
x 例３．如果30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y, 的范围？ y
a 例４：已知a>b>0,c>d>0，求证： d
b c
x 例5 :已知x 0, 求证 1+x 1 2
2020版数学人教A版必修5学案：第三章 3.1 不等关系与不等式 Word版含解析
§3.1 不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一 不等关系现实世界中存在大量的不等关系．试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a＞b(2)a小于b a<b(3)a不大于b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二 作差法作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.思考 x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案 作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点三 不等式的基本性质不等式性质：(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)；(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥1⇒a n >b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒>.n a n b1．2≥1.( √ )2．>1⇒a >b .( × )a b3．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ )4．Error!⇔a ＋c >b ＋d .( × )题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为x 万元，(8－x －2.50.1×0.2)那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20(x ≥2.5)．反思感悟 数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：.(不用化简)答案 5x－2(19－x)≥80，x∈N*解析 这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2(19－x)≥80，x∈N*.题型二 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.引申探究1．若a＞0，b＞0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)．∵a ＞0，b ＞0，∴(a －b )2≥0，a ＋b ＞0，a 2＋ab ＋b 2＞0.∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解 若a ＞0，b ＞0，n ＞r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r .反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)，[(x －12)2＋34]又∵2＋＞0，x －1<0，(x －12)34∴(x －1)<0，∴x 3－1<2x 2－2x .[(x －12)2＋34]命题角度2 作商法比较大小例3 若0<x <1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系．解 ＝＝，|log a (1－x )||log a (1＋x )||log a (1－x )log a (1＋x )||log (1＋x )(1－x )|∵0<x <1，∴＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )，|log (1＋x )(1－x )|11－x∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )<1，且1－x ＞0，∴1＋x <，11－x∴log (1＋x )＞1，11－x即＞1，|log a (1－x )||log a (1＋x )|∴|log a (1＋x )|<|log a (1－x )|.反思感悟 作商法的依据：若b ＞0，则＞1⇔a ＞b .a b跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 ＝a a －b b b －a ＝a －b ，a a b b a b b a (a b)∵a ＞b ＞0，∴＞1，a －b ＞0，a b∴a －b ＞1，即＞1，(a b )a a b ba b b a又∵a ＞b ＞0，∴a a b b ＞a b b a .题型三 不等式的基本性质例4 已知a >b >0，c <0，求证：>.c a c b证明 因为a >b >0，所以ab >0，>0.1ab于是a ×>b ×，即>.由c <0，得>.1ab 1ab 1b 1a c a c b反思感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd .证明Error!⇒ac >bd .用好不等式性质，确保推理严谨性典例 已知12<a <60,15<b <36，求的取值范围．a b[错解] ∵12<a <60,15<b <36，∴<<，1215a b 6036∴<<.45a b 53[点拨] 在确保条件的前提下，同向不等式可以相乘，但同向不等式没有相除的性质，不能臆造．确需相除，可转化为相乘．[正解] ∵15<b <36，∴<<，又12<a <60，1361b 115∴<<，∴<<4，1236a b 601513a b即的取值范围是.a b (13，4)[素养评析] 逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b答案 C 解析 由a ＋b >0，知a >－b ，∴－a <b <0.又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a .3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B.>⇒a >b a c b cC.Error!⇒>D.Error!⇒>1a 1b1a 1b 答案 C解析 当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒<，即>，C 成a ab b ab 1a 1b 立．同理可证D 不成立．4．若a ＞b ＞0，c <d <0，则一定有( )A.＞B.<a d b ca dbc C.＞ D.<a c b da cb d 答案 B解析 因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0，即＞＞0.1－d 1－c 又a ＞b ＞0，所以＞，a －d b －c从而有<.a d b c5．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小．解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．一、选择题1．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是( )A．x2<ax<a2B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax答案 B解析 ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，∴x2>ax>a2.2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >> B.>>aa b ab 2a b 2a b C.>a > D.>>aa b ab 2a b ab 2答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则＝1，＝－∴>>a .a b a b 212a b ab 23．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.< B ．a 2>b 21a 1b C.> D ．a |c |>b |c |a c 2＋1bc 2＋1答案 C解析 对于A ，若a >0>b ，则>0，<0，1a 1b 此时>，∴A 不成立；1a 1b 对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对于C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴>恒成立，∴C 成立；ac 2＋1bc 2＋1对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，Error!则ab >ac .5．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.< D.<1ab 21a 2bb a a b 答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，>0，∴<；1a 2b 21ab 21a 2b对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，＝＝－1.b a a b6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M <NB ．M ≤NC ．M >ND ．M ≥N 答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .二、填空题7．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时， .答案 >a ＋m b ＋m a b 解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．8．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是 ．答案 (－32，52)解析 由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1，且2a －b ＝(a ＋b )－(－a ＋b )，1232结合不等式的性质可得，2a －b ∈.(－32，52)9．若x ∈R ，则与的大小关系为 ．x 1＋x 212答案 ≤x 1＋x 212解析 ∵－＝＝≤0.x 1＋x 2122x －1－x 22(1＋x 2)－(x －1)22(1＋x 2)∴≤.x 1＋x 21210．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为 ．答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2解析 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0.所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2.三、解答题11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表13示出来．解 由题意可得Error!(x ，y ，z ∈N )．12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝且z ＝1时取等号．1213．已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：＞.e a －c eb －d 证明 ∵c <d <0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0，即a －c ＞b －d ＞0，∴0<<，1a －c 1b －d 又∵e <0，∴＞.e a －c eb －d14．若x >0，y >0，M ＝，N ＝＋，则M ，N 的大小关系是()x ＋y1＋x ＋y x1＋x y1＋y A ．M ＝N B ．M <NC ．M ≤ND ．M >N答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0，∴<，<，x 1＋x ＋y x 1＋x y 1＋x ＋y y 1＋y故M ＝＝＋<＋＝N ，即M <N .x ＋y 1＋x ＋y x 1＋x ＋y y 1＋x ＋y x 1＋x y 1＋y 15．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是 ．答案 [－6,9]解析 设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴Error!⇒Error!∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10，又－4≤x －y ≤－1，∴－6≤9x －3y ≤9.。
人教A版高中数学必修5第三章等式性质与不等式性质教学课件
数的关系： a＞b a＜b a=b
A
B
a
b
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关于实数a,b的大小，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a＞b; 如果a-b等于0，那么a=b; 如果a-b是负数，那么a＜b.
基本事实也可以表示为： a－b＞0⇔a＞b； a－b＝0⇔a＝b； a－b＜0⇔a＜b.
比较两实数大小的方法 —作差比较法
3．通过类比等式与不等式的性质，题，提升数学运算素养.
探索两者之间的共性与差异.
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情景 导学 探新 知
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3
在日常这一现象．
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4
问题：你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？ 提示：糖水变甜这一现象对应的不等式为ba＜ab＋ ＋cc，其中 a＜b， c＞0.
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提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同 向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将 2<a －b<4 与－2<a＋b<2 两边相加得 0<a<3，又将－4<b－a<－2 与－2<a ＋b<2 两边相加得出－3<b<0，又将该式与 0<a<3 两边相加得出－3<a ＋b<3，多次使用了这种转化，导致了 a＋b 范围的扩大．
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5
不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所 得的式子，叫做不等式．
文字语言
数学符号
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数学符号
大于
>
小于
<
大于等于
≥
小于等于
人教A版高中数学必修五3.1.2不等式的性质及应用.docx
数学·必修5(人教A 版)3.1 不等关系与不等式3．1.2 不等式的性质及应用►基础达标1．已知a ＞b ，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)1a ＜1b ( )(2)ac 2＞bc 2(c ≠0)( )(3)lg(a －b )＞0( )(4)a －c ＞b －c ( )解析：(1)取a ＝1，b ＝－2知1a ＞1b ，(1)错；(2)∵c ≠0，∴c 2＞0，又a ＞b ，∴ac 2＞bc 2.(2)对；(3)当a －b ∈(0,1]时，lg(a －b )≤0.(3)错；(4)∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－c )．(4)对．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√2．已知1a ＜1b ＜0，判断下列不等式的正确性(对的打“√”，错的打“×”)：(1)a 2＜b 2( )(2)ab ＜b 2( )(3)a b ＋b a ＞2( )(4)|a |＋|b |＞|a ＋b |( )解析：∵1a ＜1b ＜0，∴a ＜0，b ＜0且1a －1b ＜0，即b －a ab ＜0，∴b －a ＜0，即b ＜a ＜0.(1)由b ＜a ＜0⇒－b ＞－a ＞0⇒b 2＞a 2，(1)对；(2)由b ＜a ＜0，又b ＜0⇒b 2＞ab ，(2)对；(3)a b ＋b a －2＝a 2＋b 2－2ab ab＝(a －b )2ab ＞0，(3)对； (4)由a ＜0，b ＜0⇒|a ＋b |＝|a |＋|b |，(4)错．答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×3．如下图，y ＝f (x )反映了某公司的销售收入y 与销量x 之间的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系．当销量x 满足下列哪个条件时，该公司盈利( )A ．x >aB ．x <aC ．x ≥aD ．0≤x ≤a解析：当x <a 时，f (x )<g (x )；当x ＝a 时，f (x )＝g (x )；当x >a 时，f (x )>g (x )，选A.答案：A4．若a ，b ，m ∈R ＋，a ＜b ，将a 克食盐加入b －a 克水中，所得溶液的盐的质量分数为P 1，将a ＋m 克食盐加入b －a 克水中，所得溶液的质量分数为P 2，对P 1 、P 2的大小判断正确的是( )A ．P 1＜P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1＞P 2D ．P 1与P 2大小不确定解析：P 1＝a (b －a )＋a ＝a b ，P 2＝a ＋m (b －a )＋a ＋m＝ a ＋m b ＋m ，P 1－P 2＝a b －a ＋m b ＋m ＝m (a －b )b (b ＋m )， 又∵a ＜b ，m ，a ，b ∈R ＋，∴P 1－P 2＜0，即P 1＜P 2.故选A.答案：A5．设x >1，－1<y <0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下：________.答案：y <－y <x►巩固提高6．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，把a ＋b,2ab ，2ab 中最大与最小者分别记为M 和m ，则( )A ．M ＝a ＋b ，m ＝2abB ．M ＝2ab ，m ＝2abC ．M ＝a ＋b ，m ＝2abD ．M ＝2ab ，m ＝2ab解析：a＋b－2ab＝(a－b)2≥0，∴a＋b≥2ab.又0＜a＜1,0＜b＜1，∴0＜ab＜1，∴ab＞ab.∴2ab＞2ab，∴M＝a＋b，m＝2ab.故选A.答案：A7．已知0＜a＜1,2＜b＜4，则b－2a的取值范围是________．解析：由0＜a＜1⇒0＜2a＜2⇒－2＜－2a＜0.又2＜b＜4，两式相加得：0＜b－2a＜4.答案：(0,4)8．已知x＞0，则x＋3－x＋2____x＋1－x(填“＞”“＜”或者“＝”)解析：x＋3－x＋2＝1x＋3＋x＋2，x＋1－x＝1x＋1＋x，又x＋3＋x＋2＞x＋1＋x＞0，∴1x＋3＋x＋2＜1x＋1＋x.答案：＜9．已知a＞b＞0，比较下列各组两式的大小：(1)a＋1b与b＋1a；(2)ab与2a＋ba＋2b.解析：(1)∵a＞b＞0 ，∴1b＞1a，∴a＋1b＞b＋1a.(2)∵2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b ＝(b ＋a )(b －a )(a ＋2b )b＜0， ∴a b ＞2a ＋b a ＋2b.10．已知0＜x ＜1,0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和|log a (1＋x )|的大小．解析：解法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x. ∵0＜1－x 2＜1,0＜1－x 1＋x＜1， ∴log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x＞0. ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.解法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x ) ＝|log 1＋x (1－x )| ＝－log 1＋x (1－x )＝log 1＋x 11－x＝log 1＋x 1＋x 1－x 2＝1－log 1＋x (1－x 2) ∵0＜1－x 2＜1,1＋x ＞1，∴log 1＋x (1－x 2)<0.∴1－log 1＋x (1－x 2)＞1.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.解法三：∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＜1＋x ＜2，∴log a (1－x )＞0，log a (1＋x )＜0.∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)．∵0＜1－x 2＜1，且0＜a ＜1，∴log a (1－x 2)＞0.∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|.1．作差比较中常用的变形手段有：通分、因式分解、配方等．比较含字母的量的大小时，若不能确定差的符号，可对字母进行分类讨论．2．对于某些多项式，可将条件中的式子当作一个整体，把待求式用整体表示出来，再用不等式的性质．3．证明不等式时，可结合条件先进行适当分析转化．。
推荐-高中数学人教A版必修5课件3.1.2不等式的性质
典例透析
IANLITOUXI
(7)正值不等式可乘方
文字语言
符号语言 作用
当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时乘方所 得的不等式与原不等式同向. a>b>0⇒an>bn(n∈N,且 n≥1) 不等式两边的乘方变形
归纳总结性质(7)可看作性质(6)的推广:当n是正奇数时,由a>b可 得an>bn.
【做一做2-7】 已知m>n>0,则下列不等式不成立的是 ( ). A.m2>n2 B.m3>n3 C.m4>n4 D.m-2>n-2 答案:D
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Z知识梳 H理ISHISHULI
Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
【做一做2-6】 已知a>b>0,则有( ).
A.3a<2b B.3a=2b
C.3a>2b 答案:C
D.3a与2b大小不确定
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归纳总结1.证明:∵a>b>0,c>0,∴ac>bc. ∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.∴ac>bd. 2.这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式 两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同向不等 式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向. 3.a>b>0,c<d<0⇒ac<bd; a<b<0,c<d<0⇒ac>bd. 4.该性质不能逆推,如ac>bd a>b,c>d.
a≥b,c>0⇒ac≥bc a≥b,c<0⇒ac≤bc a<b,c>0⇒ac<bc a<b,c<0⇒ac>bc a≤b,c>0⇒ac≤bc a≤b,c<0⇒ac≥bc
人教A版高中数学必修五课件第三章3.1第2课时不等式的性质与应用ppt版本
归纳升华 利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系， 最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转 化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化， 就有可能扩大其取值范围．
[变式训练] 已知 12＜a＜60，15＜b＜36，则 a－b 的取值范围为________，ab的取值范围为________．
②若 α，β 满足－1≤1≤α α＋＋2ββ ≤≤31，，试求 α＋3β 的取值 范围．
答案：(1)(－3，3)．
π
π
(2)解：①由－2≤α ＜β ≤2知，
－π2 ≤α
π ≤2，
α－β ＜0 且
π
π
－2≤－β ≤2，
相加得－π ≤α－β ＜0，即 α－β∈[－π，0)．
②设 α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)a＋(x＋2y)β.
[变式训练] 已知 c＞a＞b＞0，则c－a a与c－b a的大小 关系为________．
答案：c－a a＞c－b a
类型 3 利用不等式的性质求取值范围(互动探究)
[典例 3] (1)若 1＜α＜3，－4＜β＜2，则 α－|β|的取 值范围是________．
(2)①0≤|β|＜4 已知－π2 ≤α ＜β≤π2 ，求 α－β 的取 值范围．
故 B 为假命题；
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－1b＞－1a，
a＜b＜0⇒－a＞－b＞0.
⇒ab＞ba，
故 C 为假命题；
a＞b⇒b－a＜0，
1a＞1b⇒1a－1b＞0⇒b－aba＞0. ⇒ab＜0.
因为 a＞b，所以 a＞0 且 b＜0，故 D 为真命题．2，故 A
人教A版高中数学必修五3-1第2课时不等式的性质.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第3章 3.1 第2课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设a ，b ，c ，d ∈R 且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是( )A ．ac 2＞bc 2B ．a －d ＞b －cC ．ad ＜bdD ．a 2＞b 2解析： 对于A ，若c ＝0，则A 不成立；对于B ，正确．对于C ，若d 为正数，则C 不正确；对于D ，若a ，b 为负数，则D 不正确，综上选B. 答案： B2．设a ，b ∈R ，若a －|b |＞0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a ＞0B ．a 3＋b 3＜0C ．a 2－b 2＜0D ．b ＋a ＞0解析： a －|b |＞0⇒－a ＜b ＜a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞0a －b ＞0⇒D 正确． 对于A ：由a －b ＞0⇒b －a ＜0⇒A 错．对于B ：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )[(a －12b )2＋34b 2]＞0⇒B 错． 对于C ：a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )＞0⇒C 错．答案： D3．已知a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＞b 2＞c 2B ．a |b |＞c |b |C ．ac ＞bcD ．ab ＞ac解析： ∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则a ＞0，c ＜0，b 可大于0，可等于0，也可小于0，则当b ＝0时，A 、B 均不成立．又∵c ＜0，a ＞b ，∴ac ＜bc .∴C 不成立．答案： D4．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π解析： ∵－π2<α<π2， 又－π2<－β<π2，且α<β， ∴－π<α－β<0，∴－3π2<2α－β<π2. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．a ，b ，c ，d 均为实数，使不等式a b ＞c d＞0和ad ＜bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要写出适合条件的一组值即可)．解析： 本题答案具有开放性，不唯一．实数a ，b ，c ，d 只要同时满足题中两个条件即可，如(2,3，－1，－2)等．答案： (2,3，－1，－2)6．设a ＜0，－1＜b ＜0，则a 、ab 、ab 2从小到大的顺序为________．解析： 方法一：ab －ab 2＝ab (1－b )＞0，ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，∴ab ＞ab 2＞a .方法二(特值法)：取a ＝－1，b ＝－12， 易得a ＝－1，ab ＝12，ab 2＝－14， ∴ab ＞ab 2＞a .答案： ab ＞ab 2＞a三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知：a ＞b ＞0，d ＞c ＞0，求证：a c ＞b d. 证明： 因为d ＞c ＞0，所以1c ＞1d＞0.又因为a ＞b ＞0， 所以a ·1c ＞b ·1d ，即a c ＞b d. 8．已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．解析： 因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4， －π4＜β2≤π4. 两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2. 因为－π4＜β2≤π4，所以－π4≤－β2＜π4， 则－π2≤α－β2＜π2. 又α＜β，所以α－β2＜0， 则－π2≤α－β2＜0. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小． 解析： f (x )＝mx x －1＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1. f (a )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1，f (b )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1. ∵a >b >1，∴a －1>b －1>0，∴1＋1a －1<1＋1b －1. ①当m >0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1<m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1，即f (a )<f (b )； ②当m ＝0时，f (a )＝f (b )；③当m <0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1>m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1，即f (a )>f (b )． 综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．。
高中数学人教A版必修5《3.1.2不等式的基本性质2》课件
我们在初中学过哪些不等式性质？
1 若a b,则a+c b c 2 若a b,c 0,则ac bc
若a b,c 0,则ac bc
我今年a岁,爸爸今年b岁,则我们的年龄大小关系为_a_﹤__b_ 爸爸今年b岁,爷爷今年c岁，则爸爸爷爷的年龄大小关系为_b_﹤__ c
b c
例5 :已知x 0,求证 1+x 1 x 2
例６:（比较大小）
(1)x
-1,比较
１ 1+x
与1
x的大小．
(2)当x 1时，求证：x 1 x x x 1
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
第9条性质：
若a b 0,则0 1 1
倒
ab
数
若0 a b,则 1 1 0
ab
法
若a 0 b,则 1 1 ab
则
六性质, 三法则
再多,又奈我何？
例１:已知a>b>0,c<0,求证
2019最新人教A版高中数学必修五课件3-1第2课时不等式的性质优质课件
.
∴f(3)＝－53f(1)＋83f(2)．
下同方法一，略．
1．不等式性质的可逆性和传递性 (1)不等式性质的可逆性 在不等式的性质中，有的是可以逆推的，即具备双向性， 有的是不可以逆推的，即只能是单向的．其中性质1和性质3具 备双向性，可以表示为：a>b⇔b<a；a>b⇔a＋c>b＋c，其他均 不可逆推．
已知－6<a<8,2<b<3，分别求 a＋b,2a－b，ab的取值范围．
由题目可获取以下主要信息： ①－6<a<8,2<b<3； ②求 a＋b,2a－b 及ab的取值范围． 解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解．
[解题过程] ∵－6<a<8,2<b<3， ∴－12<2a<16， ∴－4<a＋b<11 又∵－3<－b<－2， ∴－15<2a－b<14， 又13<1b<12， (1)当 0≤a<8 时，0≤ab<4；
【正解】 f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b， 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)， 则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b， 于是mm＋－nn＝＝42，， 解得mn＝＝13， . ∵－1≤f(－1)≤3， ∴－3≤3f(－1)≤9， 又∵1≤f(1)≤5， ∴－2≤3f(－1)＋f(1)≤14. 故－2≤f(－2)≤14.
(2)不等式性质的传递性 在使用不等式的传递性时，如果两个不等式有一个带“＝” 号，另一个不带“＝”号，那么“＝”是传递不过去的．如a>b， 且b≥c⇒a>c，而不是a>b且b≥c⇒a≥c.
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2020年精品试题
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第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
第2课时不等式的性质与应用
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x ＜a 等价于(
) A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1a
B ．－1a ＜x ＜1b
C ．x ＜－1a 或x ＞1b
D ．x ＜－1b 或x ＞1a
解析：由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0，
(1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a ；
(2)当x ＜0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b .
综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a .
答案：D
2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( )
A ．ab ＜b 2＜1
B ．log 12b ＜log 12
a ＜0
C ．2b ＜2a ＜2
D ．a 2＜ab ＜1
答案：C
3．已知实数x，y，满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则9x－y的取值范围是()
A．[－7，26] B．[－1，20]
C．[4，15] D．[1，15]
答案：B
4．已知a＜b＜0，那么下列不等式成立的是()
A．a3＜b3B．a2＜b2
C．(－a)3＜(－b)3D．(－a)2＜(－b)2
解析：取a＝－2.b＝－1.验证知B，C，D均错，故选A.
答案：A
5.如下图所示，y＝f(x)反映了某公司的销售收入y与销量x之间的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系，当销量x满足下列哪个条件时，该公司盈利()
A．x＞a B．x＜a
C．x≥a D．0≤x≤a
解析：当x＜a时，f(x)＜g(x)；当x＝a时，f(x)＝g(x)；当x＞a 时，f(x)＞g(x)，故选A.
答案：A
二、填空题
6．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的序号是
________．
答案：②④
7．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π3
，则α－β的取值范围是________．
答案：(－56
π，0) 8．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y 按从小到大的顺序排列如下________．
答案：y ＜－y ＜x
三、解答题
9．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，判断b a －c 与a b －d
的大小． 解：因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，
所以－c ＞－d ＞0，所以a －c ＞b －d ＞0，
所以0＜1a －c ＜1b －d
， 又因为a ＞b ＞0，所以b a －c ＜a b －d
. 10．已知0＜x ＜1，0＜a ＜1，试比较|log a (1－x )|和
|log a (1＋x )|的大小．
解：法一：|log a (1－x )|2－|log a (1＋x )|2＝
[log a (1－x )＋log a (1＋x )]·[log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x )2
log a 1－x 1＋x . 因为0＜1－x 2＜1，0＜1－x 1＋x ＜1，。