中考数学专题：例+练——第3课时 开放探究题

第3课时开放探究题开放探究题是一种新的题型, 关于开放题的概念，主要有下列几种描述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题；（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.开放探究题的特点是：（1）条件多余需选择,条件不足需补充；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.开放探究题常见的类型有：（1）条件开放型：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；（4）综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.在解决开放探究题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.类型之一条件开放型问题解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

1. （•郴州市）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．2.（•庆阳市）如下左图，D、E分别是ABC△的△的边AB、AC上的点，则使AED△∽ABC条件是．类型之二结论开放型问题解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

3.（•滨州市）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________（把你认为正确的序号都填上）。

4.（•梅州）如图，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．5.（•常德市）如图，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．类型之三策略开放型问题策略开放型也称为设计方案型，是指题目的条件和结论都已知或部分已知，需要探索解题方法或设计解题方案的一类试题；这种类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决。

策略开放性问题的解题方法一般不惟一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。

6.（·盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF ⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）（3）若AC＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．类型之四综合型问题这类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题；它更具有开发性，能为我们提供宽松的思维环境，解这类题时，要求我们对课本知识特别熟悉并能灵活运用。

7．（·大连市）点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC = kAB，连结AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF =∠A BC，EF交直线m于点F．⑴如图1，当k = 1时，探究线段EF与EB的关系，并中以说明；说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图2中补全图形，完成证明．⑵如图3，若∠ABC = 90°，k≠1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．图1 图2 图3第3课时开放探究题答案1.【解析】由90∠=∠=∠=︒可知四边形ABCD是矩形,再得到正方形方法有很多,比如邻边相等、对角线A B C互相垂直等。

答案不唯一。

【答案】 AB=BC或者BC=CD或者CD=DA或者DA=AB2.【解析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可。

【答案】AED B=∠∠，或ADE C∠∠，或AD AE==AC AB3.【解析】由于A、C、E三点共线可证明三角形ACD与三角形BCE全等（边角边）从而可证AD=BE、∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CCBE+∠CEB =∠ACB= 60°，再证三角形ACP全等于三角形BCQ，从而可证AP=BQ，PQ∥AE。

如果DE=DP，那么就会有DE=DP=EQ（三角形CEQ全等于三角形CDP）EQ=CE因为∠DCE=60°，所以三角形CEQ 为等边三角形，矛盾。

【答案】（1）（2）（3）（5）4.【解析】考察了相似的两种基本图形，平行四边形中利用全等三角形的简单证明.【答案】（1） ∆AEH 与∆DFH ．（或∆AEH 与∆BEG ， 或∆BEG 与∆CFG ，或∆DFH 与∆CFG ）（2）OE =OF ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ∴∥CD ，AO CO = EAO FCO ∠=∠∴，AOE COF ∠=∠∵， ∴△AOE ≌△COF ，OE OF =∴．5.【答案】解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P 31= （2）证明：选择①、③证明．在△AOB 与△COD 中, ∵AB ∥CD,∴∠CDB ＝∠DBA , ∠DCA ＝∠CAB,∴△AOB ∽△COD选择②、④证明.∵四边形ABCD 是等腰梯形, ∴∠DAB ＝∠CAB,∴在△DAB 与△CBA 中有AD=BC, ∠DAB ＝∠CAB,AB=AB,∴△DAB ≌ △CBA,∴∠ADO ＝∠BCO.又∠DOA ＝∠COB, ∴△DOA ∽△COB6.【答案】：（1）①CF 与BD 位置关系是 垂直、数量关系是相等；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90º．∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC ，又AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF=BD∠ACF=∠ABD ．∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD（2）画图正确当∠BCA=45º时，CF ⊥BD （如图丁）．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD（3）当具备∠BCA=45º时，过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊）∵DE 与CF 交于点P 时， ∴此时点D 位于线段CQ 上，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x ，容易说明△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-，221(2)144x CP x x ∴=-+=--+． ∵0＜x ≤3 ∴当x=2时，CP 有最大值1．7.【答案】（1）EF=EB ．证明：如图，以E 为圆心，以EA 为半径画弧交直线m 于点M,连结EM ．∴EM=EA, ∴∠EMA=∠EAM ．∵BC=Kab,k=1，∴BC=AB ．∴∠CAB=∠ACB ．∵m ∥n ，∴∠MAC=∠ACB, ∠FAB=∠ABC ．∴∠MAC=∠CAB ．∴∠CAB=∠EMA ．∵∠BEF=∠ABC, ∴∠BEF=∠FAB ．∵∠AHF=∠EHB, ∴∠AFE=∠ABE ．∴△AEB ≌△MEF ．∴EF=EB ．探索思路：如上图，∵BC=Kab,k=1，∴BC=AB ．∴∠CAB=∠ACB ．∵m ∥n ，∴∠MAC=∠ACB ．添加条件：∠ABC=90°．证明：如图，在直线m 上截取AM=AB ，连结ME ．∵BC=kAB,k=1，∴BC=AB ．∵∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠ACB=45°,∵m ∥n ，∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°, ∠FAB=90°．∵AE=AE, ∴△MAE ≌△ABE ．∴EM=EB, ∠AME=∠ABE ．∵∠BEF=∠ABC=90°, ∴∠FAB+∠BEF=180°．∴∠ABE+∠EFA=180°,又∵∠AME+∠EMF=180°,∴∠EMF=∠EFA ．∴EM=EF ． ∴EF=EB ． (2)EF=k1EB ． 说明：如图，过点E 作EM ⊥m 、EN ⊥AB,垂足为M 、N ．∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°．∵m ∥n ，∠ABC=90°, ∴∠MAB=90°．∴四边形MENA 为矩形．∴ME=NA, ∠MEN=90°． ∵∠BEF=∠ABC=90°． ∴∠MEF=∠NEB ． ∴△MEF ∽△NEB ． ∴.EB EF EN ME =∴.EBEF EN AN = 在Rt △ANE 和Rt △ABC 中，tan ∠BAC=k ==AB BC AN EN ， ∴EF=k1EB ．。