人教A版高中数学必修第二册：6.2.2 向量的减法运算 学案
新课程必修第二册《6.2 平面向量的运算》核心素养教学设计(4课时)
6.2.1 向量的加法运算本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。
本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。
向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。
所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。
A.理解向量加法的意义；B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；C.理解向量的运算律；D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。
1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；2.教学难点：向量加法的运算律。
多媒体一、复习回顾，温故知新1. 向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 【答案】向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的向量。
相等向量：方向相同并且长度相等的向量。
2. 用有向线段表示向量，向量的大小和方向 是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？【答案】向量的大小：有向线段的长度。
向量的方向：有向线段的方向。
零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
二、探索新知思考1：如图，某质点从点A 经过点B 到点C ，则这个质点的位移怎么表示？【答案】 从运算的角度看， AC 可以认为是AB 与BC 的和，即位移、可以看作向量的加法。
1.已知向量a 和b ，如图在平面内任取一点O ，作b AB a OA ==,，则向量OB 叫做a 和b 的和，记作b a +．即OB AB OA b a =+=+。
求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．【口诀】首尾相连首尾连。
高中数学新教材第二册全套教案
通过物理量路程与 位移引入向量概念， 提高学生的解决问 题、分析问题的能 力。
注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大 小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向 量不能比较大小.
练习：下列量不是向量的是（
）
（1）质量 （2） 速度 （3） 位移 （4）力 （5）加速度
1.有向线段的定义
问题、概括能力。
在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A 为起点，B 为终
点，就说线段 AB 具有方向，具有方向的
a
B
线段叫做有向线段.
如图，以 A 为起点、B 为终点的有向线段 A(起点)
（终点）
记作 AB .
线段 AB 的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作 | AB | .
【解析】 只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向 量，①②③错误．④正确．
【答案】 B
2．在下列判断中，正确的是( )
①长度为 0 的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③B．②③④ C．①②⑤ D．①③⑤
【解析】 由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故 两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④ 不正确，故选 D．
课程目标
学科素养
A. 了解向量的实际背景，理解平面向量 的概念和向量的几何表示；
B. 掌握向量的模、零向量、单位向量、 平行向量、相等向量、共线向量等概念；
1.数学抽象：平面向量的概念； 2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量； 3.直观想象：向量的几何表示；
6.2.2向量的减法运算教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
- 交换律：a-b = b-a
- 结合律：(a-b)-c = a-(b-c)
- 分配律：(a+b)-c = a-c+b-c
3. 向量的减法几何意义：
- 从一点到另一点的位移向量的相反向量
4. 向量的减法运算的应用：
- 解决实际问题，如物理学中的速度变化、几何中的向量差等。
板书设计应条理清楚、重点突出、简洁明了，以便于学生理解和记忆。同时，板书设计应具有艺术性和趣味性，以激发学生的学习兴趣和主动性。例如，可以使用不同颜色或符号来区分不同的知识点，或者使用图形来表示向量的减法运算。通过这样的设计，学生可以更容易地理解和记住向量减法的基本概念和运算性质，并能够将它们应用于解决实际问题。
6.2.2 向量的减法运算教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容
本节课的教学内容来自于2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，第6.2.2节“向量的减法运算”。本节课主要讲解向量的减法运算概念、法则及其几何意义。内容包括：
这些知识点是本节课的核心内容，也是学生需要重点理解和掌握的。通过对比加法运算，学生可以更好地理解减法运算的性质和应用。同时，通过大量的练习题，学生可以加深对向量减法运算的理解，并能够熟练地运用它来解决实际问题。
七、板书设计
1. 向量的减法定义：
- 三角形法则：a-b = c
- 平行四边形法则：a-b = d
我也意识到，课堂上的互动和讨论不够充分。学生们在课堂上大多时候是被动接受的，缺乏主动思考和交流的机会。这对于他们的数学思维能力和创新能力的培养是不利的。我需要在未来的教学中，更多地设计一些小组讨论和互动环节，激发他们的思考，培养他们的合作交流能力。
人教版A高一数学新教材同步课堂精讲练导学案第二册6.2.2 向量的减法运算(原卷版)
6.2.2向量的减法运算导学案编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX XXX【学习目标】1.知道相反向量的定义2.记住向量减法法则及其几何意义3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差．【自主学习】知识点1 相反向量(1)我们规定,与向量a , 的向量,叫做a 的相反向量,记作－a . (2)－(－a )＝a ,a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. (3)零向量的相反向量仍是 ,即0＝－0. 知识点2 向量的减法及其几何意义 1.向量减法的定义求两个向量差的运算叫做向量的减法．我们定义,a －b ＝a ＋(－b ),即减去一个向量相当于加上这个向量的 ． 2．向量减法的几何意义 (1)三角形法则如图,已知a 、b ,在平面内任取一点O ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则BA →＝a －b ,即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义．(2)平行四边形法则如图①,设向量AB →＝b ,AC →＝a ,则AD →＝－b ,由向量减法的定义, 知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .又b ＋BC →＝a ,所以BC →＝a －b . 如图②,理解向量加、减法的平行四边形法则: 在▱ABCD 中,AB →＝a ,AD →＝b ,则AC→＝a ＋b ,DB →＝a －b .【合作探究】探究一 向量减法的几何意义【例1-1】在△ABC 中,D ,E ,F 分别为AB ,BC ,CA 的中点,则AF →－DB →等于( )A ．FD →B ．FC → C ．FE →D ．BE →【例1-2】如图,已知向量a ,b ,c ,求作a －b －c ．归纳总结:【练习1】如图,设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,若AB →＝a ,AD →＝b ,OD →＝c ,则OB →＝a －b ＋c .探究二 向量的加减法运算【例2】化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( )A ．AB →B ．AD →C ．BC →D ．0归纳总结:【练习2】化简:(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →); (2)AB →－AD →－DC →.探究三 向量加减运算几何意义的应用【例3-1】已知非零向量a ,b 满足|a |＝7＋1,|b |＝7－1,且|a －b |＝4,则|a ＋b |的值为 ．【例3-2】如图所示,四边形ACDE 是平行四边形,B 是该平行四边形外一点,且AB →＝a, AC →＝b ,AE →＝c ,试用向量a ,b ,c 表示向量CD →,BC →,BD →．归纳总结:【练习3-1】已知O 为四边形ABCD 所在平面外的一点,且向量OA →,OB →,OC →,OD →满足OA →＋OC →＝OB →＋OD →,则四边形ABCD 的形状为_ __．【练习3-2】如图所示,解答下列各题:①用a 、d 、e 表示DB →; ②用b 、c 表示DB →; ③用a 、b 、e 表示EC →; ④用c 、d 表示EC →．课后作业A 组 基础题一、选择题1．在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( )A ．AB →－DC →＝0 B ．AD →－BA →＝AC →C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝02．在△ABC 中,BC →＝a ,CA →＝b ,则AB →等于( )A ．a ＋bB ．－a ＋(－b )C ．a －bD ．b －a3．已知非零向量a 与b 同向,则a －b ( )A ．必定与a 同向B ．必定与b 同向C ．必定与a 是平行向量D ．与b 不可能是平行向量4.化简AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.0C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.DA ⃗⃗⃗⃗⃗5.若O ,A ,B 是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )A.AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗6.(多选)化简以下各式,结果为0的有( ) A.AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗7．(多选)下列各式中能化简为AD →的是( )A ．(AB →－DC →)－CB → B ．AD →－(CD →＋DC →)C ．－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →) D ．－BM →－DA →＋MB →8．(多选)若a ,b 为非零向量,则下列命题正确的是( )A ．若|a |＋|b |＝|a ＋b |,则a 与b 方向相同B ．若|a |＋|b |＝|a －b |,则a 与b 方向相反C ．若|a |＋|b |＝|a －b |,则|a |＝|b |D ．若||a |－|b ||＝|a －b |,则a 与b 方向相同二、填空题9．如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的中点,E 是边AB 上一点,则BE →－DC →＋ED →＝________.10．如图所示,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,则OD →＝________.(用a ,b ,c 表示)11．已知向量|a |＝2,|b |＝4,且a ,b 不是方向相反的向量,则|a －b |的取值范围是________．三、解答题12．如图,O 为△ABC 内一点,OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c .求作:13．已知△OAB 中,OA →＝a ,OB →＝b ,满足|a|＝|b|＝|a －b|＝2,求|a ＋b|与△OAB 的面积．B 组 能力提升一、选择题1．设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,|BC →|2＝16,|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|,则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．12.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d,且四边形ABCD 为平行四边形,则( ) A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -d =0 C.a +b -c -d =0 D.a -b -c +d =03．(多选)对于菱形ABCD ,下列各式正确的是( )A ．AB →＝BC →B ．|AB →|＝|BC →|C ．|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →| D ．|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|4.(多选)下列说法中正确的是( )A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A ,B ,C ,D 四点构成一个平行四边形B.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cC.互为相反向量的两个向量模相等D.OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗5.(多选)已知a ,b 为非零向量,则下列命题中是真命题的是( ) A.若|a |+|b |=|a +b |,则a 与b 方向相同 B.若|a |+|b |=|a -b |,则a 与b 方向相反 C.若|a |+|b |=|a -b |,则a 与b 有相等的模 D.若||a |-|b ||=|a -b |,则a 与b 方向相同二、填空题6．已知|OA →|＝a ,|OB →|＝b (a ＞b ),|AB →|的取值范围是[5,15],则a ＝________,b ＝________.7．在△ABC 中,|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1,则|AB →－BC →|＝________.8.如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC 与BD 交于O 点,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = .9.若a ≠0,b ≠0,且|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 所在直线的夹角是 .10.已知非零向量a ,b 满足|a |=√7+1,|b |=√7-1,且|a -b |=4,则|a +b |= .三、解答题11.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,M 是斜边AB 的中点,CM →＝a ,CA →＝b .求证:(1)|a －b |＝|a |;(2)|a ＋(a －b )|＝|b |.。
人教A版(2019)高中数学必修第二册向量的减法运算学案
6.2.2 向量的减法运算教学目标：1.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用；2.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；3.会求两个向量的差。
教学重、难点：1.教学重点：向量减法的运算和几何意义；2.教学难点：减法运算时差向量方向的确定。
知识梳理：1．定义：如果两个向量长度 ，而方向 ，那么称这两个向量是相反向量．2．性质：(1)对于相反向量有：a ＋(－a )＝ ． (2)若a ，b 互为相反向量，则a ＝ ，a ＋b ＝ ．(3)零向量的相反向量仍是 ．3．定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的 ．4．作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝ ，如图所示．5．几何意义：a －b 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量． 典例解析：例1.如图，已知向量,,,,d c b a 求作向量.,d c b a --2巩固练习1：例2.在平行四边形ABCD 中，b AD a AB ==,，你能用b a ,表示向量DB AC ,吗？巩固练习3： CD BD AC AB -+-化简)1(CO BO OC OA +++化简)2(作业布置：1．在△ABC 中，若BA →＝a ，BC →＝b ，则CA →等于( )A ．aB ．a ＋bC ．b －aD ．a －b2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝()A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＝OF →－OE →C ．EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE → 4．已知a ，b 为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________.4①若|a |＋|b |＝|a ＋b |，则a 与b 方向相同；②若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 方向相反；③若|a |＋|b |＝|a －b |，则a 与b 有相等的模；④若||a |－|b ||＝|a －b |，则a 与b 方向相同．5.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定5.化简下列各向量的表达式：①AB →＋BC →－AD →；②(AB →－CD →)－(AC →－BD →)；③(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．6.已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围课堂小结：这节课你的收获是什么？。
新教材人教版高中数学必修第二册 6-2-2向量的减法运算(教案)
第六章 平面向量及其应用6.2.2向量的减法运算课题：平面向量的减法一、教学目标1.掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，2.掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程.3.通过对向量减法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。
二、教学重难点：1.向量减法的三角形法则.2.对向量减法定义的理解.三、教学过程：1.复习回顾首先一起回顾一下求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则,本节课我们将学习向量的减法.2、探索新知（1）向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋(－b ).求两个向量差的运算，叫向量的减法.说明：①与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量；②零向量的相反向量仍是零向量；③任一向量和它相反向量的和是零向量.（2）作法如图所示，以平面内的一点作为起点作a ，b ，则两向量终点的连线段，并指向a 终点的向量表示a －b .说明：向量减法可以利用相反向量转化为向量加法，b 与a －b 尾首相接，首尾相连，得到a －b ＝CB →.例题分析：例1.如图，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d.解：作法：如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d.作BA →，DC →，则BA →＝a －b ，DC →＝c －d例2.如图， o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式不正确的是（ ）A ．DA DC AC -=B ．DA DC DO +=C ．OA OB AD DB -+= D ．AO OB BC AC ++=解:对于A ， DA DC CA -=，故A 错误；对于B ， DA DC DB +=，故B 错误；对于C ， OA OB AD BA AD BD -+=+=，故C 错误。
6.2.2向量的减法运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
| 自学导引 |
| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
相反向量
定义 与向量a长度__相__等__，方向__相__反__的向量，叫做a的相反向量 对于相反向量有：－(－a)＝a，a＋(－a)＝0
| 自学导引 |
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| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
题型2 向量减法的几何意义 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
素养点睛：本题考查了直观想象的核心素养． 解：(方法一)如图 1 所示，在平面内取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，
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数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
向量的减法
1．定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法，a－b＝a＋(－ b)．减去一个向量就等于加上这个向量的_相__反__向__量_．
2．几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
题型3 用已知量表示其他向量
如图所示，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四 边形，且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示向量B→D，B→C， B→E，C→D及C→E.
| 自学导引 |
人教A版新教材高中数学第二册学案3：6.2.2向量的减法运算
6.2.2 向量的减法运算『自主预习』1．相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a ＋(－a )＝0． ②若a ，b 互为相反向量，则a ＝，a ＋b ＝． ③零向量的相反向量仍是． 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝，如图所示．3．|a |、|a±b |与|b |三者之间的关系 ||a |－|b |||a ＋b ||a |＋|b |； ||a |－|b |||a －b ||a |＋|b |.思考：在什么条件下，|a －b |＝|a |＋|b |?『基础自测』1．非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( ) A ．m ＝n B ．m ＝－n C ．|m |＝|n |D ．方向相反2．在菱形ABCD 中，下列等式中不成立的是( ) A ．AC →－AB →＝BC → B ．AD →－BD →＝AB → C ．BD →－AC →＝BC → D ．BD →－CD →＝BC →3．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A ．QP → B ．OQ → C ．SP →D ．SQ →4．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示向量AC →，BD →，则AC →＝，BD →＝．『合作探究』『例1』 (1)如图所示，四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c(2)如图所示，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .思路点拨：(1)利用向量减法和加法的几何意义，将DC →向AB →，BC →，AD →转化； (2)利用几何意义法与定义法求出a ＋b －c 的值．『规律方法』求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 『跟踪训练』1．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .『例2』 (1)如图所示，①用a ，b 表示DB →； ②用b ，c 表示EC →.(2)化简下列各向量的表达式： ①AB →＋BC →－AD →； ②(AB →－CD →)－(AC →－BD →)；③(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．思路点拨：按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．『一题多解』『规律方法』1．向量减法运算的常用方法2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．3．与图形相关的向量运算化简首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算． 『跟踪训练』2．化简下列向量表达式： (1)OM →－O N →＋MP →－N A →； (2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)．『探究问题』1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a ＋b 和a －b 放在这个图形中？2．已知向量a ，b ，那么|a |－|b |与|a ±b |及|a |＋|b |三者具有什么样的大小关系？『例3』 (1)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形D ．不确定(2)已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．思路点拨：(1)先由AB →＝DC →判断四边形ABCD 是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|变形，进一步判断此四边形的形状．(2)由||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|求范围．『母题探究』1．将本例(2)的条件改为“|AB →|＝8，|AD →|＝5”，求|BD →|的取值范围．2．在本例(2)条件不变的条件下，求：|AB →＋AD →|的取值范围．3．本例(2)中条件“|AD →|＝9”改为“|BD →|＝9”，求|AD →|的取值范围．『规律方法』1．用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量． (2)化归为向量问题，进行向量运算． (3)将向量问题还原为平面几何问题．2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．『课堂小结』1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.『当堂达标』1．下列等式：①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ； ⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a ＋(－a )＝0. 正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 2．化简BA →－CA →＋DB →－DC →＝．3．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝，|a －b |＝． 4．若a ≠0，b ≠0且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 所在直线的夹角．——★ 参*考*答*案 ★——『自主预习』1．(1)相等相反(2)①0 ②－b0 ③零向量 2．(1)相反向量 (2)BA → 3．≤ ≤≤≤思考：『提示』 当a ，b 至少有一者为0或a ，b 非零且反向时成立．『基础自测』1．A 『由条件可知，当m ≠0且n ≠0时B ，C ，D 项都成立，故选A.』 2．C 『如图，根据向量减法的三角形法则知A 、B 、D 均正确，C 中，BD →－AC →＝AD →－AB →－(AB →＋AD →)＝－2AB →≠BC →，故选C.』 3．B 『原式＝(OP →＋PQ →)＋(PS →＋SP →)＝OQ →＋0＝OQ →.』4．a ＋b b －a 『由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a .』『合作探究』『例1』(1)A 『DC →＝AC →－AD →＝(AB →＋BC →)－AD →＝a ＋c －b .』(2)『解』 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作BC →＝－c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .图① 图② 『跟踪训练』1．『解』 法一：先作a －b ，再作a －b －c 即可．如图①所示，以A 为起点分别作向量AB →和AC →，使AB →＝a ，AC →＝b . 连接CB ，得向量CB →＝a －b ，再以C 为起点作向量CD →，使CD →＝c ， 连接DB ，得向量DB →.则向量DB →即为所求作的向量a －b －c .图① 图②法二：先作－b ，－c ，再作a ＋(－b )＋(－c )，如图②. (1)作AB →＝－b 和BC →＝－c ； (2)作OA →＝a ，则OC →＝a －b －c .『例2』『解』 (1)∵BC →＝a ，CD →＝b ，DE →＝c . ①DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－a －b . ②EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－b －c . (2)①AB →＋BC →－AD →＝AC →－AD →＝DC →.②(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0.③(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝(AC →＋BA →)－(OC →－OB →)＝BC →－BC →＝0. 『一题多解』 (2)②法一：(加法法则) 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →) ＝AD →－AD →＝0；法二：减法法则(利用相反向量) 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0；法三：减法法则(创造同一起点) 原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →) ＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0. 『跟踪训练』2．『解』 (1)OM →－O N →＋MP →－N A →＝N M →＋MP →－N A →＝N P →－N A →＝AP →.(2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →＋0＝AD →.『探究问题』1．提示：如图所示平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →.2．提示：它们之间的关系为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(1)当a ，b 有一个为零向量时，不等式显然成立．(2)当a ，b 不共线时，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OB →，如图①所示，根据三角形的性质，有||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |.同理可证||a |－|b ||<|a －b |<|a |＋|b |.(3)当a ，b 非零且共线时，①当向量a 与b 同向时，作法同上，如图②所示，此时|a ＋b |＝|a |＋|b |.②当向量a ，b 反向时，不妨设|a |>|b |，作法同上，如图③所示，此时|a ＋b |＝|a |－|b |.综上所述，得不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.『例3』(1)B 『∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，又∵|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，∴|BD →|＝|AC →|.∴四边形ABCD 为矩形．』(2)『解』 ∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15.当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3；当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15.∴|AB →－AD →|的取值范围为『3，15』．『母题探究』1．『解』 因为BD →＝AD →－AB →，|AB →|＝8，|AD →|＝5，||AD →|－|AB →||≤|AD →－AB →|≤|AD →|＋|AB →|，所以3≤|BD →|≤13，当AB →与AD →同向时，|BD →|＝3；当AB →与AD →反向时，|BD →|＝13.所以|BD →|的取值范围是『3，13』．2．『解』 由||AB →|－|AD →||≤|AB →＋AD →|≤|AB →|＋|AD →|，∵|AB →|＝6，|AD →|＝9，∴3≤|AB →＋AD →|≤15.当AB →与AD →同向时，|AB →＋AD →|＝15；当AB →与AD →反向时，|AB →＋AD →|＝3.3．『解』 AD →＝BD →－BA →，又|BA →|＝|AB →|，由||BD →|－|BA →||≤|BD →－BA →|≤|BD →|＋|BA →|，∴3≤|AD →|≤15.『当堂达标』1．C 『由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确，⑥错误．』2．0 『BA →－CA →＋DB →－DC →＝(BA →＋AC →)＋(DB →－DC →)＝BC →＋CB →＝0.』3．0 2 『因为a ，b 为相反向量，∴a ＋b ＝0，即|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，∴|a －b|＝|2a |＝2.』4．『解』 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则a －b ＝BA →，因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以|OA →|＝|OB →|＝|BA →|，所以△OAB 是等边三角形，所以∠BOA ＝60°.因为OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA .所以a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.。
人教A版新教材高中数学第二册学案1：6.2.2向量的减法运算
6.2.2 向量的减法运算『导学聚焦』『自主预习』『问题导学』预习教材内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？ 2．向量减法的几何意义是什么？ 『新知初探』 1．相反向量(1)定义：与a 长度，方向的向量，叫做a 的相反向差，记作，并且规定，零向量的相反向量仍是． (2)结论①－(－a )＝，a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝，b ＝，a ＋b ＝． ■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． 2．向量的减法(1)向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．(3)几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． (3)对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.『自我检测』判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个相等向量之差等于0.( ) (2)两个相反向量之差等于0.( ) (3)两个向量的差仍是一个向量．( )(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) 在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →－DC →＝0 B.AD →－BA →＝AC → C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0设b 是a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( ) A ．a 与b 的长度相等 B ．a ∥bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的相反向量在平行四边形ABCD 中，向量AB →的相反向量为________．『探究互动』探究点一向量的减法运算 『例1』化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【规律方法】向量减法运算的常用方法『跟踪训练』1．下列四个式子中可以化简为AB →的是( )①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④ 2．化简下列向量表达式： (1)OM →－ON →＋MP →－NA →； (2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)．探究点二向量的减法及其几何意义『例2』如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【规律方法】求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．『跟踪训练』如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .探究点三用已知向量表示其他向量『例3』如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.【规律方法】用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如，在四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0. 『跟踪训练』1．如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．2．已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB →＝a ，BC →＝b ，OD →＝c .试证明：a －b ＋c ＝OB →.『达标反馈』1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD →D.DC →2．化简：AB →－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．3．已知||AB →＝10，|AC →|＝7，则|CB →|的取值范围为______．4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．——★ 参*考*答*案 ★——『自主预习』『新知初探』 1．(1)相等 相反－a零向量(2)①a 0 ②－b－a0 2．(1) a ＋(－b )『自我检测』『答 案』：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 『答 案』：C 『答 案』：C 『答 案』：BA →，CD →『探究互动』探究点一向量的减法运算 『例1』『解』(1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →.法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 『跟踪训练』1．『解 析』：选A.因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C ，D ；因为OB →－OA →＝AB →，所以④正确，排除B.故选A.2．解：(1)OM →－ON →＋MP →－NA →＝NM →＋MP →－NA →＝NP →－NA →＝AP →.(2)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝AD →＋MB →＋BC →＋CM →＝AD →＋(MB →＋BC →＋CM →)＝AD →＋0＝AD →. 探究点二向量的减法及其几何意义 『例2』『解』法一：如图①，在平面内任取一点O ， 作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB →＝b －c . 过点A 作AD 綊BC ，连接OD ，则AD →＝b －c ， 所以OD →＝OA →＋AD →＝a ＋b －c .法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ， 连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB →＝a ＋b －c . 法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA →＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ， 再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .『跟踪训练』解：在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b －c . 探究点三用已知向量表示其他向量 『例3』『解』因为四边形ACDE 是平行四边形， 所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c . 『跟踪训练』1．『解 析』：因为BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →，所以OD →＝a －b ＋c . 『答 案』：a －b ＋c 2．证明：如图，a ＋c ＝AB →＋OD →＝DC →＋OD →＝OC →， OB →＋b ＝OB →＋BC →＝OC →，所以a ＋c ＝OB →＋b ，即a －b ＋c ＝OB →.『达标反馈』1．『解 析』：选C.在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →.2．『解 析』：原式＝CB →＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →. 『答 案』：AD →3．『解 析』：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB →|＝|AB →－AC →|. 又|||AB →|－|AC →|≤|AB →－AC →|≤|AB →|＋|AC →|，3≤|AB →－AC →|≤17， 所以3≤|CB →|≤17. 『答 案』：『3，17』4．解：因为OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →. 又|OB →－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， 所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等， 所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．。
2021新教材高中数学第六章6.2.2向量的减法运算教学用书教案新人教A版必修第二册
6.2.2 向量的减法运算素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(逻辑推理)2．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的减法运算.(数学运算)3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(逻辑推理)向量的减法运算是通过类比实数的减法运算来引入的，可依照物理上力的分解为背景来理解把握.必备知识·探新知知识点1相反向量定义与向量a长度__相等__，方向__相反__的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质(1)－(－a)＝__a__(2)零向量的相反向量仍是零向量(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝__0__(4)如果a，b互为相反向量，那么a＝__－b__，b＝__－a__，a＋b＝0知识点2向量的减法定义a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量__作法在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝__BA→__.如图所示几何意义如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的__终点__指向向量a的__终点__的向量[知识解读]1．向量减法的三角形法则中，BA表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量.即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”.2．由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以用向量减法的定义a－b ＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐.3．如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量AC→＝a＋b，DB →＝a －b ，这一结论在以后的学习中应用非常广泛.关键能力·攻重难题型探究题型一 向量的减法及其几何意义典例1 (1)四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( A )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c(2)如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .[分析] 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量.[解析] (1)DC →＝AC →－AD →＝(AB →＋BC →)－AD →＝a ＋c －b .(2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .法二：如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .[归纳提升] 求作两个向量差向量的2种思路(1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.(2)转化为向量的加法来进行，如a －b ，可以先作－b ，然后作a ＋(－b )即可. 【对点练习】❶ 如图所示，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d .[解析] 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ， 则a －b ＝BA →，c －d ＝DC →.题型二 三角形法则下的向量加减法运算典例2 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).(2)OA →－OD →＋AD →.(3)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →. [分析][解析] (1)方法一(统一成加法) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0．方法二(利用减法) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)－CD →＋BD →＝CB →－CD →＋BD →＝DB →＋BD →＝0．方法三(利用AB →＝OB →－OA →)设O 是平面内任意一点，则(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →)＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0．(2)方法一 OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0．方法二 OA →－OD →＋AD →＝OA →＋AD →－OD →＝OD →－OD →＝0．(3)AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝AB →＋DA →＋BD →＋CB →＋AC →＝(AB →＋BD →)＋(AC →＋CB →)＋DA →＝AD →＋AB →＋DA →＝AD →＋DA →＋AB →＝0＋AB →＝AB →.[归纳提升] 掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识，可以将杂乱的向量运算有序化处理，进行向量的加减运算时，常用的变形如下：(1)运用AB →＝－BA →化减为加.(2)运用AB →＋BA →＝0或AB →＋BC →＝AC →化繁为简. (3)运用AB →＝OB →－OA →转化为共起点的两个向量的差.【对点练习】❷ (1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →.其中正确的是__①④__(填序号). (2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →； ②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).[解析] (1)①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON →＝－(OM →＋ON →)≠MN →；③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →，故填①④.(2)①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →) ＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0．题型三 利用已知向量表示其他向量典例3 如图，在正六边形ABCDEF 中，O 为中心，若OA →＝a ，OE →＝b ，用向量a 、b 表示向量OB →、OC →和OD →.[分析] 观察图形→找已知向量与所求向量的关系→利用法则写出结果[解析] 解法一：在□OAFE 中，OF 为对角线，且OA ，OF ，OE 起点相同，应用平行四边形法则，得OF →＝OA →＋OE →＝a ＋b .∵OC →＝－OF →，∴OC →＝－a －b .而OB →＝－OE →＝－b ，OD →＝－OA →＝－a ， ∴OB →＝－b ，OC →＝－a －b ，OD →＝－a . 解法二：由正六边形的几何性质，得 OD →＝－a ，OB →＝－b ，BC →＝－OA →＝－a .在△OBC 中，OC →＝OB →＋BC →＝－a －b . 解法三：由正六边形的几何性质，得 OB →＝－b ，OD →＝－a .在□OBCD 中，OC →＝OB →＋OD →＝－a －b .[归纳提升] 解此类问题要根据图形的几何性质，运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题.要特别注意向量的方向以及运算式中向量之间的关系.【对点练习】❸ 如图所示，解答下列各题：(1)用a 、d 、e 表示DB →； (2)用b 、c 表示DB →； (3)用a 、b 、e 表示EC →； (4)用c 、d 表示EC →.[解析] (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .易错警示错误使用向量的减法法则典例4 如图，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为r 1，r 2，r 3，求OD →.[错解] 因为OD →＝OC →＋CD →，CD →＝BA →＝OB →－OA →，所以OD →＝OC →＋OB →－OA →＝r 3＋r 2－r 1． [错因分析] 错误地使用了向量的减法法则.[正解] 因为OD →＝OC →＋CD →，CD →＝BA →＝OA →－OB →，所以OD →＝OC →＋OA →－OB →＝r 3＋r 1－r 2． [误区警示] 减法口诀：始点相同，连接终点，箭头指向被减向量.应把始点相同的放在一起计算.必要时，可画出图形，结合图形观察将使问题更为直观.【对点练习】❹ 如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求OD →.[解析] BC →＝OC →－OB →＝c －b ， 又AD →＝BC →，∴AD →＝c －b ， ∴OD →＝OA →＋AD →＝a ＋c －b .。
人教版高中数学必修26.2.2 向量的减法运算 导学案(二)
【新教材】 6.2.2 向量减法运算（人教A版）1、了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.1.数学抽象：相反向量和向量减法的概念；2.逻辑推理：利用已知向量表示未知向量；3.直观想象：向量减法运算；4.数学建模：将向量减法转化为向量加法，使学生理解事物之间是可以相互转化的.重点：向量减法的概念和向量减法的作图法；难点：减法运算时方向的确定.一、预习导入阅读课本11-12页，填写。
1.相反向量（1） “相反向量”的定义：_________________________________________. （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.- 0 = 0. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b =-a ， a + b = 0 2、向量减法（“共起点，后指前”）（1）向量减法的定义：_________________________________________.即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.（2） 作法：在平面内取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， 则BA⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．( )(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )(3)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量． ( ) (4)相反向量是共线向量．( )2．非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( )A ．m ＝nB ．m ＝－nC ．|m |＝|n |D ．方向相反3．化简OP ―→－QP ―→＋PS ―→＋SP ―→的结果等于( ) A ．OP ―→B ．OQ ―→C ．SP ―→D ．SQ ―→4．在平行四边形ABCD 中，向量AB ―→的相反向量为________．题型一 向量的减法运算例1 化简：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)． 跟踪训练一1、化简：(1) OA ―→－OD ―→＋AD ―→； (2) AB ―→＋DA ―→＋BD ―→－BC ―→－CA ―→. 题型二 向量的减法及其几何意义例2 已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d .跟踪训练二1、如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .题型三 用已知向量表示未知向量例3平行四边形中，a，b，用a、b表示向量、.跟踪训练三1、如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB―→＝a，AC―→＝b，AE―→＝c，试用向量a，b，c表示向量CD―→，BC―→，BD―→.1．已知非零向量a与b同向，则a－b()A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()3.如图，向量，则向量可以表示为()A．a＋b－c B．a－b＋cABCD=AB=AD AC DBC ．b －a ＋cD ．b －a －c 4．已知菱形ABCD 边长都是2，求向量的模．5．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中＝b ，＝c ，则等于________．6．设O 是△ABC 内一点，且，若以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示.答案小试牛刀1. (1)√ (2) √ (3) √ (4) √ 2．A . 3．B. 4. BA ―→，CD ―→ 自主探究 例1 【答案】0【解析】法一：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝AB ―→＋DC ―→＋CA ―→＋BD ―→＝AB ―→＋BD ―→＋DC ―→＋CA ―→＝AD ―→＋DA ―→＝0.法二：(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(AB ―→－AC ―→)－CD ―→＋BD ―→＝CB ―→－CD ―→＋BD ―→＝DB ―→＋BD ―→＝0.法三：设O 是平面内任意一点，则(AB ―→－CD ―→)－(AC ―→－BD ―→)＝AB ―→－CD ―→－AC ―→＋BD ―→＝(OB ―→－OA ―→)－(OD ―→－OC ―→)－(OC ―→－OA ―→)＋(OD ―→－OB ―→)＝OB ―→－OA ―→－OD ―→＋OC ―→－OC ―→＋OA ―→＋OD ―→－OB ―→＝0. 跟踪训练一1、【答案】(1) 0. (2) AB ―→.【解析】(1) OA ―→－OD ―→＋AD ―→＝DA ―→＋AD ―→＝0.(2) AB ―→＋DA ―→＋BD ―→－BC ―→－CA ―→＝AB ―→＋DA ―→＋BD ―→＋CB ―→＋AC ―→＝(AB ―→＋BD ―→)＋(AC ―→＋CB ―→)＋DA ―→＝AD ―→＋AB ―→＋DA ―→＝AD ―→＋DA ―→＋AB ―→＝0＋AB ―→＝AB ―→. 例2 【答案】见解析【解析】 在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d， 作， ， 则= a -b ， = c -d跟踪训练二 1、【答案】见解析【解析】法一：如图①所示，在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ， AB ―→＝b ，则OB ―→＝a ＋b ，再作OC ―→＝c ，则CB ―→＝a ＋b －c .OA OB OC OD BA DC BA DC法二：如图②所示，在平面内任取一点O ，作OA ―→＝a ，AB ―→＝b ，则OB ―→＝a ＋b ，再作CB ―→＝c ，连接OC ，则OC ―→＝a ＋b －c .例3【答案】= a + b ， == a -b 【解析】 由平行四边形法则得：= a + b ， = = a -b跟踪训练三1、【答案】CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝b －a ，BD ―→＝b －a ＋c. 【解析】因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ， 故BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝b －a ＋c. 当堂检测1-3.CBC 4. 2 5. b －cAC DB AD AB -AC DB AD AB -6. 【答案】OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +a +b,BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +c,DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c −a −b. 【解析】由题意可知四边形OADB 为平行四边形，又四边形ODHC 为平行四边形，。
【教案】向量的减法运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台，引导学生类比数的运算研究向量的运算.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入概念[问题1]类比实数x的相反数是x-，对于向量a，你能定义“相反向量”a-吗？它有哪些性质？[问题2]你认为向量的减法该怎样定义？教师1：我们知道，数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．我们能否类似地定义向量的减法呢？提出问题1．学生1：学生思考．大小相等，方向相反的向量叫做相反向量.教师2：提出问题2．学生2：学生思考．定义()a b a b-=+-,即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.问题引入：类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则做准备．引导学生类比数的减的减法定义向量的减法．动手实践理解几何意义[问题3] 已知向量a和b，a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不教师3：提出问题3．学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=-b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|＝OC，|a-b|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.通过探究让学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用1.向量减法法则的应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作向量b ＋c －a .2.向量的加减法运算 例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号). (2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →； ②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用 例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.教师9：展示例题2． 学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON→＝－(OM →＋ON →)≠MN →； ③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →， 故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量． 课堂练习1:[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →. DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .掌握作两个向量的差的基本方法． 课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？教师12：提出问题7． 学生13：思考.师生共课堂小结升华认知在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM→－PN→＋MN→所得的结果是()A.MP→B.NP→C.0D.MN→2.在四边形ABCD中，AB→＝DC→，若|AD→－AB→|＝|BC→－BA→|，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定3.OB→－OA→－OC→－CO→＝________.4.若菱形ABCD的边长为2，则|AB→－CB→＋CD→|的长度为______.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.C 2.B 3.AB→4.2同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
向量的减法教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
铜仁外国语学校人教版（2019）数学必修二教案6.2.2向量的减法讲授新课要点探究1：向量的减法运算定义设问：你能根据实数的减法运算定义向量的减法运算吗？解析：根据两个向量和的定义已知错误!未找到引用源。
所以：任意向量与其相反向量的和都是零向量。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
所以，向量的减法可以转为向量的加法来进行。
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
即错误!未找到引用源。
要点探究2：向量减法的作图方法问题五：已知向量，试作出ba与ba-作法()OCODOAbab=+=-+=-a，由向量减法的定义知AB连接(2)bODOB-===，b，aOA设(1)baOC-==BA所以OCAB因为平行四边形(3)由此，我们得到的作图方法。
ba-要点探究3：向量减法的几何意义：根据问题五，思考一下向量减法的几何意义是什么？ba aO-b ba-A意义。
这就是向量减法的几何的终点的向量的终点指向可以表示为从即由图得：abbabBA--=.a设问：非零共线向量怎样做减法运算？1.共线同向2.共线反向知识运用：学生根据环环相扣的问题进行思考，探究平面向量的减法定义和法则。
利用问题探究得出平面向量的减法定义和法则,培养学生探索的精神.,,,a b c d ，求作向量a b -c d -。
acdb作法：在平面内任取一点O ，作,OA a =,OB b =,OC c =,OD d = 则BA a b=-DC c d =-注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。
2、已知平行四边形 ,,,b AD a AB ABCD==。
，分别表示向量用DB AC ,b aaDB求下列向量的差AB AD -=BC BA -=BA BC -=OD OA -=(6)AO BO -=OA OB -=）DB （2）CA （3）AC ）AD （5）AB （6） BA、根据下图，回答下列问题：abBC与 ）与可能是相等向量吗？。