信息安全数学基础试题

一、单项选择题

1、设a, b 都是非零整数。若a |b ，b |a ，则【 】

A.a ＝b

B.a ＝± b

C.a ＝－b

D. a > b

2、设a, b, c 是三个整数，c ≠0且c |a ，c |b ，如果存在整数s, t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】

A.(a, b)= c

B. c ＝1

C.c ＝sa ＋tb

D. c ＝± 1

3、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【

】 A. a p ＝1 (mod p) B. a ϕ (p)＝1 (mod a)

C. a ϕ (p)＝a (mod p)

D. a p ＝a (mod p)

4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【

】 A. 26 B. 36

C. 46

D. 56

5、已知，),(88+z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【

】 A. [1] 是生成元 B.有3阶子群

C. [0] 是单位元

D.有真子群

6、设是环，则下列不正确的是【 】

A. 是可换群

B. 是半群

C. 对+是可分配的

D. +对 是可分配的

7、模30的简化剩余系是【 】

A. －1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29

B. －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29

C. 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

D. －1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

8、设n 是整数，则 (2n, 2(n ＋1))＝【 】

A.1

B.2

C.n

D.2n

9、模17的平方剩余是【 】

A.3

B.10

C.12

D.15

10、整数5模17的指数ord 17(5)＝【 】

A.3

B.8

C.16

D.32

11、下面的集合和运算是群的是【 】

A. （运算“＋”是自然数集N 上的普通加法）

B. （R 是实数集，“×”是普通乘法）

C. （运算“＋”是整数集Z 上的普通加法）

D.

（P （S ）是集合S 的幂集，“∩”为集合的交）

12、一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是【 】

A.18

B.6

C.9

D.0

13、集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。如果( )，则构成一个域。【 】

A. F 对于运算 “＋”和 “ · ”构成环，运算“＋”的单位元是e ，且F\{e}对于 “ · ”构成交换群

B. F 对于运算 “＋”构成交换群，单位元是e ；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群

C. F 对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群

D. F 对于运算“＋”构成交换群，单位元是e ；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群；运算 “＋”和 “ · ”之间满足分配律

14、群是一种代数结构，下列说法错误的是【 】

A.群运算必是封闭的

B.群必有单位元

C.群必是满足消去律的

D.群必是满足交换律的

15、3次对称群S3的元素个数是【 】

A.1

B.3

C.6

D.4

二、填空题

16、)16(ϕ=_______。

17、设 m 是一个正整数, ad ≡bd (mod m)，如果 ，则a ≡b (mod m)。

18、一次同余式：ax ≡ b (mod m)有解的充分必要条件是 。

19、设(F ，+,·)是一个域，则(F-{0}，·)是__________。

20、如果G 是一个含有9个元素的群，那么，G 的真子群的阶只能是___________。

三、计算题

21、令1613,a = 3589b =。用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得(,)sa tb a b +=。

22、计算3模19的指数。

23、计算Legendre 符号

24、已知,,στγ 是}5,4,3,2,1{=S 上的5元置换，且 (134),(235),(254)στγ===， 求 στ，1-σ，τσ，γστ)(。

25、考虑GF(23)上的椭圆曲线E ：)23(mod 132++≡x x y ，令P1=（3,10），P2=

（9,7），计算P1+P2。

四、解同余方程

26、求解一次同余方程1714(mod 21)x ≡。

27、解同余方程组

2(mod3)

3(mod5)

2(mod7) x

x

x

≡

≡

≡

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

五、证明题

28、证明：如果是整数，则能被3整除。

29、证明：模m的全体剩余类集合对于剩余类加法构成m阶循环群。

六、应用题

30、RSA公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择两个大的素数p和q，计算n=pq。选择两个正整数e和d，满足：ed=1(mod()n

ϕ)。Bob的公钥是（n，e），对外公布。Bob的私钥是d，自己私藏。如果攻击者分解n得到p=47，q=23，并且已知e=257，试求出Bob的私钥d。