信息安全数学基础试题

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信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)

信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)装订线装订线三、解同余方程（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1.求解一次同余方程1714(mod21)x 。

2.解同余方程组2(mod3)3(mod5)2(mod7) xxx≡≡≡⎧⎪⎨⎪⎩四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）2.f是群G到G'的一个同态，{}=∈=，其f a a G f a e'ker|,()中e'是G'的单位元。

证明：ker f是G的正规子群。

3. 证明：如果p 和q 是不同的素数，则111(mod )q p p q pq --+=。

五、应用题（共11分）RSA 公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择两个大的素数p 和q ，计算n =pq 。

选择两个正整数e 和d ，满足：ed =1(mod ()n )。

Bob 的公钥是（n ，e ），对外公布。

Bob 的私钥是d ，自己私藏。

如果攻击者分解n 得到p =47，q =23，并且已知e =257，试求出Bob 的私钥d 。

答案一、填空题（每空2分，共24分） 1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为[,](,)ab a b a b =。

2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果|m a b -，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作a ≡(mod )b m 。

3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ϕ=()()m n ϕϕ。

4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。

则使得1(mod )e a m ≡成立的最小正整数e 叫做a 对模m 的指数，记做()m ord a 。

如果a 对模m 的指数是()m ϕ，则a 叫做模m 的原根。

5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件11(mod )n b n -≡，则n 叫做对于基b 的拟素数。

信息安全数学基础(第四章)

4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余
一、奇素数模 p 的平方(非)剩余判别条件
定理4.2.1 (欧拉判别条件) p是奇素数，若(a, p)1, 则
p1
(i) a是模p的平方剩余a 2 1 (modp);
p1
(ii)a是模p的平方非剩余a 2 1 (modp);
且若a是模p的平方剩余,则同余式
x2 a (modp), (a,p)1
ax2
bxc 0
（mod
p1 1
)
有解.
ax2
bxc 0
（mod
pk k
)
因此只需讨论素数模 p 的同余式 :
a x 2 b x c0(m o dp ), a 0(m o dp )(2 )
将同余式 (2)两端同乘以 4a,得 4a2x24abx4ac0(m odp)
41一般二次同余式42模为奇数的平方剩余与平方非剩余43勒让得符号44二次互反律的证明45雅可比符号46模p平方根
4.1 一般二次同余式
二次同余式的一般形式是 a x 2 b x c0(m o d m )， a 0(m o d m )(1 )
设m=
p1 1
p2 2
pk k
,
则(1)有解
练习：在与模31互素的剩余中，指出平方剩余。求出 1 9 ， 2 3 的平方剩余和平方非剩余。
提示： p 为奇素数，应用定理 4 . 2 . 2 的结论 .
4.3 勒让得符号
定义4.3.1
设p是素数,勒让得符号
ap定义如下:
1, 若a是模p 的平方剩余;

信息安全数学基础参考试卷

《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。

(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。

(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。

3．模10的一个简化剩余系是( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是( )。

(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。

5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。

(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。

信息安全数学基础参考试卷

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试XXXX 级《信息安全数学基础》试卷A1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷；不许使用计算器；选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下)：（每题2分，共10分）1．设 m 是大于 1 的整数, a 是满足(a , m )＝1 的整数,则 ( )。

(1) a m ≡a (mod ϕ (m ))， (2) a ϕ (m )≡a (mod m )， (3) a m ≡1 (mod ϕ (m ))， (4) a ϕ (m )≡1 (mod m )。

2．设m 是一个正整数，a , b 是整数，下面正确的是( )。

(1) 若ad ≡bd (mod m )，则 a ≡b (mod m )； (2) 若a ≡b (mod m ) , 则 ak ≡bk (mod mk )；(3) 若a ≡ b (mod m )，正整数 d | (a , b , m )，则mod()a b m d d d≡； (4) a ≡b (mod m )，如果m | d ，则 a ≡b (mod d )。

3．整数kn 和k (n +2)的最大公因数(kn , k (n +2))=( )。

(1) 1或2， (2) | kn |， (3) | n | 或 | kn |， (4) | k | 或2| k | 。

4．设 a ＝23×32×54×116 ，b ＝22×36×74×113，使得a' | a ，b' | b ，a' ×b'＝[a ，b ]，a'，b' )＝1 的a'，b' 分别为( )。

(1) 54 ×116 ，22×36×74， (2) 23×54 ，36×74×113， (3) 23×54 ×116 ，36×74， (4) 23×54 ×116 ，36×74×1135．集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。

信息安全数学基础(许春香)习题答案

第一章（1）5,4,1,5.（2）100=22*52, 3288=23*3*137.（4）多种解法，其中一种：a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.（5）多种解法，其中一种：由算术基本定理：a,b可分解为有限个素数的乘积，得：a=p1^r1*p2^r2*……*pn^rn, b= p1^r1’*p2^r2’*……*pn^rn’,若a|b不成立，则存在素数pi使得pi在a中的幂ri大于pi在b中的幂ri‘，即：ri>ri’a^n=p1^r1n*p2^r2n*…*pi^rin*…*pn^rnn, b^n= p1^r1’n*p2^r2’n*…* pi^ri’n *…*pn^rn’n,则ri*n>ri’*n，所以a^n|b^n不成立。

（6）多种解法，其中一种：由于a,b,c互素且非零所以(a,b)=1,(b,c)=1所以存在u,v,r,s使ua+vc=1，rb+sc=1两式相乘得：(ur)ab+(usa+vrb+vsc)c=1所以(ab,c)=(a,b)(a,c)=1（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12）多种解法，其中一种：70！=(70*69*68*67*66*65*64*63*62)*61!70*69*68*67*66*65*64*63*62≡(-1)(-2)…(-9) (mod71) ≡1mod71所以70！≡61!（13）多种解法，其中一种：当n是奇数时，不妨设n=2k+1,k为整数则2^n+1≡(-1)^(2k+1)+1≡0(mod3)当n是偶数时，不妨设n=2k,k为整数则2^n+1≡(-1)^(2k)+1≡2(mod3)综上，n是奇数时，3整除2^n+1，n是偶数时，3不整除2^n+1（14）第一个问题：因为(c,m)=d.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r 所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i*m i，a-b是任意m i的倍数，所以a-b是m i公倍数，所以[m i]|a-b.（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能常见问题：1.写出构成群和不构成群的原因13.证明ab-1∈A∩B即可14.用群的定义证明(题意是证明映射后的集合为一个群)第二章1.判断方法：分别验证1.对运算是否封闭,2.对任意的a, b, c是否满足结合律,3.对任意a是否存在单位元,4.对任意a是否存在逆元. 可以得出在(1)-(10)中(2),(3),(6), (7) (10)构成群(1)不满足结合律，不存在逆元, (4)不存在单位元(5)不满足结合律(8)不构成，不存在逆元(9)不构成，不存在逆元2. a-b-c≠a-(b-c)，所以不构成，不满足结合律5．证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.6．证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.7．证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a 的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b 有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.8．证明：方程xaxba=xbc两边同时左乘a-1x-1,右乘a-1b-1有a-1x-1xaxbaa-1b-1=a-1x-1xbc a-1b-1，化简得x=a-1bc a-1b-1，可知方程有解。

信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)

信息安全数学基础期末考试试卷及答案( A 卷)一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共24分)1.两个整数a，b，其最大公因数和最小公倍数的关系为。

2.给定一个正整数m，两个整数a,b 叫做模m 同余，如果________ ，记作a b(mod m) ；否则，叫做模m 不同余，记作 _________ 。

3.设m，n 是互素的两个正整数，则(mn) ____________________________________________ 。

e4.设m 1是整数，a 是与m互素的正整数。

则使得a e 1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的指数，记做。

如果a 对模m的指数是(m)，则a 叫做模m 的__________ 。

5.设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件__________________ ，则n 叫做对于基b 的拟素数。

6.设G,G 是两个群，f 是G 到G 的一个映射。

如果对任意的a,b G ，都有 _______________ ，那么f 叫做G 到G 的一个同态。

7.加群Z 的每个子群H 都是______________ 群，并且有H 0 或H ___________________ 。

8.我们称交换环R为一个域，如果R对于加法构成一个群，R* R\{0}对于乘法构成一个 _____ 群。

二、计算题 (本大题共3小题，每小题8分，共24分)1. 令a 1613, b 3589 。

用广义欧几里德算法求整数s,t ，使得sa t b ( ,a )。

b22. 求同余方程x2 2(mod 67) 的解数。

3. 计算3 模19 的指数ord19(3) 。

三、解同余方程 (本大题共2小题，每小题10分，共20分)1. 求解一次同余方程17x 14(mod 21) 。

x 2(mod 3)2. 解同余方程组x 3(mod 5)x 2(mod 7)四、证明题（本大题共3小题，每小题7分，共211. 证明：如果a是整数，则a3 a 能够被6整除。

信息安全数学基础试卷一

《信息安全数学基础》试卷一一、判断题（本题满分10分，共含10道小题，每小题1分，认为命题正确的请在答题表里填写“√”，认为命题错误的请在答题表里填写“×”）1、任何一个交换群必定是循环群。

2、若4mod b a ≡，则有8mod b a ≡。

3、若无向图中的每一对顶点之间都有链，则此无向图为树。

4、存在一个无向图G ，G 既是哈密顿图，又是欧拉图。

5、若G H ≤1，G H ≤2，则G H H ≤⋂21。

6、同余方程有解。

7、模n 的缩系中共有)1(-n ϕ个元素。

8、),,⨯+Z （是一个域。

9、对于奇素数p 而言，模p 的两个二次剩余之积为二次剩余，两个二次非剩余之积为二次剩余。

10、对称群3S 有4阶子群。

二、计算题（本题满分15分）1、设T 是一棵无向树且有3个次数是3的点,2个次数是2的点,其余均为次数是1的点，求出该树一共有多少个点？（本小题5分）2、使用扩展的Euclid 算法求解(a,b)及整数s ，t,使得sa+tb=(a,b),其中a=135,b=97。

（本小题10分）三、解答题（本题满分45分）1、利用整数的惟一分解定理求出(45，100)和[45，100]。

（本小题6分）2、写出模7的缩同余类集合，列出其乘法运算表，并求出此集合中所有非零元素关于乘法的逆元。

（本小题15分）3、判断下列二次同余方程是否有解，并给出判断依据。

（本小题15分）（1）（2）)137(mod 62=x )365(mod 12-=x (mod )k x a n ≡⇔(,())|g k n ind a ϕ4、有向图如图1所示，写出其对应的邻接矩阵、关联矩阵，并判断此图是否为连通图，给出判断依据。

（本小题9分）图1四、求解下列同余方程或同余方程组（本题满分15分）1、)15(mod 93≡x （本小题5分）2、⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡9mod 711mod 57mod 2x x x （本小题10分）五、证明题（本题满分15分）1、证明：若n b a mod ≡，n d c mod ≡，则有n d b c a mod +≡+。

信息安全数学考题

一、简答类1、!n ＝ ()n n Θ成立吗？证明你的答案。

解：当n →∞时，， !lim 0n n n n→∞=，故为()n O n ，但不是()n n Ω或()nn Θ 2、log n ⎢⎥⎣⎦！是(),()O n n Ω和()n Θ的吗？证明你的答案。

解：令122kk n +≤<，则当n →∞时，k →∞，而1log !!lim lim2n k k n k n →∞→∞+⎢⎥⎣⎦>=∞，故为()n Ω3、已知操作S 的执行时间为常数时间，请写出以下各段代码中S 的执行频度及其复杂性。

for (int i=0; i<n; i++) for (int j=i; j<n; j++) S(i, j); 解：T(n) = n(n+1)/2 = O(n 2)二、简单分析解题类 1、二分搜索问题设[0:1]a n -是已排好序的数组。

请改写二分搜索算法，使得当搜索元素x 不在数字中时，返回小于x 的最大元素位置i 和大于x 的最小位置j 。

当搜索元素在数字中时，i 和j 相同，均为x 在数组中的位置。

int left = 0; int right = n-1;int middle = (left+right)/2;while (left<=right) and a[middle]<>x) { i f (x>a[middle]) left = middle+1; else right=middle – 1; middle = (left+right)/2; }if (left <= right) then{ ind[0]=ind[1]=middle;} else{ind[0] = right; ind[1]=left; } --返回ind时间复杂性()(log )T n O n =2、整数划分问题将正整数n 表示成一系列正整数之和，12k n n n n =+++ ，其中12k n n n ≥≥≥ ，1k ≥。

信息安全数学基础习题集一

信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数= .3、设，则模的最小非负简化剩余系 { }.4、设，则模的所有平方剩余= .5、设，则模的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。

7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。

8. 设 m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。

9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余.10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”）1、若是任意正整数, 则. （）2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（）3、设是正整数, 若, 则或. （）4、设为正整数, 为整数, , 且, 则. （）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （）7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）8、一次同余方程有解. （）9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍.（）10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系. （）11. , 则. （）12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （）13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。

则a≡b(mod m)。

（）14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （）15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （）16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条件是: . （）17. 3是模7的原根。

信息安全数学基础习题集一

7．集体访谈也叫_会议访谈（法___．实际上是个别访谈的一种扩一、填空题展形式。

社会调查研究分析和研究社会对人口的影响，主要是看社会的11.8 多组___实验设计，一般是各设置两个实验组和对照组，通过诸多方面对--人口的构成和人口过程--的影响。

对各组检测结果的交叉比较，得出实验结论。

、--- 社会调查研究准备阶段包括三方面工作：即---确定课题12.9．定量分析是最复杂的资料分析。

它按照性质可以分为两大类，设计调查方案与具体准备。

一类是一_描述性分析_；另一类是推论性分析。

的效度，第__13.测量的效度包括两方面内容：第一，_测量方法10．修改调查报告须经过检查和修改两个阶段。

常用检查法有 -- 二，测量结果的效度。

诵读法- 、冷却法和请教法。

--去估计参数值时所出现的误差。

抽样误差是用---统计值14.1．我国在革命和建设的过程中，长期使用着一种通过个别说明一两种分定性和定量__文献分析的正确途径和发展方向应当是15.__般的调查方式，并赋予它特殊称谓，即 -典型调查。

析方法的结合。

2．社会调查研究课题的产生必须根据理论和实际的需要以及 --非结构16.访谈法按照操作方式和内容可以分为结构式访谈和 --可行性----而定。

两种。

式访谈-3．只反映质的区别，而不反映量的差异的变量是_离散变量___。

和直-- ．在条件许可的情况下，应该尽可能采取一17-电话问卷4．可信且---有效----- 的测量是优秀的测量，是社会调查研究接送发问卷的方式进行调查，以保证问卷的回复率。

所追求的境界。

观察，适用于定性类型的调查18非结构式-．实地观察多数是一--5．在条件许可的情况下，应可能采取电话问卷、--直接送发--- 研究。

问卷的方式进行调查。

．实验调查能否成功，在很大程度上取决于能否有效地控制实196．-定的提问方法与一定的 ---行为方式---- 是控制访谈的两个 ---二是对验过程。

它包括两个方面：一是对引入自变量的控制，重要因素。

信息安全数学基础参考试卷.doc

《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值(576) ＝()。

(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。

(1) 1或2，(2) kn ，(3) n 或kn ，(4) k 或2 k。

3．模10的一个简化剩余系是( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是( )。

(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。

5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4) m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡30（mod 198）的解数是( )。

(1) 0，(2) 6，(3) 9，(4) 18。

信息安全数学基础试题

信息安全数学基础试题1. 题目：对称加密与非对称加密的区别是什么？请举例说明。

对称加密和非对称加密是信息安全中常用的两种加密方式，它们的区别主要体现在密钥的管理和使用方式上。

（1）对称加密：对称加密也被称为共享密钥加密。

它使用相同的密钥进行加密和解密操作。

加密和解密过程都使用相同的密钥，因此速度较快，但密钥的管理相对困难。

举例：最常见的对称加密算法是DES（数据加密标准）。

例如，Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，她需要事先与Bob共享DES密钥。

当Alice加密文件时，她使用这个密钥对文件进行加密，然后将加密后的文件发送给Bob。

Bob接收到文件后，使用相同的密钥进行解密操作，以获取原始文件。

（2）非对称加密：非对称加密也被称为公钥加密。

它使用一对密钥，其中一个是公钥，另一个是私钥。

公钥用于加密操作，私钥用于解密操作。

非对称加密相对安全，但速度较慢。

举例：非对称加密算法中最常见的是RSA算法。

假设Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，Bob首先生成一对密钥（公钥和私钥）。

Bob将公钥发送给Alice，而私钥则保留在自己手中。

Alice使用Bob的公钥对文件进行加密后，将加密后的文件发送给Bob。

Bob收到文件后，使用自己的私钥进行解密操作，以获取原始文件。

2. 题目：什么是哈希函数？请简要介绍哈希函数的概念和应用。

哈希函数是一种将输入转换为固定长度输出的函数。

它将任意长度的输入数据映射到固定长度的哈希值，并具有以下特点：（1）唯一性：不同的输入数据会产生不同的哈希值。

（2）定长输出：无论输入数据的长度是多少，哈希函数始终输出固定长度的哈希值。

（3）不可逆性：从哈希值无法还原得到原始的输入数据。

（4）散列性：输入数据发生轻微改变，哈希值会发生巨大变化。

应用领域：（1）数据完整性验证：哈希函数可以用于验证数据的完整性，通过比对哈希值判断数据是否被篡改。

（2）数字签名：哈希函数与非对称加密算法结合使用，利用私钥对数据的哈希值进行签名，保证签名的真实性和完整性。

信息安全数学基础考试复习题

信息安全数学基础考试复习题第一章27 证明:如果整数a,b,c是互素且非零的整数，那么(ab,c)=(a,b)(a,c)证明:由题(a,b)=1=(a,c), 因为a,b,c 互素，所以(ab,1)=1, 所以(ab,c)=(a,b)(a,c)28 求最大公约数1)(55,85) (解:85=55*1+30 55=30*1+25 25=5*5 所以(55,85)=5(2)(202,282)解:282=202*1+80 202=80*2+42 80=42*1+38 42+38*1+4 38=4*9+2 4=2*2 所以(202,282)=2 29 求最大公因数(1)(2t-1,2t+1)解:2t+1=(2t-1)*1+2 2t-1=2*(t-1)+1 t-1=(t-1)*1 所以(2t-1,2t+1)=1(2)(2n，2(n+1))解: 2(n+1)=2n*1+2 2n=2*n 所以(2n，2(n+1))=232 运用广义欧几里得除法求整数s，t使得sa+tb=(a,b)(1) 1613,35893589=1613*2+363 1613=363*4+161 363=161*2+41 161=41*3+38 41=38*+338=3*12+2 3=2*1+12=1*1+1所以(1613,3589)=11=3-1*2=3-1*(38-3*12)=14*4-14*(161-3*41)= - 14*161+55*(363 -2*161)=55*363+(-124)*(1613 - 4*363)=(-124)*1613+551*(3589 – 2*1613)=551*3589+(-1226)*1613所以S=-1226 t=551(2) 2947,377250 求最小公倍数(1)8,60(3)49,77解:77=49*1+28 49=28*1+21 28=21*1+7 21=7*3 所以(49，77)=7所以[49,77]=49*77/7=53951 求最大公因数与最小公倍数 23577532(1)2357,2357235775322332235775327557解:所以(2357,2357)=2357 [2357,2357]=2357 3713(2)2511，2*3*5*7*11*13 3713解:(2511，2*3*5*7*11*13)=2*5*7 3713373 [2511，2*3*5*7*11*13]=2*3*5*7*11*1360 求7x+4y=100的整数解解:因为 (7,4)|100 所以该方程有解当x=4，y=18时，7x+4y=100成立所以方程的整数解为 X=4-4t t=0,+1,+ -2,……y=18+7t第二章 200805096 2008年5月9日是星期五，问第2天是星期几,228 设p是素数，证明:如果a?b(mod p) 则p|a-b或p|a+b10 设整数a,b,c(c>0),满足a?b(mod c),求证:(a,c)=(b,c)4720032(mod 47)，2(mod 47) 16 计算2(mod 47)，2解:1)设m=47，b=2，令a=1，将32写成二进制 32=25，a0=a=1 b1=b2?4(mod 47) n0=0n1=0，a1=a0=1 b2=b12?16(mod 47)n2=0，a2=a1=1 b3=b22?21(mod 47)n3=0，a3=a2=1 b4=b32?18(mod 47)n4=0，a4=a3=1 b5=b42?42(mod 47)n5=1，a5=a4*b5?42(mod 47)2)由费马小定理得247?2(mod 47)3)2200=24*47+12(mod 47)=216(mod 47)=18(mod 47)22 运用wilson定理，求8*9*10*11*12*13(mod 7)100000024 计算 3(mod 7) 610000006*166666+44解:因为3?1 mod 7 所以3=3(mod 7)?3(mod 7)?4(mod 7) q - 1p - 135 证明:如果p和q是不同的素数，则p+q?1(mod pq)Ψ(n)Ψ(m)36 证明:如果m和n是互素的整数，则m+n?1(mod mn)第三章求求出下列一次同余方程的所有解 1(1)3x?2(mod 7)(2)6x?3(mod 9)解:因为(6,9)=313 所以原同余式有解同余式6x?3(mod 9)的一个特解x?2(mod 9)所以所有解为x?2+3t(mod 9) t=0,1,2 0即x?2,5,8(mod 9)8 求11的倍数，使得该数被2,3,5,7除的余数为1解:由题意得:x?1 mod 2 x?1 mod 3 x?1 mod 5 x?1 mod 7 x=11k?M=2*3*5*7=210 M=3*5*7=105 M’M?1mod 2 ?M’=1 1111M=2*5*7=70 M’M?1mod 3 ?M’=1 2222M=2*3*7=42 M’M?1mod 5 ?M’=1 3333M=2*3*5=30 M’M?1mod 7 ?M’=4 4444X=105*1*1+70*1*1+42*3*1+3*4*1(mod 210)?1?由??得x=2101……解非唯一第四章10 计算下列勒让德符号1)(17/37) 2)(151/373) 3)(191/397) 4)(911/2003)16 判断下列同余方程是否有解 21) x?7(mod 227)25 求所有素数p使得与5为模p的二次剩余 2 解:由题意得:x?5(mod p) (5-1)(p-1)/(2*2)p-1 因为5/p=(-1)*(p/5)=(-1)(p/5)所以当p=2时，(5/2)=(1/2)=1 即p=2成立当p=3时，(5/3)=(2/3)= - 1,即p=3不成立所以p=2.连分数连分数定理使用Shanks小步大步法计算离散对数2是F的一个本原元，在F中求log3 1011012解:m=[]=10(mod 101)j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9yj 1 2 4 8 16 32 64 27 54 7 y=3穷搜:i 0 1 2 3 4 5 6 ……-pi y*23 94 50 18 59 98 7 ……-10*6 969 所以y*2?2?3=2?log3=69 2。

(完整word版)信息安全数学基础试题

一、单项选择题1、设a, b 都是非零整数。

若a |b ，b |a ，则【】A.a ＝bB.a ＝± bC.a ＝－bD. a > b2、设a, b, c 是三个整数，c ≠0且c |a ，c |b ，如果存在整数s, t, 使得sa ＋tb ＝1，则【】A.(a, b)= cB. c ＝1C.c ＝sa ＋tbD. c ＝± 13、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【】 A. a p ＝1 (mod p) B. a ϕ (p)＝1 (mod a)C. a ϕ (p)＝a (mod p)D. a p ＝a (mod p)4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【】 A. 26 B. 36C. 46D. 565、已知，),(88+z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【】 A. [1] 是生成元 B.有3阶子群C. [0] 是单位元D.有真子群6、设<R,+,ο>是环，则下列不正确的是【】A. <F,+ >是可换群B. <F ，ο>是半群C. ο对+是可分配的D. +对ο是可分配的7、模30的简化剩余系是【】A. －1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29B. －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29C. 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29D. －1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 298、设n 是整数，则 (2n, 2(n ＋1))＝【】A.1B.2C.nD.2n9、模17的平方剩余是【】A.3B.10C.12D.1510、整数5模17的指数ord 17(5)＝【】A.3B.8C.16D.3211、下面的集合和运算是群的是【】A.<N ，＋> （运算“＋”是自然数集N 上的普通加法）B.<R ，×> （R 是实数集，“×”是普通乘法）C.<Z ，＋> （运算“＋”是整数集Z 上的普通加法）D. <P （S ），∩> （P （S ）是集合S 的幂集，“∩”为集合的交）12、一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是【】A.18B.6C.9D.013、集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。

信息安全数学基础A

广东金融学院2011/2012学年第一学期考试试题A 卷课程名称：信息安全数学基础课程代码： 16140042 考试方式：闭卷考试时间： 120 分钟系别____________ 班级__________ 学号___________ 姓名___________一、填空题（本题共5小题，每题2分，共10分）1、如果a 对模m 的指数是，则a 叫做模m 的原根。

2、3288的素因数分解式是。

3、=⎪⎭⎫ ⎝⎛257163 。

4、2006年1月18日是星期三，第220060118天是星期。

5、7222的个位数是。

二、选择题：（本题共5小题，每题2分，共10分）1、大于20且小于70的素数有 ( ) 个。

A 9，B 10，C 11，D 15 。

2、模17的平方剩余是 ( )。

A 3，B 10，C 12，D 153、整数5模17的指数ord 17(5)＝( )。

A 16，B 8，C 3，D 324、设a , b 都是非零整数。

若a |b ，b |a ，则 ( )。

A a ＝b ，B a ＝± b ，C a ＝－b ，D a > b 5、模30的简化剩余系是 ( )。

A －1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29，B －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29，C 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29，D －1, 7, 11, 15, 17, 19, 23, 29三、证明题（写出详细证明过程：本题共4小题，共36分）1、（1）12-n 和12+n （n>2且Z n ∈），证明其中必有一个是合数。

（6分）（2）若2|n ，5|n ，7|n ，那么70|n 。

（6分）2、证明：如果p 是奇素数，那么)(m od )1()2()4(312/)1(2222p p p p +-≡-- ；（8分）3、证明：设p 和q 是两个不相等的素数，证明：111(mod )q p p q pq --+=。

信息安全数学基础习题答案

3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。

4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。

6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。

因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547 所以547为素数。

由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。