数学八年级上资料

第一讲平方根、立方根一、基本概念平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．也就是说，若2x a=，则x 就叫做a的平方根．一个非负数a的平方根可用符号表示为“a±”．算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根，可用符号表示为“a”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a≥，则0a≥.平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．平方根与算术平方根的区别及联系：区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.（3）表示方法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数. 联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。

（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有。

（3）0的平方根、算术平方根均为0. 通过验算我们可以知道：⑴当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． ⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： ①若0a ≥，则2()a a=；②不管a 为何值，总有2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也介于1a 、2a 之间，即：120a a a ≤<<利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围． 立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根，一个数a 的立方根可用符号表“3a”，其中“3”叫做根指数，不能省略.前面学习的“a”其实省略了根指数“2”，即：2a也可以表示为a.3a读作“三次根号a ”，2a读作“二次根号a ”，a读作“根号a ”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0. 立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．通过归纳我们可以知道：⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． ⑵33a a=，33()a a=⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<，它的立方根也介于31a 和32a 之间，即33312a a a <<利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．二、知识归纳1、由算术平方根的定义得到：一个非负数a 的算术平方根可记作，它是非负数，就是说，当有意义时，它一定表示一个非负数，故具有双重非负性：①a≥0；②≥0. 2、是算术平方根的专有记号，它有两重意义：①表示求根号内的非负数的算术平方根，是运算符号；②求a 的算术平方根，其思维方式与乘方是逆向的，即要这样想，什么非负数的平方等于a.3、求一个数的平方根，实质上是已知指数和幂，求底数.这种求底数的运算是乘方运算的一种逆运算. 练习题：1、判断下列各题，并说明理由 ⑴81的平方根是9±．( ) ⑵a一定是正数．( ) ⑶2a 的算术平方根是a ． ( ) ⑷若2()5a -=，则5a =-. ( )⑸93=±.( ) ⑹6-是2(6)-的平方根． ( ) ⑺2(6)-的平方根是6-． ( ) ⑻若236x =，则366x =±=±.( )⑼若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( )⑽如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． ( ) ⑾算术平方根一定是正数． ( ) ⑿2a -没有算术平方根． ( ) ⒀64的立方根是4±．( ) ⒁12-是16-的立方根．( )⒂33x x=．( ) ⒃互为相反数的两个数的立方根互为相反数．( )⒄正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根． ( ) 2、填空： ⑴若22(2)a =-，则a=；若22()(3)x -=-，则x = .⑵若22x +=，则(25)x +的平方根是 ；若25x =，则x = .⑶若21a a=-，则a ；若20a a +=，则a.⑷当0m<，2m 的算术平方根是 .⑸2()a b -算术平方根是a b -，则ab.⑹若一个自然数的一个平方根是m ，那么比它大1的自然数的平方根是 . ⑺平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 . 3、求下列各式的值：4、(1)已知某正数的两个平方根是35a -与1a+，求这个正数．(2)已知35a -与1a+是某正数的平方根，求这个正数．5、（1）已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的平方根．（2）已知3x a -=，2y b =(0y <)，且2(4)8a b -=(4ba>)，33()18a b +=，求xy 的值.6、243a b x a -+=+是3a +的算术平方根，323b a y b -+=-是3b -的立方根，求y x -的立方根. 7、4322232b a a =-+-+，求11ab+的平方根.思考题：若a ，b ，c 为两两不等的有理数，求证：222111()()()a b b c c a ++---为有理数.第二讲 二次根式【知识要点】二次根式的概念：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式．二次根式的基本性质：⑴0a ≥（0a ≥）双重非负性；⑵2()a a =（0a ≥）；⑶2 (0) (0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩二次根式比较大小的一般方法：（1）作差法（2）平方法（3）近似值法（4）做商法【经典例题】一 二次根式的概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x ＞0)、、、、、(x ≥0，y ≥0)．2、当x 是多少时，在实数范围内有意义？3、x 取何值时，下列各式有意义：⑴2x -⑵12x - ⑶23x x --⑷213x x ++-⑸11x-⑹x二 非负数性质的综合应用4、已知x ，y 为实数，且2()x y -与5316x y --互为相反数，求22x y +的值．5、23222x y z z -++=-+-在实数范围成立，那么xyz 的值是多少？三 、化简6、计算：(1) (2) (3)(4)(5)(b ≥0) (6)7、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简2()()||a ab a b a b -+--.a 0 b8、已知01x <<，化简2212x x-+=______________．四 二次根式比较大小 1、试比较26+与37+2、比较大小（1）13+—与15+—（2）53与102（3）1311—与1410—（4）π—21与71—3、比较大小：52--与23--4、设10a =，71b =+，32c =+，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D. b a c >>第三讲 二次根式的运算【知识要点】最简二次根式：二次根式a （0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则：a b ab ⋅=（0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则：a a bb =（0a ≥，0b >）利用这两个法则时注意a 、b 的取值范围，对于ab a b =⋅，a 、b 都非负，否则不成立， 如(7)(5)(7)(5)-⋅-≠-⋅- 【例题】一、最简二次根式1、下列二次根式中，最简二次根式的个数是（ ）．16x-，22a b +，22ab ，0.5ab ,3a ，4b ,24x ，244x x -+．A.1个B.2个C.3个D.4个 2、下列各式正确的是（ ）A ．222010bb aa=B ．11xx= C ．21b b aa=D ．11428a aa=3、化简下列各式（字母均取正数）：⑴120；⑵2325m n ；⑶34281；⑷232536a b；⑸32918(2)x x x -≥．4、若0abc <，且a b c >>，化简432a b c5、化简： 21a a a+-二.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+．同类二次根式才可加减合并． 6、若最简二次根式35a -与3a +是可以合并的二次根式，则____a =。

7、判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：⑴3322x y x yz 和 ⑵22b a a b和⑶27348x xy y和⑷2332455a b a b 和8、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）1275；48；20-；11252；1y xx；x yy．三、实数运算 9、计算(1)5312-⨯； (2)236⨯； (3)(5+1)2； (4))12)(12(-+.10、计算 (1)188+； (2)24812+； (3)5145203--；(4)325092-+； (5).32236--11、化简 （1）233212-+-+-（2）()()7-32732+12、计算：1148275278--+13、333y x x yx y xy xy+-+14、计算：113185043252⎛⎫+-÷ ⎪⎪⎝⎭。

四、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化． 互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b +与a b -互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．15、把下列各式分母有理化：⑴233-⑵43225-⑶(2332)(3223)+÷- ⑷111355773---+-17、化简：2235=+-（ ）A ．26106+-B ．26106++C ．36106++ D ．不同于A C 的答案第四讲 一次函数图象与性质函数：一、函数与变量 常量与变量的概念：我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积S 与圆的半径r 存在相应的关系：2πSr=，这里π表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S 随着r 的变化而变化，r 是自变量，S 是因变量；◆ “y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数．◆ 判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y 的取值可以相同． 例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．◆ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．数学上表示函数关系的方法通常有三种：⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t=，2SRπ=．⑵列表法：通过列表表示函数的方法．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．关于函数的关系式(即解析式)的理解：● 函数关系式是等式． 例如4y x =就是一个函数关系式．●函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：24y x x=-+是自变量，y是x的函数．●函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x=-+是表示y是x的函数，若写成13yx-=就表示x是y的函数．●求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如1y x=-中，自变量x受到开平方运算的限制，有10x-≥即1x≥；当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s与时间t的关系式为80s t=；这里t的实际意义影响t的取值范围t应该为非负数，即0t≥．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．⑵分母中含有自变量：分母不为0．⑶实际问题：符合实际意义．函数图象：函数的图象是由平面直角坐标系中的一系列点组成的．描点法画函数图象的步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线．函数解析式与函数图象的关系：⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．习题讲解：一、函数及其自变量取值范围1、判断下列式子中y是否是x的函数．⑴22(35)y x =- ⑵315y x=⑶12y x=- ⑷8y x=-2、⑴下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）.3、求下列函数自变量的取值范围（1）25y x =- （2）52x yx -=-4、⑴函数21y x =-中自变量x 的取值范围是（ ）A ．12x -≥B ．12x ≥C ．12x ≤-D ．12x ≤5、根据你的理解写出下列y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围.⑴ 某人骑车以6/ms是速度匀速运动的路程y 与时间x ，解析式： ，定义域： ；⑵ 正方形的面积y 与边长x ，解析式： ，定义域： ； ⑶ 等腰三角形的底角的度数y 与顶角的度数x ，解析式： ，定义域： ；一次函数：一、一次函数的概念一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k=时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象yxDyxA y xC yOBx⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．三、一次函数的性质一次 函数()0k kx b k =+≠k，b符号k > 0k < 0b >b <b =b >b <b =图象Ox y yx OOx yyx OOx yyxO性质 y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小1．一次函数图象的位置在一次函数y kx b =+中： ⑴当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k<时，其图象一定经过二、四象限．⑵当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号． 2．一次函数图象的增减性在一次函数y kx b =+中：⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大；⑵当0k<时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．习题精讲一、 一次函数的概念 1、已知函数1(2)k yk x-=- （k 为常数）是正比例函数，则k=．2、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？⑴15x y +=-⑵5x y =-⑶21y x =--⑷35x y=-- ⑸()()212yx x x =---⑹21x y -=3、出租车收费按路程计算，3km 内（包括3km ）收费8元;超过3km 每增加1km 加收１元，则路程3x ≥km 时，车费y（元）与x（km ）之间的函数关系式是________________．4、函数已知28(3)1m y m x -=-+，当m 为何值时，y 是x 的一次函数？5、已知y 是z 的正比例函数，z 是x 的一次函数．求证：y 是x 的一次函数．三、一次函数的图象及性质6、一次函数(0)y kx b k =+≠的图像是 ； 当0k >，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k >，0b <时，直线y kx b =+过 象限； 当0k <，0b >时，直线y kx b =+过 象限； 当0k<，0b <时，直线y kx b =+过 象限．(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y轴的交点分别为 、 ；其中 、 分别叫做该一次函数在x 轴、y 轴上的截距． 7、如图，一次函数1yax a=+的图象大致是（ ）AB C D8、下列图形中，表示一次函数y m x n =+与正比例函数y m nx =（m 、n 为常数且0mn ≠）的图像是下图中的（ ）xyOxyO x yOO yxA B C D9、函数y ax b =+①和y bx a =+②（0ab ≠）在同一坐标系中的图像可能是（ ）10、一次函数(2)3y k x k =-+-的图象能否不经过第三象限?为什么?三、一次函数图象的几何变换 上加下减 左加右减1、一次函数23y x =-的图象可以看成由正比例函数2y x =的图象向 （填“上”和A ．B ．C ．D ．②②②②①①①①Ox yO xyOx yyx OyxO y x O y x O O x y“下”）平移个单位得到的．2、直线2(2)=-可以由直线2y x=向平移个单位得到的．y x3、直线22=+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式y x是．4、将直线2=向右平移2个单位所得的直线的解析式是．y x5、直线22=+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式y x是．6、把函数2=的图像向右平行移动3个单位，求：y x⑴平移后得到的直线解析式；⑵平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标．四、含绝对值的一次函数学会画图象，将X轴下方的图象“翻上去”1、作函数31=-+-的图象，并根据图象求出函数的最小值．y x x2、当k的取值范围为_______时，关于x的方程2252-+=+-+至少有2个解．x k x xA．3k>B．37k≤<<<D．37kk≤≤C．37第五讲一次函数的应用一、与一次函数有关的图象信息题这部分的习题涉及到分段函数，重在分析题目的全过程，理解各个分段函数的意义，看清坐标轴所表示的变量的意义【例1】 小红的爷爷饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的街心花园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家里． 图中表示小红爷爷离家的时间与外出的距离之间的关系是 （ ）Ox y 2040(分)(米)900Ox y 2040(分)(米)900Ox y 2040(分)(米)900900(米)(分)4020y x OAB CD【例2】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）A ．12分钟B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟二、与一次函数有关的应用题这部分的重点在于根据题目中的条件列出函数关系式，可以与方程应用题联系到一起1．行程问题【例3】 汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．现甲、乙两车在一个弯道上相向而行，在相距16米的地方发现情况不对，同时刹车，根据有关资料，甲、乙两车刹车距离S （米）与车速v （千米/时）之间与如图所示．若甲、乙两车的速度都是60千米/时，两车是否相撞？说说你的理由．时间（分钟）路程（千米）单位家01283421甲车ySO305乙车ySO8010【例4】 2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．⑴哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ ⑵在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？2．方案决策问题【例5】 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A B ，两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：A 型价格（万元/台） 12 10 处理污水量（吨/月） 240 200 年消耗费（万元/台）11经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．⑴求购买设备的资金y 万元与购买A 型x 台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；⑵若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；⑶在第⑵问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，160时间/时路程/千米2.521.510.53010203540CBA10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）【例6】抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A B，两仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨．从甲、乙两库到A B，两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）路程（千米)运费（元/吨·千米）甲库乙库甲库乙库A库20151212B库2520108⑴若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A B，两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系⑵当甲、乙两库各运往A B，两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？【例7】下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润．某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜）甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 1．5 每吨蔬菜可获利润（百元）574⑴若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A 地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？⑵公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B 地销售（每种蔬菜不少于一车），如何安排装运，可使公司获得最大利润？最大利润是多少？三、一次函数与几何【例1】 如图所示，已知正比例函数y x =和3y x =，过点A （2，0）作x 轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与B 、C 两点，求三角形OBC 的面积（其中O 为坐标原点）。