第三章线性方程组的数值解法1024

解：消元
1 7 2 1 2 1 1 7 − 4 r1 + r2 2 4 5 − 1 11 → 0 3 − 3 − 3 1 1 − 2 1 0 − r1 + r3 0 − 2.5 0.5 − 3.5
2
7 2 1 1 − 2.5 r2 + r3 − 0 3 − 3 − 3 3 → 0 0 − 2 − 6 −6 − 3 + 3 x3 x3 = x2 = = 3, = 2, 回代得 回代得 −2 3 7 − x2 − x3 x1 = =1 2
i , j = k + 1, k + 2,L , n
2〉回代过程
( bnn ) xn = (n ) a nn n , (i ) ( bi − ∑ a iji ) x j j = i +1 xi = ( aiii )
i = n − 1,L ,2,1
综上所述，高斯消去法的框图如图3 所示。 综上所述，高斯消去法的框图如图3-1所示。从 中可看出高斯消去法的计算机运算和存储方式的特点： 中可看出高斯消去法的计算机运算和存储方式的特点： 1〉按消元规则进行运算后，对角线以下元素为0。 按消元规则进行运算后，对角线以下元素为0 故对于对角线以下元素不用作计算，减小了计算量。 故对于对角线以下元素不用作计算，减小了计算量。 2〉对角线以下元素对回代求解无影响，故可将乘 对角线以下元素对回代求解无影响， 数放在该处， 数放在该处，即
4〉回代后的数值仍放在常数项存储单元
bn → bn a nn n b − a x i j∑ 1 ij j =i+ → bi a ii
i = n − 1, L , 2,1
这时
b1 , b2 , L , bn
单元中存放的就是输出值 x1 , x2 ,L , xn
高斯消元法的条件
(1 )
b1(1) (2 ) b2 M (k ) b = (k ) bk M (k ) bn
设
(k a kk ) ≠ 0
，计算乘数
( a ikk ) m ik = (k ) , i = k + 1, L , n a kk
定理1 如果在消元过程中A的主元素 ( k 定理 如果在消元过程中 的主元素 a kk ) ≠ 0 (k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出 则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。 的解。 则可通过高斯消元法求出 引理 是矩阵A的各阶顺序主子式不为零 的各阶顺序主子式不为零， 是矩阵 的各阶顺序主子式不为零，即 a11 L a1k
最后， 最后，经过会代求得原方程组的解为 18 x3 = = −2 −9 6 + 2 x3 x2 = =1 2 14 − 8 x2 − 2 x3 x1 = =5 2 例 2 解方程组
2 x1 + x 2 + x 3 = 7 4 x1 + 5 x 2 − x 3 = 11 x − 2x + x = 0 1 2 3
消去法常用方法： 消去法常用方法： 选主元消去法 高斯－ 高斯－约旦消去法
3.1 高斯消去法 ——按自然顺序进行的消元法
消去法
高斯消去法属于直接法，一般由“消元过程” 高斯消去法属于直接法，一般由“ 和“回代过程”两部分组成。先举几个简单实例， 两部分组成。先举几个简单实例， 再对一般n阶方程组说明高斯消去法的基本思想。 再对一般n阶方程组说明高斯消去法的基本思想。
非奇异， 若矩阵A非奇异，即A 的行列式 det A ≠ 0 ，根据 克莱姆（ 克莱姆（Gramer）法则，方程组有唯一 解： ）法则，
Di xi = D
i = 1,2, L , n
其中D 表示 det A ，Di 表示 D 中第 i 列换成 b 后 所得的行列式。 所得的行列式。
当阶数较高时用这种方法求解是不现实的。 当阶数较高时用这种方法求解是不现实的。 阶 n 行列式有n项，每项又是 ! 个数的乘积。 n个数的乘积。对较大 计算量之大，是一般计算机难以完成的。 的 n ，其计算量之大，是一般计算机难以完成的。 舍入误差对计算结果的影响也较大 而且，这时的舍入误差对计算结果的影响也较大。 而且，这时的舍入误差对计算结果的影响也较大。
例 1 用高斯消元法求解方程组 2 x1 + 8 x2 + 2 x3 = 14 x1 + 6 x2 − x3 = 13 2 x + x + 2 x = 5 1 2 3
, 解 用第一个方程削去后两个方程中的 x1 得 2 x1 + 8 x2 + 2 x3 = 14 2 x2 − 2 x 3 = 6 − 9 x2 = −9 再用第2个方程消去第 个方程消去第3个方程中的 , 再用第 个方程消去第 个方程中的 x2 得 2 x1 + 8 x2 + 2 x3 = 14 2 x2 − 2 x3 = 6 − 9 x3 = 18
线性代数方程组的计算机解法常用方法： 线性代数方程组的计算机解法常用方法：
直接法 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
ห้องสมุดไป่ตู้
– 直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组 经过有限步算术运算，
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差） 的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
– 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
主元素所在的行称为主行 主元素所在的行称为主行。 主行。
高斯消去法的计算步骤为： 高斯消去法的计算步骤为： 1〉消元过程 设 a ( ) ≠ 0 ，对 k = 1,2,L, n − 1 ，计算
k kk
( a ikk ) m ik = ( k ) a kk (k +1) ( ( a ij = a ijk ) − m ik a kjk ) (k +1) ( bi = bi(k ) − m ik bkk )
第三章 线性方程组的数值解法
问题的提出： 问题的提出 n阶线性代数方程组的一般形式为： 阶线性代数方程组的一般形式为
a11 x1 + a12 x x + L + a1n x n = b1 a x + a x + L+ a x = b 21 1 22 x 2n n 2 LL a n1 x1 + a n 2 x x + L + a nn x n = bn
组精确解的方法 – 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单， 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原 始系数矩阵在迭代过程中不变等优点， 始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
3.1 消去法 消去法在线性代数中已有详细的讨论， 消去法在线性代数中已有详细的讨论，在此只 给出一些说明以及算法的具体描述。 消去法的基本思想： 消去法的基本思想：是通过将一个方程乘或除以 某个常数，以及将两个方程相加减，逐步减少方程中 某个常数，以及将两个方程相加减， 的变元数，最终使每个方程只含一个变元， 的变元数，最终使每个方程只含一个变元，从而得出 所求的解。 所求的解。 高斯消去法
例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需 例如，求解一个 阶线性方程组， 阶线性方程组 3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行 9.7×1020次 次乘法运算， 次乘法运算 运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要 万年。 亿次乘法运算的计算机要30万年 运算，如用每秒 亿次乘法运算的计算机要 万年。
消去法
下面讨论一般 n 阶线性方程组的高斯消去法。 阶线性方程组的高斯消去法。 记 Ax = b 为 A(1) x = b(1) ，A(1) 和 b(1) 的元素
( i a ij1 ) 和 b i(1 ) ，, j = 1,2, L , n ，系数上标 (1) 分别记为
代表第1次消元之前的状态。 代表第1次消元之前的状态。 第1次消元时，设 次消元时， 对每行计算乘数
(k a kk ) ≠ 0 (k=1,2,…,n) 的充要条件 A的主元素 的主元素
L ≠ 0, k = 2, 3,L , n D1 = a11 ≠ 0 Dk = L ak 1 L akk
a ik → a ik , i = k + 1, k + 2, L , n a kk
以节省存储单元。 以节省存储单元。
3〉对角线以上元素和常数变换后的元素仍放在原来 的位置以节省存储单元。 的位置以节省存储单元。
aij − aik a kj → aij bi − aik b j → bi i , j = k + 1, k + 2, L , n
(k 只要 akk ) ≠ 0 ，消元过程就可以进行下去，直到经 消元过程就可以进行下去，
过 n − 1 消元之后，消元过程结束，得 消元之后，消元过程结束，
A(n) x = b(n)
(1 (1 ( a11) a12) L a11) x1 b1(1 ) n (2 ) (2 ) x (2 ) a 22 L a 2 n 2 b2 = O M M M (n ) x (n ) a nn n bn
( ( ( aij2 ) = aij1) − m i 1a11j) 其中： (2 ) bi = bi(1 ) − m i 1b1(1 )
i , j = 2,3,L , n
第 k 次消元 (2 ≤ k ≤ n − 1) 时，设第 k − 1 次消元 已完成， 其中： 已完成，即有 A(k ) x = b(k ) 其中：
(1 a11) ≠ 0
1 a i(1 ) m i 1 = (1) , i = 2,3, L , n a11
用 − mi1 乘以第1个方程，加到第 i 个方程，消去 乘以第1个方程， 个方程， 第 2个方程到第 n 个方程的未知数x 1 ，得 A(2 ) x = b(2 ) 即: