吉林大学弹性理论第五章

体力为常量
二、体力为常量时微分方程的特解
x yx X 0
x y
xy y Y 0
x y
此微分方程组的解为特解与通解的和
特解：
x Xx, x Yy, xy 0
x x Xx Yy
xy 0
x 0, x 0, xy Xx Yy
三、应力函数和双调和方程
沿z方向的位移恒等于零
三、平面问题的基本方程
1.平衡微分方程：
x yx X 0
x y
xy y Y 0
x y
2.几何方程：
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
2 x 2 x 2 xy
y2 x2 xy
3. 本构方程：
平面应力问题
x
x
E
y
E
y
y
E
x
E
xy
xy
G
平面应变问题
一、基本方程
1. 平衡微分方程
2. 几何方程
应变与位移关系方程
应变相容方程
二、本构方程－－广义胡克定律
各向同性体的本构方程的几种形式
以应变表示应力
x 2x y 2 y z 2z xy xy yz yz zx zx
以应力表示应变
x
x
E
y
E
z
E
y
一、应力函数为一次多项式
a bx cy
x
2
y 2
0
y
2
x 2
0
xy
2
xy
0
一次多项式应力函数对应无应力应力状态。 这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x，y 的线性函数，将不影响应力分量的值。
二、应力函数为二次多项式
ax2 bxy cy2
x
2
y 2
2c
y
2
x 2
2a
三类问题
第一类边值问题： 已知弹性体内的体力和其表面的面力，求平 衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量，这时的边界条 件为面力边界条件。
第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移 分量， 求平衡状态的弹性体内各点的应力分量和位移分量， 这时的边界条件为位移边界条件。
第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面 的部分位移分量和部分面力分量，求平衡状态的弹性体内各 点的应力分量和位移分量。这时的边界条件在面力已知的部 分，用面力边界条件，位移已知的部分用位移边界条件，称 为混合边值问题。
1.应力函数
则满足上式的函数为：
x
2
y 2
y
2
x 2
应力函数
xy
2
xy
2. 双调和方程
应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要 满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程， 可得
4
x 4
2
4
x2y
2
4
y 4
0
4 0
函数应满足双调和方程
5－6 用多项式应力函数解平面问题
逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并 不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项 式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边 界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从 而确定该应力函数所能解决的问题。
xy
2
xy
b
二次多项式应力函数对应 常应力的应力状态
三、应力函数为三次多项式
ax3 bx2 y cxy2 dy3
x
2
y 2
2cx 6dy
y
2
x 2
6ax 2by
xy
2
xy
2bx
2cy
三次多项式应力函数对应 线性分布应力的应力状态
四、应力函数为四次多项式
x
1
E
2
(
x
1
y)
1 E1
( x
1
y)
y
1
E
2
(
y
1
x)
1 E1
(
y
1 x )
xy
xy
G
4. 面力边界条件： X xl xym Y yxl ym
பைடு நூலகம் 5－5 按应力求解平面问题
在常体力条件下，可以通过应力函数表达应力分量。这样问题 的基本未知量由三个应力分量简化为一个应力函数。
一、应力表示的变形协调方程
圣维南局部影响原理其主要内容为：物体表面某一小 面积上作用的外力力系，如果被一个静力等效的力系所 替带，那么物体内部只能导致局部应力的改变。而在距 离力的作用点较远处，其影响可以忽略不计。
根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效 力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力 的作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。
y
E
x
E
z
E
z
z
E
y
E
x
E
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
体积应变虎克定律
二、边界条件
1.面力边界条件
2.位移边界条件
三、弹性力学基本问题
弹性力学的基本未知量为三个位移分 量，六个应力分量和六个应变分量，共计 十五个未知量。基本方程为三个平衡微分 方程，六个几何方程和六个物理方程，也 是十五个基本方程
5－4 直角坐标系下平面问题的基本方程
工程上，空间问题转化为平面问题
平面应力问题 平面应变问题
一、平面应力问题
平面应力问题讨论的弹性体为薄板， 厚度为h远远小于结构另外两个方 向的尺度。
因此应力沿厚度方向不变
二、平面应力问题
这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面 大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且 沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
第五章 弹性理论的平面问题
5－1 弹性理论的基本方程 5－2 弹性理论问题的基本解法 5－3 基本定理 5－4 直角坐标系下平面问题的基本方程 5－5 按应力求解平面问题 5－6 用多项式应力函数解平面问题 5－7 三角形截面坝 5－8 山字型构造、用多项式解平面问题解例
5－1 弹性理论的基本方程
位移边界条件 边界位移已知——位移边界Su
uu vu ww
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
混合边界条件 弹性体边界
S＝S＋Su
部分边界位移已知——位移边界Su 部分边界面力已知——面力边界S 不论是面力边界条件，位移边界条件， 还是混合边界条件，任意边界的边界条件
数必须等于3个。
5－2 弹性理论问题的基本解法
直接解法： 应力法 位移法
间接解法：
逆解法 半逆解法
5－3 基本定理
弹性力学解的迭加原理是指在线弹性条件下，对于 满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用 下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作 用于弹性体的解答。
弹性力学解的唯一性定理：假如弹性体内受已知体力的 作用，物体表面面力已知，或者表面位移已知；或者部 分表面面力已知，部分表面位移已知。则弹性体处于平 衡状态时，弹性体内任一点的应力分量和应变分量都是 唯一的。对于表面有部分或全部位移已知的，则位移分 量也是唯一的。