高中数学 第2章 平面向量章末归纳总结课件 北师大版必修4

1．向量的有关概念
(1)向量
既有大小又有方向的量叫向量，一般用a，b，c，…来表
示，或用有向线段的起点和终点的大写字母表示，如：
→ AB
.向
量的大小，即向量的模(或称长度)，记作|A→B|.
(2)零向量 长度为零的向量，叫作零向量，其方向是任意的．我们规 定：零向量和任意向量平行． (3)单位向量 模为1个单位的向量． (4)相等向量 具有方向的线段，叫作有向线段．同向且等长的有向线段 表示同一向量，或相等的向量．
a·(b＋c)＝a·b＋a·C．
专题研究
向量的有关概念
向量是既有大小又有方向的量，它具有代数和几何的双重 身份，其有关概念，如共线向量、相等向量、方向向量、单位 向量、投影、夹角等都从不同侧面反映向量的本质属性．向量 的有关概念是向量基本运算的基础，所以应对这些相关概念及 表达形式熟练掌握．
[例1] 下列结论正确的是( )
(2)数乘向量 ①数乘向量的一般定义 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa| ＝|λ||a|. λa(a≠0)的方向当 当λλ><00时 时， ，与 与aa同 反方 方向 向； . 当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.λa中的实数λ，叫作向量a 的系数．
②数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方 向放大或缩小． ③数乘向量运算满足的运算律 设λ，μ为实数，则 (λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a； λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
下列命题是假命题的是( ) A．两个向量的和仍是一个向量 B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向 都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，并且|a ＋b|＝|a|＋|b| D．如果向量a＝b，那么a与b有相同的起点和终点 [答案] D
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
平面向量 第二章
章末归纳总结 第二章
1 知识结构
3 专题探究
2 知识梳理
4 限时巩固
知识结构
知识梳理
本章从位移、速度、力引出了向量的概念，从位移的合
成、速度的倍数引出了向量的加法、减法和数乘，定义了平面
向量的坐标、向量的数量积及运算性质．
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，且方向相同或相反
B．若向量
→ AB
，
→ CD
满足|
→ AB
|>|
→ CD
|，且
→ AB
与
→ CD
同向，则
→→ AB>CD
C．若a＝b，则a∥b
D．由于零向量方向不定，故零向量不能与任一a，b的长度相等，但方向之间无 任何关系，A错，
我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量 的一组基底 ，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫作向量a关 于基底 {e1，e2}的分解式．
(2)①若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)， λa＝(λa1，λa2)． ②若A(a1，a2)，B(b1，b2)，则A→B＝(b1－a1，b2－a2)． (3)若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标 成比例，反之也成立．
在a方向上的射影．
(4)已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
(5)向量数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a| 与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上 射影|a|cosθ的乘积．
4．向量的数量积 (1)已知两个非零向量a和b，作 O→A ＝a， O→B ＝b，∠AOB＝ θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角． (2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ
＝90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥B．规定零向量可与任一
向量垂直． (3)已知两向量a和b，它们的夹角为θ，则|b|cosθ叫作向量b
当|A→B|>|C→D|时，只是说明A→B，C→D的模的关系，而向量不 能比较大小，B错；
零向量与任一向量平行，D错，故选C． [规律总结] 理解并掌握向量的基本概念是研究平面向量 的基础，要明确向量是有大小有方向的量，长度可比较大小， 但向量不能比较大小，对零向量、单位向量、平行向量、共面 向量等概念也必须掌握．
④向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量 的线性运算． (3)共线向量 平行向量基本定理 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存
在唯一一个实数λ，使a＝λb．
3．向量的分解与向量的坐标运算
(1)平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面 内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
(6)向量数量积的性质： ①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cosθ；
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥B．通常记
作a⊥b⇔a·b＝0；
③|a|＝ a·a； ④cosθ＝|aa|·|bb|(|a||b|≠0)； ⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时 取等号． (7)向量数量积的运算律： 设向量a，b，c和实数λ，有a·b＝b·a； (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b．
(5)相反向量 与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量． (6)向量共线 向量共线也叫向量平行，这里的“平行”与两直线(或线 段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线 上，甚至起点都可以相同．
2．向量的运算 (1)向量加法的三角形法则是两向量首尾相接，和向量是以 第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量 减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连 接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点． 向量加法的平行四边形法则，是两向量始点重合，在这一 点上与三角形法则是不同，但本质是相同的．