2020-2021学年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项公式与递推公式

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高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系

n 3n＋1
为递
增数列．
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第二章数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
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第二章数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
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第二章数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
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第二章数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
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第二章数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
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第二章数列

必修5 第2章 2.1 数列-2020-2021学年江苏省高二数学上册课件(新教材)共42张PPT

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[解] (1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为：1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－92(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．
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合作探究提素养
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根据数列的前n项写出通项公式
写出下列数列的一个通项公式． (1)21，2，92，8，225，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)22－1 1，32－3 2，42－5 3，52－7 4，…； (4)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，….
(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
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[跟踪训练] 1．写出下列数列的一个通项公式． (1)3,5,9,17,33，…； (2)21，34，78，1156，3312，…； (3)32，－1，170，－197，2116，－3173，….
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2．数列1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是________． [解析] 1,3,5,7,9，…的一个通项公式可以是an＝2n－1，n∈N*. [答案] an＝2n－1，n∈N*
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3．若数列{an}的通项公式为an＝3n－2，则a5＝________. [解析] ∵an＝3n－2，∴a5＝3×5－2＝13. [答案] 13
为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1(n∈N*)．
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(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝n＋2n1－2－1 n(n∈N*)．

高中数学目录(选修)

必修五第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3．4 基本不等式选修1－1 文科第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆 2．2 双曲线 2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 变化率与导数 3．2 导数的计算3．3 导数在研究函数中的应用 3．4 生活中的优化问题举例选修1－2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 结构图选修2-1理科第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修 2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用。

高中数学必修五目录

第一章解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
1课时
1.1.2 余弦定理
第1课时
1.2 应用举例
第1课时高度、距离
第2课时角度及其他问题
第3课时正余弦定理在几何中的应用章末检测卷第二章数列
2.1 数列的概念与简单表示法
1课时
2.2 等差数列
第1课时等差数列的概念
第2课时等差数列的性质
2.3 等差数列的前n项和
第1课时等差数列前n项和公式
第2课时等差数列习题课
2.4 等比数列
第1课时等比数列的概念
第2课时等比数列的性质
2.5 等比数列的前n项和
第1课时等比数列的前n项和公式
第2课时等差、等比数列综合应用
第3课时数列求和
章末检测卷
第三章不等式
3.1不等关系与不等式
1课时
3.2一元二次不等式及其解法
第1课时一元二次不等式及其解法
第2课时一元二次不等式的应用
3.3二元一次不等式(组与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式(组与平面区域
1课时
3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时简单的线性规划问题
第2课时简单的线性规划问题的应用3.4基本不等式第1课时基本不等式
第2课时基本不等式的应用
章末检测卷。

2.1数列的概念与简单表示法(二)

§2.1数列的概念与简单表示法(二)学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).预习教材P30－31完成下列问题：知识点一数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{a n}中，若a n＋1>a n，则{a n}是递增数列；若a n＋1<a n，则{a n}为递减数列；＝a n，则{a n}为常数列.若a n＋1【预习评价】1.从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通项公式外，还可以有哪些方法？提示还可以用列表法，图象法.2.数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？提示联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调.反之不正确，例如f(x)＝(x－52，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增.4)区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n与a n＋1的大小来确定单调性.知识点二数列的表示方法1.数列的递推公式：如果数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.2.数列的表示方法：数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.【预习评价】1.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则数列的第5项a 5＝________，由此归纳出{a n }的一个通项公式为________，可以求得a 8＝________.解析 ∵a 1＝3，∴a 2＝2a 1＋1＝7，a 3＝2a 2＋1＝15，a 4＝2a 3＋1＝31，a 5＝2a 4＋1＝63，∴a 5＝63.可以看出a n ＝2n ＋1－1， ∴a 8＝29－1＝511.答案 63 a n ＝2n ＋1－1 5112.数列的通项公式与递推公式有什么区别？提示不同点相同点通项公式要根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项题型一数列的函数特性【例1】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534，a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9]. ∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ，即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n }的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.方向1 由递推公式写出数列的项【例2－1】已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由递推公式a n ＋1＝2a na n ＋2给出，试写出这个数列的前5项. 解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，∴a 2＝2a 1a 1＋2＝23， a 3＝2a 2a 2＋2＝2×2323＋2＝12，a 4＝2a 3a 3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a 4a 4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13. 方向2 由数列的递推公式求通项公式【例2－2】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式. 解 ∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，∴a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32，a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74，a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n . 方向3 构造数列法求通项公式【例2－3】设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n ＋1＝nn ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ， ∴数列{na n }是常数列， ∴na n ＝1·a 1＝1， ∴a n ＝1n . 答案 1n规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式. (3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1). (2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a na n －1＝ f (n －1)，累乘可得a na 1＝f (1)f (2)…f (n －1).课堂达标1.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.4解析只有③正确.①中，如已知a n ＋2＝a n ＋1＋a n ， a 1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n ＝n ＋1n ＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列. 答案 A2.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A.a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B.a n ＝2a n －1(n ≥2)C.a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D.a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2)解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意. 答案 C3.数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( )A.－1B.－12 C.12 D.1解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1， ∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1. 答案 D4.已知数列{a n }，对于任意的p ，q ∈N *，都有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析由已知得a 1＋a 1＝a 1＋1＝a 2，∴a 2＝29，同理a 4＝49，a 8＝89，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1， ∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4. 答案 45.求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项. 解由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108， ∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.课堂小结1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式.而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系.2.数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法.3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .基础过关1.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n 等于( ) A.n 2＋1 B.n ＋1 C.1－nD.3－n解析 a n ＋1－a n ＝－1，利用累加法可以求得a n ＝3－n .选D. 答案 D2.已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，此数列的第3项是( ) A.1 B.12 C.34D.58解析 a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.答案 C3.数列{a n }中，a n ＝n － 2 011n － 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A.a 1，a 50 B.a 1，a 44 C.a 45，a 44D.a 45，a 50解析 a n ＝n － 2 011n － 2 012＝1＋2 012－ 2 011n － 2 012.∴当n ∈[1，44]且n ∈N *时，{a n }单调递减，当n ∈[45，＋∞)且n ∈N *时，{a n }单调递减，结合函数f (x )＝2 012－ 2 011x － 2 012的图象，可知(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44. 答案 C4.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n ＋1－3，则14是{a n }的第________项.解析 a 1＝2，a 2＝a 1＋3＝5，a 3＝a 2＋3＝8，a 4＝a 3＋3＝11，a 5＝a 4＋3＝14. 答案 55.数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *，2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项为________.解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1， ∴a n ≠0，∴a na n －1＝2>1，∴a n >a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝4a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024. 答案 1 0246.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.7.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式.(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1(n ∈N *)； (3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *). 解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2(n ∈N *).(2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42＝2，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12(n ∈N *).(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n (n ∈N *).能力提升8.已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n ≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A.x 100＝－a ，S 100＝2b －aB.x 100＝－b ，S 100＝2b －aC.x 100＝－b ，S 100＝b －aD.x 100＝－a ，S 100＝b －a解析 x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，∴{x n }是周期数列，周期为6，∴x 100＝x 4＝－a ，∵x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，∴S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a .答案 A9.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则其前6项之和是( ) A.16B.20C.33D.120解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴前6项之和为33.答案 C10.已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 010＝________，a 2 015＝________.解析依题意，得a 2 010＝a 2×1 005＝a 1 005＝a 4×252－3＝1，a 2 015＝a 4×504－1＝0.答案 1 011.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n (n ∈N *)，试归纳出这个数列的通项公式a n ＝________.解析由a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n得a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，…，所以可归纳出a n ＝1n . 答案 1n12.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1. ∴故n ≥2时，1a n ＝1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋＝n ＋1.∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.a 1＝12也适合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *). 13.(选做题)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，对数列f (n )(n ∈N *)，若f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，求f (2 016).解 f (3)＝f (2)－f (1)＝lg 15－lg 32＝lg 10＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15＝lg 23，f (5)＝f (4)－f (3)＝lg 23－1＝lg 115，f (6)＝f (5)－f (4)＝lg 115－lg 23＝lg 110＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝－1－lg 115＝－1＋lg 15＝lg 32＝f (1)，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 32＋1＝lg 15＝f (2).∴f (n )是周期为6的周期数列.∴f (2 016)＝f (336×6)＝f (6)＝－1.。

2.1数列的概念与简单表示法

第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法一、知识点（一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。

3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。

（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、项数有限的数列叫有穷数列 2、项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。

2、递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<），这样的数列叫做递减数列。

3、摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。

4、常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。

高中数学第2章数列 2.1 数列的概念与简单表示法第2课时数列的性质和递推公式练习新人教A

第2课时数列的性质和递推公式1.已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列D.不能确定解析a n ＋1－a n ＝3>0，故数列{a n }为递增数列. 答案A2.数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，则a 6＝ A.3B.5C.8D.13解析由条件知a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8. 答案C3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是 A.a n ＝2n B.a n ＝12nC.a n ＝12n －1D.a n ＝1n2解析a 1＝1，a 2＝12，a 3＝14，a 4＝18，观察得a n ＝12n －1.答案C4.若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n －1，且a 8＝16，则a 6＝________. 解析由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＝12(a n ＋1＋1)，∴a 7＝12(a 8＋1)＝172，a 6＝12(a 7＋1)＝194.答案1945.已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析a 1＝2，由a n ＋1＝1＋a n1－a n，得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为4， ∴a 2 018＝a 4×504＋2＝a 2＝－3. 答案－3[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是A.1B.12C.34D.58解析由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.答案B2.在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值X 围是 A.RB.(0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，0]解析 ∵{a n }是递减数列， ∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ＜0. 答案C3.数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是 A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫n －1432－1963，故当n ＝5时，a n 的最小值为a 5＝－65. 答案B4.数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 A.259B.2516C.6116D.3115解析由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，(n ≥2)得a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，(n ≥3)，∴a n ＝n 2（n －1）2，(n ≥3)，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.答案C5.已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于 A.－165B.－33C.－30D.－21解析由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3.∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3)＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30. 答案C6.(能力提升)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝A.2＋lg nB.2＋(n －1)lg nC.2＋n lg nD.1＋n ＋lg n解析由a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ⇒a n ＋1－a n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋lg 2＋lg 32＋lg 43＋…＋lg n n －1＝2＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n n －1＝2＋lg n .答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7.若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项的值为________.解析由数列{a n }的首项和递推公式可以求出a 2＝14，a 3＝17，…，观察得到通项公式a n ＝13n －2，所以a 7＝119.答案1198.已知函数f (x )的部分对应值如表所示.数列{a n }满足a 1＝1，且对任意n ∈N *，点(a n ，a n ＋1)都在函数f (x )的图象上，则a 2 017的值为________.解析由题知，a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1.∴a 2＝f (1)＝3，a 3＝f (a 2)＝f (3)＝2，a 4＝f (a 3)＝f (2)＝1，…，依次类推，可得{a n }是周期为3的周期数列，∴a 2 017＝a 672×3＋1＝a 1＝1.答案 19.(能力提升)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0，则a n ＝________.解析 (n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1. 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·1＝1n. 答案1n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)给出. (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式b n ＝a na n ＋1构造一个新的数列{b n }，写出数列{b n }的前4项. 解析 (1)因为a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，且a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8. 故数列{a n }的前5项依次为a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8.(2)因为b n ＝a na n ＋1，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝5，a 5＝8，所以b 1＝a 1a 2＝12，b 2＝a 2a 3＝23，b 3＝a 3a 4＝35，b 4＝a 4a 5＝58.11.(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n . (1)写出数列{a n }的前5项； (2)猜想数列{a n }的通项公式； (3)画出数列{a n }的图象.解析 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)猜想：a n ＝1n.(3)图象如图所示：12.(12分)已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *). (1)求证：a n ＞－2；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？解析 (1)证明因为f (x )＝1－2x x ＋1＝3－2（x ＋1）x ＋1＝－2＋3x ＋1，所以a n ＝－2＋3n ＋1.因为n ∈N *，所以a n ＞－2. (2)数列{a n }为递减数列.因为a n ＝－2＋3n ＋1，所以a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3n ＋1＝3n ＋2－3n ＋1＝－3（n ＋2）（n ＋1）＜0，即a n ＋1＜a n ，所以数列{a n }为递减数列.。

人教版高中数学课件-数列的概念与简单表示法

寫出下麵數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：
（1）1,2,4,8. (2)10，100，1000，10000。
（3）9，99，999，9999。（4）5，55，555，5555。（5）0.9,0.99,0.999,0.9999
(6) 2 , 5 ,2 2 , 11.
練習:
根據下麵數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：
序號 1 2 3 4
5
……
n
數列中的每一個數都對應著一個序號，反過來，每個序號也都對應著一個數。
數列與函數的關係 :
數列可以看作特殊的函數，序號是其引數，項是序號所對應的函數值，數列的定義域是正整數集，或是N *正整數集的有限子N集* ．
於是我們研究數列就可借用函數的研究方法，用函數的觀點看待數列．
(1) 3, 5, 7, 9, 11, ;
(2) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ; 3 15 35 63 99
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,;
(4) 3 , 6 , 11 , 18 , 27 , ; 3 15 35 63 99
(5) 2, 6, 18, 54, 162,.
講解範例:
有些項小於它的前一項的數列
以下數列屬於哪種分類？
⑴全體自然數構成數列：
0，1，2，3, … . 遞增數列
⑵1996~2002年某市普通高中生人數（單位：萬人）構成數列
82，93，105，119，129，130，132. 遞增數列
⑶無窮多個3構成數列
3，3，3，3，3, … . 常數列
⑷目前通用的人民幣面額從大到小的順序構成數列（單位:元） 100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，

高中数学 2.1数列的概念与简单表示法课件(二) 新人教A版必修5

一、复习
5. 数列的表示法以数列 2, 4, 6, 8, 10, 12, · · · 为例以数列: 通项公式法: 通项公式法 an=2n 5 1 2 3 4 列表法 n …
an 2 a1= 2 an= an-1 +2 (n>1) 4 6 8 10
…
图象法递推法
已知数列{a 的第的第1项或前几项），），且任意一项已知数列 n}的第项（或前几项），且任意一项 an与前一项 n-1（或前几项）间的关系可以用一个公式与前一项a 或前几项）来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式. 来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式递推公式
数列的概念与简单表示法
第二课时
一、复习
1. 定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列定义：按一定顺序排列着的一列数称为数列 a … … 简记为{a 2. 数列的一般形式： 1， a2， a3，， an，简记为 n} 数列的一般形式： 3. 数列的分类 4. 数列的实质从映射的观点看，数列可以看作是：序号到数列项从映射的观点看，数列可以看作是：的映射从函数的观点看，数列项是序号的函数的函数。从函数的观点看，数列项是序号的函数。
第1层1+2+… …+n=n*(n+1)/2 个层第2层1+2+… …+（n-1）=n*(Байду номын сангаас-1)/2 个层（） ………… 第n层1个层个堆共n层第n堆共层堆共共1+3+6+… …+ n*(n+1)/2 个
二、练习
1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：是下列各数： (1) 3, 5, 7, 9 · · · (2) 1, 0， 1 , 0， 1，0, − 1, 0， − L (3) 10, 100, 1000, 10000 · · · (4) 9, 99, 999, 9999 · · · (5) 5, 55, 555, 5555 · · · (6) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 · · · 1 (7) 0, lg 2, lg 3 , lg 2, · · · 2 (8) 3, 8, 15, 24， · · · (9) −1, 8 , − 15 , 24 , ⋅⋅⋅ 5 7 9

人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式(二)——利用Sn与an关系求通项公

1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 2n2 n 1，求 an 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 1 3n ，求 an
答案第1题
4 n 1 an 4n 1 n 2
第2题
an 2 3n1, n N
隐藏 Sn ，求 an
【例 2】已知数列{an}中， a1 2a2 2n1an n2 n ，求 an
（2）由（1）
1 Sn
2n ，
Sn
1 2n
,nN
（又回到了类型一）
①当
n
1 时，
a1
S1
1 2
②当 n 2 时， an Sn Sn1
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式（二）—— 利用Sn 与an关系求通项公式课件【精品】
1 1 2n 2n 2
1 2n2 2n
n2 n (n 1)2 (n 1) 2n 对于 bn 2n ，当 n 1 时， b1 2
所以： bn 2n, n N
又 bn 2n1 an , 则2n1 an 2n
所以： an
n 2n2
,n N
处理方法
换元转换为类型一
3. 已知数列{an}中， a1 3a2 (2n 1)an n(n 1)(n 2) ，求 an
（1）求 an ：与类型一的处理方法一样，消去 Sn ，
得到 an 与 an1 的递推关系，再求 an
（2）求 Sn ：消去 an ，得到 Sn 与 Sn1 的递推关系，
进而求出 Sn
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式（二）—— 利用Sn 与an关系求通项公式课件【精品】
1 1 2 0即 1 1 2

人教版高中数学教材最新目录(2020年整理).pptx

第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数 y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用
第二章平面向量
2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换
第三章数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念 3．2 复数代数形式的四则运算
选修 2-3
第一1章．计 1 分数类原加理法计数原理与分步乘法计数原理 1．2 排列与组合 1．3 二项式定理
第二章随机变量及其分布 2．1 离散型随机变量及其分布列 2．2 二项分布及其应用 2．3 离散型随机变量的均值与方差 2．4 正态分布
必修 5
第一章解三角形 1．1 正弦定理和余弦定理 1．2 应用举例 1．3 实习作业
第二章数列
2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n 项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前 n 项和第三章不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 一元二次不等式及其解法 3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3．4 基本不等式
第三章统计案例
3．1 回归分析的基本思想及其初步应用 3．2 独立性检验的基本思想及其初步应用
选修 4-1
第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质 1．相似三角形的判定 2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理

数列公式汇总

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列2．3 等差数列的前n 项和 2．4 等比数列2．5 等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式：,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos|π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

2.1.1数列的概念与简单表示法

已知下列数列：例 1 已知下列数列： (1)2,22,222,2222；； n－1 － 1 2 (2)0，，，…， n ，…；，2 3 1 1 1 (3)1，，，…， n－1，…；， 3 9 3 (－1)n－1 ) (4)－1,0，－，…，－，－1,0，，…；，－ 2 (5)a，a，a，a，…. ，，，，
写出下面数列的一个通项公式，例 2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：是下列各数： 1 1 1 1 (1) ，－，，－； 1×2 2×3 3×4 4×5 × × × × 22－1 32－1 42－1 52－1 (2) 2 ， 3 ， 4 ， 5 ； 1 1 1 1 (3)1 ，2 ，3 ，4 ； 2 4 8 16 (4)9,99,999,9999. [分析细心寻找每一项 an 与序号 n 之间的变化规律即分析] 分析可．
ห้องสมุดไป่ตู้
3.由数列的前几项归纳其通项公式的方法由数列的前几项归纳其通项公式的方法据所给数列的前几项求其通项公式时，据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分抓住其几方面的特征：析，抓住其几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征；分式中分子、分式中分子分母的特征； (2)相邻项的变化特征；相邻项的变化特征；相邻项的变化特征 (3)拆项后的特征；拆项后的特征；拆项后的特征 (4)各项的符号特征和绝对值特征．各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转归纳．化、归纳．
1 1 [解] (1)是无穷递减数列 > 是无穷递减数列( )．解是无穷递减数列 n ． n＋1 ＋ (2)是有穷递增数列项随着序号的增加而增大．是有穷递增数列(项随着序号的增加而增大是有穷递增数列项随着序号的增加而增大)． (3)是无穷数列，由于奇数项为正，偶数项为负，故为摆是无穷数列，是无穷数列由于奇数项为正，偶数项为负，动数列．动数列． (4)是有穷递增数列．是有穷递增数列．是有穷递增数列 (5)是无穷数列，也是摆动数列．是无穷数列，是无穷数列也是摆动数列． (6)是无穷数列，且是常数列. 是无穷数列，且是常数列是无穷数列

人教版高中数学必修五《数列》2.1数列的概念及简单表示法(2)

观察钢管堆放示意图，寻其规律
自上而下：第1层钢管数为4；即：1 ↔ 4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2 ↔ 5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3 ↔ 6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4 ↔ 7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5 ↔ 8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6 ↔ 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 ↔10＝7+3
2012年3月28日星期三
2012年3月28日星期三
小结
2012年3月28日星期三
1、课本P36练习2
2012年3月28日星期三
数列的递推公式
根据数列的递推公式求出数列中的项，并能根据这个数列的前几项归纳出这个数列的通项公式。
由递推公式推导通项公式的常用方法。
习题2.1 A组
2012年3月28日星期三
通项公式
上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
递推公式
2012年3月28日星期三
递推公式的定义
递推公式的特征 1、已知数列的第1项（或前几项） 2、任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式
定义
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
第4、6题
注意：
1、递推公式也是给出数列的一种方法。 2、递推公式给出数列时，首先要给出数列的首项(或前n项），再给出公式。
如：下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
2012年3月28日星期三来自思考：递推公式与通项公式的共同点与不同点？

2022-2021学年高二数学苏教版必修5学案：2.1 数列(二) Word版含答案

明目标、知重点 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点争辩数列.2.理解递推公式的含义，能依据递推公式求出数列的前几项．1．数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数，当自变量依据从小到大的挨次依次取值时所对应的一列函数值．2．数列的递推公式假如数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．3．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的函数特性思考1数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？答数列也可以用图象、列表等方法来表示．思考2以数列：2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答(1)通项公式法：a n＝2n.(2)列表法：n123…k…a n246…2k…(3)图象法：思考3与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的生疏．答数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}；②数列中的项是对应序号1,2,3，…的一列函数值；③数列的图象是一些孤立的点，这些点的横坐标按从小到大依次是1,2,3，….例1下图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观看、归纳各项与序号之间的联系，擅长利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到解决问题的目的．跟踪训练1传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上争辩数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角外形，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 探究点二数列的递推公式思考1 观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n ＝2a n －1＋1(n >1)．思考2 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，如何求出a 2，a 3，a 4? 答 a 2＝3a 1＋2＝5，a 3＝3a 2＋2＝17，a 4＝3a 3＋2＝53.小结像思考2给出数列的方法叫递推公式法，其中a n ＝3a n －1＋2(n >1)称为递推公式，递推公式也是数列的一种表示方法．例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1).写出这个数列的前五项．解由题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．解 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33. 探究点三数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n －1)＋1＝2n －1.n －1)个2思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n ＝1n .例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发觉数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 014项？解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…. 发觉：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6，证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6. ∴a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝－1.反思与感悟已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是________． ①a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *； ②a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2； ③a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2； ④a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2. 答案 ②2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n ＝________. 答案 3－n解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)a n ＝1n .[呈重点、现规律]1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }的单调性为________． ①递增数列； ②递减数列； ③常数列； ④不能确定．答案 ①2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项为________．答案 12解析 a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12.3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案 6116解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 5＝________. 答案 17解析 ∵b n ＝1n b a －，∴b 2＝1b a ＝a 2＝3， b 3＝2b a ＝a 3＝5，b 4＝3b a ＝a 5＝9， b 5＝4b a ＝a 9＝17.5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)，4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为________．答案 4,7,10,156．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．答案－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1) ⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3.7．依据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中有多少个点．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 二、力气提升9．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是________．答案 110解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.10．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是________．答案 108 解析由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.12．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n .三、探究与拓展13．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n.∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1. 把上述等式相乘，得 a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1，即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n .。

高中数学必修五第二章数列

设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
（1）求公差d的取值范围
（2）指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大，并说明理由
2.4等比数列
定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同意常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
（1）求AB，BC，CD的长
（2）已AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第十项为边长的正方形面积为多少？
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义：一般的，我们称a1+a2+a3+……+an 为数列表示，即sn=a1+a2+……+an
的前n项和，用Sn
推理过程：因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】

2.1.1 数列的概念与简单表示法

奇数项都为负，且分子都是1，偶数项都为正，且分子
都是3，分母依次是1，2，3，4，…正负号可以用
(-1)n调整.
an

3
n
1 (n n (n
2k 1)， 2k)，其中k

N
. *
由于1=2-1，3=2+1，所以数列的通项公式可合写成
an= (1)n 2 (1)n .
2.(1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4，
…，恰好是序号n；分数部分分别为 1，2，3，4，…，与序
2345
号n的关系是
n
n
1
，所以这个数列的一个通项公式是an=
n n n2 2n . n 1 n 1
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的
正奇数；考虑(-1)n具有转换符号的作用，所以数列的一
5，那么可以叫做数列的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.按照数列定义得出四种形式均为数列.
3.已知数列 3， 5 ， 7 ， 9 ， a b ，…，根据前三项给
2 4 6 a b 10
出的规律，则实数对(a，b)可能是( )
A.(19，3) C.( 19，3 )
22
B.(19，-3) D.( 19， 3 )
个通项公式为an=(-1)n(2n-1).
(3)数列1，0，1，0，…的通项公式为 (1)n1 1，数列
2
0，1，0，1…的通项公式为 (1)n 1 ，因此数列a，0，
2
a，0…的通项公式为 (1)n1 1a ，数列0，b，0，b，…
2

的通项公式为 (1)n 1b ，所以数列a，b，a，b，a，b，

高中数学必修课数列的概念与简单表示法

课
前
自
课前预习 ········································· 明确目标
主
预
习
新知初探
1．数列及其有关概念 (1)数列：按照一定_顺__序__排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每__一___个__数_叫做这个数列的项，第1项通常也叫做_首__项_，若是有穷数列，最后一项也叫做末__项__．
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第二章 2.1 第1课时
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类型二观察法求数列的通项公式 [例2] 根据下面数列的前几项，写出各数列的一个通项公式． (1)9,99,999,9999，…； (2)112，245，3190，41167，…； (3)－1,0，－1,0，…； (4)1，23，12，25，….
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3．是否所有的Biblioteka 列都有通项公式？提示：不是．数列的通项公式实际就是相应函数的解析式，并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．
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课
堂
互
例练结合 ········································· 素能提升
(3)(n，an)表示相应函数an＝f(n)图象上一些离散的点． (4)数列同函数一样，可以有单调性、有界性、最值等．
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第2课时数列的通项公式与递推公式
[课时作业] [A 组基础巩固]
1．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
3n ＋1
n 为奇数，2n －2n 为偶数，
则a 2a 3等于
( ) A ．70 B ．28 C ．20 D ．8
答案：C
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A.⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
a n ＋1＝a n ＋n n ∈N
*
B.⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，a n ＝a n －1＋n n ≥2，n ∈N
*
C.⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n －1n ≥2，n ∈N *
D.⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，a n ＝a n －1＋
n －1n ∈N
*
解析：将数值代入选项验证即可．答案：B
3．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝na n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A ．240 B ．120 C ．60
D ．30
解析：逐项代入可求．答案：A
4．若数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n
3a n＋1
，则数列{a n}的第4项是( )
A.1
16B.
1 17
C.1
10D.
1 25
解析：∵a1＝1，a n＋1＝a n
3a n＋1
，
∴a2＝
a1
3a1＋1
＝
1
3＋1
＝
1
4
，a3＝
a2
3a2＋1
＝
1
4
3
4
＋1
＝
1
7
，
a4＝a3
3a3＋1＝
1
7
3
7
＋1
＝
1
10
，故选C.
答案：C
5．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n－1(n∈N*)，则a1 000＝( )
A．1 B．1 999
C．1 000 D．－1
解析：a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1(n∈N*)，∴a1 000＝1.
答案：A
6．数列{a n}中，a1＝a2＝1，a n＋2＝a n＋1＋a n，则a4＝________.
解析：由a n＋2＝a n＋1＋a n，
∴a3＝a1＋a2＝2，
a4＝a2＋a3＝1＋2＝3.
答案：3
7．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 017＝________；a 2 014＝________.
解析：依题意得a 2 017＝a 4×505－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.故分别填1,0. 答案：1 0
8．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n
·1
2n ＋1
，则a 3＝________，a 10＝
________，a 2n －1＝________.
解析：分别用3,10和2n －1去代换通项公式中的n ，得
a 3＝(－1)3·
12×3＋1＝－1
7
，
a 10＝(－1)10
·12×10＋1＝1
21
，
a 2n －1＝(－1)
2n －1
·122n －1＋1＝－1
4n －1
. 答案：－17 121 －1
4n －1
9．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．
解析：由a n ＋1＝3a n 得
a n ＋1
a n
＝3. 因此可得a 2a 1＝3，a 3a 2＝3，a 4a 3＝3，…，a n
a n －1
＝3(n ≥2)．
将上面的n －1个式子相乘可得
a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n
a n －1＝3n －1. 即a n a 1
＝3n －1
，
所以a n ＝a 1·3n －1，又a 1＝2，故a n ＝2·3n －1.
当n ＝1时，a 1＝2×30＝2也满足，故a n ＝2·3n －1.
10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n
a n ＋2(n ∈N *)，试探究数列{a n }
的通项公式．
解析：法一：将n ＝1,2,3,4依次代入递推公式得a 2＝23，a 3＝2
4，a 4
＝25，又a 1＝2
2， ∴可猜想a n ＝2n ＋1
.
应有a n ＋1＝2
n ＋2，将其代入递推关系式验证成立，
∴a n ＝
2n ＋1
. 法二：∵a n ＋1＝2a n
a n ＋2，
∴a n ＋1a n ＝2a n －2a n ＋1. 两边同除以2a n ＋1a n ，得1
a n ＋1－1a n ＝12. ∴1
a 2－1
a 1＝12，1a 3－1a 2＝12，…，1a n －1a n －1＝1
2. 把以上各式累加得1
a n －1
a 1
＝
n －1
2
.
又a 1＝1，∴a n ＝2n ＋1
.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2
n ＋1
(n ∈N *)．
[B组能力提升]
1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n3，则a6＋a7＋a8＋a9等于( ) A．729 B．387
C．604 D．854
解析：a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S5＝93－53＝604，故选C.
答案：C
2．数列7,9,11，…中，2n－1是数列的第________项( )
A．n－3 B．n－2
C．n－1 D．n
解析：a n＝2(n＋3)－1，设2n－1是数列的第m项，则2n－1＝2(m ＋3)－1，解得m＝n－3.
答案：A
3．已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6，则a10＝________.
解析：∵a p＋q＝a p＋a q，
∴a4＝2a2＝－12，
a8＝2a4＝－24，
a10＝a2＋a8＝－30.
答案：－30
4．已知数列{a n}，a1＝－1，a2＝2，a n＝a n－1＋a n－2(n≥3)，则a7＝________.
解析：分别求出a3，a4，a5，a6，即可求a7.
答案：11
5．在数列{a n}中，已知a1＝1，S n＝n2a n，求该数列的通项公式．
解析：因为S n＝n2a n，①
所以S n－1＝(n－1)2a n－1 (n≥2)．②
①－②得a n＝S n－S n－1＝n2a n－(n－1)2a n－1，可得(n2－1)a n＝(n－1)2a n－1，
即(n＋1)a n＝(n－1)a n－1，故a n
a n－1＝
n－1 n＋1
.
所以a n＝a1·a2
a1
·
a3
a2
·……·
n－1
n＋1
＝1×1
3
×
2
4
×…
n－1
n＋1
＝2
n n＋1
.
答案：2
n n＋1
6．已知数列{a n}满足lg(1＋a1＋a2＋…＋a n)＝n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式．
解析：∵S n＝a1＋a2＋…＋a n，
又lg(1＋a1＋a2＋…＋a n)＝n，∴lg(1＋S n)＝n.
∴S n＝10n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝9；
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(10n－1)－(10n－1－1)
＝9×10n－1.
∵当n＝1时也满足上式，
∴a n＝9×10n－1.
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