基于模糊集理论的一种图像二值化算法

基于模糊集理论的一种图像二值化算法的原理、实现效果及代码
这是篇很古老的论文中的算法，发表与1994年，是清华大学黄良凯（Liang-kai Huang) 所写，因此国外一些论文里和代码里称之为Huang's fuzzy thresholding method。

虽然古老也很简单，但是其算法的原理还是值得学习的。

该论文的原文可从此处下载： Image thresholding by minimizing the measure of fuzziness。

该论文结合了当时处于研究热潮的模糊集理论，提出了一种具有较好效果的图像二值化算法，本文主要是对其进行简单的翻译和注释，并提供了测试代码。

一、模糊集及其隶属度函数
首先，我们假定X代表一副大小为M×N的具有L个色阶的灰度图像，而x mn代表图像X 中点（m,n)处的像素灰度值，定义μx(x mn)表示该点具有某种属性的隶属度值，也就是说我们定义了一个从图像X映射到[0,1]区间的模糊子集，用专业的模糊集表达，即有：
其中0≤μx(x mn)≤1，m=0,1,...M-1，n=0,1,...N-1。

对于二值化来说，每个像素对于其所属的类别（前景或背景）都应该有很相近的关系，因此，我们可以这种关系来表示μx(x mn)的值。

定义h(g)表示图像中具有灰度级g的像素的个数，对于一个给定的阈值t,背景和前景各自色阶值的平均值μ0和μ1可用下式表示：
上述μ0和μ1，可以看成是指定阈值t所对应的前景和背景的目标值，而图像X中某一点和其所述的区域之间的关系，在直觉上应该和该点的色阶值与所属区域的目标值之间的差异相关。

因此，对于点(m,n)，我们提出如下的隶属度定义函数：
其中C是一个常数，该常数使得0.5≤μx(x mn)≤1。

因此，对于一个给定的阈值t，图像中任何一个像素要么属于背景，要么属于前景，因此，每个像素的隶属度不应小于0.5。

C值在实际的编程中，可以用图像的最大灰度值减去最小灰度值来表达，即C=g max-g min;
二、模糊度的度量及取阈值的原则
模糊度表示了一个模糊集的模糊程度，有好几种度量方式已经被提及了，本文仅仅使用了香农熵函数来度量模糊度。

基于香农熵函数，一个模糊集A的熵定义为：
其中香农函数：
扩展到2维的图像，图像X的熵可以表达为：
因为灰度图像至多只有L个色阶，因此使用直方图式（7）可进一步写成：
可以证明式（6）在区间[0,0.5]之间是单调递增而在[0.5,1]之间是单调递减的，并且E(X)具有以下属性：
（1）0≤E(X)≤1 ;
（2）如果μx(x mn)=0或者μx(x mn)=1时，E(X)具有最小值0，在本文中μx(x mn)只可能为1，此时分类具有最好的明确性。

（3）当μx(x mn)=0.5，E(X)获得最大值1，此时的分类具有最大的不明确性。

那么对于图像X，我们确定最好的阈值t的原则就是：对于所有的可能的阈值t,取香农熵值最小时的那个t为最终的分割阈值。

三、编程中的技巧
有了上述原理，其实编程也是件很容易的事情了，你可以按照你的想法去做，不过作者论文中的阐述会让代码写起来更清晰、更有效。

首先，为了表达方便，我们定义如下一些表达式：
根据上述表达式，可以知道S(L-1)及W(L-1)对于一副图像来说是个常量，其中S(L-1)明显就是像素的总个数。

我们的算法步骤如下：
（1）、计算S(L-1)、W(L-1)，设置初始阈值t=g min,令S(t-1)=0、W(t-1)=0;
（2）、计算下面算式:
稍微有点数学基础的人都应该能看懂上述算式的推导原理。

根据式（2）和式（3），可以知道背景和前景的区域的平均灰度值为：
上式中int表示取整操作。

（3）根据式（4）及式（11）计算图像的模糊度;
（4）令t=t+1，然后重新执行步骤2，直到t=g max-1;
（5）找到整个过程中的最小模糊度值对应的阈值t，并作为最佳的分割阈值。

为了稍微加快点速度，上述式4中的计算可以在步骤1中用一查找表实现。

四、参考代码：
public static int GetHuangFuzzyThreshold(int[] HistGram)
{
int X, Y;
int First, Last;
int Threshold = -1;
double BestEntropy = Double.MaxValue, Entropy;
// 找到第一个和最后一个非0的色阶值
for (First = 0; First < HistGram.Length && HistGram[First] == 0; First++) ;
for (Last = HistGram.Length - 1; Last > First && HistGram[Last] == 0; Last--) ;
if (First == Last) return First; // 图像中只有一个颜色
if (First + 1 == Last) return First; // 图像中只有二个颜色
// 计算累计直方图以及对应的带权重的累计直方图
int[] S = new int[Last + 1];
int[] W = new int[Last + 1]; // 对于特大图，此数组的保存数据可能会超出int的表示范围，可以考虑用long类型来代替
S[0] = HistGram[0];
for (Y = First > 1 ? First : 1; Y <= Last; Y++)
{
S[Y] = S[Y - 1] + HistGram[Y];
W[Y] = W[Y - 1] + Y * HistGram[Y];
}
// 建立公式（4）及（6）所用的查找表
double[] Smu = new double[Last + 1 - First];
for (Y = 1; Y < Smu.Length; Y++)
{
double mu = 1 / (1 + (double)Y / (Last - First)); // 公式（4）
Smu[Y] = -mu * Math.Log(mu) - (1 - mu) * Math.Log(1 - mu); // 公式（6）}
// 迭代计算最佳阈值
for (Y = First; Y <= Last; Y++)
{
Entropy = 0;
int mu = (int)Math.Round((double)W[Y] / S[Y]); // 公式17
for (X = First; X <= Y; X++)
Entropy += Smu[Math.Abs(X - mu)] * HistGram[X];
mu = (int)Math.Round((double)(W[Last] - W[Y]) / (S[Last] - S[Y])); // 公式18
for (X = Y + 1; X <= Last; X++)
Entropy += Smu[Math.Abs(X - mu)] * HistGram[X]; // 公式8 if (BestEntropy > Entropy)
{
BestEntropy = Entropy; // 取最小熵处为最佳阈值
Threshold = Y;
}
}
return Threshold;
}
代码其实还是很简单的。

五、效果：
针对一些图像，我们做了如下测试：
原图二值图，阈值=175
上图使用OSTU等经典算法都无法获得上图的理想效果。

原图 二值图，阈值=67
上图和其他一些二值算法的效果也是非常类似的。