5-圆锥曲线习题精选精讲
圆锥曲线-高中数学好题精练精讲解析版
一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知椭圆mx2+y22=1的焦距为2，则实数m=( )A. 13B. 16C. 16或12D. 13或12.已知等差数列{a n}满足4a3=3a2，则{a n}中一定为零的项是( )A. a6B. a7C. a8D. a93.已知数列{a n}中，a3=2,a7=1.若{1a n}为等差数列，则a5=( )A. 23B. 32C. 43D. 344.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15,S10=80，则S20=( )A. 145B. 250C. 360D. 4005.已知等差数列{a n}的首项为1，前n项和为S n，且对任意n≠7，S n<S7，则( )A. S13<0B. S14>0C. S15<0D. S16>06.已知数列{a n}，{b n}是等差数列，其前n项和分别为S n，T n，且S nT n =2n−34n−3，则a1+a9b2+b10=( )A. 1541B. 511C. 715D. 19417.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(−12,−15)，则E的方程为( )A. x23−y26=1 B. x24−y25=1 C. x26−y23=1 D. x25−y24=18.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=π3，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则|MN||AB|的最大值是A. 1B. √32C. √33D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1<0，S7=S12，则( )A. 数列{a n }是递减数列B. a 10=0C. S n <0时，n 的最大值是18D. S 2<S 1610.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，顶点为O ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若|AF|=3|FB|，则下列结论正确的是( ) A. 直线l 的斜率为√ 3 B. 线段AB 的长度为163C. OA ⊥OBD. 以AF 为直径的圆与y 轴相切11.已知F 1，F 2是椭圆x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)和双曲线x 2a 22−y 2b 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则以下结论正确的是 ( )A. a 12−b 12=a 22−b 22 B. b 12=3b 22 C. 14e 12+14e 22=1D. e 12+e 22的最小值为1+√ 3212.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与√ (x −a)2+(y −b)2相关的代数问题，可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点，下列结论正确的是( )A. 函数f(x)=√ x 2+4x +8−√ x 2−4x +8有1个零点B. 函数g(x)=√ x 2+4x +8−√ x 2−4x +8−2有2个零点C. 函数ℎ(x)=√ x 2+4x +8+√ x 2−4x +8有最小值4√ 2D. 关于x 的方程√ x 2+4x +8+√ x 2−4x +8=6的解为x =±3√ 55三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.经过A (2,√ 22)，B (√ 2,√ 32)两点的椭圆的标准方程为______．14.设双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若过点F 2且斜率为√ 3的直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点，则该双曲线的离心率的取值范围为________________．15.如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm时，水面宽度为6cm，当水面再上升1cm时，水面宽度为________cm．16.已知数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−2，a2n+1+a2n=3n−1(n∈N∗)，则数列{a n}的前40项和2S40=．四、解答题（本大题共6小题，共72分。
圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理)(20201128025357)
圆锥曲线一、椭圆：（1 ）椭圆的定义：平面内与两个定点F I,F2的距离的和等于常数（大于厅芾2| L 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：2a |F1F2 |表示椭圆；2a |F1F21表示线段F1 F2；2a |F1F2|没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质:2 23.常用结论：（1）椭圆笃占i（a b 0）的两个焦点为F I,F2，过F i的直线交椭圆于A, B两 a b点，贝U ABF 2的周长= _______2 2（2）设椭圆务笃1（a b 0）左、右两个焦点为F1, F2，过F1且垂直于对称轴的直线 a b交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是_______________ | PQ | ___________ 、双曲线:（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 F i , F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于 | F 1F 2 |） 的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：|PFj IPF 2I 2a 与 | PF 2 | | PF i | 2a （ 2a | F 1F 2 |）表示双曲线的一支。
2a | F 1F 2 |表示两条射线；2a | F 1F 2 |没有轨迹;（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:顶点 A 1( a,0), A 2(a,0)B 1(0, a),B 2(0,a)对称轴x 轴，y 轴；虚轴为 2b，实轴为2a 焦 占 八、、 八、、F 1( C ,0),F 2(C ,0)F 1 (0, C ), F 2(0,C )焦距El2C (C 0) 2 C2.2a b离心率e C (e 1) a（离心率越大，开口越大）渐近线b y —xaa y— xb通径2 b 2a（4）等轴双曲线为x 2 y 2 t 2，其离心率为 2中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准 方程2x~2 a2y1( a 0,b0)b2y~2a2（3）双曲线的渐近线：①求双曲线匚〔的渐近线，可令其右边的1为0,即得乂 .2 ' 2a 2b 22yb 2，因式分解得到A y 0。
直击2024年高考——高三数学圆锥曲线考点精讲(全国版)
圆锥曲线考点精讲1．椭圆的定义平面内与两个定点12F F ，的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．焦距的一半叫做半焦距。
2．椭圆的标准方程及简单几何性质3．椭圆离心率求解方法 (1)直接法求离心率直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解. (2)焦点三角形求离心率焦点三角形中焦距与另外两边长和的比为2c2a ，即离心率的值，同时我们也可以利用正弦定理把边的比转化为角度正弦值的比. (3)几何转化求离心率根据所给条件，挖掘几何图形中的线段长度关系，位置关系，图形角度关系等，求解出c 与a 的值或c 与a 的比值. (4)代数变形求离心率根据条件及几何图形，列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解． 4．椭圆焦点有关的结论(1) 椭圆焦点三角形周长：()2l a c =+. (2) 椭圆焦点三角形面积：2tan2P S b c y θ==（θ 为焦点三角形的张角∠F 1PF 2）.(3)若焦点三角形的内切圆半径为r ，则面积还可表示为：S =12rl （l 为焦点三角形周长）.(4) 椭圆中的两个最大张角①已知1F 、2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，则当点P 为椭圆短轴的端点时，12F PF ∠最大．②已知A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴上的两个顶点，Q 为椭圆上任意一点，则当点Q 为椭圆短轴的端点时，AQB ∠最大． 5．双曲线的定义平面内与两个定点12F F ，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．6．双曲线的标准方程及简单几何性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
高中生圆锥曲线练习题及讲解
高中生圆锥曲线练习题及讲解圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，通常包括椭圆、双曲线和抛物线。
下面是一些圆锥曲线的练习题以及相应的讲解。
### 练习题1：椭圆的标准方程给定一个椭圆的两个焦点距离为2c，且长轴长度为2a，求椭圆的标准方程。
解答步骤：1. 根据椭圆的性质，我们知道长轴和短轴的关系为 \( a^2 = b^2 +c^2 \)。
2. 题目给出 \( 2c \) 和 \( 2a \)，可以求出 \( c \) 和 \( a \) 的值。
3. 将 \( c \) 和 \( a \) 的值代入上述公式，求出 \( b \) 的值。
4. 最终，椭圆的标准方程为 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)。
### 练习题2：双曲线的渐近线已知双曲线的方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，求其渐近线方程。
解答步骤：1. 双曲线的渐近线方程可以通过 \( \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 0 \) 得到。
2. 将上述方程简化，得到 \( y = \pm \frac{b}{a}x \)。
3. 这就是双曲线的渐近线方程。
### 练习题3：抛物线的焦点和准线给定抛物线的方程 \( y^2 = 4ax \)，求其焦点和准线。
解答步骤：1. 抛物线的焦点位于 \( (a, 0) \)。
2. 准线方程为 \( x = -a \)。
3. 焦点和准线是抛物线的重要特征，可以通过方程直接得出。
### 练习题4：圆锥曲线的参数方程已知椭圆的参数方程为 \( x = a \cos(\theta) \) 和 \( y = b\sin(\theta) \)，求其标准方程。
解答步骤：1. 将参数方程中的 \( \cos(\theta) \) 和 \( \sin(\theta) \) 替换为 \( x/a \) 和 \( y/b \)。
解圆锥曲线问题常见题型,例题及讲解
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析
X = —½距离为6,点P,Q是椭圆上的两个动点©
C
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP丄40,求证：直线P0过泄点R,并求出R点的坐标。
【例二・】已知一动圆经过点M(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲 线C。
(1)求曲线C的方程；
(2)过点N(1,O)任意作两条互相垂直的直线∕1,∕2,分别交曲线C于不同的两点A,B和
的焦点，直线4F的斜率为少，O为坐标原点。
3
（1）求E方程；
（2）设过点A的直线/与E相交于PQ两点，当AOP0的面积最大时，求/的方
程。
专题练习
1•在平面直角坐标系XOy中，已知点A（O,—OB点在直线y = -3±, M点满足
MB//QA,莎•亦=屁•鬲M点的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程：
(2)P为C上的动点，/为C在P点处的切线，求O点到/距离的最小值。
10.抛汤钱屮阿基来德三角形鲂纟见般质及疝用
11.(S傩曲钱屮的戒切後龜哩
锥曲线中的求轨迹方程问题
解题技巧
求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的髙频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、
相关点法、泄义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下：
1.直译法求轨迹的步骤：
(1)设求轨迹的点为P(χ,y);
(2)由已知条件建立关于x,y的方程；
D,Q设线段ABQE的中点分别为几。・
①求证：直线P0过左点R,并求出泄点/?的坐标;
②求PGl的最小值。
专题练习
1.设椭圆E:丄y+ =y=l（α> b > 0）的右焦点到直线x-y + 2√z2=0的距离为3,且过点Cr Ir
I
专题50 圆锥曲线(多选题部分)(解析版)
专题50 圆锥曲线（多选题部分）一、题型选讲题型一 、圆锥曲线定义与性质的考查例1、（202年山东卷）已知曲线22:1C mx ny +=（ ） A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 B ．若0m n =>，则CC ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【答案】AD【详解】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =，为两条直线，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n<<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确.例2、已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为2213x y -=B ．CC ．曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点 D．直线10x -=与C 有两个公共点【答案】AC【详解】对于A：由双曲线的渐近线方程为3y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确； 对于B ：由23a =，21b =，得2c =，∴双曲线C=，故B 错误； 对于C ：取20x +=，得2x =-，0y =，曲线21x y e +=-过定点(2,0)-，故C 正确；对于D ：双曲线的渐近线0x ±=，直线10x --=与双曲线的渐近线平行，直线10x -=与C 有1个公共点，故D 不正确．故选：AC ．例3、（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】ABCD【解析】由双曲线的定义知：， 由，在中，由余弦定理可得：，22221(0,0)x y a b a b-=>>12,,F F P122PF PF =12sin 4F PF ∠=,,,a b c e e =2e =b =b =12212,4PF PF PF a PF a -==∴=12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±12PF F △222416412244a a c a a +-=±⨯⨯解得或，， 或，又， 可得或故选：ABCD例4、已知双曲线，若的离心率最小，则此时（ ）A．BC ．双曲线的一个焦点坐标为D【答案】AB【解析】因为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，，所以．又双曲线的离心率，则．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，则双曲线的离心率最小时，，，，则双曲，故A ，B 正确；双曲线的焦点坐标为（，0），故C 错误；焦点，故D 错误.故选：AB ．题型二圆锥曲线的综合性问题例5、的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）224c a =226c a=2ce a∴==2c a ∴=c =222c a b =+b =b =()222:104x y C m m m m -=>-+C 2m =0y ±=)0m >C x 2a m =224b m m =-+224c m =+c e a =222244c m e m a m m+===+0m >244e m m =+≥=4m m=2m =C 22a =26b =28c =0y ±=±()0y +=2==A ．2112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A BD ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F【答案】BD【详解】∵椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---对于A ，若2112212A F F A F F ⋅=，则22()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴13e =，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒∠=，∴222211112A F B F B A =+ ∴2222()a c a a b +=++，∴220c ac a +-= ∴210e e +-=，解得e =e =，故B 符合条件； 对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，∴2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵21PO A B k k =∴2b c ab a =--，解得 ∵，∴b c =222a b c =+a =∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的内切圆过焦点即四边形的内切圆的半径为c，∴∴，∴，解得（舍去）或，∴，故D符合条件．例6、已知椭圆()22:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F且122F F=，点()1,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP+的最小值为1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为⎛⎝⎭D．若11PF FQ=，则椭圆C【答案】ACD【详解】A.因为12||2F F，所以22(1,0),||1F PF=，所以122||||||||||1QF QP QF QP PF+=+≥=，当2,,Q F P，三点共线时，取等号，故正确；B．若椭圆C的短轴长为2，则1,2b a==，所以椭圆方程为22121x y+=，11121+>，则点P在椭圆外，故错误；C．因为点(1,1)P在椭圆内部，所以111a b+<，又1a b-=，所以1b a=-，所以1111+<-a a，即2310a a-+>，解得236(1244a+++>==，12+>，所以12=<e，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故正确；2cea===1221A B A B12,F F1221A B A B ab=422430c a c a-+=42310e e-+=235e+=235e-=51e-=D ．若11PF FQ =，则1F 为线段PQ 的中点，所以(3,1)Q --，所以911+=a b，又1a b -=，即21190-+=a a ，解得a ====，所以椭圆C，故正确．例7、（2020·山东高三开学考试）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点、，则（ ）A ．若、同在双曲线的右支，则的斜率大于B ．若在双曲线的右支，则最短长度为C ．的最短长度为D ．满足的直线有4条 【答案】BD【解析】易知双曲线的右焦点为，设点、，设直线的方程为， 当时，直线的斜率为， 联立，消去并整理得. 则，解得. 对于A 选项，当时，直线轴，则、两点都在双曲线的右支上，此时直线的斜率不存在，A 选项错误；对于B 选项，，B 选项正确； 对于C 选项，当直线与轴重合时，，C 选项错误； 对于D 选项，当直线与轴重合时，； 当直线与轴不重合时，由韦达定理得，， 22:1916x y C -=F l A B A B l 43A FA 2AB 32311AB =C ()5,0F ()11,A x y ()22,B x y l 5x my =+0m ≠l 1k m=225169144x my x y =+⎧⎨-=⎩x ()221691602560m y my -++=()()222222169016042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩34m ≠0m =l x ⊥A B l min 532F c a A =-=-=l x 32263AB a ==<l x 2611AB a ==≠l x 122160169m y y m +=--122256169y y m =-由弦长公式可得，解得或.故满足的直线有条，D 选项正确. 故选：BD.例8、（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．的最小值为B ．椭圆的短轴长可能为2C ．椭圆的离心率的取值范围为D ．若，则椭圆【答案】ACD【解析】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；()2122961169m AB y y m +=-==-()226161611169m m +==-4m =±m =11AB =4()22:10x y C a b a b+=>>1F 2F 122F F =()1,1P Q 1QF QP +21a -C C ⎛ ⎝⎭11PF FQ =C 122F F =()221,0,1=F PF 1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a 2,,Q F P C 1,2b a ==22121x y +=11121+>P ()1,1P 111a b+<1a b -=1b a =-1111+<-a a 2310a a -+>(2136244++>==a >12=<e C 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以椭圆的，故正确.故选：ACD例9、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，11PF FQ =1F PQ ()3,1Q --911+=a b1a b -=21190-+=a a 21122244++===a =C这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．二、达标训练1、（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等【答案】CD【解析】双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10．双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10． 所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等． 故选：．2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；221:1916x y C -=222:1916y x C -=-221:1916x y C -=(3,0)430x y ±=53222:1916y x C -=-221169x y -=(4,0)±340±=x y 54CDB 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离： 对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.5、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC【解析】2216x y += a ∴=，1b =c ∴===C 的焦距为c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ =. 故选：BC .6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确； 对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC7、（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ） A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线仅有1条【答案】AC【解析】设点，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A 正确；又离心率，故B 不正确； 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C 正确；直线与曲线的方程联立整理得，设， ，且，xOy P ()1F)2F 13P E l ()2y k x =-E A B E 221(3x y x -=≠E E ()2221x y -+=AB =l (),P xy 13=2213x y -=P E 221(3x y x -=≠e ==()2221x y -+=()20，E y x =1d ==()2221x y -+=l E ()2221(3y k x x y x ⎧=-⎪⎨-=≠⎪⎩()222213+121230k x x k k ---=()()1122,,A B x y x y ，()()()224214441312312+1>0kk kk ∆=----=2130k -≠有，所以， 要满足，则需或或，当,此时，而曲线E 上，所以满足条件的直线有两条，故D 不正确，故选：AC .2122221212123+,1313x xx k x kk k ---==--)221+13k AB k===-AB =)221+13k k=-0k =1k =1k =-0k =)()AB ，x ≠。
高考数学圆锥曲线习题精选精讲可编辑
学前教育理论与实务袁玉长春光华学院．第三章学前教育观第一节学前教育的价值第二节学前教育的发展第三节学前教育的目标第四节科学学前教育观的树立学前儿童的因材施教第五节第一节学前教育的价值一、学前教育在儿童发展中的作用学前教育对于儿童的成长至关重要。
无论是对胎儿，还是对婴儿，或是对幼儿，只要有适宜的教育和训练，就能得到很好的成长与发展。
（一）保证胎儿健康的出生胎儿在5个月，听觉系统的发育已基本完善，6－7个月时能分辨出母亲的情感。
孕妇的情绪会通过神经——体液的变化，去影响胎儿的血液供应、呼吸、胎动等。
（二）保证婴儿及时的成长婴儿期是学前儿童发展的第二个重要时期。
有研究者认为：儿童八个月-2岁这段时期是特别重要的，因为语言、好奇心、智能和社会化的发展等基础都是在此期间奠定的、脑科学研究的人员发现：每个人的学习能力的50%是在生命的头4年发展起来的，早期学习不但不会剥夺童年的换了，而且能够为儿童提供各种发展的良机。
1.母乳喂养有利于婴儿免疫能力的增强。
母乳喂养对婴儿的呼吸道有保护作用，能降低呼吸道的发病率，母乳中含有较多的疾病免疫的因子，有助于刺激婴儿免疫系统的成熟。
母乳最佳喂养方式：产后半小时开始喂奶；出生后4个月内坚持母乳喂养，4-6个月开始添加辅食，具体月龄依婴儿生长情况而定，6个月月龄的婴儿均应添加辅食。
2.母亲注意卫生保健有利于婴儿的生长发育。
在婴儿哺乳期间，母亲吸烟，分泌的乳汁会减少，并增加婴儿的支气管和肺炎发生率。
3.成人重视体育锻炼，有助于婴儿健康成长。
成人注意语言刺激有利于婴儿4.的智力发展。
成人注意激发阅读兴趣有益于5.婴儿良好品行的塑造。
．成人注意音乐刺激有助于婴儿6.的情感陶冶。
（三）保证幼儿迅速的发展1.重视体育锻炼，能促进幼儿身心健康成长。
重视音乐训练，能提高幼儿的智力水平。
2.3.幼儿期教育能为儿童做好入学准备。
研究表明：上过幼儿园的儿童与未上过幼儿园的儿童相比，适应小学生活的能力更强，语文、数学平均成绩更高，当班干部、三好学生的比例更大。
2017高考--圆锥曲线专题精讲
(a>b>0)右焦点的直线x+y- =0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为 .
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
2）.已知椭圆C:x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
（A） （B） （C） 或 （D） 或
（2）已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C．2D．2
（3）.若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
例题4 思想方法
1）.已知 ，且满足方程 ，又 ，求m围
(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.
练习：
1).已知点A(0,-2),椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为 ,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
圆锥曲线精讲专题
基பைடு நூலகம்知识回顾：
三个基础：定义 方程（标准方程+轨迹方程） 离心率
两大必备：弦长问题 焦点三角形问题
一个基本思想：坐标化参数化纯粹化（数形结合思想）
1.若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
2.若 在椭圆 外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .
专题圆锥曲线的综合问题精讲(含解析)
圆锥曲线的综合问题【考情分析】1.会证明与曲线上动点有关的定值问题，会处理动曲线(含直线)过定点的问题．1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2. 理解数形结合的思想；3. 会求与圆锥曲线有关的范围、最值问题．【典型题分析】高频考点一定点问题例1.(2020·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【方法技巧】圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线和圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．【变式探究】(2020·河南开封模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴的长与短半轴的长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．高频考点二 定值问题例2.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．【方法技巧】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【变式探究】（2020·山东潍坊模拟）直线l 与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，已知m ＝(ax 1，by 1)，n ＝(ax 2，by 2)，若椭圆的离心率e ＝32，且经过点⎝⎛⎭⎫32，1，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程．(2)当m⊥n 时，△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．高频考点三范围问题【例3】(2020·辽宁大连模拟)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，离心率为12，点F1为圆M：x2＋y2＋2x－15＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过点F2且与直线l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．【方法技巧】圆锥曲线中范围问题的五个解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【变式探究】(2020·河南郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，离心率为3 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．高频考点四最值问题例4.（2020·河北承德一中模拟）已知抛物线E：y2＝2px(0＜p＜10)的焦点为F，点M(t,8)在抛物线E 上，且|FM|＝10.(1)求抛物线E 的方程；(2)过点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A ，B ，C ，D ，P 、Q 分别为弦AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值．【方法技巧】圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解． (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．【变式探究】(2020·安徽合肥模拟)已知直线l ：x －y ＋1＝0与焦点为F 的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切． (1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 的直线m 与抛物线C 分别相交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值． 高频考点五 证明问题例5.(2018·全国卷△)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：△OMA ＝△OMB .【方法技巧】圆锥曲线中常见的证明问题(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明．【变式探究】(2017·全国卷△)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 高频考点六 存在性问题例6.(2020·福建泉州五中模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量BF 1→·BF 2→＝0.(1)若A (2,0)，求椭圆的标准方程；(2)设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，问是否存在过点F 2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．【变式探究】(2020·黑龙江哈尔滨三中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在圆x 2＋y 2＝3上是否存在一点P ，使得在点P 处的切线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且满足OM →△ON →？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由．【典型题分析】 高频考点一 定点问题例1.(2020·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B.求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解析】(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)抛物线C 的焦点为F (0，－1)，设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y 得x 2＋4kx －4＝0. 设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝⎝⎛⎭⎫－x 1y 1，－1－n ，DB →＝⎝⎛⎭⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝⎛⎭⎫－x 214⎝⎛⎭⎫－x 224＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，则n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3)．【方法技巧】圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线和圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． 三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．【变式探究】(2020·河南开封模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴的长与短半轴的长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解析】(1)由题意得，c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2，△a ＝2，b ＝1.△椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. △Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. △点B 在以线段MN 为直径的圆上， △BM →·BN →＝0.△BM →·BN →＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0， △(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．△直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意． 故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－35. 高频考点二 定值问题例2.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．【解析】(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)△(－3,0)△(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λ QO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．【方法技巧】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【变式探究】（2020·山东潍坊模拟）直线l 与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，已知m ＝(ax 1，by 1)，n ＝(ax 2，by 2)，若椭圆的离心率e ＝32，且经过点⎝⎛⎭⎫32，1，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程．(2)当m⊥n 时，△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【解析】 (1)由题意得⎩⎨⎧e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.△椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)△当直线AB 斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，由已知m·n ＝0，得4x 21－y 21＝0，△y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，△x 21＋4x 214＝1，△|x 1|＝22，|y 1|＝2， 三角形的面积S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|·2|y 1|＝1，三角形的面积为定值．△当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.则Δ＞0，即4k 2t 2－4(k 2＋4)(t 2－4)＞0， x 1＋x 2＝－2kt k 2＋4，x 1x 2＝t 2－4k 2＋4.△m⊥n ，△4x 1x 2＋y 1y 2＝0，△4x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0， 代入整理得2t 2－k 2＝4.而S △AOB ＝12·|t |1＋k 2·|AB |＝12|t |·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|t |4k 2－4t 2＋16k 2＋4＝4t 22|t |＝1，△△AOB 的面积为定值． 高频考点三 范围问题【例3】(2020·辽宁大连模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，离心率为12，点F 1为圆M ：x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，过点F 2且与直线l 垂直的直线l 1与圆M 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的取值范围．【解析】(1)由题意知c a ＝12，则a ＝2c .圆M 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，即c ＝1.所以a ＝2. 由b 2＝a 2－c 2，得b ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知椭圆右焦点F 2(1,0)．△当直线l 与x 轴垂直时，此时斜率k 不存在，直线l ：x ＝1，直线l 1：y ＝0，可得|AB |＝3，|CD |＝8，四边形ACBD 的面积为12.△当直线l 与x 轴平行时，此时斜率k ＝0，直线l ：y ＝0，直线l 1：x ＝1，可得|AB |＝4，|CD |＝43，四边形ACBD 的面积为8 3.△当直线l 与x 轴不垂直也不平行时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.显然Δ＞0，且x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12(k 2＋1)4k 2＋3.过点F 2(1,0)且与直线l 垂直的直线l 1：y ＝－1k (x －1)，则圆心到直线l 1的距离为2k 2＋1，所以|CD |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形ACBD 的面积S ＝12|AB ||CD |＝121＋14k 2＋3. 可得当直线l 与x 轴不垂直时，四边形ACBD 面积的取值范围为(12,83)． 综上，四边形ACBD 面积的取值范围为[12,83]． 【方法技巧】圆锥曲线中范围问题的五个解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有： (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【变式探究】(2020·河南郑州模拟)已知椭圆的一个顶点A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． 【解析】 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.故椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)为弦MN 的中点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4(m 2－1)4k 2＋1.Δ＝(8km )2－16(4k 2＋1)(m 2－1)＞0， 所以m 2＜1＋4k 2.△所以x 0＝x 1＋x 22＝－4km 4k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝m4k 2＋1.所以k AP ＝y 0＋1x 0＝－m ＋1＋4k 24km .又|AM |＝|AN |，所以AP △MN ，则－m ＋1＋4k 24km ＝－1k，即3m ＝4k 2＋1. △把△代入△得m 2＜3m ，解得0＜m ＜3. 由△得k 2＝3m －14＞0，解得m ＞13.综上可知，m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，3. 高频考点四 最值问题例4.（2020·河北承德一中模拟）已知抛物线E ：y 2＝2px (0＜p ＜10)的焦点为F ，点M (t,8)在抛物线E 上，且|FM |＝10.(1)求抛物线E 的方程；(2)过点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A ，B ，C ，D ，P 、Q 分别为弦AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值．【解析】(1)抛物线E 的准线方程为x ＝－p 2.由抛物线的定义可得|FM |＝t ＋p 2＝10，故t ＝10－p2.由点M 在抛物线上，可得82＝2p ⎝⎛⎭⎫10－p2，整理得p 2－20p ＋64＝0，解得p ＝4或p ＝16， 又0＜p ＜10，所以p ＝4. 故抛物线E 的方程为y 2＝8x .(2)由(1)知抛物线E 的方程为y 2＝8x ，焦点为F (2,0)，由已知可得AB △CD ，所以两直线AB ，CD 的斜率都存在且均不为0. 设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为－1k ，故直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝k (x －2)，消去x ，整理得ky 2－8y －16k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8k，因为P (x P ，y P )为弦AB 的中点，所以y P ＝12(y 1＋y 2)＝4k ，由y P ＝k (x P －2)得x P ＝y P k ＋2＝4k 2＋2，故P ⎝⎛⎭⎫4k 2＋2，4k . 同理可得Q (4k 2＋2，－4k )．故|QF |＝(4k 2＋2－2)2＋(－4k )2＝16k 4＋16k 2＝4k 2(1＋k 2)，|PF |＝16k 4＋16k 2＝41＋k 2k 2. 因为PF △QF ，所以△FPQ 的面积S ＝12|PF |·|QF |＝12×41＋k 2k 2×4k 2(1＋k 2)＝8×1＋k 2|k |＝8⎝⎛⎭⎫|k |＋1|k |≥8×2|k |·1|k |＝16，当且仅当|k |＝1|k |，即k ＝±1时，等号成立． 所以△FPQ 的面积的最小值为16.【方法技巧】圆锥曲线中最值问题的解决方法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解． (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．【变式探究】(2020·安徽合肥模拟)已知直线l ：x －y ＋1＝0与焦点为F 的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切． (1)求抛物线C 的方程；(2)过焦点F 的直线m 与抛物线C 分别相交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值． 【解析】(1)△直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)相切，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2py ＋2p ＝0，从而Δ＝4p 2－8p ＝0，解得p ＝2或p ＝0(舍)．△抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，可设直线m 的方程为ty ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ty ＝x －1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，△Δ＞0，△y 1＋y 2＝4t ，即x 1＋x 2＝4t 2＋2， △线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2＋1,2t )．设点A 到直线l 的距离为d A ，点B 到直线l 的距离为d B ，点M 到直线l 的距离为d ， 则d A ＋d B ＝2d ＝2·|2t 2－2t ＋2|2＝22|t 2－t ＋1|＝22⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －122＋34， △当t ＝12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为322.高频考点五 证明问题例5.(2018·全国卷△)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：△OMA ＝△OMB .【解析】(1)由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1. 由已知可得，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，22或⎝⎛⎭⎫1，－22. 又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明：当l 与x 轴重合时，△OMA ＝△OMB ＝0°.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以△OMA ＝△OM B.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2. 由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k 得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k （x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0.从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补．所以△OMA ＝△OMB .综上，△OMA ＝△OMB . 【方法技巧】圆锥曲线中常见的证明问题(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明．【变式探究】(2017·全国卷△)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 【解析】(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)， 则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )， OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →△PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 高频考点六 存在性问题例6.(2020·福建泉州五中模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量BF 1→·BF 2→＝0.(1)若A (2,0)，求椭圆的标准方程；(2)设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，问是否存在过点F 2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由．【解析】(1)易知a ＝2，因为BF 1→·BF 2→＝0， 所以△BF 1F 2为等腰直角三角形． 所以b ＝c ，由a 2－b 2＝c 2可知b ＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由已知得b 2＝c 2，a 2＝2c 2，设椭圆的标准方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1，点P 的坐标为(x 0，y 0)．因为F 1(－c,0)，B (0，c )，所以F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )， 由题意得F 1P →·F 1B →＝0，所以x 0＋c ＋y 0＝0.又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c 2＝1，由以上两式可得3x 20＋4cx 0＝0. 因为P 不是椭圆的顶点，所以x 0＝－43c ，y 0＝13c ，故P ⎝⎛⎭⎫－43c ，13c . 设圆心为(x 1，y 1)，则x 1＝－23c ，y 1＝23c ， 圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c . 假设存在过点F 2的直线满足题设条件，并设该直线的方程为y ＝k (x －c )， 由相切可知|kx 1－kc －y 1|k 2＋1＝r ， 所以⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－23c －kc －23c k 2＋1＝53c ， 即20k 2＋20k －1＝0，解得k ＝－12±3010. 故存在满足条件的直线，其斜率为－12±3010. 【变式探究】(2020·黑龙江哈尔滨三中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，点F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在圆x 2＋y 2＝3上是否存在一点P ，使得在点P 处的切线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且满足OM →△ON →？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)△e ＝1－b 2a 2＝12，△3a 2＝4b 2. 又△|AB |＝2b 2a＝3，△a ＝2，b ＝ 3. △椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在点P ，使得OM →△ON →.当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝3或x ＝－3，与椭圆C ：x 24＋y 23＝1相交于M ，N 两点， 此时M ⎝⎛⎭⎫3，32，N ⎝⎛⎭⎫3，－32或M ⎝⎛⎭⎫－3，32，N ⎝⎛⎭⎫－3，－32， △OM →·ON →＝3－34＝94≠0， △当直线l 的斜率不存在时，不满足OM →△ON →. 当直线l 的斜率存在时，设y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. △直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，△Δ＞0，化简得4k 2＞m 2－3.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，△x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. △OM →·ON →＝0，△4m 2－123＋4k 2＋3m 2－12k 23＋4k2＝0，△7m 2－12k 2－12＝0.又△直线l 与圆x 2＋y 2＝3相切，△3＝|m |1＋k 2， △m 2＝3＋3k 2，△21＋21k 2－12k 2－12＝0， 解得k 2＝－1，显然不成立，△在圆上不存在这样的点P 使OM →△ON →成立。
圆锥曲线(课堂讲义和例题)
专题1 焦长与焦比体系】过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的三角形的周长是 ．【例2】 过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则 的数值为（ ） A ． B ．C ．D ．与、斜率有关【例3】设直线与椭圆相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点F .（1）证明：；（2）若F 是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．【例4】设椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，一个顶点，离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）若椭圆左焦点为，右焦点，过且斜率为1的直线交椭圆于，求的面积.秒杀秘籍：椭圆焦长以及焦比问题体:过椭圆的左焦点F 1的弦与右焦点F 2围成的三角形的周长是4a ；焦长公式：A 是椭圆上一点，、是左、右焦点，为，过，c 是椭圆半焦距，则（1）；（2）；（3）．体面积：，． 证明：（1）如图所示，，故； （2）设由余弦定理得 ；整理得 ；整理得则过焦点的弦长.（焦长公式）焦比定理：过椭圆的左焦点F 1的弦，，令，即，代入弦长公式可得．yO F 2AB xF 1【例5】已知椭圆C：的左右顶点为A，B，点P为椭圆C上不同于A，B，的一点，且直线P A，PB的斜率之积为；（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆C的左焦点，直线l过点F与椭圆C交与不同的两点M，N，且求直线l的斜率．【例6】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若，轴，则椭圆E的方程为．【例7】（2011•浙江）设F1，F2分别为椭圆的焦点，点A，B在椭圆上，若,则点A的坐标是．【例8】（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，．（1）若，的周长为16，求；（2）若，求椭圆E的离心率．_________.【例10】过双曲线的左焦点F 1作倾斜角为的直线交双曲线于A 、B 两点，则=________.【例11】已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若，若是以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． B ．C ．D ．注意：关于这类型焦比双曲线求离心率的题目很多，通常需要利用双曲线的几何性质把拥有焦比的较长的那段用关于的式子表示出来，再利用（交一支）或者（交两支）得出离心率.证明：1． ；同理. 2．．3．设O 到AB 的距离为,则 ，故． 4．，． 5．；；；．关于抛物线的焦长公式及定理（A 为直线与抛物线右交点，B 为左交点，为AB 倾斜角） 1．；2． 3．；4．设，则； 5．设AB 交准线于点P ，．【例12】已知抛物线C ：的焦点为F ，直线与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若，则m 的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【例13】已知抛物线的方程为，过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且，O 为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ） A ． B ． C ． D ．【例14】过抛物线的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若，且则此抛物线的方程为（ ）若交于两支时，，代入弦长公式可得．秒杀秘籍：抛物线焦长公式及性质 1．．2．．3．．4．设,则．5．设AB 交准线于点P ，则；．秒杀秘籍：过焦点的弦与其中垂线的性质 1.设椭圆焦点弦的中垂线与长轴的交点为，则与之比是离心率的一半（如图）。
圆锥曲线之定值定点问题 经典例题+题型归纳+解析
又
y1
−
y2
=
k(x1
+
x2
−
4)
=−
8k 1 + 4k2
，
所以直线
PQ
பைடு நூலகம்的斜率
kPQ
=
y1−y2 x1 − x2
=
1 2
，所以直线
PQ
的斜率为定值
，该值为
21 .
方法二 设直线 PQ 的方程为 y = kx + b，
点
P(x1,y1),Q(x2,y2)
则
y1
=
kx1
+
b,y2
=
kx2
+
b，所以
kPA
二、例题精讲
题型一: 斜率为定值
例1.
已知椭圆
C
： xa22
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
的离心率为
3 2
，且过点
A(2,1)．若
P
，Q
是椭圆
C
上的两个动
点，且使 ∠PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若
不是，请说明理由．
【解析】方法一 ：因为椭圆
由
y = kx +
x2 8
+
y2 2
b =
1
得（1
+
4k2)x2
+
8kbx
+
4b2
−
8
=
0
②则
x1
+
x2
=−
8kb 1 + 4k2
圆锥曲线大题全攻略含答案详解
《圆锥曲线大题全攻略》系列课程1.求轨迹方程问题2.圆锥曲线中的定点问题3.圆锥曲线中的定值问题4.圆锥曲线中的最值问题5.点差法解决中点弦问题6.常见几何关系的代数化方法7.圆锥曲线中的非对称“韦达定理”问题处理技巧8.圆锥曲线中的三点共线问题9.巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题10.抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用11.圆锥曲线中的双切线题型圆锥曲线中的求轨迹方程问题解题技巧求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。
它们的解题步骤分别如下：1. 直译法求轨迹的步骤：（1）设求轨迹的点为);,(y x P（2）由已知条件建立关于y x ,的方程；（3）化简整理。
2. 相关点法求轨迹的步骤：（1）设求轨迹的点为),(y x P ，相关点为),(O O y x Q ;（2）根据点的产生过程，找到),(y x 与),(O O y x 的关系，并将O O y x ,用x 和y 表示；（3）将),(O O y x 代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程。
3. 定义法求轨迹方程：（1）分析几何关系；（2）由曲线的定义直接得出轨迹方程。
4. 参数法求轨迹的步骤：（1）引入参数；（2）将求轨迹的点),(y x 用参数表示；（3）消去参数；（4）研究范围。
【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。
【例2.】已知点P 在椭圆1422=+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 31=求动点M 的轨迹方程。
【例3.】已知圆),,(,)(:0236222B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。
【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。
5-圆锥曲线习题精选精讲
圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PFD ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
圆锥曲线精讲
圆锥曲线圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
b5E2RGbCAP圆锥曲线分类圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线p1EanqFDPw椭圆：到两个定点的距离之和等于定长<定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|>}。
DXDiTa9E3d双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值<定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|>}。
RTCrpUDGiT 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。
早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
5PCzVD7HxA1）椭圆参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 >直角坐标<中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 12）双曲线参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 >直角坐标<中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2 /a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴） jLBHrnAILg3）抛物线参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数> t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0xHAQX74J0X直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c <开口方向为x轴, a<>0 > LDAYtRyKfE圆锥曲线<二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 Zzz6ZB2Ltkρ=ep/(1-e×co sθ>其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
最新高考一轮复习金榜聚焦： 圆锥曲线经典精讲 精品讲义
圆锥曲线经典精讲主讲教师：王春辉 北京数学特级教师引入从一道题谈起：若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点P ，使得12120A PA ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是 ．归纳与总结 （１）从椭圆01:2222>>=+b a by a x C ，上的点P 看长轴两端点的视角达最大时，点P 位于 ； （２）从椭圆01:2222>>=+b a by a x C ，上的点P 看两焦点的视角达到最大时，点P 位于 ； （３）从椭圆01:2222>>=+b a by a x C ，上的点P 看短轴两端点的视角达最小时，点P 位于 ．重难点突破题一：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．（１）１若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；２若椭圆上存在点P ，使得∠APB =90°，求椭圆离心率的取值范围；（２）直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，求证：2222||||a b ON OM +为定值．金题精讲题一：过抛物线24x y =的焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，过M ，N 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T ． （Ⅰ）求FT MN ⋅的值；（Ⅱ）求证：FT 是MF 和NF 的等比中项．题二：已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12F F 、分别为C 的左、右焦点．P 为C 右支上一点，且12=,3F PF π∠ 12F PF ∆的面积为233a ．（Ⅰ）求C 的离心率e ；（Ⅱ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数(0)λλ>,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．引入题一：6(0,3重难点突破题一：；（２）定值为22ab，证明略金题精讲题一：（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明略题二：（Ⅰ）２；（Ⅱ）存在， =２．。
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圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PFD ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0ab >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
如（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22--- ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x+的最小值是___2）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222by a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。
如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226xy -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)23,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222ab c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。
4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
如（1）若椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值是__（答：3或325）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）（2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：ce a=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：by x a=±。
如（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______）；（2）双曲线221ax by -=:a b = （答：4或14）；（3）设双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]32ππ）；（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：ce a=，抛物线⇔1e =。
如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a）； 5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔22220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（答：(-315,-1)）；（2）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m +=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）； （2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222by a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：4,3⎧⎪±⎨⎪⎪⎩⎭）；（3）过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条（答：3）；（4）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x yy +=与抛物线C 的位置关系是_______（答：相离）；（5）过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11_______（答：1）；（6）设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求椭圆284722=+y x上的点到直线01623=--y x 的最短距离（答：13）；（8）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。
①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①(；②1a =±）； 7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r ed=，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。