《平行线的证明》题型解读与导练
第七章 平行线的证明单元测试卷（含解析）
第七章平行线的证明单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列命题：①平方等于其本身的数有0，±1；②32xy3是4次单项式；③将方程=1.2中的分母化为整数，得=12；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AO平分∠BAC，AO⊥BC，DE⊥BC，GH⊥BC，垂足分别为O、E、H，且DO∥AC，∠B=43°，则图中角的度数为47°的角的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°4．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E=（）A．40°B．36°C．20°D．18°5．如图，AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP等于（）A．10°B．15°C．5°D．7.5°6．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+EC=5，则DE等于（）A．7 B．6 C．5 D．47．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76°B．78°C．80°D．82°8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（）A．34°B．40°C．42°D．46°9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）10．已知，如图AB∥CD，∠1=∠2，EP⊥FP，则以下错误的是（）A．∠3=∠4 B．∠2+∠4=90°C．∠1与∠3互余D．∠1=∠3二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．用推理的方法判断为正确的命题叫做．12．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．第n次操作，分别作∠ABE n﹣1若∠E n=1度，那∠BEC等于度13．将一副直角三角尺如图放置（其中∠A=60°，∠F=45°），点E在AC上，ED∥BC，则∠AEF的度数是．14．如图，∠1=52°，∠2=128°，∠C=∠D．探索∠A与∠F的数量关系为．15．说理解答题在空白处填上适当的内容（理由或数学式）解：在ABC中∠B+∠ACB+∠BAC=180°∴∠BAC=180°﹣∠B﹣（等式的性质）=180°﹣36°﹣110°=∵AE是∠BAC的平分线（已知）∴∠CAE=∠BAC=17°∵AD是BC边上的高即AD⊥BC （已知）∴∠D=∵∠AC E是△ACD的外角（已知）∴∠ACE=∠CAD+∠D∴∠CAD=∠ACE﹣∠D （等式的性质）=110°﹣90°═20°∴∠DAE=∠CAD+=20°+17°=．16．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC=，，则BB1=．17．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是．18．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=α，则在玩跷跷板时，横板AB绕点O上下转动的最大角度为°．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）如图，∠ACD=2∠B，CE平分∠ACD，求证：CE∥AB．20．（8分）补全解题过程．如图，在△ABC中∠ABC平分线BP和外角平分线CP交于点P，试猜想∠A与∠P之间的关系，并说明理由．解：∠A=2∠P理由：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD（已知）∴∠ABC=∠1，∠ACD=2∠2 （）∵∠ACD为△ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠=∠A+2∠1（三角形外角的性质）即：2∠2=∠A+2∠1同理：∠2=∠P+∴∠A=2∠P．21．（8分）如图：在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，DM⊥AB且DE=BC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：ME=AB．22．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R．（1）求证：PQ=BQ；（2）设BP=x，CR=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当x为何值时，PR∥BC．23．（10分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b 反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°；（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=°，若∠1=40°，则∠3=°；（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n 平行，请说明理由．24．（10分）如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．25．（12分）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC=；若∠A=a°，则∠BEC=．【探究】（1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC=；（2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A 有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．参考答案与试题解析1．解：①错误，﹣1的平方是1；②正确；③错误，方程右应还为1.2；④错误，只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线，若四点在同一直线上，则只有画一条直线了．故选：A．2．解：∵AO平分∠BAC，AO⊥BC，∴∠BAO=∠CAO，∠AOB=∠AOC=90°，∴∠B=∠C，∵DO∥AC，∴∠BOD=∠C，∴∠B=∠BOD，∴DB=DO，又∵DE⊥BO，∴ED平分∠BDO，∵∠B=43°，∴∠BDE=47°，∴∠BAO=∠EDO=∠AOD=∠CAO=∠CGH=47°，故选：A．3．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选：A．4．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∵∠ABC=40°，∠ACD=76°，∴∠ACD﹣∠ABC=36°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，∵∠ECD是△BCE的一个外角，∴∠ECD=∠EBC+∠E，∴∠E=∠ECD﹣∠EBC=∠ACD﹣∠ABC=18°．故选：D．5．解：∵AB∥CD，MP∥AB，∴AB∥CD∥MP，∵∠A=40°，∠D=30°，∴∠AMP=∠A=40°，∠DMP=∠D=30°，∴∠AMD=40°+30°=70°，∵MN平分∠AMD，∴∠AMN=∠AMD=×70°=35°，∴∠NMP=∠AMP﹣∠AMN=40°﹣35°=5°．故选：C．6．解：∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB．又∵∠B，∠C的平分线相交于点O，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO．∴DB=DO，EC=EO，又∵BD+EC=5，DO+EO=DE，∴DE=5．故选：C．7．解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK ﹣180°，∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，又∠BKC﹣∠BHC=27°，∴∠BHC=∠BKC﹣27°，∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC=78°，故选：B．8．解：设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，解得：①+②：3x+3y=138°，∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，故选：C．9．解：2∠A=∠1+∠2，理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，∴可得2∠A=∠1+∠2．故选：B．10．解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠3=∠HPF，∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，∠HPF+∠EPH=90°，∴∠3=∠4，故A正确；∵EP⊥FP，∴∠2+∠4=90°，故B正确；∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∠1与∠3互余，故C正确；故选：D．11．解：定理是用推理的方法判断为正确的命题，故用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．12．解：如图①，过E作EF∥AB，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；…以此类推，∠E n=∠BEC．∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．故答案为：2n ．13．解：∵ED∥BC，∴∠DEC=∠C=30°，∴∠FEC=15°，∴∠AEF=180°﹣15°=165°，故答案为：165°．14．解：∵∠1=52°，∠2=128°，∴∠1+∠2=180°，∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴AC∥DF，∴∠A=∠F．15．解：在ABC中，∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°（三角形内角和定理）∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠BCA（等式的性质）=180°﹣36°﹣110°=34°∵AE是∠BAC的平分线（已知）∴∠CAE=∠BAC=17°∵AD是BC边上的高即AD⊥BC （已知）∴∠D=90°，∵∠AC E是△ACD的外角（已知）∴∠ACE=∠CAD+∠D（三角形外角的性质）∴∠CAD=∠ACE﹣∠D （等式的性质）=110°﹣90°=20°∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=20°+17°=37°．故答案为：三角形内角和定理；∠BAC；34°；；90°；三角形外角的性质；∠CAE；37°．16．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴平移后∠PB1C=∠CB=45°，∴△PB1C是等腰直角三角形，∴S=B1C•（B1C）=2，△PB1C解得B1C=2，∴BB1=BC﹣B1C=3﹣2=．故答案为：．17．解：如图①所示，当∠BAC=48°时，那么它的最大内角是90°当∠ACB=48°时，有以下4种情况，故答案为：88°，90°，99°，108°，116°18．解：如图所示，作DE∥AC，则有∠1=∠A=α，则上下最大可以转动的角度为2α．故答案为：2α．19．证明：∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠DCE，∵∠ACD=2∠B，∴∠DCE=∠B，∴AB∥CE．20．解：∠A=2∠P理由：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACD（已知）∴∠ABC=2∠1，∠ACD=2∠2 （角平分线的定义）∵∠ACD为△ABC的外角∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠1（三角形外角的性质）即：2∠2=∠A+2∠1，∴∠A=2∠P．故答案为：2，角平分线的定义，ABC，∠1．21．证明：∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，∵DM⊥AB，∴∠MDE=90°，∴∠MDE=∠C=90°，在△ABC和△MED中，，∴△ABC≌△MED（ASA），∴ME=AB．22．（1）证明：∵∠A=90°，AB=AC=1∴∠B=∠C=45°又∵PQ⊥BQ∴∠BPQ=45°∴△BPQ是等腰三角形∴PQ=BQ．（2）解：在等腰直角△BPQ中，∵BP=x∴BQ=在Rt△ABC中，BC==在等腰直角三角形CQR中，CR=y∴CQ=y∵CQ=BC﹣BQ即y=﹣所以y=﹣x+1．又∵△BPQ为等腰三角形，∴PQ=∵PR∥BC∴∠PRQ=∠RQC=45°∴PR=∠A=∠A，∠APR=∠B，∠ARP=∠C∴△APR∽△ABC∴即解得：x=．23．解：（1）100°，90°．∵入射角与反射角相等，即∠1=∠4，∠5=∠6，根据邻补角的定义可得∠7=180°﹣∠1﹣∠4=80°，根据m∥n，所以∠2=180°﹣∠7=100°，所以∠5=∠6=（180°﹣100°）÷2=40°，根据三角形内角和为180°，所以∠3=180°﹣∠4﹣∠5=90°；（2）90°，90°．由（1）可得∠3的度数都是90°；（3）90°（2分）理由：因为∠3=90°，所以∠4+∠5=90°，=360°﹣2∠4﹣2∠5，=360°﹣2（∠4+∠5），=180°．由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．24．解：∠AED=∠ACB．理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）．∴∠2=∠4．∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．∵∠3=∠B（已知），∴∠B=∠ADE（等量代换）．∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．25．解：∵∠A=82°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣82°=98°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×98°=49°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣49°=131°；由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣a°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣a°）=90°﹣a°，故答案为：131°，90°+a°；探究：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣a°，∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣a°）=120°﹣a°，∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣a°）=60°+a°；故答案为：60°+a°；（2）∠BOC=∠A．理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠BOC+∠OBC，∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），∴∠A=2∠BOC，∴∠BOC=∠A；（3）∠BOC=90°﹣∠A．理由如下：∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠OCB=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．。
第7章平行线的证明 题型全解-北师大版八年级数学上册
《平行线的证明》题型解读【知识梳理】一.基本概念（一）定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，这就是定义。
在表示定义的句子中常有“叫…，称为…，是…”等关键字眼。
（二）命题：判断一件事情的句子，叫做命题1.它包含两层含义：①命题必须是一个完整的句子，常为陈述句，通常不完整的句子、疑问句、感叹句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断；2.每个命题都由条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出来的事项。
一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式。
其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。
3.命题有真命题、假命题、逆命题之分。
（三）公理：公认的真命题称为公理；公理是不需要经过推理证实的真命题。
（四）定理：经过证明的真命题称为定理；公理和定理都可以作为判断其他命题真假的依据。
（五）证明：推理的过程称为证明二.基本性质（一）平行线的性质与判定1.性质①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行；2.判定①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④在同一平面内，不相交的两直线平行；（定义判别） ⑤平行于同一直线的两直线平行；⑥在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行； 补充：①平行线的一组同位角的角平分线平行；②平行线的一组内错角的角平分线平行； ③平行线的一组同旁内角的角平分线互相垂直；（二）复杂图形中平行线的构造和应用解题关键：遇到拐点处作已知平行线的平行线，然后根据同位角、内错角和同旁内角的关系求角的度数。
常见模型： 常见模型：1.铅笔模型：∠1+∠2+∠3=360º铅笔模型推论：所有角度和=180º×（n-1） 2.猪脚模型：∠2=∠1+∠3猪脚模型推论：左边角之和=右边角之和 3.牛角模型及鸭脚模型：∠1=∠2+∠3附：构造平行线中“三大模型”的证明过程题型特点：有平行线，但不是“三线”情况，需要构造出“三线八角”，再运用平行线的性质或判定解题。
专题02 平行线的证明题中档大题20题(解析版)七年级数学下册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题02平行线的证明题中档大题20题（解析版）专题简介：本份资料专攻《相交线与平行线》这一章中的中档大题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体分成两类题型：完善证明题中的推导过程（10道题）、证明题+角度计算（10道题），适合于培训机构的老师给学生作专题培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一：完善证明题中推导过程1．（2022春·北京）完成下面的证明．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．求证：AB∥EF．证明：∵∠1+∠2＝180°，∴AB∥（）．∵∠3+∠4＝180°，∴∥．∴AB∥EF（）．【详解】证明：如图所示：∵∠1+∠2＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∵∠3+∠4＝180°（已知），∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行）．2．（2022春·湖北咸宁）在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式）已知：如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠4．求证：EF∥GH．证明：∵∠1＋∠2＝180°（已知），∠AEG＝∠1（______）∴∠AEG＋∠______＝180°，∴AB∥CD（______），∴∠AEG＝∠EGD（______），∵∠3＝∠4（已知），∴∠3＋∠AEG＝∠4＋∠______（等式的性质），即∠FEG＝∠______，∴EF∥GH（______）．【详解】证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠AEG=∠1（对顶角相等）∴∠AEG+∠2=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠AEG=∠EGD（两直线平行，内错角相等），∵∠3=∠4（已知），∴∠3+∠AEG =∠4+∠EGD （等式性质），即∠FEG ＝∠EGH∴EF ∥GH （内错角相等，两直线平行）．3．（2022春·广东汕尾）填写下列推理中的空格：已知：如图，∠BAD ＝∠DCB ，∠1＝∠3．求证：AD∥BC ．证明：∵∠BAD ＝∠DCB ，∠1＝∠3（），∴∠BAD －∠1＝∠DCB －∠（），即∠＝∠．∴AD∥BC （）．【详解】证明： BAD DCB ∠=∠，13∠=∠（已知），∴13BAD DCB ∠-∠=∠-∠（等式的性质），即24∠∠=．∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行）．4．（2022春·上海松江）如图，已知CDA CBA ∠=∠，DE 平分CDA ∠，BF 平分CBA ∠，且12∠=∠，请填写说明DE ∥BF 的理由的依据．解：因为DE 平分CDA ∠，BF 平分CBA ∠（已知）所以112CDA ∠=∠，132CBA ∠=∠（）因为CDA CBA ∠=∠（已知）所以13∠=∠（）因为12∠=∠（）所以23∠∠=（）所以DE ∥BF （）。
八年级数学上册期末复习9平行线的证明1考点梳理与达标训练习题课件新版北师大版
三、解答题(共48分) 13. (12分)【新视角·开放性试题】如图， AD 与 BC 相交于
点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，连接 AB ， CD ， EF ，给出以下四个等量关系：①∠ A ＝∠ C ；② OA ＝ OC ；③∠ B ＝∠ D ；④ OE ＝ OF . 请你以其中两 个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题， 并证明. (1)条件： ②④ ，结论： ① ；(填序号)
(1)解：选择小刚添加辅助线的方法.证明如下： ∵ PQ ∥ AB ，∴∠ BAP ＝∠ QPA . ∵ AB ∥ CD ，∴ PQ ∥ CD . ∴∠ PCD ＝∠ QPC . ∵∠ APC ＝∠ QPA ＋∠ QPC ， ∴∠ APC ＝∠ BAP ＋∠ PCD . 选择小红添加辅助线的方法.证明如下： ∵ AB ∥ CD ，∴∠ BAP ＝∠ PMC . 又∵∠ APC ＝∠ PMC ＋∠ PCD ， ∴∠ APC ＝∠ BAP ＋∠ PCD .
A. 100°40'
B. 100°20'
C. 99°40'
D. 99°20'
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6. 如图，直线 AB ∥ CD ，∠ M ＝90°，∠ CEF ＝120°， 则∠ MPB ＝( D )
A. 30° C. 120°
B. 60° D. 150°
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12. 如图所示，把一张三角形纸片 ABC 的三个顶角向内折叠 之后(3个顶点不重合)，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＋∠6＝ 360 °.
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中考数学模拟题汇总《平行线的证明》专项练习(附答案解析)
中考数学模拟题汇总《平行线的证明》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．2．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC ，DF⊥AE，垂足为F，连接DE。
（1）求证：AB=DF；（2）若CE=1，AF=3，求DF的长。
3．如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D在同一直线上，且AB∥DE，连接AE.（1）求证：△ABC≌△DCE.（2）当BC=5，AC=12时，求AE的长.4．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是.（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使SΔDCF=SΔFDE，请直接写出相应的BF的长.5．如图, ∠1+∠2=180° , ∠DEF=∠A , ∠BED=70° .（1）求证: EF//AB :（2）求∠ACB的度数.6．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．7．在△ABC中，点D在直线AB上，在直线BC上取一点E，连接AE，DE，使得 AE=DE，DE交AC于点G，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，∠EAC=∠DEF．（1）当点E在BC的延长线上，D为AB的中点时，如图1所示．①求证：∠EGC=∠AEC；②若DF=3，求BE的长度；（2）当点E在BC上，点D在AB的延长线上时，如图2所示，若CE=10，5EG=2DE，求AG的长度．8．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2√2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=12AB，连接DE .将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ .（1）（问题发现）①当θ=0°时，BECD =；②当θ=180°时，BECD=；（2）（拓展研究）试判断：当0°≤θ<360°时，BECD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题解决）在旋转过程中，求出BE的最大值.9．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，的值；①求BCAEEG最小值．②若点G为AE上一点，求OG+ 1210．如图，已知在菱形ABCD中，AB=5，cosB=3，点E、F分别在边BC、CD上，AF的延长5∠BAD．线交BC的延长线于点G，且∠EAF=12（1）求证：AE2=EC⋅EG；（2）如果点F是边CD的中点，求S△ABE的值；（3）延长AE、DC交于点H，联结GH、AC，如果△AGH与△ABC相似，求线段BE的长．11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⌢=CE⌢，连接OA、OF．⊙O交BD于E，交AD于F，且AE（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．，过点C作CD∥AB，点E在边AC上，AE=CD，联结12．在△ABC中，AB=AC=10，sin∠BAC= 35AD，BE的延长线与射线CD、射线AD分别交于点F、G．设CD=x，△CEF的面积为y．（1）求证：∠ABE=∠CAD．（2）如图，当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式及定义域．（3）若△DFG是直角三角形，求△CEF的面积．13．在ΔABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点M，点N同时从点A出发，点M沿边AB以4cm/s的速度向点B运动，点N从点A出发，沿边AC以3cm/s 的速度向点C运动（点M不与A，B重合，点N不与A，C重合），设运动时间为xs .（1）求证：ΔAMN∽ΔABC；（2）当x为何值时，以MN为直径的⊙O与直线BC相切？（3）把ΔAMN沿直线MN折叠得到ΔMNP，若ΔMNP与梯形BCNM重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？14．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD=OB .连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC=45∘ .（1）求证：①△ABF∽△DCF；②CD是⊙O的切线.（2）求EF的值.FG15．小东在做九上课本123页习题：“1：√2也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：√2．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．16．在等腰△ABC中，AB=BC，点D，E在射线BA上，BD=DE，过点E作EF//BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC=CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DE=2AE=6，则CF=．参考答案与解析1．【答案】（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，∴OE=OC，OC=OF，∴OE=OF（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO=CO，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF= 12∠BCD，∴∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形2．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中∴BC=AD AD∥BC，∠B=∠C=90°∴∠DAF=∠AEB∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90°=∠B，AE=AD∴△ABE≌△DFA，∴AB=DF（2）解：由(1)可得△ABE≌△DFA，∴AF=BE=3，DF=AB=CD∴∠DFE=∠DCE∴△DFE≌△DCE，∴CE=EF=1，AE=4在Rt△ABE中，AB= √42−32 = √73．【答案】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠BAC=∠D.在△ABC和△DCE中，{∠B=∠DCE∠BAC=∠DAC=DE∴△ABC≌△DCE（AAS）（2）解：由（1）可得△ABC≌△DCE，∴CE=BC=5，在Rt△ACE中，AE=√AC2+CE2=√122+52=13.4．【答案】（1）DE∥AC；S1＝S2（2）解：如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，{∠ACN=∠DCM∠CMD=∠N=90°AC=CD，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2（3）解：如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD= 12∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB= 12×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，{DF1=DF2∠CDF1=∠CDF2CD=CD，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD= 12×60°=30°，又∵BD=4，∴BE= 12×4÷cos30°=2÷√32= 4√33，∴BF1= 4√33，BF2=BF1+F1F2= 4√33+ 4√33= 8√33，故BF的长为4√33或8√33．5．【答案】（1）解：∵∠1+∠DFE=180°，∴∠1+∠2=180°.∴∠DFE=∠2，∴EF//AB；（2）解：∵EF//AB ， ∴∠DEF=∠BDE. 又∵∠DEF=∠A ， ∴∠BDE=∠A ， ∴DE//AC ， ∴∠ACB=∠DEB. 又∵∠DEB=70°， ∴∠ACB=70°.6．【答案】（1）解：连接OF ；根据切线长定理得：BE=BF ，CF=CG ，∠OBF=∠OBE ，∠OCF=∠OCG ； ∵AB ∥CD ，∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠OBE+∠OCF=90°， ∴∠BOC=90°（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．∵OB=6cm ，OC=8cm ，∴由勾股定理得到：BC= √OB 2+OC 2 =10cm ，∴BE+CG=BC=10cm（3）解：∵OF ⊥BC ，∴∠BFO=∠OFC=90°∵∠BOC=90°∴∠BOF+∠COF=90°，∠COF+∠FCO=90°。
七年级数学平行线证明题
七年级数学平行线证明题摘要：一、引言二、平行线证明题类型及解题方法1.同位角相等证明平行线2.内错角相等证明平行线3.同旁内角互补证明平行线4.比例性质证明平行线5.构造平行线三、证明步骤及注意事项1.仔细观察图形，寻找已知条件和已知结论2.运用相关定理和性质，逐步推导3.确保证明过程严谨，避免逻辑错误四、实战演练1.例题解析2.练习题解析五、总结与拓展1.平行线证明题的解题技巧2.提高解题能力的建议正文：一、引言七年级数学中，平行线证明题是重点内容之一。
掌握平行线的证明方法，对于提高数学解题能力具有重要意义。
本文将为大家介绍七年级数学平行线证明题的类型及解题方法，希望通过学习，同学们能够更好地应对这类题目。
二、平行线证明题类型及解题方法1.同位角相等证明平行线已知：如图，AB//CD，∠1=∠2，求证：AE//BD。
证明：（1）∵ AB//CD，∠1=∠2，（2）∴ ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，（3）∴ ∠1=∠2=∠3，（4）∴ ∠AEB=∠3，（5）∴ AE//BD。
2.内错角相等证明平行线已知：如图，AB//CD，∠1+∠2=180°，求证：AE//BD。
证明：（1）已知∠1+∠2=180°，（2）∴ ∠1=180°-∠2，（3）∵ AB//CD，（4）∴ ∠1=∠AEB，（5）∴ ∠1=∠2=∠AEB，（6）∴ AE//BD。
3.同旁内角互补证明平行线已知：如图，AB//CD，∠1+∠2=180°，求证：AE//BD。
证明：（1）已知∠1+∠2=180°，（2）∴ ∠1=180°-∠2，（3）∵ AB//CD，（4）∴ ∠1=∠AEB，（5）∴ ∠1=∠2=∠AEB，（6）∴ AE//BD。
4.比例性质证明平行线已知：如图，AB//CD，求证：AE//BD。
证明：（1）设AE=3，BE=4，AB=5，（2）∴ AE/BE=3/4，（3）∵ AB//CD，（4）∴ AD=BC，（5）∴ AE/BE=AD/BC，（6）∴ ∠AEB=∠DBC，（7）∴ AE//BD。
鲁教版(五四制)七年级数学下册第八章平行线的有关证明重点解析试题(含答案及详细解析)
七年级数学下册第八章平行线的有关证明重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题，是真命题的是（ ）A ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B ．邻补角的角平分线互相垂直C ．相等的角是对顶角D ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥2、下列说法正确的是（ ）A ．不相交的两条直线叫做平行线B ．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C ．平角是一条直线D ．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线3、如图，一束平行光线中，插入一张对边平行的纸版，如果光线与纸版右下方所成的∠1是110°，那么光线与纸版左上方所成的∠2的度数是（ ）A ．110°B ．100°C ．90°D ．70°4、下面命题：①同位角相等；②对顶角相等；③若x 2＝y 2，则x ＝y ；④互补的角是邻补角．其中真命题有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．45、对于命题“若22x y >，则x y >”，能说明它是假命题的反例是（ ）A ．2x =-，1y =-B ．1x =-，2y =-C ．2x =，1y =D ．1x =，2y =6、下列说法正确的是（ ）A ．同位角相等B ．在同一平面内，如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cC ．相等的角是对顶角D ．在同一平面内，如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c7、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC 沿直线m 翻折，点A 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°8、如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（ ）A．AD∥BC B．AB∥CDC．AD∥EF D．EF∥BC9、下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的图形有（）个A．4 B．3 C．2 D．110、下列命题中，逆命是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、按要求完成下列证明：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF CA．DE BA，FDE A//∠=∠．求证：//证明：//DE BA，∴∠=()．FDE∠=∠，FDE A∴∠=()．A∴)．//(DF CA2、请写出“两直线平行，同位角相等”的结论：_____．3、如图，A，E，F共线，AB∥CD，∠A＝130°，∠C＝125°，则∠CEF等于_______度．4、如图，AD∥BC，E是线段AD上任意一点，BE与AC相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是 ___．5、如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为______度．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：∠1＝_____°，∠2＝_____°；（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出∠2＝_____°（结果用含n的代数式表示）②若∠1与∠2怡好有一个角是另一个角的54倍，求n的值（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．2、如图，正方形网格中点A，B，C为三个格点（网格线的交点即为格点）．(1)根据以下要求画图①画直线AB ，画射线AC ；②在图中确定一个格点D ，画直线CD ，使得直线CD ⊥AC ，交AB 于点E ；③过点B 画直线,BF AC ∥交线CD 于点F ；(2)在第（1）小题中，与∠BAC 相等的角有 个．3、如图，ABC 的三个顶点A 、B 、C 在正方形网格中，每小方格的边长都为1cm ．请在方格纸上画图并回答下列问题：(1)延长线段AB 到点D ，使BD AB ；(2)过C点画AB的垂线，垂足为点E；(3)过A点画直线AF BC∥，交直线CE于点F；(4)点C到直线AB的距离为线段的长度．4、如图1，直线AC∥BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分．(1)当动点P落在第（1）部分时，可得：∠APB＝∠PAC＋∠PBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由过点P作EF∥AC，如图2因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），所以EF∥BD______．所以∠BPE＝∠PBD______．同理∠APE＝∠PAC．因此∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD______，即∠APB＝∠PAC＋∠PBD．(2)当动点P落在第（2）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出∠APB、∠PAC 、∠PBD 之间满足的关系式，不必说明理由．(3)当动点P 在第（3）部分时，∠APB 、∠PAC 、∠PBD 之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．(4)当动点P 在第（4）部分时，∠APB 、∠PAC 、∠PBD 之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．5、如图，已知AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，求证1290∠+∠=︒．证明：∵BE 平分ABC ∠（已知），∴2∠= （ ），同理1∠= ， ∴1122∠+∠= ， 又∵AB CD ∥（已知）∴ABC BCD ∠+∠= （ ），∴1290∠+∠=︒．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用平行线的性质、邻补角的定义及性质、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B 、邻补角的角平分线互相垂直，正确，是真命题，符合题意；C 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；D 、平面内，若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、邻补角的定义及性质、对顶角的定义等知识，难度不大．2、B【解析】【分析】根据平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质依次判断．【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故选项A 错误；过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故选项B 正确；平角是角的两边在同一直线上的角，故选项C 错误；过同一平面内三点中任意两点，能画出1条或3条直线故选项D 错误；故选：B ．此题考查语句的正确性，正确掌握平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质是解题的关键．3、A【解析】【分析】根据AB∥CD，BC∥AD，分别得到∠1+∠ADC＝180°，∠2+∠ADC＝180°，因此∠1＝∠2，即可求解．【详解】解：如图：∵AB∥CD，∴∠1+∠ADC＝180°，∵BC∥AD，∴∠2+∠ADC＝180°，∴∠1＝∠2．∵∠1＝110°，∴∠2＝110°．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．4、A【解析】【分析】根据平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角判断解答即可．【详解】①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；②对顶角相等，是真命题；③若x2＝y2，则x＝y或x＝﹣y，原命题是假命题；④互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题；故选：A．【点睛】本题考查了命题的真假，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角、乘方的意义和邻补角，难度不大．5、A【解析】【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【详解】解：当x=-2，y=-1时，x2＞y2，但x＜y，选项A符合题意；当x=-1，y=-2时，x2＜y2，选项B不符合题意；当x=2，y=1时，x2＞y2，则x＞y，选项C不符合题意；当x=1，y=2时，则x2＜y2，选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．6、D【解析】【分析】根据同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理依次判断．【详解】解：A. 同位角不一定相等，故该项不符合题意；B. 在同一平面内，如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ，故该项不符合题意；C. 相等的角不一定是对顶角，故该项不符合题意；D. 在同一平面内，如果a ∥b ，∥bc ，则a ∥c ，故该项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了语句的判断，正确掌握同位角的定义、垂线的性质、对顶角的性质、平行公理是解题的关键．7、C【解析】【分析】设m 交,AC AB 于点,E F ，G 是射线EF 上的一点，设,AEG DEG AFG DFG αβ∠=∠=∠=∠=，根据三角形的外角的性质可得30βα-=︒，进而根据平角的定义即可求得1,2∠∠，即可求得12∠-∠．【详解】如图，设m 交,AC AB 于点,E F ，G 是射线EF 上的一点，折叠，,AEG DEG AFG DFG ∴∠=∠∠=∠设,AEG DEG AFG DFG αβ∠=∠=∠=∠=30A βαα∴=+∠=+︒即30βα-=︒11802,21802αβ∠=︒-∠=︒-122260βα∴∠-∠=-=︒故选C【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．8、C【解析】略9、C【解析】【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．【详解】解：第一个图形，∵∠1=∠2，∴AC∥BD；故不符合题意；第二个图形，∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故符合题意；第三个图形，∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AB∥CD；第四个图形，∵∠1=∠2不能得到AB∥CD，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角．10、C【解析】【分析】由题意根据平行线判定和直角三角形判定以及全等三角形判定进行分析即可.【详解】解：A、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；B 、逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；C 、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、逆命题为：两条边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题以及相关的概念．二、填空题1、BFD ∠，两直线平行，内错角相等；BFD ∠，等量代换；同位角相等，两直线平行【解析】【分析】由题意知由两直线平行，内错角相等可得FDE BFD ∠=∠，由FDE A BFD ∠=∠=∠，可知//DF CA ．【详解】解：证明：//DE BA(FDE BFD ∴∠=∠ 两直线平行，内错角相等）FDE A ∠=∠（已知）A BFD ∴∠=∠（等量代换）//DF CA ∴（同位角相等，两直线平行）故答案为：BFD ∠，两直线平行，内错角相等；BFD ∠，等量代换；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定．解题的关键在于用角的数量关系判断两直线的位置关系．2、同位角相等【解析】【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，将这个命题改写成“如果⋯那么⋯”的形式即可得出答案．【详解】解：将命题改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等，则此命题的结论为：同位角相等，故答案为：同位角相等．【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的概念是解题关键．3、75【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠BDC，求出∠FDE，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：连接AC，如图：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠BAF=130°，∠DCE=125°，∴（∠CAF+∠ACE）+（∠BAC+∠DCA）=130°+125°=255°，∴∠CAF+∠ACE=255°-（∠BAC+∠DCA）=255°+180°=75°，∵∠CEF 是△ACE 外角，∴∠CEF =∠CAF +∠ACE =75°．故答案为：75．【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 4、3【解析】【分析】根据平行可得：ABC 与EBC 高相等，即两个三角形的面积相等，根据图中三角形之间的关系即可得．【详解】解：∵AD BC ∥，∴ABC 与EBC 高相等，∴5ABC EBCS S ==， 又∵2EOC S =，∴523BOC EBC EOC S S S =-=-=，故答案为：3．【点睛】题目主要考查平行线间的距离相等，三角形面积的计算等，理解题意，掌握平行线之间的距离相等是解题关键．5、27【解析】【分析】如图，∠3＝∠1，由∠3＝∠2+∠A计算求解即可．【详解】解：如图∵a∥b，∠1＝56°∴∠3＝∠1＝56°∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°故答案为：27．【点睛】本题考查了平行线性质中的同位角，三角形的外角等知识．解题的关键在于正确的表示角的数量关系．三、解答题1、（1）120°，90°；（2）①90°＋n°；②n的值为103或803；（3）当n＝30°时，AB⊥DG（EF）；当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；当n＝120°时，AB⊥DE（GF）；当n＝180°时，AC⊥DG（EF），BC⊥DE（GF）；当n＝210°时，AB⊥DG（EF）；当n＝270°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；当n＝300°时，AB⊥DE（GF）．【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；（2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；②根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，再分∠1=54∠2和∠2=54∠1分别求解即可；（3）结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．【详解】解：（1）∠1＝180°−60°＝120°，∠2＝90°；故答案为：120，90；（2）①如图2，∵DG∥EF，∴∠BCG＝180°−∠CBF＝180°−n°，∵∠ACB＋∠BCG＋∠2＝360°，∴∠2＝360°−∠ACB−∠BCG＝360°−90°−（180°−n°）＝90°＋n°；故答案为：90°＋n°；②∵∠ABC＝60°，∴∠ABE＝180°−60°−n°＝120°−n°，∵DG∥EF，∴∠1＝∠ABE＝120°−n°，若∠1=54∠2，则120°−n°=54（90°＋n°），解得n=103；若∠2=54∠1，则90°＋n°=54（120°−n°），解得n=803；所以n的值为103或803；（3）当n＝30°时，AB⊥DG（EF）；当n ＝90°时，BC ⊥DG （EF ），AC ⊥DE （GF ）；当n ＝120°时，AB ⊥DE （GF ）；当n ＝180°时，AC ⊥DG （EF ），BC ⊥DE （GF ）；当n ＝210°时，AB ⊥DG （EF ）；当n ＝270°时，BC ⊥DG （EF ），AC ⊥DE （GF ）；当n ＝300°时，AB ⊥DE （GF ）．【点睛】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．2、 (1)①画图见解析；②画图见解析；③画图见解析；(2)2【解析】【分析】（1）①过,A B 画直线，以A 为端点画射线AC 即可；②利用线段AC 是6个小正方形组成的长方形的对角线这个特点画直线,CD AC 确定交点E 即可； ③利用线段AC 是6个小正方形组成的长方形的对角线这个特点画直线,BF AC ∥ 确定交点F 即可；（2）利用平行线证明,FBE BAC 结合对顶角的性质证明1,BAC 从而可得答案. (1)解：①如图，直线,AB 射线AC 即为所求，②如图，直线CD 即为所求，点D 即为所求作的格点，点E 即为所求的交点，③如图，直线BF 即为所求，(2)解：如（1）图，∥,BF ACFBE BAC,1,FBEBAC1,FBE共2个，所以与BAC相等的角有,1,故答案为2【点睛】本题考查的是线段，射线，直线的作图，利用网格图的特点作垂线，作平行线，同时考查对顶角相等，平行线的性质，掌握以上知识是解本题的关键.3、 (1)AB=BD，见详解；(2)CE⊥AD于E，见详解；(3)AF∥BC；见详解；(4)CE．【解析】【分析】（1）根据网格的性质，线段中点定义，得出BD=3，延长即可；（2）根据网格的性质，利用点平移方法即可画出CE⊥AD；（3）根据网格中小正方形对角线的性质，即可画出AF∥BC；（4）根据网格的性质，CE⊥AB，根据点到直线的距离得出CE的长即可得(1)解：根据题意，得AB=3cm，在AB的延长线上，截取BD=3则AB=BD，如图所示：(2)解：如图所示：点C向下平移2个单位取点E，连结CE，则CE⊥AD于E；(3)解：如图所示：∵BE=2=CE，AB=3，∴AE=AB+BE=3+2=5，∴点C向上平移3个格到点F，连结AF，则AF∥BC，∵AF是正方形网格的对角线，CB是正方形网格的对角线，∴∠FAB=45°，∠CBE=45°，∵∠FAB=∠CBE=45°，∴AF∥BC；(4)点C到直线AB的距离为线段CE的长度．故答案为CE．【点睛】此题主要考查正方形网格中的作图综合问题，熟练掌握网格的性质，中点定义，垂线定义，平行线判定与性质，点到直线的距离是解题关键．4、 (1)平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式性质；(2)∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝180°(3)∠PAC＝∠APB＋∠PBD(4)∠PAC＋∠APB＝∠PBD【解析】【分析】（1）根据平行公理、平行线的性质、等式的性质分别解答；（2）过点P作EF∥AC，证明EF∥BD，推出∠BPF+∠PBD=180°，同理∠APF+∠PAC=180°．由此得到结论∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360°；（3）过点P作EF∥AC，如图4，根据平行线的性质可得出∠PAC=∠APB+∠PBD；（4）过点P作EF∥AC，如图5，根据平行线的性质可得出∠PAC+∠APB=∠PB D．(1)解：过点P作EF∥AC，如图2因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），所以EF∥BD平行于同一直线的两直线平行．所以∠BPE＝∠PBD两直线平行，内错角相等．同理∠APE＝∠PAC．因此∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD等式的性质，即∠APB＝∠PAC＋∠PBD．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；等式性质；(2)解：过点P作EF∥AC，如图（3），因为AC∥BD，EF∥AC，所以EF∥BD．所以∠BPF+∠PBD=180°．同理∠APF+∠PAC=180°．因此∠APF＋∠BPF+∠PAC＋∠PBD=360°，即∠APB+∠PAC+∠PBD＝360°．(3)解：过点P作EF∥ AC，如图4，∵AC∥BD，EF∥AC，∴EF∥BD．∴∠MPF=∠PBD．∠APF+∠PAC=180°．∵∠APF＋∠MPF+∠APB =180°，∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD；(4)解：过点P作EF∥ AC，如图5，∵AC∥BD，EF∥AC，∴EF∥BD．∴∠MPF=∠PBD．∠APN=∠PAC．∵∠MPF=∠NPB =∠APB＋∠APN，∴∠PAC＋∠APB＝∠PBD．【点睛】本题考查了平行公理，平行线的性质以及数形结合思想的应用，是基础知识比较简单．5、12∠ABC；角平分线的定义；12∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补【解析】【分析】由平行线的性质可得到∠BAC+∠ACD=180°，再结合角平分线的定义可求得∠1+∠2=90°，可得出结论，据此填空即可．【详解】证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠2=12∠ABC（角平分线的定义），同理∠1=12∠BCD，∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD)，又∵AB∥CD（已知）∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1+∠2=90°．故答案为：12∠ABC；角平分线的定义；12∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．。
(完整)初一美术平行线证明题
(完整)初一美术平行线证明题初一美术平行线证明题
介绍
本文档是一份初一美术平行线证明题的文档。
以下是对该题的证明过程的详细解析。
题目描述
在直角坐标系中，给出了四个点：A(1, 1)，B(4, 1)，C(4, 4)，D(1, 4)。
请证明线段AB与线段CD是平行的。
证明过程
我们将使用基本的几何知识来证明线段AB与线段CD是平行的。
步骤1：
首先，我们可以计算出线段AB和线段CD的斜率。
根据直线的斜率公式：
斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
我们可以得到线段AB的斜率为：
m1 = (1 - 1) / (4 - 1) = 0
线段CD的斜率为：
m2 = (4 - 4) / (1 - 4) = 0
步骤2：
接下来，我们比较线段AB和线段CD的斜率。
如果两条线段的斜率相等，则它们是平行的。
根据步骤1的计算结果，我们得知斜率m1和m2都等于0。
结论：
因此，根据两条线段的斜率相等，我们可以得出线段AB与线段CD是平行的结论。
总结
通过计算线段的斜率并比较斜率的结果，我们可以证明线段AB与线段CD是平行的。
这个证明过程基于直线的斜率公式和几何定理，是一个简单且易于理解的方法。
以上是对初一美术平行线证明题的详细解析，希望对您有所帮助。
综合解析鲁教版(五四制)七年级数学下册第八章平行线的有关证明必考点解析练习题(含详解)
七年级数学下册第八章平行线的有关证明必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题错误的个数有（）①实数与数轴上的点一一对应；②无限小数就是无理数；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．A．1个B．2个C．3个D．4个2、将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE、CF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠ECF＝21°，则∠B'CD'的度数为（）A．35°B．42°C．45°D．48°3、在一个直角三角形中，一个锐角等于52°，则另一个锐角的度数是（）A．28°B．38°C．45°D．58°4、下列命题是真命题的个数为（）=．④相等的角是对顶①一个角的补角大于这个角．②三角形的内角和是180°．③若22=，则a ba b角．⑤两点之间，线段最短．A．2 B．3 C．4 D．55、下列命题中，是假命题的是（）A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．同旁内角互补，两直线平行C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行6、如图，在ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，那么∠ACD的度数为（）A．110 B．100 C．55 D．457、下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的图形有（）个A．4 B．3 C．2 D．1∥，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点8、如图，直线a bC，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A ．32°B ．68°C ．58°D ．34°9、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AE 是ABC 的外角BAD ∠的平分线，BF 平分ABC ∠与AE 的反向延长线相交于点F ，则BFE ∠为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°10、如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（ ）A ．AD ∥BCB ．AB ∥CDC ．AD ∥EF D ．EF ∥BC第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，将一张长方形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠后，点C 落在点E 处，连接BE 交AD 于F ，再将三角形DEF 沿DF 折叠后，点E 落在点G 处，若DG 刚好平分∠ADB ，那么∠ADB 的度数是__________．2、命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是____命题．（填“真”或“假”）3、如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，116BAD ∠=︒，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，当AMN 周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数是______________．4、如图，AB CD ∥，A D ∠=∠，有下列结论：①B C ∠=∠；②AE DF ∥；③AE BC ⊥；④AMC BND ∠=∠．其中正确的有______．（只填序号）5、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角_________．如图，因为a ∥b （已知） ，所以∠1＝_____（两直线平行，内错角相等） ．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF ＝58°，试判断AD与BC是否平行．解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴∥（）．2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（4，1），点B的坐标为（1，﹣2），BC⊥x轴于点C．(1)在平面直角坐标系xOy 中描出点A ，B ，C ，并写出点C 的坐标 ；(2)若线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A 的对应点是C ，则点B 的对应点D 的坐标为 ；(3)求出以A ，B ，O 为顶点的三角形的面积；(4)若点E 在过点B 且平行于x 轴的直线上，且△BCE 的面积等于△ABO 的面积，请直接写出点E 的坐标．3、已知直线AB ∥CD ，EF 是截线，点M 在直线AB 、CD 之间．(1)如图1，连接GM ，HM ．求证：M AGM CHM ∠=∠+∠；(2)如图2，在GHC ∠的角平分线上取两点M 、Q ，使得AGM HGQ ∠=∠．请直接写出M ∠与GQH ∠之间的数量关系；(3)如图3，若射线GH 平分BGM ∠，点N 在MH 的延长线上，连接GN ，若AGM N ∠=∠，12M N HGN ∠=∠+∠，求MHG ∠的度数．4、如图，已知P，A，B三点，按下列要求完成画图和解答．(1)作直线AB；(2)作射线PA，PB，用量角器测量APB∠=______°．(3)利用网格过点A作PB的平行线AC；(4)过点P画PD AB⊥于点D；(5)根据图形回答：在线段PA，PB，PD中，PD的长度最短．理由：______．5、如图所示，已切直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠RAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）．(1)在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P．①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝°；②若∠CPA＝70°，求此时t的值；(2)在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据实数与数轴的关系可判断①为真命题；根据无理数定义可判断②为假命题；根据三角形的一个外角性质可判断③为真命题；根据平行线性质可判断④为假命题即可．【详解】解：实数与数轴上的点一一对应，所以①为真命题；无限不循环小数是无理数，所以②为假命题；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，所以③为真命题；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以④为假命题；∴命题不正确的有两个．故选：B．【点睛】本题考查实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质，掌握实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．2、D【解析】【分析】可以设∠ECB'＝α，∠FCD'＝β，根据折叠可得∠DCE＝∠D'CE，∠BCF＝∠B'CF，进而可求解．【详解】解：设∠ECB'＝α，∠FCD'＝β，根据折叠可知：∠DCE＝∠D'CE，∠BCF＝∠B'CF，∵∠ECF＝21°，∴∠D'CE＝21°＋β，∠B'CF＝21°＋α，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠D'CE+∠ECF+∠B'CF＝90°∴21°＋β＋21°＋21°＋α＝90°，∴α＋β＝27°，∴∠B'CD'＝∠ECB'+∠ECF+∠FCD'＝α+21°+β=21°+27°=48°则∠B'CD'的度数为48°．故选：D．【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解决本题的关键是熟练运用折叠的性质．3、B【解析】【分析】利用直角三角形的两锐角互余直接计算即可.【详解】解：一个锐角等于52°，则另一个锐角的度数是905238, 故选B【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，掌握“直角三角形的角的性质”是解本题的关键.4、A【解析】【分析】根据补角、三角形内角和定理、平方的计算、对顶角的性质及两点之间线段最短依次进行判断即可得出结论．【详解】解：①一个角的补角大于这个角，若这个角是钝角，则其补角小于这个角，错误，假命题； ②三角形的内角和是180°，正确，是真命题；③若22a b =，则a b =或a b =-，错误，是假命题；④相等的角不一定是对顶角，错误，假命题；⑤两点之间，线段最短，正确，真命题；综上可得：②⑤是真命题，【点睛】题目主要考查命题真假的判断，理解题意，熟练掌握各个定理是解题关键．5、D【解析】【分析】根据垂线公理，平行线的判定，平行线的传递，平行线的性质进行判断即可．【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这个命题为真命题；B、同旁内角互补，两直线平行，这个命题为真命题；C、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这个命题为真命题；D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故这个命题是假命题．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6、B【解析】【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：由三角形的外角的性质可知，∠ACD＝∠A+∠B＝100°，故选：B．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．7、C【解析】【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．【详解】解：第一个图形，∵∠1=∠2，∴AC∥BD；故不符合题意；第二个图形，∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故符合题意；第三个图形，∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AB∥CD；第四个图形，∵∠1=∠2不能得到AB∥CD，故不符合题意；故选：C．本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角．8、C【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠ACB =∠1，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】：∵直线a ∥b ，∴∠ACB =∠1，∵AC ⊥BA ，∴∠BAC =90°，∴∠2=180°-∠1-∠BAC =180°-90°-32°=58°，故选：C ．【点睛】本题考查了对平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．9、C【解析】【分析】设∠ABF=x ，根据BF 平分ABC ∠得到∠ABC=2x ，求出∠DAB =90°+2x ，利用AE 是BAD ∠的平分线，得到∠EAB =45°+x ，结合三角形外角性质得到答案．【详解】解：设∠ABF=x ，∵BF 平分ABC ∠，∴∠ABC =2∠ABF=2x ，∵90C ∠=︒，∴∠DAB =∠C +∠ABC =90°+2x ，∵AE 是BAD ∠的平分线，∴∠EAB =45°+x ，∵∠EAB =∠ABF +BFE ∠∴BFE ∠=45°故选：C ．【点睛】此题考查了角平分线计算，三角形的外角性质，综合考查了分析能力及推理论证能力，属于基础题型．10、C【解析】略二、填空题1、36°##36度【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠BDC =∠BDE ，∠EDF =∠GDF ，由角平分线的定义可得∠BDA =∠GDF +∠BDG =2∠GDF ，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．【详解】解：由折叠可知，∠BDC =∠BDE ，∠EDF =∠GDF ，∵DG 平分∠ADB ，∴∠BDG=∠GDF，∴∠EDF=∠BDG，∴∠BDE=∠EDF+∠GDF+∠BDG=3∠GDF，∴∠BDC=∠BDE=3∠GDF，∠BDA=∠GDF+∠BDG=2∠GDF，∵∠BDC+∠BDA=90°=3∠GDF+2∠GDF=5∠GDF，∴∠GDF=18°，∴∠ADB=2∠GDF=2×18°=36°．故答案为：36°．【点睛】本题考查的是角的运算及角平分线的定义，正确掌握折叠的性质是解决此题的关键．2、真【解析】【分析】根据三角形内角和定理判断即可．【详解】解：三角形的三个内角中至多有一个直角或钝角，则三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；故答案为：真．【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．3、128°【解析】【分析】分别作点A关于BC、DC的对称点E、F，连接EF、DF、BE，则当M、N在线段EF上时△AMN的周长最小，此时由对称的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质即可求得结果．【详解】分别作点A关于BC、DC的对称点E、F，连接EF、DF、BE，如图由对称的性质得：AN=FN，AM=EM∴∠F=∠NAD，∠E=∠MAB∵AM+AN+MN=EM+FN+MN≥EF∴当M、N在线段EF上时，△AMN的周长最小∵∠AMN+∠ANM=∠E+∠MAB+∠F+∠NAD=2∠E+2∠F=2(∠E+∠F)=2(180°−∠BAD)=2×(180°−116°)=1 28°故答案为：128°【点睛】本题考查了对称的性质，两点间线段最短，三角形内角和定理与三角形外角的性质等知识，作点A关于BC、DC的对称点是本题的关键．4、①②④【解析】【分析】由条件可先证明∠B ＝∠C ，再证明AE ∥DF ，结合平行线的性质及对顶角相等可得到∠AMC ＝∠BND ，可得出答案．【详解】解：//AB CD ，B C ∴∠=∠，A AEC ∠=∠，又A D ∠=∠，AEC D ∴∠=∠，//AE DF ∴，AMC FNM ∴∠=∠，又BND FNM ∠=∠，AMC BND ∴∠=∠，故①②④正确，由条件不能得出90AMC ∠=︒，故③不一定正确；故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．5、 相等 ∠2【解析】略三、解答题1、2∠2；角平分线的定义；116；180；AD ；BC ；同旁内角互补，两直线平行【解析】【分析】由AE 平分∠BAC ，AF 平分∠CAD ，利用角平分线的定义可得出∠BAC ＝2∠1，∠CAD ＝2∠2，结合∠EAF ＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD ＝116°，由∠B ＝64°，∠BAD ＝116°，可得出∠BAD +∠B ＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD ∥B C ．【详解】解：∵AE 平分∠BAC ，AF 平分∠CAD （已知），∴∠BAC ＝2∠1，∠CAD ＝2∠2（角平分线的定义）．又∵∠EAF ＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD ＝∠BAC +∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式性质）．又∵∠B ＝64°（已知），∴∠BAD +∠B ＝180°．∴AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD ；BC ；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题考查了角平分线的定义，角的计算，平行线的判定．正确掌握线段、角、相交线与平行线的知识是解题的关键，还需掌握推理能力．2、 (1)作图见解析，C 点坐标为()1,0(2)()23--，(3)4.5(4)E 点坐标为()5.52-，或()3.52--， 【解析】【分析】（1）在平面直角坐标系中表示出A ，B ，C 即可．（2）由题意知，AB CD ，将点C 向下移动3格，向左移动3格到点D ，得出坐标．（3）利用分割法求面积，ABC 的面积等于矩形减去3个小三角形的面积，计算求值即可．（4）设E 点坐标为()2m ，-，由题意列方程求解即可．(1)解：如图，点A ，B ，C 即为所求，C 点坐标为（1，0）故答案为：（1，0）．(2)解：∵点A 向下移动3格，向左移动3格到点B ，AB CD∴点C 向下移动3格，向左移动3格到点D∴D 点坐标为()23--，故答案为：()23--，． (3) 解：∵11134141233 4.5222AOB S ⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝＝ ∴以A ，B ，O 为顶点的三角形的面积为4.5．(4)解：设E 点坐标为()2m ，- 由题意可得112 4.52m⨯⨯﹣＝ 解得： 5.5m =或 3.5m =∴E 点坐标为()5.52-，或()3.52--，． 【点睛】本题考查了直角坐标系中的点坐标，平行的性质，分割法求面积，解一元一次方程等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．3、 (1)见解析(2)∠GQH +∠GMH =180°，理由见解析(3)60°【解析】【分析】（1）过点M 作MI ∥AB 交EF 于点I ，可得∠AGM =∠GMI ，再由AB ∥CD ，可得MI ∥CD ，从而得到∠CHM =∠HMI ，即可求证；（2）过点M 作MP ∥AB 交EF 于点P ，同（1）可得到∠PMH =∠CHM ，∠GMP =∠AGM ，再由MH 平分∠GHC ，可得∠PHM =∠CHM ，从而得到∠PHM =∠PMH ，再由AGM HGQ ∠=∠，可得∠HGQ =∠GMP ，从而得到∠GMH =∠HGQ +∠PHM ，然后根据三角形的内角和定理，即可求解；（3）过点M 作MK ∥AB 交EF 于点K ，设,AGM N CHM αβ∠=∠=∠= ，可得902MGH α∠=︒- ，同（1），可得∠GMH =∠GMK +HMK =αβ+ ，再由12M N HGN ∠=∠+∠，可得2HGN β∠=，然后根据三角形的内角和定理，可得302αβ+=︒ ，再由AB ∥CD ，可得∠AGH +∠CHG =180°，即可求解． (1)证明：如图，过点M 作MI ∥AB 交EF 于点I ，∵MI ∥AB ，∴∠AGM =∠GMI ，∵AB ∥CD ，∴MI ∥CD ，∴∠CHM =∠HMI ，∴∠GMH =∠HMI +∠GMI = ∠AGM +∠CHM ；(2)解：∠GQH +∠GMH =180°，理由如下：如图，过点M 作MP ∥AB 交EF 于点P ，∵MP∥AB，∴∠GMP=∠AGM，∵AB∥CD，∴MP∥CD，∴∠PMH=∠CHM，∵MH平分∠GHC，∴∠PHM=∠CHM，∴∠PHM=∠PMH，∠=∠，∵AGM HGQ∴∠HGQ=∠GMP，∵∠GMH=∠GMP+∠PMH，∴∠GMH=∠HGQ+∠PHM，∵∠GQH+∠HGQ+∠PHM=180°，∴∠GQH+∠GMH=180°(3)解：如图，过点M作MK∥AB交EF于点K，设,AGM N CHM αβ∠=∠=∠= ，∵GH 平分∠BGM ， ∴()1118090222MGH BGM AGM α∠=∠=︒-∠=︒- ， ∵MK ∥AB ，∴GMK AGM N α∠=∠=∠= ，∵AB ∥CD ，∴MK ∥CD ，∴∠HMK =∠CHM ，∴∠GMH =∠GMK +HMK =αβ+ ， ∵12M N HGN ∠=∠+∠， ∴12HGN αβαβ∠=+-=，即2HGN β∠=， ∵∠GMH +∠N +∠MGN =180°， ∴9021802ααβαβ+++︒-+=︒ ， 解得：302αβ+=︒ ，∵AB ∥CD ，∴∠AGH +∠CHG =180°， 即901802MHG αβα+∠+︒-+=︒ ， ∴902MHG αβ++∠=︒ ，∴∠MHG =60°．【点睛】本题主要考查了平行的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，做适当辅助线，构造平行线，并熟练掌握平行的判定和性质定理，三角形的内角和定理，角平分线的定义是解题的关键．4、 (1)见解析(2)作图见解析，90︒(3)见解析(4)见解析(5)垂线段最短【解析】【分析】（1）根据题意作直线AB ；（2）根据题意作射线PA ，PB ，用量角器测量APB ∠；（3）根据网格的特点找到点C ，作直线AC ；（4）过点P 画PD AB ⊥于点D ；（5）根据垂线段最短作答即可(1)如图所示(2)如图所示=︒用量角器测量APB∠90故答案为：90︒(3)如图所示，根据网格的特点将点A向右平移2个单位，向下平移1个单位得到点C，作直线AC；(4)如图所示(5)PD最短，理由：垂线段最短【点睛】本题考查了画直线，射线，平行线，垂线，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．5、(1)①40°；②26(2)12或48．【解析】【分析】①当t=20（秒）时，∠ECP=60°，∠BAP=40°，可得∠CAP=20°，即得∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°；②根据∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，且AB∥CD，∠BAC=60°，可得（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，即可解得t=26；（2）分两种情况：分别画出图形，根据平行线的性质，找到相等的角列方程，即可解得答案．(1)①如图：当t=20（秒）时，∠ECP=20×3°=60°，∠BAP=20×2°=40°，∵∠BAC=60°，∴∠CAP=∠BAC-∠BAP=20°，∴∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°，故答案为：40°；②如图：根据题意知：∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，∵AB//CD，∠BAC=60°，∴∠CAP=60°-2t°，∠ACP=180°-3t°，∵∠CPA=70°，∴（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，解得t=26，∴t的值是26；(2)存在AM//CN，分两种情况：（Ⅰ）如图：∵AM//CN，∴∠ECN=∠CAM，∴3t°=60°-2t°，解得t=12，（Ⅱ）如图：∵AM//CN，∴∠ACN=∠CAM，∴180°-3t°=2t°-60°，解得t=48，综上所述，t的值为12或48．【点睛】本题考查一次方程的应用，涉及平行线与相交线、三角形内角和等知识，解题的关键是分类画出图形，找到等量关系列方程．。
八年级数学上册单元测试《第7章平行线的证明》(解析版)讲解
第7章平行线的证明一、选择题（共14小题）1．如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A．120°B．130°C．140°D．40°2．如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是（）A．35° B．70° C．90° D．110°3．如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2=（）A．60° B．50° C．40° D．30°4．如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4等于（）A．70° B．80° C．90° D．100°5．已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形6．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A．B．C．D．7．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58° B．70° C．110°D．116°8．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）A．55° B．60° C．70° D．75°9．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4=（）A．70° B．80° C．110°D．100°10．如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（）A．120°B．130°C．145°D．150°11．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°12．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°13．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是（）A．15° B．25° C．35° D．45°14．如图AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共16小题）15．如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC= 度．16．如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3= °．17．如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= ．18．如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠2= 度．19．如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= 度．20．如右图，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，则∠A= ．21．如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为度．22．如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为．23．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= ．24．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= ．25．如图，a∥b，∠1=70°，∠2=50°，∠3= °．26．如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B= °．27．如图，AB∥CD，∠BAF=115°，则∠ECF的度数为°．28．如图，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD= 度．29．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= °．30．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．第7章平行线的证明参考答案与试题解析一、选择题（共14小题）1．如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A．120°B．130°C．140°D．40°【考点】平行线的判定与性质．【分析】首先根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，∵∠3=40°，∴∠5=40°，∴∠4=180°﹣40°=140°，故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．2．如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是（）A．35° B．70° C．90° D．110°【考点】平行线的判定与性质．【分析】首先根据∠1=∠2，可根据同位角相等，两直线平行判断出a∥b，可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，∵∠3=70°，∴∠5=70°，∴∠4=180°﹣70°=110°，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系3．如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2=（）A．60° B．50° C．40° D．30°【考点】平行线的判定与性质．【分析】先根据对顶角相等得出∠3，然后判断a∥b，再由平行线的性质，可得出∠2的度数．【解答】解：∵∠1和∠3是对顶角，∴∠1=∠3=50°，∵c⊥a，c⊥b，∴a∥b，∵∠2=∠3=50°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等，对顶角相等．4．如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4等于（）A．70° B．80° C．90° D．100°【考点】平行线的判定与性质．【分析】首先证明a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6，再根据对顶角相等可得∠4．【解答】解：∵∠1+∠5=180°，∠1+∠2=180°，∴∠2=∠5，∴a∥b，∴∠3=∠6=100°，∴∠4=100°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．5．已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】根据在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠C的度数，进而得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，解得∠C=90°，、∴△ABC是直角三角形．故选：C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．6．（2013?扬州）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A．B．C．D．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的性质求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°，故A错误；B、∵AB∥CD，∴∠1=∠3，∵∠2=∠3，∴∠1=∠2，故B正确；C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，若AC∥BD，可得∠1=∠2；故C错误；D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2，故D错误．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58° B．70° C．110°D．116°【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．【解答】解：∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°，∴∠4=∠5=110°，故选C．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟记定理是解题的关键．8．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）A．55° B．60° C．70° D．75°【考点】平行线的判定与性质．【分析】利用平行线的性质定理和判定定理，即可解答．【解答】解：如图，∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5=125°，∴∠4=180°﹣∠5=180°﹣125°=55°，故选：A．【点评】此题考查了平行线的性质和判定定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4=（）A．70° B．80° C．110°D．100°【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．【解答】解：∵∠3=∠5=110°，∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠4+∠5=180°，∴∠4=70°，故选A．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟记定理是解题的关键．10．如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（）A．120°B．130°C．145°D．150°【考点】平行线的判定与性质．【专题】计算题．【分析】由∠1=∠2，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同位角相等得到∠3=∠5，求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠5=∠3=30°，∴∠4=180°﹣∠5，=150°，故选D【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．11．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．【解答】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是解答此题的关键．12．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°【考点】三角形内角和定理．【分析】首先根据∠A：∠B：∠C=3：4：5，求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几；然后根据分数乘法的意义，用180°乘以∠C的度数占三角形的内角和的分率，求出∠C等于多少度即可．【解答】解：180°×==75°即∠C等于75°．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．13．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是（）A．15° B．25° C．35° D．45°【考点】平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2=60°﹣∠3代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=25°，∴∠3=∠1=25°，∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣25°=35°．故选C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．14．如图AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】平行线的性质；余角和补角；对顶角、邻补角．【分析】两角互余，则两角之和为90°，此题的目的在于找出与∠CAB的和为90°的角，根据平行线的性质及对顶角相等作答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，设∠ABC的对顶角为∠1，则∠ABC=∠1，又∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°，因此与∠CAB互余的角为∠ABC，∠BCD，∠1．故选C．【点评】此题考查的知识点为：平行线的性质，两角互余和为90°，对顶角相等．二、填空题（共16小题）15．如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC= 120 度．【考点】平行线的判定与性质．【分析】由已知一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AB与DC平行，再利用两直线平行同旁内角互补，由∠A的度数即可求出∠ADC的度数．【解答】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°．故答案为：120°【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．16．如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3= 110 °．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠MEN，利用同位角相等，两直线平行得出AB∥CD，再利用平行线的性质解答即可．【解答】解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，∴∠1=∠MEN，∴AB∥CD，∴∠3+∠BMN=180°，∵MN平分∠EMB，∴∠BMN=，∴∠3=180°﹣70°=110°．故答案为：110．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．17．如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= 63°30′．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据∠1=∠2可以判定a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得答案．【解答】解：∵∠1=40°，∠2=40°，∴a∥b，∴∠3=∠5=116°30′，∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′，故答案为：63°30′．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行．18．如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠2= 30 度．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【分析】根据平行线的性质得到∠EFD=∠1，再由FG平分∠EFD即可得到．【解答】解：∵AB∥CD∴∠EFD=∠1=60°又∵FG平分∠EFD．∴∠2=∠EFD=30°．【点评】本题主要考查了两直线平行，同位角相等．19．如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= 36 度．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠B，∠DEC=∠F，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△CDE中，∠D=180°﹣∠DCE﹣∠DEC=180°﹣72°﹣72°=36°．故答案为：36．【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质与定理是解题的关键．20．如右图，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，则∠A= 55°．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，求出∠EFD的度数，而∠EFD为三角形ECF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数，即为∠A的度数．【解答】解：∵∠EFD为△ECF的外角，∴∠EFD=∠C+∠E=55°，∵CD∥AB，∴∠A=∠EFD=55°．故答案为：55°【点评】此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．21．如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为107 度．【考点】平行线的判定与性质．【专题】计算题．【分析】根据已知一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠5+∠3=180°，∵∠4=∠5，∠3=73°，∴∠4+∠3=180°，则∠4=107°．故答案为：107【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．22．（2013?南昌）如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为65°．【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．【专题】探究型．【分析】先根据平角的定义求出∠EDC的度数，再由平行线的性质得出∠C的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．【解答】解：∵∠1=155°，∴∠EDC=180°﹣155°=25°，∵DE∥BC，∴∠C=∠EDC=25°，∵△ABC中，∠A=90°，∠C=25°，∴∠B=180°﹣90°﹣25°=65°．故答案为：65°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．23．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= 115°．【考点】平行线的性质．【分析】将各顶点标上字母，根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，从而可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．故答案为：115°．【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．24．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= 30°．【考点】平行线的性质；多边形内角与外角．【分析】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．【解答】解：作出辅助线如图：则∠2=42°，∠1=∠3，∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，∴∠3=180°﹣∠2﹣∠3=30°，∴∠1=∠3=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行：内错角相等、同位角相等．25．如图，a∥b，∠1=70°，∠2=50°，∠3= 60 °．【考点】平行线的性质．【专题】探究型．【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数，再由平角的性质求出∠3的度数即可．【解答】解：∵a∥b，∠1=70°，∴∠4=∠1=70°，∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=180°﹣70°﹣50°=60°．故答案为：60．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．26．如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B= 50 °．【考点】平行线的性质．【分析】由∠BAC=80°，可得出∠EAC的度数，由AD平分∠EAC，可得出∠EAD的度数，再由AD∥BC，可得出∠B的度数．【解答】解：∵∠BAC=80°，∴∠EAC=100°，∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC=50°，∵AD∥BC，∴∠B=∠EAD=50°．故答案为：50．【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握角平分线的性质及平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等，同旁内角互补．27．如图，AB∥CD，∠BAF=115°，则∠ECF的度数为65 °．【考点】平行线的性质．【分析】先根据平角的定义求出∠BAC的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BAF=115°，∴∠BAC=180°﹣115°=65°，∵AB∥CD，∴∠ECF=∠BAC=65°．故答案为：65．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．28．如图，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD= 60 度．【考点】平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】根据AB∥CD，可得∠BCD=∠B=30°，然后根据CB平分∠ACD，可得∠ACD=2∠BCD=60°．【解答】解：∵AB∥CD，∠B=30°，∴∠BCD=∠B=30°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACD=2∠BCD=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．29．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= 95 °．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，∵△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°，∠BNM=∠BNF=×70°=35°，在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．故答案为：95．【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．30．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 70°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．。
《平行线的证明》题型解读与导练
《平行线的证明》题型解读与导练题型一：定义和命题和定义、命题有关是试题多以判断性试题出现，此类试题涉及到对定义、命题的理解，以及真假命题的区分，命题中条件与结论的区别．例1判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题？（1）过直线AB上一点C作AB的垂线CD；（2）两直线相交，有几个交点？（3）直角都相等；（4）同角或等角的补角相等；（5）如果a+b=0，那么a=0，b=0；（6）两直线平行，同旁内角相等．分析：因为（1）、（2）不是对某一件事作出判断的句子，所以（1）、（2）不是命题；在（3）、（4）、（5）、（6）四个命题中，（3）、（4）的结论一定正确，所以是真命题，（5）、（6）的结论不一定正确，所以（5）、（6）是假命题．练习：1.下列语句是否是命题,是命题,请指出真假命题.(1)两个锐角的和是钝角;(2)一个角的补角是锐角或钝角;(3)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边,那么这个两个角相等;(4)相等的角是同位角;(5)若a≠b,则a2≠b2.(6)如果两直线不相交,那么这两条直线平行.答案:命题为: (1)(2)(3)(4)(5)(6)全部是假命题.例2指出下列命题的条件和结论.并写将其改写“如果…，那么…”形式．(1)平行于同一条直线的两直线平行;(2)内错角相等.分析：命题对符合一定条件的直线作出了是平行线的判断，因此，命题的结论是“两直线平行”．而这两条直线应符合的条件是“平行于同一直线”．（2）命题对符合一定条件的角作出了相等的判断，所以命题的结论是“这两个角相等”，这两个角符合的条件即命题的条件是“两个角是内错角”．解：（1）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两个角相等；（2）如果两个角是内错角，那么这两个角相等．练习：2.指出下列命题的条件和结论.(1)如果∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,那么∠1=∠3.(2)度数之和为90°的两个角互为余角.答案：（1）条件是：“∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°”，结论是：“∠1=∠3”；（2）条件是：“度数之和为90°的两个角”，结论是：“互为余角”．题型二:为什么它们平行本考点主要涉及平行线判定公里、定理的应用．多以证明的形式出现．例3如图,已知直线l1、l2、l3被直线l所截，∠1=72°，∠2=108°，∠3=72°，求证：l1//l2//l3．分析：要证l1、l2、l3平行，可先证明l1//l3，再证l2//l3，则l1//l2//l3．证明：因为∠1=72°，∠3=72°，所以∠1=∠3，所以l1//l3（内错角相等，两直线平行）.又因为∠3=72°,∠2=108°,所以∠3+∠2=180°,所以l2//l3(同旁内角互补,两直线平行).所以l1//l2//l3.练习:3.如图2,AD⊥BC,EG⊥BC,D,G是垂足,∠GEC=∠3,求证:AD平分∠BAC.点拨:AD⊥BC,EG⊥BC,所以∠1=∠E,∠2=∠3,又∠3=∠E,所以∠1=∠2,所以AD平分∠BAC.例4如图, 已知∠ABC=∠ADC,BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC,∠1=∠2,求证:DE//BF.分析:要证明DE//BF,根据平行线的判定方法,只需证明∠1=∠3. 证明:因为DE 平分∠ADC,所以∠2=21∠ADC(角平分线定义) 又FB 平分∠ABC,所以∠3=21∠ABC,又∠ABC=∠ADC,所以∠2=∠3, 因为∠1=∠2, 所以∠1=∠3,所以DE//BF(同位角相等,两直线平行).练习:4.如图,已知∠ADB=∠CBD,∠1=50°,求∠C.答案点拨:因为∠ADB=∠CBD,所以AD//BC,所以∠C=∠1, 因为∠1=50°,所以∠C=50°. 题型三:如果两直线平行本考点主要涉及平行线性质公里、定理的应用．此类型的题多以填空或选择题形式出现．例5 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C ，求证：AB//DE.分析:要证AB//DE,先证明∠1=∠AGD,要证∠1=∠AGD,因∠1=∠2,又要先证∠2=∠AGD;只需证AF//CD,即需要证∠5+∠ADC=180°,又因为∠5=∠C,故要证∠C+∠ADC=180°,也就要证AD//BC,又因为∠3=∠4,显然AD//BC. 证明:因为∠3=∠4,所以∠ADC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补) 因为∠5=∠C, 所以∠ADC+∠5=180°, 所以AF//CD(同旁内角互补,两直线平行)所以∠2=∠AGD(两直线平行,内错角相等)所以∠1=∠AGD.所以AB//DE(内错角相等,两直线平行).练习:5.如图，已知AB//EF,CD//EG,AD//BC,∠A=120°,∠D=100°,求∠EFG、∠EGF、∠GEF的度数．答案点拨：∠EFG=60°，∠EGF=80°，∠GEF=40°．例6如图，已知AB∥DE,∠ABC＝80º,∠CDE＝140º,则∠BCD＝_______．分析：要求∠BCD的度数，根据已知条件AB//DE，可以通过延长ED交BC于E，找到∠ABC和∠CDE与∠BCD的关系．解：延长DE交BC于F，因为AB//ED，所以∠BFD=∠B=80°，又∠BFD+∠CFD=180°，所以∠CFD=120°，又∠CDE=∠BCD+∠DFC，∠CDE=140°，所以∠BCD=140°-120°=20°．练习：6.如图,若AB//CD,则（）.(A)∠1=∠2+∠3 (B)∠1=∠3-∠2 (C)∠1+∠2+∠3=180° (D)∠1-∠2+∠3=180° 答案:A.题型四：三角形内角和定理的应用本考点主要涉及利用三角形内角和定理解决有关的证明或求角度问题． 例7 如图，已知△ABC 中，∠A=α，角的平分线BE 、CF 相交于.求证：∠BOC=90°+ 21分析:∠BOC 与已知角不在一个三角形中,要建立∠BOC 与∠A 的关系,需要应用三角形内角和定理,通过∠OBC 与∠OCB 建立它们之间的联系. 证明:因为BE 、CF 分别是角的平分线，所以∠OBC=21∠ABC ，∠OCB=21∠ACB ， 所以∠BOC=180°-21(∠ABC+∠ACB)(三角形内角和定理)又∠ABC+∠ACB=180°-∠A(三角形内角和定理)所以∠BOC=180°-21(180°-∠A)=180°-90°+21∠A=90°+21∠A=90°+21α练习:7.如图,已知△ABC 中∠C>∠B,AD 是高,AE 是∠BAC 的平分线.求证: ∠EAD=21(∠B-∠C).答案点拨:因为AD ⊥BC,所以∠ADC=∠ADB=90°, 所以∠1=90°-∠B-∠2,∠3=90°-∠C,因为∠1=∠2+∠3,所以90°-∠B-∠2=90°-∠C+∠2, 所以2∠2=∠C-∠B,即∠EAD=21(∠C-∠B). 例8 如图,CP 、BP 分别是∠DCA 、∠ABD 平分线，求证：∠P=21（∠A+∠D ）．分析：观察图形可以发现∠P+∠PEB+∠ABE=180°，∠D+∠DCE+∠DEC=180°，而∠DEC=∠PEB ，由此找到∠P 与∠D 的关系，同理找∠P 与∠A 的关系．证明：因为CP 、BP 分别是∠DCA 、∠ABD 的平分线， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，因为∠P+∠2+∠PFC=180°，∠A+∠AFB+∠4=180°，∠PFC=∠AFB ， 所以∠P+∠2=∠A+∠4， （1）又∠P+∠3+∠PEB=180°，∠D+∠DEC+∠1=180°，∠DEC=∠PEB ， 所以∠P+∠3=∠D+∠1， （2） （1）+（2），得2∠P+∠2+∠3=∠A+∠D+∠4+∠1， 又∠2+∠3=∠1+∠4， 所以2∠P=∠A+∠D ，所以∠P=21(∠A+∠D).练习:8.已知:如图,AB//CD,AE 平分∠CAB,CE 平分∠ACD.求证:AE ⊥CE.答案点拨:因为AB//CD,所以∠BAC+∠ACD=180°, 因为AE 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACD ， 所以∠EAC+∠ACE=90°， 所以∠E=90°， 所以AE ⊥CE ．题型五：关注三角形的外角本考点主要涉及三角形的外角与内角关系在证明题中的应用．以及利用外角与内角的关系求角的度数．例9如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点.求证:∠BED>∠C.分析:∠BED与∠C没有直接的联系,但∠BED、∠C都与∠BAC有关,因此可以用∠BAC作中间量进行过渡.证明:在△ABC中,∠ABC+∠C=90°,因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°,在△ABD中,∠ADB=90°,所以∠ABC+∠BAD=90°,所以∠C=∠BAD,因为∠BED>∠BAD(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)所以∠BED>∠C.练习:9.如图,已知B、C、D在一直线上，E、A、C在一直线上，EF交AB于F点.求证:∠2>∠1.答案点拨:因为∠2>∠BAC,∠BAC>∠1,所以∠2>∠1.例10.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC交AD于E 点，交AC于F点.求证:∠AEF=∠AFE.分析:要证明∠AEF=∠AFE,可以利用三角形的外角和内角的关系,通过等量代换的方式求证.证明:因为∠BAC=90°,所以∠BAD+∠DAC=90°,因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°,所以∠DAC+∠ACD=90°,所以∠BAD=∠ACD,因为∠AEF=∠ABE+∠BAE,∠AFE=∠FBA+∠ACD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)又BF平分∠ABC,所以∠ABF=∠CBF,所以∠AEF=∠AFE.练习:10.如图,l1//l2,下列式子中,等于180°的是（）.(A)α+β+γ (B)α+β-γ (C) –α+β+γ (D)α-β+γ答案:(B).。
中考数学考点总动员系列 专题25 平行线的证明(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
考点二十五：平行线的证明聚焦考点☆温习理解1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题.2.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.3.假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题．4.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.二、平行线的判定与性质（1）平行线的性质如果两直线平行，那么同位角相等；如果两直线平行，那么内错角相等；如果两直线平行，那么同旁内角互补.（2）平行线的判定同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.2.平行线的基本事实（即平行公理）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.名师点睛☆典例分类考点典例一、推理论证【例1】（2017•某某）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】考点：推理与论证．【点睛】此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关键．【举一反三】1. （2017•路南区二模）某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（）A．甲、丙B．甲、丁C．乙、丁D．丙、丁【答案】B．【解析】试题分析：根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答案．试题解析：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都去，要么都不去”，①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁；故选：D ．考点：推理与论证．2.如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的点数为x ，淇淇猜中的结果应为y ，则y=（ ）A ．2B ．3C ．6D ．x+3【答案】B ．考点：整式的加减．考点典例二、命题的真假【例2】（2017某某某某第9题）下列命题中，假命题有（ ）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直于同一直线的两条直线平行；⑤若⊙O 的弦CD AB ,交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅.A ．4个B ．3个 C.2个 D ．1个【答案】C【解析】试题分析：①根据线段的性质公理，两点之间线段最短，说法正确，不是假命题；②根据角平分线的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题；③根据垂线的性质、平行公理的推论，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误，是假命题；④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题；⑤如图，连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出PA PC，即PA•PB=PC•PD，故若⊙O的弦AB，CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题．PD PB故选：C．考点：命题与定理【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握有关的知识.．【举一反三】（2017某某某某第15题）下列四个命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③全等三角形的对应角相等；④两直线平行，同位角相等，基中假命题的有（填序号）．【答案】②【解析】试题分析：①对顶角相等是真命题；②同旁内角互补是假命题；③全等三角形的对应角相等是真命题；④两直线平行，同位角相等是真命题；故假命题有②.考点：命题与定理．考点典例三、平行线的判定【例3】如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D．∠A=∠ABE【答案】D ．【解析】考点：平行线的判定．【点睛】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．【举一反三】1. （2017某某某某第1题）如图，直线,AB CD 被直线EF 所截，155∠=，下列条件中能判定//AB CD 的是（ ）A ．235∠=B ．245∠=C ．255∠=D ．2125∠=【答案】C【解析】试题分析：A 、由∠3=∠2=35°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB ∥CD ，故本选项错误；B 、由∠3=∠2=45°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB ∥CD ，故本选项错误；C 、由∠3=∠2=55°，∠1=55°推知∠1=∠3，故能判定AB ∥CD ，故本选项正确；D 、由∠3=∠2=125°，∠1=55°推知∠1≠∠3，故不能判定AB ∥CD ，故本选项错误；故选C ．考点：平行线的判定．2. （2017某某某某第14题）如图利用直尺和三角板过已知直线l外一点p作直线l平行线的方法，其理由是【答案】同位角相等，两直线平行【解析】试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行考点:平行线的判定3.如图，直线a，b被直线e，d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（）.A. 55°B. 60°° D. 75°【答案】A.【解析】试题分析：∵∠1=∠2，∴a∥b,∴∠3的对顶角＋∠4=180º，∠3的对顶角=∠3=125°，∴∠4=180º-125º=55º，故选A.考点：平行线的性质与判定.考点典例四、平行线的性质dcba第3题【例3】（2016某某呼伦贝尔市、兴安盟第7题）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40° B．30° C．70° D．50°【答案】A．考点：等腰三角形的性质；平行线的性质．【点睛】利用平行线的性质求角的大小的方法有两种：一是先根据平行线的性质求得与已知角互补或相等的角，再利用互补或相等关系得到答案；二是先求得与已知角互补或相等的角，再利用平行线的性质求得所求的角的大小.【举一反三】1.（2017某某某某第5题）如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（）A．30° B．40° C．60° D．70°【答案】A．【解析】试题解析：如图，∵AB∥CD，∠A=70°，∴∠1=∠A=70°，∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°，∴∠E=∠1﹣∠E=70°﹣40°=30°．故选A．的外角性质.2.（2017某某某某第7题）已知直线m n∥，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(30∠°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若120∠°，则2 ABC∠的度数为( )A.20°B.30°C.45°D.50°【答案】D．【解析】试题解析：如图，∵m n∥∴∠2=∠3+∠1∵∠1=20°，∠3=30°∴∠2=50°故选D.考点：平行线的性质．课时作业☆能力提升一、选择题1.（2017秋•江阴市期中）甲，乙两人在做“报40”的游戏，其规则是：“两人轮流连续数数，每次最多可以连续数三个数，谁先报到40，谁就获胜”．那么采取适当策略，其结果是（ ）A ．后说数者胜B ．先说数者胜C ．两者都能胜D ．无法判断【答案】A.考点：推理与论证．2.（2017某某株洲第3题）如图示直线l 1，l 2△ABC 被直线l 3所截，且l 1∥l 2，则α=（ ）A ．41°B ．49°C ．51°D ．59°【答案】B.【解析】试题分析：因为l 1∥l 2，∴α=49°，故选B ．考点：平行线的性质．3.下列命题中，真命题的个数是（ ）①若112x -<<-，则121x -<<-； ②若12x -≤≤，则214x ≤≤；③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B．考点：命题与定理．4.（2017某某某某第5题）如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】D．【解析】试题解析：如图，∵∠1+∠3=90°，∴∠3=90°﹣40°=50°，∵a ∥b ，∴∠2+∠3=180°．∴∠2=180°﹣50°=130°．故选D ．考点：平行线的性质．5. （2017某某某某第5题）如图，a ∥b ，点B 在直线a 上，且AB ⊥BC ，∠1=35°，那么∠2=（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60° 【答案】C.【解析】试题解析：如图∵AB ⊥BC ，∠1=35°，∴∠2=90°﹣35°=55°．∵a ∥b ，∴∠2=∠3=55°．故选C ．考点：平行线的性质.6.（2017某某乌鲁木齐第2题）如图，直线,172a b ∠=，则2∠的度数是 （ ）A．118 B．108C．98 D．72【答案】B．【解析】试题解析：∵直线a∥b，∴∠2=∠3，∵∠1=72°，∴∠3=108°，∴∠2=108°，故选B．考点：平行线的性质．7.（2017某某第5题）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠1的度数为（）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】C.【解析】试题分析：根据垂线的定义可得∠2=90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠1=90°．∵c⊥a，∴∠2=90°，∵a∥b，∴∠2=∠1=90°．故选C．考点：垂线的定义，平行线的性质.8.（2017某某某某第6题）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1=30°，则∠2的度数为（）A ．45°B ．30°C ．20°D ．15°【答案】D.【解析】试题分析：∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°，∵直尺的对边平行，∴∠4=∠3=60°，又∵∠4=∠2+∠5，∠5=45°，∴∠2=60°﹣45°=15°，故选：D ．考点：平行线的性质．二、填空题9. （2017某某某某第12题）如图，CD 平分ECB ∠，且AB CD //，若36=∠A ，则=∠B ．【答案】36°考点：平行线的性质10. （2017某某某某第12题）命题：“如果m 是整数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：．【答案】“如果m 是有理数，那么它是整数”．【解析】试题分析：命题：“如果m 是整数，那么它是有理数”的逆命题为“如果m 是有理数，那么它是整数”． 故答案为：“如果m 是有理数，那么它是整数”．考点：命题与定理．11. （2017某某呼和浩特第12题）如图，//AB CD ，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ，若48C ∠=︒，则AED ∠为．【答案】114°【解析】试题分析：∵AB ∥CD ，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=48°，∴∠CAB=180°﹣48°=132°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠EAB=66°，∵AB ∥CD ，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°﹣66°=114°.考点：1.平行线的性质；2.角平分线的定义．12. （2017某某呼和浩特第14题）下面三个命题：①若,x a y b =⎧⎨=⎩是方程组||2,23x x y =⎧⎨-=⎩的解，则1a b +=或0a b +=；②函数2241y x x =-++通过配方可化为22(1)3y x =--+；③最小角等于50︒的三角形是锐角三角形．其中正确命题的序号为．【答案】②③考点：命题与定理．13.（2016某某某某第18题）（5分）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【答案】OA∥BC，OB∥AC,理由详见解析.【解析】试题分析：根据已知可得∠1=∠2，∠2+∠3=180°，由同位角相等，两直线平行即可得OB∥AC，由同旁内角互补，两直线平行可得OA∥BC．试题解析：OA∥BC，OB∥AC,理由如下：∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．考点：平行线的判定.三、解答题14.A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A 队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．【答案】至少7分才能保证一定出线．【解析】试题分析：根据题意每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛，根据规则每场比赛，两队得分的和是3分或2分，据此对A队的胜负情况进行讨论，从而确定．试题解析：至少要7分才能保证一定出线；每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．若A队两胜一平，则积7分．因此其它队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分，每场比赛，两队得分的和是3分或2分．6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，∴最多只有两个队得7分．所以积7分保证一定出线．若A队两胜一负，积6分．如表格所示，根据规则，这种情况下，A队不一定出线．同理，当A队积分是5分、4分、3分、2分时不一定出线．总之，至少7分才能保证一定出线．考点：推理与论证．15.（2017某某A卷第19题）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．【答案】【解析】试题分析：由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数.试题解析：∵∠AEC=42°，∴∠AED=180°﹣∠AEC=138°，∵EF平分∠AED，∴∠DEF=12∠AED=69°，又∵AB∥CD，∴∠AFE=∠DEF=69°．考点:平行线的性质.。
平行线必考题型与几何证明
平行线必考题型与几何证明模块一、知识点精析一、相关概念1．平面内直线的位置关系：相交和平行。
2．平行直线定义：在同一平面内永不相交的两条直线。
3．邻补角和对顶角的定义。
4．相交线中的三线八角：同位角、内错角和同旁内角。
二、平行线性质定理：1．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等2．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等3．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补三、平行线判定定理：1．同位角相等，两条直线平行2．内错角相等，两条直线平行3．同旁内角互补，两条直线平行注：1．定义是所有图形的判定方法。
2．平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3．垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
模块二、重点题型精练题型一、M型应用【例1】如下列图，AB∥CD，∠A＝29°，∠C＝47°，那么∠AEC＝度。
题型二、凸型应用【例2】如下列图，AB∥CD，那么∠1＋∠2＋∠3＋……＋∠2n＝度。
题型一、二综合【例3】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A是120°，第二次拐弯的∠B是150°，第三次拐弯的角是∠C，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C是度。
题型三、几何证明【例4】如图AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AD∥BE。
模块三、杯赛题精讲【例5】如图，直线AB∥CD，∠EF A＝30°，∠FGH＝90°，∠CPN＝50°，那么∠GHM的大小是。
模块四、画龙点睛1．平行线性质及判定平行线与几何证明2．M型3．构造平行线方法。
《平行线的有关证明》单元测试(解析版)
《平行线的有关证明》单元测试参考答案与试题解析一•选择题（共9小题，满分36分，每小题4分）1.（2019秋？孟津县期中）下列语句不是命题的是（）A .两点之间，线段最短B .不平行的两条直线有一个交点C. x与y的和等于0吗？D .两个锐角的和- -定是直角【分析】可以判定真假的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案.【解答】解：A、两点之间，线段最短，是命题；B、不平行的两条直线有一个交点，是命题；C、x与y的和等于0吗？不是命题；D、两个锐角的和- -定是 :直角，是命题；故选：C.【点评】本题考查了命题与定理.能够判断真假的陈述句叫做命题.2.（4分）（2018秋？江汉区期末）如图，直线a, b相交于点O,因为/ 1+ / 2= 180°,/ 3+ / 2 = 180 ° ,所以/ 1 = / 3,这是根据（）A .同角的余角相等B .等角的余角相等C.同角的补角相等 D .等角的补角相等【分析】根据题意知/ 1与/ 3都是/ 2的补角，根据同角的补角相等，得出/ 1 = / 3.【答案】解：T/ 1与/ 3都是/ 2的补角，.••/ 1 = / 3 （同角的补角相等）.故选：C.【点睛】本题考查了补角的知识，注意同角或等角的补角相等，在本题中要注意判断是“同角”还是“等角”.3.（4分）（2018秋？北碚区期末）如图，P是直线I外一点，A，B，C三点在直线I上，且PB丄I于点B，/ APC = 90°,则下列结论：① 线段AP 是点A 到直线PC 的距离；② 线段BP 的长是点P 到直线I 的距 离；③PA, PB ，PC 三条线段中，PB 最短；④线段PC 的长是点P 到直线I 的距离，其中，正确的是（ ）A .②③B .①②③C .③④D .①②③④【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”；“从直线外一点到这条直 线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答.【答案】解：①线段AP 是点A 到直线PC 的距离，错误；② 线段BP 的长是点P 到直线I 的距离，正确；③ PA ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短，正确；④ 线段PC 的长是点P 到直线I 的距离，错误，故选：A .①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线 的距离.②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短.4. （ 4分）（2019春？淮北期末）如图，直线 AB ，CD ，MN 两两相交.则图中同旁内角的组数有（【分析】截线 AB 、CD 与被截线MN 所截，可以得到两对同旁内角，同理 AB 、MN 被CD 所截，CD 、 MN 被AB 所截，又可以分别得到两对.【答案】解：根据同旁内角的定义，直线 AB 、CD 被直线MN 所截可以得到两对同旁内角,同理：直线 AB 、MN 被直线CD 所截，可以得到两对，直线CD 、MN 被直线AB 所截，可以得到两对.因此共6对同旁内角.故选：B .【点睛】本题考查同旁内角的定义，同旁内角就是在截线的同一侧，在两条被截线的内部的两个角，是【点睛】此题主要考查了垂线的两条性质:需要熟记的内容.5.（4分）（2019春？孝义市期末）如图，在一张半透明的纸上画一条直线I,在直线I外任取一点A、折出过点A且与直线I垂直的直线•这样的直线只能折出一条，理由是（）A .连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B .两点之间线段最短C.在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D •经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可得答案.【答案】解：这样的直线只能折出一条，理由是：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直, 故选：C.【点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.6. （4分）（2019春？肥城市期末）如图，下列条件：①/ 1 = 7 2;②/ 4=7 5;③/ 1 = 7 3;④/ 6=7A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可.【答案】解：①T7 1 = 7 2不能得到11 // 12,故本条件不合题意；②4=7 5,「.l1//l2，故本条件符合题意；③•••/ 1 = 7 3 ,二11//|2，故本条件符合题意；④•••/ 6=7 2+ 7 3=7 1 + 7 2,二7 1 = 7 3,二11// 12,故本条件符合题意. 故选：C.【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键.7. （4分）（2018秋？汾阳市期末）如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB , CD相交于点O与点G,OP平分/ EOB，若/ EOP = 65°，则/ DGF的度数为（）A. 50°B. 60°C. 65°D. 75°【分析】依据OP平分/ EOB，即可得到/ BOG = 2/EOP = 2X 65°= 130°,再根据平行线的性质，即可得出/ DGF+/ BOE = 180°，进而得到/ DGF = 180°- 130°= 50°.【答案】解：•••OP平分/ EOB ,•••/ BOG = 2/EOP = 2X 65 ° = 130°,又•••AB // CD ,•••/ DGF +Z BOE = 180°,•••/ DGF = 180°- 130°= 50°,故选：A.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补.8. （4分）（2019春？相城区期末）如图，/ ABC = Z ACB , AD、BD、CD分别平分/ EAC、/ ABC和/ACF .以下结论：① AD // BC;②/ ACB = 2/ADB ;③/ BDC =Z BAC;④/ ADC = 90°-/ ABD .其中正确的结论是（）A .①②③B .②③④C .①③④D .①②④【分析】根据平行线的判定和性质，角平分线的定义一一判断即可.【答案】解：•••/ EAC = / ABC + / ACB,•// ABC = / ACB, / EAD = / DAC ,•••/ EAD = / ABC,••• AD // BC,故①正确，•••/ ADB = Z DBC ,•••/ ABD = Z DBC ,•••/ ACB = Z ABC= 2/ DBC = 2 / ADB，故② 正确，•••/ADC = 180°-(Z DAC+ / DCA)=180°-二(/ EAC + / FCA)2=180°--- (/ABC + Z ACB+ / ABC+Z BAC)2=90°-- -ABC2=90°-Z ABD，故④正确，无法判定③正确，故选：D.【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.10. (4 分)(2019 春？嘉兴期中)如图，已知DC// FP,Z 1 = Z 2,Z FED = 32°,Z AGF = 76°, FH 平分Z EFG，则Z PFH的度数是( )A. 54°B. 44° C . 32° D . 22°【分析】由DC // FP知Z 3=Z 2 =Z 1，可得DC // AB,利用平行线的判定得到AB // PF // CD，根据平行线的性质得到Z AGF = Z GFP , Z DEF = Z EFP，然后利用已知条件即可求出Z PFH的度数.【答案】解：•••DC // FP,•Z 3=Z 2,又T Z 1 = Z 2,•Z 3=Z 1,•DC // AB;•/ DC // FP , DC // AB,Z FED = 32°,• Z EFP = Z FED = 32°, AB // FP ,又•••/ AGF = 76•••/ GFP = Z AGF = 76°•••/GFE = Z GFP+ / EFP = 76° +32 ° = 108又••• FH 平分/ GFE ,•••/ PFH =Z GFP -Z GFH = 76°- 54°= 22°【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，首先利用同位角相等两直线平行证明直线平行，然后利 用平行线的性质得到角的关系解决问题..填空题（共 6小题，满分24分，每小题4 分）11. （4分）（2019春？包河区期末）如图，已知， AB 、CD 、EF 相交于0点，Z 1 = 35°,Z 2= 35°【答案】解：••• AB 、CD 、EF 相交于 O 点，Z 1 = 35°,Z 2= 35°,• Z BOC = 180°-Z 1 -Z 2= 110°,又•••/ 3与Z BOC 是对顶角，• Z 3=Z BOC= 110 故答案为：110°.【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键.O 点，Z 1 = 35°,Z 2= 35°，即可得到Z BOC= 180°-Z1 -Z 2=110°,再根据对顶角相等，即可得出Z 3 =Z BOC = 110°•••/ GFE = 54故选：D .O12. （4分）（2019春？上杭县期末）已知直线 AB , CB , l 在同一平面内，若 AB 丄I ，垂足为B , CB 丄I ,垂 点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂直；故答案为：乙；在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.13. （4分）（2019春？闵行区校级期末）如图，与/ 1构成内错角的角是 / DEF 或/ DEC【分析】根据内错角的定义即可判断，注意有两解.【答案】解：/ 1与/ DEF 可以看成直线 AB 与直线EF 被直线DE 所截的内错角,/ 1与/ DEC 可以看成直线 AB 与直线AC 被直线DE 所截的内错角，故答案为/ DEF 或/ DEC .【点睛】本题看成内错角、同位角、同旁内角等知识，解题的关键是理解内错角的定义，属于基础题. 14. （3分）（2018秋？襄汾县期末）如图，直线 a // b ，直角角板的直角顶点 C 在直线b 上，若/ 1 = 32 则/ 2= 58足也为B ,则符合题意的图形可以是如图中的图乙 （填甲或乙），你选择的依据是 在平面内，过一 【分析】 （写出你学过的一条公根据题意画出图形即可.条直线与已知直线解：根据题意可得图形【分析】由平行线a // b，其性质得/ 1 = 7 3,/ 2 =Z 4，再由平角的定义得3+ / ABC+ / 4= 180。
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《平行线的证明》题型解读与导练题型一：定义和命题和定义、命题有关是试题多以判断性试题出现，此类试题涉及到对定义、命题的理解，以及真假命题的区分，命题中条件与结论的区别．例1判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题？（1）过直线AB上一点C作AB的垂线CD；（2）两直线相交，有几个交点？（3）直角都相等；（4）同角或等角的补角相等；（5）如果a+b=0，那么a=0，b=0；（6）两直线平行，同旁内角相等．分析：因为（1）、（2）不是对某一件事作出判断的句子，所以（1）、（2）不是命题；在（3）、（4）、（5）、（6）四个命题中，（3）、（4）的结论一定正确，所以是真命题，（5）、（6）的结论不一定正确，所以（5）、（6）是假命题．练习：1.下列语句是否是命题,是命题,请指出真假命题.(1)两个锐角的和是钝角;(2)一个角的补角是锐角或钝角;(3)如果一个角的两边分别平行另一个角的两边,那么这个两个角相等;(4)相等的角是同位角;(5)若a≠b,则a2≠b2.(6)如果两直线不相交,那么这两条直线平行.答案:命题为: (1)(2)(3)(4)(5)(6)全部是假命题.例2指出下列命题的条件和结论.并写将其改写“如果…，那么…”形式．(1)平行于同一条直线的两直线平行;(2)内错角相等.分析：命题对符合一定条件的直线作出了是平行线的判断，因此，命题的结论是“两直线平行”．而这两条直线应符合的条件是“平行于同一直线”．（2）命题对符合一定条件的角作出了相等的判断，所以命题的结论是“这两个角相等”，这两个角符合的条件即命题的条件是“两个角是内错角”．解：（1）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两个角相等；（2）如果两个角是内错角，那么这两个角相等．练习：2.指出下列命题的条件和结论.(1)如果∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,那么∠1=∠3.(2)度数之和为90°的两个角互为余角.答案：（1）条件是：“∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°”，结论是：“∠1=∠3”；（2）条件是：“度数之和为90°的两个角”，结论是：“互为余角”．题型二:为什么它们平行本考点主要涉及平行线判定公里、定理的应用．多以证明的形式出现．例3如图,已知直线l1、l2、l3被直线l所截，∠1=72°，∠2=108°，∠3=72°，求证：l1//l2//l3．分析：要证l1、l2、l3平行，可先证明l1//l3，再证l2//l3，则l1//l2//l3．证明：因为∠1=72°，∠3=72°，所以∠1=∠3，所以l1//l3（内错角相等，两直线平行）.又因为∠3=72°,∠2=108°,所以∠3+∠2=180°,所以l2//l3(同旁内角互补,两直线平行).所以l1//l2//l3.练习:3.如图2,AD⊥BC,EG⊥BC,D,G是垂足,∠GEC=∠3,求证:AD平分∠BAC.点拨:AD⊥BC,EG⊥BC,所以∠1=∠E,∠2=∠3,又∠3=∠E,所以∠1=∠2,所以AD平分∠BAC.例4如图, 已知∠ABC=∠ADC,BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC,∠1=∠2,求证:DE//BF.分析:要证明DE//BF,根据平行线的判定方法,只需证明∠1=∠3.证明:因为DE 平分∠ADC,所以∠2=21∠ADC(角平分线定义) 又FB 平分∠ABC,所以∠3=21∠ABC, 又∠ABC=∠ADC,所以∠2=∠3,因为∠1=∠2,所以∠1=∠3,所以DE//BF(同位角相等,两直线平行).练习:4.如图,已知∠ADB=∠CBD,∠1=50°,求∠C.答案点拨:因为∠ADB=∠CBD,所以AD//BC,所以∠C=∠1,因为∠1=50°,所以∠C=50°.题型三:如果两直线平行本考点主要涉及平行线性质公里、定理的应用．此类型的题多以填空或选择题形式出现．例5 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C ，求证：AB//DE.分析:要证AB//DE,先证明∠1=∠AGD,要证∠1=∠AGD,因∠1=∠2,又要先证∠2=∠AGD;只需证AF//CD,即需要证∠5+∠ADC=180°,又因为∠5=∠C,故要证∠C+∠ADC=180°,也就要证AD//BC,又因为∠3=∠4,显然AD//BC.证明:因为∠3=∠4,所以∠ADC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)因为∠5=∠C, 所以∠ADC+∠5=180°,所以AF//CD(同旁内角互补,两直线平行)所以∠2=∠AGD(两直线平行,内错角相等)所以∠1=∠AGD.所以AB//DE(内错角相等,两直线平行).练习:5.如图，已知AB//EF,CD//EG,AD//BC,∠A=120°,∠D=100°,求∠EFG、∠EGF、∠GEF的度数．答案点拨：∠EFG=60°，∠EGF=80°，∠GEF=40°．例6如图，已知AB∥DE,∠ABC＝80º,∠CDE＝140º,则∠BCD＝_______．分析：要求∠BCD的度数，根据已知条件AB//DE，可以通过延长ED交BC于E，找到∠ABC和∠CDE与∠BCD的关系．解：延长DE交BC于F，因为AB//ED，所以∠BFD=∠B=80°，又∠BFD+∠CFD=180°，所以∠CFD=120°，又∠CDE=∠BCD+∠DFC，∠CDE=140°，所以∠BCD=140°-120°=20°．练习：6.如图,若AB//CD,则（）.(A)∠1=∠2+∠3 (B)∠1=∠3-∠2(C)∠1+∠2+∠3=180° (D)∠1-∠2+∠3=180°答案:A.题型四：三角形内角和定理的应用本考点主要涉及利用三角形内角和定理解决有关的证明或求角度问题．例7 如图，已知△ABC 中，∠A=α，角的平分线BE 、CF 相交于.求证：∠BOC=90°+ 21分析:∠BOC 与已知角不在一个三角形中,要建立∠BOC 与∠A 的关系,需要应用三角形内角和定理,通过∠OBC 与∠OCB 建立它们之间的联系.证明:因为BE 、CF 分别是角的平分线，所以∠OBC=21∠ABC ，∠OCB=21∠ACB ， 所以∠BOC=180°-21(∠ABC+∠ACB)(三角形内角和定理) 又∠ABC+∠ACB=180°-∠A(三角形内角和定理)所以∠BOC=180°-21(180°-∠A)=180°-90°+21∠A=90°+21∠A=90°+21α 练习:7.如图,已知△ABC 中∠C>∠B,AD 是高,AE 是∠BAC 的平分线.求证:∠EAD=21(∠B-∠C).答案点拨:因为AD ⊥BC,所以∠ADC=∠ADB=90°,所以∠1=90°-∠B-∠2,∠3=90°-∠C,因为∠1=∠2+∠3,所以90°-∠B-∠2=90°-∠C+∠2,所以2∠2=∠C-∠B,即∠EAD=21(∠C-∠B). 例8 如图,CP 、BP 分别是∠DCA 、∠ABD 平分线，求证：∠P=21（∠A+∠D ）．分析：观察图形可以发现∠P+∠PEB+∠ABE=180°，∠D+∠DCE+∠DEC=180°，而∠DEC=∠PEB ，由此找到∠P 与∠D 的关系，同理找∠P 与∠A 的关系．证明：因为CP 、BP 分别是∠DCA 、∠ABD 的平分线，所以∠1=∠2，∠3=∠4，因为∠P+∠2+∠PFC=180°，∠A+∠AFB+∠4=180°，∠PFC=∠AFB ，所以∠P+∠2=∠A+∠4， （1）又∠P+∠3+∠PEB=180°，∠D+∠DEC+∠1=180°，∠DEC=∠PEB ，所以∠P+∠3=∠D+∠1， （2）（1）+（2），得2∠P+∠2+∠3=∠A+∠D+∠4+∠1，又∠2+∠3=∠1+∠4，所以2∠P=∠A+∠D ，所以∠P=21(∠A+∠D). 练习:8.已知:如图,AB//CD,AE 平分∠CAB,CE 平分∠ACD.求证:AE ⊥CE.答案点拨:因为AB//CD,所以∠BAC+∠ACD=180°,因为AE 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACD ，所以∠EAC+∠ACE=90°，所以∠E=90°，所以AE ⊥CE ．题型五：关注三角形的外角本考点主要涉及三角形的外角与内角关系在证明题中的应用．以及利用外角与内角的关系求角的度数．例9如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点.求证:∠BED>∠C.分析:∠BED与∠C没有直接的联系,但∠BED、∠C都与∠BAC有关,因此可以用∠BAC作中间量进行过渡.证明:在△ABC中,∠ABC+∠C=90°,因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°,在△ABD中,∠ADB=90°,所以∠ABC+∠BAD=90°,所以∠C=∠BAD,因为∠BED>∠BAD(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)所以∠BED>∠C.练习:9.如图,已知B、C、D在一直线上，E、A、C在一直线上，EF交AB于F点.求证:∠2>∠1.答案点拨:因为∠2>∠BAC,∠BAC>∠1,所以∠2>∠1.例10.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC交AD于E 点，交AC于F点.求证:∠AEF=∠AFE.分析:要证明∠AEF=∠AFE,可以利用三角形的外角和内角的关系,通过等量代换的方式求证.证明:因为∠BAC=90°,所以∠BAD+∠DAC=90°,因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°,所以∠DAC+∠ACD=90°,所以∠BAD=∠ACD,因为∠AEF=∠ABE+∠BAE,∠AFE=∠FBA+∠ACD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)又BF平分∠ABC,所以∠ABF=∠CBF,所以∠AEF=∠AFE.练习:10.如图,l1//l2,下列式子中,等于180°的是（）.(A)α+β+γ (B)α+β-γ (C) –α+β+γ (D)α-β+γ答案:(B).。