湖北省襄阳市第五中学2017届高三下学期第三次适应性考试数学(文)试题+Word版含答案

襄阳五中2017届高三第三次适应性考试数学（文科）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合 题目要求的）．1． 已知R 是实数集，集合2{|20}A x x x =--≤，21|06x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()A B =R ð（ ） A ．()1,6 B ．[]1,2-C ．1,62⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦2． 已知复数z 满足52i 25iz +=-（i 是虚数单位），则2017z=（ ） A ．1B ．1-C ． iD ．i -3． 若直线20x y +-=与直线0x y -=的交点P 在角α的终边上,则tan α的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12D4． 在一次赠书活动中,将2本不同的小说与2本不同的诗集赠给2名学生，每名学生2本书，则每人分别得到1本小说与1本诗集的概率为（ ） A ．15B ．13C ．25D ．235． 已知圆224690x y x y +--+=与直线3y kx =+相交于,A B 两点，若则k 的取值范围是（ ） ABCD6． 定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等.在数学中也有这样一类数字有这样的特征，称为回文数.设n 是一任意自然数.若将n 的各位数字反向排列所得自然数1n 与n 相等，则称n 为一回文数.例如，若1234321n =，则称n 为一回文数；但若1234567n =，则n 不是回文数.则下列数中不是回文数的是（ ）x22俯视图侧视图正视图CBDCADABA．18716⨯B．2111C．4542⨯D．230421⨯7．设等差数列{}na的前n项和为nS，若46,a a是方程2180x x p-+=的两根，那么9S=（）A．9B．81C．5D．458．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是10+则图中x的值为（）ABC.2D9．运行如下程序框图，分别输入1,5t=，则输出S的和为（）A．10B．5C．0D．5-10．若)(xf是偶函数，且在[)+∞,0则32f⎛⎫-⎪⎝⎭与2522f a a⎛⎫++⎪⎝⎭的大小关系是（）O EADCBxA ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．235222f f a a ⎛⎫⎛⎫-≤++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．如图，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，DA DC =现沿对角线AC 折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ）ABCD ．12π 12．若存在(]1,1x ∈-，使得不等式2exax a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答． 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13．在矩形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点O ， E 为BO 的中点，若AE AB AD λμ=+（,λμ为实数），则λμ=.14．()()cos sin 2344f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象 .15．已知实数,x y 满足线性约束条件20626x x y x y -≥+≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若2x y m -≥恒成立，则实数m 的取值范围是 . 16．过点()(),00M m m >作直线l ，与抛物线24y x =有两交点4681012PDEABA B ,，若0FA FB ⋅<，则m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC △的三个内角,,A B C 的三条对边，且()sin sin sin c C a A b a B -=-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求cos cos A B +的最大值． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，，PA AD ⊥，底面ABCD 为平行四边形，60ADC ∠=︒，E 为PD 的中点.（Ⅰ）求证：AB PC ⊥； （Ⅱ）求多面体PABCE 的体积.19．（本小题满分12分）近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的100名顾客进行统计，其中40岁以下占35，采用微信支付的占23，40岁以上采用微信支付的占14. （Ⅰ）请完成下面22⨯列联表：并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（Ⅱ）若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，从“40岁以上”的人中抽取1人，了解使用微信支付的情况，问至少有一人使用微信支付的概率为多少？参考公式: 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.参考数据：20．（本小题满分12分）已知圆A ： 222150x y x ++-=，过点(1,0)B 作直线l （与x 轴不重合）交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(Ⅰ) 求点E 的轨迹方程；(Ⅱ)动点M 在曲线E 上，动点N 在直线若OM ON ⊥，求证：原点O 到直线MN 的距离是定值． 21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax a x =--.（Ⅰ）试讨论()f x 的单调性； 在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22,23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为直线l 的参数方程为)．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点分别为,A B ，求 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲（Ⅰ）解不等式()0f x x +>；（Ⅱ）若关于x 的不等式()22f x a a ≤-在R 上的解集为R ，求实数a 的取值范围.高三年级第三次适应性考试 文科数学·参考答案13．16 14．向右平移3个单位长度 15． (],6-∞- 16．3-+ 17．【解析】（Ⅰ）因为()sin sin sin c C a A b a B -=-，由正弦定理得222c a b ab -=-，即222ab a b c =+-，又因为()0,πC ∈，所以π3C =．……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=，所以2π3B A =-且2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故2πcos cos cos cos 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++1πcos sin 26A A A ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ62A +=即π3A =时， cos cos AB +取得最大值，为1．……12分 18．【解析】（I ）因为2PA AB ==，所以222PA AB PB +=，所以AB PA ⊥，由题意知60ABC ADC ∠=∠=︒，，在ABC △中，由余弦定理有：222AC AB BC =+ 2cos60AB BC -⋅⋅︒ 12=，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥，又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥. ．．5分（Ⅱ）由题意知PA AD ⊥，由（I ）知AB PA ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ，由已知得的中点，所以E 点到．．．．12分19．【解析】(Ⅰ)由已知可得，40岁以下的有3100605⨯=人，使用微信支付的有260403⨯=人，40岁以上使用微信支付有140104⨯=人．所以22⨯列联表为：由列联表中的数据计算可得2K 5010.8283>，所以有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”． .．．．．5分(Ⅱ) 若以频率代替概率，采用随机抽样的方法从“40岁以下”的人中抽取2人，这两人使用微信支付分别记为,A B ，则()()23P A P B ==，从“40岁以上”的人中抽取1人，这个人使用微信支付记为C ，则()14P C =，显然,,A B C 相互独立，则至少有一人使用微信支付的概率为()113111133412P ABC -=-⨯⨯= .故至少有一人使用微信支付的概率为1112. .．．．．12分20．【解析】（Ⅰ）因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，由题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为5分（Ⅱ）①若直线ON 的斜率不存在， 原点O 到直线MN 的距离②若直线ON 的斜率存在，设直线OM 的方程为y kx =，代入，直线ON 的方程为．设原点O 到直线MN 的距离为d ，由．综上所述，原点O 到直线MN 的距离为定值分21．【解析】（Ⅰ）由()2ln f x ax a x =--，当0a ≤时， 0()f x '<， ()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，由0()f x '=，解得x =（舍去负值）， 0()f x '<， ()f x 单调递减， 0()f x '>， ()f x 单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在. ……4分. 在()1,+∞上恒成立等价于()1,+∞上恒成立，设()1e e x k x x =-，则()1e e x k x ='-，当1x >时，()10k x '>，()1k x 在()1,+∞上单调递增，()()1110k x k >=，即()0k x >，若0a ≤，由于1x >，故()21l n 0a x x --<，在()1,+∞上恒成立时，必有0a >. ……6分.当0a >时，①若（Ⅰ） ()f x 单调递减；时，()f x 单调递增，因此立. ……9分.设()()21e 1ln e x s x a x x x =---+，()211e 2e x s x ax x x '=-+-，由于2ax x ≥且1()e e 0x k x x =->，即e 1e x x <，故e 1e x x->-，因此()()2322222111121210x x x x x s x x x x x x x x --+-+'>-+-=>=> ，故()s x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10s x s >=，在()1,+∞上恒成立. (11)分.在()1,+∞上恒成立. ……12分. 22.【解析】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为，直线l 的普通方程为………5分l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标251240t t ∴+-=，设两根为1t ， 2t ，12t t +=与2t 异号，125PA PB t t ∴+=-== ，121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-⋅=，………………10分 23.【解析】（Ⅰ）不等式()0f x x +>可化为，当1x <-时， ()()21x x x --+>-+，解得3x >-，即31x -<<-；当12x -≤≤时，()21x x x --+>+，解得1x <，即11x -≤<；当2x >时， 21x x x -+>+，解得3x >，即3x >，综上所述，不等式()0f x x +>的解集为{|31x x -<<或3}x >.……………5分 （Ⅱ）由不等式()22f x a a ≤-可得2212x x a a ≤--+-，∴223a a -≥，即2230a a --≥，解得1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围是1a ≤-或3a ≥.…10分。