2013届人教A版理科数学课时试题及解析(25)平面向量基本定理及坐标运算.pdf
高考数学专题复习《平面向量基本定理》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
√A. (3,7)
B. (0, 7)
C. (3,5)
D. (3,5)
因为向量 a (1,1) ， b (3, 2) ， 所以 3a 2b 3(1,1) 2(3, 2) (3,3) (6, 4) (3, 7) .故选 A.
变式训练
2.已知向量 a ，b 满足 2a b 0,3 ，a 2b 3,0 ，a b 1,1，则 ( )
2
2 1 1
，解得
1 1
，故
0
.
故选 B.
剖情景，创素养
【规律总结】 1. 平面向量的线性运算要抓住两条主线： 一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 2. 正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识， 注重数形结合思想、方程思想与转化思想的形 ABCD 中,M 是 BC 的中点.若 AC AM BD ,则 的值为( )
A. 4 3
√B. 5 3
C. 15
D.2
8
典型例题
以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为 1，则
AC
(1,1)
,
AM
1,
1 2
, BD
(1,1) ,故1
2.基底 若 e1 ，e2 不共线，则把{e1 ，e2} 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 3. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
考点二：平面向量的坐标
知识梳理
设向量 a (x1 ，y1)，b (x2 ，y2 )， R ，则有下表：
运算
文字描述
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平面向量
考情分析
重点
1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数 乘运算. 3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
真题答案与解析 (理科)(新课标Ⅰ)2013年全国统一高考数学试卷
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.2或﹣＜C．=+==+i，3．（5分）（2014•四川模拟）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下4．（5分）已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（）．C D由题意可得，由此求得=，从而求得双曲线的渐近线方程．的离心率为，故有，∴，解得=5．（5分）（2014•武汉模拟）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（），6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）．C D．V===8．（5分）（2014•武汉模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）×9．（5分）（2014•武汉模拟）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二，13=7×=7×，即×，即10．（5分）（2014•甘肃一模）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E ．C D．代入椭圆方程得可得，利用斜率计算公式可得==c=3=，代入椭圆方程得，，∴．，=．∴c=3=的方程为11．（5分）（2014•武汉模拟）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）==，=所以其面积=二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2014•苏州一模）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．•，对式子=t+两边与作数量积可得解：∵，，∴=0，∴14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．，解得）﹣（=整理可得15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．）解析式提取=2cosx=（=﹣16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．﹣﹣2+），）时，2+，）2+﹣2+﹣2+三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（Ⅰ）若，求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．中，由正弦定理得=，∴=中，由正弦定理得，即．∴18．（12分）（2014•仁寿县模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．为坐标原点，||，，的坐标，设的法向量，则（，＞，即为所求正弦值．为坐标原点，的方向为||，），，，﹣），即，，可得=，＜，=所成角的正弦值为：19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望．=﹣=400 500 800××+800×=506.2520．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．根据的方程为|AB|=，解得时，联立∴．|AB|==由于对称性可知：当．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．．BG=23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）的参数方程式，解得或，），24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．对都成立．故﹣≥且当对≥，故]。
人教A版高中数学必修二课件 《平面向量基本定理及坐标表示》平面向量及其应用(平面向量基本定理)
线，C→A与D→C不共线；而D→A∥B→C，O→D∥O→B，故①③可作为基底．
2．点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，则可作为基底的一对向量是 ()
A.O→A，B→C
B.O→A，C→D
C.A→B，C→F
D.A→B，D→E
解析：选 B.由题图可知，O→A与B→C，A→B与C→F，A→B与D→E共线，不能
B.12(a＋b)
C.12(b－a)
D.12b＋a
解析：选 B.如图，AD 是△ABC 的中线，则 D 为线段
BC 的中点，从而B→D＝D→C，即A→D－A→B＝A→C－A→D，
从而A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(a＋b)．
平面向量基本定理的理解 设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1； ④e1＋e2 与 e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出 满足条件的序号)．
B.23a＋13b
C.35a＋45b
Hale Waihona Puke D.45a＋35b解析：选 B.因为B→D＝12D→A，C→B＝a，C→A＝b，所以C→D＝a＋B→D
＝a＋13B→A＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.
2．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，B→A＝a，B→C＝b.试以{a，b}为 基底表示E→F，D→F.
法二：设A→B＝x，B→C＝y，则A→D＝B→C＝y， 又AA→ →BD＋－BA→→CB＝＝AB→→CD，， 所以yx－＋xy＝＝ba，，解得 x＝12a－12b，y＝12a＋12b， 即A→B＝12a－12b，B→C＝12a＋12b.
高考数学(人教a版,理科)题库：平面向量的基本定理及向量坐标运算(含答案)
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )． A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴． 答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)． 答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D. 答案 D4． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.14B.12C ．1D ．2解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2) 解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A. 答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案 D 二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5. ∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)． 答案 (－4，－2)9．设OA→＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________． 解析 AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)． 答案 (0，－2) 三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎨⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎨⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)． 12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行 ∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB→，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB→，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB→|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)， 当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求 (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
2013年高考真题分类汇编：考点19平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算Word版解析
考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1.（2013·辽宁高考文科·Ｔ3）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ3）相同 已知点(1,3),(4,1)A B -,则与向量AB 同方向的单位向量为（ ） 3443.(,).(,)55553443.(,).(,)5555A B C D ----【解题指南】利用向量的坐标运算和单位向量的定义求解.【解析】选A. 由点(1,3),(4,1)A B -得向量2(3,4),35AB AB =-==，则与向量AB 同方向的单位向量为(3,4)34(,).555AB AB-==- 2. （2013·广东高考文科·Ｔ10）设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：（ ） ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、平面向量的几何意义等知识，可逐一检验.【解析】选B.利用向量加法的三角形法则，易得①是真命题；利用平面向量的基本定理，易得②是真命题；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是假命题；由向量加法的三角形法则（不共线两边的和大于第三边），即=++>λμλμb c a ，而给定的λ和μ不一定满足此条件，所以④是假命题.3.（2013·湖北高考文科·Ｔ7）与（2013·湖北高考理科·Ｔ6）相同 已知点A （－1，1）、B （1,2）、C （－2,1）、D （3,4），则向量在方向上的投影为（ ） A.223 B. 2153 C. －223 D.－ 2153 【解题指南】考查了投影与数量积的关系。
6.3平面向量及运算的坐标表示课件(人教版)
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关。（ ） （4）向量（2，3）与向量（-4，-6）同向。（ ）
【提示】（1）×。对于同一个向量，无论位置在哪里， 坐标都一样。 （2）√。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终 点与始点坐标之差等于终点坐标。 （3）×。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两 向量的顺序有关。
2
线，则C的坐标可以是（ ）
A.（-9，1） B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
【思维·引】设出点C的坐标，因为A，B，C三点共线， 写出向量 AB,AC（或 BC），由向量共线的条件结合选项 求解。
【解析】选C。设点C的坐标是（x，y），
【内化·悟】 1.由共线的坐标条件求参数的解题步骤是怎样的？ 提示：（1）分别写出共线的两个向量的坐标。 （2）通过共线条件列出方程（组）。 （3）解方程（组）求出参数。
2.如何判断共线的向量u与v是同向还是反向？ 提示：写成u=λv的情势，若λ>0，同向，若λ<0，反向。
角度3 三点共线问题 【典例】已知A（1，-3），B (8，1 )，且A，B，C三点共
量 AB共线的单位向量是（ ）
A.(3， 4) C.(6，8)
B.( 3，4 ) 55
D.( 4， 3 ) 55
【思维·引】利用向量共线的坐标表示判断。 【解析】选B。因为AB =（7，-3）-（4，1）=（3，-4）， 由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与AB共 线，但A，C中向量不是单位向量。
因为A（0，1），AC=（-3，-3），
所以
x y
3, 1 3,
解得
x y
3, 2,
所以点C的坐标为（-3，-2）。又B（3，2），所以BC=（-
2013走向高考数学详细答案4-2平面向量基本定理及向量的坐标表示
A
版
第4章
第二节
高考数学总复习
解析：设点 C、D 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， → → ∴AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)， → → DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)． → ＝1AB，DA＝－1BA， → → → ∵AC 3 3
x ＋1＝1 1 ∴ y1－2＝2 －1－x ＝1 2 ，和 2－y2＝2
高考数学总复习
→ 2→ → 1→ 解析：根据题意，设AM＝ AB，AN＝ AC，则由平 5 5 → → → 行四边形法则，得AP＝AM＋AN，且 AMPN 为平行四边 → S△ABP |AN| 1 S△ABQ 形， 于是 NP∥AB， 所以 ＝ ＝ ， 同理， 可得 S△ABC |AC| 5 → S△ABC 1 S△ABP 4 ＝ .故 ＝ . 4 S△ABQ 5 4 答案： 5
人 教
A
版
第4章
第二节
高考数学总复习
→ 1→ (理)如图所示，在▱ABCD 中，已知AE＝ BC，AC 与 3 → → BE 相交于点 F，AF＝λAC，则 λ＝________.
人 教
A
版
第4章
第二节
高考数学总复习
1 → → → → → 解析：设BA＝a，BC＝b.则BE＝BA＋AE＝a＋ b.而 3 → AC＝b－a， → → 所以AF＝λAC＝λ(b－a)． → → → 故BF＝BA＋AF＝a＋λ(b－a)＝(1－λ)a＋λb.
→ → → m－1 a＋nb， 又CM＝OM－OC＝ 4
1 → → → CB＝OB－OC＝－ a＋b， 4 1 m－ 4 n 因为 C、M、B 三点共线，所以 ＝ ，即 4m＋n＝1 1 1 － 4
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(1)集合及其运算
课时作业 (一 ) [第 1 讲会合及其运算][时间：45 分钟分值： 100 分]基础热身1．已知会合M＝{0,1,2,3,4} ，N＝ {1,3,5} ， P＝M∩ N，则 P 的子集共有 ( A．2个B．4 个C．6 个D．8 个2．已知全集是实数集R ，M＝{ x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(?R M)∩N等于(A ． {4}B ．{3,4}C．{2,3,4}D． {1,2,3,4}3．已知会合A＝ { y|y＝ lgx，x>1} ，B＝{ x|0<|x|≤ 2，x∈Z } ，则以下结论正确的选项是A ． A∩ B＝ { －2，－ 1}B． A∪ B＝ { x|x<0}C．A∪ B＝ { x|x≥ 0}D． A∩ B＝ {1,2}))()4．对于平面上的点集上的凸集，给出平面上Ω，假如连结Ω 中随意两点的线段必然包括于4 个点集的图形如图 K1 － 1(暗影地区及其界限Ω，则称Ω为平面)，此中为凸集的是()图 K1－1A ．①③B．②③C．③④ D ．①④能力提高5．已知会合M＝ { － 4，－ 3，－ 2，－ 1，0,1,4} ，N＝ { － 3，－ 2，－ 1,0,1,2,3} ，且 M，N 都是全集I 的子集，则图K1 － 2 中暗影部分表示的会合为()图 K1－2A ． { － 1，－ 2，－ 3}B ． {0,1,2,3}C．{2,3}D． {0 ，－ 1，－ 2，－ 3}6．若全集 U＝ {1,2,3,4,5,6} ， M＝ {2,3} ，N＝{1,4} ，则会合 {5,6} 等于 ()A．M∪ N B． M∩ NC．( ?U M)∪ (?U N) D ． (?U M)∩( ?U N)7．已知会合A＝ { x|－2≤ x≤ 7} ，B＝ { x|m＋1<x<2m－ 1} 且 B≠ ?，若 A∪ B＝ A，则 m 的取值范围是 ()A ．－ 3≤ m≤ 4B ．－ 3<m<4C．2< m<4D． 2<m≤ 48．设全集 U ＝ {( x，y)|x∈R，y∈R} ，A＝ {( x，y)|2x－ y＋ m>0} ，B＝ {( x，y)|x＋ y－ n≤0} ，那么点 P(2,3)∈A∩ (?U B)的充要条件是 ()A ． m>－1 且 n<5B ．m<－ 1 且 n<5C．m>－1 且 n>5 D ．m<－ 1 且 n>512，则A∩B＝() 9．设会合 A＝{ x|y＝ ln(x－ 3)} ， B＝ xy＝－ 4＋5x－ xA ． ?B． (3,4)C ．( －2,1)D ． (4，＋∞ )10．设会合 A ＝ { －1,1,3} ，B ＝ { a ＋ 2，a 2＋ 4} ，A ∩ B ＝ {3} ，则实数 a 的值为 ________． 11．若全集 U ＝ {0,1,2,4,16} ，会合 A ＝ {0,2 ，a} ，?U A ＝ {1 ， a 2} ，则 a 的值为 ________． 12．设数集 M ＝ x m ≤ x ≤ m ＋3，N ＝ x n － 1≤ x ≤ n ，且 M 、N 都是会合 { x|0≤x ≤ 1}4 3的子集，假如把 b － a 叫做会合 { x|a ≤ x ≤ b} 的“长度”，那么会合 M ∩N 的“长度”的最小值是 ________．13．已知会合 A ＝ { x|1≤log 2x ≤ 2} ， B ＝ [a ， b] ，若 A? B ，则实数 a － b 的取值范围是________．已知会合 A ＝ { x||x － 1|<2} ， B ＝ { x|x 2＋ ax － 6<0} ， C ＝ { x|x 2－ 2x －15<0} ． 14． (10 分) (1)若 A ∪ B ＝ B ，求 a 的取值范围；(2)能否存在 a 的值使得 A ∪ B ＝ B ∩C ？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原因．2－ 1 的定义域为会合A ，函数 g(x)＝1－ a 2－ 2ax － x 2的15．(13 分 )设函数 f(x)＝ lg x ＋ 1定义域为会合 B.(1)求证：函数 f(x)的图象对于原点成中心对称；(2)a ≥ 2 是 A ∩ B ＝?的什么条件 (充足不用要条件、必需不充足条件、充要条件、既不充足也不用要条件 )？并证明你的结论．难点打破16． (12 分)会合 A ＝{ x|－ 2≤ x ≤5} ， B ＝ { x|m ＋ 1≤ x ≤ 2m － 1} ． (1)若 B? A ，务实数 m 的取值范围；(2)当 x ∈ Z 时，求 A 的非空真子集的个数；(3)当 x ∈ R 时，若 A ∩ B ＝ ?，务实数 m 的取值范围．作业手册课时作业 ( 一)【基础热身】1． B [ 分析 ] 由于 M＝ {0,1,2,3,4} ， N＝ {1,3,5} ，因此 P＝ M∩ N＝ {1,3} ，因此会合 P 的子集共有 ?， {1} ， {3} ， {1,3}4 个．2． C[ 分析 ] 由于 ?R M＝ { x|x>1} ，因此 (?R M)∩ N＝ {2,3,4} ．3． D[ 分析 ] A＝ { y|y>0} ， B＝ { － 1，－ 2,1,2} ，故 A∩ B＝{1,2} ．4． B[ 分析 ] 只有②③两个图形内随意两点所连线段仍在图形内．【能力提高】5． C [ 分析 ] 依据补集和交集的运算，把N 中属于 M 的元素去掉即可．6． D[ 分析 ] 方法一：∵ M∪ N＝ {1,2,3,4} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ ?U(M∪ N)＝ {5,6} ．应选 D.方法二：∵ ?U M＝ {1,4,5,6} ，?U N＝ {2,3,5,6} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ {5,6} ．应选 D.7． D [分析 ] ∵A∪ B＝ A，∴ B? A，又 B≠ ?，m＋ 1≥－ 2，∴ 2m－ 1≤ 7，解得 2＜ m≤ 4.m＋1<2m－ 1，8． A [ 分析 ] ∵P∈ A，∴ m>－ 1，又 ?U B＝{( x， y)|x＋ y－ n>0} ，∵ P∈ (?U B)，∴ n<5 ，应选 A.9． B [ 分析 ] 会合 A， B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．22，即得会合 A＝ (3，＋∞ ) ，会合 B 中的 x 知足－ 4＋ 5x－x >0，即 x － 5x＋4<0即会合 B＝ (1,4)，故 A∩ B＝ (3,4) ．应选 B.10． 1[ 分析 ] ∵ A＝{ － 1,1,3} ，B＝ { a＋ 2， a2＋ 4} ， A∩ B＝ {3} ，∴ a＋ 2＝ 3＝3，又∵ a2＋ 4＝ 3 不切合题意，无解．∴ a＝ 1，经查验，切合题意．11． 4[分析 ] a 只可能等于 4.1<x<4 ，或 a2＋ 413112.12[ 分析 ] 由题意，知会合M 的“长度”是4，会合 N 的“长度”是3，由会合 M、N 是 { x|0≤ x≤ 1} 的子集，知当且仅当M∪ N＝ { x|0≤x≤ 1} 时，会合 M∩N 的“长度”最小，311最小值是4＋3－ 1＝12.13．(－∞，－ 2][ 分析 ] 会合 A 是不等式 1≤ log2x≤ 2 的解集，求出这个会合，依据集合之间的关系得a，b知足的条件，即可求出 a－ b 的取值范围．由题意，会合A＝ [2,4] ，因为 A? B，故 a≤ 2， b≥ 4，故 a－ b≤ 2－ 4＝－ 2，即 a－b 的取值范围是(－∞，－ 2]．14． [解答 ] A＝ { x|－ 1< x<3} ， C＝ { x|－ 3<x<5} ．f － 1 ＝－ 1 2－ a－ 6≤0，(1)由A∪B＝B知，A? B，令f(x)＝x2＋ax－6，则f 3＝32＋3a－6≤0，解得－ 5≤ a≤－ 1，即 a 的取值范围是 [－ 5，－ 1]．(2)假定存在 a 的值使得A∪ B＝ B∩C，由 A∪ B＝ B∩C? B 知 A? B，由 A∪B＝B∩ C? C 知 B? C，于是 A? B? C，由 (1)知若 A? B，则 a∈ [－ 5，－ 1]，当 B? C 时，由＝a2＋24>0，知B不行能是空集，f － 3 ＝－ 3 2－3a－ 6≥ 0，f 5 ＝52＋5a－ 6≥0，于是－3<－a<5，2解得 a∈ －19， 1 ，519综合 a∈ [－ 5，－ 1]知存在 a∈ －5，－ 1 知足条件．15． [解答 ] (1) 证明： A＝ x2－1>0，x＋ 1由2－1>0?x－ 1x＋1<0 ? (x＋ 1)(x－ 1)<0，x＋ 1∴－ 1<x<1，∴ A＝ (－ 1,1)，故 f(x)的定义域对于原点对称．1－ x 1＋ x 1－ x 又 f(x) ＝lg x＋1，则 f(－ x)＝ lg－x＋1＝ lg x＋1－1＝－ lg1－x＝－ f(x)，x＋1∴ f(x)是奇函数．即函数 f(x)的图象对于原点成中心对称．(2)B＝ { x|x2＋2ax－ 1＋ a2≤0} ，得－ 1－ a≤ x≤ 1－ a，即 B＝ [ － 1－ a,1－a]．若 A∩ B＝ ?，则只要要－ 1－ a≥1 或许 1－ a≤－ 1，解得 a≤－ 2 或许 a≥ 2，故 A∩ B＝ ?等价于 a≤－ 2 或许 a≥ 2，而 { a|a≥a|a≤－ 2 或 a≥ 2} ．因此， a≥ 2 是 A∩ B＝?的充足不用要条件．【难点打破】16． [解答 ] (1) ①当 m＋ 1>2m－1，即 m<2 时， B＝ ?知足 B? A.②当 m＋ 1≤2m－1，即 m≥ 2 时，要使 B? A 建立，m＋ 1≥－ 2，需可得 2≤m≤3.2m－ 1≤5，综上， m 的取值范围是m≤3.(2)当 x∈Z时， A＝ { － 2，－ 1,0,1,2,3,4,5} ，8(3)由于 x∈R，且 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 5} ， B＝{ x|m＋ 1≤ x≤2m－ 1} ，又 A∩ B＝ ?，则①若 B＝ ?，即 m＋ 1>2m－ 1，得 m<2，知足条件．②若 B≠ ?，则要知足的条件是m＋ 1≤ 2m－ 1，m＋1≤ 2m－ 1，或m＋ 1>52m－ 1<－ 2，解得 m>4.综上， m 的取值范围是m<2 或 m>4.。
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示习题(4)
2.3.4平面向量共线的坐标表示课后篇巩固探究1.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于()A.-1B.-2C.-1或3D.0或-2解析由已知得-(2m+3)+m2=0,∴m=-1或m=3.答案C2.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()A.a-c与b共线B.b+c与a共线C.a与b-c共线D.a+b与c共线解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).∴b-c=a.∴a与b-c共线.答案C3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量m a+n b共线,则等于()A.-2B.2C.-D.解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),m a+n b=(2m-n,3m+2n).因为a-2b与非零向量m a+n b共线,所以,解得14m=-7n,=-.答案C4.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于()A.45°B.30°C.60°D.30°或60°解析由a∥b,得-2×=1-cos2θ=sin2θ,∵θ为锐角,∴sin θ=.∴θ=45°.答案A5.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则λ等于()A.2B.C.-3D.-解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,∴|EC|=.∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.∴λ=-3.答案C6.(2018全国Ⅲ高考)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=. 解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.答案7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=.解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).答案(14,7)8.导学号68254080已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.解析=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n, ②解①②组成的方程组得所以m+n=9或m+n=.答案9或9.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x的值,使向量共线;(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上? 解(1)=(x,1),=(4,x).∵,∴x2=4,x=±2.(2)由已知得=(2-2x,x-1),当x=2时,=(-2,1),=(2,1),∴不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),∴,此时A,B,C三点共线.又,∴A,B,C,D四点在一条直线上.综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.10.导学号68254081如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.解因为(0,5)=,所以C.因为(4,3)=,所以D.设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①因为,所以x-4=0,即7x-16y=-20.②联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.11.如图,已知四边形ABCD是正方形,,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(x,y)(x>0),则=(x,y-1),=(1,-1).∵,∴x×(-1)-1×(y-1)=0.①又||=||,∴x2+y2=2.②由①②联立,解得点E的坐标为.设点F的坐标为(x',1),由=(x',1)和共线,得x'-=0,∴x'=-(2+),∴点F的坐标为(-2-,1).∴=(-1-,0),, ∴||=1+=||,即AF=AE.。
人教高中数学必修二A版《平面向量的应用》平面向量及其应用教学说课复习课件(平面几何中的向量方法)
必修第二册·人教数学A版
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探究二 平面向量在几何求值中的应用
[例 2] (1)已知边长为 2 的正六边形 ABCDEF，连接 BE，CE，
点 G 是线段 BE 上靠近 B 的四等分点，连接 GF，则G→F·C→E( )
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的合力的大小为( )
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N
B．5 2 N
C．5 3 N
D．5 6 N
解析：两个力的合力的大小为|F1＋F2|＝ F21＋F22＋2F1·F2＝5 6(N)． 答案：D
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①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、
平行、夹角等问题转化为代数运算．
2013年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量Word版含答案
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量一、选择题1．（ 2013 年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其他极点为终点的向量分别为a1 ,a2 , a3, a4 ,a5; 以 D 为起点 , 其他极点为终点的向量分别为d1 , d2 , d3 , d4 , d5.若m, M分别为 (a i a j a k ) (d r d s d t ) 的最小值、最大值, 此中{i , j , k} {1,2,3,4,5}, { r , s, t} {1,2,3,4,5} , 则m, M知足（）A．m 0, M 0 B．m 0, M 0 C．m 0, M 0 D．m 0, M 0【答案】D．2．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点A 1,3 ,B4, 1 , 则与向量 AB同方向的单位向量为（）3， -4B．4， -3C．34D．43A．5555，5，555【答案】 A3 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设ABC , P0是边AB上必定点,知足P0B 1AB,且关于边AB上任一点P,恒有4PB PC P0B P0C .则（）． ABC900．BAC900．AB AC ．AC BCA B C D【答案】 D4 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中, AC(1,2) , BD(4,2) ,则四边形的面积为（）A．5B．2 5C． 5D． 10【答案】 C5 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中 ,O是坐标原点,两定点 A,B知足 OA OB OAOB 2,则点集P|OP O A O, B 1 ,,所表R示的地区的面积是（）A．2 2B．2 3C．4 2D．4 3【答案】 D6 ．（2013 年一般高等学校招生一致考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上 ,ABAB , OB 1OB 2 1 , APAB1, 则 OA 的取值范围AB .若 OP1 2122是（）A ．0,5B ．5 , 7 C ．5, 2D ．7, 222222【答案】 D7 ．（ 2013 年 高 考 湖 南 卷 （ 理 ）） 已 知 a, b 是 单 位 向 量 ,a b 0 . 若 向 量 c 满 足ca b 1, 则 c 的取值范围是（）A ．， B ．2-1，, 2+22-1 , 2+1C ． ，D ． 1，, 2+21 , 2+1【答案】 A8 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正） ） 已知向量m1,1 , n2,2 , 若 mnm n , 则 =（）A ． 4B ． 3C ． 2D ． -1【答案】 B9 ．（ 2013 年高考湖北卷（理） ） 已知点 A 1,1.B1,2 .C 2, 1 . D 3,4 , 则向量 AB在 CD 方向上的投影为（ ）A ．3 2B ．3 15C ． 3 2D ．3 152222【答案】 A二、填空题10．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ卷数学（理） （纯 WORD 版含答案）） 已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点 , 则 AE BD_______.【答案】 211（． 2013 年上海市春天高考数学试卷 ( 含答案 ) ）已知向量 a (1，k ) , b (9，k 6) . 若 a // b ,则实数 k __________3【答案】412．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量 AB 与 AC的夹角为 120°, 且 AB 3 ,AC 2,若 APABAC,且AP BC,则实数的值为 __________.【答案】71213（． 2013 年高考新课标（1理））已知两个单位向量a, b 的夹角为60°,c=t a+(1-t)b,若 b·c=0,则 t =_____.【答案】 t =2.14．（ 2013 年高考北京卷（理））向量a, b, c 在正方形格中的地点如下图. 若c=λa+μb ( λ, μ ∈R), 则=_________.bca【答案】 415．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设e1,e2为单位向量 , 非零向量b xe1ye2 , x, y R ,若 e1 ,e2的夹角为, 则| x |的最大值等于6| b | ________.【答案】216．（ 2013 年一般高等学校招生全国一致招生考试江苏卷（数学）（已校正纯WORD版含附带题））设D，E分别是A B C AB，BC上的点,AD1AB ,BEBC,若的边223DE1 AB2AC (1，2为实数),则12 的值为__________.【答案】1217．（2013 年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB ADAO ,则_________.【答案】 218 ．（ 2013年高考江西卷（理））设 e1, e2为单位向量.且 e1,e2的夹角为, 若3a e13e2, b2e1,则向量 a 在b方向上的射影为___________【答案】52ABCD 19．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案））在平行四边形中,AD= 1,BAD60 ,E 为 CD的中点.若 AD·BE1,则 AB的长为______.【答案】1 2。
2013年高考理科数学试卷及答案---全国卷(新课标版)word版A3版
2013年全国卷新课标数学（理）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a aA.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和 实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b.14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为 .三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式； (以 （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+.(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间； (Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π. (Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.参考答案1-12：DACCD CBCAB AB 13、 14、[]3,3-. 15、3816、1830. 17、解：(Ⅰ)由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理可得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C -+-=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,sin 0C >,cos 10A A --=,2sin 106A π⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,0A π<<，5666A πππ∴-<-<， 66A ππ∴-=3A π∴=(Ⅱ)ABC S =△，1sin 2bc A ∴==4bc ∴=， 2,3a A π==， 222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=， 228b c ∴+=.解得2b c ==.18、解：(Ⅰ) ()()1080,1580,16 n n y n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩（n N ∈）； (Ⅱ) （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 的分布列为X 的数学期望()E X =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X 的方差()D X =(60-762)×0.1+(70-762)×0.2+(80-762)×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17X 的数学期望()E X =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. 19、(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -， 1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥，1DC DC D=，1DC ∴⊥平面BDC .BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥.(Ⅱ)由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=.在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB ==∠=， AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥.取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角.在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠=.即二面角11C BD A --的大小为30.20、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l 的距离d FB FD ==. 由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=2p ∴=.圆F 的方程为()2218x y +-=.(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2BD p∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x . 直线m的斜率为AF k ==.直线m的方程为02x +=. 由py x 22= 得22x y p =,xy p'=.由3x y p '==得, x p =.故直线n 与抛物线C 的切点坐标为,36p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,直线n的方程为06x -=. 所以坐标原点到m ，n3=.21、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+,令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+.()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔< 所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞.(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意; (2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=;(3)当10a +>时, ()()1xh x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+,故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +>,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++,令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =, ()u x取最大值2e u=.故当1a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x xf ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e . 22、证明：(Ⅰ) ∵D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点， ∴//DE BC .//CF AB ,//DF BC ,CFBD ∴且 =CF BD ，又∵D 为AB 的中点，CFAD ∴且 =CF AD ，CD AF ∴=.//CF AB ，BC AF ∴=.CD BC ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BCGF ，GB CF BD ∴==， BGD BDG DBC BDC ∠=∠=∠=∠BCD GBD ∴△∽△.23、解：(Ⅰ)依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为.所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-； (Ⅱ) 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则 2222||||||||PD PC PB PA +++())2212cos 3sin ϕϕ=-+()()222cos 13sin ϕϕ++-()()2212cos 3sin ϕϕ+--+)()222cos 13sin ϕϕ++--2216cos 36sin 16ϕϕ=++[]23220sin 32,52ϕ=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.24、解：(Ⅰ) 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔ |3||2|3x x -+-≥⇔ ()()2323x x x ≤⎧⎪⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥.所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥. (Ⅱ) ()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立， 即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立， 即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立， 所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤.所以a 的取值范围为[]3,0-.。
2013届高考数学(理)一轮复习课件：第五篇 平面向量第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示)
)．
x－y＝4， 设c＝xa＋yb，则 x＋y＝2，
∴c＝3a－b. 答案 B
3．(2012· 郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线 且方向相反，则m的值为( A．－1 )．
B．1 C．－2 D．2
解析 设a＝λb(λ＜0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝± 1，由于λ＜ 0，∴m＝－1. 答案 A
不共线 向量，那么对于这一
平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋ λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组 基底．
2．平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x2＋y2. 1 1
【ABCD中，AD∥BC，∠
→ → ADC＝90° ，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA ＋3PB | 的最小值为________． [尝试解析] 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建
立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝( A．(4,6) B．(－4，－6) C．(4，－6) )．
D．(－4,6)
解析 设c＝(x，y)， 则4a＋(3b－2a)＋c＝0，
4－6－2＋x＝0， ∴ －12＋12＋6＋y＝0， x＝4， ∴ y＝－6.
→ → → ∵AD＝xAB＋yAC，∴(2＋ 3， 3)＝(2x,2y)． x＝1＋ 3， 2＋ 3＝2x， 2 即有 解得 3＝2y， y＝ 3. 2 3→ → → → 3 → 另解：AD＝AF＋FD＝1＋ AB＋ AC， 2 2 3 3 所以x＝1＋ 2 ，y＝ 2 . 3 答案 1＋ 2 3 2
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(25)平面向量基本定理及坐标运算
课时作业 (二十五 ) [第 25 讲 平面向量基本定理及坐标运算 ][时间： 35 分钟 分值： 80 分]基础热身1． 已知向量 e 1 与 e 2 不共线，实数 x ， y 知足 (3x － 4y)e 1＋ (2x －3y)e 2＝6e 1 ＋3e 2，则 x－y 等于 ( )A ．3B ．－ 3C ．0D ．22． 若 a ＝ (2cos α， 1)， b ＝ (sin α， 1)，且 a ∥b ，则 tan α等于 ()1 1 A ．2 B.2C ．－ 2D ．－ 23．→ →设点 A(2,0)，B(4,2)，若点 P 在直线 AB 上，且 |AB|＝2|AP|，则点 P 的坐标为 () A ． (3,1) B ． (1，－ 1)C ．(3,1) 或(1，－ 1)D ．无数多个 4． 已知点 A(2,1) ，B(0,2)， C(－ 2,1)， O(0,0) ，给出下边的结论： ①直线 OC 与直线 BA 平行；→ → → ② AB ＋ BC ＝ CA ；→ → → ③ OA ＋ OC ＝OB ；→ → → ④ AC ＝ OB － 2OA. 此中正确结论的个数是 ( )A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 能力提高5． 已知 m ， n ∈ R ， a 、b 、 c 是共起点的向量， a 、 b 不共线， c ＝m a ＋n b ，则 a 、 b 、c 的终点共线的充足必需条件是 ( )A ． m ＋ n ＝－ 1B ． m ＋ n ＝0C ．m －n ＝ 1D ． m ＋ n ＝ 16．原点 O 在正六边形 ABCDEF →→ → 的中心， OA ＝ (－ 1，－ 3)，OB ＝ (1，－ 3)，则OC 等于( )A ． (2,0)B ． (－2,0)C ．(0，－ 2 3)D ．(0， 3)7． 已知两点 A(1,0) ， B(1， 3)， O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且∠ AOC ＝120 °，→ → → λ∈ R )，则 λ等于 ( )设OC ＝－ 2OA ＋ λOB(A ．－ 1B ．2C ．1D ．－ 28． 平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 已知两点→A(3,1) ，B(－1,3)，若点 C 知足 OC ＝→ →)αOA ＋ βOB ，此中 α、 β∈R ，且 α＋ β＝ 1，则点 C 的轨迹方程为 (A ． 3x ＋ 2y －11＝0B ． (x ＋ 1)2＋ (y － 2)2 ＝5C ．2x － y ＝ 0D ．x ＋ 2y － 5＝ 09．设 a ＝ (1,2)，b ＝ (2,3)，若向量 λa ＋ b 与向量 c ＝(－ 4，－ 7)共线，则 λ＝ ________.10． → → →设 OA ＝ (1，－ 2)，OB ＝ (a ，－ 1)， OC ＝(－b,0)， a>0，b>0， O 为坐标原点，若A 、B 、C三点共线，则 1 ＋ 2 的最小值是a b________________________________________________________________________ ．11． 已知坐标平面内定点 A(－ 1,0)，B(1,0)，M(4,0), N(0,4) 和动点 P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2 )，→ → → 1 → ＋ 1 → →若AP ·BP ＝ 3，OQ ＝ 2－ t OM 2 ＋ t ON ，此中 O 为坐标原点， 则 |PQ|的最小值是 ________．→ → →12． (13 分) 已知 O(0,0)、 A(1,2)、 B(4,5)及 OP ＝ OA ＋tAB.试问：(1) t 为什么值时， P 在 x 轴上？在 y 轴上？ P 在第二象限？ (2)四边形 OABP 可否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不可以，请说明原因．难点打破→ 1 →→ 1 →→→13．(12 分 )在△ OAB 中， OC ＝ OA ，OD ＝ OB ，AD 与 BC 交于点 M ，设 OA ＝a ，OB ＝42→b ，以 a 、 b 为基底表示 OM .图 K25－1课时作业 (二十五 )【基础热身】1＋(2x －3y)e 2＝6e 1＋ 3e 2，1． A [ 分析 ] ∵ (3x － 4y)e∴ (3x － 4y － 6) e 1＋ (2x －3y － 3)e 2＝ 0， 3x － 4y － 6＝ 0，① ∴2x － 3y － 3＝ 0，②由①－②得 x － y －3＝ 0，即 x － y ＝ 3，应选 A.2cos α＝ λ·sin α，2． A [ 分析 ] ∵a ∥b ，∴ a ＝ λb ，∴1＝ λ·1，∴ 2cos α＝ sin α，∴ tan α＝2，应选 A.→→→ → → → → →3．C [ 分析 ] 设 P(x ，y) ，则由 |AB |＝2|AP|，得 AB ＝ 2AP 或 AB ＝－2AP ，AB ＝ (2,2) ，AP＝ (x － 2， y)，即 (2,2) ＝ 2(x － 2， y)， x ＝ 3， y ＝ 1， P(3,1)，或 (2,2) ＝－ 2(x － 2， y) ， x ＝ 1 ， y＝－ 1， P(1，－ 1)．4． C [ 分析 ] k OC ＝－ 1， k BA ＝ 2－ 1＝－ 1，2 0－ 2 2 ∴ OC ∥BA ，①正确；→ → → ∵ AB ＋ BC ＝ AC ，∴②错误；→ → →，∴③正确；∵ OA ＋ OC ＝(0,2) ＝OB → → →， ∵ OB － 2OA ＝(－ 4,0)， AC ＝ (－ 4,0) ∴④正确．应选 C. 【能力提高】5．D [ 分析 ] 设 a 、b 、c 是共起点 M 的向量， 各自终点分别为 → →E 、F 、G ，则 EG ＝ λEF ，→ → EG ＝c － a ， EF ＝ b － a ，能够推出 m ＋ n ＝ 1.6． A [ 分析 ] ∵正六边形中， OABC 为平行四边形，→ → → ∴ OB ＝ OA ＋OC ，→ → → ． ∴ OC ＝OB －OA ＝ (2,0)7．C [ 分析 ] 依据∠ AOC ＝ 120 °可知， 点 C 在射线 y ＝－ 3x(x<0)上，设 C(a ，－ 3a)，则有 (a ，－ 3a)＝ (－ 2,0)＋ (λ， 3λ)＝ (－ 2＋λ， 3λ)，即得 a ＝－ 2＋ λ，－ 3a ＝ 3λ，消掉a 得 λ＝ 1.8．D [ 分析 ] 设 C(x ，y)，(x ，y)＝ α(3,1)＋β(－ 1,3)，由于 α、β∈ R ，且 α＋ β＝ 1，消去α， β得 x ＋ 2y －5＝ 0.9． 2 [分析 ] ∵ λa ＋ b ＝ (λ＋ 2,2λ＋ 3)与 c ＝ (－ 4，－ 7)共线，∴ (λ＋ 2)× (－ 7)－ (2λ＋ 3)× (－ 4)＝ 0，解得 λ＝ 2.→ → 10． 8 [分析 ] 据已知 AB ∥AC ，→又∵ AB ＝ (a － 1,1)， →AC ＝ (－ b － 1,2)，∴ 2(a － 1)－ (－b － 1)＝ 0，∴ 2a ＋b ＝ 1，1 2 ＝ 2a ＋ b 4a ＋ 2b b 4a b 4a＝8， ∴ ＋ ＋ b ＝4＋ ＋ ≥4＋2· a b a a ba b当且仅当 b ＝ 4a ， a ＝ 1， b ＝1时取等，a b 4 2∴ 1＋2的最小值是 8.a b11．2 2－2 [分析 ]由已知得P 的坐标知足 (x1＋ 1， y1) ·(x1－ 1， y1 )＝ 3，即 x12＋ y12＝ 4，11动点 Q 的坐标知足 (x2， y2)＝2－ t(4,0)＋2＋ t (0,4) ，故 x2＝ 2－ 4t， y2＝ 2＋ 4t，即 x2＋y2→224 上的点到直线 x＋ y＝ 4 上的点的最小距离：最小距离为 2 2＝4.|PQ|的最小值即圆 x ＋ y ＝→2－ 2.－2，故 |PQ|的最小值是 212． [解答 ] (1) ∵ O(0,0)， A(1,2)， B(4,5)，→→∴ OA＝ (1,2) ，AB＝ (3,3) ，→ →→OP＝ OA＋ tAB＝ (1＋ 3t,2＋ 3t)．若 P 在 x 轴上，则 2＋ 3t＝ 0，解得 t＝－2；3若 P 在 y 轴上，则 1＋ 3t＝ 0，解得 t＝－1；3若 P 在第二象限，则1＋ 3t<0，21解得－<t<－ . 2＋ 3t>0，33→→→ →＝ (3－ 3t,3－3t)，(2)∵ OA＝ (1,2)， PB＝ PO＋ OB若四边形 OABP 为平行四边形，→→3－ 3t＝ 1，则 OA＝ PB，而无解，3－ 3t＝ 2∴四边形 OABP 不可以成为平行四边形．【难点打破】→13． [解答 ] 设OM ＝ m a＋ n b(m， n∈R )，→→→则 AM＝ OM － OA＝( m－ 1)a＋ n b，→→→1b－ a，AD＝ OD －OA＝2由于 A、 M、 D 三点共线，因此m － 1n，即 m＋ 2n＝ 1，－ 1＝12→→→1又 CM＝ OM－ OC＝m－4a＋ n b，→→→1CB＝ OB－ OC＝－a＋b，41m－4n 由于 C、 M、 B 三点共线，因此＝，即 4m＋ n＝ 1，m＋ 2n＝1，1，→ 13 m＝7由解得∴OM ＝a＋b.4m＋ n＝1，377n＝7，。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(24)平面向量的概念及其线性运算
课时作业(二十四 ) [第[时间：24 讲35 分钟平面向量的观点及其线性运算分值： 80 分]]基础热身1．如图 K24 － 1，正六边形→ → →ABCDEF 中， BA ＋CD＋ EF＝ ()图 K24－1A ． 0→B.BE→C.AD→D.CFa b c2．设非零向量 a， b， c，若 p＝|a|＋|b|＋|c|，那么 |p|的取值范围为 ()A ． [0,1]B ． [0,2] C． [0,3] D． [1,2]3．已知向量 a＝(x,2)， b＝(3，－1)，若(a＋ b)∥(a－2b)，则实数x的值为()A．－ 3 B．2 C．4 D．－ 64．如图 K24 － 2 所示的方格纸中有定点→→) O，P，Q，E，F，G，H，则OP ＋OQ＝ (图 K24－2→A. OH→B.OG→C.FO→D.EO能力提高5．已知λ∈R，则以下命题正确的选项是()A． |λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝ |λ||a|D． |λa|＞ 06．△ ABC 的三个内角 A、 B、C 的对边分别为a、 b、 c，已知 sinB＝1，向量p＝ (a，b)，q＝ (1,2)．若p∥q，则 C 的大小为 ()πππ2πA. 6B.3C.2D.3 7．已知△ ABC 和点→ →→→ →→M 知足 MA ＋ MB＋ MC＝0，若存在实数m 使得 AB＋ AC＝ mAM 建立，则 m＝ ()A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5→ →8． 如图 K24 －3，△ ABC 中， AD ＝ DB ，AE ＝ EC ，CD 与 BE 交于 F.设 AB ＝ a ，AC ＝→b ， AF ＝ x a ＋ y b ，则 (x ， y)为 ()图 K24－31 1A.2， 22 2B. 3，3 1 1 C. 3， 32 1D. 3，2图 K24－49．→ 1 →→→ 2 → 如图 K24 － 4，在△ ABC 中， AN ＝NC ， P 是 BN 上的一点，若 AP ＝ mAB ＋AC ，311则实数 m 的值为 ________．10． → ＝ 3 → ＋ 1 → ，则△ ABM 与△ ABC 的面积之比若 M 为△ ABC 内一点，且知足 AM 4AB 4AC 为________．11．设 a 、b 为平面向量，若存在不全为零的实数 λ， μ使得 λa ＋ μb ＝0，则称 a 、 b 线性有关，下边的命题中， a 、b 、 c 均为已知平面 M 上的向量．①若 a ＝ 2b ，则 a 、 b 线性有关；②若 a 、 b 为非零向量，且 a ⊥ b ，则 a 、 b 线性有关；③若 a 、 b 线性有关， b 、c 线性有关，则 a 、c 线性有关； ④向量 a 、 b 线性有关的充要条件是 a 、 b 共线．上述命题中正确的选项是________(写出全部正确命题的序 )12． (13 分 ) 如图 K24 － 5 所示，若四边形 ABCD 是一个等腰梯形， AB ∥ DC ，M 、N→ → → → →分别是 DC 、AB 的中点，已知 AB ＝ a ， AD ＝ b ，DC ＝ c ，试用 a ， b ，c 表示 BC ， MN .图 K24－5是边难点打破13． (12 分 ) 如图 K24 －6， G 是△ ABC 的重心，OA 、 OB 上的动点，且 P 、 G 、 Q 三点共线．→ → → → →OG延伸线交AB于点M ，P 、Q分别(1)设 PG ＝ λPQ ，将 OG 用 λ、OP 、 OQ 表示；→→→→1＋1是定值．(2)设 OP＝ xOA， OQ＝ yOB，证明：x y图 K24－6课时作业 (二十四 )【基础热身】1． D [分析 ]→ → → →→→→→→ BA ＋ CD ＋ EF ＝BA ＋AF －BC ＝BF － BC ＝CF ，所以选 D.a b c|p |的最大值为2． C [ 分析 ] 由于 |a |， |b |， |c |是三个单位向量，所以三个向量同向时，3.3． D [ 分析 ] 由于 ( a ＋ b )∥ (a － 2b )， a ＋ b ＝ (x ＋ 3,1)， a －2b ＝ (x － 6,4)， ∴ 4(x ＋ 3)－ (x － 6)＝ 0， x ＝－ 6.→ → → →4．C [ 分析 ] 设 a ＝ OP ＋ OQ ，利用平行四边形法例作出向量 OP ＋ OQ ，再平移即发现 → a ＝ FO .【能力提高】5．C [ 分析 ] 当 λ＜ 0 时， |λa |＝ λ|a |不建立， A 错误； |λa |应当是一个非负实数，而非向量，所以 B 不正确；当 λ＝ 0 或 a ＝0 时， |λa |＝ 0， D 错误．π6． B[分析 ] ，在△ ABC 中 cosC ＝ a，由 sinB ＝1? B ＝ 2b又由 p ＝ (a ， b)， q ＝ (1,2)， p ∥ q ? 2a －b ＝ 0?πa ＝b，故 cosC ＝ 1? C ＝ .2 2 37． B[分析 ] 由题目条件可知，M 为△ ABC 的重心，连结 AM 并延伸交 BC 于 D ，→→ → → → →则 AM ＝ 2AD ①，由于 AD 为中线，则 AB ＋ AC ＝ 2AD＝mAM ，3→→m ＝ 3，故 B 正确． 即 2AD ＝mAM ②，联立①②可得 8． C [分析 ] ∵ AD ＝DB ， AE ＝ EC ，→1 →∴ F 是△ ABC 的重心，则 DF ＝ 3DC ， → → → → 1 → → 1 →→∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋ DC ＝ AD ＋ (AC － AD)2 → 1 → 1 → 13 3→＝ AD ＋ AC ＝ 3AB ＋ AC ，3331 1∴ x ＝ ， y ＝ .333[分析 ] → 1→→→2→→→3 →9.＝ AC ＋NP ＝mAB ＋AC ， NP ＝ mAB －44AC.11 AP 411→→→3→→→→1→→→→1→→3→NB ＝ NC ＋ CB ＝ 4AC ＋ (AB － AC)＝ AB － 4AC ，设 NP ＝ λNB ，则 λAB － 4λAC ＝ mAB － 44AC ，m ＝ λ＝ 3.111→→→→→ →10.4 [分析 ] 由题知 B 、 M 、 C 三点共线，设 BM ＝ λBC ，则： AM － AB ＝ λ(AC － AB)，→ → → ∴ AM ＝ (1－ λ)AB ＋ λAC ， 1∴ λ＝ ，S △ ABM 1∴S △ABC＝ 4.11．①④[ 分析⊥ b ，则 a 、 b 不线性有关，命题错误；③b 为零向量时，命题] ②若 a错误．12． [解答 ] →→ → →BC ＝BA ＋AD ＋ DC ＝－ a ＋b ＋ c ，→→ → → ∵ MN ＝ MD ＋ DA ＋ AN ，→ 1 → → → → 1 →又∵ MD ＝－ DC ， DA ＝－ AD， AN ＝ AB ，22→11∴ MN＝a－b－c.22【难点打破】→→→→→13． [解答 ] (1) OG＝OP＋ PG＝ OP＋λPQ →→→→→＝ OP＋λ(OQ－ OP)＝ (1－λ)OP＋λOQ. (2)证明：由 (1)，得→→→→→OG＝ (1－λ)OP＋λOQ＝ (1－λ)xOA＋λy OB.①∵ G 是△ OAB 的垂心，→2→21→ → 1→1→∴OG＝3OM ＝3×2(OA＋ OB)＝3OA＋3OB.②→→而 OA、 OB不共线，11－λx＝3，∴由①②，得.1λy＝31x＝ 3－ 3λ，解之，得1y＝ 3λ，∴1x＋1y＝ 3，即1x＋1y是定值．。
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若
P
在第二象限，则1＋3t<0， 2＋3t>0，
解得－23<t<－13.
(2)∵O→A＝(1,2)，P→B＝P→O＋O→B＝(3－3t,3－3t)，
若四边形 OABP 为平行四边形，
则O→A＝P→B，而33－ －33tt＝ ＝12， 无解， ∴四边形 OABP 不能成为平行四边形． 【难点突破】 13．[解答] 设O→M＝ma＋nb(m，n∈R)， 则A→M＝O→M－O→A＝(m－1)a＋nb， A→D＝O→D－O→A＝12b－a， 因为 A、M、D 三点共线，所以m－－11＝n1，即 m＋2n＝1，
设O→C＝－2O→A＋λO→B(λ∈R)，则 λ 等于( )
A．－1 B．2 C．1 D．－2
8． 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(－1,3)，若点 C 满足O→C＝
αO→A＋βO→B，其中 α、β∈R，且 α＋β＝1，则点 C 的轨迹方程为( )
A．3x＋2y－11＝0
2
又C→M＝O→M－O→C＝m－14a＋nb，
C→B＝O→B－O→C＝－14a＋b， 因为 C、M、B 三点共线，所以m－－4114＝n1， 即 4m＋n＝1，
由m＋2n＝1， 解得 m＝17，
4m＋n＝1，
n＝73，
∴O→M＝17a＋37b.
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
9． 设 a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线，则 λ＝________.
10． 设O→A＝(1，－2)，O→B＝(a，－1)，O→C＝(－b,0)，a>0，b>0，O 为坐标原点，若
A、B、C
A．m＋n＝－1 B．m＋n＝0
C．m－n＝1 D．m＋n＝1
6．原点 O 在正六边形 ABCDEF 的中心，O→A＝(－1，－ 3)，O→B＝(1，－ 3)，则O→C等
于( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(0，－2 3) D．(0， 3)
7． 已知两点 A(1,0)，B(1， 3)，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且∠AOC＝120°，
①直线 OC 与直线 BA 平行；
②A→B＋B→C＝C→A；
③O→A＋O→C＝O→B；
④A→C＝O→B－2O→A.
其中正确结论的个数是( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
能力提升
5． 已知 m，n∈R，、b、
c 的终点共线的充分必要条件是( )
学海无涯
课时作业(二十五) [第 25 讲 平面向量基本定理及坐标运算]
[时间：35 分钟 分值：80 分]
基础热身
1． 已知向量 e1 与 e2 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x －y 等于( )
A．3 B．－3 C．0 D．2
2． 若 a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且 a∥b，则 tanα 等于( )
三
点
共
线
，
则
1 a
＋
2 b
的
最
小
值
是
________________________________________________________________________．
11． 已知坐标平面内定点 A(－1,0)，B(1,0)，M(4,0), N(0,4)和动点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
A．2
1 B.2
C．－2
D．－12
3． 设点 A(2,0)，B(4,2)，若点 P 在直线 AB 上，且|A→B|＝2|A→P|，则点 P 的坐标为( )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．无数多个
4． 已知点 A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：
学海无涯
11．2 2－2 [解析] 由已知得 P 的坐标满足(x1＋1，y1)·(x1－1，y1)＝3，即 x21＋y21＝4，
动点 Q 的坐标满足(x2，y2)＝12－t(4,0)＋12＋t(0,4)，故 x2＝2－4t，y2＝2＋4t，即 x2＋y2
＝4.|P→Q|的最小值即圆 x2＋y2＝4 上的点到直线 x＋y＝4 上的点的最小距离：最小距离为 2 2
难点突破 13．(12 分)在△OAB 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD 与 BC 交于点 M，设O→A＝a，O→B＝ b，以 a、b 为基底表示O→M.
图 K25－1
学海无涯
课时作业(二十五) 【基础热身】 1．A [解析] ∵(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2， ∴(3x－4y－6)e1＋(2x－3y－3)e2＝0，
学海无涯 若A→P·B→P＝3，O→Q＝12－tO→M＋12＋tO→N，其中 O 为坐标原点，则|P→Q|的最小值是________．
12．(13 分) 已知 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及O→P＝O→A＋tA→B.试问： (1)t 为何值时，P 在 x 轴上？在 y 轴上？P 在第二象限？ (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由．
－2，故|P→Q|的最小值是 2 2－2.
12．[解答] (1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，
∴O→A＝(1,2)，A→B＝(3,3)，
O→P＝O→A＋tA→B＝(1＋3t,2＋3t)．
若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，解得 t＝－23；
若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，解得 t＝－13；
3x－4y－6＝0，① ∴2x－3y－3＝0，②
由①－②得 x－y－3＝0，即 x－y＝3，故选 A. 2．A [解析] ∵a∥b，∴a＝λb，∴21c＝osλα·1＝，λ·sinα， ∴2cosα＝sinα，∴tanα＝2，故选 A. 3．C [解析] 设 P(x，y)，则由|A→B|＝2|A→P|，得A→B＝2A→P或A→B＝－2A→P，A→B＝(2,2)，A→P ＝(x－2，y)，即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)，或(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y ＝－1，P(1，－1)． 4．C [解析] kOC＝－12，kBA＝20－ －12＝－12， ∴OC∥BA，①正确； ∵A→B＋B→C＝A→C，∴②错误； ∵O→A＋O→C＝(0,2)＝O→B，∴③正确； ∵O→B－2O→A＝(－4,0)，A→C＝(－4,0)， ∴④正确．故选 C. 【能力提升】 5．D [解析] 设 a、b、c 是共起点 M 的向量，各自终点分别为 E、F、G，则E→G＝λE→F， E→G＝c－a，E→F＝b－a，可以推出 m＋n＝1. 6．A [解析] ∵正六边形中，OABC 为平行四边形， ∴O→B＝O→A＋O→C， ∴O→C＝O→B－O→A＝(2,0)． 7．C [解析] 根据∠AOC＝120°可知，点 C 在射线 y＝－ 3x(x<0)上，设 C(a，－ 3a)， 则有(a，－ 3a)＝(－2,0)＋(λ， 3λ)＝(－2＋λ， 3λ)，即得 a＝－2＋λ，－ 3a＝ 3λ，消掉 a 得 λ＝1. 8．D [解析] 设 C(x，y)，(x，y)＝α(3,1)＋β(－1,3)，因为 α、β∈R，且 α＋β＝1，消去 α，β 得 x＋2y－5＝0. 9．2 [解析] ∵λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与 c＝(－4，－7)共线， ∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得 λ＝2. 10．8 [解析] 据已知A→B∥A→C， 又∵A→B＝(a－1,1)， A→C＝(－b－1,2)， ∴2(a－1)－(－b－1)＝0， ∴2a＋b＝1， ∴1a＋2b＝2aa＋b＋4a＋b 2b＝4＋ba＋4ba≥4＋2 ab·4ba＝8， 当且仅当ba＝4ba，a＝14，b＝12时取等号， ∴1a＋2b的最小值是 8.