一元二次方程与几何综合

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用一元二次方程解决几何图形问题含答案

用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1一般图形的问题1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B)A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 2．(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B) A．100 m2B．64 m2C．121 m2 D．144 m23．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm．4．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m.5．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米．(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有x(28－x)＝180.解得x1＝10(舍去)，x2＝18.则28－x＝28－18＝10.答：长为18厘米，宽为10厘米．(2)设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有y(28－y)＝200.化简，得y2－28y＋200＝0.∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0.∴原方程无实数根．故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．知识点2边框与甬道问题6．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(C)A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝07．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为(C) A．100×80－100x－80x＝7 644B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644C．(100－x)(80－x)＝7 644D．100x＋80x＝3568．如图所示，相框长为10 cm，宽为6 cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32 cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？解：设相框的边缘宽为x cm，根据题意，得(10－2x)(6－2x)＝32. 整理，得x2－8x＋7＝0，解得x1＝1，x2＝7.当x＝7时，6－2×7＝－8＜0，不合题意，舍去．答：相框的边缘宽为1 cm.易错点忽视根的合理性，忘记验根9．(大同一中期末)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB＝x，则BC＝100－4x(BC≤25)．根据题意，得x(100－4x)＝400，解得x1＝5，x2＝20.当x＝5时，100－4x＝80，不满足BC≤25，不合题意，舍去；当x＝20时，100－4x＝20.所以AB为20米，BC为20米．中档题10．(高平特力期中)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(A)A．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×20－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝57011．(襄汾期末)如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，则路宽x 应满足的方程是(C)A ．(40－x)(70－x)＝2 450B ．(40－x)(70－x)＝350C ．(40－2x)(70－3x)＝2 450D ．(40－2x)(70－3x)＝35012．在一幅长50 cm ，宽30 cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为x 2＋40x －75＝0．13．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m 2?解：设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m ．根据题意，得 (x －2)(2x －4)＝288.解得x 1＝－10(不合题意，舍去)，x 2＝14.所以2x＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2.综合题14．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2说明理由．解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2.根据题意，得x(5－x)＝4.解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时，2x＝8>7，不合题意，舍去．∴x＝1.答：1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.(2)设y秒后，PQ＝5 cm，则(5－y)2＋(2y)2＝25.解得y1＝0(舍去)，y2＝2.∴y＝2.答：2 s后，PQ的长度等于5 cm.(3)设a秒后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得a(5－a)＝7.此方程无解．∴△PBQ的面积不能等于7 cm2.。

人教版九年级数学上册第21章一元二次方程相关的应用题和几何题

第21章一元二次方程相关的应用题和几何题（含答案）1. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒【答案】 D2. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（） A. 11 B. 8 C . 7 D.5 【答案】 B3. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（） A .215+ B . 215- C . 1 D .2 【答案】 A第3题图4. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. 【答案】 500（1＋x ）（x ＋8%）＝1125. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________. 【答案】 2cmA第5题图6. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的飞机票价格应是________. 【答案】 800元7. 乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________. 【答案】68. 如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点. （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.【答案】（1）B （－1，0），C （4，0），，由1,33,4y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得8,7157x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A （87，157）（2）设点D 的坐标为（x ，y ），BC ＝5.， ①当BD 1＝D 1C 时，过点D 1作D 1M 1⊥x 轴于M 1，则BM 1＝52，OM 1＝32，x ＝32，∴y ＝－34×32＋3＝158，∴D 1（32，158）..②当BC ＝BD 2时，过点D 2作D 2M 2⊥x 轴于M 2，则222D M ＋22M B ＝22D B ,.∵M 2B ＝－x －1，D 2M 2＝－34x ＋3，D 2B ＝5. ③当CD 3＝BC 或CD 4＝BC 时，同理，可得D 3（0，3），D 4（8，－3），故点的坐标为D 1（32，158），D 2（－125，245），D 3（0，3），D 4（8，－3）.9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点E 在直角边AC 上（点E 与A ，C 两点均不重合）. （1）若点F 在斜边AB 上，且EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE ＝x ，试用x 的代数式表示S AEF ；（2）若点F 在折线ABC 上移动，试问：是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，则求出AE 的长；若不存在直线EF ，请说明理由.【答案】（1）S △AEF ＝25x （6－x ）（2）假设存在直线E F 将△ABC 的周长和面积同时平分，AE ＝x .①若点F 在斜边AB 上，则由（1）知25x （6－x ）＝12×6，解得x 1＝3x 2＝3AF ＝6－（33 5.，②若点F 和B 重合，不满足题设要求的直线EF ；③若点F 在BC 上，由AE ＝x ，得CE ＝3－x ，CF ＝3＋x ，S △CEF ＝12（3－x ）（3＋x ）＝12×6，解得x 1，x 2，由于3＋x 3＞4，故不存在直线EF 满足题设要求.10. 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出.每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？【答案】（1）24间（2）设每间商铺的年租金增加x 万元，则（30＋0.5x ）×（10＋x ）－（30－0.5x ）×1－0.5x×0.5＝275，解得x 1＝0.5，x 2＝5，故设每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元.11. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A 型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满. （1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？（2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。

二次函数与几何综合压轴题题型归纳

(1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足∠APB＝∠ACB，求点 P 的坐标； (3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于∠AQB 的平分线的对称点为 A ，若 QA QB 2 ，求点 Q 的坐标和此时△ QAA 的面积。
2、在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y ax2 +2ax c 的图像与 y 轴交于点 C0，3 ，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为 3，0 。
11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，
利用几何分析法能给解题带来方便。
3
几何要求
几何分析
涉及公式
跟平行有关的平移
图形
l1 ∥ l2
k1＝k2 、 k
y1 x1
y2 x2
跟直角有关的图形
勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
★ 讨论直角三角连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得 ACP 为直角三角形，
求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P，使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形．
4
BO A x C D y
BO A x C D
★ 讨论等腰三角连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得 ACP 为等腰三角形，
求出 P 坐标 y
★ 讨论平行四边形 1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，
且以 B，A，F，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标
BO A x
C D
二综合题型
例 1 (中考变式）如图，抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为 D。

一元二次方程和几何综合

1.在菱形ABCD中，∠B=60°，点E,F分别从B，D同时出发，以同样的速度沿边BC,DC向点C运动，到点C即停止。

给出下列三个结论：①AE=AF ②∠CEF=∠CFE ③当点E，F分别为BC，DC中点时，△AFE为等边三角形。

上述结论中正确的有
2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N 分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
4. 如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=3cm，点E从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向终点B运动，同时点F从点B出发沿BC-CD以2cm/s的速度向点D运动，当一点停止运动时另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连接DE、DF、EF，则在运动过程中，使△DEF成为等腰三角形的t值的个数为
（写出求解过程）。

第1课时利用一元二次方程解决几何问题

2.6 应用一元二次方程第1课时利用一元二次方程解决几何问题基础题知识点利用一元二次方程解决几何问题1．(白银中考)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( )A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝62．(兰州中考)公园里有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝1 B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝03．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( )A．2秒钟 B．3秒钟C．4秒钟 D．5秒钟4．如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3 m3，则根据图中的条件，可列出方程：____________.5．如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m2，请求出原来大矩形空地的长和宽．(1)请找出上述问题中的等量关系：____________；(2)若设大矩形空地的宽为x m，可列出的方程为________________________，方程的解为____________________，原来大矩形空地的长和宽分别为____________．6．如图，将一根铁丝分成两段可以分别围成两个正六边形，已知它们的边长比是1∶2，其中小正六边形的边长为(x2－4)cm，大正六边形的边长为(x2＋2x)cm(其中x＞0)．求这根铁丝的总长．7．(包头中考改编)一幅长20 cm ，宽12 cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，设竖彩条的宽度为x cm ，图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．中档题8．(杭州期末)如图是一个长为30 m ，宽为20 m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532 m 2，那么小道进出口的宽度应为____________米．9．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2. (1)求AE 的长(用x 的代数式表示)；(2)当y ＝108 m 2时，求x 的值．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1 cm/s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，几秒钟后△DPQ 的面积等于28 cm 2?11．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米． (1)当通道宽a 为10米时，花圃的面积＝____________平方米；(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3∶5？如果可以，试求出此时通道的宽．综合题12．某小区有一长100 m ，宽80 m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区。

用一元二次方程解决几何图形问题ppt课件

篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
4.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,设 AB边为Xm可列方程
A
B
C
5．如图，某幼儿园有一道长为16m的墙，计
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
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课后小结
（一）、小结：请同学们说一说一元二次方程与实际问题---面积问题与动点问题的解题思路及技巧.这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
2、某林场计划修一条长750m，横截面为等腰梯形的渠道，横截面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多 0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
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(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5 cm?
(3)在(1)中，△PBQ的面积能否为7 cm2？并说明理由．
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统

专题11 二次函数与图形几何综合(6大考点)(学生版)

第三部分函数专题11二次函数与图形几何综合（6大考点）核心考点核心考点一线段问题核心考点二面积问题核心考点三角度问题核心考点四特殊三角形判定问题核心考点五特殊四边形判定问题核心考点六相似三角形判定问题新题速递核心考点一线段问题（2020·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()0,2，点B的坐标为()4,2．若抛物线23()2y x h k=--+（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且12CD AB=，则k的值为_________．（2020·山东滨州·中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2-，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时 DFQ周长的最小值及点Q的坐标．1.确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：①先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点；②再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；③继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）．2.线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）．3.线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，最常见的有以下模型：（1）定直线与两定点①同侧和最小值问题②同侧差最小值问题③同侧差最大值问题④异侧差最大值问题（2）角与定点①一定点与两条直线上两动点问题②两定点与两条直线上两动点问题【变式1】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，二次函数图象经过()20A ，，()00O ，且有最小值1-，若A 点关于y 轴的对称点为B 点，过B 作y 轴平行线交抛物线于点C ，在Rt ABC △的斜边AC 上有一动点D ，过D 作DE BC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，则EF 的最小值为（）ABC．D．【变式2】（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y ＝a 1x 2（a 1≠0）与抛物线C 2：y ＝a 2x 2+bx （a 2≠0）的交点P 在第三象限，过点P 作x 轴的平行线，与物线C 1，C 2分别交于点M ，N ．若PM PN ＝2n ，则12a a 的值是（）A ．2n B ．n ﹣1C ．n D ．11n -【变式3】（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线2y x =-平移得到抛物线C ，如图所示，且抛物线C 经过点()1,0A -和()0,3B ，点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则OQ PQ +的最大值为______．【变式4】（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，AE 为∠BAD 的角平分线，F 为AE 上一动点，M 为DF 的中点，连接BM ，则BM 的最小值是_____．核心考点二面积问题（2021·山东淄博·统考中考真题）已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m === ，则m 的值是（）A ．1B ．32C ．2D ．4（2021·浙江·统考中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()1,0A 和()3,0B ，点()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线上不同于,A B 的两个点，记1P AB △的面积为12,S P AB 的面积为2S ．有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；②当122x x <-时，12S S <；③当12221x x ->->时，12S S >；④当12221x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4中考数学，最后的三道压轴题，一般都会有一题考察二次函数动点。

9年级上册数学一元二次方程

九年级上册数学一元二次方程一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是一个只含有一个未知数（通常表示为x），且未知数的最高次数为2的方程。

其标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

二、一元二次方程的解法配方法：通过配方将方程转化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。

公式法：根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，方程有2个实根。

根为x=(-b±√Δ)/2a。

因式分解法：将方程左边化为两个因式的乘积，右边化为0，然后分别令每个因式等于0求解。

三、一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac。

根据判别式的不同取值，一元二次方程的根的情况分为以下三种：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根）。

当Δ<0时，方程没有实根（称为虚根），但有共轭复数根。

四、一元二次方程的根与系数的关根的和：x1+x2=-b/a。

根的积：x1*x2=c/a。

根的平方和：x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(b^2-2ac)/a^2。

的立方：x1^3+x2^3=(x1+x2)(x1^2+x2^2-x1*x2)=-b^3/a^3+c^3/a^3=(c^3-b^3)/a^3。

五、一元二次方程的应用一元二次方程在日常生活和生产实践中有着广泛的应用，如计算几何图形的面积、解决商品利润问题等。

解决这类问题时，需要将实际问题转化为数学模型，即建立一元二次方程，然后求解得到实际问题的答案六、配方法解一元二次方程将一元二次方程化为(x+b)^2=d的形式，然后直接开平方求解。

这种方法适用于所有形式的一元二次方程，但在使用时需要注意运算的准确性。

七、公式法解一元二次方程根据一元二次方程的根的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ≥0时，使用公式法可以直接求解出方程的实根。

此方法简洁明了，但需要注意判别式的计算以及实根的存在性。

一元二次方程与几何问题

一元二次方程与几何问题篇一：一元二次方程与几何问题已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？如图，将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着 AD 方向平移，得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形，则 BE 的长为？一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 ∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC．如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm．（1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由．如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm，（1）当 x 为何值时，点 P、N 重合；（2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形．如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P． 1 / 10（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由．如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒．（1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度；（2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的值；若不存在，请说明理由．如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t（s）．（1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后，（1）求出△ PBQ 的面积；（2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值．（3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由．例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？（2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前进， 2 / 102 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间为 t 秒，（1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s，则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？（2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ BP 例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒，（1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？（2）当 t 为何值时，△ APQ 的面积为个平方单位？ 5 24 篇二：一元二次方程与几何问题已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？如图，将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着 AD 方向平移，得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形，则 BE 的长为？一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 3 / 10∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC．如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm．（1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由．如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm，（1）当 x 为何值时，点 P、N 重合；（2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形．如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P．（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由；（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由．如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒．（1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度；（2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的值；若不存在，请说明理由．如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t（s）．（1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由．如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 4 / 10向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后，（1）求出△ PBQ 的面积；（2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值．（3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由．例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？（2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前进， 2 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间为 t 秒，（1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s，则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？（2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ P 5 / 10例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒，（1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？篇三：一元二次方程与几何运动问题一元二次方程与几何运动问题 1 动态几何图形中边长的表示：1)题设运动时间为 t，表示出动点有关边长。

一元二次方程的几何解法(课堂PPT)

把一次项转化为一个长方形；此图形再补上一些小的长/正方形(常数
项)，最终转化为一个大正方形；就能使用平方根运算求得小正方形的边
长(±x)。
15
终于可以总结了…
总之，花拉子米同志把一元二次方程转化成了正方形。以上。
2
X＋4
16
所以说……
聪明而伟大的花拉子米同志和配方法从此在波斯湾幸福地生活着……
x
x
8
4
然后呢…
把右边面积为8x的长方形分成四个面积为2x的小长方形。
x
x
8
5
花拉子米同志的亮点~
把这四个小正方形重新排列，如下图示。
x
x
6
欧家(欧几里德)和花家都爱『补』…
补上四个面积为4的小正方形，即得一个大正方形。
2+x+2
2+x+2
7

=33 根据……
S大正方形=33+4*S小正方形
=33
X^2+8X+16=49
(X+4)^2=49 X+4=±7
X1=11, X2=-3
=33
2 =49
X＋4
11
可是……
12
书记说要执果索因……
13
书记说要转化…
用代数君的话来讲，配方法就是——
把等号左边的二次三项式转化为完全平方式。
14
正方形是一种境界…
用几何君的话来讲，就是把二次项转化为一个小正方形；
一元二次方程的几何解法
1
花拉子米同志出场啦~撒花~
公元825年，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用几何模型展现他
解一元二次方程式的方法。这种方法就是我们如今仍在使

一元二次方程的应用(几何问题)

下的部分种上草坪，要使草坪的面积为
540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜20.
x
可列方程为 (32 − x)(20 − x) = 540，
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽为 2 m.
20-x 32-x
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
分析:这本书的长宽之比为 9 : 7 ，正中央的长方形的长宽之比为 9 : 7 ，上下边衬与左右边衬的宽度之比为 9 : 7.
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
27 cm
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
多少米？
A
D
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得 (58 − 2x)x = 200，
B
C
整理得 x2 − 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = 4. 当 x = 25 时，58 − 2x = 8；
当 x = 4 时，58 − 2x = 50.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m， 50 m.
答：道路的宽为 (18 - 274) m.
x
20-x
32-2x 32
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样
宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草
坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道
路的宽为多少？
2x
解：设道路的宽为 x m，且 x＜10.

一元二次方程的应用-ppt课件

难
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数

n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时几何图形面积问题
［答案］解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10

一元二次方程的几何解法

一元二次方程的几何解法上传: 程峰更新时间：2012-5-23 23:15:08一元二次方程的几何解法江西省彭泽县杨梓中学（332713）程峰****************课标北师大版九年级（上）第52页读一读中以方程x +2x-35=0为例介绍了两种几何解法，该解法从“形”上体现了配方法的本质。

方法一，（三国时期数学家赵爽的解法）由x +2x-35=0得x(x+2)=35,如图1，构造边长为（x+x+2)的正方形，则其面积为（x+x+2) ，又有图1知大正方形是由四个长与宽分别为x+2和x的矩形及一个边长为2的小正方形组成，所以大正方形的面积又等于4（x+2)x+2 =4×35+4=144,∴（x+x+2)=144,∵x表示边长，∴x=5.说明：赵爽的解法是把x +2x=x(x+2)看作是矩形的面积，然后用四个这样的矩形和一个边长为2的正方形组成一个边长为（x+x+2)的正方形，再由面积关系求出x。

.图1 图2例1，用赵爽的解法解方程x -2x-35=0解析：原方程变为x（x-2)=35，如图2，构造边长为（x+x-2)的正方形，则其面积为（x+x-2) ，另一方面，大正方形面积等于4s +s =4x(x-2)+2 =4×35+4=144,∴（x+x-2) =144,∴x=7.例2，用赵爽的解法解方程3x +8x-3=0(教材例题）解析：原方程变为x + x-1=0,即x(x+ )=1.如图3，构造边长为(x+x+ )的正方形，其面积为(x+x+ ) ，另一方面，大正方形面积等于4s +s=4x(x+ )+( ) =4×1+ = ,即(x+x+ ) =，∴x= .图3归纳：形如ax +bx+c=0(a,b,c,为常数，a≠0,且b -4ac≥0)的一元二次方程用赵爽的解法的步骤主要是：1，先把原方程化为x + x=- ,即x(x+ )=- ,2,构造边长为（x+x+ )的正方形，3，s =（x+x+ ) ，4，s =4s +s =4(- )+( ) =5,由方程（x+x+ ）= ，……①解出x.原方程x +2x-35=0的第二种几何解法（即公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔﹒花拉子米的解法）解：如图4，先构造边长为x的正方形，然后补上两个长宽分别是x和1的矩形，再补上一个边长为1的正方形，这样就组成了一个大正方形，其面积是（x+1）,另一方面大正方形的面积=x +2﹒x ﹒1+1=35+1=36,∴（x+1）=36,∴x=5说明：花拉子米的解法是把x 看作是一个正方形的面积，把2x看作是2个长与宽分别是x和1的矩形面积，这样再补上一个边长为1的正方形就组成一个新的正方形，其边长为x+1,再由面积关系求出x.图4 图5例3，用花拉子米的解法解方程x -2x-35=0解析：原方程变为x -2x=35，如图5，构造边长为x的正方形，在其内部减去两个长，宽分别是x和1的矩形，由于多减去一个边长为1的正方形，把其补上，便得到一个边长为x-1的新正方形，其面积为（x-1) ,另一方面新正方形面积=x -2x+1=35+1=36,∴x=7.例4，用花拉子米的解法解方程3x +8x-3=0解析：原方程变为x + x=1，如图6，先构造一个边长为的正方形，然后补上长，宽分别是x和的矩形，再补上一个边长为的正方形，便组成了一个边长为(x+ )的新正方形，其面积为(x+ ) ，另一方面，新正方形面积又等于x +2·x·+( ) =1+= ,∴(x+ ) = ,∴x= .图6归纳；利用花拉子米的解法解方程ax +bx+c=0(a,b,c,为常数，a≠0,且b -4ac≥0)的一般步骤是：1，把原方程化为x + x=- ,2，先构造边长为x的正方形，当>0时，在其外部补上两个长，宽分别是x和的矩形，（当<0时，在其内部割去两个长，宽分别是x和的矩形），再补上一个边长为的正方形，边构成一个新的正方形，其面积为（x+ ) ，另一方面，新正方形面积又等于x+2··x+( ) =- +( ) = ,3，由（x+ ) = ，……②解出x.小结：1，用几何（图形）解法解一元二次方程，由于x表示图形的边长，因此，只能得到原方程的正根。

一元二次方程的应用(1)

教案教学内容一元二次方程——一元二次方程的应用（一）一、学习目标：1．会列出一元二次方程解应用题；2.学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题；3.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、知识回顾：1．解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．2．列一元一次方程解应用题的步骤是什么？（1）审：弄清题意和题目中的数量关系；（2）设：用字母表示题目中的一个未知数；（3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；（4）列：根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；（6）验：检验方程的解是否符合题意；（7）答：写出答案（包括单位名称）．三、新知讲解1．列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：认真审题，分析题意，弄清已知量、未知量及它们之间的等量关系；（2）设：设未知数，用一个字母来表示题目中的未知量，有直接设未知数和间接设未知数两种方法；（3）列：根据题目中的数量关系列出一元二次方程；（4）解：指解方程，即求出所列方程的解；（5）验：必须检验求出的每个节是否符合题意，不符合题意的应舍去；（6）答：书写答案，注意题目中的单位．注意：（1）设未知数时，必须写清单位，用对单位；（2）列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位；（3）一定要检验根是否符合实际意义。

2．列一元二次方程解应用题的常见题型传播问题、增长率问题、几何图形面积问题、数字问题、营销问题、利息问题等．（1）传播问题：传播问题要抓住两点：一是传播源；二是传播速度。

若传播源是a，传播速度是x，则一轮传染后，被传染的总数是a+ax；二轮传染的传染源是a+ax，传染速度是x，被传染总数为a+ax+x(a+ax)，即a（1+x）2；注意：每轮的传染源数量改变，传染速度不变。

（2）平均增长率问题与平均降低率问题：1、平均增长率是指增长数与基数的比。

中考数学专题复习一元二次方程组的综合题附答案

中考数学专题复习一元二次方程组的综合题附答案一、一元二次方程1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm 的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，∵，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．3．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2 【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式2b x a-=求解即可.试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝，∴x 1＝2，x 2＝24．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0．（1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m 的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】（1）证明：∵（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0， ∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m 2）=1+4m 2， ∵m 2≥0， ∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2， ∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±，∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根. 5．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.6．∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m）×即m2－80m+1500=0解得m1=30，m2=50．又∵四月份用水量为35吨，m1=30＜35，∴m1=30舍去．∴m=50【解析】7．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=8．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ，解得t=0，所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.9．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17 【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2；（2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．10．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【解析】【分析】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立. 【详解】（1）假设能，设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为（32﹣2x ）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．11．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m 件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m 的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m ），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x 元，根据题意列方程得，150（x ﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m ）=5670，150+m ﹣150×m%﹣m%×m=162，m ﹣m 2=12，60m ﹣3m 2=192， m 2﹣20m+64=0， m 1=4，m 2=16， ∵要使销售量尽可能大， ∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．13．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=.（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根，∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥， ∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，由22212121184x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-；∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.14．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x×40）=41600．化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．15．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值．【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35. 【解析】【分析】（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克， 11月的进货价为： 340602?元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克则(10020)(10)1000x x +-=，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去) 所以a =35. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.。

12初中数学“一元二次方程与几何图形问题”全解析

初中数学“一元二次方程与几何图形问题”全解析一、引言一元二次方程与几何图形问题是初中数学中的重要内容，也是考试中的常见题型。

这类问题结合了代数与几何的知识，旨在考察学生的综合分析和解决问题的能力。

本文将详细解析一元二次方程与几何图形问题的基本概念、解题方法及应用，帮助同学们更好地掌握这一知识点。

二、基本概念1.一元二次方程：形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程称为一元二次方程。

2.几何图形：初中数学中常见的几何图形有直线、角、三角形、四边形、圆等。

3.方程与图形的关联：在几何问题中，常利用一元二次方程来表示某些特定的条件或关系，如长度、面积、角度等。

三、解题方法1.建立方程：根据几何问题的条件，设定未知数并建立与问题相关的一元二次方程。

这一步是关键，要求能正确理解和转化几何条件为代数表达式。

2.解方程：利用一元二次方程的求解方法（如配方法、公式法等）解出未知数。

3.回归几何：将求得的代数解回归到原几何问题中，解释其实际意义，并验证其合理性。

四、应用举例1.直线与圆的位置关系：已知圆的半径r和圆心到直线的距离d，判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。

可通过比较d与r的大小来判断，若d=r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离。

在此过程中，可通过建立一元二次方程求解d或r。

2.三角形的形状判断：已知三角形的三边a、b、c（满足a²+b²=c²），判断三角形的形状。

由勾股定理知，若满足上述条件，则三角形为直角三角形。

若不满足，则可通过比较a²+b²与c²的大小关系，进一步判断三角形为锐角三角形或钝角三角形。

在此过程中，也可能涉及到一元二次方程的求解。

3.面积问题：在求解某些特定形状（如矩形、梯形等）的面积时，可能会遇到需要利用一元二次方程来解决的问题。

例如，已知矩形的周长和一条边的长度，求矩形的面积。

一元二次方程解决实际问题的备考建议

一元二次方程解决实际问题的备考建议一元二次方程是数学中一个重要的概念，通过一元二次方程，我们可以解决很多实际问题，比如抛物线运动、自然界中的某些现象等。

在备考数学考试的过程中，掌握一元二次方程的解题方法非常重要。

下面，我将从深度和广度两个方面来探讨在备考过程中如何更好地掌握一元二次方程解决实际问题的方法。

深度方面：在学习一元二次方程解决实际问题时，首先要掌握一元二次方程的基本概念和解题方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，x为未知数。

在解决实际问题时，首先要将问题转化为一元二次方程的形式，然后根据特定的解题方法进行求解。

要想深入地理解一元二次方程的解题方法，可以通过大量的练习和实际问题的应用来加深对该方法的理解。

要掌握一元二次方程在几何图形中的应用。

通过一元二次方程，可以求解抛物线的顶点、焦点、直径等相关问题。

这些问题在几何图形中非常常见，因此掌握一元二次方程在几何图形中的应用对于备考数学考试至关重要。

广度方面：在备考数学考试时，除了掌握一元二次方程的具体解题方法之外，还要了解一元二次方程在现实生活中的应用。

通过一元二次方程可以解决关于抛物线运动的实际问题，包括抛物线的轨迹、最大高度、最远距离等相关问题。

了解一元二次方程在实际问题中的应用，可以帮助我们更好地理解数学知识，并将其运用到实际生活中。

还要注意与一元二次方程相关的其他数学概念和方法。

要了解一元二次方程与函数、导数、积分等数学概念的关系，这样可以帮助我们更全面地理解一元二次方程的应用。

总结回顾：通过深度和广度的探讨，我们可以更好地掌握一元二次方程解决实际问题的方法。

在备考数学考试的过程中，重点要掌握一元二次方程的基本概念和解题方法，了解其在几何图形中的应用，同时要了解一元二次方程在现实生活中的应用，并结合其他数学概念和方法进行综合运用。

只有深入理解和灵活运用一元二次方程的解题方法，才能更好地解决实际问题，也才能在考试中取得好成绩。

中考专题二次函数与几何综合

二次函数与几何综合（讲义）一、知识点睛“二次函数与几何综合”思考流程：整合信息时，下面两点可为我们提供便利：①_____________________．二次函数关注四点一线，一次函数关注k、b；②_____________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和角度信息．二、精讲精练1.如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．4.已知，抛物线经过A(-1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．5.已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3).（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．图1图26.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m-4，0)和B(m，0)，与直线y=-x+p相交于点A和点C(2m-4，m-6).（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP的面积为12，求P、Q两点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴下方抛物线上的一动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．【参考答案】一、知识点睛线段长①研究函数表达式②关键点坐标转线段长二、精讲精练1. 解：（1）令x=0，则y=4，∴点C的坐标为（0，4），∵BC∥x轴，∴点B，C关于对称轴对称，又∵抛物线y=ax2-5ax+4的对称轴是直线，即直线∴点B的坐标为（5，4），∴AC=BC=5，在Rt△ACO中，OA=，∴点A的坐标为A（，0），∵抛物线y=ax2-5ax+4经过点A，∴9a+15a+4=0，解得，∴抛物线的解析式是（2）存在，M（，）理由：∵B，C关于对称轴对称，∴MB=MC，∴；∴当点M在直线AC上时，值最大，设直线AC的解析式为，则，解得，∴令，则，∴M（，）2. 解：（1）∵抛物线过点B（，0），∴a+2a-b=0，∴b=3a，∴令y=0，则x=或x=3，∴A（3，0），∴OA=3，令x=0，则y=-3a，∴C（0，a），∴OC=3a∵D为抛物线的顶点，∴D（1，4a）过点D作DM⊥y轴于点M，则∠AOC=∠CMD=90°，又∵∠ACD+∠MCD=∠AOC+∠1，∠ACD=∠AOC=90°∴∠MCD=∠1 ，∴△AOC∽△CMD，∴，∵D（1，4a），∴DM=1，OM=4a，∴CM=a∴，∴，∵a>0，∴a=1∴抛物线的解析式为：（2）当AB为平行四边形的边时，则BA∥EF，并且EF= BA =4由于对称轴为直线x=1，∴点E的横坐标为1∴点F的横坐标为5或者 3将x=5代入得y=12，∴F（5，12）．将x=-3代入得y=12，∴F（-3，12）．当AB为平行四边形的对角线时，点F即为点D，∴F（1，4）．综上所述，点F的坐标为（5，12），（3，12）或（1，4）．3．解：（1）对于，当y=0，x=2；当x=8时，y=.∴A点坐标为（2，0），B点坐标为由抛物线经过A、B两点，得解得（2）设直线与y轴交于点M当x=0时，y=. ∴OM=.∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2，∴AM=∴OM：OA：AM=3：4：5.由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM ∽△PED.∴DE：PE：PD=3：4：5∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，∴PD=∴由题意知：4．解：(1) ∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(0，)两点，∴，∴，∴拋物线的解析式为y1= -x2+x+（2）解法一：过点M作MN⊥AB交AB于点N，连接AM由y1= -x2+x+可知顶点M(1，2) ，A(-1，0)，B(3，0)，N(1，0)∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形.∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°∴∠QPB=∠PMA又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA∴将AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，可得，即.∵点P为线段OB上一动点（不与点B重合）∴0≤x＜3则y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0≤x<3)解法二：过点M作MN⊥AB交AB于点N.由y1= -x2+x+易得M(1，2)，N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45︒.根据勾股定理有BM 2-BN2=PM2-PN2.∴…①，又∠MPQ=45︒=∠MBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y2⨯2由、得y2=x2-x+.∵0≤x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0≤x<3)5．解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为.（2）①令，解得∴B（3，0）则直线BC的解析式为当点P在x轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，∴设直线AP的解析式为，∵直线AP过点A（1，0），∴直线AP的解析式为，交y轴于点.解方程组，得∴点当点P在x轴下方时，如图1，根据点，可知需把直线BC向下平移2个单位，此时交抛物线于点，得直线的解析式为，解方程组，得∴综上所述，点P的坐标为：，②过点B作AB的垂线，交CP于点F.如图2，∵∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°∴∠CBF=∠ABC=45°又∵∠PCB=∠BCA，BC=BC∴△ACB≌△FCB∴BF=BA=2，则点F（3，－2）又∵CP过点F，点C∴直线CP的解析式为.6．解：（1）如图1，过点C作CE⊥AB，交AB于点E.∵点C(2m-4，m-6)，∴点E(2m-4，0)∴EC=6-m，AE=OE+EA=m又∵直线AC：y=-x+p∴∠EAC=45°，AE=EC即6－m=m，m=3.∴A(-1，0)，B(3，0)，C(2，-3)可得抛物线解析式为y=x2-2x-3，直线AC解析式为y= -x-1（2）如图2，AC=3，AC所在直线的解析式为：y=-x-1，∠BAC=45°∵平行四边形ACQP的面积为12.∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK= 2，符合条件的点K在直线AC的两侧各有一个，∴PQ所在直线可能在直线AC的两侧各有一条，又∵∠OAD=45°，∴DN=4∴PQ的解析式为y=-x+3或y=-x-5∴，解得或方程组无解.即P1(3，0)，P2(-2，5)∵ACPQ是平行四边形，A(-1，0) C(2，-3)∴当P(3，0)时，Q(6，-3)当P(-2，5)时，Q(1，2)∴满足条件的P，Q点是P1(3，0)，Q1(6，-3)或P2(-2，5)，Q2(1，2)（3）如图3，作直线l平行于PQ所在的直线（即BN），且使得l与抛物线只有一个交点，这个交点即为M（此时以PQ为底，高最大，面积最大）设l的表达式为，则，得，由△=0，得b=，∴，解得，∴M（，）设l与y轴交点为点G，过G作GH⊥BN于点H，易得∠NGH=45°，则在Rt△NGH中，GH=又∵N（0，3），G（0，），∴NG=∴GH=∵PQ=AC=∴S=∴M（，），最大面积为.二次函数与几何综合（作业）1. 已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于点C，与y轴交于点A，点B在x轴正半轴上，且△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）若点P是第一象限内抛物线上的一动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时点P的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2. 将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x轴、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，抛物线y=x2-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上的A、B两点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位．【参考答案】1．解：（1）∵A、C分别是直线y=3x+3与y轴和x轴的交点∴A（0，3），C（-1，0）又∵△OAB是等腰直角三角形∴B（3，0）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3）∴把A点坐标代入表达式得：∴y＝-x2+2x+3（2）△PAB有最大面积，当P点坐标为（，）时，最大面积为．理由如下：如图，∵P点在抛物线上，P（m，-m2+2m+3）过P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，作AF⊥PD于点F，则E（m，-m+3）S△PAB =S△APE+S△BPE==∴当m=时，=，此时P（，）2．解：（1）如图，由题意得：A（0，6）、B（-3，0）、C（6，0）设抛物线表达式为y=a（x+3）（x-6）把A点坐标代入表达式得：故此抛物线的解析式为：（2）如图，设点P的坐标为(m，0)，则PC=6-m，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CAB∴，即∵∴当时，有最大面积为；此时，点P的坐标为（3）如图，∵G点在抛物线上∴设，过G作GD⊥x轴于D点，交AC于点E，则E（n，-n+6）则S△AGC =S△AGE+S△CGE=解得：故点G的坐标为或3．解：（1）∵顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在y=x-5上，∴当x=1时，y=1-5=-4，∴A（1，-4）．将A（1，-4）代入y=x2-2x+c，可得 c=-3，∴y=x2-2x-3，（2）△ABD是直角三角形，理由如下：由（1）得B（0，-3），C（-1，0），D（3，0）∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=(4-3)2+12=2，AD2=(3-1)2+42=20，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x-5交y轴于点E（0，-5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥EF，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，则P A=BD，解得：P1（4，-1），P2（-2，-7）∴存在点P1（4，-1），P2（-2，-7）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．4．解：（1）A、B、C的坐标分别为A，B，C（2）（3）设抛物线的解析式为，代入，可得，∴平移后的抛物线的解析式为∴平移了个单位。