最新人教版初中数学九年级上册精品习题：《垂直于弦的直径》练习

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人教版九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径同步练习题(含答案)

人教版九年级数学上册第24章 24.1.2垂直于弦的直径同步练习题一、选择题1．下列说法中，不正确的是(D)A ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合C ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D ．圆的每一条直径都是它的对称轴2．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是(D)A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则OE ＝(C)A ．4 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是(B)A.7 B．27 C．6 D．86．如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(D)A．8 B．10 C．12 D．167．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为(B)A．6 dm B．5 dm C．4 dm D．3 dm8．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB 与CD的距离为(D)A．1 B．7 C．4或3 D．7或1二、填空题9.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．10.如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那四边形OEAD的周长为14cm．11．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝23，则⊙O 的半径是2．13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为26寸．14.如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为1 2．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为(2，6)．三、解答题16．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，则圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD⊥AB，且CD过圆心O，∴AD＝12AB＝1米，∠CDA＝90°.设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R，OD＝5－R.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．17．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.又∵AB∥CD，∴OF⊥CD.①当AB，CD在点O两侧时，如图1.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即AB与CD之间的距离为22 cm；图1 图2②当AB，CD在点O同侧时，如图2.连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 cm，即AB与CD之间的距离为8 cm.综上所述，AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.。

24.1.2垂直于弦的直径-人教版九年级数学上册练习

人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径一．选择题（共6小题）1．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）A．B．2C．2D．32．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，1）D．（1、0）3．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．64．在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm，则点O到AB的距离为（）A．50mm B．25mm C．25mm D．25mm5．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A．1B．7C．1或7D．3或46．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（）A．4.1米B．4.0米C．3.9米D．3.8米二．填空题（共6小题）7．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．8．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为．9．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝cm．10．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是．11．如图，⊙O与抛物线y＝x2交于A，B两点，且AB＝2，则⊙O的半径等于．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．三．解答题（共3小题）13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．15．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径参考答案一．选择题（共6小题）1．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）A．B．2C．2D．3【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB＝OA＝4，∴OC＝AB＝2，故选：C．2．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，3），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，1）D．（1、0）【解答】解：该圆弧所在圆的圆心坐标是：（1，0）．故选：D．3．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，在Rt△OBC中，OC＝＝5．故选：C．4．在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm，则点O到AB的距离为（）A．50mm B．25mm C．25mm D．25mm【解答】解：作OC⊥AB于C，根据题意：OA＝OB＝AB＝50mm，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOC＝30°，∴OC＝OA•cos30°＝25cm．故选：B．5．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A．1B．7C．1或7D．3或4【解答】解：①当AB、CD在圆心两侧时；过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，∴EF为AB、CD之间的距离在Rt△OEC中，由勾股定理可得：OE2＝OC2﹣CE2∴OE＝＝3，在Rt△OF A中，由勾股定理可得：OF2＝OA2﹣AF2∴OF＝＝4，∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，AB与CD的距离为7；②当AB、CD在圆心同侧时；同①可得：OE＝3，OF＝4；则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；综上所述：AB与CD间的距离为1或7．故选：C．6．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于（）A．4.1米B．4.0米C．3.9米D．3.8米【解答】解：∵车宽2.4米，∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD＝＝＝1.6（m），CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，∴卡车的外形高必须低于4.1米．故选：A．二．填空题（共6小题）7．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为12cm．【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．8．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为16．【解答】解：如图，OA＝16，则OC＝8，根据勾股定理得，AC＝＝8，∴弦AB＝16．故答案为：16．9．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm，则弦AB＝2cm．【解答】解：连接OA，如图，∵CE＝3，DE＝7，∴CD＝10，∴OC＝OA＝5，OE＝2，∵AB⊥CD，∴AE＝BE，在Rt△AOE中，AE＝＝，∴AB＝2AE＝2（cm）．故答案为2．10．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是3．【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，在Rt△OCH中，OH＝＝3，所以CD与AB之间的距离是3．故答案为3．11．如图，⊙O与抛物线y＝x2交于A，B两点，且AB＝2，则⊙O的半径等于．【解答】解：连接OA，设AB与y轴交于点C，∵AB＝2，∴点A，B的横坐标分别为﹣1，1．∵⊙O与抛物线y＝x2交于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，），（1，），在Rt△OAC中，由勾股定理得OA＝＝＝，∴⊙O的半径为．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为4．【解答】解：对于直线y＝kx﹣2k+3＝k（x﹣2）+3，当x＝2时，y＝3，故直线y＝kx﹣2k+3恒经过点（2，3），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH＝2，DH＝3，OD＝＝．∵点A（5，0），∴OA＝5，∴OB＝OA＝5．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD＝2＝2×＝4．故答案为4．三．解答题（共3小题）13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，求BE的长．【解答】解：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3．∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝4，∴OE＝＝，∴BE＝OB﹣OE＝4﹣．14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，在Rt△AEO中，OE＝＝＝3，∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．15．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【解答】解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，则EF＝DF＝DE，假设DE＝6m，则DF＝3m，∵圆的半径为5m，∴OD＝5m，∴OF＝＝＝4＞3.8，∴这条船能过桥洞．。

中考数学专题复习题：垂直于弦的直径

中考数学专题复习题：垂直于弦的直径一、单项选择题（共10小题） 1.下列说法正确的是（）A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于直径的弦平分这条直径D. 弦的垂直平分线经过圆心2.如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论中不一定成立的是（）A. CM =DMB. CB ⌢=DB ⌢C. AC ⌢=AD ⌢D. OM =MB3.如图，A 是⊙O 上一点，连接OA ，弦BC ⊥OA 于点D.若OD =2，AD =1，则BC 的长为（）A. 2√ 5B. 4C. 2√ 3D. 2√ 24.如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC =5cm ，CD =8cm ，则AE 的长为（）A. 8cmB. 5cmC. 3cmD. 2cm5.已知⊙O 的直径CD =100cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，AB =96cm ，则AC 的长为（） A. 36cm 或64cmB. 60cm 或80cmC. 80cmD. 60cm6.如图所示，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 长的取值范围一定是（）A. 4≤OM≤5B. 3≤OM<5C. 3<OM≤5D. 3≤OM≤57.如图所示，AB，CD是⊙O的两条平行弦，且AB=4，CD=6，AB，CD之间的距离为5，则⊙O的直径是（）A. √ 13B. 2√ 13C. 8D. 108.如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A. 10cmB. 16cmC. 24cmD. 26cm9.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB=10dm，水面宽度AB 是16dm，则截面水深CD是（）第9题图第10题图A. 3dmB. 4dmC. 5dmD. 6dm10.如图所示，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，如果AB=8，OC=3，那么EC的长为（）A. 2√ 15B. 8C. 2√ 10D. 2√ 13二、填空题（共8小题）11.在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为________．12.下列四个说法：①经过圆心的直线是圆的对称轴；②直径是圆的对称轴；③圆的对称轴有无数条；④当圆绕它的圆心旋转180∘时，仍会与原来的圆重合.其中一定正确的有________.(填序号)13.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为_______mm．14.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为________．15.如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15∘，半径为2，则弦CD的长为________．16.如图所示，在半径为10cm的⊙O中，AB=16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC一定等于________cm．17.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，且PA =1，PB =5，∠DPB =30∘，则CD 的长为________．18.如图，某主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为________m ．三、解答题（共5小题）19.如图，两个圆都以点O 为圆心．求证：AC =BD ．20.如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB ⌢的中点，OC 交AB 于点D.若AB =8cm ，CD =2cm ，求⊙O 的半径．21.如图，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，且AB =8cm ，AC =6cm ，求⊙O 的半径．22.如图所示，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且BC//OD，过点D作DE⊥AB 于点E．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若BC=3，DE=2，求⊙O的半径长．23.如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施．（1）求拱桥所在圆的半径；（2）若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN=2m，通过计算说明是否需要采取紧急措施．。

九年级数学上册《垂直于弦的直径》练习题含答案

九年级数学上册《垂直于弦的直径》练习题复习巩固1．下列说法中正确的是( )A ．直径是圆的对称轴B ．经过圆心的直线是圆的对称轴C ．与圆相交的直线是圆的对称轴D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴2．如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不一定成立的是( )A ．∠COE =∠DOEB ．CE =DEC ．OE =BED ．BD BC3．如图所示，O 的弦AB 垂直平分半径OC ，则四边形OACB是( )A ．正方形B ．长方形C ．菱形D ．以上答案都不对4．如图，AB 是O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6cm ，OD ＝4cm ，则DC 的长为( )A ．5cmB ．2.5cmC ．2cmD ．1cm5．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，AB ＝10cm ，CD ＝6cm ，则AC 的长为( )A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm6．右图是一个单心圆隧道的截面，若路面AB 宽为10m ，拱高CD 为7m ，则此隧道单心圆的半径OA 是( )A ．5mB ．377m C ．375m D ．7m7．已知O中，弦AB的长为6cm，圆心O到弦AB的距离为4cm，则O的直径为__________cm8．如图，AB，AC分别是O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BC，若BC＝12，则OD＝__________9．如图，在O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为__________．10．如图，在O中，AB，AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，求证：四边形ADOE是正方形．能力提升11．如图，已知O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是()A．2.5 B．3.5C．4.5 D．5.512．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，若点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为__________．13．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则两弦之间的距离为__________．14．在直径为650mm的圆柱形油桶内装进一些油后，其截面如图所示，若油面宽为600mm，求油的最大深度．15．有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？参考答案复习巩固1．B 2.C3．C 由垂径定理知AB 也被OC 平分，所以AB 和OC 互相垂直平分，即四边形OACB 为菱形．4．D 连接OB .∵OC ⊥AB ，AB ＝6cm ，∴BD ＝12AB ＝3cm. ∴OB ＝222243OD BD +=+＝5(cm)．∴OC ＝OB ＝5cm.∴DC ＝OC －OD ＝5－4＝1(cm)．5．D 如图，过O 作OE ⊥AB 于点E ，由垂径定理，得AE ＝12AB ＝12×10＝5(cm)，CE ＝12CD ＝12×6＝3(cm)．所以AC ＝AE －CE ＝5－3＝2(cm)．6．B 根据题意，得AD ＝DB .所以AD ＝5m ，OD ＝CD －OC ＝7－OA .在Rt △ADO 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，即OA 2＝52＋(7－OA )2，解得OA ＝377m.7．10 8．69．24 连接OD ，∵AM ＝18，BM ＝8，∴OD ＝18822AM BM ++=＝13. ∴OM ＝13－8＝5.在Rt △ODM 中，222213512DM OD OM =-=-=.∵直径AB ⊥弦CD ，∴CD ＝2DM ＝2×12＝24.10．证明：∵OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴∠OEA ＝90°，∠EAD ＝90°，∠ODA ＝90°.∴四边形ADOE 为矩形．由垂径定理，得AE ＝12AC ，AD ＝12AB . 又AC ＝AB ，∴AE ＝AD .∴四边形ADOE 为正方形．能力提升11．C 如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，则由垂径定理得AC ＝12AB ＝3.在Rt △OAC 中，由勾股定理得OC ＝22OA AC ＝4，∵OC ≤OM ≤OA ，即4≤OM ≤5，∴线段OM 的长可能是4.5.故选C.12．(6,0) 过点P 作PC ⊥AB 于点C ，∵AC ＝BC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴OB ＝OC ＋BC ＝4＋2＝6.∴点B 的坐标为(6,0)．13．1cm 或7cm 已知两条平行弦的长，求两弦之间的距离，这两条弦可能在圆心的同侧也可能在圆心的两侧(如图所示)，因此应分两种情况讨论．(1)当两弦在圆心的同侧时，如图①，作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N .∵AB ∥CD ，∴OM ⊥CD .∴MN 即为所求的距离．连接OB ，OD ，这时OB ＝OD ＝5cm ，AM ＝BM ＝12AB ＝3cm ，ND ＝CN ＝12CD ＝4cm.在Rt △OBM 中， 2222534OM OB BM =-=-=(cm)．在Rt △ODN 中，2222543ON OD DN =-=-=(cm)．∴MN ＝OM －ON ＝1(cm)．故当两弦在圆心的同侧时，两弦之间的距离为1cm.(2)当两弦在圆心的两侧时，如图②，作OM ⊥AB 于点M ，延长MO 交CD 于点N . ∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .∴MN 即为所求的距离．同样地，可以求出OM ＝4cm ，ON ＝3cm.∴MN ＝OM ＋ON ＝4＋3＝7(cm)．故当两弦在圆心的两侧时，两弦之间的距离为7cm.14．解：作OD ⊥AB ，交O 于点D ，垂足为点C ，连接AO .∵OD ⊥AB ，OD 为半径，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×600＝300(mm)．在Rt △AOC 中，22226503001252OC AO AC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(mm)，因此CD ＝OD －OC ＝325－125＝200(mm)．故油的最大深度为200mm.15．解：判断货船能否顺利通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住．如图所示，用AB 表示拱桥，计算出FN 的长度，若FN ＞2m ，则货船可以顺利通过这座拱桥；否则，货船不能顺利通过这座拱桥．设拱桥AB的圆心为O，连接OA，OB，作OD⊥AB于点D，交AB于点C，交MN于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA＝r m，则OD＝OC－DC＝r－2.4(m)，AD＝1AB＝3.6(m)．2在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△O HN中，2222=--=(m)．OH ON NH3.9 1.5 3.6所以FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．因为2.1m＞2m，所以货船能够顺利通过这座拱桥．。

人教版九年级上2412垂直于弦的直径同步练习含答案解析

2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习24.1.2垂直于弦的直径一•选择题（共15小题）1 .下列说法中正确的是（）A. 平分弦的直径一定垂直于弦B. 长度相等的弧是等弧C•平行弦所夹的两条弧相等D.相等的圆心角所对的弦相等2. 如图O的半径为6,直径CD过弦EF的中点G,若/ EOD=60,则弦CF的长等于（）A. 6B. 6 —C. 3 —D. 93. 如图，在。

O中，直径AB丄弦CD,垂足为M，则下列结论一定正确的是（）ABA. AC=CDB. OM=BMC.Z A= . / ACDD.Z A=. / BOD4 .如图，AB是。

O 的直径，AB丄CD于E, AB=10, CD=8,则BE%( )A. 2B. 3C. 4D. 3.55. 如图，在O O中，弦AB的长为16cm,圆心O到AB的距离为6cm,则O O截面圆心O 到水面的距离OC 是（10.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一B . 10cm C. 8cm D . 20cm6. 在半径为25cm 的。

O 中，弦AB=40cm,则弦AB 所对的弧的中点到 AB 的距离是（）A . 10cmB . 15cmC. 40cm 7.下列说法中正确的个数有（）① 相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦；③ 圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④ 直径是弦；⑤ 长度相等的弧是等弧.D . 10cm 或 40cmD . 4个8 .如图，O O 过点B C,圆心O 在等腰Rt A ABC 的内部，/ BAC=90, OA=2 BC=8则O O 的半径为（B . 5C.下 D . 69.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=1O,水面宽 AB=16,则B . 5 D . 6的半径是（A . 6cm A . 4千多年，其中有这样一个问题：今有圆材埋在壁中，不知大小•以锯锯之，深一寸，锯道长一尺•问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦AB=1 尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A. 13 寸B. 6.5 寸C. 26 寸D. 20 寸11•如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm 12 .把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm则球的半径长是（）;I\ /\ /* _* I8 CA. 2 cmB. 2.5 cmC. 3 cmD. 4 cm13.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m,拱高CD=4m,则圆弧形桥拱所在圆的半径为（）疋—L_____ 卫A D BA. 6 mB. 8 mC. 10 mD. 12 m14.如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块咼为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（)15.圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，今有圆材，埋在壁中,不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？ ”用现代的数学语言表示是：如图，CD 为O O 的直径，弦 AB 丄CD,垂足为E, CE=1寸，AB=10 寸，求直径CD 的长”依题意，CD 长为( )二.填空题(共10小题)16.如图，在O O 中，半径0C 丄弦AB,垂足为点D ，AB=12, CD=2则O O 半径的长为 ___________ .17 .如图，AB 是O O 的弦，OC 丄AB 于点C ,且AB > OC,若OC 和AB 是方程x 2 -11x+24=0的两个根，则O O 的半径OA= _______ .19.在平面直角坐标系中，过三点 A (0, 0), B (2, 2), C (4, 0)的圆的圆心坐标为 _____________ .B . 12cm C. 16cm D . 20cm △ 寸 A .寸 B. 13 寸 C. 25 寸 D. 26 寸 DA . 8cm320.如图，AB是。

人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》基础练习

《垂直于弦的直径》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．82．（5分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）A．7B．17C．7或17D．343．（5分）如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，半径为25，则弦AB 的长为（）A．24B．14C．10D．74．（5分）如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB ＝（）A．6B．8C．10D．125．（5分）如图所示，⊙O的直径为20，弦AB的长度是16，ON⊥AB，垂足为N，则ON 的长度为（）A．4B．6C．8D．10二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是cm．7．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．8．（5分）在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为cm．9．（5分）过⊙O内点M的最长弦长为20cm，最短弦长为16cm，那么OM的长为cm．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y ＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．12．（10分）已知⊙O的半径r＝4，AB、CD为⊙O的两条弦，AB、CD的长分别是方程x2﹣（4+4）x+16＝0的两根，其中AB＞CD，且AB∥CD，求AB与CD间的距离．13．（10分）已知点A，B，C都在⊙O上，且AB＝AC，圆心O到BC的距离为6cm，圆的半径为14cm，求AB的长．14．（10分）如图在⊙O中，AB为直径，过OB的中点D作CD⊥AB交⊙O于C，M为CD 的中点，且CD＝，连接AM并延长交⊙O于N．（1）求∠ANC的大小；（2）求弦CN的长．15．（10分）如图，已知AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，AB被CD分成3厘米、14厘米两段（AE＜EB），求点O到CD的距离．《垂直于弦的直径》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，关键勾股定理求出AC长，根据垂径定理得出AB＝2CA，代入求出即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则OC＝3，OA＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AB＝2AC＝8，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，关键是①正确作辅助线，②求出AC的长，题目比较典型，难度不大．2．（5分）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）A．7B．17C．7或17D．34【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB、CD的弦心距OE、OF，再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论．【解答】解：如图，AE＝AB＝×24＝12，CF＝CD＝×10＝5，OE＝＝＝5，OF＝＝＝12，①当两弦在圆心同侧时，距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；②当两弦在圆心异侧时，距离＝OE+OF＝12+5＝17．所以距离为7或17．故选：C．【点评】先构造半径、弦心距、半弦长为边长的直角三角形，再利用勾股定理求弦心距，本题要注意分两种情况讨论．3．（5分）如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，半径为25，则弦AB 的长为（）A．24B．14C．10D．7【分析】连接OA，根据垂径定理得到AE＝EB，根据勾股定理求出AE，得到答案．【解答】解：连接OA，∵CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，∴AE＝EB，由题意得，OE＝OC﹣CE＝24，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AB＝2AE＝14，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4．（5分）如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，且OC＝5cm，DC＝2cm，则AB ＝（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接OA，根据垂径定理得到∠ODA＝90°，AD＝BD，根据勾股定理求出AD，计算即可．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴∠ODA＝90°，AD＝BD，由题意得，OD＝OC﹣CD＝3，在Rt△OAD中，AD＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．5．（5分）如图所示，⊙O的直径为20，弦AB的长度是16，ON⊥AB，垂足为N，则ON 的长度为（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．【解答】解：由题意可得，OA＝10，∠ONA＝90°，AB＝16，∴AN＝8，∴ON＝，故选：B．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是6cm．【分析】连接OA，作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC＝BC＝AB＝8，然后根据勾股定理计算OC的长即可．【解答】解：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝8，在Rt△AOC中，OC＝＝＝6，即点O到弦AB的距离为6cm．故答案为6．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（5分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为5．【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．【解答】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，直径AB过O，∴DE＝CE＝CD＝×8＝4，∠OED＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝5，即⊙O的半径为5．故答案为：5．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．8．（5分）在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为13 cm．【分析】先画图，由于OC⊥AB，根据垂径定理可知AC＝BC＝AB＝12，再利用勾股定理易求OA．【解答】解：如图所示，O到弦AB的距离为OC，连接OA，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝12，在Rt△AOC中，OA＝＝＝13．故答案是13．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是求出AC（知道垂直于弦的直径平分弦）．9．（5分）过⊙O内点M的最长弦长为20cm，最短弦长为16cm，那么OM的长为6cm．【分析】据垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB最短的是垂直平分直径的弦CD已知AB＝20cm，CD＝16cm则OD＝10cm，MD＝8cm由勾股定理得OM＝＝6cm．故答案为6．【点评】此题主要考查学生对垂径定理及勾股定理的运用．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线y ＝kx﹣2k+3（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为4．【分析】易知直线y＝kx﹣2k+3过定点D（2，3），运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．【解答】解：对于直线y＝kx﹣2k+3＝k（x﹣2）+3，当x＝2时，y＝3，故直线y＝kx﹣2k+3恒经过点（2，3），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH＝2，DH＝3，OD＝＝．∵点A（5，0），∴OA＝5，∴OB＝OA＝5．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD＝2＝2×＝4．故答案为4．【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点（3，4）以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．【分析】作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，根据垂径定理得出PB＝DQ，PC＝QE，根据HL证得RT△OPB≌RT△OQD，RT△OP A≌RT△OQA，得出AP ＝AQ，进而即可证得结论．【解答】证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝BC，DQ＝DE，∵BC＝DE，∴PB＝DQ，PC＝QE，在RT△OPB和RT△OQD中，，∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），∴OP＝OQ，在RT△OP A和RT△OQA中，，∴RT△OP A≌RT△OQA（HL），∴AP＝AQ，∴AP+PC＝AQ+QE，即AC＝AE．【点评】本题考查了垂径定理和三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．12．（10分）已知⊙O的半径r＝4，AB、CD为⊙O的两条弦，AB、CD的长分别是方程x2﹣（4+4）x+16＝0的两根，其中AB＞CD，且AB∥CD，求AB与CD间的距离．【分析】先解方程，发现常数项16可拆分为4×4，故能用因式分解法解方程，得到两弦长．过圆心分别作两弦的垂线，根据垂径定理可得垂足为弦的中点，再利用勾股定理即能求弦心距．画图分析，若两弦分别在圆心两侧，则两弦之间的距离为两弦心距之和；若两弦在圆心同侧，则距离为两弦心距之差．【解答】解：解方程x2﹣（4+4）x+16＝0（x﹣4）（x﹣4）＝0∴x1＝4，x2＝4∵AB、CD的长分别是方程的两根且AB＞CD∴AB＝4，CD＝4过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA、OC∴∠AEO＝∠CFO＝90°，AE＝AB＝2，CF＝CD＝2∵OA＝OC＝r＝4∴OE＝OF＝若AB、CD在圆心O的两侧，如图1，则EF＝OE+OF＝2+2若AB、CD在圆心O的同侧，如图2，则EF＝OF﹣OE＝2﹣2∴AB与CD间的距离为2+2或2﹣2【点评】本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，考查了分类讨论思想．根据弦与圆心的位置作分类讨论是解题关键，也是垂径定理的常规题．13．（10分）已知点A，B，C都在⊙O上，且AB＝AC，圆心O到BC的距离为6cm，圆的半径为14cm，求AB的长．【分析】此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD 的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长．【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长到BC于点D，∵AB＝AC，O为外心，∴AD⊥BC，在Rt△BOD中，∵OB＝14，OD＝6，∴BD＝＝＝4．在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝4（cm）；如图2，当△ABC是钝角三角形时，连接AO交BC于点D，同理得：BD＝4．∴AD＝14﹣6＝8，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB＝＝＝4（cm）．综上所述，AB的长是4cm或4cm．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、垂径定理和勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．14．（10分）如图在⊙O中，AB为直径，过OB的中点D作CD⊥AB交⊙O于C，M为CD 的中点，且CD＝，连接AM并延长交⊙O于N．（1）求∠ANC的大小；（2）求弦CN的长．【分析】（1）连接OC，根据已知条件得到OD＝OB＝OC，根据三角形的内角和得到∠COD＝60°，由邻补角的定义得到∠AOC＝120°，于是得到∠ANC＝∠AOC＝60°，；（2）连接AC，由的第三轮得到OC＝＝2，AM＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）连接OC，则OC＝OB，∵D是OB的中点，∴OD＝OB＝OC，∵CD⊥AB，∴∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠ANC＝∠AOC＝60°，；（2）连接AC，∴OC＝＝2，∴OD＝1，∴AD＝3，∴AC＝2，∴AM＝＝，∵∠CAO＝∠ACO＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠N，∵∠CAM＝∠NAC，∴△ACM∽△ANC，∴＝，即＝，∴CN＝．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（10分）如图，已知AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，AB被CD分成3厘米、14厘米两段（AE＜EB），求点O到CD的距离．【分析】过O作OM⊥CD，ON⊥AB，易知四边形ONEM是矩形，所以ON＝EM，再根据垂径定理和已知数据求出EM的长即可得到ON的长，即圆心O到AB的距离．【解答】解：过O作OM⊥CD，ON⊥AB，∴∠ONE＝∠OME＝90°，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠NEM＝90°，∴四边形ONEM是矩形，∴ON＝EM，∵ON⊥AB，∴AN＝BN＝AB，∵AE＝3cm，BE＝14cm，∴AB＝17cm，∴AN＝8.5cm，∴EN＝AN﹣AE＝5.5cm，∴OM＝EN＝5.5cm，∴圆心O到CD的距离是5.5cm．【点评】本题考查了垂径定理、矩形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．。

人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》拓展练习

《垂直于弦的直径》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（）A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．64．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为．7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面米．8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸．9．（5分）如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是mm．10．（5分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB 为6m，则桥拱半径OC为m．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？12．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．13．（10分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．14．（10分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？15．（10分）在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？《垂直于弦的直径》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（）A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC 中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，∵AB＝16，∴BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBE中，∵OB＝10，BC＝8，∴OC＝＝6，∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝8，OD＝13，∴OC＝5，又∵OB＝13，∴Rt△BCO中，BC＝＝12，∴AB＝2BC＝24．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．6【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键．4．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝8﹣x，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．【解答】解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设B半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．【解答】解：∵CD⊥AB，AB＝10米，由垂径定理得AD＝5米，设圆的半径为r，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，即（7﹣r）2+52＝r2，解得r＝米．故选：D．【点评】考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为1米．【分析】根据垂径定理和勾股定理解答即可．【解答】解：设该圆形门洞的半径为r，∵AB过圆心O，且垂直CD于点B，连接OC，在Rt△OCB中，可得：r2＝（1.8﹣r）2+0.62，解得：r＝1，故答案为：1米【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面 6.3米．【分析】连接OA．由垂径定理可知AD＝DB＝2.1，利用勾股定理求出OD即可解决问题．【解答】解：连接OA．∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝2.1米，在Rt△AOD中，OD＝＝＝2.8（米），∴CD＝OC+OD＝6.3（米）故答案为6.3．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于26寸．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD 的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．故答案为：26．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．9．（5分）如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是200mm．【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径为1000mm，∴OA＝OA＝500mm．∵OD⊥AB，AB＝800mm，∴AC＝400mm，∴OC＝＝300mm，∴CD＝OD﹣OC＝500﹣300＝200（mm）．答：水的最大深度为200mm．故答案为：200．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．10．（5分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB 为6m，则桥拱半径OC为5m．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：连接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝3，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即OC2＝（9﹣OC）2+32，故答案为：5．【点评】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．12．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC ∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．【分析】（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．解直角三角形分别求出OG，OH即可解决问题；（2）设盒子的高为xcm．根据S MNPQ＝9，构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．∵EF∥BC，∴OH⊥EF，∴BG＝BC，EH＝EF∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．（2）设盒子的高为xcm．由题意：（22﹣2x）•＝9解得x＝8或12.5（舍弃），∴MQ＝6，MN＝1.5∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，∴能装入盒子．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，翻折变换，一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（10分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，∵水管水面上升了0.2m，∴OF＝0.8﹣0.2＝0.6m，∴CF＝＝0.8m，∴CD＝1.6m．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14．（10分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？【分析】如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O 于F，连接OF．求出FK的值与4.9比较即可判断．【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接OF．易知四边形OHKN是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝OD＝5，在Rt△OHF中，FH＝＝＝3，∵HK＝BC＝2.5，∴FK＝2.5+3＝5.5，∵5.5＞4.9，∴这辆卡车能安全通过这个隧道．【点评】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（10分）在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？【分析】①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，根据垂径定理求出AF的长，根据勾股定理求出OF，计算即可；②连接OC，根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出答案．【解答】解：①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，∴AF＝AB＝8，由勾股定理得，OF＝＝15，则GF＝OG﹣OF＝2dm；②连接OC，∵OE⊥CD，∴CE＝EF＝15，OE＝＝8，则EF＝OG﹣OE﹣FG＝7dm，答：油的最大深度上升了7dm．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．。

人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》同步测试题含答案

人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》同步测试题含答案一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法正确的是( )A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于直径的弦平分这条直径D. 弦的垂直平分线经过圆心2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是 ( )A. CM =DMB. CB ⌢=DB ⌢C. AC ⌢=AD ⌢D. OM =MB3.如图，A 是⊙O 上一点，连接OA ，弦BC ⊥OA 于点D.若OD =2，AD =1则BC 的长为 ( )A. 2√ 5B. 4C. 2√ 3D. 2√ 24.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC =5 cm ，CD =8 cm 则AE 的长为 ( )A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm5.已知⊙O 的直径CD =100cm ，AB 是⊙O 的弦AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB =96cm ，则AC 的长为( )A. 36cm 或64cmB. 60cm 或80cmC. 80cmD. 60cm6.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 长的取值范围是 ( )A. 4≤OM ≤5B. 3≤OM <5C. 3<OM ≤5D. 3≤OM ≤57.如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，且AB=4，CD=6，AB，CD之间的距离为5，则⊙O的直径是( )A. √ 13B. 2√ 13C. 8D. 108.如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )A. 10cmB. 16cmC. 24cmD. 26cm9.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB=10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD 是( )（9题）（10题）A. 3dmB. 4dmC. 5dmD. 6dm10.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB=8，OC=3，则EC的长为( )A. 2√ 15B. 8C. 2√ 10D. 2√ 13二、填空题：11.在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为．12.下列说法：①经过圆心的直线是圆的对称轴；②直径是圆的对称轴；③圆的对称轴有无数条；④当圆绕它的圆心旋转180∘时，仍会与原来的圆重合.其中正确的有.(填序号)13.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm．（13题）（14题）14.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1则⊙O的半径为．15.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15∘，半径为2，则弦CD的长为．（15题）（16题）（17题）16.如图，在半径为10cm的⊙O中AB=16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于cm．17.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，且PA=1，PB=5，∠DPB=30∘则CD的长为．18.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为m.(保留整数)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

人教版九年级上册数学 24.1.2垂直于弦的直径同步练习(含答案)

24.1.2垂直于弦的直径同步练习一．选择题1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（）A．5 B．4 C．D．23．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）A．13 B．24 C．26 D．285．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 6．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB 与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．3D．67．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm．A．350 B．700 C．800 D．4008．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（）A．5.5 B．6 C．7.5 D．89．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE 的长为（）A．B．8 C．D．10．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O 的半径为（）A．B．2 C．2D．4二．填空题11．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．12．在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝．13．如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为．14．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．三．解答题16．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．17．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．18．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．参考答案1．解：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，BE＝＝＝4，故选：B．2．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．3．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．4．解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：∴AC＝AB＝×10＝5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB，设AB＝OB＝OA＝rm，∵点C是的中点，∴OC⊥AB，∴C，D，O三点共线，∴AD＝DB＝rm，在Rt△AOD中，∴OD＝r，∵OD+CD＝OC，∴r+5＝r，解得：r＝（20+10）m，∴这段弯路的半径为（20+10）m故选：D．6．解：作OE⊥AB于点E，∵⊙O的半径为6，弦CD＝6，∴OC＝OD＝CD，∴△DOC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵OA＝6，OE⊥AB，∴AE＝OA•cos30°＝6×＝3，∴AB＝2AE＝6，故选：D．7．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，解得，x＝400，∴2x＝800，答：车轱辘的直径为800mm．故选：C．8．解：连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，∴∠ADC＝∠FDB，∴∠ADF＝∠CDB，∴，∴AF＝BC＝12，∵∠DAF＝90°，∴DF＝，∴⊙O的半径为7.5．故选：C．9．解：连结BE，如图，∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，∴AE＝2r＝10；∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．故选：D．10．解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°又∵OC＝OD，∴∠ODP＝∠OCP，∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODB＝45°+∠ODC，∴∠NDO＝∠COM，在Rt△ODN与Rt△COM中，，∴Rt△ODN≌Rt△COM，∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8∴OC2＝4，∴OC＝2，故选：B．11．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．12．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，如图1，在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，∴OE＝＝1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∴PE＝PF＝1，∴P A＝PC＝1，∴S△APC＝＝；如图2，同理：S△APC＝＝；如图3，同理：S△APC＝＝；故答案为：或或．13．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，∵AB＝CD，∴OE＝OF，而OE⊥AB，OF⊥CD，∴PO平分∠BPD，∴∠APO＝∠OPC，∵OA∥PC，∴∠AOP＝∠OPC，∴∠APO＝∠AOP，∴P A＝AO＝5，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝3，在Rt△POE中，PO＝＝3．故答案为3．14．解：连接BE．∵BC是直径．∴∠AEB＝∠BEC＝90°在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．∵＝5∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．又∵BE2＝BF•BC即：30x2＝60解得：x＝，∴EC2＝FC•BC＝6x2＝12∴EC＝2，∴AC＝AE+EC＝2+2，∵AD•AB＝AE•AC∴AD＝＝＝．故答案为．15．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．16．解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴AC为直径．∴∠ADC＝90°．∵AE＝DE，DE⊥AB，∴∠DAB＝∠ADE＝45°．∴∠BCF＝∠DAB＝45°．∴BC＝BF＝3．在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，∴EF＝ED＝1．∴AB＝5．∴AC＝＝．∴⊙O半径的长．17．解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．18．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠CEF＝∠BFO＝90°∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得（舍弃）或，∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．。

新人教版初中数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径精编习题

24．1．2 垂直于弦的直径一、课前预习 (5分钟训练)1如图24-1-2-1，AB是⊙O的弦，D是⊙O的直径，D⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24-1-2-32圆中一条弦把和它垂直的直径分成 3 c和 4 c两部分，则这条弦弦长为__________3判断正误(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦4圆O的半径OA=6OA的垂直平分线交圆O于B、那么弦B的长等于___________ 二、课中强化(10分钟训练)1圆是轴对称图形，它的对称轴是______________2如图24-1-2-2，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________3在图24-1-2-3中，弦AB的长为24 c，弦心距O=5 c，则⊙O的半径R=__________ c4如图24-1-2-4所示，直径为10 c的圆中，圆心到弦AB的距离为4 c求弦AB 的长图24-1-2-4三、课后巩固(30分钟训练)1如图24-1-2-5⊙O的半径OA=3以点A为圆心OA的长为半径画弧交⊙O于B、则B等于( )A32 B33223D233图24-1-2-5 图24-1-2-62如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径O⊥AB于点D，且AB=8 c，O=5 c，则OD 的长是( )A3 c B25 c 2 c D1 c3⊙O半径为10，弦AB=12，D=16，且AB∥D求AB与D之间的距离4如图24-1-2-7所示，秋千链子的长度为3 ，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面05 秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-75“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图24-1-2-8(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图24-1-2-8(1)最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2)那么这个圆拱所在圆的直径为___________米图24-1-2-86如图24-1-2-9，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、(1)用尺规作图法，找出弧BA所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△AB为等腰三角形，底边B=10 c，腰AB=6 c，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜(、n为正整数)，试估算和n的值图24-1-2-97⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可。

【人教版】数学九年级全一册24.垂直于弦的直径——垂径定理随堂练习(课件版)

⊙O 的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O 的半径为
5，则弦 AB 与弦 CD 的4 或 3
D．7 或 1
(2)如图，点 P 是半径为 5 的⊙O 内的一点，且 OP＝
3，在过点 P 的所有弦中长度为整数的弦的条数有
_______4_______．
三级检测
5.如图，CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，则下列结论
不一定成立的是( B )
A.EA＝EB B.EO＝ED
⌒ C.DA
＝D⌒B
⌒ D.CA
＝C⌒B
6.如图，在⊙O 中，半径 OC⊥AB 于点 E，AE＝2，
则下列结论正确的是( D )
A.OE＝2 B.EC＝2 C.AB 垂直平分 OC D.OC 垂直平分 AB
(2)解：由(1)可知，OE⊥AB 且 OE⊥CD，连接 OC，OA，如图．
由题意，得 OE＝6. 在 Rt△OCE 中， CE＝ OC2－OE2 ＝ 82－62 ＝2 7 ，在 Rt△OAE 中， AE＝ OA2－OE2 ＝ 102－62 ＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7 .
10.【分类讨论思想】(1)(青海中考)已知 AB，CD 是
3.如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，AB＝8，OE ＝3，求⊙O 的半径及 ED 的长．
解：如图，连接 OB. ∵AB＝8，CD⊥AB，∴EB＝82 ＝4. 在 Rt△OEB 中， OB＝ OE2＋EB2 ＝5. ∴⊙O 的半径为 5. ∴ED＝OD－OE＝2.
利用垂径定理解决问题的方法总结
4.【教材习题】如图所示，AC，AB 是⊙O 的弦，AC ＝AB，且 AC⊥AB，若 OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为 D，E.求证：四边形 ADOE 是正方形．

24.1.2 垂直于弦的直径人教版数学九年级上册堂堂练(含答案)

24.1.2垂直于弦的直径—2023-2024学年人教版数学九年级上册堂堂练1.下列说法中，不正确的是( )A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆有无数条对称轴C.圆的每一条直径都是它的对称轴D.圆的对称中心是它的圆心2.下列说法正确的是( )A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于直径的弦平分这条直径D.弦的垂直平分线经过圆心3.如图，一座石拱桥是圆弧形，其跨度米，所在圆的半径为13米，则拱高CD 为( )A.米B.5米C.7米D.8米4.如图，是的直径，弦于点E，下列结论中，错误的是（）A. B. C. D.5.P为内一点，，半径为5，则经过P点的最短弦长为( )A.5B.6C.8D.106.给出下列说法：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③平分弦所对的一条弧的直径不一定平分另一条弧；④平分任意一条弦所对的两条弧的弦一定是直径.其中正确的是_____.（填序号）7.在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是____________cm.8.如图，已知在中，AB,CD两弦互相垂直，E为垂足，AB被分成4cm和10cm两段.(1)求圆心O到CD的距离；(2)若的半径为8cm，求CD的长.答案以及解析1.答案：C解析：A选项，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项正确；B选项，圆有无数条对称轴，此选项正确；C选项，圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，此选项错误；D选项，圆的对称中心是它的圆心，此选项正确.故选C.2.答案：D解析：A.垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；C.垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；D.弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确.故选D.3.答案：D解析：如图，设点O为圆心，连接OA,OD.由题意可知，，米.由垂径定理可知，米，勾股定理可知，米，米.故选D.4.答案：C解析：是O的直径，弦，，，.根据已知不能推出，即只有选项C中结论错误，选项A、B、D中结论都正确故选C.5.答案：C解析：解：在过点P的所有的弦中，如图，当弦与OP垂直时，弦最短，此时，得其半弦长为4，则弦长是8，故选：C.6.答案：①④解析：由垂径定理，知①正确；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②错误；平分弦所对的一条弧的直径一定平分另一条弧，故③错误；易知④正确.综上，正确的是①④.7.答案：48解析：连接OC、OA.则于点D，，.在直角中，，则.故答案是：48.8.答案：(1)3(2)解析：(1)根据垂径定理，得，因为，所以(2)连接OD,，所以。

20201116初三数学(人教版)24.1.2垂直于弦的直径(3)-4练习题

课程基本信息
课例编号2020QJ09SXRJ051学
科
数学年级
九年
级
学期
第一学
期
课题24.1.2 垂直于弦的直径（3）
教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》
出版社：人民教育出版社出版日期：2014年6月
学生信息
姓名学校班级学号
课后练习
请同学们在作业本上完成下面两道课后作业：
1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点
O是这段弧所在圆的圆心，AB=300m，C是AB
上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45m，求这
段弯路的半径.
2. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智
慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，2.5 m为半径的圆，且圆心在水面上
方．若圆被水面截得的弦AB长为4m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
图1
图2。

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最新人教版初中数学九年级上册精品习题：《垂直于弦的直
径》练习
1. 已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？
2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。

600
3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD 相交于点E。

你认为图中有哪些相等的线段？为什么？
B
4. 如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，
C
E O
A D B
C
A P O
D
OP=3，则弦CD=____________________。

5. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。

6. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD⊥AB，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。

（4）题图（5）题图（6）题图
7. 如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。

8. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。

9. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5
C. 3＜OM ＜5
D. 4＜OM ＜5
（7）题图（8）题图（9）题图 10. 下列说法中，正确的是（）
A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内
B. 圆的半径垂直于圆的切线
C. 圆周角等于圆心角的一半
D. 等弧所对的圆心角相等 11. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（）
A. 45°
B. 90°
C. 135°
D. 270° 12. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（）
A. 140°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
13. △ABC 中，∠C=90°，AB=，BC=，以点A 为圆心，以长为半径画
圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________；cm 4cm 2cm 5.3
14. 圆的半径等于，圆内一条弦长2，则弦的中点与弦所对弧的中点
的距离等于_____________；cm 23cm
15. 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，AC 为弦，OD∥BC 交AC 于
D ，OD=，求BC 的长；cm 2
A B
16. 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于
点C ，交弦AB 于点D 。

已知：AB ，CD 。

cm 24=cm 8=
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径。

17. 已知：如图所示，Rt△ABC 的两直角边BC=3cm ，AC=4cm ，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以r1=2cm ，r2=2.4cm ，r3=3cm ，为半径作圆，试判断点D 与这三个圆的位置关系。

B
18. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，D 是AB 边的中点，以点C 为圆心，4cm 为半径作圆。

则A 、B 、C 、D 四点在圆内有_____________。

19. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。

（1）顶角A 等于多少度时，A 在圆D 上？（2）顶角A 等于多少度时，A 在圆
D 内部？（3）顶角A 等于多少度时，A 在圆D 外部？
20. 在半径为5cm 的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm ，CD=8cm ，求弦AB 与CD 之间的距离。

21. 如图所示，圆O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°，求CD 。

A
B
22. 圆O 中若直径为25cm ，弦AB 的弦心距10cm ，求弦长。

23. 若圆的半径2cm，圆中一条弦长1cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间的距离？
24. 圆内一条弦与直径的交角为30°，且分直径为1cm和5cm两段，求弦心距，弦长？
25. 半径为5cm的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________，最长弦是__________，
26. 如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆心角的两边分别交于点A、B、C、D求证：PB=PD，若角的顶点P在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明。

参考答案
1. 过点O 作于E O E C D ⊥
∴=C E E D
∴=∴≅∴=A D D B A O E B O E
A O O
B ∆∆
2. 175mm
3. 略
4. 8
5. 2
6. 7. 3.6 8. 120 9. B 42
10. D 11. A 12. D 13. 内部、外部
14. 15. BC=4cm 16. （1）图略
（2）13c m c m 或13c m
17. 外、上、内 18. C 、D 19. （1）；∠=A 90°
（2）为钝角；（3）为锐角。

∠A ∠A
20. 21. 22. 15cm 23.
71c m c m 或C D c m =215()415
2-c m
24. 25. 142c m c m ；610c m c m ，
26. （1）证明：过O 作O E P B E O F P D F ⊥⊥于，于
O P E P F O E O F P E P F A B C D B E D F
P E B E P F D F P B P D 平分，，则∠∴==∴==∴+=+∴=
（2）上述结论仍成立：
如下图所示
证明略。

A A
E E
P O P O
F F
C C
P A=P C P A=P C
9 / 9 9 / 9。