线性代数下07极小多项式与不变子空间
不变子空间的交还是不变子空间证明
不变子空间的交与不变子空间证明一、不变子空间的交在线性代数中,我们经常会接触到不变子空间的概念。
不变子空间是指在线性变换下保持不变的向量子空间。
而不变子空间的交,指的是两个线性变换的不变子空间的交集。
在这里,我们将探讨不变子空间的交的相关概念和性质。
1. 定义和性质当我们考虑两个线性变换T1和T2时,它们的不变子空间分别为V1和V2。
那么不变子空间的交V1∩V2就是同时属于V1和V2的向量的集合。
不变子空间的交是同时关于T1和T2的不变的向量的集合。
不变子空间的交有以下几个性质:- 不变子空间的交仍然是一个子空间;- 不变子空间的交的维数小于等于每个不变子空间的维数之和;- 如果T1和T2的不变子空间的交的维数等于它们的和,那么这两个不变子空间的交就是直和。
从性质上看,不变子空间的交具有一定的规律和特点,这为我们进一步的研究和应用提供了基础。
2. 应用和意义不变子空间的交在实际问题中具有重要的应用。
在矩阵的相似性问题中,我们需要考虑到矩阵的不变子空间以及它们的交,这对于我们判断矩阵相似性具有一定的帮助和指导。
在研究线性变换的结构和特性时,不变子空间的交也扮演着重要的角色。
我们可以通过研究不变子空间的交来理解线性变换的相互影响和作用,进而更深入地理解线性代数的相关理论。
二、不变子空间证明在线性代数的学习中,不变子空间的证明是我们经常遇到的问题之一。
要证明一个向量子空间是线性变换的不变子空间,需要我们进行严密的推理和论证。
下面,我们将介绍一些关于不变子空间证明的方法和技巧。
1. 直接证明法直接证明法是最常见的一种方法。
我们假设一个向量子空间W是线性变换T的不变子空间,然后通过对T(W)中的向量进行分解和推理,来证明T(W)也是W的子空间。
这种方法直接而且易于理解,是不变子空间证明的基本方式。
2. 矩阵表示法线性变换可以通过矩阵来表示,而不变子空间的证明也可以通过矩阵的运算来实现。
我们可以将线性变换表示为矩阵A,然后利用矩阵的运算性质和行列式的性质来证明不变子空间的性质。
【线性代数】07-线性函数
【线性代数】07-线性函数1. 线性函数1.1 k重线性函数 前⾯讨论了纯代数意义上的线性空间,在实际场景中,我们经常需要处理向量的度量。
度量⼀般表现为向量的函数,⽐如⾏列式可以看成是n个⾏(列)向量的函数,矩阵之积的每⼀个元素其实就是⼀个⾏向量和⼀个列向量的函数。
严格来讲,对域F上的线性空间V,映射V\times\cdots\times V\mapsto F(k个V)叫做线性空间V上的k元函数,⼀般记作f(\xi_i,\cdots,\xi_k)。
如果函数在每⼀个变量\xi_i上都满⾜线性等式(1),它也叫V上的k重线性函数。
由定义容易知道,如果选定V的⼀组基,k重线性函数可以由\xi_1,\cdots,\xi_k分别取遍这组基所唯⼀确定。
特别地,n维线性空间上的k重线性函数由n^k个独⽴变量完全确定。
所有k重线性函数可以组成F上的线性空间,严格定义你可以⾃⼰给出。
f(\cdots,\xi_{i-1},k_1\alpha+k_2\beta,\xi_{i+1},\cdots)=k_1f(\cdots,\xi_{i-1},\alpha,\xi_{i+1},\cdots)+k_2f(\cdots,\xi_{i-1},\beta,\xi_{i+1},\cdots)\tag{1} 前⾯举的⾏列式和⾏列向量乘法显然都是线性函数,观察这两个例⼦,我们发现线性函数还有⼀个性质可以继续讨论,那就是变量\xi_i,\xi_j位置的交换对函数值的影响。
当然我们只讨论最典型的情况,对任何向量,式(2)恒成⽴的函数叫对称线性函数,⽽式(3)恒成⽴的叫反对称线性函数,这两种情况都是⽐较常见的。
容易证明,对称线性函数变量的顺序可以随意改变,⽽不影响函数的值。
f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{2}f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=-f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{3} 反线性函数中,若\xi_i=\xi_j,则有f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=0,继⽽将某个变量的倍数加到另⼀个变量后,函数的值不变。
不变子空间——精选推荐
在 Im中任取一个向量 (),其中 k1i ,则
i 1
n
( ) ki (i ) km1 (m1 ) kn (n ) . (6)
i 1
因此,Im= L( (m1),, (n )) .从而 Im是有限维的.我们来证 (m1),, (n ) 线性无关.设
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辽东学院教案纸
1V () [u1( ) f1( ) u2 ( ) f2 ( )]()
u1( ) f1( )() u2 ( ) f2 ( )() .
第 7.6.5 页
辽东学院教案纸
课程:高等代数
令 1 u2 ( ) f2 ( )(),2 u1( ) f1( )() ,则
f1( )(1) f1( )[u2 ( ) f2 ( )()] u2 ( )[ f1( ) f2 ( )]() u2 ( )( f ( )()) .
对于 Ker、Im,我们有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理 7.6.2 设 V 是有限维向量空间,∈Hom(V,W),则 Ker
与 Im都是有限维的,并且
dim Ker+dim Im=dimV.
(5)
证 因为 V 是有限维的,所以它的子空间 Ker是有限维的.取
Ker的一个基 1,,m ,把它们扩充成 V 的一个基
1,,m , m1,,n .
则 是单射的,当 且仅当 是满 射.
证 是单射 Ker=0dimIm=dimV=dimWIm=W是满
射.
推论 7.6.2 有限维向量空间 V 上的线性变换是单射的,当且仅
当它是满射 .
请注意,对于有限维向量空间 V 上的线性变换,虽然子空间 Ker
与 Im的维数之和等于 dimV,但是 Ker+Im并不一定是空间 V .例
不变子空间.若当.最小多项式(简介)
不变子空间.若当.最小多项式(简介)§7 不变子空间◎ 本节重点:不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵,但是并不是每个都能对角化的.退一步,对应于准对角形也好;虽然比对角形复杂,但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念.一、定义与例子1.定义:σ∈L(Vn),W是σ的不变子空间⇔W是V的子空间,且∀ξ∈W,有σ(ξ)∈W.简称σ-子空间. (注意:与线性变换有关)2.例子:设σ∈L(Vn),则下列子空间W都是σ的不变子空间: 1)W={0} 2)W=V 3)W=σ-1(0) 4)W=σ(V) 5)W=Vλ0={ξ∈V|σ(ξ)=λ0ξ}A与B是可交换的,则B的核与值域都是A-子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义:设W是σ∈L(Vn)的不变子空间,可只在W中考虑σ,记为σ|W.【意义】缩小了线性变换的范围,从而简化线性变换.因此,如果V可分解为若干σ-子空间Wi的直和,那么对V的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间Wi的直和研究.2.区别:σ|W与σ的作用结果一样,但作用范围不同.即ξ∈W⇒(σ|W)ξ=σξ;ξ∉W⇒(σ|W)ξ无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系(意义)V=W1⊕W2⊕ ⊕Ws,设V可分解为若干个σ-子空间的直和:在每个不变子空间Wi中取基εi,εi, ,εi,i=1,2, s,并把他们合并为V的一组基,则在这组基下,σ的矩阵具有12k⎛A1准对角形⎝⎫⎪⎪,其中Ai,i=1,2, s是A|Wi在对应基下的矩阵. As⎪⎭进一步的,我们有: *四、不变子空间的直和分解定理12:设线性变换σ∈L(Vn)的特征多项式f(λ)可分解成一次因式:f(λ)=(λ-λ1)r(λ-λ2)r (λ-λS)r,则V可以分解成不变子空间的直和: 12SV=V1⊕V2⊕⊕Vs,其中Vi={ξ∈V|(σ-λiE)iξ=0}.r§8 若当(Jordan)标准形介绍若当(Jordan)标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎛λ 1J(λ,t)=0 ⎝000 1000λ 00λ10⎫⎪0⎪⎪(λ是复数;注意对角元相同)⎪0⎪⎪λ⎭2. 若当形矩阵=由若干个若当块(阶数未必相同、λ未必相同)组成(不计顺序)的准对角矩阵. (若当形矩阵中包括对角矩阵)【问题】若当形矩阵的特征值=?.(若当块不计排列顺序)二、主要结论定理13:∀σ∈L(Vn(C)),在V中必定存在一组基,使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. (这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外,是被σ唯一决定的,它称为σ的若当标准形)若用矩阵来描述,即定理14:复数域上,每个方阵都相似于某个若当形矩阵.(好用的结论)三、若当标准形的求法(第八章介绍)【特例】若A可对角化,则若当标准形就是相似的对角矩阵.⎛0【第二届中国大学生数学竞赛预赛2019】设B= 00⎝100030⎫⎪2019⎪, 0⎪⎭证明X2=B无解,这里X为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵,优先考虑它相似于某个Jordan矩阵这个性质,并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义,特别是适用于对角化问题.已知Hamilton-Cayley定理:方阵A的特征多项式是A的零化多项式.要寻找其中次数最低的,这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义:ϕ(x)是方阵A的最小多项式⇔f(A)=0且ϕ(x)次数最低、首项系数为1. 例数量矩阵kE的最小多项式是二、基本性质引理1矩阵A的最小多项式必唯一. 证法带余除法引理2f(x)是A的零化多项式⇔f(x)是A的最小多项式ϕ(x)的倍式,即ϕ(x)|f(x). 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法带余除法⎛1例求A=⎝11⎫⎪2⎪的最小多项式. (x-1) 1⎪⎭【问题】相似矩阵有相同的最小多项式?⎛a 1例 k阶若当块J=⎝a1⎫⎪⎪⎪的最小多项式是⎪a⎪⎭k⨯k(直接计算,(x-a)k)三、主要结论定理数域P上矩阵A可对角化的充要条件是A的最小多项式是P上互素的一次因式的乘积. 推论复数域上A可对角化的充要条件是A的最小多项式无重根.例设A是n阶幂等矩阵,且秩为r.试求A的相似标准形,并说明理由;求2E-A. 解法:由A2=A知A有最小多项式g(λ)=λ2-λ=λ(λ-1)且无重根,所以A相似于对角矩阵,且特征值只能是1或0.又r(A)=r,故存在可逆矩阵P使P⎛ErAP= 0⎝02En-r⎛ErAP= 0⎝0⎫⎪. 0⎪⎭从而 P-1(2E-A)P=2E-P-1⎫n-r⎪⇒2E-A=2. ⎪⎭矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A与B相似,则存在可逆矩阵P使得A=PBP进一步有:当ϕ(x)是多项式时,ϕ(A)=Pϕ(B)P-1.特例:当A相似于对角矩阵时,由Ak=PBkP-1容易计算方幂Ak. 2.求Fibonacci数列通项:an+2=an+1+an(a0=0,a1=1)⎛an+1⎫⎛1解法用矩阵形式表示递推关系式 a⎪⎪=⎝n⎭⎝1⎛1A= 1⎝-1,于是Ak=PBkP-1.1⎫⎛an⎫⎛1⎪ a⎪⎪= 0⎪⎭⎝n-1⎭⎝11⎫⎪0⎪⎭na⎝0⎫⎪⎪⎭'⎛⎫1⎫⎛λ11±51±5-1 ⎪⎪的特征值为λ1,2=,对应的特征向量为,1,PAP=⎪0⎪22⎭⎝⎝⎭⎫⎪λ2⎪⎭nn⎡⎛⎤⎫⎛⎫11+51-5n⎪- ⎪⎥. ⎢由此可求A,即得an=⎪ 2⎭2⎪5⎢⎝⎝⎭⎥⎣⎦3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】(人口流动问题)设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村,十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变,则经过许多年以后,全国人口将会集中在城市吗?解设最初城市、农村人口分别为x0,y0,第k年末人口分别为xk,yk,则⎛x1⎫⎛0.9y⎪⎪=⎝1⎭⎝0.1⎛0.9记A= 0.1⎝0.2⎫⎛x0⎪⎪0.8⎭⎝y0⎛xk⎫⎛0.9⎫⎪,⎪ y⎪⎪= ⎝k⎭⎝0.1⎭0.2⎫⎛xk-1⎫⎪⎪⎪⎪0.8⎭⎝yk-1⎭x0.2⎫⎛xk⎫k⎛0⎫⎪⎪,可得⎪=A ⎪⎪⎪. 0.8⎭yy⎝k⎭⎝0⎭为计算Ak,可考虑把A相似对角化.特征多项式λE-A=(λ-1)(λ-0.7). λ=1对应的特征向量为α1=(2,1)';λ=0.7对应的特征向量为α2=(1,-1)'取P=(α1,α2)= 1⎝k⎛21⎫1⎛1-1⎪ P=,得⎪-1⎭3⎝11⎫⎪⎪-2⎭A⎛1=P 0⎝0⎫1⎛2-1⎪P= 0.7⎪3⎝1⎭kk1⎫⎛1⎪ -1⎪⎭⎝00⎫⎛1⎪ k 0.7⎪⎭⎝11⎫⎪ -2⎪⎭1⎫1⎛2⎪= ⎪-2⎭3 ⎝22⎫⎪ 1⎪⎭k令k→∞,有0.7→0,得A1⎛2→3⎝11⎫⎛1⎪⎪-1⎭⎝00⎫⎛1⎪⎪0⎭⎝1⎛xk⎫1⎛2 ⎪ → 2 y⎪3⎝⎝k⎭⎛2⎫⎪2⎫⎛x0⎫3⎪⎪⎪=(x+y)00⎪⎪1⎭ 1⎪⎝y0⎭⎪⎝3⎭可见当k→∞时,城市与农村人口比例稳定在2:1.定理7:设A为实对称矩阵,则必存在正交矩阵T,使得T'AT=T-1AT为对角阵.(注意:对角元恰好是A的全体特征值)(常用于证明题)[证明思路]:利用对称变换的理论,等价于对称变换有n个特征向量作成标准正交基(见教材).也可用数学归纳法,将实对称矩阵A用两次正交相似变换化为对角阵.证明:设σ在n维欧氏空间V的标准正交基下的矩阵是A,则σ是对称变换. n=1时,V=L(α),取e1=α/α∈V,则σ(e1)∈V,有σ(e1)=ke1,e1即为所求. 设n-1时命题成立(含义?),考虑n的情形.设法把Vn分解成V1+Vn-1,才能使用归纳假设:1)σ对称−引理−−→σ有实数特征值λ1(才能保证特征向量α1∈V(R),正交矩阵要求实数矩阵);2)取e1=α1/1,则是实特征向量.设V1是L(e1)的正交补,则V1是σ-子空间,维数为n-1,.且σ|V是V1的对称变换.于是利用归纳假设,V1有n-1个特征向量e2, ,en 标准正交,联合1e1,e2, ,en即为V的特征向量、标准正交基.另证:直接从矩阵角度证明,数学归纳法:n=1显然. 设n-1时命题成立,A必有实数特征n值λ1(特征向量α1∈Rn),取e1=α1/α1,则也是实.特征向量.扩充成R的标准正交基e1,e2, ,en,以它们为列作n级矩阵T1,则T1正交,且T1'AT1=T1A(e1,e2, ,en)=T1(Ae1,Ae2, ,Aen)=(λ1T1e1,T1Ae2, ,T1Aen)-1-1-1-1-1注意到E=T1T1=T1(e1,e2, ,en)=(T1e1,T1e2, ,T1en),故T1e1-1-1-1-1-1-1是E的第一列,于是T1'AT1形如⎛λ1⎝0C⎫⎪,而AB⎭对称,T1'AT1也对称,得C=0,且B是n-1级对称矩阵.λ2, ,λn),取由归纳假设,存在n-1级正交矩阵Q,使得Q'BQ=dia(g1T2=⎛ 0⎝0⎫,T=T1T2Q⎪⎭⎛1T'AT=⎝可得T是正交矩阵,并且⎫⎛λ1⎪ Q'⎪⎭⎝⎫⎛1⎪ B⎪⎭⎝⎫⎪= =diag(λ1, ,λn)Q⎪⎭又T'AT=T-1AT与A相似,有相同的特征值,于是λ1, ,λn是A的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念1)内积 2)长度 3)夹角 4)正交 5)度量矩阵 6)标准正交基 7)正交矩阵 8)正交变换 9)正交补 10)对称变换 11)最小二乘法二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角;证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证!先正交化再单位化,反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T,使得T'AT=T-1AT为对角阵.(可验证!注意区别第五、七章的方法)7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积?欧氏空间的哪些概念与内积有关?(长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补)2.内积与标准正交基有何联系? 3.标准正交基有何作用? 4.如何构造子空间的正交补?5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点?6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别?四、例题选讲◎ A正定⇒A+E>1证1:A正定⇒特征值λi>0⇒A+E的特征值λi+1>1 于是A+E=(λ1+1)(λ2+1)(λn+1)>1⋅1 1=1 证2:A正定⇒T-1AT=diag(λ1, ,λn),λi>0A+E=Tdiag(λ1, ,λn)T-1+E=Tdiag(λ1+1, ,λn+1)T-1-1=T(λ1+1)(λ2+1) (λn+1)>1⋅1 1=1《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断二、复习依据作业(习题集)、例题、课外提高三、各章主线 1.线性空间2.线性变换、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间可验证)、结论、对角化判定及求可逆矩阵C3.Jordan标准形4.欧氏空间(注意:涉及的概念都与内积有关)(四条公理)、长度、夹角、标准正交基(求法,可验证)可验证)[可验证].区别第5章方法)四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系:……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵. 2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间(通过基)、欧氏空间(通过标准正交基) 3.可验证的几种计算类型特征值(迹)、特征向量(代入方程组)、标准正交基(两两正交、长度为1)、正交矩阵(行[或列]向量组标准正交,或A'A=E)。
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§7 不变子空间◎ 本节重点:不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵,但是并不是每个都能对角化的.退一步,对应于准对角形也好;虽然比对角形复杂,但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子1.定义:)(n V L ∈σ,W 是σ的不变子空间W ⇔是V 的子空间,且,W ∈∀ξ有W ∈)(ξσ.简称σ-子空间. (注意:与线性变换有关)2.例子:设)(n V L ∈σ,则下列子空间W 都是σ的不变子空间:1){}0=W 2)V W = 3))0(1-=σW 4))(V W σ= 5){}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的,则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义:设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间,可只在W 中考虑σ,记为W |σ.【意义】缩小了线性变换的范围,从而简化线性变换.因此,如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和,那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.2.区别:W |σ与σ的作用结果一样,但作用范围不同.即σξξσξ=⇒∈)|(W W ;ξσξ)|(W W ⇒∉无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系(意义)设V 可分解为若干个σ-子空间的直和:s W W W V ⊕⊕⊕= 21,在每个不变子空间i W 中取基k i i i εεε,,,21 ,s i ,2,1=,并把他们合并为V 的一组基,则在这组基下,σ的矩阵具有准对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A 1,其中i A ,s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的,我们有: *四、不变子空间的直和分解定理12:设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式:S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和:s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi r i i E V V .§8 若当(Jordan )标准形介绍若当(Jordan )标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ1000010000010000),(t J (λ是复数;注意对角元相同)2. 若当形矩阵=由若干个若当块(阶数未必相同、λ未必相同)组成(不计顺序)的准对角矩阵. (若当形矩阵中包括对角矩阵) 【问题】若当形矩阵的特征值=?例1求所有的三阶若当形矩阵.(若当块不计排列顺序) 二、主要结论定理13: ))((C V L n ∈∀σ,在V 中必定存在一组基,使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. (这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外,是被σ唯一决定的,它称为σ的若当标准形)若用矩阵来描述,即定理14:复数域上,每个方阵都相似于某个若当形矩阵.(好用的结论) 三、若当标准形的求法(第八章介绍)【特例】若A 可对角化,则若当标准形就是相似的对角矩阵.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00020100030100B ,证明B X =2无解,这里X 为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵,优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质,并联系特征值.§9 最小多项式介绍最小多项式有着良好的理论意义,特别是适用于对角化问题.已知Cayley Hamilton -定理:方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的,这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义定义:)(x ϕ是方阵A 的最小多项式0)(=⇔A f 且)(x ϕ次数最低、首项系数为1. 例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质引理1矩阵A 的最小多项式必唯一. 证法 带余除法引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ⇔是A 的最小多项式)(x ϕ的倍式,即)(|)(x f x ϕ. 【特例】最小多项式是特征多项式的因式. 证法 带余除法例 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111A 的最小多项式. 2)1(-x【问题】相似矩阵有相同的最小多项式?例 k 阶若当块kk a a a J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11的最小多项式是 (直接计算,k a x )(-) 三、主要结论定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.例 设A 是n 阶幂等矩阵,且秩为r .试求A 的相似标准形,并说明理由;求A E -2. 解法:由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根,所以A 相似于对角矩阵,且特征值只能是1或0.又r A r =)(,故存在可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001rE AP P .从而 rn r n rA E E E AP P E P A E P ----=-⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-222002)2(11. 矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵A 与B 相似,则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP A ,于是1-=P PB A k k . 进一步有:当)(x ϕ是多项式时,1)()(-=P B P A ϕϕ.特例:当A 相似于对角矩阵时,由1-=P PB A k k 容易计算方幂kA .2.求Fibonacci 数列通项:)1,0(1012==+=++a a a a a n n n解法 用矩阵形式表示递推关系式⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+011101110111a a a a a a nn n n n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111A 的特征值为2512,1±=λ,对应的特征向量为'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±1,251,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-211λλAP P 由此可求nA ,即得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】(人口流动问题)设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村,十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变,则经过许多年以后,全国人口将会集中在城市吗? 解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ,第k 年末人口分别为k k y x ,,则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00118.01.02.09.0y x y x ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8.01.02.09.0A ,可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x k k k . 为计算kA ,可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E .1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α;7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α取⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==1112),(21ααP ,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2111311P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21117.00011112317.00011k kk P P A令∞→k ,有07.0→k ,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→12223121110001111231k A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时,城市与农村人口比例稳定在1:2.定理7:设A 为实对称矩阵,则必存在正交矩阵T ,使得1T AT T AT -'=为对角阵.(注意:对角元恰好是A 的全体特征值) (常用于证明题)[证明思路]:利用对称变换的理论,等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基(见教材).也可用数学归纳法,将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.证明:设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ,则σ是对称变换. 1=n 时,)(αL V =,取V e ∈=αα/1,则V e ∈)(1σ,有11)(ke e =σ,1e 即为所求. 设1-n 时命题成立(含义?),考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ,才能使用归纳假设:1)σ对称σ−−→−引理有实数特征值1λ(才能保证特征向量)(1R V ∈α,正交矩阵要求实数矩阵);2)取111/αα=e ,则是实.特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补,则1V 是σ-子空间,维数为1-n ,且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设,1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交,联合n e e e ,,,21 即为V 的特征向量、标准正交基.另证:直接从矩阵角度证明,数学归纳法:1=n 显然. 设1-n 时命题成立,A 必有实数特征值1λ(特征向量n R ∈1α),取111/αα=e ,则也是实.特征向量.扩充成n R 的标准正交基n e e e ,,,21 ,以它们为列作n 级矩阵1T ,则1T 正交,且),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E -----=== ,故111e T -是E 的第一列,于是11AT T '形如⎪⎭⎫⎝⎛B C 01λ,而A 对称,11AT T '也对称,得0=C ,且B 是1-n 级对称矩阵. 由归纳假设,存在1-n 级正交矩阵Q ,使得),,(2n diag BQ Q λλ =',取212,001T T T Q T =⎪⎭⎫ ⎝⎛=可得T 是正交矩阵,并且),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=' 又AT T AT T 1-='与A 相似,有相同的特征值,于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.《欧氏空间》复习一、主要概念 1)内积 2)长度 3)夹角 4)正交 5)度量矩阵 6)标准正交基7)正交矩阵 8)正交变换 9)正交补 10)对称变换 11)最小二乘法二、重要方法1.验证欧氏空间.[内积4条公理]2.利用内积计算长度、夹角;证明向量相等、长度关系式.3.求标准正交基.[可验证!先正交化再单位化,反之…错.]4.正交补的构造与求法.5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]6.求正交矩阵T ,使得1T AT T AT -'=为对角阵.(可验证!注意区别第五、七章的方法)7.利用正交线性替换化实二次型为标准形. *8.求最小二乘解. 三、思考题1.什么是内积?欧氏空间的哪些概念与内积有关?(长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补) 2.内积与标准正交基有何联系? 3.标准正交基有何作用? 4.如何构造子空间的正交补?5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点?6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别? 四、例题选讲 ◎ A 正定1>+⇒E A证1:A 正定⇒特征值E A i +⇒>0λ的特征值11>+i λ 于是1111)1()1)(1(21=⋅>+++=+ n E A λλλ 证2:A 正定⇒0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ1111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=⋅>+++=++=+=+--- TT T Tdiag E T Tdiag E A n n n λλλλλλλ《期末总复习》一、考试题型填空、计算、证明、讨论或判断 二、复习依据作业(习题集)、例题、课外提高 三、各章主线 1.线性空间线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和 同构……构造、判定、意义 2.线性变换线性变换……验证(定义)、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间 特征值与特征向量……证明、求法(可验证)、结论、对角化判定及求可逆矩阵C 值域与核……基、维数、两者维数关系 3.Jordan 标准形不变因子 初等因子 Jordan 标准形4.欧氏空间(注意:涉及的概念都与内积有关)内积……验证(四条公理)、长度、夹角、标准正交基(求法,可验证) 正交变换……判定、不变性、正交矩阵(可验证)对称变换……判定、特征值、对角化(求正交矩阵[可验证].区别第5章方法)四、注意事项1.几类矩阵的特点、区别与联系:……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.2.线性变换问题与矩阵问题的转化……线性空间(通过基)、欧氏空间(通过标准正交基)3.可验证的几种计算类型特征值(迹)、特征向量(代入方程组)、标准正交基(两两正交、长度为1)、')正交矩阵(行[或列]向量组标准正交,或EAA=3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴,以身作则,不得违纪,如有违纪现。
线性代数中的特征空间与不变子空间
线性代数中的特征空间与不变子空间线性代数是数学中重要的一个分支,它研究向量空间、线性方程组、线性变换等概念和性质。
在线性代数的学习过程中,特征空间和不变子空间是两个重要的概念。
本文将介绍特征空间和不变子空间的定义、性质和应用。
一、特征空间特征空间是指一个线性变换下所有的特征向量张成的子空间。
在介绍特征空间之前,我们先来了解一下特征向量的概念。
对于一个n维向量空间V和线性变换T,如果存在一个非零向量v使得T(v)=λv,其中λ为一个标量,那么向量v就是T的一个特征向量,λ称为它对应的特征值。
接下来,我们定义特征空间。
设V是一个n维向量空间,T是V上的一个线性变换。
对于T的一个特征值λ,所有属于特征值λ的特征向量构成的向量子空间称为特征空间,记作E(λ)。
特征空间的性质有以下几点:1. 特征空间是一个子空间,即它包含零向量,对加法和标量乘法封闭。
2. 对于T的不同特征值,它们对应的特征空间是不相交的。
3. 特征空间的维数等于对应特征值的重数。
特征空间的概念在许多实际问题中具有重要的应用。
比如,在图像处理中,可以利用特征空间来进行图像的分析和压缩;在信号处理中,通过对信号的特征空间进行变换,可以提取出信号的频谱特征等。
二、不变子空间不变子空间是指一个线性变换下保持不变的子空间。
设V是一个n维向量空间,T是V上的一个线性变换。
如果存在向量子空间U,使得T(U)⊆U,那么U称为T的一个不变子空间。
不变子空间的性质有以下几点:1. 对于不变子空间U,零向量一定属于U。
2. 对于不变子空间U,它对加法和标量乘法封闭。
3. 对于不变子空间U,它在T下的像空间T(U)也是U的子空间。
不变子空间在线性变换的研究中发挥了重要的作用。
在工程领域中,例如控制系统的研究中,通过寻找系统所对应的不变子空间,可以获取系统的稳定性信息,从而设计出更好的控制策略。
三、特征空间与不变子空间的关系特征空间和不变子空间在某些情况下是相关的。
第七节 不变子空间
一、不变子空间
1、定义
设 是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的
的子空间,若 W ,有 ( )W 即 (W ) W
则称W是 的不变子空间,简称为 -子空间.
注:
V的平凡子空间(V及零子空间)对于V的任意一
个变换 来说,都是 -子空间.
2、不变子空间的简单性质
1)两个 -子空间的交与和仍是 -子空间. 2)设 W L(1,2,L s ), 则W是 -子空间
事实上,因为W是V的不变子空间.
(1), ( 2 ),L , ( k ) W . 即, (1), ( 2 ),L , ( k ) 均可被 1, 2 ,L , k
线性表出.
(1 ) a111 a21 2 L ak1 k
设
L((Lk2 ))L
a121 a22 2 L ak 2 k
3、一些重要不变子空间
1)线性变换 的值域 (V )与核 1 0都是 的
不变子空间.
证:Q (V ) ( ) V V ,
V , 有 ( ) (V ).
故 (V ) 为 的不变子空间.
又任取 1 0 , 有 ( ) 0 1(0).
1(0)也为 的不变子空间.
2)若 , 则 (V ) 与 1(0) 都是 -子空间.
证:Q (V ) ( ) V.
对 (V ), 存在 V , 使 ( ),
于是有,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (V )
(V ) 为 的不变子空间.
其次,由 1 0 V , 0 ,
对 1 0, 有 0.
于是 ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 0. ( ) 1 0. 故 1 0 为 的不变子空间.
(1), (2 ),L , (s ) W .
太原理工大学_高等代数第七章_7第七节_不变子空间
反过来,设ξ是A属于特征值λ0的一个特征向
量,则ξ以及它任一倍数在A下的像是原像的λ0倍,
仍旧是ξ的一个倍数. 这说明ξ的倍数构成一个一维
A-子空间. 显然,A的属于特征值λ0的一个特征子空间Vλ0 也是A的不变子空间.
我们指出,A-子空间的和与交还是A-子空间. (证明留给大家回去作练习).
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反之,如果线性变换A在基I下的矩阵是准对
角形(4),则由(3)生成的子空间Wi是A-子空间.
这个证明与1)相仿(留给大家回去作练习).
由此可知,矩阵分解为准对角形与空间分解 为不变子空间的直和是相当的.
下面我们应用哈密尔顿-凯莱定理将空间V按
特征值分解成不变子空间的直和.
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( 1 ) r1 ( i 1 ) ri 1 ( i 1 ) ri 1 ( s ) rs ,
及
返回
Vi=fi(A)V .
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则Vi是fi(A) 的值域. 由本节例3知道Vi是A-子空间. 显然Vi满足 (A-λiE)riVi=f(A)V={0} .
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定理12 设线性变换A的特征多项式为f(λ),它可 分解成一次因式的乘积
f ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( s )
r1 r2
rs
则V可分解成不变子空间的直和 V =V1⊕V2⊕…⊕Vs . ri 其中 Vi | ( A i E ) 0, V 证明 令 f ( ) f i ( ) ( i ) ri
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必须在概念上弄清楚A与A|W的异同:A是V 的线性变换, V中每个向量在变换A下都有确定的 像; A|W 是不变子空间W上的线性变换,对于W
线性代数中的不变子空间
线性代数中的不变子空间随着科技的发展,线性代数逐渐成为了数学中不可或缺的一部分。
和其他数学分支一样,线性代数有着自己的独特性以及特殊的一些概念。
其中一个核心概念就是不变子空间。
不变子空间是什么?在了解不变子空间之前,我们需要先了解什么是线性变换。
简单来说,线性变换是指一个向量空间V内的元素在一个向量空间W中按照一定规则的进行变换。
例如,比较常见的线性变换就是旋转、平移等。
那么不变子空间就是指在一个向量空间V内的一部分子空间,在线性变换T下仍能保留其空间的特性,即对于子空间W来说,T(W) 仍然等于 W。
举个例子,如果有一个向量空间V,而T是一个线性变换,那么V的子空间W叫做T的不变子空间的条件是:T(W) = W。
不变子空间的意义不变子空间在很多实际问题中都有着广泛的应用。
例如,在管理层次这个问题中,人力资源部门需要考虑公司下属各部门之间的管理关系,以及上下层级之间的协调。
在这个问题中,公司组成部分的各个级别就可以看做是不变子空间。
各个级别在自己的空间内进行工作,而管理层通过适当的调整,能够实现整个公司各个部门之间的协调和管理。
另外,对于同一个向量空间的不同子空间来说,它们之间有着天然的联系。
如果这些子空间是不变子空间,那么就可以更方便地进行计算和分析空间上的特性。
在实际问题中,这种分析可以用来寻找一种更为优化的方法,进行更加有效的计算。
线性变换的不变子空间对于线性变换T,我们可以通过一些手段来寻找其不变子空间。
其中一种方法就是通过寻找矩阵的特征值和特征向量进行求解。
特征向量是指一个向量在经过变换后仍然满足其大小和方向的向量,特征值则是指这样的向量在变换后的系数。
通过求解矩阵可以得到其特征值和特征向量,然后通过这些特征值和特征向量来确定其不变子空间。
不变子空间的求解方法虽然相对复杂,但是其在一些实际问题中的重要性却不容忽视。
通过更好地了解和利用不变子空间,我们可以在一定程度上提高自己在数学领域的能力和实践能力。
线性代数中的特征空间与不变子空间
线性代数中的特征空间与不变子空间线性代数是数学中非常重要的一个分支,其中特征空间与不变子空间是其中的两个关键概念。
本文将详细介绍特征空间与不变子空间的定义、性质以及它们在线性代数中的应用。
一、特征空间特征空间是矩阵理论中的概念,它是由特征向量生成的线性子空间。
特征向量是指在线性变换下只发生伸缩而不改变方向的向量。
在给定一个n阶方阵A时,我们可以通过求解方程Av=λv来得到A 的特征向量v和对应的特征值λ。
值得注意的是,特征值λ可以是复数,而特征向量v是非零向量。
特征空间由与特征值λ对应的所有特征向量v线性组合而成。
对于不同的特征值,它们对应的特征向量所生成的子空间是不同的,但特征空间的维数是相同的,即特征空间的维数等于特征值的重数。
特征空间在线性代数中有广泛的应用,例如它可以用来求解线性常微分方程组,研究矩阵的相似性等。
二、不变子空间不变子空间是线性变换的一个重要性质,它指的是在变换过程中保持不变的向量子空间。
具体来说,对于一个线性变换T:V→V,如果存在子空间W⊆V,使得对于任意属于W的向量v,都有T(v)∈W,那么W被称为线性变换T的不变子空间。
不变子空间的概念可以简单理解为线性变换T在子空间W上的限制。
由于T对W中的向量执行的操作还是在W中,所以W是由T的特征向量组成的特征空间。
不变子空间的研究对于理解和分析线性变换的性质非常有帮助。
通过研究不变子空间,我们可以得到线性变换在该空间上的限制性质,从而更好地理解矩阵或线性变换的结构与性质。
三、特征空间与不变子空间的关系特征空间和不变子空间在某种程度上是相互关联的。
特征空间是由特征向量生成的线性子空间,而不变子空间则是线性变换的限制性质。
在某些情况下,特征空间可以同时作为不变子空间存在。
具体来说,如果对于一个线性变换T,其特征空间与某些不变子空间重合,即存在一些特征向量可以同时满足特征空间和不变子空间的定义,则这些特征向量所生成的特征空间就是不变子空间的一部分。
一不变子空间的概念
§7.7 不变子空间
3)任何子空间都是数乘变换 的不变子空间.
W , k W
4)线性 变V换o ,A有的特A 征 子空o间 VV0o是. A 的不变子空间.
5)由 A 的特征向量生成的子空间是 A的不变子空间.
证:设 1,2, ,s 是 A 的分别属于特征值
( A i E)ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
§7.7 不变子空间
由(2), 有 ( A i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( A i E)ri (i ) ( A i E)ri (i )
1,2 , ,s 的特征向量. 任取 L(1,2 , ,s ),
设 k11 k22 kss , 则
A( ) k111 k222 ksss L(1,2 , ,s )
L(1,2 , ,s ) 为 A 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
注:
特别地,由 A 的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 A-子空间. 反过来,一个一维 A-子空间 必可看成是 A 的一个特征向量生成的子空间.
为V的一组基,且在这组基下A 的矩阵为准对角阵
A1 A2
§7.7 不变子空间
.
As
(1)
反之,若 A在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成
的子空间 Wi为 A的不变子空间,且V具有直和分解: V W1 W2 Ws .
A(
k
)
a1k 1
a2k 2
§74-不变子空间
例5 设 是四维向量空间V的一个基,线性变换 关于这个基的矩阵为A,并且
求 的值域与核.
解 先求ker, 设ker(),关于{1,2,3,4}的坐标为(x1,x2,x3,x4),()在{1,2,3,4}下的坐标为(0, 0, 0, 0),由定理7.4.4,有
=
解得该齐次线性方程组的基础解系为
X1=(-2,- ,1,0),X2=(-1,-2,0,1).
二、不变子空间的判断
下面给出一种判断不变子空间的方法
定理7.4.1设 是n维向量空间V的一个线性变换,W是V的子空间, 是W的基.则W是 的不变子空间的充要条件是 在W中.
设W是向量空间V的关于线性变换 的不变子空间,那么对于任意的 ,必有 ,因此 也可看作是向量空间W的一个线性变换,用 表示,即对于任意 ,
那么选取 的一个基 和 的一个基 ,凑成V的一个基 ,当 和 都在 下不变时, 关于这个基的矩阵是
这里 是r阶矩阵, 是n-r阶矩阵,它们分别是 关于基 的矩阵和 关于基 的矩阵.
若V可分解成s个非平凡子空间 的直和,并且每一 都是 的不变子空间,那么在每一子空间中取一个基,凑成V的基, 关于这个基的矩阵就为分块对角形矩阵
教学目的
本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法,掌握值域和核的概念以及它们都是 的不变子空间的事实,了解 的秩和零度的概念及其相关结论。
教学难点
不变子空间的证明
教学重点
不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是 的不变子空间的证明
教 学 过 程
备 注
教学内容
一、不变子空间的定义
为了解决不变子空间的问题,我们需要不变子空间的概念.先看一个例子.
在 中,设 是数量变换,即有一个确定的数k,使得对任意 ,设W是 中过原点的一个平面,W是 的一个子空间,对W中每一个向量 , 在 作用之下的像 仍是W中的向量,这样的子空间W就是 的不变子空间.
不变子空间的交还是不变子空间证明
不变子空间的交还是不变子空间证明【原创实用版】目录1.引言2.不变子空间的概念3.不变子空间的交4.不变子空间的证明5.结论正文1.引言在数学领域,不变子空间是一个重要的概念,它在线性代数、微积分等学科中都有着广泛的应用。
不变子空间交和证明是理解不变子空间的关键,本文将从这两个方面进行阐述。
2.不变子空间的概念不变子空间指的是一个向量空间在经过某一线性变换后,仍然保持原有结构和性质的子空间。
设 V 是一个向量空间,T 是 V 上的一个线性变换,如果存在一个子空间 W 使得 T(W)W,那么 W 就是不变子空间。
3.不变子空间的交不变子空间的交指的是多个不变子空间相交后得到的子空间。
假设 V 有两个不变子空间 W1 和 W2,它们的交为 W1∩W2。
根据不变子空间的性质,T(W1∩W2)W1∩W2,所以 W1∩W2 也是 V 的一个不变子空间。
4.不变子空间的证明为了证明不变子空间的存在性和唯一性,我们需要引入一些相关的概念和定理。
设 V 是一个向量空间,T 是 V 上的一个线性变换,W 是 V 的一个子空间。
如果 T(W)W,那么我们可以证明 W 是 V 的一个不变子空间。
证明:假设 U 是 V 的另一个子空间,且 T(U)U。
我们需要证明 W ∩U 也是 V 的一个不变子空间。
根据向量空间的性质,有 T(W∩U)T(W)∩T(U)。
因为 T(W)W 和 T(U)U,所以 T(W)∩T(U)W∩U。
所以 W∩U 也是 V 的一个不变子空间。
5.结论不变子空间在数学领域具有广泛的应用,理解不变子空间的交和证明对于深入研究不变子空间具有重要意义。
不变子空间证明的例题
不变子空间证明的例题正文:在线性代数中,不变子空间是指线性变换或矩阵的某些特定向量子集合在变换下保持不变的子空间。
在本文中,我们将通过一个例题来详细讨论不变子空间的证明方法。
假设有一个线性变换T:V → V,其中V是n维向量空间。
我们的目标是证明T的一个子空间W是不变子空间,即对于W中的任意向量v,都有Tv∈W。
首先,我们需要明确T的定义。
假设T对于向量空间V中的一组基{v1, v2, ..., vn}的作用如下:T(v1) = a11v1 + a21v2 + ... + an1vnT(v2) = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn...T(vn) = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn其中a_ij为T作用在vj上的对应系数。
接下来,我们将证明W是不变子空间。
为了简化证明,我们可以利用不变子空间的另一种定义:如果W是向量空间V的一个子空间,并且T(w)∈W对于W中任意向量w都成立,则W是T的不变子空间。
假设W是V的一个子空间,并且其一组基为{w1, w2, ..., wm}。
我们需要证明对于W中的任意向量w,都有T(w)∈W。
由于W是V的子空间,我们可以用W的基向量线性表示w,即:w = c1w1 + c2w2 + ... + cmwm其中c_i是w在W的基向量上的对应系数。
现在,我们将T作用在w上:T(w) = T(c1w1 + c2w2 + ... + cmwm)= c1T(w1) + c2T(w2) + ... + cmT(wm)根据T的定义,我们可以将T(wi)展开为线性组合的形式:T(wi) = a1i1v1 + a2i2v2 + ... + ani(n-1)vn将以上结果代入T(w)的表达式中:T(w) = c1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn) + c2(a12v1 + a22v2 + ... +an2vn) + ... + cm(a1mv1 + a2mv2 + ... + anmvn)= (c1a11 + c2a12 + ... + cma1m)v1 + (c1a21 + c2a22 + ... +cma2m)v2 + ... + (c1an1 + c2an2 + ... + cmanm)vn由于W是V的子空间,可以得出:(c1a11 + c2a12 + ... + cma1m)v1 + (c1a21 + c2a22 + ... + cma2m)v2 + ... + (c1an1 + c2an2 + ... + cmanm)vn ∈ W因此,T(w)∈W对于W中的任意向量w都成立。
7.7不变子空间
W
.
W 的几点说明
W 的几点说明
(6) 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零 变换,即
1 0
0 ;
0
在特征子空间 V 上引起的线性变换是数乘变换,
即有
V0
o E .
不变子空间与线性变换的矩阵化简
1、设 是 n 维线性空间V的线性变换,W是V 的
§7.7 不变子空间
一、不变子空间的概念
二、线性变换在不变子空间上的限制
三、不变子空间与线性变换的矩阵化简
四、线性空间的直和分解
不变子空间的定义
设 是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的 的子空间,若 W , 有 ( ) W
即 (W ) W
则称W是 的不变子空间,简称为 -子空间.
A1 A2 . 0 A 3
A1 A2 反之,若 1 , 2 , , n 1 , 2 ,, n 0 A , 3
A1 P kk . 则由 1 , 2 , , k 生成的子空间必为 的
不变子空间.
( i E )ri f i ( ) V f V
( i E )ri Wi 0.
( 2)
下证 V V1 V2 Vs . 分三步:
1 . 证明 V W1 W2 Ws . 2 . 证明 V1 V2 Vs 是直和. 3 . 证明 Vi Wi , i 1,2,, s.
即, ( 1 ), ( 2 ),, ( k ) 均可被 1 , 2 , , k 线性表出.
设
( 1 ) a11 1 a21 2 ak 1 k ( 2 ) a12 1 a22 2 ak 2 k ( ) a a a k 1k 1 2k 2 kk k
线性代数下07极小多项式与不变子空间
下节内容: 商空间 & 诱导变换
补充题1:设σ∈L(V), f(x)∈F[x], 证明:Im f(σ),Ker f(σ) 为σ的不变子空间. 补充题2:设σ,τ∈L(V), 若σ和τ可交换,即στ=τσ, 证明: Im τ,Ker τ均为σ的不变子空间.
6
上讲复习
“逆向搜索法”流程图
本讲提要
极小多项式 & 不变子空间
一、回顾:线性变换σ的不变子空间 定义与例子 重要结论:不变子空间←→准对角阵 二、矩阵A(线性变换σ)的极小多项式 化零多项式与极小多项式的定义 极小多项式的性质(1~5) 对角化的“互异单根条件”
4
作业:习题九 17,18,19,20, 21,补1,补2
标准形j的确定相当于n的整数分拆问题当n较小时6有唯一分拆形式上讲复习逆向搜索法流程图本讲提要极小多项式重要结论
《线性代数2》
杨晶
第七讲
极小Байду номын сангаас项式 与不变子空间
2012年 3月31日
1
上讲复习
低阶方阵的约旦标准形求法:
Step 1:计算特征值 λ1,…,λs,及代数重数 n1,…,ns, Step 2:对每个λi,求N(A- λiI)与几何重数mi (1≤ i ≤ s). Step 3:用逆向搜索法求各阶广义特征向量,即 求约旦链,pi步停止. Step 4:求可逆阵P和约旦标准形J. 注:标准形 J 的确定,相当于(ni,mi,pi)的整数分 拆问题,当ni较小时(≤6)有唯一分拆形式
不变子空间的概念
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) f1( ) u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) E
∴ 对 V , 有
ann
2、设 是n 维线性空间V的线性变换,Wi 都是
的不变子空间,而 i1, i2 , , ini是 Wi 的一组基,且 Wi 在这组基下的矩阵为 Ai , Ai P nini , i 1, 2, , s.
若 V W1 W2 Ws,则
11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns
( ) k111 k222 ksss L(1,2 , ,s )
L(1,2 , ,s ) 为 的不变子空间.
§7.7 不变子空间
注:
特别地,由 的一个特征向量生成的子空间是一 个一维 -子空间. 反过来,一个一维 -子空间 必可看成是 的一个特征向量生成的子空间.
设 是线性空间V的线性变换,W是V的一个 的 不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换,称作 在不变子空间W上引起的线性变换,或称作 在
不变子空间W上的限制 . 记作 W .
§7.7 不变子空间
注:
① 当 W时, W ( ) ( ). 当 W时, W ( ) 无意义.
则 i 0, i 1,2, , s. ( j )rj fi ( ), i j
∴ 存在 h( ), 使 fi ( ) h( )( j )rj . 于是 fi ( ) h( )( j E)rj .
§7.7 不变子空间
关于线性变换的不变子空间研究
目录1.线性变换的不变子空间1.1代数学的发展历程简介1.2线性变换的不变子空间的概念及性质1.3线性变换的不变子空间性质的多种证明2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性 2.1研究该问题的必要性2.2研究该问题的可行性3. 线性变换的不变子空间的国内外研究现状3.1国内研究现状3.2国外研究现状4.线性变换的不变子空间的应用4.1理论上的应用4.2生活中的应用5.心得体会摘要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的不变子空间,在高等代数教材中也是简单的讲解一下,于是本文对它做了更进一步的讨论。
空间中的任何元素经过映射后,新的元素仍然在这个空间里,这个空间叫做这个映射下的不变子空间,不变子空间是原空间的一个子集,对于原空间运算也构成空间且封闭,其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质,而不必回到原空间,从而将问题简化,本文的研究内容也是建立在这个基础之上的。
关键词:线性变换不变子空间的性质地位应用1.线性变换的不变子空间1.1代数学的发展历程简介数学发展到现在,已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。
大体说来,数学中研究数的部分属于代数学的范畴;研究形的部分,属于几何学的范筹;沟通形与数且涉及极限运算的部分,属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。
在这一核心的周围,由于数学通过数与形这两个概念,与其它科学互相渗透,而出现了许多边缘学科和交叉学科。
在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。
“代数”(algebra)一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米(al-Khowārizmī,约780-850)一本著作的名称,书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah,直译应为《还原与对消的科学》.al-jabr 意为“还原”,这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项;muqabalah 意即“对消”或“化简”,指方程两端可以消去相同的项或合并同类项.在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”,拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用,英文译作“algebra”。
§7_不变子空间
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命题
设 W1 ,W2 都是A-子空间,则 W1 I W2 和 W1 + W2 也都是A-子空间.
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定义
设A是线性空间V的线性变换,W是A 的不变子 空间. 由于W 中的向量在A下的像仍在W中,所以 由A自然诱导了W上的一个线性变换:
% A :W → W % A (α ) = A (α ),α ∈ W .
因为A的多项式 f (A)是和A可交换的,所以 f (A) 的值域和核都是A-子空间. 这种A-子空间是经常 碰到的. 例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.
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பைடு நூலகம்
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例5 考虑线性变换一维A -子空间. ξ 设W是A 的一维不变子空间, 是W的任何一个 非零向量,则它构成W的基,即 W = L(ξ ). 由A-子空间的定义, Aξ ∈ W = L(ξ ). 于是存在数 λ0 , 使得 Aξ = λ0ξ . 由此可知, 是W的特征向量. ξ
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反之,设 ξ 是A的属于特征值 λ0的特征向量. 对 ∀α ∈ L(ξ ), 即α = kξ , 则 Aα = kAξ = (k λ0 )ξ ∈ L(ξ ). 由此可知,由特征向量生成的子空间 L(ξ )就是A的 一维不变子空间. 例6 A的属于特征值 λ0 的特征子空间 Vλ0 也是A 的 不变子空间.
A1 = O
A3 . A2
(2)
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并且左上角的k 级矩阵A1就是A|W在W的基 ε1 , ε 2 ,L, ε k 下的矩阵. 这是因为W是A-子空间,所以 Aε1 , Aε 2 ,L, Aε r ∈ W 它们可以通过W的基 ε1 , ε 2 ,L, ε k 线性表示,即 Aε1 = a11ε1 + a21ε 2 L + ak 1ε k , Aε 2 = a12ε1 + a22ε 2 L + ak 2ε k , LLL Aε k = a1k ε1 + a2 k ε 2 L + akk ε k , 从而A在基(1)下的矩阵具有形状(2),A|W在W的基 ε1 , ε 2 ,L, ε k 下的矩阵为A1.
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注:标准形 J 的确定,相当于(ni,mi,pi)的整数分 拆问题,当ni较小时(≤6)有唯一分拆形式
上讲& 不变子空间
一、回顾:线性变换σ的不变子空间 定义与例子 重要结论:不变子空间←→准对角阵
二、矩阵A(线性变换σ)的极小多项式 化零多项式与极小多项式的定义 极小多项式的性质(1~5) 对角化的“互异单根条件”
4
作业:习题九 17,18,19,20, 21,补1,补2
下节内容:
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商空间 & 诱导变换
补充题1:设σ∈L(V), f(x)∈F[x], 证明:Im f(σ),Ker f(σ) 为σ的不变子空间. 补充题2:设σ,τ∈L(V), 若σ和τ可交换,即στ=τσ, 证明: Im τ,Ker τ均为σ的不变子空间.
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《线性代数2》 杨晶
2012年 3月31日
第七讲
极小多项式 与不变子空间
1
上讲复习
低阶方阵的约旦标准形求法:
Step 1:计算特征值 λ1,…,λs,及代数重数 n1,…,ns,
Step 2:对每个λi,求N(A- λiI)与几何重数mi (1≤ i ≤ s).
Step 3:用逆向搜索法求各阶广义特征向量,即 求约旦链,pi步停止.