不等式专题12

2k 1
y1 ... y2 k y2 k 1 ... y2 k 1 k 2 2k f 2

y ... y k 1 2k 1 f 1 k 1 2 2
所以， ( 4 4 ) 式对 k 1 时也成立。 至此，我们证明了⑴⑵⑶⑷⑸的全部等式，因为⑴ ⑹ ⑸显然成立，所以上述各式 全部证明。 定义 4.1：如果对所有 x, y [a, b] ，且 (0, 1) ，
证明：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸是显然的。
(4 6 )
⑵ ⑴：设 x1 ,..., xn [a, b] ， 1 ,..., n 0 且 1 ... n 1 ，可以看到存在正有理数数列
rk (1)kN ,...,rk (n)kN 满足：
k
lim rk ( j ) j （ 1 j n ）且 rk (1) ... rk (n) 1 （ k N ）
k
( 2 N ) terms y ... y a ... a N f (a ) f 1 2k
y ... y N 所以： f ( y1 ) ... f ( y N ) Nf (a ) Nf 1 N
y1 ... y N ，则 ( 4 4 ) 式即： N
f ( y1 ) ... f ( y N ) ( 2 k n) f (a ) 2k
( 2 k N ) terms

f ( y1 ) ... f ( y N ) f (a ) ... f (a 设得： 1 n 1 1 n 1
1 f ( x1 ) ... n1 f ( xn1 )
1 n ( 1 n 1 ) f ( x1 ) ... f ( xn ) n 1 f ( x n 1 ) 1 n 1 1 n 1 1 n ( 1 n 1 ) f x1 ... xn n 1 f ( x n 1 ) 1 n 1 1 n 1 n 1 f (1 n 1 )( x1 ... x n ) n 1 xn 1 1 n 1 1 n 1
1 f ( x1 ) ... n f ( xn ) f (1 x1 ... n xn )
( 4 1)
事实上，我们可以跳出函数 f 的连续性。例如，每个在 [a , b] 上的凸函数在 (a , b) 上是连 续的，所以，每个在 R 上的凸函数在 R 上也是连续的。通过这个命题，我们得到： 推论 4.3： （凸函数判据 I）设函数 f ，在区间 [a, b] R 时， f 是一个连续函数，假定：
1 f ( x1 ) ... n f ( xn ) f (1 x1 ... n xn )
( 4 1)
其中：对所有的 x1 ,..., xn [a, b] ， 1 ,..., n 0 且 1 ... n 1 ⑵ 对所有 n N ，下面的不等式成立：
f ( x1 ) ... f ( xn ) x ... xn f 1 n n
( 4 3)
推论 4.2： （加权琴生不等式）设函数 f ，在区间 [a, b] R 时， f 是一个连续凸函数。 设 1 ,..., n 0 ，且 1 ... n 1 ，对所有的 x1 ,..., xn [a, b] ，恒有：
由 r1 ... rn 1 得： N p1 p2 ... pn ，则⑶式为：
r1 f ( x1 ) ... rn f ( xn )
p1terms pn terms

f ( x1 ) ... f ( x1 ) ... f ( xn ) ... f ( xn ) N
f ( x) f ( y) x y f( ) 2 2
对所有的 x, y [a, b] 成立，则恒有：
r1 f ( x1 ) ... rn f ( xn ) f (r1 x1 ... rn xn )
其中： x1 ,..., xn [a, b] ， r1 , ..., rn Q 且 r1 ... rn 1 . 我们用著名的加权琴生不等式的归纳证明来结束本节。结果，我们完全可以跳出 f 的连 续性。 归纳法证明：当 n 1, 2 时， ( 4 1) 式子显然成立。 假定当 n k N 时， ( 4 1) 式子依然成立； 设 x1 ,..., xn , xn1 [a, b] ， 1 ,..., n 1 0 且 1 ... n1 1 ， 因为：
根据⑵的假设 ( 4 2 ) ，得：
rk (1) f ( x1 ) ... rk (n) f ( xn ) f (rk (1) x1 ... rk (n) xn )
因为 f 是连续的，将两边取 k 得：
第 1 页
①
不等式专题（tobeenough 编译）
1 f ( x1 ) ... n f ( xn ) f (1 x1 ... n xn )
r1 f ( x1 ) ... rn f ( xn ) f (r1 x1 ... rn xn )
(4 2)
其中：对所有的 x1 ,..., xn [a, b] ， r1 , ..., rn Q 且 r1 ... rn 1
Q 表示正有理数。
⑶ 对所有 n N ，下面的不等式成立：
f ( x ) (1 ) f ( y ) f ( x ( 1 ) y )
都成立，则实函数在 [a , b] 区间是凸函数。 上面的命题讲的是： 推论 4.1： （琴生不等式）设函数 f ，在区间 [a, b] R 时， f 是一个连续凸函数。 对所有的 x1 ,..., xn [a, b] ，恒有：
(4 4 )
其中：对所有的 x1 ,..., xn [a, b] ⑸ 对所有的 x, y [a, b] ，恒有：
1 1 x y f ( x) f ( y) f ( ) 2 2 2
(4 5 )
⑹ 对所有的 x, y [a, b] ， (0, 1) ，恒有：
f ( x ) (1 ) f ( y ) f ( x ( 1 ) y )
f ( x) f ( y) x y f( ) 2 2
对所有的 x, y [a, b] 成立，则： f 在 [a , b] 区间是一个凸函数。 【练习 20】 （凸函数判据 II）设函数 f ，在区间 [a, b] R 时， f 是一个连续函数，且在 (a , b)
第 3 页
不等式专题（tobeenough 编译）
( 4 1)
⑶ ⑵：设 x1 ,..., xn [a, b] ， r1 , ..., rn Q 且 r1 ... rn 1 ，可以找到一个正整数 I N 使得 I r1 ,..., I rn N ，对每个 i {1, 2,..., n} ，记 ri
pi （其中 pi N ） N
f ( x1 ) ... f ( xn ) x ... xn f( 1 ) n n
( 4 3)
其中：对所有的 x1 ,..., xn [a, b] ⑷ 对所有 k {0, 1, 2,...} ，下面的不等式成立：
f ( x1 ) ... f ( x2 k ) 2k f( x1 ... x2 k 2k )
f (1 x1 ... n1 xn1 )
即： 1 f ( x1 ) ... n1 f ( xn1 ) f (1 x1 ... n1 xn1 ) 故： ( 4 1) 成立。 证毕。
本节介绍凸函数，是指向下凸函数，即函数的二次导数不小于 0，即： f ''( x ) 0 .这里 的琴生不等式以及加权琴生不等式都基于此，即：函数的均值不小于均值的函数值。对于
不等式专题（tobeenough 编译）
Ch4.凸函数 4.1 琴生不等式 在上一章， 我们用均值不等式推出加权不等式。 下面我们用同样的方法研究函数不等式。 命题 4.1：设函数 f ，在区间 [a, b] R 时， f 是一个连续函数，则下列式子等价。 ⑴ 对所有 n N ，下面的不等式成立：
这就是 ( 4 3) 式。 ⑸ ⑷：对不同的 k 进行归纳，当 k 0, 1, 2 时，( 4 4 ) 式显然成立。假设 ( 4 4 ) 式对 k 2 的 某 k 值也成立，设： y1 ,..., y2k1 [a, b] ，由归纳法的假设，得：
f ( y1 ) ... f ( y2k 1 ) ... f ( y2k1 )
f ''( x ) 0 的函数，即向上凸函数，则：函数的均值不大于均值的函数值。
第 4 页
pn terms p1terms x ... x ... x ... x 1 n n 1 N
f (r1 x1 ... rn xn )
⑷ ⑶：设 y1 ,..., yn [a, b] ，取大的 k N ，以使 2 k N ， 设a
第
2
页
不等式专题（tobeenough 编译）
y ... y2 k 2k f 1 2k
k y2 k 1 ... y2 k 1 2 f 2k
2k 1
y ... y2 k f 1 2k
y2 k 1 ... y2 k 1 f 2k 2
区间存在二次导数，证明下列式子： ⑴ 对所有的 x (a, b) ，恒有： f ''( x ) 0 ⑵ f 在 (a , b) 是一个凸函数。 当我们推导命题⑸ ⑷ ⑶ ⑵时，我们不能用 f 的连续性： 推论 4.4：设函数 f ，在区间 [a, b] R 时， f 是一个函数，假定：