1224高二上数学期末
浙江省2022学年高二上学期期末考试数学试题含解析
第一学期期末考试试题高二数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程可直接写出准线方程.【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以其准线方程为.故选A 【点睛】本题主要考查抛物线的准线，属于基础题型.2.已知，，，，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式性质，即可判断出结果.【详解】因为，由不等式性质易得：.故选B.【点睛】本题主要考查不等式性质，也可用特殊值法逐项排除，属于基础题型.3.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由含绝对值不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，求解时通常去绝对值得到不等式组；也可两边同时平方进而转化为一元二次不等式求解，属于基础题型.4.直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系逐项判断即可.【详解】A.如果直线，都与平面相交，且直线，异面，则其投影可能互相平行，所以A 错；B.在正方体中与垂直，但与不垂直，即投影垂直，但原直线不一定垂直，所以B错；C.当空间中的两条直线互相平行时，它们在同一投影面上的投影都是相互平行或重合的，又因为直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，说明，不重合，所以，只能平行，所以C正确；D.时，与可能是异面，故D错；故选C【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，以及直线在面上的投影问题，结合空间几何体分析即可，属于基础题型.5.已知函数，函数的最小值等于（）A. B. C. 5 D. 9【答案】C【解析】【分析】先将化为，由基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，当且仅当，即时，取等号.故选C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.6.某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（）A. 圆锥与圆柱的组合B. 棱锥与棱柱的组合C. 棱柱与棱柱的组合D. 棱锥与棱锥的组合【答案】D【解析】【分析】直接从正视图判断即可.【详解】正视图由一个三角形和一个矩形拼接而成，因此上方可能是一个棱锥、圆锥、或三棱柱；下方可能是一个棱柱或圆柱；故这个几何体不可能是棱锥与棱锥的组合.故选D.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图还原几何体是常考题型，熟记简单几何体的三视图即可，难度不大.7.如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，，所以在正三棱柱中，平面；又是的中点，所以,所以平面，故即是与平面所成的角；设，则，，所以.故选C.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.8.如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】先由是的中点，是的中点,可得,；再由勾股定理求出，进而表示出，再由双曲线的定义即可求出结果.【详解】因为是的中点，是的中点，所以；又，所以有，所以，所以，由双曲线的定义知：，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义，熟记双曲线定义结合题意即可求解，属于常考题型.9.过双曲线的右焦点作斜率为的直线，交两条渐近线于，两点，若，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意求出直线的方程，再与双曲线的渐近线方程联立求出A,B两点的横坐标，根据，即可求出结果.【详解】设双曲线右焦点为，则过该点斜率为的直线方程为：；又双曲线的渐近线的方程为：，所以由题意，联立可得；联立可得；因为，所以,解得，所以离心率.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，只需要直线与双曲线渐近线方程联立，求出交点坐标，根据题中条件，即可求解，属于常考题型.10.正四面体的棱与平面所成角为，其中，点在平面内，则当四面体转动时（）A. 存在某个位置使得，也存在某个位置使得B. 存在某个位置使得，但不存在某个位置使得C. 不存在某个位置使得，但存在某个位置使得D. 既不存在某个位置使得，也不存在某个位置使得【答案】B【解析】【分析】由线面垂直与线面平行的判定，结合反证法，即可得出结果.【详解】当正四面体过点的高与平面垂直时，平面平面，所以平面；若平面，因为正四面体中，所以平面，或平面，此时与平面所成角为0，与条件矛盾，所以不可能垂直平面；故选B【点睛】本题主要考查直线与平面平行与垂直的判定，在验证与平面是否垂直时，可借助反证的思想来解决，属于中档试题.二、填空题（本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知，则_______，______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由向量运算的坐标表示求出的坐标，再由向量模的坐标运算即可求出.【详解】因为，，所以，所以.故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，以及向量模的坐标运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.12.南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若，则.例如，，使用一次“调日法”得到分数，范围就缩小到.若我们要求近似值与的误差小于0.1，则至少还要使用“调日法”________次，相应得到的的近似分数是______.【答案】 (1). 二 (2).【解析】【分析】依题意按顺序使用调日法，得到的近似数，判断与的大小关系，直到误差小于0.1即可. 【详解】第二次使用调日法可得：，所以，此时，所以需要再次使用调日法，可得：，所以，此时，满足题意，所以又使用了2次调日法，且此时的近似分数是.故答案为(1). 二 (2).【点睛】本题主要考查归纳推理，依题意合理递推即可，属于基础题型.13.若抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是_______.【答案】或【解析】【分析】先求出直线与轴以及轴交点，即抛物线的焦点，从而可写出抛物线方程.【详解】因为直线与轴交点为，与轴交点为，所以当抛物线焦点为时，抛物线方程为；当抛物线焦点为时，抛物线方程为.故答案为或【点睛】本题主要考查求抛物线的标准方程，熟记抛物线标准方程的几种形式即可求出结果，属于基础题型.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为________，表面积为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先由几何体的三视图判断该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，由公式计算表面积和体积即可.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，且球的半径为1，三棱柱的底面是直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以体积为；表面积为；故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的表面积和体积，先根据三视图确定几何体的形状，再由面积公式和体积公式求解即可，属于常考题型.15.正方体的棱长为4，点是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则_______.【答案】1【解析】【分析】由空间向量的方法，根据异面直线与所成角的余弦值为，即可求出的长.【详解】以为坐标原点，以方向为轴，方向为轴,方向为轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以，设异面直线与所成的角为，则，解得，即.故答案为1【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角确定点的位置的问题，由空间向量的方法建系求解即可，属于基础题型.16.已知.若，则当取最大值时，________；若，则的最小值______.【答案】 (1). (2). 9【解析】【分析】先将化为，即可求出的最大值，以及此时的；由化为，结合题意求出此时的范围，再由用表示出，代入，结合基本不等式即可求解.【详解】由可得，即，又，当且仅当即时，取等号；所以，整理得：，因为，所以，即最大值为，联立得；由得，由得，所以，又由得，所以，当且仅当，即时，取等号.故答案为(1)；（2）【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值的问题是比较常见的一种题型，有时需要借助基本不等式的变形，所以需要考生灵活运用基本不等式来处理，属于中档试题.17.已知椭圆的离心率大于，是椭圆的上顶点，是椭圆上的点，则的最大值_______.【答案】【解析】【分析】由椭圆的参数方程设点，再由椭圆标准方程写出点坐标，由两点间距离公式，即可表示出，求解即可.【详解】因为椭圆的上顶点为，由椭圆的参数方程设，所以，所以当时，取最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程的应用，由参数方程设出点的坐标，由两点间距离公式表示出，即可求其最值，属于中档试题.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【解析】【分析】（1）依题意确定等量关系即可列出，所应该满足的条件；（2）由题意得出目标函数，结合(1)中约束条件作出可行域，结合可行域即可求出最值.【详解】（1）由题意可得：；（2）收视观众数为万，则，所以，因此直线在y轴截距最大时，取最大值；画出可行域易知当，时，有最大值，最大值是200，收视观众200万.每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，即可求解，属于基础题型.19.如图，三棱锥中，，分别是，的中点.（1）求证平面；（2）若，平面平面，，求证：.【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明平面；（2）先由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，从而可得. 【详解】（1）由、分别是、的中点得，又在平面外，所以平面（2）由，是中点得由平面平面得点在平面内的射影在上.平面∴【点睛】本题主要考查线面平行与线面垂直，熟记判定定理和性质定理，即可判断出结果.20.已知椭圆上的点（不包括横轴上点）满足：与，两点连线的斜率之积等于，，两点也在曲线上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，求；（3）求椭圆上的点到直线距离的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题中与，两点连线的斜率之积等于列出等量关系，化简整理即可求出结果；（2）先求出过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆方程，求出交点横坐标，再由弦长公式即可求出结果；（3）设出与直线平行、且与椭圆相切的直线方程，代入椭圆方程，由判别式等于0，求出切线方程，再由两条平行线间的距离公式求解即可.【详解】（1）因为与，两点连线的斜率之积等于所以，，整理得：即为所求;（2）由题意可得过椭圆的右焦点且斜率为1的直线为，代入椭圆方程得，化简整理得，所以，或∴（3）设是椭圆的切线，代入椭圆方程得：则，即由得.直线与距离为，所以当时，距离最小为.【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，由题意列出方程化简即可求出结果；第二问求弦长，通常需要联立直线与曲线方程，结合弦长公式求解；第三问求椭圆上的点到定直线上的距离的问题，可转化为求与定直线平行切与椭圆相切的直线方程，再由两平行线间的距离公式求解即可，属于常考题型.21.如图，四棱锥中，是边长等于2的等边三角形，四边形是菱形，，，是棱上的点，.，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理，即可证明平面；（2）先证明、、两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由向量夹角余弦值即可确定线面角的正弦值.【详解】（1）取中点，连结，，因为，是的中点，所以，，又，不在平面内，在平面内，所以平面，平面，又交于点；所以平面平面，∴平面.（2）∵，，故.又，，，从而.从，可得平面平面平面，，平面以、、为、、轴建系得，，，，, 则，,,设平面的法向量为，则，即，令，则，记直线与平面所成角为，所以有，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定，以及空间向量的方法求线面角，需要考生熟记判定定理即可证明线面平行；对于线面角的求法，常用向量的方法，建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量夹角即可确定线面角，属于常考题型.22.过斜率为的直线交抛物线于，两点.（1）若点是的中点，求直线的方程；（2）设是抛物线上的定点，，不与点重合.①证明恒成立；②设，交直线于，两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）①详见解析②【解析】【分析】（1）由点差法求出直线的斜率，再由点斜式即可写出直线方程；（2）①依题意联立直线与抛物线方程，由韦达定理，直接求，的斜率之积即可；②由①分别设出直线，的斜率，由直线与直线联立求出横坐标，进而求出的横坐标，再由即可求出结果.【详解】（1）由题意可得：∴方程为，即（2）①联立直线与抛物线方程并整理得：∴，.所以，②设，的斜率分别为，.则由得：，所以所以或∴.的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，求直线的方程通常只需要求出斜率和定点即可；判断直线垂直，通常只需两直线斜率之积为-1，在处理此类问题时，也会用到联立直线与曲线方程，结合韦达定理求解，属于常考题型.。
2021-2022年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案
2021年高二上学期期末综合测试数学试题 含答案一、 选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题的是（ ）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。
2、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、已知、为实数,则是的 ( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥,命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.5，如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．326、设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.37、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D.8、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=09、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ） A.; B.; C.; D..10、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ） A. 2cm; B.; C.4cm; D.8cm 。
2021-2022年高二上学期期末考试数学理试卷 含答案
秘密★启用前2021年高二上学期期末考试数学理试卷含答案一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数（是虚数单位）的虚部是（）（A）（B）（C）（D）2．定积分等于（）（A）0 （B）（C）（D）3．（原创）已知命题：，，则为（）（A），使得（B），使得（C），使得（D），使得4．用反证法证明结论：“曲线与曲线至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）（A）曲线与曲线至多有两个不同的交点（B）曲线与曲线至多有一个交点（C）曲线与曲线恰有两个不同的交点（D）曲线与曲线至少有一个交点5．已知直线与圆交于两点，则线段的长的最小值为（）（A）（B）（C）2 （D）6．的一个充分不必要条件是（）（A）（B）（C）（D）或7．给出以下五个结论：①经过两点的直线的方程为；②以为直径的两个端点的圆的方程为；③平面上到两个定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点的距离的差为常数的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。
其中正确结论有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个8．是虚数单位，若复数是纯虚数，且，复数满足，则的最大值．．．为（）（A）（B）（C）（D）9．（原创）在中，已知，，点满足，，且，则点的轨迹方程是（）（A）（B）（C）（D）10．棱长为1的正方体中，点在平面上，满足，则点的轨迹为（）（A）直线（B）一段圆弧（C）椭圆（D）圆11．（原创）点是椭圆上一点，是该椭圆上异于点的两个点，且直线的倾斜角分别为和，则直线的斜率为（）（A）或（B）（C）（D）12．（原创）观察下列不等式：，，，，……。
照此规律，第五个．．．不等式为（）（A）（B）（C）（D）二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列的前项和为，若，则_____________。
14．已知函数在单调递增，则实数的取值范围是_____________。
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市高二上学期期末数学试题一、填空题1．空间两点()1,1,2A 和()2,0,2B -间的距离为__．【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.【详解】AB =故答案为2y 10-+=的倾斜角为______．【正确答案】3π【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ=，又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为A k B =-，且tan θk =，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．3．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为__________．【正确答案】1:8【详解】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8球体的表面积体积4．经过点(3,2)A -且斜率为2的直线l 的一般式方程为__．【正确答案】280x y --=【分析】根据点斜式公式直接求解即可.【详解】解：因为直线l 过点(3,2)A -且斜率为2，所以，直线l 的方程为22(3)y x +=-，即280x y --=．故280x y --=5．空间向量(1,0,),(2,,4)a m b n =-=- ，若//a b ，则m n +=__．【正确答案】2【分析】由向量平行的坐标运算求得,m n 即可求得m n +的值.【详解】若//a b ，则(2,,4)2(1,0,)n m -=--，则0,2n m ==，所以2m n +=．故26．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取_________名学生．【正确答案】40【详解】试题分析：该学院的C 专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C 专业应抽取学生数为400×1201200=40.本题主要考查分层抽样．点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．7．若向量()()1,0,1,0,1,1a b ==- ，则向量,a b 的夹角为_____．【正确答案】23π【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.【详解】根据题意，设向量,a b 的夹角为θ，向量()()1,0,1,0,1,1a b ==-则向量1a b a b =⋅=- 则1cos2θ=-又由0θπ≤≤，则23πθ=故23π．8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．【正确答案】12π【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，所以外接球的直径=24122S ππ⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭故12π9．已知圆锥的底面半径为1θ的大小为_________．【正确答案】π圆锥的底面半径为12π，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.【详解】圆锥的底面半径为12=，即展开后所得扇形的半径为2，圆锥底面圆的周长2l π=即为展开后所得扇形的弧长，所以根据弧长公式可知22πθ=，解得θπ=故π10．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，则xy =________.【正确答案】96【详解】9101150,20x y x y ++++=+=，2211(10)(10)10x y ++-+-=，22220()192,()220()192,96x y x y x y xy x y xy +-+=-+--+=-=11．已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.【正确答案】,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将直线,a b 平移交于点P ，并作a Pb ''∠及其外角的角平分线；根据过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，可知1l 方向上有两条，2l 方向上不存在，由此可得范围.【详解】将直线,a b 平移交于点P ，设平移后的直线为,a b ''，过点P 作a Pb ''∠及其外角的角平分线12,l l ，则3a Pb π''∠=；在1l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线有两条，则6πθ>；在2l 方向，要使过空间一点P 的直线，且与,a b 所成角都是θ的直线不存在，则3πθ<；综上所述.,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为.,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．【正确答案】5【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．详解：由题意知底面圆的直径AB ＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n °，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180n ，解得n ＝90，所以展开图中∠PSC ＝90°，根据勾股定理求得PC ＝所以小虫爬行的最短距离为故答案为点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是___________.【正确答案】124【分析】由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴ ∽1AD B ，112211PB PP P B AB AD BD ==，设1,(0,1)PB x x =∈，则12PP =，2P 到平面11AA B B 的距离为h ，则2111P B h A D BD =,所以h x =，所以四面体121PP AB 的体积为22111111(1)1()()3266224V x x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-=--+，当12x =时，四面体121PP AB 的体积取得最大值：124．所以答案应填：124．1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知121//PP AD ，12PP B ∴∽1AD B ，设出1,(0,1)PB x x =∈，则122PP ，2P 到平面11AA B B 的距离为x ，表示出四面体121PP AB 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．14．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【正确答案】②④【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ=，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ=，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.二、单选题15．下列几何体中，多面体是（）【正确答案】B【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【正确答案】B【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；故选：B本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件【正确答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线l 的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线l 与平面α平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，∴前者不能推出后者，后者可以推出前者，∴前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C18．已知集合A 是集合B 的真子集，则下列关于非空集合A ，B 的四个命题：①若任取x A ∈，则x B ∈是必然事件；②若任取x A ∉，则x B ∈是不可能事件；③若任取x B ∈，则x A ∈是随机事件；④若任取x B ∉，则x A ∉是必然事件．其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】C【分析】、由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为集合A 是集合B 的真子集，所以集合A 中的元素都在集合B 中，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，作出其韦恩图如图：对于①：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x A ∈，则x B ∈是必然事件，故①正确；对于②：任取x A ∉，则x B ∈是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A 是集合B 的真子集，集合B 中存在元素不是集合A 中的元素，集合B 中也存在集合A 中的元素，所以任取x B ∈，则x A ∈是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，任取x B ∉，则x A ∉是必然事件，故④正确；所以①③④正确，正确的命题有3个．故选：C ．19．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是A ．若侧棱的长小于底面的变长，则hd的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的变长，则h d的取值范围为(,23C ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为(3D ．若侧棱的长大于底面的变长，则h d的取值范围为)+∞【正确答案】C【详解】设侧棱长是b ，底面的变长是a ，点1B 到对角线1BD 的距离h 即为直角三角形11B BD 斜边1BD上的高，111,,B D B B b h ===1B 到平面11A BCD 的距离分别d 即为直角三角形1B BA 斜边1B A上的高，111,,B A a B B b h h d ==∴=若侧棱的长小于底面的边长，即b a <22222142,111231a a b b ><+<⇒<+A,B 错误；若侧棱的长大于底面的边长，即b a >222221402,21231a a b b <<>+>+选C20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段11B C 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）A．B．[3C．D．3【正确答案】C【分析】设出正方体棱长，表达出sin α=判断出sin y α=在[0,2]a ∈是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.【详解】设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,2),(2,2,0),(0,0,0),(1,1,0),(,2,2)A B D O P a ，02a ≤≤，1(2,0,2),(2,2,0),(1,1,2)DA DB OP a ===-，设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z = ，则1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n =--，所以3sin cos ,3||||OP n n OP n α⋅===⋅⋅=3=因为02a≤≤，所以14ya=-在[0,2]a∈上单调递减，且1113,,42414a⎡⎤⎛⎫∈--⊆-∞-⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭，由复合函数单调性可知21351441414ya⎛⎫=++⎪-⎝⎭单调递增，所以sinyα=在[0,2]a∈是严格减函数，所以2a=时，sinα取最小值min(sin)α==，a=时，sinα取最大值max(sin)33α==．所以sinα的取值范围是．故选：C．方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；三、解答题21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为45，乙及格概率为35，求：(1)求甲、乙两人都及格的概率；(2)求至少有一人及格的概率；(3)求恰有一人及格的概率．【正确答案】(1)1225(2)2325(3)1125【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；【详解】（1）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，甲、乙两人都及格的概率143125525P =⨯=.（2）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，两人都不及格的概率为432(15525--=，所以，至少有一人及格的概率222312525P =-=；（3）解：因为甲及格概率为45，乙及格概率为35，所以，恰有一人及格的概率3434311(1)(1)555525P =⨯-+-⨯=．22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，L ，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；(3)从评分在[40,60)的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50,60)的概率．【正确答案】(1)0.006a =(2)80(3)310【分析】（1）根据频率和为1求解即可；（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；【详解】（1）解：因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =；所以0.006a =（2）解：可估算样本平均数为450.04550.06650.22750.28850.22950.1880x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）解：由题知，500.004102⨯⨯=人，500.006103⨯⨯=，所以，评分在[40,50)的职工有2人，记为,A B ，评分在[50,60)的职工有3人，记为,,a b c ，所以，从中随机抽取2人，所有的情况为：()()()(),,,,,,,A B A a A b A c ，()()(),,,,,B a B b B c ，()()(),,,,,a b a c b c ，共10种，其中，此2人评分都在[50,60)的有()()(),,,,,a b a c b c ，3种，所以，此2人评分都在[50,60)的概率310P =．23．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别为1BB CD 、的中点，求：(1)异面直线AF 与1D E 所成的角；(2)求点F 到平面11A D E 的距离．【正确答案】(1)(2)5【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；（2）根据空间距离的向量方法求解即可.【详解】（1）以1D 为原点，11111,,D A D C D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则11(0,1,2),(0,0,0),(2,0,(20),0,2),(2,,2,1)A A F D E ，1(2,1,0),(2,2,1)AF D E =-=，11111cos ,15||||A F D E AF D E A F D E ⋅==-，所以异面直线AF 与1D E所成的角为arccos15；（2）111(2,0,0),(2,2,1)D A D E ==，设(,,)n x y z =是平面11A D E 的法向量，则11120220n D A x n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1y =-，得(0,1,2)n =- ，又1(0,1,2)D F =，所以点F 到平面11A D E 的距离1||355||n D F d n ⋅==．24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上（点E 异于A 、B 两点），点F 在DE 上，且AF D E ⊥，若圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π．(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.【详解】（1）根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥．因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，又AE AD A ⋂=，故EB ⊥平面DAE ．因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥．又AF D E ⊥，且EB DE E =I ，故AF ⊥平面DEB ．因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以过E 作EH AB ⊥，由平面ABCD ⋂平面ABE AB =，则EH ⊥平面ABCD ，即EDH ∠为DE 与平面ABCD 所成角，设圆柱的底半径为r ，因为圆柱的轴截面ABCD 是正方形，ABE 的面积为12S AB EH r EH =⋅⋅=⋅．圆柱的底面积2S r π=，因为圆柱的底面积与ABE 的面积之比等于π，所以2r EH r ππ⋅⋅=，解得EH r =，所以点H 为圆柱底面圆的圆心，则tan EH EDH DH ∠====即直线DE 与平面ABCD 25．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是P 为侧棱SD 上的点．(1)求正四棱锥S ABCD -的体积；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；(3)在（2）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ．若存在，求:SE EC 的值；若不存在，试说明理由．【正确答案】(1)463(2)30︒(3)当:2:1SE EC =时，//BE 平面PAC ．【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；（3）在第二问的基础上，设CE tCS = ，通过BE BC tCS =+ 得到BE的坐标，结合0BE DS ⋅= 求出t 的值，求出答案.【详解】（1）连接BD 与AC 相交于点O ，连接SO ，因为正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长是22所以SO ⊥平面ABCD ，2AO BO CO DO ====即SO 为正四棱锥的高，故正四棱锥的高22(22)(2)6h -正方形ABCD 的面积为224=，所以正四棱锥S ABCD -的体积143V =⨯（2）以O 为坐标原点，,,O OC O B S分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图．由（1）知高SO =于是(S D C ，(OC SD ==，0OC SD ⋅=，故OC SD ⊥，从而AC SD ⊥，所以平面PAC 的一个法向量DS =，平面DAC 的一个法向量OS =．由图可知二面角P AC D --为锐角，设所求二面角为θ，则cos ||||OS DS OS DS θ⋅== 所求二面角的大小为30︒；（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．由（2）得DS是平面PAC 的一个法向量，且(0,DS CS == ，设CE tCS = ，则()BE BC CE BC tCS =+=+=，而103BE DS t ⋅=⇔= ，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ ，而BE 不在平面PAC 内，故//BE 平面PAC ．。
高中数学选择性必修二 高二数学上学期期末测试卷01()(含答案)
2021-2022学年上学期期末卷01高二数学·全解全析【解析由214y x =化为24x y =，抛物线焦点在y 轴正半轴，且2p =， 则准线方程为1y =-. 故选：A .2.【答案】D【解析】当4k =时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率存在，两直线不平行；当4k ≠时，两直线平行的一个必要条件是334kk k-=--，解得3k =或5k =，但必须满足截距不相等，经检验知3k =或5k =时两直线的截距都不相等. 故选：D . 3.【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩. 把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C4.【答案】B【解析】①当0b =时，a 与c 不一定共线，故①错误；②当a ，b ，c 共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内， 故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a ，b 不共线且c a b λμ=+时，a ，b ，c 共面，故④错误． 故选：B ． 5.【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中573a a =，所以7723a d a -=，所以()72+0a d =，即80a =， 又等差数列{}n a 中10a >，公差0d <，所以等差数列{}n a 是单调递减数列，所以1278910...0...a a a a a a >>>>=>>，所以等差数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最大值，则n 的值为7或8. 故选:B .6.【答案】D【解析】设该高阶等差数列的第8项为x ， 根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得341295y x y -=⎧⎨-=⎩，则14146x y =⎧⎨=⎩. 故选：D 7.【答案】B【解析】设P 为第一象限的交点，1||PF m =、2||PF n =， 则12m n a +=、22m n a -=，解得12m a a =+、12n a a =-，在12PF F ∆中，由余弦定理得：2221241cos 22m n mn F c F P +-∠==，∴2224m n mn c +-=，∴22212121212()()()()4a a a a a a a a c ++--+-=，∴2221234a a c +=，∴22122234a a c c+=，∴2221314e e +=，设112sin e α=，21e α，则12112sin )6e e πααα+==+，当3πα=时，1211e e +，此时1e =2e，12e e +=故选：B8.【答案】D【解析】在①中，∵1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=， 且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ， ∴111AC BD ⊥， 同理，11DC BD ⊥， ∵1111AC DC C ⋂=，且111,A C DC ⊂平面11AC D ， ∴直线1BD ⊥平面11AC D ，正确； 在②中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，∴1//B C 平面11AC D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11AC D 的距离为定值，又11A C D 的面积是定值， ∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，正确； 在③中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角. 易知1AB C 为等边三角形， 当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为3π.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，错误；在④中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ， 所以()1,0,1C P a a =-，()11,1,1D B =-.由①正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D Ba ⋅==⋅， ∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D ，正确. 故选：D9.【答案】CD【解析】对于A ：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有11B B BC BC +=，()11//B B BC A D ∴+，故A 错误；对于B ：111111A A A D A B A D A B BD +-=-=，1AB AD ==，60BAD ︒∠=，21BD =，又2111A B =，∴()22111111A A A D A BA B +-=，故B 错误；对于C ：11A B AD AB AD DB -=-=，()111AC A B AD ⋅-=()11()()()()AB AD AA AB AD AB AD AB AD AA AB AD ++⋅-=+⋅-+⋅-，由题知，1AB AD ==，12AA =，1145BAA DAA ∠=∠=︒，60BAD ∠=︒，所以，()221111AC A B AD AB AD AA ⋅-=-+10AB AA AD ⋅-⋅=，故C 正确； 对于D：AC AB AD =+，111AC AC AA AB AD AA =+=++，21AC =()21AB AD AA ++222111||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos6021cos 45︒︒+⨯⨯⨯+⨯21cos 459︒+⨯=．所以13AC =．故D 正确，故选：CD． 10.【答案】ABC【解析】由圆22:4O x y +=可得圆心()0,0O ，半径2r ，对于A ：因为2PQ OP OQ ===，所以POQ △是边长为2的等边三角形， 若PQ 中点为M ，则OM PQ ⊥，且OM =所以点M 的轨迹是以()0,0O所以点M 的轨迹方程为223x y +=，故选项A 正确；对于B ：设()00,P x y ，BP 中点为(),x y ，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00222x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222224x y -+=，所以()2211x y -+=即BP 中点轨迹方程为()2211x y -+=，故选项B 正确； 对于C ：设()00,P x y ，CP 的中点(),x y ，则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以00232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为()00,P x y 在圆22:4O x y +=上，所以22004x y +=，所以()()222324x y -+=，即22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以CP 的中点轨迹方程为22312x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故选项C 正确；对于D ：设AP 的中垂线与OP 的交点为M ，由垂直平分线的性质可得MA MP =，所以21MO MA MO MP OP OA +=+==>=，所以点M 的轨迹是以O ，A 为焦点，长轴长为2的椭圆，故选项D 不正确； 故选：ABC .11.【答案】ACD 【解析】对于选项A ，令2y t x+=，则2y tx =-， 因为点(),P x y 在圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，所以直线2y tx =-与圆22:(1)(1)2C x y -+-=有交点，因此圆心到直线的距离d =≤7k ≤-或1k ，故A 正确； 对于选项B ，由10kx y k ---=，得()()110k x y --+=，因此直线10kx y k ---=过定点()1,1P -，因为213312PM k +==-，111312PN k +==---，且313-<<，所以12k ≤-或32k ≥，故B 错误；对于选项C ，圆222(0)x y r r +=>的圆心直线l的距离2d =因为点(),P a b 是圆222(0)x y r r +=>外一点，所以222a b r +>，因此2d r =<，即直线与圆相交，故C 正确；对于选项D ，到点()1,0N 的距离为1点在圆()2211x y -+=上， 由题意可知，圆()2211x y -+=与圆222:(4)(4)(0)M x y r r -+-=>相交， 故圆心距5d MN ==，且11r d r -<<+，解得46r <<，故D 正确. 故选：ACD .12.【答案】BCD【解析】22:21n n C x y a n +=++的圆心为()0,0，半径为r =所以圆心到直线:n l y x =d ==则()()2224421n n n A B r d a =-=+，所以121n n a a +=+，则()1121n n a a ++=+所以()111122n n n a a -+=+=，得21n n a =- ，故A 错，B 正确；前n 项和为()12122212n n n S n n +-=-=---，故C 正确；由()()11111111122111221212121212121ii n nnni i n n i i i i i i i a a +++++===+-⎛⎫==-=-= ⎪------⎝⎭∑∑∑，故D 正确． 故选：BCD13.【答案】1【解析】圆C ：()()22211x k y k -++-=的圆心为()21,k k -因为圆C 与x 轴和y 轴均相切，所以211k k -== 解得1k = 故答案为：114.【答案】14【解析】因为四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点G 是棱CD 的中点，所以AG AC CG =+，且12CG =，1AC =，1BC =，所以()AC CG A BC AG BC BC BC C CG ⋅=⋅⋅+=+⋅ 111cos60cos120244AC BC G BC C ⋅=-⋅⋅+⋅==， 故答案为：1. 15.-【解析】如图，取1PF 的中点A ，连接OA ，12OA OF OP ∴=+，212OA F P =， ∴12OFOP F P +=，11()0PF OF OP +=，∴120PF F P =，∴12PF F P ⊥，12||2||PF PF =，不妨设2||PF m =，则1||PF ， 21||||2PF PF a m +==，1)ma ∴==，12||2F F c =，2222242334(3cm m m a∴=+==⨯-，∴2229c a=-=，e ∴=-16.【答案】20202021-【解析】由题意可知，对任意的n *∈N ，0n a >且22n n n S a a =+.当1n =时，则21112a a a =+，解得11a =.当2n ≥时，由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，上述两式作差得22112n n n n n a a a a a --=-+-，可得()()1110n n n n a a a a --+--=， 所以，11n n a a --=，所以，数列{}n a 是等差数列，且首项和公差均为1，则11n a n n =+-=，()12n n n S +=， 则()()()()211211111112nn n n n n a c n n n n n S +⎛⎫=+ ⎪++=--⎝+=⎭-， 因此，数列{}n c 的前2020项之和为202011111111202011223342020202120212021T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202021-. 17.【解析】（1）因为11n n n S S a +=++，所以11n n n S S a +-=+，即11n n a a +=+， 所以数列{}n a 是首项为1a ，公差为1的等差数列.选①.由4713a a +=，得113613a d a d +++=，即12139a d =-， 所以1213914a =-⨯=，解得12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+， 即数列{}n a 的通项公式为1n a n =+.选②.由1a ，3a ，7a 成等比数列，得()()211126a d a a d +=+，则2221111446a a d d a a d ++=+，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-⨯=+.选③.因为10111091010452S a d a d ⨯=+⨯=+， 所以11045165a +⨯=，所以12a =.所以()()112111n a a n d n n =+-=+-=+.（2）由题可知122n n na n +=，所以2323412222n n n T +=+++⋅⋅⋅+， 所以234112*********n n n n n T ++=+++⋅⋅⋅++，两式相减，得23411111111222222n n n n T ++=++++⋅⋅⋅+-2311111111112222222n n n -++⎛⎫=+⨯++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 111111133212222212nn n n n ++-++=+⨯-=--， 所以332n n n T +=-.18.【解析】（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，则,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，射线,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：则(0,0,0)A ，()2,0,0B ，()0,0,4P ，()2,4,0C ，()0,4,0D ，连BD，则BD =BP =BD BP ，PBD △是等腰三角形，而M 是PD 上一点，且BM PD ⊥，于是得M 是PD 的中点，即()0,2,2M ， 因此，()2,4,0AC =，()0,2,2AM =，()2,0,0AB =，设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则240220n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，令1z =，得()2,1,1n =-，所以点B 到平面ACM的距离为46AB n h n⋅===. （2）由(1)知，()2,2,2BM =-，()2,4,4PC =-，则4cos ,||||12BMPC BM PC BM PC ⋅-〈〉===所以异面直线BM 与PC 19.【解析】（1）证明：因为直线()():2129120l k x k y k ++-+-=，所以()()292120k x y x y -+++-=．令2902120x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得36x y =⎧⎨=⎩，所以不论k 取何值，直线l 必过定点()3,6P ．（2）由（1）知：直线l 经过圆C 内一定点()3,6P ，圆心()2,3C ， 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则12ABCSAB d=== 因为(0,d∈，所以d =ABC 面积的最大值为4． 20.【解析】（1）证明：连接BO ，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =， 又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥， OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC, （2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+， 则平面PAC 的法向量为()1,0,0m =， 设平面MPA的法向量(,,),n x y z = 则(0,2,PA =-- 20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM xy λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即31=+⨯13λ= 或 3λ=( 舍 )，设平面MPA 的法向量(23,n =，(0,2,PC =-， 设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>===+所以PC 与平面P AM21.【解析】（1）由题意，从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b ，∴{}n a 是以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列；{}n b 是以6 1.57.5+=为首项，1.5为公差的等差数列，∴()2015%nn a =+，6 1.5n b n =+.（2）设今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为n S ， ∴()()11n n n S a b a b =-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++()()220 1.0520 1.0520 1.057.596 1.5n n =⨯+⨯++⨯-++++()()()20 1.051 1.057.56 1.51 1.052n n n +⨯-=-++-2327420 1.0542044n n n =⨯---， 当5n =时，63.5n S ≈.∴今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.22.【解析】（1）12c e a ==，1AF a c =-=，∴2a =，1c =，2223b a c =-=，∴22143x y +=； （2）设()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,B x y --，CF ：1x my =-联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴()234690m y my +--=，∴122122934634y y m m y y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩()()()()()()22121211212212121212121121232321212y y x y my y my k x my y y y k y x y my y my my y y x ----+-=====+-+++-1221211229627333434343993434m m m y y m m m m my y m m -⎛⎫---+ ⎪++⎝⎭+===--++++。
2022级高二第一学期期末考试数学试卷及详解
2022级高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD P AC 夹角的余弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且（*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =都有1n n c c +>成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1l （直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PF QFTM TN ⋅⋅的值.参考答案：8．D【详解】 1112n n n n n n a a a a a a +-++= 112a =，418a =，∴112a =，41a 1115．99100/0.99【详解】因为2312555a a a ++所以当2n ≥时，21255a a ++将1 与2 式相减得：5nn a 1，的最小距离为d r-=则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3),A B P 所以(0,1,3),(3,1,0),PB CB =-= 设平面PBC 的一个法向量(n = 令3z =，则1,3x y =-=，所以联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 后整理为(2022级高二第一学期期末考试数学试卷一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）表示的圆中，当圆面积最小时，此时k =.是边长为43的等边三角形，则251n a +，则{}n b 的前99项和为是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD 弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1（直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于,M N 两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l ，与椭圆。
高二上半学年的数学期末试题及解答
高二上半学年的数学期末试题及解答试题一：代数与函数1. 已知函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求 $f(2)$ 的值。
2. 解方程 $\frac{1}{3}x + 4 = 7$。
3. 若 $x$ 是方程 $2x + 1 = 3$ 的解，求方程 $4x + 2 = 6$ 的解。
解答一：代数与函数1. 将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 5 = 15$。
2. 将方程两边同时减去 $4$，得到 $\frac{1}{3}x = 3$。
再将方程两边同时乘以 $3$，得到 $x = 9$。
3. 将方程两边同时减去 $2$，得到 $4x = 4$。
再将方程两边同时除以 $4$，得到 $x = 1$。
试题二：几何1. 已知 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$AB = AC$。
若 $\angle BAC = 60^\circ$，求 $\angle ABC$ 和 $\angle BCA$ 的度数。
2. 在直角三角形 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB = 5$，$BC =12$，求 $AC$ 的长度。
3. 已知平行四边形 $ABCD$ 的对角线交点为 $E$，若 $AC =8$，$BD = 6$，求 $AE$ 和 $DE$ 的长度。
解答二：几何1. 由等腰三角形的性质可知，$\angle ABC = \angle BCA$。
又由三角形内角和为 $180^\circ$，得到 $\angle ABC = \angle BCA =\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ$。
2. 根据勾股定理，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$。
3. 由平行四边形的性质可知，$AE = BD = 6$，$DE = AC - AE = 13 - 6 = 7$。
2024届统编版(数学高二上期末检测试题含解析
2024届统编版（数学高二上期末检测试题考生须知：1. 全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色 字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2. 请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两条异面直线的方向向量分别是" =（3,1,2）, u =（3,2,-1）,则这两条异面直线所成的角。
满足（）19A. sin 0 = —4B. sin 。
=——14C. cos 0 =—4♦ 9D. cos u ——142.在平形六面体 ABCD-A.B.QD.中，其中 AB = 1, AD = 2,心=3, ZK4D = 90°, ^BAA. - ZDAA. = 60° ,则AG 的长为（）A. y/13B. ^23C. V33D. ^43V 2 V 2 33. 若双曲线亳-匕=1（。
〉0）的渐近线方程为尸土%,则。
的值为（）a 9 2A.2B.3C.4D.64. 已知等比数列｛%｝的前〃项和为S 〃，若公比q= 2,则 一=（）2 1A. 一 B. 一371 3C.— D.—3 75. 双曲线4x 2-3/ =2实轴长为（）A. 1B. ^2C.2D. 2^26.已知圆 G ： x 2 + y 2-2x + my + l = 0(mG/?)的面积被直线 x + 2y + l = 0 平分，圆 C 2 ： (x + 2)2+(y-3)2 =16,则圆G 与圆G 的位置关系是（）A湘离C.内切B.相交D.外切7.已知圆。
]的方程为3-。
尸+⑪-济=4,圆0的方程为尤2+(厂》+1)2=1,其中a,beR,那么这两个圆的位置关系不可能为()A.外离B.外切C.内含D.内切8.已知1=(4,—1,2),人=(—2,x,—1),若G lb，则实数"()1A. B.—22C.2D.一29.若圆G:(1—2)2+尸=1与圆：亍+》2+4工+6);+质=0有且仅有一条公切线，则以=()A.—23B.—3C.-12D.-13()[3+a?.n>3,n^J奇数()10.数列｛%｝满足。
上学期高二的数学期末考试试题和答案
上学期高二的数学期末考试试题和答案
1. 选择题：
1) 一组数据的方差是4，标准差是2，这组数据的个数为多少？
答案：方差等于标准差的平方，所以标准差的平方为4，标准
差为2，解得数据的个数为4。
2) 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-1)的值。
答案：将x替换为-1，得到f(-1) = 2(-1)^2 + 3(-1) - 5 = 2 + (-3) - 5 = -6。
2. 解答题：
1) 解方程组：
{ 2x + 3y = 7
{ 4x - y = 1
答案：通过消元法或代入法，解得x = 1，y = 1。
2) 某公司的年利润达到100万元，年利润增长率为5%，求该
公司当年的利润是多少？
答案：设当年的利润为x万元，根据题意列方程：x * (1 + 0.05) = 100，解得x ≈ 95.24万元。
3. 计算题：
1) 计算 2^3 - 3 * (4 + 5)的值。
答案：先计算括号内的值得到9，然后计算指数运算得到2^3 = 8，最后计算减法得到8 - 3 * 9 = 8 - 27 = -19。
2) 计算log2(8) + log4(16)的值。
答案：根据换底公式，log2(8) = log10(8) / log10(2) = 3 / 0.301 = 9.967，log4(16) = log10(16) / log10(4) = 4 / 0.602 = 6.645，所以计算结果为9.967 + 6.645 ≈ 16.612。
以上为上学期高二的数学期末考试试题和答案。
高二上数学期末知识点归纳总结
高二上数学期末知识点归纳总结高二上学期的数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识点，并在课堂上进行了实际的练习和应用。
以下是我对这一学期所学内容的归纳总结。
一、集合与函数1. 集合的基本概念：定义、元素、包含关系等。
2. 集合的运算：交集、并集、差集等。
3. 关系与函数：定义、域、值域、一一映射等。
4. 函数的性质与图像：奇偶性、单调性、有界性等。
5. 复合函数与反函数：定义、求解、性质等。
二、数列与数列极限1. 等差数列与等差数列的通项公式。
2. 等比数列与等比数列的通项公式。
3. 数列的性质与特殊数列的求和。
4. 数列极限：极限的定义、性质、夹逼定理等。
5. 无穷数列的极限：无穷数列极限的性质、收敛性等。
三、平面向量1. 平面向量的定义与性质：相等、共线、平移等。
2. 平面向量的加法与减法：表示、运算规律、几何意义等。
3. 平面向量的数量积与向量积：定义、性质、几何意义等。
4. 平面向量的垂直与平行：判定、性质、应用等。
四、三角函数1. 三角函数的定义与性质：正弦、余弦、正切等。
2. 三角函数的基本关系：辅助角公式、和差化积等。
3. 三角函数的图像与性质：周期、奇偶性、单调性等。
4. 三角函数的应用：三角函数方程、三角函数不等式等。
五、立体几何1. 空间坐标系与向量表示：点的坐标、向量表示等。
2. 空间几何的基本概念：空间直线、平面等。
3. 空间几何的性质与判定：共面、共线、垂直等。
4. 空间几何的计算：距离、夹角、投影等。
5. 空间立体图形：球、圆锥、圆柱、棱锥等。
六、概率与统计1. 随机事件与概率：基本概念、计算方法等。
2. 事件的关系与计算：和事件、差事件、互斥事件等。
3. 概率的计算规则：加法定理、乘法定理、全概率定理等。
4. 统计与频率分布：频率、频数、直方图等。
5. 数据分析与统计推断：均值、方差、抽样等。
以上是高二上学期数学课程的重要知识点总结。
这些知识点涵盖了集合与函数、数列与数列极限、平面向量、三角函数、立体几何以及概率与统计等多个领域。
第一学期高二期末考试数学试卷含答案
第一学期高二期末第一学期期末考试数学试题【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．函数2()4f x x =的导函数是（ ） A ．'()2f x x = B ．'()4f x x =C ．'()8f x x =D ．'()16f x x =2．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．双曲线2228x y -=的实轴长是（ ）A ．2B ．C ．4D ．4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( ) A ．16B ．13C ．23D ．15．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )6．直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则a=（ ）A ．1B ．3C D ．27．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=8．函数14ln )(+-=x x x f 递增区间为（ ） A ．)41,0(B ．)4,0(C ．)41,(-∞D ．),41(+∞9．设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A ．25B ．246+C ．27+D ．2610．如图，已知直线与抛物线)0(22>=p px y 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB,OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D的坐标（4，2），则p=( )。
2024学年上海市12校数学高二上期末经典试题含解析
a4
a6
a8
a10
1 25 1 2
25
1，
∴ S10 (a1 a3 a5 a7 a9 ) (a2 a4 a6 a8 a10 ) 61.
故选：B. 8、A 【解题分析】由方程确定曲线的形状，然后转化为求圆上的点到直线距离的最大值
【题目详解】由曲线方程为 x2 y2 x y 知曲线关于 x, y 轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一象限内，
15．若 an (1)n (2n 1) ，则数列an 的前 21 项和 S21 ___________.
16．如图三角形数阵：
1
23
பைடு நூலகம்
456
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照自上而下，自左而右的顺序，2021 位于第 i 行的第 j 列，则 i j ______
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4，先从盒子中随机取出一个
3m
令 k 5 3 3n ，则 3mk 3n 5 3 0 它对应直线 3kx 3y 5 3 0 3m
3kx 3y 5 3 0
由
x
2
4
y2 3
1
整理得 (9 12k 2 )x2 40 3kx 64 0
由判别式 40
3k
2
4 64(9 12k 2 ) 0 解得
0 3 0
1
x0 2
3
5
，解得
x0 y0
5 8
，即
A
5,8
.
根据椭圆的定义可知， 2a AP BP AP BP AB 5 32 82 2 17 ，
高二数学上学期期末考试参考答案
高二数学上学期期末测试参考答案一、 选择题：1、〔D 〕,2、〔B 〕,3、〔B 〕,4、〔C 〕,5、〔B 〕,6、〔A 〕,7、〔B 〕,8、〔D 〕, 9、〔C 〕, 10、〔A 〕, 11、〔D 〕, 12、〔B 〕.二、 填空题：13、-10, 14、 8, 15、〔x-5〕2+(y-3)2=42, 16、1352222=+y x 三、 解做题： 17、证实：(a ）422466()b a b a b +-+0)()())(()()()()222224422224224426246>+-=--=---=-+-=b a b a b a b a b a b b a a b a b b a a于是422466422466,0)()b a b a b a b a b a b a +>+>+-+即18、解：得15512<+-<-x x,432141320450651551552222<<<<⇒⎩⎨⎧<<><⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<+-->+-x x x x x x x x x x x x x 或或所以原不等式的解集为{}4321|<<<<x x x 或19、解：设点M 的坐标为(x, y) , 点P 的坐标为(x ),00y ,那么 x=x 44),(,2,2020220000=+=+=y x y x y x P y y 上所以在圆因为 (1) 将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程 即1422=+y x ,所以点M 的轨迹是一个椭圆.20、解：由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为F 〔1,0〕,所以直线AB 的方程为y=x-1 (1)将方程〔1〕代入抛物线方程y 化简为得,4)1(,422x x x =-= 223,223016212-=+==+-x x x x 得将x 222,222:),1(,2121-=+=y y x 得的值代入方程 即A,B 的坐标分别为(3+2222,223(),222,2--+) 所以8)24()24(22=+=AB21、解：设水池底面一边的长度为x 米,那么另一边的长度为米x34800,又设水池总造价为L 元,根据题意,得 297600,40,16002976004027202400001600.2720240000)1600(720240000)348003232(12034800150有最小值时即当L x xx xx xx xx L ===⨯⨯+=⨯+≥++=⨯⨯+⨯+⨯= 答：当水池的底面是边长为40米的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元.22、解：设生产书桌x 张,书橱y 张,由题意得,06002902.01.0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y o x y x y x 求Z=80x+120y 的最大值最优解为两直线 ⎩⎨⎧=+=+6002902.01.0y x y x 的交点A 〔100,400〕. 答：生产书桌100张,书橱400张时,可使生产利润最大.。
辽宁2022年高二上学期数学期末考试带参考答案与解析
辽宁2022年高二上学期数学期末考试带参考答案与解析选择题如果,那么下列不等式成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，所以，所以，故选D.选择题下列命题中，假命题是( )A. ，B. ，C. 的充要条件是D. ，是的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，根据指数函数的性质可得到结果正确；对于B可代入特殊值验证；对于C可举出反例推翻；对于D，，可以推出a>1,b>1,也可以是a>0，根据指数函数的性质得结果正确；对于B. ，，例如当时，满足题意，故正确；C. 的充要条件是，错误，比如a=0=b时，也满足，但是不满足；对于D. 可以是a>1,b>1,也可以是a，是的充分不必要条件.故答案为：C.选择题已知等差数列的前13项之和为39，则( )A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】根据等差数列和的性质得到，再由等差数列的性质得到，进而得到结果.等差数列的前13项之和为解得，根据等差数列的性质得到，故得到.故故答案为：B.选择题若，满足，则的最大值为（）A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】试题分析：由图可得在处取得最大值，由最大值，故选C.选择题设的内角的对边分别为，且，，，则( )A. 1B. 3C.D.【答案】B【解析】由3sinA＝2sinB即正弦定理可得3a＝2b，由a＝2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．∵3sinA＝2sinB，∴由正弦定理可得：3a＝2b，∵a＝2，∴可解得b＝3，又∵cosC＝，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝4+9﹣2×＝9，∴解得：c＝3．故答案为：B．选择题已知实数，，且，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，可得a＝＞0，解得b＞1．变形a+2b＝+2b＝，再变形，利用基本不等式的性质即可得出．∵a＞0，b＞0，且2a+b＝ab，∴a＝＞0，解得b＞1．则a+2b＝+2b＝=≥，当且仅当b＝，a＝时取等号．其最小值为．故选：B．选择题若函数的图像上存在不同两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相平行，则称具有“同质点”.关于函数：①；②；③；④.以上四个函数中具有“同质点”的函数是( )A. ①④B. ②③C. ①②D. ③④【答案】A【解析】由题意得，具有“同质点”也就是存在两个不同的点使得，分别求出导函数即可得出结果.设函数的图像上存在不同两点且，由题意具有“同质点”，则，，具有“同质点”，，不存在，不具有“同质点”，，不存在，不具有“同质点”，，具有“同质点”故选：A.选择题在中，角的对边分别为，.则的最大值为( )A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】根据题干得到B=，原式，根据角A 的范围得到最值即可.角的对边分别为，，变形为：根据余弦定理，故角B=.,因为故最大值为：1.故答案为：A.选择题在中，，，若最短边长为，则最长边为( )A. B. C. D. 5【答案】D【解析】由已知及同角三角函数基本关系式可求cosA，sinA，sinB，利用两角和的余弦函数公式可求cosC＝﹣＜0，可得短边为b，由正弦定理即可求得最长边的值．由tanA＝＞0，得cosA＝，sinA＝，由cosB＝＞0，得sinB＝，于是cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝﹣＜0，即∠C为最大角，c为最长边，最短边为b，于是由正弦定理求得c ＝5．故选：D．选择题设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，并且满足条件：，，，下列结论中正确的是( )A. B.C. 是数列中的最大值D. 数列无最小值【答案】D【解析】根据题干条件可得到数列>1,0 进而得到B正确；由前n项积的性质得到是数列中的最大值；从开始后面的值越来越小，但是都是大于0的，故没有最小值.因为条件：，，，可知数列>1,0 ，故B不对；前项之积为，所有大于等于1的项乘到一起，能够取得最大值，故是数列中的最大值. 数列无最小值,因为从开始后面的值越来越小，但是都是大于0的，故没有最小值.故D正确.故答案为：D.选择题已知双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，点为双曲线右支上一点，延长交双曲线于点，，，则为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据双曲线的定义得到通过三角形的几何关系得到PM=，,在三角形中应用余弦定理，列式求参数a 即可.设,则因为,所以根据双曲线的定义得到在三角形中，顶角为，底角分别为，通过三角形的几何关系得到PM=，,在三角形中应用余弦定理得到化简得到：故答案为：B.选择题已知函数在上有极值点，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】通过求导数，有区间上有极值点转化为导数在区间上等于零有解，然后参变分离，形成新函数，转化成求函数最值可得结果.由题，因为ax作为分母，所以求得因为函数f(x)在区间在有极值点，即有解在区间即在有解，也就是在有解转化为在有解令当单调递减；当单调递增，的最小值为，当，经检验，不满足题意；又因为综上：a的范围是故选C.填空题已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点且点在第一象限，若，则点的坐标为__________．【答案】（3,2）【解析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y.设该点坐标为（x，y）根据抛物线定义可知x+2＝5，解得x＝3，代入抛物线方程求得y ＝±2，∵P在第一象限，∴P（3，2）．故答案为：（3，2）．填空题在中，已知三边成等比数列，且，则的值为__________．【答案】【解析】根据正弦定理化简原式得到角B的值，因为，根据正弦定理得到：，代入求值即可.在中,,由正弦定理得到sinA=sinBcosC+sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 化简得到sinB=cosB,故角B为，因为，根据正弦定理得到：.故答案为：.填空题甲同学写出三个不等式：:，:，：，然后将的值告诉了乙、丙、丁三位同学，要求他们各用一句话来描述，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的描述：乙：为整数；丙：是成立的充分不必要条件；丁：是成立的必要不充分条件；甲：三位同学说得都对，则的值为__________．【答案】-1【解析】根据每个同学的描述得到相应的解集，进而推得参数值.根据条件知道，每个同学说的都是事实，:等价于x(x-1)；是成立的充分不必要条件,故：解集为：是成立的必要不充分条件，故q的解集是r的解集的子集，在的前提下，结合二次函数的性质得到，函数的对称轴为：二次函数和y轴的交点为：，二次函数图像大致如图：只需要在-3处的函数值大于0即可，即：综上：，又因为a是整数，故得到a=-1.故答案为：-1.填空题已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则椭圆的短轴长为__________．【答案】【解析】先据题意有公共焦点，找到a，b的关系，再根据题意设交点，建立等量关系，最后求得b的值.由题，双曲线N中，，又椭圆：与双曲线：有公共焦点，N的渐近线方程：，因为渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分设渐近线与椭圆相交于C、D两点，所以设即又因为C在M上，所以得故答案为：解答题已知命题：关于的不等式无解；命题：指数函数是增函数.（1）若命题为真命题，求的取值范围；（2）若满足为假命题为真命题的实数取值范围是集合，集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）[4,+∞) （2）[-3,2]【解析】（1）根据题干条件得到命题p下的m的范围，和命题q下m的范围，两者取交集即可；（2）由（1）可知，m的取值范围是（3,4）即A={m|31,m>3，取交集得到[4,+∞).综上，m的范围是[4,+∞)。
2023-2024学年内蒙古通辽市高二上学期期末检测数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年内蒙古通辽市高二上册期末检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1214A x x =-<+<，{}1,0,1B =-，则A B = （）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}12x x -<<【正确答案】B【分析】化简集合A ，利用交集的定义求A B ⋂.【详解】因为{}3121412A x x x x ⎧⎫=-<+<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1B =-，所以{}0,1A B = .故选：B.2．已知()1i 75i z +=+，则z =（）A ．6i -B ．6i+C ．32i-D ．12i-【正确答案】B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念即可求解.【详解】因为()()()()75i 1i 75i 122i6i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-，所以6i z =+.故选：B.3．命题:1,(1)0p x x x ∀>->，则p ⌝是（）A ．1,(1)0x x x ∀>-≤B ．()1,10x x x ∀≤->C ．()000110x x x ∃≤->，D ．0001,(1)0x x x ∃>-≤【正确答案】D【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可得到答案.【详解】命题:1,(1)0p x x x ∀>->，则p ⌝.0001,(1)0x x x ∃>-≤故选：D4．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π5π4,,412a A C ===，则b =（）A ．B ．C ．D ．6【正确答案】C【分析】三角形三内角和为π，故可求角B ，利用正弦定理即可求b .【详解】因为π5π,412A C ==，所以ππ3B AC =--=，因为sin sin a bA B=，所以π4sin4sin 3πsin sin 42a Bb A ⨯===故选：C.5．已知等差数列{}n a 满足5618a a +=，则其前10项之和为（）A ．90B ．180C ．99D ．81【正确答案】A【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式和前n 项和公式即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由5618a a +=，得：12918a d +=，又其前10项之和()()1011110101101045529518902S a d a d a d ⨯-=+=+=+=⨯=，故选：A.6．若实数x ，y 满足约束条件020220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（）A ．6-B ．1-C ．2D ．4【正确答案】C【分析】根据约束条件得可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最小值，即直线经过点A ，解方程组20220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得()0,2A ，所以min 2022z =⨯+=，故选：C ．7．已知椭圆C ：2x m +26y m +=1的离心率为32，则C 的长轴长为（）A ．2B ．2C ．2D ．4【正确答案】B【分析】直接利用椭圆的标准方程性质和离心率的定义即可求解.【详解】依题意，因为椭圆C 的离心率为3266m m m +-+32，得m=2，故长轴长为6m +2．故选：B.8．正实数x ，y 满足1x y +=，则11y x y++的最小值是（）A ．32+B ．222+C ．5D ．112【正确答案】B 【分析】11y x y++中的“1”用“x y +”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解.【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1122y x y y x y y x x y x y x y+++++=+=++2222y xx y≥+⋅+当且仅当1x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即21=-x y 时等号成立.故11y x y++的最小值是2+.故选:B.9．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos sin6a C c A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若a =，4b =，则c ＝（）A ．2B ．4C ．D ．8【正确答案】A【分析】由正弦定理，结合条件πcos sin 6a C c A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得πsin cos sin sin 6A C C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进一步求出π6C =，利用余弦定理求出c .【详解】由正弦定理sin sin a c A C =，及πcos sin 6a C c A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得πsin cos sin sin 6A C C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又sin 0A ≠，所以π1sin cos sin 62C C C C ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，整理得3sin C C =，所以tan 3C =，又C ∈(0,π)，所以π6C =．由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得21216244c =+-=，则2c =．故选：A ．10．设椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为M ，N ，点G 在椭圆C 上，若8MN =，303=∠= GN GNM ，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．23C D 【正确答案】D【分析】由8MN =可求a ，由条件求出点N 的坐标，代入椭圆方程结合条件求b ，由此可求椭圆的离心率.【详解】设椭圆C 的半焦距为c ，0c >，因为椭圆C 的左、右顶点分别为M ，N ，所以(),0M a -，(),0N a ，又8MN =，所以4a =，设点G 的坐标为(),x y ，则44x -≤≤，因为30=∠= GN GNM ，又4cos30x GN -= ，sin 30yGN= ，所以2,3x y ==±，即2,G ⎛ ⎝⎭，将点2,G ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程可得2441163b +=，所以43b =，故c =所以椭圆C的离心率3c e a ==，故选：D.11．已知数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-）.则222122020232021a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【正确答案】D【分析】由题设得1{}n n a a +-是首项为4，公差为2的等差数列，可得122n n a a n +-=+，再应用累加法求{}n a 的通项公式，最后求2(1)n n a +结合函数新定义得2(1)[]1nn a +=，即可求目标式结果.【详解】由题设，211()()2n n n n a a a a +++---=，214a a -=，故1{}n n a a +-是首项为4，公差为2的等差数列，则122n n a a n +-=+，则211112...2[(1)...1]2(1)n n n n n a a a a a a a a n n ----+-++-=-=-+++-(2)(1)n n =+-，所以(1)n a n n =+，故2(1)11n n a n+=+，又*N n ∈，当1n =时212[2a =，当2n ≥时2(1)[]1nn a +=，所以222122020232021a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2021.故选：D关键点点睛：构造数列1{}n n a a +-并求通项公式，再由累加法求{}n a 的通项公式，结合函数新定义求目标式的值.12．已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率之积为1-，则4||AF BF +|的最小值是（）A ．32B ．36C ．42D ．46【正确答案】C【分析】设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，进而与抛物线联立方程，结合韦达定理得12121y y x x =-，再根据121212646418y y x x y y t ===--得8t =，1264x x =，最后根据基本不等式和焦半径公式求解即可.【详解】解：设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，联立28x my ty x=+⎧⎨=⎩整理得2880y my t --=，所以，264320m t ∆=+>，12128,8y y m y y t +==-.因为直线,OA OB 的斜率之积为1-，所以12121y y x x =-，因为2211228,8y x y x ==，所以()2121264y y x x =，所以121212646418y y x x y y t ===--，解得8t =，即()212126464y y x x ==，所以，1264x x =.因为1222AF x BF x =+=+，，所以()12226442424101042AF BF x x x x +=+++=++≥+=，当且仅当22644x x =时，等号成立.所以，4||AF BF +|的最小值是42.故选：C 二、填空题13．“220x x +=”是“0x =”的______条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）【正确答案】必要非充分【分析】根据充分条件,必要条件的判定性质进行判定即可得出结果.【详解】解:由题知若220x x +=,则0x =或12x =-,故“220x x +=”是“0x =”的不充分条件,若0x =,则220x x +=,故“220x x +=”是“0x =”的必要条件,综上:“220x x +=”是“0x =”的必要非充分条件,故答案为:必要非充分14．设数列{}n a 满足11a =，且()1342n n a a n -=+≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.【正确答案】32n -##23n -+【分析】化简已知得1232n n a a -+=+，再构造数列求通项得解.【详解】解：因为()1342n n a a n -=+≥，()1232n n a a -∴+=+，1232n n a a -+∴=+，11a = ，则123a +=，∴数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列.12333n n n a -∴+=⋅=，所以32nn a =-，故32n -15．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为)151-米，在它们之间的地面上的点M （B 、M 、D 三点共线）处测得楼顶A 和教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.【正确答案】【分析】根据已知条件，结合几何图形的特点，利用正余弦定理解三角形即可.【详解】根据题意可得：)151,45,105,30AB CAM CMA ACM =-∠=︒∠=︒∠=︒，在三角形AMD 中，sin15ABAM︒=，故可得()151sin 4530ABAM ==︒-︒在三角形CAM 中，由正弦定理可得：sin sin AM CMACM CAM=∠∠，即122=60CM =，在三角形CDM中，sin 60 CD CM︒=，故可得60CD ==即索菲亚教堂的高度为故答案为.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则双曲线的离心率为__________．【正确答案】2【分析】求出圆心和半径，及双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出2=，得到离心率.【详解】22430x y y +-+=化为()2221x y +-=，圆心为()0,2，半径为1，22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，1=2=，即2c a ==，故离心率为2.故2.三、解答题17．已知不等式|2||2|18x x ++-<的解集为A ．(1)求集合A ；(2)若,,a b A x ∀∈∈R ，不等式|7|||a b x x m +>--+恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)(9,9)A =-(2)25m ≤-．【分析】（1）根据2,22,2x x x <--≤≤>的范围去掉绝对值符号，然后求解即可；（2）由（1）中结论，得到a b +的范围，再由不等式max (|7|||)x x m --+的值，从而得到结果.【详解】（1）()()222182218x x x x x <-⎧++-<⇒⎨-+--<⎩或()()222218x x x -≤≤⎧⎨+--<⎩或()()22218x x x >⎧⎨++-<⎩，解得()9,9x ∈-，∴(9,9)A =-．（2）∵,(9,9)a b ∈-，∴(18,18)a b +∈-，∵|7||||7|7x x x x --≤--=，∴max (|7|||)7x x m m --+=+，由题意可得187m -≥+，∴25m ≤-．18．已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若sin sin 2Cc A =(1)求C ；(2)若4a =，且ABC的面积为ABC 的周长.【正确答案】(1)3π(2)6+【分析】(1)根据正弦定理和二倍角的正弦公式化简计算即可求解；(2)根据三角形的面积公式求得2b =，结合余弦定理计算求得c =，进而得出结果.【详解】（1）sin sinsin sin sin 022C Cc A C A A =⇒=，因为sin 0A ≠，所以sin 2C C =，即2sin cos 222C C C=，由sin 02C ≠，得cos 22C =，又022C π<<，所以26C π=，则3C π=；（2）因为ABC 的面积为11sin 4sin 223S ab C b π==⨯==解得2b =，由余弦定理得22242242cos123c π=+-⨯⨯=，解得c =所以ABC 的周长为6a b c ++=.19．如图，已知梯形ABCD ，AB //CD ，,120AD DC BC ADC ︒==∠=，四边形ACFE 为正方形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，求平面MAB 与平面ADE 夹角余弦值的取值范围．【正确答案】(1)证明见解析；(2)152⎤⎥⎣⎦.【分析】（1）利用勾股定理证明BC AC ⊥，再由面面垂直即可证明线面垂直；（2）以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用法向量夹角与二面角夹角之间的关系，即可求得结果.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，由120ADC ∠=︒，得60ABC ∠=︒，∵AB //CD ，设1===AD DC CB ，∴2AB =，则2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，∴222AB AC BC =+，得BC AC ⊥．∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE .（2）根据（1）中所证可得：,,CA CB CF 两两垂直，故以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：令(0FM λλ=≤≤，则1(0,1,0),(,022A B M E D λ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(AB =，(,BM λ=-，1,022AD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，AE =．设(,,)m x y z =为平面MAB 的一个法向量，由0m AB y m BM x y λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，得3m λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面ADE 的一个法向量为(,,)n a b c =，由10220n AD a b n AE ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=⎩，取b =(n =- ，设平面MAB 与平面ADE 所成二面角为θ，则cos,||||m nm nm n⋅<>==⋅．∵λ∈，∴1cos,,2m n⎤<>∈⎥⎣⎦，故cosθ12⎤∈⎣⎦.即平面MAB与平面ADE所成二面角余弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦．20．某公司对某产品进行市场调研，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天的销售量y(单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图．x y z10211ix=∑10211iz=∑10111ix y=∑10111iz y=∑0.331030.16410068350表中1zx=0.45≈ 2.19≈．(1)根据散点图判断，y a bx=+与1y c kx-=+哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程模型：（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果，试建立y关于x的经验回归方程；(3)若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据（2）的经验回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．（每月按30天计算，计算结果保留两位小数）参考公式：经验回归方程ˆˆˆy bx a=+，其中()()()1122211ˆn ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆa y bx=- ．【正确答案】(1)1y c k x-=+⋅；(2)55yx=-+；(3)定价为0.45万元/吨时，一天的利润最大，月利润最大为45.00万元．【分析】（1）根据散点图作出判断；（2）根据（1）的判断结果，令1z x=，则y c k z =+⋅，计算系数即可得到方程；（3）建立利润函数，利用均值不等式求最值即可.【详解】（1）根据散点图知1y c k x -=+⋅更适合作为y 关于x 的回归方程．（2）令1z x=，则y c k z =+⋅，则1011022211035010103510010310i i i ii z yz yk zz ==--⨯⨯==-⨯-∑∑，5c y k z =-⋅=-，55y x=-+，y ∴关于x 的回归方程为55y x=-+．（3）一天利润为50.2(0.20)5(0.2)656 1.5T y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-=--=-+≤-≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（当且仅当0.2x x=即0.45x =时取等号）∴每月的利润为30 1.545.00⨯=（万元）∴预计定价为0.45万元/吨时，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元．21．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，137,,a a a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）令3n n b a =-，求数列2218n n n b b +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S ．【正确答案】（1）22n a n =+；（2）()21121n -+．【分析】（1）由条件可得2317a a a =⋅，然后求出1a 即可；（2）321n n b a n -=-=，()()2212222(21)(8811211212)n n n n b b n n n n +--+==-+，然后可算出答案.【详解】（1）数列{}n a 是公差为2的等差数列，且137,,a a a 成等比数列，2317a a a \=×，则2111(4)(12)a a a +=+，解得14a =，4(1)222n n n a =+-⨯=+∴；（2）321n n b a n -=-=，()()2212222(21)(8811211212)n n n n b b n n n n +--+==-+，因此，()()22222222111111111335572121n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦()21121n =-+．22．在平面直角坐标系xOy中，已知点)F ，设动点P到直线x =的距离为d，且2PF d =.(1)记点P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程；(2)若过点F 且斜率为(0)k k >直线l 交C 于,A B 两点，问在y 轴上是否存在点D ，使得ABD △为正三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)2214x y +=(2)存在点90,7D ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析【分析】（1）设点(),P x y ，根据距离公式得到方程，整理即可得解；（2）设直线(()()1122:(0),,,,l y k x k A x y B x y =>，线段AB 的中点为M ，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到点M 的横、纵坐标，若ABD △为等边三角形，则MD 为线段AB 的中垂线，即可得到MD 的直线方程，从而得到D 点坐标，最后根据MD =求出参数k 的值，即可求出D 点坐标.【详解】（1）设点(),P x y，因为2PF =-化简得2244x y +=，所以C 的方程为2214x y +=.（2）设直线(()()1122:(0),,,,l y k x k A x y B x y =>，线段AB 的中点为M .由(221,4,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得()2222141240k x x k +-+-=，所以212214x x k+=+，212212414k x x k -=+，易得0∆>，从而点M的横坐标2122214M x x x k +==+，纵坐标(214M My k x k =-=-+，即222,1414M k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.若ABD △为等边三角形，则MD 为线段AB 的中垂线，即MD 的直线方程为22211414y x k k k ⎛⎫+=-- ++⎝⎭，所以20,14D k ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.又因为()212241,014k AB x MD k +=-===+所以由MD =()224114k k +=+，解得213k =，所以3k =，此时29147k =+，所以存在点90,7D ⎛⎫⎪⎝⎭，使得ABD △为等边三角形.。
2023-2024学年上海市浦东区高二上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市浦东区高二上册期末数学试题一、填空题1．已知无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为13，则{}na各项的和为__．【正确答案】32##1.5【分析】根据等比数列的求和公式即可得到n S，从而得到结果.【详解】由于无穷等比数列{}n a的首项为1，公比为13，所以1(1133lim1121133nn nS→∞-===--．故3 22．一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______．【正确答案】18【分析】画出满足题意的三棱锥P ABC-图形，根据题意，画出高，利用直角三角形，求出此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积．【详解】由题意画出图形，如图所示：因为三棱锥P ABC-是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角形PDF中：因为三角形PDF三边长1PD=，DF，所以2PF=，则这个棱锥的侧面积1S361182=⨯⨯⨯=．故答案为18．本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积和棱锥的结构特征，考查数形结合思想，还考查计算能力，是基础题，棱锥的侧面积是每一个侧面的面积之和．3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为______．【正确答案】【详解】试题分析：设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中随机选取一个数，它是奇数或3的倍数的概率是__．【正确答案】35##0.6【分析】利用列举法及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】这10个数中满足“是奇数或3的倍数”的有1，3，5，6，7，9共6个，所以从中随机抽取一个是奇数或3的倍数的概率是63105=．故答案为.355．棱长为a 的正四面体对棱之间的距离为______.【正确答案】2a 【分析】连接对棱中点，是相对两条棱间的距离，然后解三角形即可得出结果.【详解】如图，连接AB 、CD 的中点E 、F ，可得12AE a =，2AF =，EF 是AB 、CD 的公垂线，.6．6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有________种（用数字表示）【正确答案】240【分析】利用捆绑法可得排法总数.【详解】解：6名同学派出一排照相，其中甲、乙两人相邻，用捆绑法可得排法数有5252240A A =种.故240.本题考查捆绑法解决排列问题，是基础题.7．在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若2*1,n S n n N =+∈，则n a =___________【正确答案】2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩利用数列前n 项和与n a 的关系求通项公式.【详解】当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩故2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩8．有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有________不同的报名方法．【正确答案】36【分析】将4个运动员分成三组，再每个项目安排一组人，即可求出不同的报名方法数.【详解】1、将4人分成三组：任选其中两人为一组24C 种，2、每组选一个比赛项目：三组人员全排列有33A 种，∴共有234336C A =种.故369．已知数列{}n a 是等差数列，若9120a a +>，10110a a <，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么当0n S >时，n 的最大值为__．【正确答案】20【分析】根据等差数列的性质得出100a >，110a <，再结合等差数列前n 项和与等差中项求解即可.【详解】因为10110a a <，所以10a 和11a 异号，又数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，所以数列{}n a 是递减的等差数列，所以100a >，110a <，又9120a a +>，所以1910190S a =>，2012091210()10()0S a a a a =+=+>，所以n 的最大值为20．故20.10．已知正四棱柱中11A C 、11B D 的交点为1O ，AC 、BD 的交点为2O ，连接12O O ，点O 为12O O 的中点.过点O 且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为______________.【正确答案】3【分析】当截面平行于平面ABCD 时，截面面积最小；当截面为平面11A B CD 时，截面面积最大，根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积．【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，由题知当截面平行于平面ABCD 时，截面面积最小；当截面为平面11A B CD 时，截面面积最大，因为过点O 且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1所以222110a a a h ⎧=⎪⎨+=⎪⎩13a h =⎧⎨=⎩，于是正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为23a h =.故3.二、单选题11．“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】从充分性和必要性两方面来分析即可.【详解】若直线l 与平面α没有公共点，那直线l 与平面α只能平行，故充分条件成立；若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α没有公共点，故必要性也成立，所以“直线l 与平面α没有公共点”是“直线l 与平面α平行”的充分必要条件.故选：C12．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为A ．35B ．50C ．70D ．100【正确答案】B【详解】分析：排列组合题目，先分配：（42，33），再选排，最后根据加法原理求结果.详解：若两辆汽车人数分别为4人与2人，则排列数为14226230,C C C ⋅=若两辆汽车人数分别为3人与3人，则排列数为326220,C C ⋅=因此不同的乘车方法数为20+30=50，选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.13．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（）A ．7B ．8C ．7或8D ．9【正确答案】C215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|，所以当7,8n =时，n S 有最小值．故选：C14．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30 ，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．(D ．()+∞【正确答案】C【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】如下图所示：AO α⊥ ，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO .OC ⊂Q 平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO = ∠，63tan 30AOOB ∴==o.在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<，因此，线段BC 长的取值范围是(0,63.故选C.本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题15．求153x x 二项展开式中的常数项.【正确答案】5005【分析】根据二项式展开式的通项即可得出其常数项.【详解】展开式的通项为：(()515536115151CC 1rrr r rrr T x x x --+⎛==- ⎝，令5506r -=，得6r =，所以常数项为.()6615C 15005-=16．已知数列{an }满足a 1＝1，an ＋1＝2an ＋1.（1）求证：数列{an ＋1}是等比数列；（2）求数列{an }的通项公式.【正确答案】（1）证明见解析；（2）an ＝2n －1.（1）利用等比数列的定义可证明数列{an ＋1}是等比数列；（2）求出数列{an ＋1}的通项公式，进而可得数列{an }的通项公式．【详解】（1）∵an ＋1＝2an ＋1，∴an ＋1＋1＝2(an ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，∴an ＋1≠0.∴111n n a a +++＝2(n ∈N ＋)．∴数列{an ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知an ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2·2n －1＝2n ，∴an ＝2n －1.17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm．(1)这种“浮球”的体积是多少3cm ？(结果精确到0.1)(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）【正确答案】(1)3169.6cm (2)1200π（克）【分析】（1）分别求出两个半球的体积1V ，和圆柱体的体积2V ，即可求出“浮球”的体积；（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.【详解】（1）该半球的直径6cm d =，所以“浮球”的圆柱筒直径也是6cm ，得半径3cm R =，所以两个半球的体积之和为3344ππ2736πcm 33球==⋅=V R ，而23ππ9218πcm 圆柱=⋅=⨯⨯=V R h ，该“浮球”的体积是336π18π54π169.6cm 球圆柱=+=+=≈V V V ；（2）上下两个半球的表面积是224π4π936πcm 球表==⨯⨯=S R ，而“浮球”的圆柱筒侧面积为22π2π3212πcm 圆柱侧==⨯⨯⨯=S Rh ，所以1个“浮球”的表面积为24436π12π48πm 1010+==S ，因此，2500个“浮球”的表面积的和为244825002500π12πm 10=⨯=S ，因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：10012π1200π⨯=（克）．18．设四边形ABCD 为矩形，点P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，若1==PA AB ，2BC =．(1)求PC 与平面PAD 所成角的大小；(2)在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面PAG若存在，求出BG 的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)(2)存在，当1BG =时，使得点D 到平面PAG【分析】（1）根据线面垂直的性质定理及矩形的性质，利用线面垂直的判定定理及线面角的定义，结合勾股定理及锐角三角函数即可求解；（2）根据已知条件做出图形，利用线面垂直的判定定理及点到面的距离的定义即可求解.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，又因为底面ABCD 是矩形，所以CD AD ⊥，又AD PA A ⋂=，,AD PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，直线PC 在平面PAD 的射影为直线PD ，所以CPD ∠是直线PC 与平面PAD 所成的角，因为1==PA AB ，2AD BC ==,所以1PD AB ===，在Rt PAD △中，tan 5CD CPD PD ∠==，故直线PC 与平面PAD 所成角的大小为（2）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ AG ⊥，如图所示因为PA ⊥平面ABCD ，DQ ⊂平面ABCD ，所以DQ PA ⊥，又AG PA A ⋂=，,AG PA ⊂平面PAG ，所以DQ ⊥平面PAG ，故DQ =DQA ∽△ABG ，所以12BG =<，故存在点G ，当1BG =时，使得点D 到平面PAG ；19．已知数列{}n a 和{}n b 满足()*12N n b n a a a n =∈ .若{}n a 为等比数列，且12a =，326b b =+.(1)求{}n a 与{}n b ；(2)设()*11N n n nc n a b =-∈.记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S .【正确答案】(1)2(N )n n a n *=∈，()1(N )n b n n n *=+∈(2)11(N )12n n S n n *=-∈+【分析】（1）由已知可求出38a =，再由12a =，可求出公比2q =，从而可求出n a ，再由()*12N n b n a a a n =∈ 可求出n b ，（2）由（1）得11111(N )21n n n n c n a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，然后利用分组求和，裂项相消求和法可求得nS【详解】（1）由题意，()12N n b n a a a n *=∈ ，326b b -=，知3238b b a -==，0n a >，又有12a =，得公比2q =或2q =-（舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2(N )n n a n *=∈，所以()()1121232n n n n n a a a a ++== ，故数列{}n b 的通项公式为，()1(N )n b n n n *=+∈；（2）由（1）知，11111(N )21n n n n c n a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，所以21111111112222231n n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1111221112n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-- ⎪+⎝⎭11(N )12n n n *=-∈+。
2023-2024学年上海市松江区高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市松江区高二上册期末考试数学试题一、填空题1．过点()2,3A ，且法向量是()4,3n =的直线的点法向式方程是____.【正确答案】4(2)3(3)0x y -+-=【分析】利用直线的点法式方程写出即可.【详解】根据直线的点法式方程可得直线的点法式方程.4(2)3(3)0x y -+-=故4(2)3(3)0x y -+-=2．用数学归纳法证明1+++…+<n(n ∈N *,n>1)时,第一步应验证的不等式是____.【正确答案】1++<2【详解】由条件知n 的第一个值为2,所以第一步应验证的不等式是1++<2.3．若数列{}n a 为等比数列，且121a a +=，342a a +=，则1516a a +=______．【正确答案】128【分析】设公比为q ，由23412a a q a a +=+，则14151612()a a a a q +=+代入求解即可.【详解】设公比为q ，则234122a a q a a +==+，所以14151612()128a a a a q +=+=.故1284．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α且3π[,]4π4α∈，则k 的取值范围是_____.【正确答案】(,1][1,)∞∞--⋃+【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案.【详解】tan k α= ，且3π[,]4π4α∈，1k ∴≤-或1k ≥，即k 的取值范围是(,1][1,)∞∞--⋃+.故答案为.(,1][1,)∞∞--⋃+5．某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下，则甲在比赛中得分的方差为________.【正确答案】32.25##1324##1294【分析】先计算出甲比赛中得分的均值，再利用方差公式可求得结果.【详解】甲在比赛中得分的均值为()178101517192123158x =+++++++=，方差为()()()22222222218750246832.258s ⎡⎤=⨯-+-+-++=⎣⎦+++.故答案为.32.25二、解答题6．直线20y -=与直线21y x =-的夹角大小等于_______.(结果用反三角函数值表示).【正确答案】arctan 2【分析】先分别求出两条直线的斜率，再套用夹角公式即可求出答案.【详解】直线20y -=与直线21y x =-的斜率分别为0和2，设它们的夹角为θ，所以02tan 2102θ-==+⨯，则arctan 2θ=.故答案为.arctan 2三、填空题7．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-.则数列{}n a 的通项公式为_______.【正确答案】2nn a =【分析】根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩求解即可.【详解】解：当1n =时，211222a S ==-=；当2n ≥时，111()2222222.n n n n nn n n a S S ++-=-=--=-=-因为12a =也适合此等式，所以2n n a =.故2nn a =8，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为_______．【正确答案】3π【分析】设圆锥底面半径AO OB r ==，则母线长2l SA r ==，高SO =，则2133V r π==，求出1r =，2l SA ==，该圆锥的表面积为2S rl r ππ=+，由此能求出结果．【详解】解：，母线与底面所成角为3π，∴如图，设圆锥底面半径AO OB r ==，则母线长2l SA r ==，高SO =，2133V r ππ∴==，解得1r =，2l SA ∴==，SO =∴该圆锥的表面积为223S rl r πππππ=+=+=．本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知直线l 过点(4,1)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为arccos 10，则直线l 的方程为________.【正确答案】43190x y -+=或4x =-．【分析】先求，再根据夹角公式求得直线l 的斜率，利用点斜式即可求出直线l 的方程.【详解】设直线l 的斜率为k ，因为=arccos 10为锐角，所以=所以13tan(arccos )||10313k k -==+，解得43k =，故过点(4,1)P -，且与直线:310m x y -+=的夹角为的直线l 的方程为41(4)3y x -=+，即43190x y -+=．当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程4x =-，符合题意.所以直线l 的方程为43190x y -+=或4x =-.故43190x y -+=或4x =-10．如图所示，设正三角形1T 边长为1,+n a T 是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求()12lim n n A A A →∞+++=L_____.【正确答案】2π12a ．【分析】第一个中点三角形111A B C 的边长为12a，对应的内切圆半径r =得1A ，再根据相似的性质可得2114A A =，依次类推，从而根据无穷小数列即可求解.【详解】记第一个中点三角形为正三角形△111A B C ，则△111A B C 边长为12a ，内切圆半径为r ==，所以22219πππ314416a a A a ⎫=⨯⨯==⎪⎪⎝⎭，因为△222A B C 与△111A B C 相似，并且相似比是1:2，则面积的比是1:4，所以22π1164a A =⨯，因为正△333A B C 与正△222A B C 的面积的比也是1:4，所以223π1164a A ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，……所以()22212π1π1π16416lim lim 11121144n n n n a a a A A A ∞→→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭+++===-- ．故答案为.212πa11．已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*2,n B x x n ==∈N ，将A B ⋃中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得1000n S >成立的最小的n 的值为_____________.【正确答案】36【分析】由题可得2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且利用分组求和可得1112422n n n n S --++=+-，通过计算即得.【详解】由题意，对于数列{}n a 的项2n ，其前面的项1，3，5，…，21n A -∈，共有12n -项，232,2,2,,2n B ⋅⋅⋅∈，共有n 项，所以2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且()()()()112112211221221222422n n n n n n S ---++⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-++++=+-⎣⎦.可算得612638-+=（项），3864a =，381150S =，因为3763a =，3661a =，3559a =，所以371086S =，361023S =，35962S =，因此所求n 的最小值为36.故36.12．已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =_____．【正确答案】1009【详解】∵当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，而数列{}n a 是递增数列，∴1231n n n n n n n n a a a a a a a a a ----<-<-<<-< ，所以必有11n n a a a --=，2211n n n n a a a a a a ---=-= ，利用累加法可得：()()12112n n n a a a a --=++ ，故()12n n n a S +=，得20172018110092S ⨯==，故答案为1009.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，结合递增数列必有11n n a a a --=，2211n n n n a a a a a a ---=-= ，利用累加法可得结果.四、单选题13．已知直线11:10l k x y ++=与直线22:10l k x y +-=，那么“12k k =”是“12l l //”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】解：当12k k =时，12l l //，而当12l l //时，12k k =，所以“12k k =”是“12l l //”的充分必要条件，故选：C14．设,A B 为两个随机事件，以下命题错误的为（）A ．若,AB 是独立事件，()13P A =，()23P B =，则()19P AB =B ．若,A B 是对立事件，则()1P A B ⋃=C ．若,A B 是互斥事件，()13P A =，()12P B =，则()16P A B = D ．若()13P A =，()14P B =，且()14P AB =，则,A B 是独立事件【正确答案】C【分析】利用互斥公式、独立公式、对立公式满足的条件可以一一判断.【详解】对于A ：当,A B 是独立事件时，,A B 也是独立事件，()()()121(1)339P AB P A P B ∴=⋅=⨯-=，A 正确；对于B ：当,A B 是对立事件时，()()()1P A B P A P B =+= ，B 正确；对于C ：当,A B 是互斥事件，1()3P A =，1()2P B =，则115()()()236P A B P A P B =+=+= ，C 错；对于D ：()()13,44P B P B =∴= ，()()()131344P A A B P P B ∴⋅=⨯==，故A B 是独立事件，即,A B 是独立事件，D 正确.故选：C15．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为()A ．16B ．C ．163D ．1283【正确答案】C【分析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，∴正方体的内切球的体积344V π1π33=⨯=球，又由已知V πV 4=球牟合方盖，4416V ππ33∴=⨯=牟合方盖．故选C ．本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．16．已知点()0,0O 、()02,3A 和()05,6B ，记线段00A B 的中点为1P ，取线段01A P 和10PB 中的一条，记其端点为1A 、1B ，使之满足()()11550OA OB --<，记线段11A B 的中点为2P ，取线段12A P 和21P B 中的一条，记其端点为2A 、2B ，使之满足()()22550OA OB --<，依次下去，得到点1P 、2P 、3P 、L 、n P 、L ，则0lim n n A P →∞=（）A B CD ．3【正确答案】A【分析】计算出线段00A B 上到原点距离等于5的点为P 的坐标，分析可知1P 、2P 、L 、n P 、L 的极限为()3,4P ，利用极限的定义以及两点间的距离公式计算可得结果.【详解】由()()11550OA OB --<得1OA 和1OB 一个大于5一个小于5，设线段00A B 上到原点距离等于5的点为(),P x y ，5=且3625y y x x --=--，得3x =，4y =，所以线段00A B 上到原点距离等于5的点为()3,4P ，若()()11550OA OB --<，则1A 、1B 应在点()3,4P 的两侧，所以第一次应取1A 、1B 、2A 、2B 、L 中必有一点在()3,4P 的左侧，一点在()3,4P 的右侧，因为1P 、2P 、L 、n P 、L 是中点，所以1P 、2P 、L 、n P 、L 的极限为()3,4P ，所以00lim n n A P A P →∞===故选：A.五、解答题17．已知直线1l ：320x y ++=；2l .20mx y n ++=(1)若12l l ⊥，求m 的值；(2)若12//l l ，且直线1l 与直线2l2l 的方程.【正确答案】(1)23-(2)3120x y ++=或380x y +-=.【分析】（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为1-，列方程可得答案；（2）由两直线平行，斜率相等可求出m 的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出n 的值,即可求出直线方程.【详解】（1）设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，则123,2mk k =-=-．若12l l ⊥，则12312mk k ⨯==-，23m ∴=-（2）若12l l //，则362mm -=-⇒=，∴2l 可以化简为302nx y ++=，又直线1l 与直线2l的距离d =24n ∴=或16n =-，所以直线方程为3120x y ++=或380x y +-=.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AB BC ⊥，=45ADC ∠︒，PA ⊥平面ABCD ，1AB AP ==，3AD =．（1）求点D 到平面PBC 的距离；（2）求二面角B PC D --的平面角的余弦值．【正确答案】（1）2（2）11-【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算平面PBC 的法向量，由点面距离的向量公式即得解；（2）计算平面PCD 的法向量，结合（1）中平面PBC 的法向量，利用二面角的向量公式即得解【详解】（1）由题意，PA ⊥平面ABCD ，//BC AD ，AB BC ⊥，AB AD∴⊥以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则P （0，0，1），B （1，0，0），C （1，2，0），D （0，3，0），设平面PBC 的一个法向量为n=（x ，y ，z ），PB=(1，0，﹣1)，BC =(0，2，0)，CD =(﹣1，1，0)，则020n PB x z n BC y ⎧⋅=-=⎨⋅==⎩，取x =1，得n =(1，0，1)，∴点D 到平面PBC的距离2n CD d n⋅== ．（2）由（1）可得平面PBC 的一个法向量为n=(1，0，1)，设平面PCD 的一个法向量为(,,)m a b c =，(1,2,1)PC =- ，CD=(﹣1，1，0)，则200m PC a b c m CD a b ⎧⋅=+-=⎨⋅=-+=⎩ ，取1a =，得(1,1,3)m = ，设二面角B PC D --的平面角为α，由图得二面角为钝角故cos ||11||||m n m n α⋅-=-== 19．全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：空气质量指数3(/)g m μ[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[)200,250空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[)50,100和[)150,200监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率.【正确答案】(1)100n =，25m =，直方图见解析(2)35【分析】(1)根据频率的定义可求得n ，从而求得m ，进一步计算每组的频率，从而完成频率分布直方图；(2)根据分层抽样的定义可以确定空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，再根据古典概率模型计算公式即可求解.【详解】（1）因为200.00450n⨯=，解得100n =，因为2040105100m ++++=，解得25m =，400.00810050=⨯，250.00510050=⨯，100.00210050=⨯，50.00110050=⨯．完成频率分布直方图如图：（2）空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a b c d ,,,，将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ．从中任取2天的基本事件分别为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e ，共10天，其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)b c ，(,)b d ，(,)c d ，共6天，所以事件A “两天空气都为良”发生的概率63105P ==．20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211180.S S =-=，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n S b n=，求证：数列{}n b 是等差数列．(3)求数列{}n a 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)212n a n =-(2)见解析(3)2211,1511+60,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-≥⎩【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式得到关于1a 和d 的方程组，进一步求出通项公式；（2）先利用等差数列的前n 项和公式求出n S 和n b ，再利用等差数列的定义进行证明；（3）利用绝对值的代数意义和分类讨论思想，按15n ≤≤或6n ≥分别进行求和.【详解】（1）解：设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，因为211180S S =-=，，所以1121811550a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得1102a d =-⎧⎨=⎩，所以102(1)212n a n n =-+-=-，即数列{}n a 的通项公式为212n a n =-.（2）解：由（1）得：2(10212)=112n n n S n n -+-=-，=11n n S b n n =-，则+1[(1)11](11)1n n n n b b =+---=-，所以数列{}n b 是等差数列．（3）解：当15n ≤≤时，2120n a n =-<，21212()11n n n n a a a a a a S n T n =---⋅⋅⋅-=-++⋅⋅⋅+=-=-，当6n ≥时，2120n a n =-≥，1234567nn a a a a a a T a a =-----+++⋅⋅⋅+1234567123452()n a a a a a a a a a a a a a =+++++++⋅⋅⋅+-++++2521160n S S n n =-=-+；综上所述，2211,1511+60,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-≥⎩.21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）能否在数列{}n a 中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；（3）令131log 2n n b a =+，记函数()2*12()2n n n f x b x b x b n N ++=++∈的图像在x 轴上截得的线段长为n c ，设()122311(2)4n n n T c c c c c c n -=+++≥ ，求n T ，并证明.12342n n T T T T n-> 【正确答案】（1）113n n a -=；（2）不存在，理由见解析；（3）()2112n n T n -=-，证明见解析.【分析】（1）由递推式，结合,2n n a S 的关系易得{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，写出通项公式即可.（2）令1k m n ≤<<有,,k m n a a a 成等差数列，利用等差中项的性质可得332m k m n --+=，再结合33m k m n --+的取值范围，易得矛盾结论，即证存在性.（3）由题设可得421n c n =-，再应用裂项相消法求n T ，最后由放缩法得2(1)n n T n ->，即可证结论.【详解】（1）当1n =时，111233a S a +==，则11a =，当2n ≥时，1112230n n n n n n a S a S a a ---+--=-=，则13n n a a -=，∴{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，∴11(3n n a -=，*n ∈N .（2）若1k m n ≤<<，有,,k m n a a a 成等差数列，则2m k n a a a =+，∴111211333m k n ---=+，即211333m k n =+，整理有332m k m n --+=，又*,,k m n N ∈，∴33,130m k m n -->>>，故333m k m n --+>，与332m k m n --+=矛盾，故数列{}n a 中找不到三项，它们按原来的顺序构成等差数列.（3）由（1）知：1311log 22n n b a n =+=-，则1213,22n n b n b n ++=+=+，又4212n n c n n ==--，144118(21212121n n c c n n n n +=⋅=--+-+∴()1223111112(1)2(1)2(1 (143351123212)n n n n n n T c c n c c c c n n ---=+++=-+-+=>----+ ∴1234222232(1)2...234n n n T T T T n n-⋅⋅->⋅⋅⋅⋅= ，得证.关键点点睛：第二问，应用等差中项的性质及反证法证明；第三问，首先确定x 轴交点距离n c 通项，再应用裂项相消法求n T ，最后由放缩法求证结论.。
2023-2024学年高二上学期期末数学试题(人教版)与答案
2023-2024学年高二上学期期末数学试题（人教版）范围：空间向量与立体几何、直线与圆、圆锥曲线、数列一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，17．（10分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且1122n n a a n ++=+.是棱PA上的一点．(1)求证：平面PAC⊥平面ABCD(2)若6PA=，直线BE与平面20．（12分）已知数列{}n a的前n n n n n．(1)求数列{}n a的通项公式；(2)若等差数列{}n b满足2 nb=21．（12分）已知双曲线22 :x a Γ恰有三点在双曲线Γ上.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)设双曲线Γ上任意一点(P xO为坐标原点，证明：OMN22.（12分）已知抛物线2:C x(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为,OM ON于点A和点B，求证：以2023-2024学年高二上学期期末数学试题（人教版）答案1．D【分析】根据n a 与n S 之间的关系分析求解即可.【详解】由题意可得：331554311,54611====-==-a S S a S ，所以()()15115161515522+⨯=+⨯=a a .2．C【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可.【详解】对于A，因为11()()22b c b c b =+-- ，所以c b + ，b ，c b -三个向量共面，所以A 错误，对于B，因为11()()22a ab a b =++- ，所以a b + ，a ，a b -三个向量共面，所以B 错误，对于C，假设a c + ，a c - ，b三个向量共面，则存在实数,x y ，使()()()()b x a c y a c x y a x y c =++-=++- ，所以,,a b c三个向量共面，因为{},,a b c 是空间的一个基底，所以,,a b c三个向量不共面，所以假设错误，所以a c + ，a c - ，b三个向量不共面，所以C 正确，对于D，因为()a b c a c b ++=++ ，所以a c + ，b ，a b c ++r r r三个向量共面，所以D 错误，3．C【分析】由两直线平行，得到1a =或2a =-，再分别验证一下，最后结合两平行线间的距离公式得到即可.【详解】因为直线1:10l x ay ++=，()2:1220l a x y +++=平行，所以()210a a -+=，解得1a =或2a =-，当1a =时，两条直线重合是一条直线，不符合题意；当2a =-时，直线1:210l x y -+=，2:220l x y -++=，两直线平行，5=，4．A【分析】求出圆C 的半径，可得出a 的值，结合离心率可得出c 的值，进而可求出b ，结合椭圆焦点的位置可得出椭圆的标准方程.【详解】圆C 的标准方程为()22116x y -+=，圆C 的半径为4，则24a =，即2a =，又因为122c ca ==，则1c =，所以，b ===因为椭圆的焦点在x 轴上，因此，该椭圆的标准方程是22143x y+=.5．B【分析】利用等差数列的性质与前n 项和公式即可得解.【详解】因为2343n n S n T n +=-，所以()()1151151521411531311515152153112154153192a a a a S a ab b b b b b T ⨯+++⨯+=====⨯+++⨯-.6．A【分析】由向量的运算将()11220F M F F MF +⋅=转化为1212F F F M c ==，利用几何性质求得点(2,)M c -，代入双曲线方程得,,a b c 的等量关系，求解离心率即可.【详解】因为()()()1122112121F M F F MF F M F F F F F M+⋅=+⋅-22221211210F F F M F F F M =-=-= ，所以1212F F F M c == ，则1212F F M F MF ∠=∠，过M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，由题意知12π6F F M ∠=，则12π6F MF ∠=，故1π3MF H ∠=，在1Rt MHF中，112,222MH c F H c c ===⨯=，故(2,)M c -，又点M 在双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上，则2222431c c a b-=，将222b c a =-代入整理得4224480c a c a -+=，则424810e e -+=，解得)221224e +==，且1e >，解得12e =，故双曲线的离心率为12.故选：A.7．D【分析】首先根据n S 与n a 的关系，得到数列{}n a 的通项公式，再根据规律找到满足条件能使121n a m ≥+*()N m ∈成立的最小项，并对于不同的m 值，计算满足条件的个数，从而求和得解.【详解】因为1n n S a +=，则111n n S a +++=，两式相减，得120n n a a +-=，又当1n =时，112a =，故0n a ≠，所以{}n a 是以112a =，12q =的等比数列，则12n n a =，显然{}n a 递减，要使得n a 最小，即要使得n 最大，令11221n m ≥+，得221n m ≤+.若1m =，则1111,2n b a ≤==;若23m ≤≤，则212,4m n b a ≤==;若47m ≤≤，则313,;8m n b a ≤==若815m ≤≤，则414,;16m n b a ≤==;若10242047m ≤≤，则1111111,,2m n b a ≤== ，则()113123111,1222T b T b b b ===++=+=()()712345671113,2222T b b b b b b b =++++++=++= ，204720231111111,222T T ∴=⨯=∴=-11824113222=-，【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得221n m ≤+，从而分类讨论m 的取值范围，求得对应m b 的值，从而得解.8．B【分析】由题设及抛物线性质求出直线AB 的倾斜角1∠，由22sin 1pAB =∠即可求弦长.【详解】由四边形ADFE 为菱形，如下图示，123∠=∠=∠，45∠=∠，由抛物线性质知：AD AF =，则42∠=∠，故125∠=∠=∠，又125180∠+∠+∠=︒，故160∠=︒，所以228sin 13p AB ==∠.公式22sin 1pAB =∠，证明如下：令直线AB （斜率存在）为()2p y k x =-，代入22y px =，则22(22p k x px -=，整理得22222(2)04p k k x p k x -++=，若22A B p x x p k+=+，而21||2(1)A B AB x x p p k =++=+，若直线倾斜角为θ（不为直角），则tan θk =，所以222222211tan sin cos 2||2(1)22tan tan sin sin pAB p p p θθθθθθθ++=+=⋅=⋅=.9．ABD【分析】由点关于原点、坐标轴、坐标平面对称点的坐标变换特征以及点到坐标平面距离的定义逐一判断即可得解.【详解】对于A，点()3,1,5A -关于原点O 的对称点的坐标为()3,1,5--，故A 正确；对于B，点()1,3,4A -关于y 轴的对称点的坐标为()1,3,4-，故B 正确；对于C，点()1,2,3P -关于xOy 平面对称的点的坐标是()1,2,3--，故C 错误；对于D，点()1,1,2M -到yOz 平面的距离为11M x =-=，故D 正确.10．ACD【分析】根据已知得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个等差数列，求出233n S n n =-+.根据,n n a S 的关系求出n a 的表达式，根据定义即可判断等差数列；求出公差2d =-，进而根据等差数列的性质，即可判断B；由已知列出10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，求解即可得出n 的值，判断C 项；根据n S 的表达式，求解不等式，即可判断D 项.【详解】对于A 项，由已知111n nS S n n+-=-+可得，数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭是一个等差数列，首项1321S =，公差为1-，所以，()()321133n Sn n n=+-⨯-=-+，所以，233n S n n =-+.当1n =时，1132a S ==；当2n ≥时，()()221331331n n n a S S n n n n -=-=-++---234n =-+.1n =时，1213432a -⨯+==，满足.综上所述，234n a n =-+.所以，()123421342n n a a n n --=-++--=-，所以，{}n a 是等差数列，故A 项正确；对于B 项，设{}n a 的公差为d ，由A 知，132a =，2d =-，根据等差数列的性质可知，()96636333318S S S S S S S d ---=--=⨯=-，故B 项错误；对于C 项，因为1320a =>，20d =-<，要使n S 取得最大值，则应有100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，即()234021340n n -+≥⎧⎨-++≤⎩，解得1617n ≤≤.又*N n ∈，所以当16n =或17n =时，n S 取得最大值.故C 正确；对于D 项，由A 知，233n S n n =-+，解2330n S n n =-+≥，可得033n ≤≤.所以，0n S ≥时，n 的最大值为33.故D 正确.11．BCD【分析】AB 中点为D ，连接MD ，CD ，确定点D 的轨迹为以NC 为直径的圆，根据MF r MD MF r -≤≤+得到答案.【详解】如图所示：AB 中点为D ，连接MD ，CD ，故CD ND ⊥，()6,0C ，(4,0)N ，故点D 的轨迹为以NC 为直径的圆，圆心为()5,0G ，半径为1r =，2MA MB MD +=，MG r MD MG r -≤≤+，即46MD ≤≤，则812MA MB ≤+≤ .12．BC【分析】设直线l ：()y k x c =-，联立直线l 与双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式，表示出AB ，再求出线段AB 中垂线方程，结合两点距离公式，表示出DF ，再由双曲线的离心率ce a=即可求解.【详解】设双曲线的右焦点为(),0F c ，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线l ：()y k x c =-，联立方程()22221x y a b y k x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()()222222222220b a k x a k cx a k c b -+-+=，则可得2220b a k -≠，0∆>，22122222a k cx x b a k +=--，()222212222a k cb x x b a k+=--，则()()222222222222222222222114a k c b a k c b a k b ab k AB kb k a a k ⎡⎤+⎛⎫⎢+---⎥=+-= ⎪-⎢⎥⎝⎦-⎭⎣，设线段AB 的中点()00,M x y ，则221202222x x a k c x b a k +==--，()22200222222a k c b kc y k x c k c b a k b a k ⎛⎫=-=--=- ⎪--⎝⎭，即222222222,a k c b kc M b a kb a k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，且0k ≠，线段AB 的中垂线的斜率为1k-，则线段AB 的中垂线所在直线方程为2222222221b kc a k c y x b a k k b a k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，令0y =，则2222222221b kc a k c x b a k k b a k ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭，解得22222k c x b a k =--，即23222,0k c D b a k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，则()22232222221b c k k c DF c b a k b a k +=--=--，由题意可得：AB ，即()()2222222222211ab k c k b a k b a k ++--，整理得2a ，则c e a =，又双曲线的离心率1e >，所以双曲线的离心率取值范围是(．13．【分析】利用投影向量的定义，结合空间向量数量积的坐标运算，可得a 在b上的投影向量的坐标.【详解】已知空间向量()2,2,1a =和()1,0,0b = ，则a 在b上的投影向量为cos ,b a b b a a b a b a b b⋅=()22211,0,01a b b b⋅⨯==()2,0,0=.故答案为：()2,0,0.14．【分析】先求出12a =-，将所给表达式变形为()22n n n a S -=，可以判断数列为等差数列，根据等差数列的通项与和的公式即可求得.【详解】方法一：当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.又220n n S na n -+=，所以()()1222n n n n a n a a S -+==，所以数列{}n a 为等差数列.又321S =-，所以()313212a a +=-，解得312a =-，所以数列{}n a 的公差3152a ad -==-，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.方法二：*,220n n n S na n ∀∈-+=N 恒成立，当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.当3n =时，332360S a -+=，且321S =-，解得312a =-.当2n ≥时，()()1121210n n S n a n ----+-=①，又220n n S na n -+=②，①-②，得()()12120n n n a n a -----=③，所以()1120n n n a na +---=④.④-③，得()()11120n n n n a a a +---+=.因为2n ≥，所以1120n n n a a a +--+=，即11n n n n a a a a +--=-.又132,12a a =-=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故答案为：53n -+.15．【分析】结合图形分析，最长弦AC 为过点()0,0O 的直径，最短弦BD 为过点()0,0O 且与AC 垂直的弦，分别求弦长，则可由对角线互相垂直求得四边形的面积.【详解】圆22:4240M x y x y +-+-=，由题意可得()()22:219M x y -++=，圆心为(2,1)M -，半径3r =，最长弦为过点O 的直径AC ，且6AC =，设过点()0,0O 的任意一条弦l ，过点M 作MH l ⊥，由图可知圆心到直线的距离d =MH MO ≤，则弦长为，即最短的弦为过()0,0O ，且与OM 垂直的弦BD ，最短弦长4BD ==，如图，四边形ABCD 对角线AC BD ⊥，则其面积11641222S AC BD =⋅=⨯⨯=.故答案为：12.16．【分析】通过△OFP 外接圆的面积为2π，求出外接圆半径为，设设OFP ∠α=，则π2OPF ∠α=-，利用正弦定理求解求出α的值，求出PF OP k k =-，利用点差法求出PF OP k k ⋅，然后求解a 的值.【详解】因为△OFP 外接圆的面积为2π2，又△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，设OFP ∠α=，则π2OPF ∠α=-，所以662sin sin 2OPF α==∠，所以3sin 22α=，所以π6α=或π3α=，不妨设点P 在x 轴下方，所以33PF OP k k =-=3设()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得20122012y y y b x x x a-⋅=--，即22PF OP b k k a⋅=-，所以2213b a =或223b a =（此时焦点在y 轴上，舍去），因为(6,0)F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，2226,c a b c ==+，所以3a =，长轴长为6，故答案为：6.17．【分析】（1）左右同时加22n +得出21n a n ++与()1211n a n ++++的关系，借助等比数列的判定方法即可得；（2）由（1）问计算出n a 的通项公式，再应用公式法分组求和即可得.【详解】（1）由1122n n a a n ++=+，则123242n n a n a n +++=++，则()()1211221n n a n a n ++++=++，121140a +⨯+=≠，故()1211221n n a n a n ++++=++，故{}21n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列;（2）由（1）可知，1121422n n n a n -+++=⋅=，故1221n n a n +=--，故2341232527 (221)n n S n +=-+-+-++--()23122...2357...21n n +=+++-+++++()()412321122n n n-++=--22224n n n +=---．18．【分析】（1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，若直线l 的斜率存在，设l 的方程为()12y k x +=+，利用圆心到直线的距离为1，求出k ，即可得解；（2）设圆M 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，依题意圆心在直线:CQ 210x y +-=上，从而得到方程组，解得即可.【详解】（1）圆:C 222650x y x y ++-+=即()()22135x y ++-=，圆心为()1,3C -，半径r =，若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为2x =-，将2x =-代入圆C 的方程，解得1y =或5y =，所以AB 4=，符合条件；若直线l 的斜率存在，设l 的方程为()12y k x +=+，即210kx y k -+-=．因为AB 4=，所以圆心()1,3C -到直线l1=，1=，解得158k =，所以直线l 的方程为151184y x =+，综上，直线l 的方程为151184y x =+或2x =-.（2）设圆M 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->．因为圆M 经过点()2,1P --，且与圆C 相切于点()0,1Q ，所以圆心M 在直线:CQ 210x y +-=上，所以5201021022D E F E F D E ⎧⎪--+=⎪⎪++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪⨯-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得467D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆M 的方程为224670x y xy +-+-=．19．【分析】（1）记BD AC O ⋂=，利用图形性质先证PO BD ⊥，再证BD ⊥平面PAC 即可证面面垂直；（2）根据PA =PO AC ⊥，建立合适的空间直角坐标系，根据空间向量研究线面角计算可得点E 位置.【详解】（1）连接BD ，记BD AC O ⋂=，再连接PO ，如图所示．因为四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠= ，2AB =，所以O 是BD 的中点，BD AC ⊥，112OD BD ==，12AO AC ==．在PBD △中，2PB PD ==，O 是BD 的中点，1OD =，所以PO BD ⊥，PO ==又BD AC ⊥，AC PO O = ，AC ，PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）若PAAO =PO ，所以222PA AO PO =+，所以PO AC ⊥．以O 为坐标原点OA ，OB ，OP ，所在的直线分别为x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以)A ，()0,1,0D -，(P ，()0,1,0B ，所以(AP =uu u r，)DA = ，设平面PAD 的一个法向量(),,n x y z =，所以0,0,n AP n DA y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1x =，解得y =1z =，所以平面PAD的一个法向量()1,n = ．设()()01AE AP λλ==≤≤ ，所以),BE BA AE =+=- ，设直线BE 与平面PAD 所成角的大小为θ，所以sin cos ,5n BE n BE n BE θ⋅===，解得12λ=，所以12AE AP =．20．【分析】（1）利用11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，可知数列{}n a 为2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式计算即可；（2）求数列{}n a 的前n 项和为n S ，根据等差数列及等比数列的性质可求出c ．【详解】（1）因为()42n n n S a a =+，当2n ≥时，()11142n n n S a a ---+=两式相减得()()11112242222n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-=-+-++化简得()()()1112n n n n n n a a a a a a ---=+--，0n a > ，10n n a a -∴+>，12n n a a -∴-=当1n =时，()11142a a a +=，解得12a =或10a =（舍去）故数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列．()()*2122N n a n n n ∴=+-⨯=∈．（2）由（1）知，2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，2322n n n S n n b n n c c-+-∴==+，111b c ∴=+，262b c =+，3153b c=+，1b ，212b ，313b 成等比数列，22131123b b b ⎛⎫ ⎪∴=⨯⎝⎭，即259(3)(1)(2)c c c =+++，整理得：241670c c ++=，72c ∴=-或12c =-．①当12c =-时，2n b n =，所以12n n b b +-=（定值），满足{}n b 为等差数列，②当72c =-时，24227n n n b n -=-，125b ∴=-，24b =-，330b =-，不满足2132b b b =+，故此时数列{}n b 不为等差数列（舍去）．综上可得12c =-．21．【分析】（1）根据题意,C D 两点关于原点对称得都在双曲线上，然后再分情况讨论,A B 两点，从而求解.（2）将直线l 与双曲线方程联立，利用根与系数关系及相关条件从而可求出OMN 面积为定值.【详解】（1）因为：,C D 关于原点对称，且双曲线Γ也关于原点对称，所以：,C D 在双曲线Γ上，对于点()4,3A ，222242a a >，(22223b b <，所以：(222222224321a b a b ->-=，所以点()4,3A 不在双曲线Γ上，所以：,,B C D 都在双曲线Γ上，所以：222241219321a b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：2214a b ⎧=⎨=⎩，所以：双曲线Γ的标准方程为：2214y x -=.（2）由题意，双曲线Γ的两条渐近线方程为2y x =±，由双曲线的对称性，不妨设()00,P x y 为双曲线Γ右支上的动点，且()11,2M x x ，()22,2N x x -，将直线方程与渐近线方程联立：22000,41,4y x y y x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，化简得：()2220004840x y x x x --+=，又因为：()00,P x y 在双曲线Γ：2214y x -=，所以：220044x y -=，所以：204840x x x -+=，由根与系数关系得：121x x =，设渐近线2y x =的倾斜角为(0)2πθθ<<，则tan 2θ=，所以：sin θcos θ=4sin 22sin cos 5θθθ==，所以：1212142sin 2522255OMN S OM ON x x x x θ=⋅==⋅==，即OMN 的面积为定值2.【点睛】对于（2）中求OMN 为定值，利用根与系数关系并结合具体的几何知识从而求解.22．【分析】（1）将点()2,1-的坐标代入抛物线方程可求出p ，从而可求出抛物线方程和准线方程；（2）设直线l 的方程为()10y kx k =-≠，代入抛物线方程化简，利用根与系数关系，表示出直线,OM ON 方程，表示出点A 和点B 的坐标，设()0,D n ，由0DA DB ⋅= 可求得结果.【详解】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点()2,1-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =..（2）抛物线C 的焦点为()0,1-，设直线l 的方程为()10y kx k =-≠.由241x y y kx ⎧=-⎨=-⎩，得2440x kx +-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-.直线OM 的方程为11y y x x =，令1y =-，得11A x x y =-，同理22B x x y =-.由抛物线的对称性可得若以AB 为直径的圆过定点，则定点必在y 轴上.设()0,D n ，则1212),(,1)(,1D x x n n y A DB y =--=---- ，所以˙22212121216(1)(1)4(1)x x DA DB n n n y y x x ⋅=++=++=-++ .令0DA DB ⋅= ，即24(1)0n -++=，得1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点()0,1和()0,3-..【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，第（2）问解题的关键是根据题意表示出直线,OM ON 方程，从而可表示出点A 和点B 的坐标，设()0,D n ，再由0DA DB ⋅= 化简计算可得结论，考查计算能力，属于较难题.。
上海市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题与答案
上海市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.椭圆2214y x +=的焦距为__________．2.表面积为4π的球的体积为__________.3.已知数列{}n a 是各项为正的等比数列，11a =，51a =，则其前10项和10S =__________．4.已知事件A 与事件B 互斥，且()0.3P A =，()0.4P B =，则()P A B =________．5.若抛物线2x my =的顶点到它的准线距离为12，则正实数m =______.6.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为__．7.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为___________.8.若双曲线22116x y m -=经过点()，则此双曲线的渐近线夹角的为______．9.若数列{}n a 满足()1112,21,n n a a a n n n +==+≥∈N ，则{}n a 的通项公式是______．10.在体积为9的斜三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S—ABC 的体积为2，则三棱锥S—A 1B 1C 1的体积为___．11.已知无穷等比数列{}n a 满足：21193,2i i i i a a +∞+∞====∑∑，则{}n a 的通项公式是______．12.已知直线1:20l y -=和直线2:10l x +=，则曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l的距离之和的最小值是____________．二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13~14题每题3分，第15~16题每题4分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分．13.直线倾斜角的取值范围为（）A.π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[0,π)D.[]0,π14.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）A.720 B.710C.310D.3516.关于曲线1122:1M x y +=，有下述两个结论：①曲线M 上的点到坐标原点的距离最小值是22；②曲线M 与坐标轴围成的图形的面积不大于12，则下列说法正确的是（）A.①、②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①、②都错误三、解答题（本大题共有5题，满分44分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17.随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据如下：甲班：170179162168158182179168163171乙班：159173179178162181176168170165（1）计算甲班的样本方差；（2）求乙班数据的25%分位数．18.在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），2AB =，11AD AA ==，点E 是棱AB 的中点.（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.19.已知数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S n n =+，其中N,1n n ∈≥．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H ．20.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，.=CP m （1）试确定m 的值，使直线AP 与平面11BDD B 所成角为60︒；（2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，有1D Q AP ⊥？证明你的结论．21.已知椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的一个焦点为)3,0，离心率为32，椭圆的左右焦点分别为12F F 、，直角坐标原点记为O ．设点()0,P t ，过点P 作倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于不同的两点B C 、．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上有一动点T ，求()12PT TF TF ⋅-的取值范围；（3）设线段BC 的中点为M ，当2t ≥Q ，使得非零向量OM与向量PQ平行，请说明理由．上海市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题答案1.【分析】利用椭圆方程求出a ，b ，然后求解c ，即可得到结果．【详解】解：椭圆2214y x +=，2a =，1b =，则c ==．椭圆2214y x +=的焦距为：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．2.【分析】先求出半径，再利用公式可求体积.【详解】2344441,33S R R V R ππππ==⇒===，故答案为：43π.3.【分析】根据题意，由条件可得数列{}n a 的公比为1，则10110S a =，即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 是各项为正的等比数列，则其公比0q >，又11a =，51a =，则4511a q a ==，即1q =，所以数列{}n a 为常数数列，且11n a a ==，所以1011010S a ==.故答案为：104.【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】因为随机事件A 与B 互斥，且()0.3P A =，()0.4P B =，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B =+=+= .故答案：0.75.【分析】根据顶点到它的准线距离为4m即可得到方程，解出即可.【详解】222m x my y ==⋅，因为m 为正实数，则142m =，则2m =，故答案为：2.6.【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数.【详解】图中成绩低于60分的频率为20(0.010.005)0.3+=，则该校成绩低于60分的学生人数为10000.3300⨯=（人）故答案为：3007.【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式可求出结果.【详解】设圆锥的母线长为l ，因为圆锥的底面半径3r =，所以圆锥的侧面积S 3rl l ππ==，依题意可得315l ππ=，解得5l =，所以圆锥的高4h ===，所以该圆锥的体积221113412333V Sh r h πππ==⋅=⨯⨯⨯=.故答案为：12π.8.【分析】将点代入双曲线，求出m ，然后求出渐近线方程，根据渐近线的斜率判断【详解】将点()代入双曲线得329116m-=，解得9m =，所以双曲线221169x y -=，所以双曲线的渐近线为34y x =±，设34y x =的倾斜角为α且3tan 4α=，则045α︒︒<<，0290α︒︒<<，所以两条渐近线的夹角为2α，所以232tan 2tan 291tan 116ααα===--247，所以由22sin 2cos 21sin 224tan 2cos 27ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩得7cos 225α=.故答案为：7acccos259.【分析】利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解.【详解】因为()1112,21,n n a a a n n n +==+≥∈N ，所以212a a -=，324a a -=，…，12(1)n n a a n --=-，2n ≥，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++ 2(1)12242(1)122122n n n n n -=++++-=+⨯=-+ ，2n ≥，又112a =也满足上式，所以212n a n n =-+.故答案为：212n a n n =-+.10.【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，则9'9'S h S h==，，再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h ⨯⨯=，所以'23h h =，则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⨯=⨯=．故答案为1．【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为13V S h =⋅底，本题是中档题．11.【分析】根据题意得到1q <，再利用无穷等比数列和的公式得到131a q =-与212912a q =-，解方程组即可得解.【详解】因为无穷等比数列{}n a ，13i i a +∞==∑，则1q <，131a q =-①，所以{}2n a 是首项为21a ，公比为21q <的等比数列，又2192ii a +∞==∑，则212912a q =-②，由①②可得，1312a q =+③，由②③可得，12a =，13q =,故{}n a 的通项公式为1123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：1123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.12.【分析】先设出点P 的坐标，表示出点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和12003d d x y +=-+；再利用几何意义求解得出答案.【详解】设点P 的坐标为()00,x y 则动点P 到直线1l 的距离为10022d y y =-=-；动点P 直线2l 的距离为()20011d x x =--=+.所以曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为120000213d d y x x y +=-++=-+令003t x y -=-，即003y x t=+-则3t -的几何意义是过点P 的直线3y x t =+-在y 轴上的截距.因为点P 在曲线()2211x y -+=上.所以当直线3y x t =+-与曲线()2211x y -+=相切时t 有最值.因为曲线()2211x y -+=是以()1,0圆心，1为半径的圆.1=，解得4t =-或4t =+所以曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l的距离之和的最小值为4-故答案为：413.【分析】根据直线倾斜角的定义进行判断即可.【详解】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是0，因此直线倾斜角的取值范围为[0,π)，故选：C14.【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．15.【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率计算即得.【详解】记3名男同学为,,a b c ，2名女同学为,E F ，从5名同学中任选2名的结果有：,,,,,,,,,ab ac aE aF bc bE bF cE cF EF ，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有,,,,,,aE aF bE bF cE cF EF ，共7个，所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710.故选：B16.【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性.【详解】对于①，由11221x y +=平方可得，1x y ++=．因为x y +≥所以12x y +≥()2224x y ≥+≥，当且仅当14x y ==时等号成立，故①错误；对于②，由11221x y +=知，[],0,1x y ∈，11221y x =-，两边平方可得1y x =+-．因为x ≤，所以1121y x x x x =+-+-=-，即曲线C 在直线1y x =-的下方，因此所围图形的面积不大于12，故②正确.故选：C【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.17.【分析】（1）利用平均数与方差的计算公式即可得解；（2）利用百分位数的定义求解即可.【小问1详解】依题意，设甲班的样本平均数为x ，方差为2s ，则()117017916216815818217916816317117010x =⨯+++++++++=，所以()()()()()22222222222109821212927157.210s ⎡⎤=⨯++-+-+-+++-+-+=⎣⎦【小问2详解】将乙班数据从小到大重新排列得：159，162，165，168，170，173，176，178，179，181，又1025% 2.5⨯=，所以乙班数据的25%分位数为第3位数，即165cm .18.【分析】（1）作//AE CE '交CD 于E '，联结1D E '，即可得到1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角，再根据三角形的性质求出1D AE '∠，即可得解；（2）首先可得90DEC ∠=︒，即可得到DEC 为直角三角形，在由线面垂直、面面垂直的性质得到CE ⊥平面1DD E ，即可得到1CE D E ⊥，即1D EC △为直角三角形，即可判断；【小问1详解】解：作//AE CE '交CD 于E '，联结1D E '，因为E 是棱AB 的中点.所以E '为CD 的中点，则1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角，因为11AD AA DE '===，所以11AE D E AD ''===因为1AD E '△为正三角形，即160D AE '∠=︒，异面直线1AD 与EC 所成角为60︒.【小问2详解】解：E 是棱AB 上的中点，则ADE V ､CBE △均为等腰直角三角形，故90DEC ∠=︒，所以DEC 为直角三角形，由1DD ⊥平面ABCD ，1DD ⊂面1DD E ，所以平面1DD E ⊥平面ABCD ，又DE CE ⊥，平面1DD E 平面ABCD DE =，CE ⊂平面ABCD ，所以CE ⊥平面1DD E ，1D E ⊂平面1DD E ，所以1CE D E ⊥，所以1D EC △为直角三角形，因为1DD ⊥平面ABCD ，,DE DC ⊂平面ABCD ，所以1DD DE ⊥，1DD DC ⊥，所以1DD E △､1DD C △均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形为鳖臑.19.【分析】（1）利用,n n S a 之间的关系进行求解即可；（2）利用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】因为当N,1n n ∈≥时，有2n S n n =+，所以当N,2n n ∈≥时，有()2111n S n n -=-+-，两式相减，得2n a n =，当1n =时，由212n S n n a =+⇒=，适合2n a n =，所以2n a n =，*N n ∈；【小问2详解】因为2n a n =，N n ∈；所以()()111111112224141n n a a n n n n n n +⎛⎫==⋅=- ⎪+++⎝⎭，因此()11111114223141n n H n n n ⎛⎫=-+-++-= ++⎝⎭ .20.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的公式求出m 的值；（2）假设在线段11A C 上存在这样的点Q ，设点Q 的横坐标为x ，则(,1,2)-Q x x ，由1⊥D Q AP ，即10AP D Q ⋅=，求出x ，即可得出答案．【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则点(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,)P m ，(0,1,0)C ，(0,0,0)D ，1(1,1,2)B ，1(0,0,2)D ，(1,1,0)∴=-- BD ，1(0,0,2)BB = ，(1,1,)=- AP m ，(1,1,0).=- AC 由0AC BD ⋅= ，10⋅= AC BB ,1BD BB B ⋂=知，AC 为平面11BB D D 的一个法向量．设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，则2||3sin 2||||22AP AC AP AC m θ⋅==⨯+ ，解得63=m 故当63m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成角为60︒．【小问2详解】假设在线段11A C 上存在这样的点Q ，设点Q 的横坐标为x ，则(,1,2)-Q x x ，1(,1,0)D Q x x =- ，依题意，得1⊥ D Q AP ，即10AP D Q ⋅= ，(1)0∴-+-=x x ，解得12x =，当Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求．21.【分析】（1）求出,a b 可得答案；（2）设动点(),T x y ，求出()122123PT TF TF PT F F x ⋅-=⋅=- ，根据x 的取值范围可得答案；（3）设直线:l y kx t =+与椭圆方程联立，可得其判别式1Δ0>，化简得2214t k ->①，利用韦达定理求出M 点坐标可得14OM k k =-，利用//OM PQ 得PQ OM k k =，设直线PQ 方程为14y x t k =-+与椭圆方程联立，要使得存在点Q 可得其判别式2Δ0≥，化简得22144k t ≤-②，由①②式求出t 的范围可得答案.【小问1详解】由题意，得2c a ==，所以1b ==，则椭圆的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】设动点()()21,,T x y F F =- ，(),=- PT x y t ，()1221PT TF TF PT F F ⋅-=⋅=- ，[]2,2x ∈- 所以()12PT TF TF ⋅-的取值范围为-⎡⎣；【小问3详解】显然直线的斜率存在，所以可以设直线:l y kx t =+，联立得到2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理，得()()222148440k x ktx t +++-=，则2121222844,1414kt t x x x x k k-+=-⋅=++，则222244,,,14141414M M M kt t kt t x y kx t M k k k k ⎛⎫=-=+=∴- ⎪++++⎝⎭，又 直线l 与椭圆交于两点：()()22221Δ64414440k t k t =-+->，化简得226416160k t +->，则2214t k ->①，14OM k k∴=-，如果//OM PQ ，则14PQ OM k k k ==-，设直线PQ 为22114,414y x t k y x t k x y ⎧=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎩，整理得2221214404t x x k k k⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，要使得存在点Q ，则()2222241Δ414404t t k k ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭，整理得22224116160,44+-≥∴≤-t k k t ②，由①②式得，22211444-∴<≤-t k t ，则2211444t t -<-，解得t <<，所以当t ≥Q ，使得//OM PQ .【点睛】关键点点睛：第三问的解题关键点是分别设直线l 、直线PQ 方程与椭圆方程联立，利用其判别式化简t 求出t 的范围.。
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一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2009秋•朝阳区期末）已知命题p：∀x∈R，|x|≥0，那么命题¬p为（）
A．∃x∈R，|x|≤0 B．∀x∈R，|x|≤0 C．∃x∈R，|x|＜0 D．∀x∈R，|x|＜0
2．（5分）（2014•广安二模）已知a＞b，则下列不等关系正确的是（）
A．ac＞bc B．ac2＞bc2C．2a＞2b D．a2＞b2
3．（5分）（2013•杭州二模）设直线：l：y=kx+m（m≠0），双曲线，则“”是“直
线l与双曲线C恰有一个公共点“的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）（2014秋•沈河区校级期末）有下列四个命题：
（1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则=；
（2）若两个非零向量满足=，则∥；
（3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；
（4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（x，y，z∈R），则P，A，B，C四点共面．其中正确命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0
6．（5分）（2014秋•东莞期末）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（）A．B．C．D．
8．（5分）（2014秋•沈河区校级期末）已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=ax的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（）A．4 B．5 C．D．
10．（5分）（2015•天水校级模拟）已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，Q是圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上的一个动点，N（1，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．+1
11．（5分）（2014秋•沈河区校级期末）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，棱BB1所在直线上的动点M满
足，AM与侧面BB1C1C所成的角为θ，若λ∈[]，则θ的取值范围是（）
A．[，]B．[]C．[，]D．[，]
12．（5分）（2014秋•沈河区校级期末）已知双曲线，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则与+同方向的单位向量是．
14．（5分）已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则的值为．
15．（5分）（2014秋•沈河区校级期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB1和C1A1所成角大小为．
三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2013秋•许昌期末）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
19．（12分）（2013•开平市模拟）设双曲线的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（Ⅱ）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
20．（12分）（2014秋•沈河区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）求证：若二面角M﹣BQ﹣C为30°，试求的值．
21．（12分）（2014•青浦区一模）椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上．不
过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．（1）求椭圆C的方程．
（2）试判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（3）求S的最大值．
22．（10分）（2015•呼伦贝尔二模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．
（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m值．
（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
一、选择题（本大题共十小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1．（5分）（2014•余江县校级二模）在下列结论中，正确的结论是（）
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“≦p”为假的必要不充分条件；④“≦p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
A．①②B．①③C．②④D．③④
2．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．
3．（5分）（2013秋•朝阳县校级期末）方程=|x﹣y+3|表示的曲线是（）
A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线
4．（5分）（2008•湖北）若集合P={1，2，3，4}，Q={x|0＜x＜5，x∈R}，则（）
A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件
5．（5分）（2013秋•朝阳县校级期末）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于6，则其中一条直线方程是（）A．x﹣y﹣3=0 B．x﹣2y+2=0 C．x+2y+2=0 D．x+y﹣1=0
6．（5分）（2010•四川）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．8
7．（5分）（2013秋•朝阳县校级期末）过点（0，1）引直线与双曲线x2﹣y2=1只有一个公共点，这样的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条
8．（5分）（2013秋•朝阳县校级期末）已知直线l过点P（1，0，﹣1），平行于向量，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（）
A．（1，﹣4，2） B． C．D．（0，﹣1，1）
9．（5分）若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）F2（3，0），则其离心率为（）
A．B．C．D．
10．（5分）（2010•桃城区校级一模）双曲线=1的离心率e1，双曲线=1的离心率为e2，则e1+e2的最
小值为（）A．B．2 C． D．4
11．（5分）（2013秋•朝阳县校级期末）命题“若x=2，则x2+x﹣6=0”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题中，真命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共五个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答）题卡的横线上.
13．（5分）已知双曲线=1的离心率为，则n=．
14．（5分）两不重合直线l1和l2的方向向量分别为=（1，0，﹣1），=（﹣2，0，2），则l1与l2的位置关系是．15．（5分）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为．
16．（5分）（2013秋•朝阳县校级期末）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是．
三、解答题（本大题共六小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（13分）（2013秋•朝阳县校级期末）已知命题p：偶函数f（x）在（0，+∞）内是增函数，且f（m）＞f（﹣1），命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题p且q为假命题则实数m的取值范围是？
18．（13分）（2013秋•朝阳县校级期末）椭圆和双曲线=1（m＞0）有相同的焦点，P（3，4）是椭圆和双曲线渐近线的一个交点，求m的值及椭圆方程．
19．（17分）（2015•西安模拟）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．
（Ⅰ）求证：A1C⊥平面BED；（Ⅱ）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．
20．（13分）（2013秋•广饶县校级期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．
21．（14分）点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上
方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．。