用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程(课堂PPT)
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
例2 与直线 2xy40平行的抛物线 y x 2
的切线方程是（ ）
4
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
例3 求过曲线 y x3 2x 上的点 (1， 1) 的切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应
先设切点，再求切点，即用待定切点法．
5
设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 y|xx0 3x02 2
即 xy20 或 5x4y10
7
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
例4 求过点 ( 2 ，0 ) 且与曲线 y 1
x
相切的直线方程
8
设 P(x0，y0 )为切点，则切线的斜率为
y |x x0
1 x02
切线方程为
1 y y0 x02 (xx0)
y 1 x0
x102(xx0)源自又知切线过点 ( 2 ，0 ) ，把它代入上述方程，得
1 x0
1 x02
(2 x0)
9
解得
x0
1，y0
1 x0
1
故所求切线方程为 xy20
10
Thank You
11
用导数求切线方程
主讲人：甄玉星
1
四种常见的类型
类型一：已知切点，求曲线的切线方程 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
2
类型一：已知切点，求曲线的切线方程 例1 曲线 yx3 3x2 1 在点 (1， 1) 处的 切线方程为
切线方程为 yy0(3x022)(xx0)
y (x 0 3 2 x 0 ) (3 x 0 2 2 )(x x 0 )
导数切线方程11种题型(解析版)
第5讲 导数切线方程11类【题型一】 求切线基础型：给切点求切线【典例分析】 已知函数()2sin 1xf x x =+，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线的方程为__________. 【答案】20x y -=【解析】【分析】先求导函数，求得在切点处的直线斜率；再根据点斜率求得切线方程． 【详解】因为()()()221cos 2sin 1x x xf x x +-'=+，所以()02kf ='=，则所求切线的方程为2y x =.故答案为：20x y -=.【变式演练】1.曲线()()1xf x x e x =++在点()0,1处的切线方程为______.【答案】310x y -+=【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点()0,1的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程. 解：由()()1xf x x e x =++，得()'(1)1x x fx e x e =+++， 所以在点()0,1处的切线的斜率为()'000(01)13fe e =+++=，所以所求的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=， 故答案为：310x y -+=，2.已知点()1,1P -在曲线2x y x a =+上，则曲线在点P 处的切线方程为_________.【答案】32y x =-- 【分析】将点P 的坐标代入曲线方程，可求得a 的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点P 处的切线方程.【详解】因为点()1,1P -在曲线2x y x a=+上，111a ∴=-，可得2a =，所以，22x y x =+，对函数求导得()()()222222422x x x x xy x x +-+'==++，则曲线在点P 处的切线斜率为13x k y =-'==-，因此，曲线在点P 处的切线方程为()131y x -=-+，即32y x =--. 故答案为：32y x =--.3.已知曲线2()ln x f x x a=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12-D ．4-【答案】B【分析】求出函数()2ln x f x x a =+的导数'12()x f x x a ,利用函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π得'(1)1f =-,由此可求a 的值. 解:函数()2ln x f x x a=+的导数'12()x f x x a ,函数f(x)在x=1处的倾斜角为34π,∴'(1)1f =-,∴211a,∴1a =-故选B.【题型二】 求切线基础型：有切线无切点求切点【典例分析】曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．()1,0B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4-- 【答案】C 【详解】令()'2314f x x =+=，解得1x =±，()()10,14f f =-=-，故0p 点的坐标为()()1,0,1,4--，故选C. 【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.【变式演练】1.已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ） A 2 B ．2C ．2ln 2D ．ln 2【答案】D【分析】先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】()f x 为偶函数，则()()(1)0xxx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D2.过曲线cos y x =上一点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在点P 处的切线垂直的直线的方程为（ ）A ．2π32303x -=B 3π3210x y +-= C ．2π32303x -= D 3π3210x y += 【答案】A 【分析】求出函数得导函数，根据导数得几何意义即可求得切线得斜率，从而可求得与切线垂直得直线方程. 【详解】解：∵cos y x =，∵sin y x '=-， 曲线在点π1,32P ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率是π3π3sin3x y ='=-= ∵过点P 且与曲线在点P 3∵所求直线方程为1π233y x ⎫-=-⎪⎭，即2π32303x -=． 故选：A.3.曲线sin 21y x x =++在点P 处的切线方程是310x y -+=，则切点P 的坐标是____________. 【答案】()0,1 【分析】由导数的几何意义，求得切点P 处的切线的斜率，得到0cos 1x =，求得02()x k k Z π=∈，分类讨论，即可求解.【详解】由函数sin 21y x x =++，则cos 2y x '=+，设切点P 的坐标为()00,x y ，则斜率00cos 23x x k y x ==+'==， 所以0cos 1x =，解得02()x k k Z π=∈，当0k =时，切点为()0,1，此时切线方程为310x y -+=； 当0k ≠，切点为(2,41)()k k k Z ππ+∈，不满足题意， 综上可得，切点为()0,1.故答案为：()0,1.【题型三】 求切线基础：无切点求参【典例分析】已知曲线3y x =在点(),a b 处的切线与直线310x y ++=垂直，则a 的取值是（ ）A ．-1B ．±1C ．1D ．3±【答案】B【分析】求导得到()2'3f x x =，根据垂直关系得到()2'33f a a ==，解得答案.【详解】()3y f x x ==，()2'3f x x =，直线310x y ++=，13k =-，故()2'33f a a ==，解得1a =±.故选：B .【变式演练】1.若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+，则实数b 的值为___________ 【答案】1ln2-+ 【解析】 【分析】先设切点为00(,)x y ，对函数求导，根据切线斜率，求出切点坐标，代入切线方程，即可得出结果. 【详解】设切点为00(,)x y ，对函数ln y x =求导，得到1y x'=，又曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线12y x b =+， 所以切线斜率为0112x =，∴02x =， 因此0ln 2y =，即切点为()2,ln 2，代入切线12y x b =+，可得1ln 2b =-+. 故答案为：1ln2-+.2.已知曲线3y ax =与直线640x y --=相切，则实数a 的值为__________. 【答案】2【分析】先设出切点坐标(,)m n ，然后由切点是公共点和切点处的导数等于切的斜率列方程组可求得结果. 解：设切点为(,)m n ，由3y ax =得'23y ax =，则由题意得，2336640am m n n am ⎧=⎪--=⎨⎪=⎩，解得1,2,2m n a ===，故答案为：23.已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为：14.【题型四】 无切点多参【典例分析】若直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，且0a >，则实数b 的最小值是______. 【答案】2- 【解析】 【分析】求出2ln y a x =的导数，设切线为(,)m n ，由切点处的导数值为切线斜率求出m a =，再由切点坐标可把b 表示为a 的函数，再利用导数可求得b 的最小值． 【详解】2ln y a x =的导数为2a y x'=，由于直线2y x b =+是曲线2ln y a x =的切线，设切点为(),m n ，则22am =， ∴m a =，又22ln m b a m +=，∴2ln 2b a a a =-（0a >），()2ln 122ln b a a '=+-=， 当1a >时，0b '>，函数b 递增，当01a <<时，0b '<，函数b 递减， ∴1a =为极小值点，也为最小值点，∴b 的最小值为2ln122-=-. 故答案为：2-．【变式演练】1已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____. 【答案】0【分析】由题意()()'2,3f e e fe ==，列方程组可求,a b ，即求+a b .【详解】∵在点()(),e f e 处的切线方程为3y x e =-，()2f e e ∴=，代入()ln f x ax x bx =-得2a b -=①. 又()()()''1ln ,23f x a x b f e a b =+-∴=-=②.联立①②解得：1,1a b ==-.0a b ∴+=.故答案为：0.2.若曲线()xf x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________【答案】12e + 解：将1x =代入y ex =，得切点为()1,e ，∴e me n =+①，又()()1xf x me x '=+，∴()12f me e '==，12m =②.联立①②解得：12m =，2e n =，故11222e e m n ++=+=.故答案为：12e +. 3.已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-【答案】D【详解】ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【题型五】 “过点”型切线【典例分析】过原点作曲线ln y x =的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________. 【答案】(),1e1e【分析】设切点坐标为(,)x lnx ；利用导数求切线方程并求切点坐标． 解：设切点坐标为(,)x lnx ；1y x '=；故由题意得，1lnx x x=；解得，x e =；故切点坐标为(,1)e ；切线的斜率为1e； 故切线方程为1()1y x e e =-+，整理得0x ey -=．故答案为：(,1)e ；1e.【变式演练】1.过点(1,1)--与曲线x y e x =+相切的直线方程为______________. 【答案】21y x =+.【详解】设切点坐标为()000,e x x x +，由xy e x =+得e 1x y '=+，∴切线方程为()()0000e 1e x x y x x x =+-++， 切线过点()1,1--，∴()()00001e 11e x x x x -=+--++，即00e 0xx =，∴00x =，即所求切线方程为21y x =+.故答案为：21y x =+. 2.过点(0,1)-作曲线)ln f x x =（0x >）的切线，则切点坐标为________．【答案】,1)e【分析】先求出曲线的方程，再根据导数值为切线斜率，求出切点坐标. 【详解】由(ln f x x =（0x >），则2()ln ,0f x x x =>，化简得()2ln ,0f x x x =>， 则2()f x x'=，设切点为00(,2ln )x x ，显然(0,1)-不在曲线上， 则0002ln 12x x x +=，得0x e =，则切点坐标为,1)e . 故答案为：(,1)e .3.已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（ （A ．12B ．12eC ．1eD ．21e 【答案】C【分析】设切点为00(,ln )x x ∵求出切线方程00ln 1xy x x =+-，即得001ln 10a x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解方程即得a 的值.【详解】设切点为00(,ln )x x ∵∵切线方程是000001ln ()ln 1xy x x x y x x x -=-⇒=+-∵ ∴0011ln 10a x a e x ⎧=⎪⇒=⎨⎪-=⎩，故答案为：C【题型六】 判断切线条数【典例分析】已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C 【解析】 【分析】 设切点为()3,3t t t-，利用导数求出曲线S 在切点()3,3t t t -处的切线方程，再将点P 的坐标代入切线方程，可得出关于t 的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求. 【详解】设在曲线S 上的切点为()3,3t t t -，33y x x =-，则233y x '=-，所以，曲线S 在点()3,3t t t-处的切线方程为()()()32333y t t t x t --=--，将点()2,2P 的坐标代入切线方程得32320t t -+=，即()()21220t t t ---=，解得11t =，213t =313t =因此，过点()2,2P 可向S 引切线，有三条.故选：C.【变式演练】1.已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x 的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B ．（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）【答案】A【详解】设切点为()000,e x x x ∵(1)xy x e =+'∵000(1)x x x y x e =∴=+⋅'，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+⋅-，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+⋅- 2001x a x ∴=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a ∆=+>⇒>或4a.故答案为:A.2.已知函数()=-xa f x x e 存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线xy e =相切，符合情况的切线l（ （ A ．有3条 B ．有2条 C ．有1条 D ．不存在【答案】D 【解析】试题分析：()1x ae f x a=-'，依题意，()0f x '<在R 上有解.当0a <时，()0f x '<在R 上无解，不符合题意；当0a >时，()0,,ln x af x a e x a a <'符合题意，故0a >.易知曲线()y f x =在0x =处的切线为111y x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.假设该直线与x y e =相切，设切点为00,x y ，即有0011111xe x a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，消去a 化简得0001x x ex e =-，分别画出,1x x e xe -的图像，观察可知它们交点横坐标01x >，0x e e >，这与111a-<矛盾，故不存在.3.已知函数()3291,f x x ax x a R =+-+∈，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()02,2x f x --处的切线总是平行时，则由点(),a a 可作曲线()y f x =的切线的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】C 【解析】分析：由曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行,可得导函数的对称轴，从而求出a 的值，设出切点坐标，可得关于切点横坐标的方程有三个解，从而可得结果. 详解：由()3291f x x ax x =+-+，得()2'329f x x ax =+-，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行，()'y f x ∴=关于1x =对称，即133aa -=⇒=-，点(),a a ，即为()3,3--， 所以()32391f x x x x =--+，()2'329f x x ax =+-，设切点为()(),t f t 切线的方程为()()3'3y f t x +=+，将点()32,391t t t t --+代入切线方程可得()()3223933693t t t t t t --+=--+，化为322636310t t t ---=，设()32263631g t t t t =---()2'61218g t t t =--令()'0g t >得3t >或1t <-，令()'0g t <得10t -<<，()32263631g t t t t =---在()(),1,3,-∞-+∞上递增，在()1,3-上递减，t ∴在1-处有极大值，在3处有极小值，()110g ∴-=>且()31390g =-<， ()32263631g t t t t =---与x 有三个交点，∴方程()0g t =有三个根，即过(),a a 的切线有3条，故答案为3.【题型七】 多函数（多曲线）的公切线【典例分析】直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．1a <- C ．02e a << D ．20a e<<【答案】C 【解析】 【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量a 关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出a 的取值范围. 【详解】设曲线2()f x x =的切点为：2(,)s s ，2'()()2f x x f x x ⇒==，所以过该切点的切线斜率为'()2f s s =，因此过该切点的切线方程为：222()2y s s x s y sx s -=-⇒=-；设曲线()y g x =的切点为：(,ln )t a t ，'()ln ()a g x a x g x x =⇒=，所以过该切点的切线斜率为'()a g t t=，因此过该切点的切线方程为：ln ()ln a ay a t x t y x a a t t t-=-⇒=-+，则两曲线的公切线应该满足：2224(1ln )ln a s a t t t s a a t⎧=⎪⇒=-⎨⎪-=-+⎩， 构造函数2'()4(1ln )(0)()4(12ln )h t t t t h t t t =->⇒=-,当12t e >时，'()0,()h t h t <单调递减，当120t e <<时，'()0,()h t h t >单调递增，所以函数有最大值为：12()2h e e =，当t e >时，()0h t <，当0t e <<，()0h t >，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为02e a <<. 故选：C【变式演练】1.函数()ln 1mx f x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设两个切点A ()11x y ，和B ()22x y ，，然后求函数的导函数(),()f x g x ''，由()g x 的导函数()g x '分析求解参数2a =，再由()f x 的导函数和公切线分析得出关于m 的方程组，求解即可得出答案. 【详解】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mx f x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =，所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x >，则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即得函数()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域上为增函数，又因()10h =，则可解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111m f '=+=+解得4m =. 故选：A.2.曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（ ）条公切线. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【详解】设()010,x x e -是曲线()f x 图像上任意一点，()'1x f x e-=，所以()01'0x fx e -=，所以过点()010,x x e -的切线方程为()00110x x y ee x x ---=-，整理得()001101x x y e x x e --=⋅+-①.令()01'1x g x e x-==，解得011x x e -=，则()101g x x =-，所以曲线()g x 上过点()010,1xe x --的切线方程为：()()001101x x y x e x e ----=-，整理得010x y e x x -=⋅-②.由于切线①②重合，故()01001x x e x --=-，即()010010x x e x --⋅-=③.构造函数()()11x h x x ex -=--，则()'11x h x xe -=-，()()''11x h x x e -=+，故当1x <-时()()'''0,h x h x <递减、当1x >-时()()'''0,h x h x >递增，注意到当0x <时()'0h x <，且()'10h =，所以当1x <时()()'0,h x h x <递减，当1x >时，()()'0,h x h x >递增，而()()()22110,110,220h h h e e -=->=-<=->， 根据零点存在性定理可知在区间()()1,1,1,2-各存在()h x 的一个零点，也即()h x 有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线()f x 和曲线()g x 有两条公切线.故选：B 3.若函数()ln (0)f x x x =>与函数2()g x x a =+有公切线，则实数a 的最小值为（ ） A ．11ln 222-- B ．ln21--C ．12-D ．ln 2-【答案】A 【解析】 【分析】求出()f x 导数，设出切点，求出切线，将其与2()g x x a =+联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的最小值. 【详解】 解：'1()f x x=，设公切线与曲线()ln f x x =相切的切点为(),ln ,0m m m >， 则公共切线为()1ln y x m m m=-+， 即ln 0x my m m m --+=，其与2y x a =+相切， 联立消去y 得：2ln 0mx x am m m m -++-=， 则()14ln 0m am m m m ∆=-+-=有解， 即211ln 4a m m=-+有解， 令()211ln 4h m m m =-+，0m >， 则()2'33112122m h m m m m -=-+=，令232102m m -=，得2m =， 则()211ln 4h m m m =-+在20,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()2min 21212411ln 222h m h ==-+=⎝⎭⎝--⎭， 则11ln 222a --≥，所以实数a 的最小值为11ln 222--.故选：A.【题型八】 切线的应用：距离最值【典例分析】点P 在函数ln y x =的图像上，若满足到直线y x a =+的距离为1的点P 有且仅有1个，则a =（ ） A 21 B 21 C ．21-- D ．21【答案】B 【分析】先求导，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，利用导数几何意义和切点在曲线、直线上求得切点()1,0，再利用()1,0到直线y x a =+的距离为1，结合图象解得参数即可. 【详解】函数ln y x =的导函数为1y x=，设直线y x m =+与ln y x =相切于点00(,)x y ，则00000ln 11y x y x m x ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得切点为()1,0，由题可知()1,0到直线y x a =+的距离为1， 12=，解得21a =，结合图象可知，21a =. 故选：B.【变式演练】1.点A 在直线y ＝x 上，点B 在曲线ln y x =上，则AB 的最小值为（ ）A ．22B ．1C 2D ．2【答案】A 【分析】设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意义可得b 的值，进而可得结果. 【详解】设平行于直线y ＝x 的直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =相切， 则两平行线间的距离即为AB 的最小值．设直线y ＝x ＋b 与曲线ln y x =的切点为(,ln )m m ， 则由切点还在直线y ＝x ＋b 上可得ln m m b =+， 由切线斜率等于切点的导数值可得11m=， 联立解得m ＝1，b ＝－1，由平行线间的距离公式可得AB 2221(1)=+-， 故选：A.2.已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（ ） A ．1 B 2C ．2 D ．3【答案】B 【分析】根据函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，将问题转化为求函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()x f x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()x f x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()x f x e '=，所以函数()x f x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离211d =+ 所以||MN 2 故选：B. 3.抛物线上的一动点到直线距离的最小值是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】试题分析：对y=x 2求导可求与直线x -y -1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d ．解：（法一）对y=x 2求导可得y′=2x ，令y′=2x=1可得x=∵与直线x -y -1=0平行且与抛物线y=x 2相切的切点（，），切线方程为y -=x -即x -y -=0由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=，故选A.【题型九】 切线的应用：距离公式转化型【典例分析】若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可. 【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称， 所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，此时11y x '==，∵ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =2 故原式的最小值为2.故选：B .【变式演练】1.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】原题等价于函数x y e =上的点()11,x A x e 与函数ln y x =上的点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，结合两个函数关于y x =对称，将其转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可. 【详解】由题意可转化为点()11,x A x e 与点()22,xB e x 间的距离最小值的平方，点A 在函数x y e =上，点B 在函数ln y x =上，这两个函数关于y x =对称， 所以转化为函数ln y x =与y x =的距离的最小值2倍的平方， 此时11y x'==， ∵ln y x =斜率为1的切线方程为1y x =-，它与y x =2 故原式的最小值为2. 故选：B .2.设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________.【答案】10 【分析】224()()a b a b ++-表示点(,)a a 与点4(,)b b -距离的平方，而点(,)a a 是直线y x =上任一点，点4(,)b b-（0b <）是反比例函数4y x=-在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得0,2a b ==-，从而得8c =，再利用绝对值三角不等式可求出函数()f x 的最小值 【详解】解：224()()a b a b++-表示点(,)A a a 与点4(,)B b b -距离的平方，而点A 是直线y x =上任一点，点B 是反比例函数4y x =-在第四象限上的点，当B 是斜率为1的直线与4y x=-相切的切点时，点B 到直线y x =的距离即为||AB 的最小值， 由2244,|1,2(0),(2,2)x b y y b b B x b ='='==∴=>-， min ||22,82AB c ∴===， 所以()|||||2||8|(2)(8)10f x x b x c x x x x =-+-=++-≥+--=， 当且仅当28x -≤≤取等号，所以函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为10， 故答案为：103.已知a R ∈，b R ∈()()221ba b a e -+--______．2【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答. 【详解】()()221ba b a e-+--(),1a a -到点(),bb e 的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),b b e 的轨迹是曲线()xf x e =，则所求最小值可转化为曲线()x f x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()xf x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()xf x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)xx e ，()x f x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离2221(1)d ==+-2【题型十】 切线的应用：恒成立求参等应用【典例分析】已知a 为实数，则“e x ax >对任意的实数x 恒成立”是“02a <<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】先根据导数的几何意义求出直线y kx =与曲线x y e =相切时k 的值，再数形结合将e x ax >对任意的实数x 恒成立转化为0a e ≤<，最后判断充要关系即可得解. 【详解】设直线y kx =与曲线x y e =相切，且切点为()00,xx e ， 则000xx k e e kx ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得01x =，所以切点为()1,e ，k e =，所以切线方程为y ex =.数形结合可知，e x ax >对任意的实数x 恒成立等价于0a e ≤<.而由0a e ≤<不能得到02a <<，故充分性不成立； 反之，由02a <<可得到0a e ≤<，故必要性成立.故选：B .【变式演练】1.已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．[]1,21e -- B ．(,21]e -∞- C ．[]1,1e -- D ．(,1]e -∞-【答案】A 【分析】由题意求得a ，代入函数解析式，把问题转化为2x e mx x +恒成立，对x 分类讨论，分离参数m ，再由导数求最值得答案． 【详解】解：因为()x f x a =，所以()ln x f x a a '=，又函数()f x 的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，所以0(0)ln 2f a a '==，解得2e a =，所以2()e x f x =，因为()f x mx x ≥+恒成立，所以2e x mx x ≥+恒成立． 当0x =时，0e 0≥成立．当0x ≠时，令2e ()1x g x x =-，则22e (21)()x x g x x -'=． 当1(,0)0,2x ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞和10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x >时，e 1xm x ≤-恒成立，所以2mine 112e 12x m g x ⎛⎫⎛⎫≤-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 当0x <时，2e 1xm x ≥-恒成立，而2e ()11xg x x=-<-，所以1m ≥-．综上，12e 1m ≤≤-一，所以m 的取值范围为[1,2e 1]--．故选：A 2.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________. 【答案】0 【分析】利用导数的几何意义分别求解出ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程以及x y e =在点()22,Q x y 处的切线方程，根据两切线重合，求解出12,x x 之间的关系式，由此可化简计算出12111x x x ++-的值. 【详解】ln y x =的导数为1y x'=，可得曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线方程为()1111ln y x x x x -=-， x y e =的导数为e x y '=，可得曲线x y e =在点()22,Q x y 处的切线的方程为()222x xy e e x x -=-，由两条切线重合的条件，可得211x e x =，且()212ln 11xx e x -=-，则21ln x x =-，即有()1111ln 11ln x x x -=+，可得1111ln 1x x x +=-，则121111ln ln 01x x x x x ++=-=-.故答案为:03.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解 【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：∵直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11ae-=-+，得2a e =；∵直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【题型十一】 切线的应用：零点等【典例分析】已知函数()f x 满足1()()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】ln 31[,)3e 【解析】试题分析：由题意知，ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩， ∵在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，∴函数ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩与y ax =在区间1[,3]3内有三个不同的交点，合图象可知，当直线y ax =与()ln f x x =相切时，ln 1x x x =，解得：x e =；此时1a e =；当直线y ax =过点(3,ln 3)时，ln 33a =；故ln 313a e≤<.【变式演练】1.已知函数sin(),2,2()2223sin(),2,2()222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎡⎫+∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-+∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，其中1334x x x x <<<，则44(2)tan x x +=______. 【答案】1-函数的图象如下图所示：直线(2)(0)y m x m =+>过定点(2,0)-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos f x x =-，()sin f x x '=，由图象可知切点坐标为()44,cos x x -， 切线方程为：()444cos sin y x x x x +=-，又因为切线过点(2,0)-，则有()444cos sin 2x x x =--，即44(2)tan 1.x x +=-2.关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是 A ．tan αα> B ．tan αα<C ．tan αα=D ．以上都不对【答案】C 【分析】由题，先做出图像，然后找到最大根α，利用斜率公式可得α与tan α的大小关系. 【详解】由题意作出y kx =与sin y x =在(3,3)ππ-的图象，如图所示：∵方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，最大的根是α. ∵α必是y kx =与sin y x =在(2,3)ππ内相切时切点的横坐标设切点为()00,x y ， 052,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0x α=，斜率0cos k x =则000sin cos cos tan y x x ααααα=∴=⋅∴= 故选C.3.已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（ ） A ．221,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由()()11f x f x +=-，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由此可画出函数图像，而直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线，当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案 【详解】因为()()11f x f x +=-，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称.当21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，则当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，()f x 的图像如图所示，直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线.当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点.当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，函数()()()2ln 2f x f x x =-=-，()12x f x '=-， 设切点为()()00,ln 2x x -，切线的斜率012k x =-， 则切线方程为()()0001ln 22y x x x x --=--，把点()2,0代入得02x e =-，所以1k e=-； 当直线过点()22,2e -时，22k e =-，所以k 的取值范围为212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故选：C.【课后练习】1.已知函数()ln()f x a x =+在()()0,0f 处的切线方程为y x =，则满足()021f x ≤-≤的x 的取值范围为_________. 【答案】[2,1]e + 【分析】 因为1()f x a x'=+，可得1(0)1f a '==，即1a =，所以()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数，结合已知，即可求得答案. 【详解】1()f x a x '=+，1(0)1f a'∴==，1a ，∴()ln(1)f x x =+，()f x 是(1,)-+∞上的增函数，又()00f =，(1)ln(11)1f e e -=-+=，∴021x e ≤-≤-，21x e ∴≤≤+.即[2,1]e +故答案为：[2,1]e +2.已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______. 【答案】12-【分析】根据函数()2ln xf x ax x=-，求导，再根据曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，由()1122f a '=-=求解.【详解】因为函数()2ln x f x ax x =-，所以()21ln 2xf x ax x-'=-， 又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行， 所以()1122f a '=-=，解得12a =-，故答案为：12-3.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0 B ．4 C ．0或-4 D ．0或4【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可．【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ．4.已知直线0x y -=是函数ln ()a xf x x=图像的一条切线（且关于x 的方程(())f f x t =恰有一个实数解（则（ （ A ．{}ln 2t e ∈ B ．[0,ln 2]t e ∈C ．[0,2]t ∈D ．(,0]t ∈-∞【答案】A【解析】设切点坐标000alnx x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2a alnx y x -='则切线方程为()000200alnx a alnx y x x x x --=- 又直线0x y -=是函数()alnxf x x=图像的一条切线∵切线过()00，代入 解得0x e =，则切点坐标为e e ，代入解得2a e =故()2ln e xf x x =∵()()221e lnx f x x'-=令()0f x '=∵x e =为()f x 的极大值 又()()f f x t =恰有一个实数解∵则()() 2t f f e eln ==故选A5.．函数()ln f x x =在点()()00,P x f x 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 【答案】C 【解析】试题分析:设切点分别为),(11y x P 或),(22y x P ,因x e x g xx f ==)(,1)(//,故211x e x k ==,由此可得k x k x ln ,121==,切线方程分别为)1(1ln kx k k y -=-和)ln (k x k k y -=-.由题设可得k k k k ln 1ln +-=+,即1ln )1(+=-k k k ,也即11ln -+=k k k ,由题意这个方程解的个数就是点P 的个数.在平面直角坐标系中画出函数k y ln =和函数11-+=k k y 的图象,结合图象可以看出两函数的图象有两个不同的正根,故切点的个数有两个,应选C.考点：导数的几何意义及函数的图象和性质的综合运用.6.已知过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()1,+∞ 【分析】设切点为()00,x y ，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点M 代入整理得00ln 1x m x =+，使得方程关于0x 有两解，构造函数()()0ln 1xg x x x =>+，利用导数研究函数的单调性和极值，求出()min g x ，即可求得实数m 的取值范围.解：由题可知，曲线C ：ln y x x =⋅，定义域为()0,∞+，则ln 1yx ，设切点为()00,x y ，则切线斜率为：0ln 1k x =+，切线方程为：()()000ln 1y y x x x -=+-， 将(),0M m 代入切线方程得：()()000ln 1y x m x -=+-， 又因为000ln y x x =⋅，所以00ln 0m x m x +-=，整理得：00ln 1x m x =+，由于过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条，即00ln 1x m x =+有两个解，可设()()0ln 1x g x x x =>+，则()()2ln ln 1x g x x '=+，令()0g x '=，即ln 0x =，解得：1x =， 令()0g x '<，即ln 0x <，得：1x <，所以()0,1x ∈时，()f x 单调递减， 令()0g x '>，即ln 0x >，得：1x >，所以()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增，Oyk所以()()min 11g x g ==， 所以当1m 时，00ln 1x m x =+有两个解，即过点(),0M m 作曲线C ：ln y x x =⋅的切线有且仅有两条， 则实数m 的取值范围是：()1,+∞. 故答案为：()1,+∞.7.．已知函数21()44,()f x x x g x x -=-+=（则()f x 和()g x 的公切线的条数为 A ．三条 B ．二条C ．一条D ．0条【答案】A 【解析】 【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程328810n n -+=，构造函数()()()32881,832f x x x f x x x +='=--，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与()f x 和()g x 分别相切于点()()()()(),,,,24m f m n f n f x x =-'，()()()()()2,g n f m g x x g n f m n m--=-==''-'，解得222n m -=-+，代入化简得328810n n -+=，构造函数()()()32881,832f x x x f x x x +='=--，原函数在()22-00+33⎛⎫⎛⎫∞∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，极大值()200,03f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭极小值，故函数和x 轴有交3个点，方程328810n n -+=有三解，故切线有3条. 故选A.8.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________． 【答案】(0,2]e 【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()a y a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212{ln a x x a x a x =-=-, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在)e 递增，,)e +∞递减，max ()()2g x g e e ==． 所以a ∈(]0,2e ，填(]0,2e ．9.已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可求出函数的切线，又由切线为公切线，故两切线重合，即可求解. 【详解】设公切线与曲线()y g x =切于点()22,ln x x ，()()1'2,f x x g x x'==则曲线()y f x =在点()211,1x x +处的切线方程为()()211112y x x x x -+=-，即21121y x x x =-+，曲线()y g x =在点()22,ln x x 处的切线方程为22ln 1xy x x =+-， 所以12212121ln 1x x x x ⎧=⎪⎨⎪-+=-⎩，所以()211ln 22x x -=.故答案为：210.已知ln 0a b -=，1c d -=，求22()()a c b d -+-的最小值________. 【答案】2 【分析】将问题转化为曲线ln y x =上的点到直线10x y -+=上的点的距离的平方的最小值，结合导数以及点到直线距离公式求得最小值. 【详解】依题意得ln a b =，10d c -+=，则(),b a 是曲线ln y x =上的点，(),d c 是直线10x y -+=上的点，所以22()()a c b d -+-可看成曲线ln y x =上的点到直线10x y -+=上的点的距离的平方. 直线10x y -+=的斜率为1， '1ln y x y x =⇒=，令'111y x x==⇒=，所以过曲线ln y x =上一点()1,0的切线与直线10x y -+=平行， 点()1,0到直线10x y -+=10122-+=因此22()()a c b d -+-的最小值为222=.故答案为：2 11.已知方程cos (0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-【答案】A 【分析】 方程cos (0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解，等价于()cos ,,0y x y kx k ==>的图象有且仅有两个不同的交点（原点除外），数形结合可得y kx =与cos y x =-相切时符合题意，根据导数的几何意义以及直线的斜率公式可得结果. 【详解】方程cos (0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解，等价于()cos ,0x kx k =>有且仅有两个不同的实数解，即()cos ,,0y x y kx k ==>，有且仅有两个不同的交点（原点除外）. 画图cos y x =，y kx =的图象.由图可知，y kx =与cos y x =-相切时符合题意， 设()cos f x x =-， ()'sin ,f x x =因为θϕ>，所以θ为切点横坐标，且ϕ是直线y kx =与cos y x =的交点横坐标， 因为切线过原点，所以切线斜率k cos cos sin θϕθθϕ-===，所以cos sin ϕθϕ=，故选A.。
用导数求切线方程的四种类型知识讲解
用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
已知切点 如何用导数求函数的切线方程
已知切点如何用导数求函数的切线方程
1、函数的切线方程的概念
切线是指某个函数f(x)在x0处的切点处，通过这个点的切线方程。
它是与该点的切线，即一般式为 ax+by+c=0的直线方程，它的斜率可通过x0的的某一处的切点来确定。
切线的斜率，即该直线的斜率，可用导数的定义来确定。
2、使用导数求函数切线方程的方法
(1)在给定的函数f(x)中，确定f(x)在x0处有切点；
(2)计算f'(xo),即在x0处函数的导数，则获得切线斜率k=f'(x0)；
(3)由已知点(x0,f(x0))，通过斜率k求出函数的切线方程：y-
f(x0)=f'(x0)(x-x0)，或y=f'(x0)x-f'(x0)x0+f(x0)。
3、函数的切线方程求解步骤
(1)确定切点处的函数坐标x0和f(x0);
(2)计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；
(3)用求得的斜率求出函数的切线方程，即y-f(x0)=f'(x0)*(x-x0)；
(4)可以将此切线方程展开求出其系数，即y=kx+c，其中k=f'(x0)，c=-f'(x0)x0+f(x0)。
4、导数确定切线斜率的原理
如果某一函数f(x)在某点x0处的切点，那么从这个点向外延伸的切
线的斜率即为f'(x0)，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
因为函数的导数代表了函数f(x)在某点处的斜率。
当给定某一点的函数坐标时，可以利用函数的导数求出该点外延伸的切线的斜率。
求曲线在某点的切线方程方法
求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。
切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。
切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。
切线的斜率即为曲线在该点的导数。
方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。
设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.首先求曲线的导数f'(x)。
2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。
3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。
同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。
2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。
此方法适用于那些难以计算导数的曲线。
1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。
2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。
方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。
1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。
2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。
3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。
用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的四种类型在微积分中，切线是曲线上某一点的切线。
通过使用导数，我们可以求解给定曲线上某一点的切线方程。
在本文中，我们将探讨四种使用导数求解切线方程的常见类型。
1. 曲线方程已知的情况首先，我们考虑的是当曲线方程已知时求解切线方程的情况。
假设我们有一个曲线y=f(x)，其中f(x)是一个可导函数。
要求解曲线上某一点(x1,y1)处的切线方程，我们可以执行以下步骤：1.计算函数f(x)在点(x1,y1)处的导数f′(x1)。
2.使用点斜式或一般式等方程形式得到切线方程。
点斜式切线方程的一般形式为y−y1=m(x−x1)，其中m是斜率。
一般式切线方程的一般形式为ax+by=c，其中a,b,c是常数。
2. 给定两个点的情况其次，我们考虑的是当曲线上两个点已知时求解切线方程的情况。
与上一种情况不同，我们不知道曲线的具体方程，但我们已知曲线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)。
为了求解这种情况下的切线方程，我们可以按照以下步骤进行：1.使用点斜式求解斜率。
2.写出点斜式的一般方程形式y−y1=m(x−x1)。
3.将另一个点(x2,y2)替代初始点(x1,y1)。
4.解方程得出切线方程。
3. 已知切线方程的情况接下来，我们讨论已知切线方程的情况。
假设我们已经知道了曲线上某一点处的切线方程，我们的目标是求解曲线方程。
我们可以按照以下步骤进行操作：1.确定切线方程的斜率m。
2.使用导数的定义f′(x)=m来设置方程。
3.解方程以获得曲线方程。
4. 求解切线与坐标轴的交点最后，我们研究切线与坐标轴相交的情况。
为了求解切线与x轴和y轴的交点，我们可以按照以下步骤进行：1.求解切线与x轴的交点：将y值设为0，然后解方程得到x坐标的值。
2.求解切线与y轴的交点：将x值设为0，然后解方程得到y坐标的值。
通过上述四种类型的方法，我们可以使用导数来求解切线方程。
这些方法在解决微积分问题以及实际问题中的应用非常广泛。
导数求切线方程的四种类型试题资料讲解
导数求切线方程的四种类型试题
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2
用导数求切线方程的四种类型
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+
Ｄ．45y x =-
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）
Ａ．230x y -+=
Ｂ．230x y --=
Ｃ．210x y -+=
Ｄ．210x y --=
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1
y x
=相切的直线方程．
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3
例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．。
导数的切线方程
导数的切线方程
导数作为微积分中的重要概念，在物理学、工程学、经济学等领域都具有广泛应用。
本文将重点介绍导数的切线方程。
首先，需要明确什么是导数。
导数是一个函数在某一点处的变化率或斜率，可以用以下公式表示：
f'(x) = lim (h → 0) [f(x+h) - f(x)]/h
其中f(x)表示函数的值，f(x+h)表示函数在x+h处的值，h为趋近于0的极小值。
得到导数后，就可以计算出函数在该点的切线斜率。
切线斜率即为导数值，可以用点斜式或一般式来表示切线方程。
点斜式公式为y - y0 = k(x - x0)，其中(x0, y0)为切点，k为切线斜率。
一般式公式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，表示切线的一般性质。
接下来，我们以一个具体例子来说明如何求解切线方程。
假设我们有函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求出该函数在x=2处的切线方程。
首先，求出导数f'(x) = 2x + 2，在x=2处导数为6。
其次，确定切点，即x=2处的函数值为f(2) = 9。
最后，将切点和导数代入点斜式公式中，得到切线方程y - 9 = 6(x - 2)或y = 6x - 3。
至此，我们成功求出了函数f(x)在x=2处的切线方程。
总的来说，导数作为微积分的基础概念，其应用广泛，特别是在计算机图像处理、机器学习等领域都有着重要作用。
了解导数的切线方程，能够帮助我们更好地理解函数、优化算法等。
导数法求曲线切线方程的三种题型
导数法求曲线切线方程的三种题型本文将介绍导数法求解曲线切线方程的三种常见题型。
导数法是解决曲线切线问题的一种常用方法，能够快速而准确地求得曲线上某点的切线方程。
1. 已知函数解析式的题型对于已知函数解析式的题型，我们可以通过求导来获得函数的导函数，然后根据导数的定义来求得切线的斜率。
切线的斜率可以通过导数函数在给定点处的值得到。
最后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以 y=f(x) 为例，求曲线在点 (a, f(a)) 处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求函数 f(x) 的导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a)，得到切线的斜率 k；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 k 带入，得到切线方程。
2. 已知曲线上点和斜率的题型对于已知曲线上某点和斜率的题型，我们可以通过求导函数来得到切线的斜率。
切线的斜率等于导函数在给定点处的值。
然后，利用给定点和切线斜率，我们可以求得切线的方程。
以曲线上的点 (a, f(a)) 和切线斜率 m 为例，求曲线在该点处的切线方程。
具体步骤如下：1. 求导函数 f'(x)；2. 计算 f'(a) 的值，得到切线的斜率；3. 利用点斜式或一般式，将点 (a, f(a)) 和斜率 m 带入，得到切线方程。
3. 已知两个切线相交的题型对于已知两个切线相交的题型，我们可以通过求解方程组来求得两切线的交点坐标。
首先，我们需要利用已知切线的斜率和点来得到切线的方程。
然后，将两个切线方程联立，解方程组可以得到切线的交点坐标。
以已知切线1方程和切线2方程的斜率和交点为例，求两切线的交点坐标。
具体步骤如下：1. 求切线1和切线2的方程；2. 联立两切线方程，形成方程组；3. 解方程组，得到切线的交点坐标。
使用导数法求解曲线切线方程的三种题型，能够帮助我们准确而高效地求得曲线上某点的切线方程。
这些方法在数学和物理等领域都有广泛的应用，是解决相关问题的重要工具。
导数求切线方程的四种类型试题.pdf
1
用导数求切线方程的四种类型
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =−+在点(1
1)−，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =− Ｂ．32y x =−+ Ｃ．43y x =−+
Ｄ．45y x =−
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线240x y −+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y −+= Ｂ．230x y −−= Ｃ．210x y −+=
Ｄ．210x y −−=
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3 求过曲线32y x x =−上的点(1
1)−，的切线方程．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，
且与曲线1
y x
=相切的直线方程．
例5 已知函数33y x x =−，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此
切线方程．。
专题一：用导数求切线方程的四种类
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，与斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型与解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．[思路分析] 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．[解析] ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 此题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．[答案] 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．[解析] 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程与此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，应选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )与f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，应选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，应选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.应选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3与点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。
导数专题：导数与曲线切线问题(6大题型)(解析版)
第1页共14页
导数与曲线切线问题
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()
f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()
y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤（此类问题的点不一定是切点）
第一步：设切点为()()00,Q x f x ；
第二步：求出函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '；
第三步：利用Q 在曲线上和0()PQ f x k '=，解出0x 及0()f x '；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．
二、切线条数问题
求曲线的切线条数一般是设出切点()(),t f t ，由已知条件整理出关于t 的方程，把切线问条数问题转化为关于t 的方程的实根个数问题。
三、公切线问题
研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：
（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；
（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
四、已知切线求参数问题
此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。
常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的
根的情况或函数性质去求解。
用导数求切线方程
用导数求切线方程
“用导数求切线方程”是指利用导数的性质，通过求函数某一点处的导数，来求得该点处函数的切线方程。
首先，我们回顾下梯形法则：函数f(x)在某一点处的导数f'(x)就是函数在该点上的切线斜率。
可以看出，如果能够求出函数某一点处的导数，就已经可以知道这个点处函数的切线。
其次，我们来看看如何用导数求切线方程。
假设函数f(x)在点A(x0,y0)处有定义，要求点A处函数的切线方程，只需要依据梯形法则，先计算出函数f(x)在点A处的导数f'(x0)，然后根据梯形法则，可以知道点A处函数的切线斜率为f'(x0)。
接下来，根据直线的斜截式：y=kx+b，我们可以知道点A处函数的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中，
k=f'(x0)，b=y0-f'(x0)x0。
最后，由于我们已经知道点A处函数的切线斜率
f'(x0)以及点A的横纵坐标，所以我们就可以得到点A处函数的切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)。
综上所述，用导数求切线方程的步骤是：首先，使用梯形法则求出函数在某一点处的导数；然后，根据直线的斜截式，得到函数在该点处的切线方程；最后，根据函数
在该点处的导数及横纵坐标，求得该点处函数的切线方程。
用导数求切线方程的四种类型[精选.]
![用导数求切线方程的四种类型[精选.]](https://img.taocdn.com/s3/m/61a637510740be1e650e9aff.png)
用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
利用导数求切线方程(归纳)
例 题 ： 设 点 p为 曲 线 y = x 3 上 任 意 一 点,点 p处 切 线 的 倾 斜 角 为 α ,则 α的 取 值 范 围 _________
1.点 练 1. 点 p在 曲 线 y = x 3 − x + 1上 移 动,设 点 p处 切 线 的 倾 斜 角 为 α ,则 α的 取 值 范 围 _________
利用导数求切线方程
1 1 1、 练 习 ： y = − + 1在 ( ， 1)处 的 切 线 方 程 − x 2 2、 y =x 3 − 3 x 2 + 1在 (1， 1)处 的 切 线 方 程 −
3 、 曲 线 y = xe x + 1在 (0， 1)处 的 切 线 方 程 −
4 、 曲 线 y = x ( x − 1)( x − 2)L ( x − 6)在 (0， 处 的 切 线 方 程 0)
利用导数求切线方程
例 题 、 抛 物 线 y = x 2， 求 过 点 B(3,5)且 与 抛 物 线 相 切 的 直 线 方 程
(09文) f ( x ) = x 4 − 3 x 2 + 6， (1)讨论函数的单调性 (2)P在曲线y = f ( x )上，若在点P的切线过原点，求切线方程
利用导数求范围
5 、 曲 线 y = sin x + e x + 2在 x = 0处 的 切 线 方 程
y= x 7.曲 7.曲线y = x ln x的平行于y = x + 1的切线方程_____ − 1
8.曲 8. 曲 线 y = x 3 + 3 x 2 + 6 x − 10的 切 线 中 ， 斜 率 最 小 的 切 线 方 程 为 _________
导数法求对数函数切线方程的三种题型
导数法求对数函数切线方程的三种题型
引言
本文将介绍三种常见的题型，通过导数法求解对数函数的切线方程。
对数函数是数学中常见的一类函数，求解其切线方程是数学研究中的重要内容之一。
问题1：已知对数函数的函数式求切线方程
当已知对数函数的函数式，求对应点上的切线方程时，可以通过以下步骤来进行求解：
1. 求对数函数的导数；
2. 计算给定点的横坐标和纵坐标；
3. 代入导数公式，求得切线方程的斜率；
4. 使用切线方程的一般式，将斜率和给定点代入，得到切线方程。
问题2：已知对数函数的切点求切线方程
当已知对数函数的切点，求对应切点上的切线方程时，可以按照以下步骤来进行求解：
1. 求切点处的导数值；
2. 使用切线方程的一般式，将切点的斜率和坐标代入，得到切线方程。
问题3：已知对数函数的切线方程求函数式
当已知对数函数的切线方程，求对应对数函数的函数式时，可以通过以下步骤来进行求解：
1. 对给定的切线方程，提取出切线的斜率和截距；
2. 求解对数函数的导数，得到导数公式；
3. 将切线的斜率代入导数公式，得到方程的解；
4. 根据解得到的方程，确定对数函数的函数式。
结论
通过导数法求解对数函数的切线方程是一种常见且实用的方法。
掌握了三种题型的求解步骤，可以更好地解决相关问题。
但需要注
意的是，在使用导数法求解切线方程时，要注意计算的准确性和步
骤的合理性。
参考资料：
- 曹智勇，高等数学，北京：高等教育出版社，2006年。
- 杨学凤，高等数学，北京：高等教育出版社，2007年。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用导数求切线方程的四种类型Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。
如直线0=y 与抛物线2x y =只有一个交点，0=y 是2x y =的切线，但0=x 与抛物线2x y =也只有一个交点，但0=x 却不是2x y =的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。
而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。
切线的定义：设0m 是曲线)(x f y =上一定点，m 是该曲线上的一动点，从而有割线m m 0，令m 沿着曲线无限趋近于0m ，则割线m m 0的极限位置就是曲线)(x f y =在0m 的切线（如果极限存在的话）。
这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明0=y 是2x y =的切线，而0=x 不是2x y =的切线，这一切线定义可用于任何曲线)(x f y =。
导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点x 的切线斜率。
故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。
例6 求曲线nx y 1=在2=x 时的切线方程。
解：xy 1=' ∴当2=x 时，21=y 又 当2=x 时，21n y =∴当2=x 时，所求的切线方程为：即022122=+--n y x反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线)(x f y =的切线定义都难得给出，更别说讨论与)(x f y =的切线有关的问题了。
例7 已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值，过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。
解：由例4，曲线方程为x x x f 3)(3-=，点)16,0(A 不在曲线上。
设切点为),,(00y x M 则点M 的坐标满足03003x x y -=，由于)1(3)(200-='x x f ，故切线的方程为))(1(3020x x x y y --=-.注意到点)16,0(A 在切线上,有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=--化简得820-=x ,解得20-=x .因此,切点为)2,2(--M ,切线方程为0169=+-y x .22002200x x 02020y x P(x ,y )1P b ay y P(x ,y ) y y y x x b x x x a y ''∴＝00例10：设是双曲线－＝上一点，求过点的切线方程。
解；考虑上半支双曲线的方程为则处的切线斜率为切线方程为－－）＝（－）即0022y y x x1b aP －＝当在下半支时，也可得到同样的方程。
要点：1.导数是如何定义2.如何求曲线)(x f y =在点),(o o y x 处的切线方程与法线方程。
第三章 导数与微分§ 导数的概念由于机器制造，远洋航海，天象观测等大量实际问题给数学家提出了许多课题。
其中求曲边梯形面积的研究导致了积分学的产生，而求变速运动的瞬时速度，求曲线上一点的切线，求函数的极大值和极小值等问题的研究导致了微分学的产生。
历史上，Newton 从瞬时速度出发，Leibniz 从曲线的切线出发，分别给出导数的概念，并明确给出计算导数的步骤，而且建立了有关积分与微分是互为逆运算的完整理论。
一. 导数的概念 1.平均变化率 设在点a x =处自变量改变)0(≠∆∆x x ，函数()x f y =相应地改变()()a f x a f y -∆+=∆, 则平均变化率是x y ∆∆()()xa f x a f ∆-∆+=. 图不难看出，平均变化率的几何解释是连续曲线上两点的割线的斜率(0→∆x 如何) 2. 瞬时变化率当物体做变速直线运动时，它的速度随时间而确定，此时平均变化率ts∆∆表示时刻从0t 到t t ∆+0这一段时间内的平均速度v ，若设路程s 是时间t 的函数)(t f s =，则()()tt f t t f t s v ∆-∆+=∆∆=00，当t ∆很小时，可以用-v 近似地表示物体在时刻0t 的速度，t ∆愈小，近似的程度就愈好。
当0→∆t 时，如果极限 ()()tt f t t f t s o t t ∆-∆+=∆∆→∆→∆000lim lim存在，则称此极限为物体在时刻0t 的瞬时速度，即()()tt f t t f t sv o t ot t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆=00lim lim|0. 例1. 已知自由落体的运动方程为 221gt s =.求（1）： 落体从0t 到t t ∆+0这段时间内的平均速度 v .（2）：落体在0t t =时的瞬时速度。
解 （1） 221gt s =，∴ (),21200gt t s =()200)(21t t g t t s ∆+=∆+. 20)(21t g t gt s ∆+∆=∆∴.平均速度 t g gt t s v ∆+=∆∆=210.（2）：落体在0t t =时的瞬时速度。
瞬时速度 000021lim lim |0gt t g gt t s v t t tt =⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆∆=→∆→∆=. 3. 切线的斜率设有一连续函数 ()x f y =，则平均变化率xy∆∆是指曲线()x f y =上的两点的割线的斜率。
即割线PQ 的斜率是()xa f x a f x y ∆-∆+=∆∆)(. 当 0→∆x 时, 显然, 割线PQ 越来越趋于曲线()x f y =在点()()a f a P ,处的切线PT .即切线PT 是割线PQ 的极限位置，平均变化率的极限值（如果存在）x y x ∆∆→∆0lim 则是曲线()x f y =在点()()a f a P ,的切线PT 的斜率。
图例2． 求曲线3x y =在点()1,1P 处的切线斜率和切线方程. 解：先计算从点()1,1P 到邻近任意点 ))1(,1(x f x Q ∆+∆+的平均变化率()()()xx x f x f x y ∆-∆+=∆-∆+=∆∆331111 ()()()2323333x x xx x x ∆+∆+=∆∆+∆+∆=.故曲线3x y =在点(1,1P 处的切线斜率m 应为=∆∆=→∆x y m x 0limlim →∆x [ ()233x x ∆+∆+]=3. 而过点()1,1P 的切线方程为 ()131-=-x y .即 23-=x y .思考题 如果上题中改为求过点)2,0(P 的切线，此时要验证点是否在曲线上。