[精校版]衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题九破解两条直线的位置关系问题

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高三高考数学复习课件9-2两条直线的位置关系

(1)当 m≠－1 且 m≠3 时，AA12≠BB12，方程组有唯一一组解．所以 l1 与 l2 相交． (2)当 m＝－1 时，AA12＝BB12且AA12≠CC12，方程组无解．所以 l1 与 l2 平行． (3)当 m＝3 时，AA12＝BB12＝CC12，方程组有无穷多组解．所以 l1 与 l2 重合．
l
的距离为|3＋122＋＋122|＝7
2
2 .
(2)因为 l1∥l2，所以a－1 2＝a3≠26a，所以错误!解得 a＝－1，所
以 l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，所以 l1 与 l2 之间的距离 d＝
6－23＝8 2
3
2，故选
B.
【答案】 (1)A (2)B
题型三对称问题角度一点关于点对称【例3】过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝ 0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
直线 l 的方程为 y－2＝－31(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当 l 过 AB 的中点时，AB 的中点为(－1，4)． ∴直线 l 的方程为 x＝－1. 故所求直线 l 的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1. 【答案】 (1)x＋2y－7＝0 (2)x＋3y－5＝0 或 x＝－1
【思维升华】 (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
由点 P′(x0，y0)在直线 2x－y＋3＝0 上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即 x－2y＋3＝0. 【答案】 A

高三数学两直线的位置关系

行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线l的方程。y
A B
P
O
x
θ A1
B1
〖思维点拨〗；要求直线方程只要有：点和斜
率（可有倾斜角算，也可以先找两点）。
备用题：
例5、已知A（0，3），B（-1，0），
C（3，0）求D点的坐标，使四边形ABCD
是等腰梯形。
A
D2
A2 B2
平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的
距离为
d C1 C2
A2 B2
1、与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为 Ax+By+m=0
2、与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为 Bx-Ay+m=0
3、过直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2： A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为： A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（ λ∈R）(除l2外)。
l1与l2的夹角θ，θ∈ k1·k2≠-1）。
[0, 有] tanθ=|
2
k2 1 k1
kk|1（2
若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C=0；若点P（x0，y0）不在直线 Ax+By+C=0上，则有Ax0+By0+C≠0，此时点 P（x0，y0）到直线的距离： d Ax0 By0 C
〖思维点拨〗先讨论ｘ、ｙ系数为０的情况。
例2、(优化设计P105例1)等腰三角形一腰所

高考数学一轮复习学案：9.2 两条直线的位置关系(含答案)

高考数学一轮复习学案：9.2 两条直线的位置关系（含答案）9.2两条直线的位置关系两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3.掌握两点间的距离公式.点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系.两点间的距离.点到直线的距离.两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆.椭圆.双曲线.抛物线交汇考查题型主要以选择.填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.1两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解2几种距离1两点P1x1，y1，P2x2，y2之间的距离|P1P2|x2x12y2y12.2点P0x0，y0到直线lAxByC0的距离d|Ax0By0C|A2B2.3两条平行线AxByC10与AxByC20其中C1C2间的距离d|C1C2|A2B2.知识拓展1直线系方程1与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0mR且mC2与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0nR2两直线平行或重合的充要条件直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.3两直线垂直的充要条件直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.4过直线l1A1xB1yC10与l2A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1A2xB2yC20R，但不包括l2.5点到直线.两平行线间的距离公式的使用条件1求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式2求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.2如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.3已知直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数，若直线l1l2，则A1A2B1B20.4点Px0，y0到直线ykxb的距离为|kx0b|1k2.5直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离6若点A，B关于直线lykxbk0对称，则直线AB的斜率等于1k，且线段AB的中点在直线l上题组二教材改编2P110B组T2已知点a,2a0到直线lxy30的距离为1，则a等于A.2B22C.21D.21答案C解析由题意得|a23|111.解得a12或a12.a0，a12.3P101A组T10已知P2，m，Qm,4，且直线PQ垂直于直线xy10，则m________.答案1解析由题意知m42m1，所以m42m，所以m1.题组三易错自纠4xx郑州调研直线2xm1y40与直线mx3y20平行，则m等于A2B3C2或3D2或3答案C解析直线2xm1y40与直线mx3y20平行，则有2mm1342，故m2或3.故选C.5直线2x2y10，xy20之间的距离是______答案324解析先将2x2y10化为xy120，则两平行线间的距离为d2122324.6若直线3a2x14ay80与5a2xa4y70垂直，则a________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得3a25a214aa40，解得a0或a1.题型一题型一两条直线的位置关系两条直线的位置关系典例xx青岛模拟已知两条直线l1axby40和l2a1xyb0，求满足下列条件的a，b的值1l1l2，且l1过点3，1；2l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解1由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点3，1，3a40，即a43矛盾，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在且不为0.k21a，k1ab，l1l2，k1k21，即ab1a1.*又l1过点3，1，3ab40.**由***联立，解得a2，b2.2l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即ab1a，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4bb，联立，解得a2，b2或a23，b2.a2，b2或a23，b2.思维升华1当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件2在判断两直线平行.垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论跟踪训练已知直线l1ax2y60和直线l2xa1ya210.1试判断l1与l2是否平行；2当l1l2时，求a的值解1方法一当a1时，l1x2y60，l2x0，l1不平行于l2；当a0时，l1y3，l2xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1ya2x3，l2y11axa1，l1l2a211a，3a1，解得a1，综上可知，当a1时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得aa1120，由A1C2A2C10，得aa21160，l1l2aa1120，aa21160，a2a20，aa216，可得a1，故当a1时，l1l2.2方法一当a1时，l1x2y60，l2x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1y3，l2xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，l1ya2x3，l2y11axa1，由a211a1，得a23.方法二由A1A2B1B20，得a2a10，可得a23.题型二题型二两直线的交点与距离问题两直线的交点与距离问题1已知直线ykx2k1与直线y12x2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_____答案16，12解析方法一由方程组ykx2k1，y12x2，解得x24k2k1，y6k12k1.若2k10，即k12，则两直线平行交点坐标为24k2k1，6k12k1.又交点位于第一象限，24k2k10，6k12k10，解得16k12.方法二如图，已知直线y12x2与x轴.y轴分别交于点A4,0，B0,2而直线方程ykx2k1可变形为y1kx2，表示这是一条过定点P2,1，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上不包括端点，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA16，kPB12.16k12.2若直线l过点P1,2且到点A2,3和点B4,5的距离相等，则直线l的方程为________________________答案x3y50或x1解析方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2kx1，即kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1||3k3|，k13.直线l的方程为y213x1，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意方法二当ABl时，有kkAB13，直线l的方程为y213x1，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为1,4直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华1求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2利用距离公式应注意点Px0，y0到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等题型三题型三对称问题对称问题命题点1点关于点中心对称典例过点P0,1作直线l，使它被直线l12xy80和l2x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________答案x4y40解析设l1与l的交点为Aa,82a，则由题意知，点A关于点P的对称点Ba,2a6在l2上，代入l2的方程得a32a6100，解得a4，即点A4,0在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称典例如图，已知A4,0，B0,4，从点P2,0射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是A33B6C210D25答案C解析直线AB的方程为xy4，点P2,0关于直线AB的对称点为D4,2，关于y轴的对称点为C2,0，则光线经过的路程为|CD|6222210.命题点3直线关于直线的对称问题典例已知直线l2x3y10，求直线m3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如M2,0，则M2,0关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点Ma，b，则2a223b0210，b0a2231，解得a613，b3013，M613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x3y10，3x2y60，得N4,3又直线m经过点N4,3，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法1中心对称点Px，y关于Qa，b的对称点Px，y满足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决2轴对称点Aa，b关于直线AxByC0B0的对称点Am，n，则有nbmaAB1，Aam2Bbn2C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决跟踪训练已知直线l3xy30，求1点P4,5关于l的对称点；2直线xy20关于直线l对称的直线方程；3直线l关于1,2的对称直线解1设Px，y 关于直线l3xy30的对称点为Px，y，kPPkl1，即yyxx31.又PP的中点在直线3xy30上，3xx2yy230.由得x4x3y95，y3x4y35.把x4，y5代入得x2，y7，点P4,5关于直线l的对称点P的坐标为2,72用分别代换xy20中的x，y，得关于l对称的直线方程为4x3y953x4y3520，化简得7xy220.3在直线l3xy30上取点M0,3，关于1,2的对称点Mx，y，x021，x2，y322，y1，M2,1l关于1,2的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13x2，即3xy50.妙用直线系求直线方程一.平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系典例1求与直线3x4y10平行且过点1,2的直线l的方程思想方法指导因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0c1规范解答解由题意，设所求直线方程为3x4yc0c1，又因为直线过点1,2，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二.垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解典例2求经过A2,1，且与直线2xy100垂直的直线l的方程思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点A2,1，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.三.过直线交点的直线系典例3xx湖南东部校联考经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为____________思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解解析方法一由方程组2x3y10，x3y40，解得x53，y79，即交点为53，79，所求直线与直线3x4y70垂直，所求直线的斜率为k43.由点斜式得所求直线方程为y7943x53，即4x3y90.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组2x3y10，x3y40，可解得交点为53，79，代入4x3ym0，得m9，故所求直线方程为4x3y90.方法三由题意可设所求直线方程为2x3y1x3y40，即2x33y140，又所求直线与直线3x4y70垂直，324330，2，代入式得所求直线方程为4x3y90.答案4x3y901直线2xym0和x2yn0的位置关系是A平行B 垂直C相交但不垂直D不能确定答案C解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率k212，则k1k2，且k1k21.故选C.2xx邢台模拟“a1”是“直线ax3y30和直线xa2y10平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由题意得，直线ax3y30和直线xa2y10平行的充要条件是aa231，a131，解得a1，故选C.3从点2,3射出的光线沿与向量a8,4平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为Ax2y40B2xy10Cx6y160D6xy80答案A解析由直线与向量a8,4平行知，过点2,3的直线的斜率k12，所以直线的方程为y312x2，其与y轴的交点坐标为0,2，又点2,3关于y轴的对称点为2,3，所以反射光线过点2,3与0,2，由两点式知A正确4xx兰州一模一只虫子从点O0,0出发，先爬行到直线lxy10上的P点，再从P点出发爬行到点A1，1，则虫子爬行的最短路程是A.2B2C3D4答案B解析点O0,0关于直线xy10的对称点为O1,1，则虫子爬行的最短路程为|OA|1121122.故选B.5若直线l1xay60与l2a2x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为A.423B42C.823D22答案C解析l1l2，a2且a0，1a2a362a，解得a1，l1与l2的方程分别为l1xy60，l2xy230，l1与l2的距离d6232823.6若直线l1ykx4与直线l2关于点2,1对称，则直线l2经过定点A0,4B0,2C2,4D4，2答案B解析直线l1ykx4经过定点4,0，其关于点2,1对称的点为0,2，又直线l1ykx4与直线l2关于点2,1对称，故直线l2经过定点0,27若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为________答案9解析由y2x，xy3，得x1，y2.点1,2满足方程mx2y50，即m12250，m9.8将一张坐标纸折叠一次，使得点0,2与点4,0重合，点7,3与点m，n重合，则mn________.答案345解析由题意可知，纸的折痕应是点0,2与点4,0连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点7,3与点m，n连线的中垂线，于是3n227m23，n3m712，解得m35，n315，故mn345.9xx浙江嘉兴一中月考已知直线l1axy60与l2xa2ya10相交于点P，若l1l2，则a________，此时点P的坐标为________答案13,3解析直线l1axy60与l2xa2ya10相交于点P，且l1l2，a11a20，即a1，联立方程xy60，xy0，易得x3，y3，P3,310已知直线l1axy10，直线l2xy30，若直线l1的倾斜角为4，则a________；若l1l2，则a________；若l1l2，则两平行直线间的距离为________答案1122解析若直线l1的倾斜角为4，则aktan41，故a1；若l1l2，则a1110，故a1；若l1l2，则a1，l1xy10，两平行直线间的距离d|13|1122.11已知方程2x1y2320与点P2,21证明对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；2证明该方程表示的直线与点P的距离d小于42.1解显然2与1不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线方程可变形为2xy6xy40，2xy60，xy40，解得x2，y2，故直线经过的定点为M2，22证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ||PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ||PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|42，|PQ|0，c0恒过点P1，m且Q4,0到动直线l的最大距离为3，则12a2c的最小值为________答案94解析因为动直线laxbyc20a0，c0恒过点P1，m，所以abmc20，又Q4,0到动直线l的最大距离为3，所以412m23，解得m0.所以ac2，则12a2c12ac12a2c1252c2a2ac12522c2a2ac94，当且仅当c2a43时取等号15.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A 到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为________答案6解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设Ba，2，Cb,3ACAB，ab60，ab6，b6a.RtABC 的面积S12a24b2912a2436a2912729a2144a21272726当且仅当a24时取等号16在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点2,3对称，则直线l的方程是______________答案6x8y10解析由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1ykx35b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为ykx31b52，即ykx34kb，b34kb，解得k34，直线l的方程为y34xb，直线l1为y34x114b，取直线l上的一点Pm，b3m4，则点P关于点2,3的对称点为4m，6b3m4，6b3m4344mb114，解得b18.直线l的方程是y34x18，即6x8y10.。

高考数学复习9.2两条直线的位置关系

l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 l1 : y k1 x b1 l2 : y k2 x b2 l1 : x x1, l2 : x x2
(斜率存在)
A1 B2 A2 B1 0且 B1C2 B2C1 0 k1 k2 , b1 b2 或 x x1 , x x2 , x1 x2
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 .
x2 y2 .
| Ax0 By 0 C | A2 B 2
特别地,若直线为 l:x=m,则点 P0 ( x0 , y 0 ) 到 l 的距离 d | m x0 | ;若直线为 l:y=n,则点
P0 ( x0 , y 0 ) 到 l 的距离 d | n y 0 |
l 2 条件 C.充要条件变式 2 “m B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1 ” 是 “直线 ( m 2) x 3my 1 0 与直线 ( m 2) x (m 2) y 3 0 相 2
A1 A2 B1 B2 0
k1 k2 1 或 k1与k2 中有一
个为 0，另一个不存在.
(斜率不存在)
二、三种距离 1．两点间的距离平面上两点 P 1P 2 | 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的距离公式为 | P 特别地，原点 O(0,.0)与任一点 P(x,y)的距离 | OP | 2．点到直线的距离点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 的距离 d
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2
互垂直”的（） A.充分而不必要条件 C.充要条件

2025届高考数学一轮复习第九章 -第二节两条直线的位置关系课件

1 + λ x + (λ − 2)y + 4 − 2λ = 0,因为直线l与l3 垂直,所以3 1 + λ − 4 λ − 2 = 0,所
以λ = 11,所以直线l的方程为4x + 3y − 6 = 0.
（2）已知直线3x − 4y + 7 = 0,求与之平行且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.
所以
+−
+ + −

= ,解得 = 或 = .
所以的方程为 = 或 − − = .
（2）若P,Q分别为直线3x + 4y − 12 = 0与6x + 8y + 5 = 0上任意一点,则 PQ 的最小
29
值为___.
10

[解析] 因为 = ≠
第九章平面解析几何
第二节两条直线的位置关系
1
1 强基础知识回归
2
2 研考点题型突破
1.能根据斜率判定两条直线的交点坐标.
解读 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的
距离.
01
强基础知识回归
知识梳理
（2）两直线垂直的条件
直线l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0与直线l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0垂直的充要条件是
A1 A2 + B1 B2 = 0.
2.直线系方程
（1）与直线Ax + By + C = 0平行的直线系方程是Ax + By + m = 0(m ∈ 且m ≠ C).
l的距离为3,则l的方程为______________________.

2019年高考数学总复习8.2 直线的位置关系

8
【例5】直线ax+8y+22=0和直线x+2ay-4=0平行,那么 ( ) A.a=2 B.a=-2 C.a=±2 D.a≠2且a≠-2
【解】通过一般式两条直线位置关系的判别方法有 a= ≠ , 得: 2a2=8, a= ± 2, 选 C. 【点评】也可通过验证法, 分别将选项 A、B 的数值代入题中, 符合条件, 故选 C.
【答案】A
13
4.过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与已知直线y=-2x+1平行,则m 的值为 ( ) A.-8 B.0 C.2 D.10
【答案】A
14
5.过直线x+y=2与x-y=0的交点,且法向量为n=(2,-3)的直线方程是 ( ) A.-3x+2y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.-2x+3y+1=0 D.2x-3y+1=0
【答案】D
15
6.点A(1, 0)到直线l：3x y 3 0的距离是 A.1 B.2 C.0 D.-1

【答案】C
16
7.两条平行线3x-4y+13=0与3x-4y-7=0间的距离是 ( A.5 B.20 C.4 D.6
)
【答案】C
17
8.设直线 l 1:x-y+ 1=0 与 l 2:3x-y-1=0,那么两直线夹角的正切是 ( A.2 ) B.4 C.1 D.
21
三、解答题 16.已知直线l经过点(1,2)、(-1,-5),求经过点(2,3)且平行于直线l的直线方程.
【解】所求直线的方向向量为v=(2,7) 由点向式得7(x-2)-2(y-3)=0 即7x-2y-8=0

衡水高中期末复习专题九破解两条直线的位置关系问题

专题九破解两条直线的位置关系问题【方法综述】平面解析几何中两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况.而平面解析几何中的距离问题、对称问题，往往涉及平行、垂直（相交），因此成为考试命题的热点.下面举例说明．1.根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直条件求解参数的取值．例1. 已知直线.若，则实数的值是（） A. 或B. 或C.D. 解：，则即经检验都符合题意故选A.例2.已知直线l 的倾斜角为23π，直线l 1经过P(−2,√3)，Q(m,0)两点，且直线l 与l 1垂直，则实数m 的值为（）A. -2B. -3C. -4D. -5解：∵k l · k l 1=−√3 · √3−0−2−m =−1，∴m =−5，故选D ．点评：如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可．2.有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交．例3.若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求实数m 的取值范围．分析：可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标．由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m 的取值范围．解：根据题意，由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋37，m －27. 因为交点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋37>0，m －27<0.解得－32<m <2.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2. 点评：本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力．3.有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离．这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ，y 的系数分别对应相等)．例4.求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0的距离．分析：用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x ，y 的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离．解：把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0.利用公式，可得l 1与l 2的距离为d ＝|(－16)－(－1)|42＋62＝151326. 4.对称问题中学数学涉及对称问题有两大类：一类是中心对称，另一类是轴对称．常见对称问题有以下四种类型．（1）点关于点对称点P (a ，b )关于点M (x 0，y 0)的对称点为P ′(2x 0－a ，2y 0－b )．事实上点关于点对称的本质是中点问题，由中点坐标公式即可求得对称点的坐标．（2）直线关于点对称直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0关于点M (x 0，y 0)的对称直线l ′的方程是A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.事实上，设对称直线l ′上任一点为P (x ，y )，则P 关于点M (x 0，y 0)的对称点为P (2x 0－x ，2y 0－y )，而点P 在直线l 上，故将P 的坐标(2x 0－x ，2y 0－y )代入Ax ＋By ＋C ＝0得A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.（3）点关于直线对称求点P (a ，b )关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P ′(a ′，b ′)，要抓住其两个几何特征：①PP ′⊥l ；②PP ′的中点在l 上，即由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ b ′－b a ′－a ·(－A B )＝－1，A ·a ＋a ′2＋B ·b ＋b ′2＋C ＝0，解出a ′，b ′.但较特殊的对称情况可直接写出结果：①P (a ，b )关于x 轴的对称点P ′(a ，－b )；②P (a ，b )关于y 轴的对称点P ′(－a ，b )； ③P (a ，b )关于直线x ＝x 0的对称点P ′(2x 0－a ，b )；④P (a ，b )关于直线y ＝y 0的对称点P ′(a ，2y 0－b )；⑤P (a ，b )关于直线x ＋y ＋c ＝0的对称点P ′(－b －c ，－a －c )；⑥P (a ，b )关于直线x －y ＋c ＝0的对称点P ′(b －c ，a ＋c )．（4）直线关于直线对称求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2的方程可以按以下方法求解：①在l 1上任取相异两点P 1，P 2，求出P 1，P 2关于直线l 的对称点P 1′，P 2′，再由P 1′，P 2′的坐标写出直线l 2的方程．②任取l 2上一点P (x ，y )，用x ，y 表示出点P 关于直线l 的对称点P ′的坐标(x ′，y ′)，再将(x ′，y ′)代入直线l 1的方程整理可得l 2的方程．特别地，若l 1∥l ，l 2还有其他求法(请自己思考)．例5.求直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2，－3)对称的直线的方程．解：方法一由对称的直线l 与3x －4y ＋5＝0平行，故设直线方程为3x －4y ＋m ＝0，而M 到两直线的距离相等，则|3×2－4×(－3)＋m |32＋42＝|3×2－4×(－3)＋5|32＋42，解得m ＝－41，m ＝5(舍去)．所以直线l 的方程为3x －4y －41＝0.方法二由方程3x －4y ＋5＝0，取该直线上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0，它们关于点M (2，－3)的对称点为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－294，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫173，－6.过A ′，B ′的直线即为l ：3x －4y －41＝0. 方法三设所求直线l 上任意一点为P (x ，y )，则P 关于点(2，－3)的对称点为P ′(4－x ，－6－y )，将P ′坐标代入3x －4y ＋5＝0，得3(4－x )－4(－6－y )＋5＝0，即3x －4y －41＝0，这就是所求直线l 的方程．点评：通过三种解法的比较，这类问题采用方法三的解法更简捷．例6.已知直线l 1：2x ＋y －4＝0，求l 1关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程．解：方法一由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0得l 1与l 的交点P (3，－2)．又取l 1上一点A (2，0)，设A 关于直线l 的对称点为B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－0x 0－2＝43，3·2＋x 02＋4·0＋y 02－1＝0，解得B (45，－85)．显然P (3，－2)、B (45，－85)都在l 2上，由此可得l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0. 方法二设直线l 2上任一动点为M (x ，y )，它关于直线l 的对称点为M ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y x 0－x ＝43，3·x 0＋x 2＋4·y 0＋y 2－1＝0，解得x 0＝7x －24y ＋625，y 0＝－24x －7y ＋825. 由M ′(x 0，y 0)在直线l 1上，故2·7x －24y ＋625＋－24x －7y ＋825－4＝0，化简为2x ＋11y ＋16＝0，这就是直线l 2的方程．点评：本题也可在直线l 1上任取两点，求出它们关于直线l ：3x ＋4y －1＝0的对称点，从而得出l 2的方程．例7.已知△ABC 的顶点A (3，－1)，∠B ，∠C 的角平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ，求BC 边所在的直线方程．解：如图，设点A 关于直线BO ，CD 的对称点分别为A 1，A 2.因为A (3，－1)，且∠B 的平分线方程为x ＝0，故点A 关于直线BO 的对称点A 1的坐标为(－3，－1)．又因为∠C 的平分线CD 的方程为y ＝x ，所以点A 关于直线CD 的对称点A 2的坐标为(－1，3)．而A 1(－3，－1)，A 2(－1，3)两点都在直线BC 上，由此可得直线BC 的方程为2x －y ＋5＝0.点评：本题的解答抓住了角平分线的性质——对称性(AB ，CB 两直线关于直线BO 对称，AC ，BC 两直线关于直线CD 对称)求解．【针对训练】1．已知m ≠0，若直线mx +2y +m =0与直线3mx +(m −1)y +7=0平行，则m 的值为（）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9【答案】B【解析】直线的斜率显然存在，因此由题意有3m m =m−12≠7m ，解得m =7．故选B ．2．在直线3x −4y −27=0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是（）A ． (5,−3)B ． (9,0)C ． (−3,5)D ． (−5,3)【答案】A【解析】根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x ﹣4y ﹣27=0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为−43，又P （2，1），则该直线的方程为：y ﹣1=−43（x ﹣2）即4x+3y ﹣11=0，与已知直线联立得：{4x +3y −11=0①3x −4y −27=0②①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，把x=5代入①解得y=﹣3，所以{x =5y =−3，所以直线3x ﹣4y ﹣27=0上到点P （2，1）距离最近的点的坐标是（5，﹣3）．故选：A ．3．直线ｙ＝3ｘ-4关于点Ｐ（2，-1）对称的直线方程是（）A ．ｙ＝3ｘ-10B ．ｙ＝3ｘ-18C ．ｙ＝3ｘ+4D ．ｙ＝4ｘ+3【答案】A【解析】设(m,n)为所求直线上任意一点，则该点关于点P(2,−1)的对称点为(4−m,−2−n)，由题意得点(4−m,−2−n)在直线y =3x −4上，∴−2−n =3(4−m)−4，整理得n =3m −10，所以所求直线的方程为y =3x −10．故选A ．4．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ． 2√5B ． 3√3C ． 6D ． 2√10【答案】D【解析】点P 关于y 轴的对称点P′坐标是(−2,0)，设点P 关于直线AB:x +y −4=0的对称点P"(a,b )，由{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b+02−4=0，解得{a =4b =2 ，故光线所经过的路程|P′P"|=√(−2−4)2+22=2√10，故选D.5．已知直线(a +3)x +y −4=0和直线x +(a −1)y +4=0互相垂直，则实数a 的值为__________；【答案】-1【解析】∵直线(a +3)x +y −4=0和直线x +(a −1)y +4=0互相垂直，∴（a+3）×1+1×（a-1）=0，解得a=-1．故答案为：-1．6．点(−1,1)关于直线x −y −1=0的对称点是______.【答案】(2,−2)【解析】设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ）则MN 中点的坐标为（x−12，y+12），利用对称的性质得：K MN =y−1x+1=﹣1，且x−12﹣y+12﹣1=0，解得：x=2，y=﹣2，∴点N 的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）． 7．若直线l 与直线2x −y −2=0关于直线x +y −4=0对称，则l 的方程是__________．【答案】x−2y+2=0【解析】设直线l上任意一点为P(x,y)，则P关于直线x+y−4=0的对称点P′(m,n)在直线2x−y−2=0上，由对称性可得{y−nx−m⋅(−1)=−1x+m2+y+n2−4=0，解得{m=4−yn=4−x，代入直线l可得2(4−y)−(4−x)−2=0，化简可得所求直线方程为x−2y+2=0，故答案为x−2y+2=0.8．已知动点A,B分别在x轴和直线y=x上，C为定点(2,1)，则ΔABC周长的最小值为_______.【答案】√10【解析】点C关于直线y=x的对称点为C′（1，2），点C关于x轴的对称点为C′′（2，﹣1）．三角形PAB周长的最小值为C′（1，2）与C′′（2，﹣1）两点之间的直线距离，|C′C′′（2，﹣1）|=√(2−1)2+(−1−2)2=√10．故答案为：√10．9．已知直线l的斜率为−34，且直线l经过直线kx−y+2k+5=0所过的定点P．（1）求直线l的方程；（2）若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．【答案】（1）l:3x+4y−14=0；（2）y=−34x−14，或y=−34x+294.【解析】（1）kx−y+2k+5=0，k(x+2)+(5−y)=0，所以过定点P(-2,5)因此y−5=−34(x+2)，即l:3x+4y−14=0（2）设直线m:y=−34x+b，则3=|34(−2)+5−b|√916+1⇒b=−14或294∴直线m为：y=−34x−14，或y=−34x+29410．已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)(1))若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【答案】（1）k≥0；（2）面积最小值为4，此时直线方程为：x ﹣2y+4=0【解析】（1）直线l 的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l 在y 轴上的截距为2k+1，要使直线l 不经过第四象限，则{k ≥01+2k ≥0，解得k 的取值范围是：k ≥0 （2）依题意，直线l 在x 轴上的截距为：﹣1+2k k ，在y 轴上的截距为1+2k ， ∴A（﹣1+2k k ，0），B （0，1+2k ），又﹣1+2k k ＜0且1+2k ＞0， ∴k＞0，故S=12|OA||OB|=12×1+2k k （1+2k ）=12（4k+1k +4）≥12（4+4）=4，当且仅当4k=1k，即k=12时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x ﹣2y+4=0。

高中数学衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题九破解两条直线的位置关系问题

专题九破解两条直线位置关系问题【方法综述】平面解析几何中两条直线有相交和平行两种位置关系,其中垂直是相交特殊情况.而平面解析几何中距离问题、对称问题,往往涉及平行、垂直（相交）,因此成为考试命题热点.下面举例说明．1.根据直线平行、垂直求参数值问题给出两直线方程(方程系数中含有参数),利用直线平行或垂直条件求解参数取值．例1. 已知直线()12:210,:20l ax a y l ax y +++=-+=.若12//l l ,则实数a 值是（） A. 0或3- B. 2或1- C. 0 D.3-解：12//l l ,则()()12a a a ⨯-=+即230a a +=03a a ∴==-或经检验都符合题意故选A.例2.已知直线l 倾斜角为23π,直线l 1经过P(−2,√3),Q(m,0)两点,且直线l 与l 1垂直,则实数m 值为（）A. -2B. -3C. -4D. -5 解：∵k l · k l 1=−√3 · √3−0−2−m =−1,∴m =−5,故选D ．点评：如何用直线方程系数来反映两直线位置关系是解题切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可． 2.有关直线相交问题有关直线相交问题一般有两类：(1)有关直线交点问题,主要是通过解两直线方程组成方程组,得到交点坐标,解决这种问题关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交问题,只要用两直线方程一次项系数关系判断两直线不平行,即可判断相交．例3.若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0交点在第四象限,求实数m 取值范围．分析：可通过解两直线方程组成方程组求得两直线交点坐标．由于交点在第四象限,所以交点横坐标大于0,纵坐标小于0,进而可求出m 取值范围．解：根据题意,由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋37，m －27.衡水独家秘籍之2019高中期末复习因为交点在第四象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋37>0，m －27<0.解得－32<m <2.所以实数m 取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2.点评：本题考查直线交点求法,又由于交点在第四象限,因此又考查了解不等式能力． 3.有关距离问题在平面直角坐标系中,与直线有关距离问题主要有两类：(1)点到直线距离；(2)两平行线间距离．这两类距离可由相应距离公式求得：其中点P (x 0,y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ,y 系数分别对应相等)．例4.求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0,l 2：4x ＋6y －1＝0距离．分析：用上述平行线距离公式时,首先需要把两直线方程中x ,y 系数化为分别对应相等,然后用公式可求出距离．解：把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0. 利用公式,可得l 1与l 2距离为d ＝|(－16)－(－1)|42＋62＝151326. 4.对称问题中学数学涉及对称问题有两大类：一类是中心对称,另一类是轴对称．常见对称问题有以下四种类型．（1）点关于点对称点P (a ,b )关于点M (x 0,y 0)对称点为P ′(2x 0－a,2y 0－b )．事实上点关于点对称本质是中点问题,由中点坐标公式即可求得对称点坐标．（2）直线关于点对称直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0关于点M (x 0,y 0)对称直线l ′方程是A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0. 事实上,设对称直线l ′上任一点为P (x ,y ),则P 关于点M (x 0,y 0)对称点为P (2x 0－x,2y 0－y ),而点P 在直线l 上,故将P 坐标(2x 0－x,2y 0－y )代入Ax ＋By ＋C ＝0得A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.（3）点关于直线对称求点P (a ,b )关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称点P ′(a ′,b ′),要抓住其两个几何特征：①PP ′⊥l ；②PP ′中点在l 上,即由方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ′－b a ′－a ·(－AB)＝－1，A ·a ＋a ′2＋B ·b ＋b ′2＋C ＝0，解出a ′,b ′.但较特殊对称情况可直接写出结果： ①P (a ,b )关于x 轴对称点P ′(a ,－b )； ②P (a ,b )关于y 轴对称点P ′(－a ,b )；③P (a ,b )关于直线x ＝x 0对称点P ′(2x 0－a ,b )； ④P (a ,b )关于直线y ＝y 0对称点P ′(a,2y 0－b )；⑤P (a ,b )关于直线x ＋y ＋c ＝0对称点P ′(－b －c ,－a －c )； ⑥P (a ,b )关于直线x －y ＋c ＝0对称点P ′(b －c ,a ＋c )．（4）直线关于直线对称求直线l 1关于直线l 对称直线l 2方程可以按以下方法求解：①在l 1上任取相异两点P 1,P 2,求出P 1,P 2关于直线l 对称点P 1′,P 2′,再由P 1′,P 2′坐标写出直线l 2方程．②任取l 2上一点P (x ,y ),用x ,y 表示出点P 关于直线l 对称点P ′坐标(x ′,y ′),再将(x ′,y ′)代入直线l 1方程整理可得l 2方程．特别地,若l 1∥l ,l 2还有其他求法(请自己思考)．例5.求直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2,－3)对称直线方程．解：方法一由对称直线l 与3x －4y ＋5＝0平行,故设直线方程为3x －4y ＋m ＝0,而M 到两直线距离相等,则|3×2－4×(－3)＋m |32＋42＝|3×2－4×(－3)＋5|32＋42, 解得m ＝－41,m ＝5(舍去)．所以直线l 方程为3x －4y －41＝0.方法二由方程3x －4y ＋5＝0,取该直线上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0,它们关于点M (2,－3)对称点为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－294,B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫173，－6.过A ′,B ′直线即为l ：3x －4y －41＝0. 方法三设所求直线l 上任意一点为P (x ,y ),则P 关于点(2,－3)对称点为P ′(4－x ,－6－y ),将P ′坐标代入3x －4y ＋5＝0,得3(4－x )－4(－6－y )＋5＝0,即3x －4y －41＝0,这就是所求直线l 方程．点评：通过三种解法比较,这类问题采用方法三解法更简捷．例6.已知直线l 1：2x ＋y －4＝0,求l 1关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称直线l 2方程．解：方法一由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0得l 1与l 交点P (3,－2)．又取l 1上一点A (2,0),设A 关于直线l 对称点为B (x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－2＝43，3·2＋x 02＋4·0＋y2－1＝0，解得B (45,－85)．显然P (3,－2)、B (45,－85)都在l 2上,由此可得l 2方程为2x ＋11y ＋16＝0.方法二设直线l 2上任一动点为M (x ,y ),它关于直线l 对称点为M ′(x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝43，3·x 0＋x 2＋4·y 0＋y 2－1＝0，解得x 0＝7x －24y ＋625,y 0＝－24x －7y ＋825.由M ′(x 0,y 0)在直线l 1上,故2·7x －24y ＋625＋－24x －7y ＋825－4＝0,化简为2x ＋11y ＋16＝0,这就是直线l 2方程．点评：本题也可在直线l 1上任取两点,求出它们关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称点,从而得出l 2方程．例7.已知△ABC 顶点A (3,－1),∠B ,∠C 角平分线方程分别是x ＝0,y ＝x ,求BC 边所在直线方程．解：如图,设点A 关于直线BO ,CD 对称点分别为A 1,A 2.因为A (3,－1),且∠B 平分线方程为x ＝0,故点A 关于直线BO 对称点A 1坐标为(－3,－1)．又因为∠C 平分线CD 方程为y ＝x ,所以点A 关于直线CD 对称点A 2坐标为(－1,3)．而A 1(－3,－1),A 2(－1,3)两点都在直线BC 上, 由此可得直线BC 方程为2x －y ＋5＝0.点评：本题解答抓住了角平分线性质——对称性(AB ,CB 两直线关于直线BO 对称,AC ,BC 两直线关于直线CD 对称)求解．【针对训练】1．已知m ≠0,若直线mx +2y +m =0与直线3mx +(m −1)y +7=0平行,则m 值为（）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9 【答案】B 【解析】直线斜率显然存在,因此由题意有3mm =m−12≠7m ,解得m =7．故选B ．2．在直线3x −4y −27=0上到点P (2,1)距离最近点坐标是（） A ． (5,−3) B ． (9,0) C ． (−3,5) D ． (−5,3) 【答案】A 【解析】根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线直线与已知直线交点, 因为已知直线3x ﹣4y ﹣27=0斜率为34,所以过P 点垂直于已知直线斜率为−43,又P （2,1）,则该直线方程为：y ﹣1=−43（x ﹣2）即4x+3y ﹣11=0,与已知直线联立得：{4x +3y −11=0①3x −4y −27=0②①×4+②×3得：25x=125,解得x=5, 把x=5代入①解得y=﹣3, 所以{x =5y =−3,所以直线3x ﹣4y ﹣27=0上到点P （2,1）距离最近点坐标是（5,﹣3）．故选：A ．3．直线ｙ＝3ｘ-4关于点Ｐ（2,-1）对称直线方程是（）A ．ｙ＝3ｘ-10B ．ｙ＝3ｘ-18C ．ｙ＝3ｘ+4D ．ｙ＝4ｘ+3 【答案】A 【解析】设(m,n)为所求直线上任意一点,则该点关于点P(2,−1)对称点为(4−m,−2−n),由题意得点(4−m,−2−n)在直线y=3x−4上,∴−2−n=3(4−m)−4,整理得n=3m−10,所以所求直线方程为y=3x−10．故选A．4．如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过路程是( )A．2√5 B．3√3 C． 6 D．2√10【答案】D【解析】点P关于y轴对称点P′坐标是(−2,0),设点P关于直线AB:x+y−4=0对称点P"(a,b),由{b−0a−2×(−1)=−1a+2 2+b+02−4=0,解得{a=4b=2,故光线所经过路程|P′P"|=√(−2−4)2+22=2√10,故选D.5．已知直线(a+3)x+y−4=0和直线x+(a−1)y+4=0互相垂直,则实数a值为__________；【答案】-1【解析】∵直线(a+3)x+y−4=0和直线x+(a−1)y+4=0互相垂直,∴（a+3）×1+1×（a-1）=0,解得a=-1．故答案为：-1．6．点(−1,1)关于直线x−y−1=0对称点是______.【答案】(2,−2)【解析】设点M （﹣1,1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称点N 坐标（x,y ）则MN 中点坐标为（x−12,y+12）,利用对称性质得：K MN =y−1x+1=﹣1,且 x−12﹣y+12﹣1=0,解得：x=2,y=﹣2,∴点N 坐标（2,﹣2）, 故答案为（2,﹣2）．7．若直线l 与直线2x −y −2=0关于直线x +y −4=0对称,则l 方程是__________．【答案】x −2y +2=0 【解析】设直线l 上任意一点为P (x,y ),则P 关于直线x +y −4=0对称点P′(m,n )在直线2x −y −2=0上,由对称性可得{y−nx−m⋅(−1)=−1x+m2+y+n 2−4=0,解得{m =4−y n =4−x ,代入直线l 可得2(4−y )−(4−x )−2=0,化简可得所求直线方程为x −2y +2=0,故答案为x −2y +2=0. 8．已知动点A,B 分别在x 轴和直线y =x 上,C 为定点(2,1),则ΔABC 周长最小值为_______. 【答案】√10 【解析】点C 关于直线y=x 对称点为C ′（1,2）,点C 关于x 轴对称点为C ′′（2,﹣1）．三角形PAB 周长最小值为C ′（1,2）与C ′′（2,﹣1）两点之间直线距离,|C ′C ′′（2,﹣1）|=√(2−1)2+(−1−2)2=√10．故答案为：√10．9．已知直线l 斜率为−34,且直线l 经过直线kx −y +2k +5=0所过定点P ．（1）求直线l 方程；（2）若直线m 平行于直线l ,且点P 到直线m 距离为3,求直线m 方程．【答案】（1）l:3x +4y −14=0；（2）y =−34x −14,或y =−34x +294.【解析】（1）,所以过定点P (-2,,)因此y −5=−34(x +2),即l:3x +4y −14=0（2）设直线m:y =−34x +b ,则3=|34(−2)+5−b|√916+1⇒b =−14或294∴ 直线m 为：y =−34x −14,或y =−34x +29410．已知直线l ：kx −y +1+2k =0(k ∈R) (1))若直线l 不经过第四象限,求k 取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A,交y 轴正半轴于点B,O 为坐标原点,设△AOB 面积为S,求S 最小值及此时直线l 方程．【答案】（1）k≥0；（2）面积最小值为4,此时直线方程为：x ﹣2y+4=0 【解析】（1）直线l 方程可化为：y=kx+2k+1,则直线l 在y 轴上截距为2k+1, 要使直线l 不经过第四象限,则{k ≥01+2k ≥0 ,解得k 取值范围是：k ≥0 （2）依题意,直线l 在x 轴上截距为：﹣1+2k k,在y 轴上截距为1+2k,∴A（﹣1+2k k,0）,B （0,1+2k ）,又﹣1+2k k＜0且1+2k ＞0,∴k＞0,故S=12|OA||OB|=12×1+2k k（1+2k ）=12（4k+1k +4）≥12（4+4）=4,当且仅当4k=1k ,即k=12时取等号,故S 最小值为4,此时直线l 方程为x ﹣2y+4=0考试注意事项1．进入考场时携带物品。

高考数学考点第九章平面解析几何两条直线的位置关系(理)-人教版高三全册数学试题

两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d 概念方法微思考1．若两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l 1与l 2的斜率都存在时，12·l l k k ＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l 1与l 2也垂直．2．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么？提示 (1)将方程化为最简的一般形式．(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x ，y 的系数分别对应相等．1．（2020•新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为()A ．1B ．2 【答案】B【解析】因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离d ===要求距离的最大值，故需0k >；可得212kdk+=1k =时等号成立；故选B ．2．（2018•）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离．当θ、m 变化时，d 的最大值为() A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由题意d ==1tan ym xα==， ∴当sin()1θα-=-时，13max d =．d ∴的最大值为3．故选C ．3．（2020•某某）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则11与2l 的距离为__________．【解析】直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，当12//l l 时，210a -=，解得1a =±；当1a =时1l 与2l 重合，不满足题意；当1a =-时12//l l ，此时1:10l x y --=，2:10l x y -+=；则11与2l 的距离为d =1．（2020•达州模拟）直线1:20l ax y a ++=与直线2:20l x ay a +-=互相平行，则实数(a =) A ．4-B ．4C ．2-D ．2 【答案】D【解析】直线1:20l ax y a ++=与直线2:20l x ay a +-=互相平行， 0a ∴≠，且22a aa a-=≠，则实数2a =，故选D ．2．（2020•某某模拟）已知直线230mx y ++=与直线3(1)0x m y m +-+=平行，则实数(m ) A ．2-B ．3C ．5D ．2-或3 【答案】A【解析】直线230mx y ++=与直线3(1)0x m y m +-+=平行，∴3123m mm -=≠，求得2m =-，故选A ．3．（2020•某某三模）若直线(1)10x a y +-+=与直线210ax y +-=互相垂直，则实数(a =) A ．32B ．23C ．1-D ．2 【答案】B【解析】根据题意，直线(1)10x a y +-+=与直线210ax y +-=互相垂直，则有2(1)0a a +-=，解得23a =，故选B ．4．（2020•某某三模）已知直线1:sin 210l x y α+-=，直线2:cos 30l x y α-+=，若12l l ⊥，则tan 2(α=)A ．23-B ．43-C ．25D ．45【答案】B【解析】直线1:sin 210l x y α+-=，直线2:cos 30l x y α-+=，若12l l ⊥，则sin 2cos 0αα-=，即sin 2cos αα=，所以tan 2α=，所以222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---．故选B ．5．（2020•某某三模）若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为()A ．32B ．98C ．94D ．4【答案】 B【解析】由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，所以22(23)0b a +-=，即23a b +=；又a 、b 为正实数，所以222a b ab +，即2292()24a b ab +=，当且仅当34a =，32b =时取“=”；所以ab 的最大值为98．故选B ．6．（2020•江门模拟）已知直线1:(4)410l m x y -++=和2:(4)(1)10l m x m y +++-=，若12l l ⊥，则实数m 的值为() A ．1或3-B ．12或13-C ．2或6-D ．12-或23【答案】C【解析】直线1:(4)410l m x y -++=和2:(4)(1)10l m x m y +++-=，12l l ⊥，44()141m m m -+∴-⨯-=-+，解得2m =或6m =-，∴实数m 的值为2或6-．故选C ．7．（2020•某某一模）已知直线1:(3)10l mx m y +-+=，直线2:(1)10l m x my ++-=为，若12l l ⊥，则()A ．0m =或1m =B ．1m =C ．32m =-D ．0m =或32m =-【答案】A【解析】直线1:(3)10l mx m y +-+=，直线2:(1)10l m x my ++-=， 12l l ⊥，(1)(3)0m m m m ∴++-=，解得0m =或1m =．故选A ．8．（2020•杨浦区校级二模）若直线1:(1)10l a x ay ++-=与2:(32)0l ax a y +-=互相垂直，则实数a的值为__________．【答案】0或4【解析】直线1:(1)10l a x ay ++-=与2:(32)0l ax a y +-=互相垂直， (1)(32)0a a a a ∴++-=，解得0a =或4a =．∴实数a 的值为0或4．故答案为：0或4．9．（2020•某某三模）已知直线1:230l x y -+=，2:20l x ky k ++=，且12//l l ，则直线1l ，2l 间的距离为__________．【解析】1:230l x y -+=，2:20l x ky k ++=，且12//l l ，∴2123k k =≠-， 4k ∴=-，1:230l x y ∴-+=，2:2440l x y --=，即220x y --=；则1l 、2l =．10．（2020•某某模拟）已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=，若//l n ，则m 的值为__________．【答案】1±【解析】由210m -=，解得1m =±，经过验证都满足//l n ，则1m =±．故答案为：1±．11．（2020•某某模拟）已知直线1:230l ax y +-=和直线2:(1)10l a x y -++=．若12l l ⊥，则实数a 的值为__________；若12//l l ，则实数a 的值为__________．【答案】1-或2，23【解析】直线1:230l ax y +-=和直线2:(1)10l a x y -++=；当12l l ⊥时，(1)210a a -+⨯=，化简得220a a --=，解得1a =-或2a =；当12//l l 时，2(1)0a a --=，解得23a =．故答案为：1-或2，23． 12．（2020•某某模拟）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ=__________．【答案】1213-【解析】直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直， 3cos 2sin 0θθ∴+=，2cos sin 3θθ∴=-，22222413sin cos 199sin sin sin θθθθθ∴+=+==，解得sinθ=，cos θ=或sin θ=cos θ=12sin 22sin cos 213θθθ∴==-=-．故答案为：1213-． 13．（2020•某某一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1:20l x my m -+-=，2:(2)10l mx m y +--=，若直线12//l l ，则m =__________．【答案】2-【解析】根据题意，直线1:20l x my m -+-=，2:(2)10l mx m y +--=，若直线12//l l ，必有2(2)0m m -+=，解可得：1m =或2-，当1m =时，直线1:10l x y --=，2:10l x y --=，两直线重合，不符合题意；当2m =-时，直线1:240l x y +-=，2:2410l x y ---=，两直线平行，符合题意；故2m =-；故答案为：2-．14．（2019•西湖区校级模拟）已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=．求：（Ⅰ）直线l 的方程；（Ⅱ）直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．【解析】（Ⅰ）由3420220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩解得22.x y =-⎧⎨=⎩由于点P 的坐标是(2,2)-．则所求直线l 与210x y --=垂直，可设直线l 的方程为20x y m ++=．把点P 的坐标代入得2(2)20m ⨯-++=，即2m =．所求直线l 的方程为220x y ++=．（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴．y 轴上的截距分别是1-．2-，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212S =⨯⨯=．。

2019高考数学一轮复习两条直线的位置关系课件理

运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有： (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是： Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m ∈R)； (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
(2)在运用两平行直线间的距离公式d＝
|C1－C2| A2＋B2
时，一定要注
意将两方程中的x，y系数化为分别相等．
三种对称
(1)点关于点的对称
点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)． (2)点关于直线的对称
设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)，
4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )．
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b)
D．(－b，－a)
解析设对称点为(x′，y′)，则
yx′ ′－－ba×－1＝－1， x′2＋a＋y′2＋b＋1＝0，
解得：x′＝－b－1，y′＝－a－1. 答案 B
3．三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝
x1－x22＋y1－y22. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝ |CA1－ 2＋CB22| .

高考数学科学复习创新方案：两条直线的位置关系与距离公式

两条直线的位置关系与距离公式[课程标准]1.能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的位置关系直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 3：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 4：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系如下表：位置关系l 1，l 2满足的条件l 3，l 4满足的条件平行01k 1＝k 2且b 1≠b 202A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A2C 1≠0)垂直03k 1·k 2＝－104A 1A 2＋B 1B 2＝0相交05k 1≠k 206A 1B 2－A 2B 1≠02.两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组073．三种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝08（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝09|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝10|C 1－C 2|A 2＋B 2．1．三种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C0＝0(C≠C0)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C0＝0.(3)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，解题时，注意检验l2是否满足题意，以防漏解)．2．五种常见的对称(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．(4)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．(5)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等．1．(人教A选择性必修第一册习题2.2T8改编)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0答案A解析因为所求直线与直线x－2y－2＝0平行，所以设直线方程为x－2y＋c＝0，又直线经过点(1，0)，得出c ＝－1，故所求直线方程为x －2y －1＝0.故选A.2．若直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则实数n 的值为()A ．－12B ．－2C ．0D ．10答案A解析由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上，得10＋4p －2＝0.解得p ＝－2.又因为垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，所以2＋10＋n ＝0，解得n ＝－12.故选A.3．(人教A 选择性必修第一册习题2.3T 9改编)若三条直线x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，mx ＋ny －5＝0相交于同一点，则点(m ，n )到原点的距离的最小值为()A.5B.6C ．23D ．25答案A解析＋y －3＝0，－y ＋1＝0，＝1，＝2.∵三条直线x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，mx ＋ny －5＝0相交于同一点，∴m ＋2n ＝5.则点(m ，n )到原点的距离的最小值为原点到直线x ＋2y ＝5的距离d ＝512＋22＝5.故选A.4．光线从点A (－3，5)射到x 轴上，经x 轴反射后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 经过的路程为()A ．52B ．25C ．510D ．105答案C解析点B (2，10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由对称性可得光线从A到B 经过的路程为|AB ′|＝（－3－2）2＋[5－（－10）]2＝510.故选C.5．已知直线l 1：x ＋ay ＝1，l 2：ax ＋y ＝1，若l 1∥l 2，则a ＝________，此时l1与l2之间的距离为________．答案－12解析由l1∥l2可知a2－1＝0，即a＝±1.又当a＝1时，l1与l2重合，不符合题意．所以a＝－1，此时l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0.所以l1与l2的距离d＝|－1－1|12＋（－1）2＝2.例1(1)(2023·重庆模拟)已知直线l1：(m－2)x－3y－1＝0与直线l2：mx＋(m ＋2)y＋1＝0相互平行，则实数m的值是()A．－4B．1C．－1D．6答案A解析∵l1∥l2，∴(m－2)(m＋2)＝－3m，解得m＝－4或m＝1，当m＝1时，直线l1与直线l2重合，舍去，经检验m＝－4符合题意．故选A.(2)已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．答案0或1解析解法一：l1的斜率k1＝3a－01－（－2）＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝－2a－（－1）a－0＝1－2aa.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·1－2aa＝－1，解得a＝1.当a＝0时，得P(0，－1)，Q(0，0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1，0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为0或1.解法二：AB→＝(3，3a)，PQ→＝(a，1－2a)，由AB→⊥PQ→可知AB→·PQ→＝3a＋3a－6a 2＝0，解得a ＝0或1.两直线位置关系的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－A 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(4)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免不必要的讨论．1.(多选)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的值可以为()A ．－43B ．－23C.23D.43答案ABC解析若三条直线不能构成三角形，则三条直线要么相交于一点，要么存在平行直线．①若三条直线交于一点，x －3y ＋1＝0，x ＋3y ＋5＝0，＝－1，＝－13，代入mx －y －1＝0得－m ＋13－1＝0，∴m ＝－23；②若存在平行直线，则3m ＝2或3m ＝－4，解得m ＝23或m ＝－43.综上可知，m 的可能取值为－43，－23，23.故选ABC.2．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为____________．答案4x－3y＋9＝0解析x＋3y＋1＝0，－3y＋4＝0，＝－53，＝79，－53，因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线的斜率为k＝43.由点斜式得所求直线方程为y－79＝即4x－3y＋9＝0.解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，x＋3y＋1＝0，－3y＋4＝0，－53，代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.解法三：由题意知直线x－3y＋4＝0不满足条件，设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以λ＝2，代入①式得，所求直线方程为4x－3y＋9＝0.例2(1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295答案C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知，|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.故选C.(2)已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．答案3解析∵M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，而a 2＋b 2的几何意义是坐标平面内原点与点M 间的距离，其最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离，∴(a 2＋b 2)min ＝1532＋42＝3.1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式．2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x ，y 的系数对应相等，即一定要化成l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的形式．1.点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为()A ．1 B.2C.3D ．2答案B解析由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1，0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大，即为|AP |＝2.故选B.2．已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________．答案4x －y －2＝0或x ＝1解析若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k＋2＝0，由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k2，即|k －1|＝|7－k |，解得k ＝4.此时直线方程为4x －y －2＝0；若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x ＝1，满足题设条件．故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1.例3已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围．解(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，＋2＝0，－y ＝0，＝－2，＝1.所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线l 不经过第四象限，－1＋2kk ≤－2，＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝1，符合题意．故k 的取值范围是[0，＋∞)．共点直线系中定点的求解方法(1)分离参数，假设直线方程中含有的参数为k ，则将直线方程化为f (x ，y )＋kg (x ，y )＝0的形式．(2)x ，y ）＝0，（x ，y ）＝0，若方程组有解，则可得定点坐标；若方程组无解，则说明直线不过定点．已知直线(3a －1)x －(a －2)y －1＝0.(1)求证：无论a 为何值，直线总过第一象限；(2)若直线不经过第二象限，求a 的取值范围．解(1)证明：直线方程可化为(－x ＋2y －1)＋a (3x －y )＝0.x ＋2y －1＝0，x －y ＝0，＝15，＝35.所以直线恒过定点因为点M 在第一象限，所以无论a 为何值，直线总过第一象限．(2)当a ＝2时，直线方程为x ＝15，显然不经过第二象限；当a ≠2时，直线方程化为y ＝3a －1a －2x －1a －2.直线不经过第二象限的充要条件为0，0，解得a >2.综上，a 的取值范围为[2，＋∞)．角度点关于点的对称例4过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.角度点关于直线的对称例5在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．解(1)如图，设点B关于直线l的对称点为B′，AB′的延长线交直线l于点P0，在l上另任取一点P，则|P A|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0.设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0.①又线段BB′l上，故3a－b－6＝0.②由①②，解得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.x＋y－9＝0，x－y－1＝0，可得P0(2，5)．所以满足条件的点P的坐标为(2，5)．(2)设点C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C连接AC′交直线l于P1，在直线l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|P A|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．又直线AC′的方程为19x＋17y－93＝0，x＋17y－93＝0，x－y－1＝0，解得P所以满足条件的点P角度直线关于直线的对称例6光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．解－2y＋5＝0，x－2y＋7＝0，＝－1，＝2，∴反射点M的坐标为(－1，2)．取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，k PP′＝－23＝y0 x0＋5.而PP′的中点QQ在l上，∴3·x0－52－2·y02＋7＝0.＝－23，5）－y0＋7＝0，0＝－1713，0＝－3213.根据直线的两点式方程可得，所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题利用垂直和中点两个条件列方程组解题．注意：“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．“线关于线对称”转化为“点关于线对称”即可．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．解(1)设A′(x，y)，由已知条件得1，3·y－22＋1＝0，＝－3313，＝413.∴A3313，(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，3·b ＋02＋1＝0，1，得M设直线m 与直线l 的交点为N ，x －3y ＋1＝0，x －2y －6＝0，得N (4，3)．又m ′经过点N (4，3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)解法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，Q (4，3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上，易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)，再由两点式可得直线l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法二：∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)．∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等，∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴直线l ′的方程为2x －3y －9＝0.解法三：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )．∵点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.课时作业一、单项选择题1．若直线y ＝－2x ＋4与直线y ＝kx 的交点在直线y ＝x ＋2上，则实数k ＝()A ．4B ．2C.12D.14答案A解析直线y ＝－2x ＋4与直线y ＝x ＋2的交点满足＝－2x ＋4，＝x ＋2，解得＝23，＝83，由于该点在直线y ＝kx 上，故2k 3＝83，解得k ＝4.故选A.2．(2024·毕节市模拟)直线l 1：x ＋(1＋a )y ＝1－a (a ∈R )，直线l 2：y ＝－12x ，下列说法正确的是()A ．∃a ∈R ，使得l 1∥l 2B ．∃a ∈R ，使得l 1⊥l 2C ．∀a ∈R ，l 1与l 2都相交D ．∃a ∈R ，使得原点到l 1的距离为3答案B解析对于A ，要使l 1∥l 2，则k 1＝k 2，所以－11＋a＝－12，解得a ＝1，此时l 1与l 2重合，所以A 错误；对于B ，要使l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1＝－1，解得a ＝－32，所以B 正确；对于C ，当a ＝1时，l 1与l 2重合，所以C 错误；对于D ，原点到l 1的距离d ＝|1－a |12＋（1＋a ）2＝3，化简得8a 2＋20a ＋17＝0，此方程Δ<0，a 无实数解，所以D 错误．故选B.3．(2023·东北师大附中二模)直线l的方程为(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为()A．－1B．－5C．1D．5答案B解析由(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)可得(x＋y－3)λ＋2x－y＝0，令x＋y－3＝0，2x－y＝0，解得x＝1，y＝2，故直线l过定点A(1，2)，当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，因为k OA＝2，所以直线l的斜率为－12，即－12＝－λ＋2λ－1，解得λ＝－5.故选B.4．(2023·青岛三模)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC 的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为()A．－2B．－1C．－1或3D．3答案B解析由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心为－3＋3＋33，0＋0＋33，即(1，1)，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边的中点－3＋32，0＋32，即0，32，所以可得△ABC的欧拉线方程为y－132－1＝x－10－1，即x＋2y－3＝0，因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，所以a1＝a2－32≠－9－3，解得a＝－1.故选B.5.如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．33B．6C．210D．25答案C解析直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.故选C.6．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线所在的直线方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是()A．y＝3x＋5B．y＝2x＋3C．y＝2x＋5D．y＝－x2＋5 2答案C解析点A关于直线x＝0的对称点是A′(－3，－1)，关于直线y＝x的对称点是A″(－1，3)，由角平分线的性质可知，点A′，A″均在直线BC上，所以直线BC的方程为y＝2x＋5.故选C.7．(2024·江西八所重点高中模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，B(1，0)，P为直线2x－4y＋3＝0上一动点，则|PA|＋|PB|的最小值是()A.5B．4C．5D．6答案B解析设点A(0，－2)关于直线2x－4y＋3＝0的对称点为A′(x，y)4×y－22＋3＝0，×12＝－1，解得＝－115，＝125，所以A－115，所以|PA|＋|PB|＝|P A′|＋|PB|≥|A′B|＝25625＋14425＝4，当且仅当点P 为线段A ′B 与直线2x －4y ＋3＝0的交点时，等号成立，所以|PA |＋|PB |的最小值是4.故选B.8．(2023·南京师大附中模拟)已知实数a >0，b <0，则3b －a a 2＋b2的取值范围是()A ．[－2，－1)B ．(－2，－1)C ．(－2，－1]D ．[－2，－1]答案A解析根据题意，设直线l ：ax ＋by ＝0，点A (1，－3)，那么点A (1，－3)到直线l 的距离d ＝|a －3b |a 2＋b 2，因为a >0，b <0，所以d ＝a －3ba 2＋b2，且直线l 的斜率k ＝－ab >0.当直线l 的斜率不存在时，d ＝a －3b a 2＋b 2＝1；当OA ⊥l 时(O 为坐标原点)，d ＝|OA |＝1＋3＝2，所以1<d ≤2，即1<a －3b a 2＋b2≤2，因为3b －a a 2＋b2＝－a －3b a 2＋b2，所以－2≤3b －a a 2＋b2<－1.故选A.二、多项选择题9．(2023·浙江温州期中)若两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8互相平行，则()A ．m ＝－7B ．m ＝－1C ．l 1与l 2之间的距离为2124D ．与l 1，l 2距离相等的点的轨迹方程为4x －4y ＋5＝0答案ACD解析因为两直线l 1与l 2互相平行，所以(3＋m )(5＋m )＝4×2，解得m ＝－7或m ＝－1.当m ＝－7时，l 1：2x －2y ＋13＝0，l 2：2x －2y －8＝0，此时两直线l 1与l 2互相平行，符合题意；当m ＝－1时，l 1：x ＋2y －4＝0，l 2：x ＋2y －4＝0，此时两直线l1与l2重合，不符合题意．综上，当两直线l1与l2互相平行时，m＝－7，故A正确，B错误．l1：2x－2y＋13＝0与l2：2x－2y－8＝0的距离为|13＋8|4＋4＝2124，故C正确．设与l1，l2距离相等的点为(x，y)，则|2x－2y＋13|4＋4＝|2x－2y－8|4＋4，整理得4x－4y＋5＝0，所以与l1，l2距离相等的点的轨迹方程为4x－4y＋5＝0，故D正确．故选ACD.10．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是()A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°B．对任意的k，l1与l2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案AC解析对于A，存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故A错误；对于B，直线l1：x－y－1＝0经过点(0，－1)，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，即k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，故B正确；对于C，当k＝－12时，动直线l2的方程为12x－12y－12＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，故C错误；对于D，若两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．故选AC.11．(2023·重庆一中高三期中)若过点A(1，0)，B(2，0)，C(4，0)，D(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可能等于()A.16 17B.36 5C.26 5D.196 53答案ABD解析当过点A和点C的直线平行，过点B和点D的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A 和点C 的直线为l 1：y ＝k (x －1)和l 2：y ＝k (x －4)，则过点B 和点D 的直线为l 3：y ＝－1k (x －2)和l 4：y ＝－1k (x －8)，其中l 1和l 2的距离与l 3和l 4的距离相等，即|3k |1＋k2＝|6k|1＋1k 2，解得k ＝±2，故正方形的边长为|3k |1＋k 2＝655，该正方形的面积为＝365；当过点A 和点B 的直线平行，过点C 和点D 的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A 和点B 的直线为m 1：y ＝n (x －1)和m 2：y ＝n (x －2)，则过点C 和点D 的直线为m 3：y ＝－1n (x －4)和m 4：y＝－1n (x －8)，其中m 1和m 2的距离与m 3和m 4的距离相等，即|n |1＋n2＝|4n|1＋1n2，解得n ＝±4，故正方形的边长为|n |1＋n 2＝41717，该正方形的面积为＝1617；当过点A 和点D 的直线平行，过点B 和点C 的直线平行，且两组平行线互相垂直时，设过点A 和点D 的直线为e 1：y ＝s (x －1)和e 2：y ＝s (x －8)，则过点B 和点C 的直线为e 3：y ＝－1s (x －2)和e 4：y ＝－1s (x －4)，其中e 1和e 2的距离与e 3和e 4的距离相等，即|7s |1＋s 2＝|2s|1＋1s2，解得s ＝±27，故正方形的边长为|7s |1＋s 2＝145353，＝19653.故选ABD.三、填空题12．已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．答案12或－4解析由平面几何知识得AB 平行于直线ax ＋y ＋1＝0或AB 中点(1，3)在直线ax ＋y ＋1＝0上．当AB 平行于直线ax ＋y ＋1＝0时，因为k AB ＝－12，所以a ＝12；当AB 中点(1，3)在直线ax ＋y ＋1＝0上时，a ＋3＋1＝0，即a ＝－4.所以a ＝12或－4.13．(2023·长春学情调研)若直线l 1：y ＝kx ＋1与直线l 2关于点(2，3)对称，则直线l 2恒过定点________，l 1与l 2的距离的最大值是________．答案(4，5)42解析∵直线l 1：y ＝kx ＋1经过定点(0，1)，又两直线关于点(2，3)对称，则两直线经过的定点也关于点(2，3)对称，∴直线l 2恒过定点(4，5)，∴l 1与l 2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为（4－0）2＋（5－1）2＝42.14．(2024·长沙模拟)已知点A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，E (－1，0)，F (1，0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，直线FD 的斜率的取值范围为________．答案(4，＋∞)解析∵A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，∴直线BC 的方程为x ＋y －2＝0，直线AC 的方程为x －y ＋2＝0，如图，作F 关于直线BC 的对称点P ，∵F (1，0)，∴P (2，1)，再作P 关于直线AC 的对称点M ，则M (－1，4)，连接MA ，ME ，且ME 与AC 交于点N ，则直线ME 的方程为x ＝－1，∴N (－1，1)，连接PN ，PA ，分别交BC 于点G ，H ，则直线PN 的方程为y ＝1，直线PA 的方程为x －4y ＋2＝0，∴G (1，1)，GF ，HF ，则G ，H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 的方程为x ＝1，直线FH 的斜率为4565－1＝4，∴直线FD 的斜率的取值范围为(4，＋∞)．四、解答题15．(2024·济宁实验中学月考)已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在的直线方程为x－2y －5＝0.(1)求顶点C的坐标；(2)求△ABC的面积．解(1)设C(m，n)，因为直线AC与直线BH垂直，且点C在直线2x－y－5＝02，－5＝0，＝4，＝3，故C(4，3)．(2)设B(a，b)，由题意知，＋5－b＋12－5＝0，－2b－5＝0，＝－1，＝－3，即B(－1，－3)．k BC＝3＋34＋1＝65，直线BC：y－3＝65(x－4)，即6x－5y－9＝0.|BC|＝（4＋1）2＋（3＋3）2＝61，点A到直线BC的距离d＝|6×5－5－9|62＋（－5）2＝1661，所以S△ABC＝12×61×1661＝8.16．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)求证：该方程表示的直线与点P的距离小于42.解(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，)21x －y －6＝0，－y －4＝0，＝2，＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明：过点P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知|PQ |≤|PM |，当且仅当Q 与M 重合时，|PQ |＝|PM |，又k PM ＝－1，∴此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而|PM |＝42，∴|PQ |<42，故所证成立．。

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专题九破解两条直线的位置关系问题【方法综述】平面解析几何中两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况.而平面解析几何中的距离问题、对称问题，往往涉及平行、垂直（相交），因此成为考试命题的热点.下面举例说明．1.根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直条件求解参数的取值．例1. 已知直线()12:210,:20l ax a y l ax y +++=-+=.若12//l l ，则实数a 的值是（） A. 0或3- B. 2或1- C. 0 D.3- 解：12//l l ，则()()12a a a ⨯-=+即230a a +=03a a ∴==-或经检验都符合题意故选A.例2.已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A. -2B. -3C. -4D. -5解：∵ ，∴ ，故选D ．点评：如何用直线方程的系数反映两直线的位置关系是解题的切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可．2.有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交．例3.若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求实数m 的取值范围．分析：可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标．由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m 的取值范围．解：根据题意，由⎩⎨⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋37，m －27. 衡水独家秘籍之2019高中期末复习因为交点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋37>0，m －27<0.解得－32<m <2.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2. 点评：本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力．3.有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离．这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ，y 的系数分别对应相等)．例4.求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0的距离．分析：用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x ，y 的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离．解：把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0.利用公式，可得l 1与l 2的距离为d ＝|(－16)－(－1)|42＋62＝151326. 4.对称问题中学数学涉及对称问题有两大类：一类是中心对称，另一类是轴对称．常见对称问题有以下四种类型．（1）点关于点对称点P (a ，b )关于点M (x 0，y 0)的对称点为P ′( x 0－a ，2y 0－b )．事实上点关于点对称的本质是中点问题，由中点坐标公式即可求得对称点的坐标．（2）直线关于点对称直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0关于点M (x 0，y 0)的对称直线l ′的方程是A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0. 事实上，设对称直线l ′上任一点为P (x ，y )，则P 关于点M (x 0，y 0)的对称点为P (2x 0－x ，2y 0－y )，而点P 在直线l 上，故将P 的坐标(2x 0－x ，2y 0－y )代入Ax ＋By ＋C ＝0得A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.（3）点关于直线对称求点P (a ，b )关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P ′(a ′，b ′)，要抓住其两个几何特征：①PP ′⊥l ；②PP ′的中点在l 上，即由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ b ′－b a ′－a ·(－A B )＝－1，A ·a ＋a ′2＋B ·b ＋b ′2＋C ＝0，解出a ′，b ′.但较特殊的对称情况可直接写出结果：①P (a ，b )关于x 轴的对称点P ′(a ，－b )；②P (a ，b )关于y 轴的对称点P ′(－a ，b )； ③P (a ，b )关于直线x ＝x 0的对称点P ′( x 0－a ，b )；④P (a ，b )关于直线y ＝y 0的对称点P ′(a ，2y 0－b )；⑤P (a ，b )关于直线x ＋y ＋c ＝0的对称点P ′(－b －c ，－a －c )；⑥P (a ，b )关于直线x －y ＋c ＝0的对称点P ′(b －c ，a ＋c )．（4）直线关于直线对称求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2的方程可以按以下方法求解：①在l 1上任取相异两点P 1，P 2，求出P 1，P 2关于直线l 的对称点P 1′，P 2′，再由P 1′，P 2′的坐标写出直线l 2的方程．②任取l 2上一点P (x ，y )，用x ，y 表示出点P 关于直线l 的对称点P ′的坐标(x ′，y ′)，再将(x ′，y ′)代入直线l 1的方程整理可得l 2的方程．特别地，若l 1∥l ，l 2还有其他求法(请自己思考)．例5.求直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2，－3)对称的直线的方程．解：方法一由对称的直线l 与3x －4y ＋5＝0平行，故设直线方程为3x －4y ＋m ＝0，而M 到两直线的距离相等，则| × －4×(－3)＋m |32＋42＝| × －4×(－3)＋5|32＋42，解得m ＝－41，m ＝5(舍去)．所以直线l 的方程为3x －4y －41＝0.方法二由方程3x －4y ＋5＝0，取该直线上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0，它们关于点M (2，－3)的对称点为A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－294，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫173，－6.过A ′，B ′的直线即为l ：3x －4y －41＝0. 方法三设所求直线l 上任意一点为P (x ，y )，则P 关于点(2，－3)的对称点为P ′(4－x ，－6－y )，将P ′坐标代入3x －4y ＋5＝0，得3(4－x )－4(－6－y )＋5＝0，即3x －4y －41＝0，这就是所求直线l 的方程．点评：通过三种解法的比较，这类问题采用方法三的解法更简捷．例6.已知直线l 1：2x ＋y －4＝0，求l 1关于直线l ：3x ＋4y －1＝0对称的直线l 2的方程．解：方法一由⎩⎨⎧2x ＋y －4＝0，3x ＋4y －1＝0得l 1与l 的交点P (3，－2)．又取l 1上一点A (2，0)，设A 关于直线l 的对称点为B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0－2＝43，·2＋x 02＋4·0＋y 02－1＝0，解得B (45，－85)．显然P (3，－2)、B (45，－85)都在l 2上，由此可得l 2的方程为2x ＋11y ＋16＝0. 方法二设直线l 2上任一动点为M (x ，y )，它关于直线l 的对称点为M ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝43，·x 0＋x 2＋4·y 0＋y 2－1＝0，解得x 0＝7x －24y ＋625，y 0＝－24x －7y ＋825. 由M ′(x 0，y 0)在直线l 1上，故 ·7x －24y ＋625＋－24x －7y ＋825－4＝0，化简为2x ＋11y ＋16＝0，这就是直线l 2的方程．点评：本题也可在直线l 1上任取两点，求出它们关于直线l ：3x ＋4y －1＝0的对称点，从而得出l 2的方程．例7.已知△ABC 的顶点A (3，－1)，∠B ，∠C 的角平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ，求BC 边所在的直线方程．解：如图，设点A 关于直线BO ，CD 的对称点分别为A 1，A 2.因为A(3，－1)，且∠B的平分线方程为x＝0，故点A关于直线BO的对称点A1的坐标为(－3，－1)．又因为∠C的平分线CD的方程为y＝x，所以点A关于直线CD的对称点A2的坐标为(－1，3)．而A1(－3，－1)，A2(－1，3)两点都在直线BC上，由此可得直线BC的方程为2x－y＋5＝0.点评：本题的解答抓住了角平分线的性质——对称性(AB，CB两直线关于直线BO对称，AC，BC两直线关于直线CD对称)求解．【针对训练】1．已知，若直线与直线平行，则的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】直线的斜率显然存在，因此由题意有，解得．故选B．2．在直线 4 上到点距离最近的点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意可知：所求点即为过P点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x﹣4y﹣27=0的斜率为4，所以过P点垂直于已知直线的斜率为4，又P（2，1），则该直线的方程为：y﹣1=4（x﹣2）即4x+3y﹣11=0，与已知直线联立得：4 ①4 ②①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，把x=5代入①解得y=﹣3，所以，所以直线3x﹣4y﹣27=0上到点P（2，1）距离最近的点的坐标是（5，﹣3）．故选：A．3．直线ｙ＝3ｘ-4关于点Ｐ（2，-1）对称的直线方程是（）A．ｙ＝3ｘ-10 B．ｙ＝3ｘ-18 C．ｙ＝3ｘ+4 D．ｙ＝4ｘ+3【答案】A【解析】设为所求直线上任意一点，则该点关于点的对称点为4，由题意得点4在直线4上，∴44，整理得，所以所求直线的方程为．故选A．4．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )A．B．C．6 D．【答案】D【解析】点关于轴的对称点′坐标是，设点关于直线4的对称点，由4，解得4，故光线所经过的路程′4，故选D.5．已知直线4和直线4互相垂直，则实数的值为__________；【答案】-1【解析】∵直线4和直线4互相垂直，∴（a+3）× + ×（a-1）=0，解得a=-1．故答案为：-1．6．点关于直线的对称点是______.【答案】【解析】设点M （﹣1，1）关于直线l ：x ﹣y ﹣1=0对称的点N 的坐标（x ，y ）则MN 中点的坐标为（，），利用对称的性质得：MN = =﹣1，且﹣ ﹣1=0，解得：x=2，y=﹣2，∴点N 的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．7．若直线与直线关于直线 4 对称，则的方程是__________．【答案】【解析】设直线上任意一点为，则关于直线 4 的对称点 ′在直线上，由对称性可得 4 ，解得 4 4，代入直线可得 4 4 ，化简可得所求直线方程为，故答案为 .8．已知动点分别在轴和直线上，为定点，则周长的最小值为_______.【答案】【解析】点C 关于直线y=x 的对称点为 ′（1，2），点C 关于x 轴的对称点为 ′′（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为 ′（1，2）与 ′′（2，﹣1）两点之间的直线距离，| ′ ′′（2，﹣1）|= = ．故答案为：．9．已知直线的斜率为 4，且直线经过直线所过的定点．（1）求直线的方程；（2）若直线平行于直线，且点到直线的距离为，求直线的方程．【答案】（1） 4 4 ；（2） 4 4，或 4 4.【解析】（1），，所以过定点 (-2,5)因此 4 ，即 4 4（2）设直线 4 ，则4 4或 4 直线为：4 4，或 4 410．已知直线l ：1 若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；2 若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【答案】（1） ≥ ；（2）面积最小值为4，此时直线方程为：x ﹣2y+4=0【解析】（1）直线l 的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l 在y 轴上的截距为2k+1，要使直线l 不经过第四象限，则，解得k 的取值范围是：k ≥ （2）依题意，直线l 在x 轴上的截距为：﹣，在y 轴上的截距为1+2k ， ∴ （﹣ ，0），B （0，1+2k ），又﹣＜0且1+2k ＞0， ∴ ＞0，故S= |OA||OB|= ×（1+2k ）= （4k+ +4）≥（4+4）=4，当且仅当4k= ，即k= 时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x ﹣2y+4=0。

[精校版]衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题九 破解两条直线的位置关系问题