2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：第三章 数系的扩充与复数的引入测试卷

Error! 解得Error!∴p＋q＝38，故选 C. 答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上) 13．已知 i 为复数单位，若复数 z 的共轭复数z满足(1－i)z＝3＋i，则|z|＝________.
| | 3＋i
2 ≤ 2，
1
A.2 B．1 3
C.2 D．2 a 1＋i
a1－i
1＋i a＋1 1－a
1－a
解析：∵1＋i＋ 2 ＝1＋i1－i＋ 2 ＝ 2 ＋ 2 i 是实数，∴ 2 ＝0，解得
a＝1，故选 B.
答案：B
| | | | a b
1 －1
6．定义运算 c d ＝ad－bc，则符合条件 z zi ＝4＋2i 的复数 z 为( )
段 AB，则|z＋1＋i|＝|z－(－1－i)|的几何意义为线段 AB 上的点到点 C(－1，－1)的距离，由
图象知，点 C 到线段 AB 的距离的最小值为 1，故选 A.
答案：A 12．已知复数 z＝－3＋2i(i 为虚数单位)是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0(p，q 为实数)的一 个根，则 p＋q 的值为( ) A．22 B．36 C．38 D．42 解析：由复数 z＝－3＋2i 是关于 x 的方程 2x2＋px＋q＝0(p，q 为实数)的一个根，则 z＝－3－2i 也是方程 2x2＋px＋q＝0 的根，由韦达定理得
－1＋ 3i3 －2＋i
9．计算 1＋i6 ＋ 1＋2i 的值是( )
A．0 B．1
C．i D．2i
解析：原式
( ) －1＋ 3i3 －2＋i1－2i －1＋ 3i3 －2＋4i＋i＋2 1 1 3
－＋ i
＝ [1＋i2]3 ＋ 1＋2i1－2i ＝ 2i3 ＋
5
＝－i 2 2 3＋i＝i＋i＝2i，
因为 w 是实数，且 y≠0，
y
所以 y－x2＋y2＝0，即 x2＋y2＝1，
所以|z|＝1，此时 w＝2x.
由－1<w<2 得－1<2x<2，
( ) 1
1
－ ，1
所以－2<x<1，即 z 的实部的取值范围是 2 .
20．(12 分)在复平面内 A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2＋i，－1＋2i.
当 n 为奇数时，原式＝－2；当 n 为偶数时，原式＝2.
答案：Error!
x
y
5
16．设 x，y 为实数，且1－i＋1－2i＝1－3i，则 x＋y＝________.
x
y
5
解析：∵x，y 为实数，且1－i＋1－2i＝1－3i，
( ) x1＋i
y1＋2i
51＋3i
x＋xi y＋2yi 5＋15i x y
( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1
11
2＋ 2
，
|z|＝ 2 2 ＝ 2 ，z＝2－2i，复数 z 在复平面内对应的点为 2 2 ，在第一象限，故选 D.
答案：D
11．如果复数 z 满足|z＋3i|＋|z－3i|＝6，那么|z＋1＋i|的最小值是( ) A．1 B. 2 C．2 D. 5
解析：复数 z 满足|z＋3i|＋|z－3i|＝6，∴z 的几何意义是以 A(0,3)，B(0，－3)为端点的线
故选 D.
答案：D
10．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(3－i)＝2＋i，则下列说法正确的是( )
A．复数 z 的模为 2
11
B．复数 z 的共轭复数为－2＋2i 1
C．复数 z 的虚部为－2
D．复数 z 在复平面内对应的点在第一象限
2＋i 1 1
1
解析：由题可得 z＝3－i＝2＋2i，所以复数 z 的虚部为2，
由②得 t＝y－x， 代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.③ 所以所求的点(x，y)的轨迹方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2， 轨迹是以点(1，－1)为圆心， 2为半径的圆． (2)由③得圆心为(1，－1)，半径 r＝ 2，
|1－－1＋t|
直线 t＝y－x 与圆有公共点，从而应用 即|t＋2|≤2，所以－4≤t≤0， 故方程实根的取值范围是[－4,0]．
第三章 数系的扩充与复数的引入测试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考 试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)
1．已知 i 为虚数单位，z 为复数，下列叙述正确的是( ) A．z－z为纯虚数 B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．i＋1 的共轭复数为 i－1 D．2＋3i 的虚部为 3 解析：当 z 为实数时，A 不正确；由 i2＝－1，知 B 不正确；由共轭复数的定义知 1＋i 的共轭复数为 1－i，C 不正确，由复数的定义知 2＋3i 的虚部为 3，D 正确，故选 D. 答案：D 2．设复数 z 满足 z＋i＝3－i，则z＝( ) A．－1＋2i B．1－2i C．3＋2i D．3－2i 解析：由 z＋i＝3－i，得 z＝3－2i，∴z＝3＋2i，故选 C. 答案：C
35 13
A.2－2i B.2＋2i
35
13
C．－2＋2i D．－2－2i
( ) 解析：依题意
A(1,1)，B(－2,1)，C(3，－2)，∵D
是
BC
的中点，∴D
11 ，－ 22
A→D ，∴ ＝
( ) 1 3
－ ，－ 22
，∴向量A→D对应的复数是－12－32i，故选
D.
答案：D
a 1＋i
5．设 a 是实数，且1＋i＋ 2 是实数，则 a＝( )
2－i 2－i1－3i －1－7i 1 7
解析：由题可得 z＝1＋3i＝1＋3i1－3i＝ 10 ＝－10－10i，
( ) 1 7
－ ，－ 所以复数 z 在复平面内对应的点为 10 10 ，位于第三象限，故选 C.
答案：C
8．欧拉公式 eix＝cos x＋isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数
＝ 1＋2i－1－1－i＋1 a＋b＋a＋2i
＝
i
[a＋b＋a＋2i]－i
＝
i－i
＝a＋2－(a＋b)i，
z2＋az＋b
因为 z2－z＋1 ＝1－i，所以 a＋2－(a＋b)i＝1－i， 所以Error!，解得Error!. 22．(12 分)已知关于 t 的一元二次方程 t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)． (1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹． (2)求方程实根的取值范围． 解析：(1)设实根为 t， 则 t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)， 即(t2＋2t＋2xy)＋(t＋x－y)i＝0. 根据复数相等的充要条件，得Error!
2，|B→C|＝
10，|A→C|＝2
2，
所以|A→B|2＋|A→C|2＝|B→C|2，
所以△ABC 为直角三角形．
(3)由(2)可知，三角形 ABC 为直角三角形，∠A 为直角，
所以 S＝12|A→B||A→C|＝12× 2×2 2＝2.
21．(12 分)已知 i 为虚数单位，复数 z＝1＋i. (1)如果 w＝z2＋3z－4，求 w；
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
| | 1 －1
4＋2i 4＋2i1－i
解析：由定义，得 z zi ＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝ 1＋i ＝ 1＋i1－i ＝(2＋i)
(1－i)＝3－i，故选 A.
答案：A
2－i
7．已知复数 z＝1＋3i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1＋2i
3．若 z＝ i ，则复数z等于( ) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
1＋2i
解析：z＝ i ＝2－i，∴z＝2＋i，故选 D. 答案：D
4．若复数 1＋i，－2＋i,3－2i 在复平面上的对应点分别为 A，B，C，BC 的中点为 D， 则向量A→D对应的复数是( )
z2＋az＋b
(2)如果 z2－z＋1 ＝1－i，求实数 a，b 的值． 解析：(1)因为 z＝1＋i， 所以 w＝z2＋3z－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝1＋2i－1＋3－3i－4＝－1－i. (2)由 z＝1＋i，可得 z2＋az＋b 1＋i2＋a1＋i＋b
z2－z＋1 ＝ 1＋i2－1＋i＋1 1＋2i－1＋a＋ai＋b
3＋i ＝|1－i|＝ 2 ＝ 5
答案： 5
14．若复数 z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足 z<0，则 m＝________.
解析：∵复数 z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足 z<0，
∴Error!解得 m＝－1.
答案：－1
( ) ( ) 1＋i 1－i
15．若 n∈N*，则 2 4n＋ 2 4n＝________.
( ) ( ) 1＋i 2i
1－i －2i
解析：因为 2 2＝ 2 ＝i， 2 2＝ 2 ＝－i，而 i2＝－1，(－i)2＝－1.
( ) ( ) 1＋i 1－i
所以 2 4n＋ 2 4n＝(－1)n＋(－1)n＝2×(－1)n.
函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常
π
z
重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，设复数 z＝e4i，根据欧拉公式可知，1－i＝( ) 2
A．－ 2 i B. 2i 2