高一数学三角恒等变形
高一年级数学三角函数三角恒等变换知识点总结
高中数学苏教版必修4 三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点；始边在x 轴的正半轴上；角的终边在第几象限；就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上；就说这个角不属于任何象限；它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限；通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数；负角的弧度数为负数；零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α；其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长；r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点；始边为x 轴正半轴建立直角坐标系；在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ；点P 到原点的距离记为r ；则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -；则=+ααsin 2cos 。
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
高一数学 三角函数的恒等变形
高一数学 三角函数的恒等变形【基本公式】1、三角函数的诱导公式：（一） sin （k ·360°+α）=sin α cos （k ·360°+α）=cos α tan （k ·360°+α）=tan α（二） sin （180°+α）= -sin α cos （180°+α）=-cos α tan （180°+α）=tan α（三） sin （-α）=-sin α cos （-α）=cos α tan （-α）=-tan α（四） sin （180°-α）=sin α cos （180°-α）=-cos α tan （180°-α）=-tan α(五) sin （90 °－α）＝cos α cos （90 °－α）＝sin α tan （90 °－α）＝cot α（六） sin （90 °＋α）＝cos α cos （90 °＋α）＝－sin α tan （90 °＋α）＝－cot α（七） sin （270 °－α）＝－cos α cos （270 °－α）＝－sin α tan （270 °－α）＝cot α（八） sin （270 °＋α）＝－cos α cos （270 °＋α）＝sin α tan （270 °＋α）＝－cot α 记忆规律：“奇变偶不变,符号看象限”：90⋅=k β°α±的三角函数值，若k 是奇数则α是β的余名三角函数，若k 是偶数则α是β的同名三角函数；假设α为锐角，符号由β对应三角函数所在象限决定。
使用原则：“负化正，大化小，化到锐角就行了” 2、同角三角函数的基本关系式：倒数关系: 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 1cot tan =⋅αα商数关系: αααcos sin tan = αααsin cos cot = 平方关系: 1cos sin 22=+αα αα22sec tan 1=+ αα22csc cot 1=+3、和角公式、差角公式：sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β tan （α＋β）＝βαβαtan tan 1tan tan -+ tan （α－β）＝βαβαtan tan 1tan tan +-4、倍角公式、半角公式： （1）二倍角公式：αααcos sin 22sin =ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -= （2）三倍角公式：)60tan()60tan(tan tan 31tan tan 33tan )60cos()60cos(cos 4cos 3cos 43cos )60sin()60sin(sin 4sin 4sin 33sin 2333ααααααααααααααααααα-+=--=-+=-=-+=-= （3）升幂公式、降幂公式：22cos 1sin sin 22cos 122αααα-=⇔=- 22cos 1cos cos 22cos 122αααα+=⇔=+（4）万能公式：（5）半角公式：5、积化和差、和差化积公式： （1）积化和差公式：（2）和差化积公式：6、重要结论： （1）,tan ),sin(cos sin 22abb a b a =++=+ϕϕααα）所在象限决定所在象限由（b a ,ϕ （2）2)2cos2(sin sin 1ααα+=+ 2)2cos2(sinsin 1ααα+=-（3）ααα2sin 2cot tan =+ ααα2cot 2cot tan -=-（4）αααπαπtan 1tan 1)4cot()4tan(+-=+=- αααπαπt a n 1t a n 1)4c o t ()4t a n (-+=-=+（5）βαβαβα22sin sin sin(sin(-=-+）） βαβαβα22s i n c o s c o s (c o s (-=-+））（6）βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=±（7）43cos cos cos cos ,43sin sin sin sin ,1202222=++=-+︒=+βαβαβαβαβα则若 43cos cos cos cos ,43sin sin sin sin ,602222=-+=++︒=+βαβαβαβαβα则若（8）γβαγβαππγπγβαtan tan tan tan tan tan ,2,=+++≠=++则若k k（9）)cos(sin cos )sin(cos tan sin ααααααα<<⇒<<是第一象限角，则若【方法技巧】 1、 角的范围：（1）根据已知角的范围确定未知角的范围：21x x x 〈〈 2211y x y x y x +〈+〈+21y y y 〈〈 1221y x y x y x -〈-〈-（2）根据已知三角函数值确定未知角的范围：①由某个角的三角函数值的符号确定该角所在象限，从而确定和角（或差角）的范围： 如：已知)23,2(,ππβα∈，0tan 〉α，0tan 〈β，则23παπ〈〈，πβαπβπ〈-〈⇒〈〈02②由两角的三角函数值的大小关系，根据三角函数的单调性确定和角（或差角）的范围： 如：已知)2,0(,πβα∈，βαsin sin < ，则βα<02〈-〈-⇒βαπ③由某个角的三角函数值与特殊角的三角函数值的大小关系，确定该角的范围，从而确定和角（或差角）的范围：如：已知53cos =A ，135sin =B ，则312ππ<-<B A④由三角函数的值域，确定未知角的范围。
高一数学必修课件第三章三角恒等变形
同样可以通过数学归纳法或代入法等方法进行证明。证明过程需要运用三角函数的性质和 相关定理。
典型例题解析
01
例题1
已知sinα = 3/5，求cos2α的 值。
02
解析
根据倍角公式cos2α = 1 2sin²α，将已知的sinα值代入
公式进行计算，即可求得 cos2α的值。
03
例题2
已知cosβ = -√3/2，且β为第 二象限角，求sinβ/2的值。
要证明上述等式成立，我们可以先将 其转化为(1 + sinα + cosα) × 2 = (1 + tanα) × (1 + sinα - cosα)的形式 。然后利用辅助角公式和三角恒等式 进行化简和证明。
05
三角恒等式证明方法
直接法证明三角恒等式
01
公式法
利用已知的三角恒等式进行推 导，通过代入、变换等手段得
三角恒等变形定义
通过三角函数的基本关系式和诱导公式，将复杂的三角函数表达式化简为简单 的形式，或者将不同形式的三角函数表达式转化为等价的形式。
三角恒等变形的意义
在解决三角函数问题时，通过恒等变形可以简化计算过程，提高解题效率。同 时，掌握三角恒等变形的方法也有助于培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
三角函数周期性
利用三角函数的周期性，可以简化一些复 杂的三角函数表达式，或者将不同形式的 三角函数表达式转化为等价的形式。
诱导公式及其应用
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函 数值的公式。常见的诱导公式有和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
诱导公式的应用
利用诱导公式可以简化一些复杂的三角函数计算问题，如求任意角的三角函数值 、证明三角恒等式等。同时，诱导公式也是解决一些实际问题的重要工具，如测 量、物理中的振动和波动问题等。
第1课时 简单的三角恒等变换 课件(共13张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
（2）cos α·sin β = [sin(α + β) – sin(α – β)]；
1
2
2
θ+φ
（3）cos α·cos β = [cos(α + β) + cos(α – β)]； （3）cos θ + cos φ = 2cos
1
2
（4）sin α·sin β = – [cos(α + β) – cos(α – β)].
，tan =±
2
2
2
2
1+ cos α
α
2
思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？
学习目标
新课讲授
总结归纳
课堂总结
降幂与升幂公式
降幂公式
半角公式：
sin2β
1− cos 2β
1+ cos 2β
1− cos 2β
2
2
=
，cos β =
，tan β =
2
2
1+ cos 2β
θ+φ θ–φ
cos
.
思考：结合上述证明，你还能发现其他类似的式子吗？
2
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
积化和差与和差化积公式
积化和差
和差化积
θ+φ
1
2
（1）sin θ + sin φ = 2sin
1
2
（2）sin θ – sin φ = 2cos
（1）sin α·cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]；
2
专题18 三角恒等变换 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题18三角恒等变换知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin 22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα==sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【方法技巧与总结】1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±；1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；；2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3.拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-；④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明题型二：给式求值题型三：给值求值题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+；②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+ ；22sin 39cos 2139cos 21+ ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+ .（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（）ABCD例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（）.A ．14B ．78C ．14±D ．78±（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（）AB ．12C ．12-D．例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α的值为_____________．例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin 2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（）A ．12B ．12-C ．2D ．-2例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．78-B ．78C ．D 例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A ．B ．C ．12D 例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2325B ．2325-C D ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-例17．（2022·广东茂名·模拟预测）已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D（多选题）例18．（2022·江苏·高三专题练习）已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+=则（）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-=D ．cos cos αβ=【方法技巧与总结】给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.题型四：给值求角例19．（2022·全国·模拟预测）已知263ππα<<，sin 4sin cos tan 15315315πππππαα⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则α=______．例20．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知3sin 44ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求αβ-的值为_____．例21．（2022·河北石家庄·一模）已知角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin sinπ12tan π12cos cos 12αα-=+，则α=______.例22．（2022·上海市大同中学高三开学考试）若()0,απ∈，且cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则α的值为___________.例23．（2022·全国·高三专题练习）若sin 2α=()sin βα-=且ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是______．例24．（2022·吉林·延边州教育学院一模（理））若sin 2α=，()sin βα-=且π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+=（）A ．7π4B ．π4C ．4π3D ．5π3例25．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知α、β都是锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，那么α、β之间的关系是（）A ．4παβ+=B ．4αβ-=πC ．24παβ+=D ．22παβ+=例26．（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）已知11tan ,tan ,37αβ==-且,(0,)αβπ∈，则2αβ-=（）A ．4πB ．4π-C ．34π-D ．34π-或4π【方法技巧与总结】给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.题型五：正切恒等式及求非特殊角例27．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）若角α的终边经过点()sin 70,cos70P ︒︒，且tan tan 2tan tan 2m αααα++⋅=，则实数m 的值为（）A．B．CD例28．（2021·重庆八中高三阶段练习）sin10︒︒=（）A ．14B C ．12D例29．（2020·=（）A ．1BC D ．例30．（2022·全国·高三专题练习）()tan 30tan 70sin10︒+︒︒=___________.例31．（2022·江苏南通·高三期末）若11sin α=，则α的一个可能角度值为__________.例32．（2022·江苏扬州·模拟预测）1tan 751tan 75-︒=+︒___________．例33．（2022·贵州黔东南·一模（文））若()1tan 3αβ+=，()1tan 6a β-=，则tan 2α=___________.例34．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒=______．【方法技巧与总结】正切恒等式：当A B C k π++=时，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅．证明：因为tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-，tan tan ()C A B =-+，所以tan tan tan (1tan tan )A B C A B +=--故C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++．【过关测试】一、单选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知角α与角β的顶点均与原点O 重合，始边均与x 轴的非负半轴重合，它们的终边关于x 轴对称．若3cos 5α=，则()()cos cos αβαβ+-=（）A ．725-B ．15C ．15-D ．7252．（2022·全国·模拟预测（理））已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=，则cos()αβ-=（）A ．0B ．12C D ．13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1tan 3αβ+=，则tan β=（）A ．17-B ．17C ．1D ．2或64．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒，若24m n +=，=（）A ．－4B ．－2C ．2D ．45．（2022·山东烟台·三模）若21π2cos cos 23αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．BC ．D 6．（2022·全国·模拟预测（文））设角α，β的终边均不在坐标轴上，且()tan tan tan αββα-+=，则下列结论正确的是（）A ．()sin 0αβ+＝B ．()cos 1αβ-＝C ．22sin sin 1αβ+=D ．22sin cos 1αβ+=7．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知15αβ+= ，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ++-=---（）A ．BC ．1D8．（2022·全国·高三专题练习）若10,0,cos ,cos 224342ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2βα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A B ．C D ．二、多选题9．（2022·海南海口·二模）已知(),2αππ∈，tan sin tan 22αβα==，则（）A ．tan α=B ．1cos 2α=C ．tan β=D ．1cos 7β=10．（2022·河北邯郸·二模）下列各式的值为12的是（）.A ．sin17π6B ．sinπ12cos π12C ．22cossin 121π2-πD ．2πtan 8π1tan 8-11．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知α，β，0,2πγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2παβγ++=，则（）A．若sin cos αα+=，则tan 1α=B ．若tan 2α=，则sin()βγ+=C ．tan α，tan β可能是方程2670x x -+=的两根D ．tan tan tan tan tan tan 1αββγβα++=12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知()4cos cos 25αβα+==-，其中,αβ为锐角，则以下命题正确的是（）A ．3sin 25α=B ．()cos αβ-=C．cos cos αβ=D ．1tan tan 3αβ=三、填空题13．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．14．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知ππ0sin 24αα⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭sin 1tan αα=+________.15．（2022·3cos()cos()12παπα-++=-，则cos(23α2π-=_____________.16．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）()()()sin 75cos 4515θθθ++++=__________.四、解答题17．（2022·江苏南京·模拟预测）已知02πα<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．(1)求sin α的值；(2)若02πβ-<<，cos 24βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭αβ-的值．18．（2022·江西·高一期中）已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan23=α，()sin βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β.19．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）（1）已知tan 2θ=-，求sin (1sin 2)sin cos θθθθ++的值；（2）已知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，且α，(0,)βπ∈，求2αβ-．20．（2022·江西·高一阶段练习）在①4tan 23α=，②sin α补充到下面的问题中，并解答．已知角α是第一象限角，且．(1)求tan α的值；(2)求()π3πsin 2cos πcos 22ααα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．21．（2022·北京市第九中学高一期中）已知1tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求(1)求sin α的值；(2)求()()()2212sin πcos 2π5πsin sin 2αααα+---⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值；(3)若()sin αβ+cos β的值.22．（2019·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））()1的值；()2已知30,,,242ππαβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1tan 2αβ-=，17tan β=-，求2αβ-的值．23．（2020·全国·高三专题练习）在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++=，tan α的值.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2.2半角的正弦、余弦和正切bb高一数学
利用半角公式求值
已知 sin θ＝45，且52π＜θ＜3π，求 cosθ2和 tanθ2的值． 【解】 因为 sin θ＝45， 52π＜θ＜3π， 所以 cos θ＝－ 1－sin2θ＝－35. 由 cos θ＝2cos2θ2－1， 得 cos2θ2＝1＋c2os θ＝15.
＝ccooss22αα2s－inα2sicno2sα2α2＝cos2αcsoisnαα2cosα2
＝sinα2cosα2cos α＝12sin αcos α
＝14sin 2α＝右边．
所以原式成立．
12/13/2021
(1)三角恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式 两种． ①无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果 索因)，证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等． ②有条件的恒等式证明，常常先观察条件与欲证式中左、右两 边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证． (2)进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变 换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或 化切)的方法，明确变形的目的．
第三章 三角恒等变换
3．2.2 半角的正弦、余弦和正切
12/13/2021
第三章 三角恒等变换
1.了解半角公式推导的过程． 2.理解半角的正弦、余 弦和正切公式． 3．能正确运用半角公式进行简单三角函数式的化简、求值和 恒等式的证明．
12/13/2021
半角公式
12/13/2021
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
12/13/2021
失误防范 运用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角 三角函数值的正负号，若半角的范围不明确则求值时正负号都 要取．
高一必修4数学三角恒等变换知识点总结
高一必修4数学三角恒等变换知识点总结
高一必修4数学三角恒等变换知识点
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.
1.求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看
是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，
要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角
的三角函数而得解.
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些
角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种
关系.
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单
调区间求得角.
2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等.
(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α=(α+β)+(α-β)，
α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α+β2=α-β2+β-α2，α2是
α4的二倍角等.
(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式.
(4)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.。
三角恒等变换
三角恒等变换---完整版三角函数 —— 三角恒等变换公式:1 -cos1 cos ：sin - _, cos —=.2； 2 2，2tan [cos ：」一cos— sin：2 X cos 二sin 二 1 cos 一：＞升幂公式两角和与差的三角函数关系!i倍角公式 sin( x 二 I '1 )=sin 二 cos L ；二 cos 、；sin ”i sin2d =2sin d cos.zi 2 2cos2 用=cos 用-sin 二jcos(:; 二 L ： )=cos 二匸 cos" " sin J.sin 1'' :2 2=2cos a -1=1-2sin a性tana ±tan P tan=1 +ta n a ta n P丄小2ta na tan2 =21 - ta n a半角公式平方关系 2 a1+coS'f=2C0S —2 :1=sin 2 -：： + cos 2 -■ 降幂公式.2一 1 -cos2： sin21 .sin 二 cos _：i = —sin2工 2 2 a1-cos 、；=2sin — 2 a asin ： =2 sin — cos—2 2a a1 ± sin t =( sin —匸COS —)2 2 co 『—1 cos2sin 2 二 cos 2 二 =1考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。
等，余弦互为相反数。
互余两角的正余弦相等。
”（2） 二倍角公式的灵活应用，特别是降幕、 “互补两角正弦相 和升幕公式的 应用。
（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 一求二 （7）辅助角公式逆向应用 （4）角的整体代换 （5 ）弦切互化 （6 ）知 sin :-------- =ta n工 cos： 2 2sin a + cos a =1,商数关糸126、 A.（补全公式） 1 B. 1 488. A. 9、 C . 2（2013六校联考回归课本题） 11 C. — D.— 常见变式：计算1632cos20 （构造两角和差因子 +两式平方后相加）若sin )A<（诱导公式） -cos40 ° • cos60 ° • cos80° =( sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 a — sin 3=( cos(X — COS 的=13=-，贝U cos( a- B )的值为B<23C.^ D . 1【2015广东东莞高一期末】sin 163sin 223 + sin 253sin 313 等于 BB. D.（构造两角和差因子 10、（逆向套用公式） +两边平方）【2015高考四川，理12】 tan23 丰 tan 37 丰 J3tan 23 tan 37 的值是sin 15 sin 75 = （1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。
5.5三角恒等变换第6课时简单的三角恒等变换(二)课件高一下学期数学人教A版(2019)(1)
(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．
新知运用
三、三角函数的简单化解求值
反思感悟
方法总结
三角函数式化简的方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角
函数式的化简中“降次升角”和“升次降角”是基本的规律，根号中含有三角函数式
时，一般需要升次．
新知运用
四、三角恒等变换的综合应用
反思感悟
方法总结
新知运用
新知运用
随堂检测
B
C
随堂检测
课堂小结
1.知识清单：
(1)辅助角公式.
(2)三角恒等变换的综合问题.
(3)三角函数在实际问题中的应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域.
过程中通常利用辅助角公式，将=sin+cos转化为=sin(+)或=cos(+)
的形式，以便研究函数的性质．
新知运用
二、三角函数的实际应用
反思感悟
方法总结
(1)三角函数与平面几何有着密切的联系，几何中的角的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用
第五章 三角函数
5.5三角恒等变换
第6课时 简单的三角恒等变换(二)
旧知回顾
知识点一 辅助角公式
一、辅助角公式的运用
一、辅助角公式的运用
反思感悟
方法总结
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰
当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个
第10章三角恒等变换(考点串讲)高一数学下学期期末考点大串讲(2019)
题型3.角的变换
｜解题技法｜ 三角公式求值中变角的解题思路
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差 的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
A.－
题型4.名的变换
B.
C.
D.－
A.2 C.－2
B. D.－5
A.－4
B.－
C.4
D.
A.
B.
C.
D.
A.－
B.
C.－
D.
A.
B.
C.
D.
答案 B
A.－7 C.
B.－ D.7
A.－sin α C.sin α
B.－cos α D.cos α
A.2
B.2
C.4
D.3
A. C.cos2－sin2
B.tan 15°cos215° D.
（1）此类问题的解法规律是将所给的一个或几个三角函数式根据问题的需要进 行恒等变换，使其转化为所求函数式能够使用的条件，然后用代入法求出三角 函数式的值，也可以将所求的函数式经过适当的变形，再利用条件求值； （2）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把 “所求角”用“已知角”表示.
cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β－cos αsin β sin αcos β＋cos αsin β
（C（α－β））； （C（α＋β））； （S（α－β））； （S（α＋β））；
考点2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
答案 A
简单的三角恒等变换(课件)-高一数学(人教A版2019必修第一册)
解：f(x)＝sin x＋
3cos
x＝212sin
x＋
3 2 cos
x
＝2sin
xcos
π3＋cos
xsin
π 3
＝2sinx＋π3.
∵－π2≤x≤π2，∴－π6≤x＋π3≤56π，
∴－12≤sinx＋π3≤1，即－1≤f(x)≤2.
经典例题
题型三 辅助角公式的应用
例 3-3 已知函数 f(x)＝4cosxsin (x＋ )－1.2来自223 2
cos
x
sin
x
3
3.
y
cos
2x
3
2 sin 2
x
1 2
cos
2x
3 sin 2x 1 cos 2x 1 cos 2x
2
2
3 sin 2x 1 2
1
sin
2x
6
4.
y
4
sin
x
cos
x
π 3
3
4
sin
1 2
cos
x
3 2
sin
x
3 2 sin x cos x 2
所以 cos α－2 β＝
1＋cos2α－β＝
1＋23635＝7
65 65 .
经典例题
题型二 三角函数化简与证明
例 2 已知 π<α<32π，化简：
1＋sin α
＋
1＋cos α－ 1－cos α
1－sin α
1＋cos α＋
1－cos
. α
2
解：原式＝
2csoisnα2α2＋－cos2α2sinα2＋
跟踪训练1
已知 α 为钝角，β 为锐角，且 sin α＝45，sin β＝1132，求 cos α－2 β的值．
数学高一专题 三角恒等变换
数学高一专题 三角恒等变换一、两角和差公式：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ βαβαtan tan 1tan tan =β)+tan(α⋅-+βαβαtan tan 1tan tan =β)-tan(α⋅+-二、二倍角公式：αααcos sin 22sin =，ααα22sin cos 2cos -=，212cos cos 2+=αα，22cos 1sin 2αα-=α2tan = 三、和差化积公式：四、 辅助角公式：()A BB A B A =++=+ϕϕαααtan ,sin cos sin 22其中题型一：基础回顾1、（2016年山东高考）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π2、已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22C ．22D ．1 3、如果cos 2α－cos 2β＝a ，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a变式练习4、（2016年全国III 高考）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)16255、（2016年浙江高考）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关6、（2016年上海高考）方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________7、(2014·陕西高考)设0<θ<π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝________. 8、已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. 题型二：技能拓展1.已知函数f (x )＝2cos(x －π12)，x ∈R . (1)求f (π3)的值； (2)若cos θ＝35，θ∈(3π2，2π)，求f (θ－π6)．变式练习2.(2014·江西高考)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f (π4)＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)． (1)求a ，θ的值；(2)若f (α4)＝－25，α∈(π2，π)，求sin(α＋π3)的值．3.(2014·广东高考)已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)．1．(2016·中山模拟)已知tan α＝－a ，则tan(π－α)的值等于( )A ．aB ．－aC.1a D ．－1a2．(2016·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin (π＋α)＝( )A ．－1－k 2 B.1－k 2C ．±1－k 2D ．－k3．已知sin (2π＋θ)tan (π＋θ)tan (3π－θ)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan (－π－θ)＝1，则sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是() A ．1 B ．2C ．3D ．64．(2016·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( ) A.45B ．－45 C.35 D ．－355．(2016·苏州模拟)cos 9π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＋sin 21π的值为________． 6．(2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．7．(2016·黄冈模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)， (1)求cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π4的值．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m ·n ＝－1. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值．。
5.5.1(第三课时)三角恒等变换课件高一上学期数学人教A版
4
解法1：在△ABC中, 由cosA , 0 A ,
5
2
3
4
得 sin A 1 cos A 1
5
5
2
sin A 3 5 3
所以 tan A
,
cos A 5 4 4
3
2
2 tan A
24
4
tan 2 A
2
2
1 tan A
sin 4 2 sin 2 cos 2 ,
cos cos
2
2
sin
2
2
.
2、对公式我们不仅要会直接的运用，还要会逆
用、还要会变形用，还要会与其它的公式一起
灵活的运用。如：
1 cos 2
1 cos 2
2
2
cos
, sin
2
2
3、对公式成立的条件。如：二倍角的正切公式
等不可省去．
归纳
从和(差)角公式、倍角公式的推导过程可以发现．这些公式存在紧密的逻辑
联系，请你进行归纳总结．
理解公式的推导方法
S(α-β)
以－β代β
S(α+β)
C(α+β)
C(α-β)
以－β代β
T(α+β)
S2α
C2α
作
商
作
商
T(α-β)
β＝α
作
商
β＝α
T2α
说明：
1、 倍 角 公 式 中 的
与2是 相 对 而 言 的 。 如 ：
cos 2 cos 2 sin 2
2 tan
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从扶风山下来，我们沿螺蛳山路，想找一处喝茶或咖啡的地方，穿过拥挤的栖霞市场到旭东路，一路除了米粉店、烧烤、火锅、发菜，未见茶馆或咖啡馆，而宝山北路上则是一个接一个卖白菜、萝 卜的担子，他们来自附近的农村，菜都是自己种的。朋友冉说，其实一箩筐卖出去也卖不了多少钱。但来往的行人围住担子，或绕过担子，让一座城市立即升起了烟火。一条道窄了，一个都市的世界大 了。几个从成都、昆明、南宁相约到云岩的朋友，开始还有说有笑，谈天论地，到了后来干脆都不说话。我们就这样走了七公里，在一家卖茶卖酒的店铺里坐下，都不想再走了。此时，我们可能都想过， 五百年前，那个姓王的哲学家在流放中如何抵达此地，如何从此处又走到三十公里外的龙场驿站。电游网