高考数学一轮复习三角函数的图像与性质练习含答案
三角函数的图象和性质(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向19 三角函数的图象和性质【2022·全国·高考真题】记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【解析】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A【2022·全国·高考真题（理）】设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】解：依题意可得0>ω，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ．1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+，常见方法有：（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函； （2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角和、差公式或辅助角公式sin cos a wx b wx +将已给函数化成同函．2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+的形式，有时会化简为二次函数型：22sin sin y a x b x c =++或22cos cos y a x b x c =++，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意sin cos x x 或的取值范围．若将已给函数化简为更高次的函数，如22(1sin )cos (1sin )(1-sin )y x x x x =+=+，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有sin cos x x ±和sin cos x x ，令t =sin cos x x ±，由关系式22sin cos 12sin cos t x x x x =±=±（）得到sin cos x x 关于t 的函数表达式．3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型： （1）sin y a x b =+，令sin t x =，则[],(1,1)y at b t =+∈-；（2）sin cos y a x b x c =++，引入辅助角tan ba φφ=（），化为22)y a b x c φ=+++； （3）2sin sin y a x b x c =++，令sin t x =，则[]2,(1,1)y at bt c t =++∈-； （4）sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+（），令t =sin cos x x ±， 则22sin cos 12sin cos t x x x x =±=±（），所以21()2t y a bt c -=±++； （5）sin cos a x by c x d+=+，根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值．关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数sin y x =的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈，对称中心为(,0)()k k Z π∈；（2）函数cos y x =的对称轴为()x k k Z π=∈，对称中心为(,0)()2k k Z ππ+∈；（3）函数tan y x =函数无对称轴，对称中心为(,0)()2k k Z π∈； （4）求函数sin()(0)y A wx b w φ=++≠的对称轴的方法；令()2wx k k Z πφπ+=+∈，得2()k x k Z wππφ+-=∈；对称中心的求取方法；令()wx k k Z φπ+=∈，得k x wπφ-=，即对称中心为()k b wπφ-，． （5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ得wk x ϕππ-+=2，即对称中心为))(,2(Z k b wk ∈-+ϕππ1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数x y sin =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22ππππ-，，，，，，，，，．（2）在余弦函数x y cos =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22ππππ-，，，，，，，，，． 函数x y sin =x y cos =x y tan =图象2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中Z k ∈） 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T ；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T ； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T ； 3．)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质 （1）最小正周期：wT π2=． （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ，A ]． （3）最值假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心． 假设00>>w A ，．定义域 RR}2|{ππ+≠∈k x R x x ，值域 ]11[，-]11[，-R 周期性 π2π2π奇偶性 奇函数偶函数奇函数递增区间 ]2222[ππππ+-k k ， ]22[πππk k ，+- )22(ππππ+-k k ，递减区间 ]23222[ππππ++k k ， ]22[πππk k +，无对称中心 )0(，πk)02(，ππ+k )02(，πk 对称轴方程2ππ+=k xπk x =无①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000x wx y wx Z k k wx xx wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置．（5）单调性． 假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ （6）平移与伸缩由函数x y sin =的图像变换为函数3)32sin(2++=πx y 的图像的步骤；方法一：)322(ππ+→+→x x x ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．−−−−−→−=个单位向左平移的图像3sin πx y 的图像)3sin(π+=x y 12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变的图像)32sin(π+=x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变的图像)32sin(2π+=x y−−−−−→−个单位向上平移33)32sin(2++=πx y方法二：)322(ππ+→+→x x x ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．的图像x y sin =12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变−−−−−→−=个单位向左平移的图像62sin πx y 的图像)22sin()6(2sin ππ+=+=x x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变−−−−−→−+=各单位向上平移的图像3)32sin(2πx y 3)32sin(2++=πx y注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角ϕ+wx ”变化多少．1．（2022·上海青浦·二模）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为2⎡⎤-⎣⎦，则b a -的取值范围是（ ） A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．2π D ．π3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()()tan 08f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的图象与直线()y a a =∈R 的两相邻交点间的距离为2π，则ω=（ ）A ．14B ．12C ．1D ．24．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的两个相邻最高点间的距离为π，则()f x 在下列区间中单调递增的区间是（ ） A ．π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 的最大值为5ω，则ω的取值最多有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个1．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈2．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在2π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则ω的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．723．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()23sin cos cos 0f x x x x ωωωω=+>，若函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦4．（2022·上海长宁·二模）已知函数()sin cos f x x a x =+满足：()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． 若函数()f x 在区间[]12,x x 上单调，且满足12()()0f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π35．（2022·青海·模拟预测（理））若3π-，3π分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，且在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值是（ ） A ．814B ．994C ．1054D ．11746．（2022·全国·高三专题练习）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．32C ．52D ．37．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 21-C ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数8．（多选题）（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()cos 2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．直线2x π=为函数f (x )图像的一条对称轴B ．函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2π后得到()cos22sin 2g x x x =+ C ．函数f (x )在[－2π，2π]上单调递增 D ．函数()f x 的值域为[－259．（多选题）（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x <D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立10．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x ∈R ）的图像关于直线π6x =对称，函数()cos sin g x a x x =-，则下面说法正确的是（ ） A ．将()f x 的图像向左平移2π个单位可以得到()g x 的图像 B ．()g x 的图像关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()g x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的最大值为111．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数2()322cos 1f x x x =-+，且方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，则实数a 的取值范围是___________．12．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数sin()(0)y x ωϕω=+>与直线12y =的交点中，距离最近的两点间距离为3π，那么此函数的周期是___________. 13．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______． 14．（2022·北京·人大附中三模）已知函数()[)(]sin ,2,00,2xf x x xππ=∈-⋃，给出下列四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 有4个零点；③()f x 的最小值为12-；④()12f x x <的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中，所有正确结论的序号为___________.15．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______．16．（2022·江西师大附中三模（理））定义在[0,]π上的函数1(3cos )cos (0)2y x x x ωωωω=-+>有零点，且值域1,2M ⎡⎫⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，则ω的取值范围是__________．17．（2022·陕西·西安中学一模（理））函数(21)()sinln 22x f x x π+=--的所有零点之和为_________. 18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值； (2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．19．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数()()1cos 2f x x g x f x ωϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，其中[]0,2πϕ∈(1)若12ω=且直线π2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；(2)若21π3ωϕ==，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值；20．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()00f =；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.21．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()2sin()cos sin f x x A x A =-+．(1)若1(0),3,12f a b =-==，求ABC 的面积；(2)当512x π=时，()f x 取最大值，求()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域.22．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭满足：①()f x 的最大值为2；②06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；()f x 的最小正周期为π．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间与最小值．1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增4．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为985．（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3π2B ．3π和2C ．6π2D ．6π和26．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线3y x =是曲线()y f x =的切线 8．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()f T =9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．9．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．10．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈．（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．1．【答案】D【解析】π()sin cos 2)4f x x x =+=+，因为[],x a b ∈，所以πππ,444x a b ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，因为π12)24x -≤+≤2πsin()14x ≤+≤.正弦函数sin y x =在一个周期π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，要满足上式，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()()max min 5ππ3π5ππ3π--=,-=442424b a b a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以b a -的取值范围是3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D 2．【答案】B 【解析】由题知,1262k k πππωπ+=+∈Z ，则124,k k ω=+∈Z ， 因为05ω<<，所以4ω=所以22Tππω==易知12||x x -的最小值为24T π=. 故选：B 3．【答案】B【解析】由正切型函数的性质可知，函数()()tan 08f x x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=+>的最小正周期为2π，因此，122πωπ==. 故选：B. 4．【答案】A【解析】因为()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象的两个相邻最高点间的距离为π，所以2π=T πω=，解得1ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，Z k ∈解得π5πππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈. 当0k =，π5π1212x -≤≤.故选：A 5．【答案】A【解析】∵π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ,44π44x ωω⎡⎤--⎢⎥⎣-⎦∈若()f x 的最大值为5ω，分两种情况讨论：①当πππ442ω-≥，即3ω≥时，根据正弦函数的单调性可知，()max 15f x ω==，解得5ω=；②当πππ442ω-<，即03ω<<时，根据正弦函数的单调性可知，sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()max ππsin 0445f x ωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，结合函数ππsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与5x y =在()0,3上的图像可知，存在唯一的()0,3ω∈，使得ππsin 445ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭.综上可知，若()f x 的最大值为5ω，则ω的取值最多有2个.故选：A ．1．【答案】D【解析】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确； 所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin 16π=，故C 不正确； 对于D ，若()f x θ+为偶函数，且()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D. 2．【答案】A【解析】依题意得：()2π2ππ2πππsin 1,2πZ 336362f k k ωω⎛⎫⎛⎫=+=∴+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()13Z 2k k ω∴=+∈，又()f x 在2π,2π3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，2ππ4π2π,233T ω∴≥-∴≥， 解得：34ω≤，10,2ωω>∴=， 故选：A.3．【答案】B 【解析】函数()()()2313sin cos cos 021cos22f x x x x x x ωωωωωω+>++3112cos222x x ωω++1sin 262x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且2,2666x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，得26232262k k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，k ∈Z ，解12233k k ω+≤≤+，k ∈Z .又因为ω>0，12222πππω⨯≥-，所以k ＝0， 所以实数ω的取值范围是12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B 4．【答案】C 【解析】2()sin cos 1sin()f x x a x a x ϕ=+=++，[0,2)ϕπ∈因为()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以当6x π=时，()f x 取得最大值，即sin()16πϕ+=所以62ππϕ+=，即3πϕ= 因为12()()0f x f x +=，所以1122(,()),(,())x f x x f x 的中点是函数()f x 的对称中心， 由,3x k k Z ππ+=∈，得,3x k k Z ππ=-∈所以1223x x k ππ+=-， 所以1222,3x x k k ππ+=-∈Z 易知，当0k =时12x x +取得最小值23π.故选：C 5．【答案】C【解析】设函数()y f x =的最小正周期为T ,由题意得1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩则3(21),4,24k k ωππϕ+⎧=⎪='⎪⎨⎪+⎪⎩其中121221,(,),k k k k k Z k k k =+⎧∈⎨=-⎩'在区间,155ππ⎛⎫⎪⎝⎭上， 函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，所以22,51515T πππ-=≤解得030,ω<≤即3(21)30,4k +≤解得19.5.k ≤ 对于D.若1174ω=，则19.k =由11139(),34k k k Z ππϕπωπ=+=+∈且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立， 当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1173(2.7,6.6),44x πππ+∈当011739442x ππ+=或132π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于C. 若1054ω=，则17k =，1135,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知 3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1053(2.5,6)44x πππ+∈，当010539442x ππ+=时，存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，故符合条件； 对于B. 若949ω=，则16,k =由1133,34k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知,4πϕ= 可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时99(1.9,5.2)44x πππ+∈， 当0995442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 对于A. 若148ω=，则13,k =由 112734k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知3,4πϕ=可使1122,3(,),32k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，813(2,1,4.8)44x πππ+∈， 当08135442x ππ+=或92π时，()01f x =都成立，故不符合； 故选：C 6．【答案】A【解析】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A7．（多选题）【答案】BD【解析】()()211cos 221sin cos sin sin cos sin sin 222242x f x x x x x x x x x π-⎛⎫=-=-=-=+- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期为22T ππ==21-，故A 错误，B 正确；对称轴方程为242x k πππ+=+，k ∈Z ，即28k x ππ=+，k ∈Z ，当8x π=-时，k 不为整数，故C 错误； 对于选项D ，将()f x 的图像向右平移8π个单位长度后得到212122284222y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 然后将此图像向上平移12个单位长度， 得到函数()22g x x =的图像，()g x 是一个奇函数，故D 正确. 故选：BD.8．（多选题）【答案】AD【解析】解：对于A ：()()()()cos 2sin cos 2sin f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，选项A 正确； 对于B ：函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，得到()2cos 22sin 2f x x x =+，再向左平移2π后得到()cos 22sin 2cos 22sin 222g x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项B 错误；对于C ：当22x ππ-≤≤时，()()cos 2sin cos 2sin 5sin f x x x x x x ϕ=+=++，其中1tan 2ϕ=，不妨令ϕ为锐角，2222x x ππππϕϕϕ-≤≤⇒-+≤+≤+当22x ππϕϕ-+≤+≤即，,22x ππϕ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，f (x )单调递增，当122x πϕϕ≤+≤+，即,22x ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，f (x )单调递减，选项C 错误；对于D ：2π是函数的周期，可取一个周期[－2π，32π]探究f (x )值域．而函数f (x )的对称轴为：2x π=． 因此：可取区间[－2π，2π]探究f (x )值域，当22x ππ-≤≤时，()()cos 2sin 5sin f x x x x ϕ=++，其中1tan 2ϕ=，()sin cos sin 1222225x x x πππππϕϕϕϕϕϕ⎛⎫-≤≤⇒-+≤+≤+⇒-+=-=≤+≤ ⎪⎝⎭即：()25f x -≤，选项D 正确． 故选：AD.9．（多选题）【答案】ACD【解析】∵函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期22T ππ==，所以()()f x f x π+=恒成立， 故A 正确；又2sin 216f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 131663f πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2sin 131663f πππ⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6666f f ππππ⎛⎫⎛⎫+≠--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象不关于原点对称，故B 错误；当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦3sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ()31,3f x ⎤∴∈⎦，又)2313>，即min max 2()()f x f x >，所以对123,,[,],32x x x ππ∀∈有132()()()f x f x f x +>成立，故D 正确.故选：ACD.10．（多选题）【答案】ABC【解析】由题意πππ()sin cos 666f a =+1322a =21a =+3a =3231323()cos (sin ))23f x x x x x x π=+==+， 32313()sin (cos )2g x x x x x =-=2355cos cos sin )66x x ππ=+ 235)6x π=+， 将()f x 的图像向左平移2π个单位所得图像的解析式为23235))236y x x πππ=++=+()g x =，A 正确；235()sin()0666g πππ=+=，B 正确； ,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，573,,62622x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时()g x 是减函数，C 正确；()f x 23D 错误．故选：ABC ． 11．【答案】[2,1]-【解析】2()3sin 22cos 13sin 2cos 22sin(2)6f x x x x x x π=-+=-=-，方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，即()a f x =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，得2()1f x -≤≤，即a 的取值范围是[2,1]-，故答案为：[2,1]- 12．【答案】k π且Z k ∈【解析】根据正弦型函数的周期性，当1sin()2x ωϕ+=，则： 若16x πωϕ+=，最近的另一个值为256x πωϕ+=， 所以212()3x x πω-=，而213x x π-=，可得2ω=.故此函数的最小正周期是2ππω=，则函数的周期为k π且Z k ∈.故答案为：k π且Z k ∈ 13．【答案】17【解析】由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，可得2()33k k ωπππ+=∈Z ， 所以61()k k ω=-∈Z .由()f x 在5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，可得1253241234ππππωω⨯<-≤⨯，解得618ω<≤，又61()k k ω=-∈Z ，当3k =时，17ω=，则ω的最大值为17，,故答案为：17 14．【答案】①②【解析】对于①：因为函数的定义域为[)(]2,00,2ππ-，且()()()sin sin x xf x f x xx---===--，所以()f x 是偶函数.故①正确；对于②：在[)(]2,00,2x ππ∈-⋃，令()0f x =，解得：2x π=-，x π=-，x π=，2x π=.所以()f x 有4个零点.故②正确；对于③：因为()f x 是偶函数，所以只需研究(]0,2x π∈的情况. 如图示，作出sin y x =（(]0,2x π∈）和12y x =-的图像如图所示：在(]0,2x π∈上，有1sin 2x x >-，所以sin 12x x >-，即()f x 的最小值大于12-.故③错误； 对于④：当[)(]2,00,2x ππ∈-⋃时，()12f x x<可化为：当0x >时，1sin 2x ，解得：50,,266x πππ⎛⎫⎛⎤∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当0x <时，1sin 2x >，解得：117,66x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；综上所述：()12f x x<的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎤--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦.故④不正确.故答案为：①② 15．【答案】1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】如下图，作出简图，由题意知，[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T ，因为06x πω=-，则40077210443T x x x ππωω+=+⋅==，500223226x x T x ππωω=+=+⋅=，结合[)45,x x π∈有103ππω≥且236ππω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故答案为：1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．【答案】12,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】21313sin cos cos2cos2sin 22226y x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭， 当[0,]x π∈时，2,2666x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为函数有零点，所以206ππω-≥，解得112ω≥， 当266πππω-=-时，12y =-，因为值域1,2M ⎡⎫⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，所以72666ππππω-<-≤，解得203ω<≤，综上，12123ω≤≤. 故答案为：12,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17．【答案】12【解析】由()0f x =，可得(21)sin ln 22x x π+=-，令(21)sin ,ln 22x y y x π+==-， 可得函数(21)sin2x y π+=与ln 2y x =-的图象都关于直线2x =的对称， 在同一坐标系内作出函数(21)sin 2x y π+=与ln 2y x =-的图象，如图所示，由图象可得，函数(21)sin 2x y π+=与ln 2y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线2x =的对称，所以1625344x x x x x x +=+=+=， 所以12345612x x x x x x +++++=， 即函数(21)()sin ln 22x f x x π+=--的所有零点之和为12. 故答案为：12.18．【解析】(1)函数()sin(π)f x A x ϕ=+的最小正周期2π2πT ==， 因1(,)3P A 是函数()f x 图象的最高点，则1ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，而02πϕ≤≤，有0k =，π6ϕ=，所以函数()f x 的最小正周期为2，π6ϕ=. (2)由（1）知，π()sin(π)6f x A x =+，由ππ06x +=得16x =-，即点1(,0)6M -，由ππ2π6x +=得116x ，即点11(,0)6N ， 于是得tan 211()36A PMN A∠==--，2tan 111363A PNM A∠==-，而π4PMN PNM ∠+∠=， 则22tan tan 3tan()121tan tan 123A APMN PNM PMN PNM PMN PNM A A +∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⋅，又0A >，解得71A =， 所以71A =-. 19．【解析】(1)可知11()cos 22g x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为直线π2x =是()g x 图象的一条对称轴，故1π1π,222k k Z ϕ⨯+=∈， 解得π2π,2k k Z ϕ=-∈，而[]0,2πϕ∈，故3π2ϕ=，则13()cos π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则周期2π4πT ω==， 再令13π[2π,π2π],24x k k k Z +∈+∈，则3ππ4π,4π,22x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，故()g x 的递减区间为3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)可知π()cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ()cos()cos cos cos 3 3h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21313cos cos cos cos 22x x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭11cos 23222x x +=⋅1π1sin 2264x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ππ5π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则在ππ262x -=即π3x =取()h x 最小值，其最小值为111244-+=-.20．【解析】(1)选择条件①②： 由条件①及已知得2T ππω==，所以2ω=. 由条件②()00f =，即sin 0ϕ=，解得()k k ϕπ=∈Z .因为2πϕ<，所以0ϕ=， 所以()sin 2f x x =， 经检验0ϕ=符合题意. 选择条件①③： 由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω． 由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ， 解得π()k k ϕ=∈Z ，因为||2ϕπ<， 所以0ϕ=， 所以()f x sin2x =．若选择②③：由条件②()00f =，即sin 0ϕ=，解得()k k ϕπ=∈Z ， 因为2πϕ<，所以0ϕ=， 由条件③得()πππ42k k ω⨯=+∈Z ，∴2()4k k ω=+∈Z ，则()f x 的解析式不唯一，不合题意.(2)由题意得()sin 2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得()sin 2sin 2coscos 2sin 33g x x x x ππ=++ 33sin 223226x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤， 所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x 321．【解析】(1)因为()2sin()cos sin f x x A x A =-+，1(0)2f =- 所以12sin()cos0sin sin 2A A A -+=-=-，即1sin 2A =， 6A π=或56π， 由正弦定理可得sin sin a bA B=,又3,1a b ==，所以1sin 6B =，若6A π=则13135sin ,cos ,cos 26A A B B ====所以353sin sin()C A B +=+=135+3sin 2ABCSab C == 当56A π=则13135sin ,cos ,cos 26A A B B ====所以353sin sin()C A B -=+= 1353sin 2ABCSab C -==(2)()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x A x x x A x x A =-+--=-+--- sin cos()cos sin()sin(2)x x A x x A x A =-+-=-．因为()f x 在512x π=处取得最大值，所以522,Z 122A k k πππ⨯-=+∈， 即2,Z 3A k k ππ=-+∈．因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以3sin 213x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭， ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为31⎤⎛⎥ ⎥⎝⎦. 22．【解析】(1)由条件③，得2||ππω=又0>ω，所以2ω=． 由条件①，得||2A =，又0A >，所以2A =．由条件②，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又02πϕ<<，所以3πϕ=．所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．经验证，2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭符合题意．(2)函数sin y x =的单调递增区间为222,2()k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．由222()232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈．又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当4233x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值，min ()32π⎛⎫== ⎪⎝⎭f x f故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最小值为3-1．【答案】A【解析】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A 2．【答案】C【解析】解：依题意可得0>ω，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ． 3．【答案】C【解析】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=．对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错； 对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错．故选：C ． 4．【答案】D【解析】由题意，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98． 故选：D ． 5．【答案】C【解析】由题，22()sincos 223s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T2故选：C ． 6．【答案】A【解析】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件． 故选：A ． 7．【答案】AD【解析】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减； 对B ，当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z ， 从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ， 所以函数()y f x =在点3⎛ ⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-， 切线方程为：3(0)y x =--即3y x =-． 故选：AD ． 8．【答案】3【解析】解： 因为()()cos f x x ωϕ=+，（0>ω，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2π3cos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，因为0>ω，所以当0k =时min 3ω=； 故答案为：3 9．【答案】2【解析】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=； 由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <； 因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2．方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2． 故答案为：2．10．【解析】（1）由辅助角公式得()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 则22233322sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎪⎭⎦⎝⎣， 所以该函数的最小正周期22T ππ==； （2）由题意，()222sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sin 22cos x x x x x x ⎫=⋅+=⎪⎪⎝⎭1cos 2222222222sin 224x x x x x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值21。
2024届新高考数学复习：专项(三角函数的图象与性质)历年好题练习(附答案)
2024届新高考数学复习：专项（三角函数的图象与性质）历年好题练习[基础巩固]一、选择题1．如图，函数y ＝3 tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的部分图象与坐标轴分别交于点D ，E ，F ，则△DEF 的面积为( )A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2π2．函数y ＝2sin ⎝⎛π6x －π3 (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．0 B ．1C ．2－3D ．3 －23．已知函数f (x )＝2a cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 (a ≠0)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2 ，最小值为－2，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．－1或2D ．1或24．[2022ꞏ全国甲卷(文)，5]将函数f (x )＝sin (ωx ＋π3 )(ω>0)的图象向左平移π2 个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是( ) A. 16 B ．14C ．13 D ．125．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 在[－π，π]的图象大致如图，则f (x )的最小正周期为( )A ．10π9B ．7π6C ．4π3 D ．3π26．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷，6]记函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＋b (ω>0)的最小正周期为T .若2π3 <T <π，且y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2 中心对称，则f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝( ) A ．1 B ．32C ．52 D ．37．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (a ∈R )满足f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2 ，则函数g (x )＝(3 －1)sin x ＋f (x )的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝π4C ．x ＝－π3 D ．x ＝－2π38．已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6 对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于直线x ＝π3 对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫23π，0 对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0 对称D ．关于直线x ＝π6 对称9．[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 单调递增的区间是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，π2 B ．⎝⎛⎭⎫π2，π C ．⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫3π2，2π 二、填空题10．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．11．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)，若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4 对于任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.12．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知函数f (x )＝cos ωx －1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．[能力提升] 13．(多选)将函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2 (ω>0)的图象向右平移π2 个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g (0)＝－1，则下列说法正确的是( )A ．g (x )为奇函数B ．g ⎝⎛⎭⎫－π2 ＝0 C ．当ω＝5时，g (x )在(0，π)上有4个零点D ．若g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π5 上单调递增，则ω的最大值为5 14．[2023ꞏ全国甲卷(理)]函数y ＝f (x )的图象由函数y ＝cos (2x ＋π6 )的图象向左平移π6 个单位长度得到，则y ＝f (x )的图象与直线y ＝12 x －12 的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 15．[2022ꞏ全国乙卷(理)，15]记函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T ，若f (T )＝32 ，x ＝π9 为f (x )的零点，则ω的最小值为________．16．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)，如图，A ，B 是直线y ＝12 与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝π6，则f(π)＝________．参考答案1．A 在y ＝3 tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 中，令x ＝0，可得D (0，1)；令y ＝0，解得x ＝k π2 －π12 (k ∈Z )，故E ⎝⎛⎭⎫－π12，0 ，F ⎝⎛⎭⎫5π12，0 .所以△DEF 的面积为12 ×π2 ×1＝π4 .故选A. 2．C ∵0≤x ≤9，∴－π3 ≤π6 x －π3 ≤76 π，∴－3 ≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3 ≤2，∴函数的最大值与最小值之和为2－3 . 3．C ∵0≤x ≤π2 ，∴－π3 ≤2x －π3 ≤23 π.∴－12 ≤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ≤1，又f (x )的最小值为－2， 当a ＞0时，f (x )min ＝－a ＝－2，∴a ＝2. 当a ＜0时，f (x )min ＝2a ，∴a ＝－1.4．C (通解)将函数f (x )＝sin (ωx ＋π3 )的图象向左平移π2 个单位长度得到y ＝sin (ωx ＋π2ω＋π3 )的图象．由所得图象关于y 轴对称，得π2 ω＋π3 ＝k π＋π2 (k ∈Z )，所以ω＝2k ＋13 (k ∈Z ).因为ω>0，所以令k ＝0，得ω的最小值为13 .故选C.(快解)由曲线C 关于y 轴对称，可得函数f (x )＝sin (ωx ＋π3 )的图象关于直线x ＝π2 对称，所以f (π2 )＝sin (πω2 ＋π3 )＝±1，然后依次代入各选项验证，确定选C.5．C 方法一 设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可得T <π－⎝⎛⎭⎫－4π9 且T2 >⎝⎛⎭⎫－4π9 －(－π)，所以10π9 <T <13π9 ，又因为|ω|＝2πT ，所以1813 <|ω|<95 .由题图可知f ⎝⎛⎭⎫－4π9 ＝0，且－4π9 是函数f (x )的上升零点，所以－4πω9 ＋π6 ＝2k π－π2 (k ∈Z )，所以－49 ω＝2k －23 (k ∈Z )，所以|ω|＝32 |3k －1|(k ∈Z ).又因为1813 <|ω|<95 ，所以k ＝0，所以|ω|＝32 ，所以T ＝2π|ω| ＝2π32＝4π3 .故选C.方法二(五点法) 由函数f (x )的图象知，ω×⎝⎛⎭⎫－4π9 ＋π6＝－π2 ，解得ω＝32 ，所以函数f (x )的最小正周期为4π3 ，故选C.6．A 因为2π3 ＜T ＜π，所以2π3 ＜2π|ω| ＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y ＝f (x )的图象关于点(3π2 ，2)中心对称，所以b ＝2，3π2 ω＋π4 ＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－16 ＋23 k ，k ∈Z .令2＜－16 ＋23 k ＜3，解得134 ＜k ＜194 .又因为k ∈Z ，所以k ＝4，所以ω＝52 .所以f (x )＝sin (52 x ＋π4 )＋2，所以f (π2 )＝sin (5π4 ＋π4 )＋2＝1.故选A.7．D 由f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2 ，得sin 0＋a cos 0＝0＋a ＝1，解得a ＝1，所以f (x )＝sin x ＋cos x ，所以g (x )＝(3 －1)sin x ＋f (x )＝(3 －1)sin x ＋sin x ＋cos x ＝3 sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 .令x ＋π6 ＝k π＋π2 (k ∈Z )，得x ＝k π＋π3 (k ∈Z )，令k ＝－1，得函数g (x )的图象的一条对称轴是x ＝－2π3 .故选D.8．A ∵f (x )的图象关于直线x ＝π6 对称，∴f (0)＝f ⎝⎛π3 ，∴1＝32 a ＋12 ，解得a ＝33 ，∴g (x )＝sin x ＋33 cos x ＝233 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ，又g ⎝⎛⎭⎫π3 ＝233 sin π2 ＝233 取得最大值，故A 正确，通过逐个检验，可知B 、C 、D 均不正确．9．A 因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2 ()k ∈Z ， 对于函数f ()x ＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 ，由2k π－π2 <x －π6 <2k π＋π2 ()k ∈Z ， 解得2k π－π3 <x <2k π＋2π3 ()k ∈Z ，取k ＝0，可得函数f ()x 的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π3，2π3 ， 则⎝⎛⎭⎫0，π2 ⊆⎝⎛⎭⎫－π3，2π3 ，⎝⎛⎭⎫π2，π ⊄⎝⎛⎭⎫－π3，2π3 ，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取k ＝1，可得函数f ()x 的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫5π3，8π3 ，⎝⎛⎭⎫π，3π2 ⊄⎝⎛⎭⎫－π3，2π3 且⎝⎛⎭⎫π，3π2 ⊄⎝⎛⎭⎫5π3，8π3 ，⎝⎛⎭⎫3π2，2π ⊄⎝⎛⎭⎫5π3，8π3 ，CD 选项均不满足条件．故选A.10.5答案解析：∵f (x )＝22＋12 sin (x ＋φ)＝5 sin (x ＋φ)， ∴f (x )max ＝5 . 11.23答案解析：∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4 对任意的实数x 都成立，∴f ⎝⎛⎭⎫π4 ＝1，∴π4 ω－π6 ＝2k π，k ∈Z ，∴ω＝8k ＋23 (k ∈Z )，又ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23 .12．[2，3)答案解析：方法一 函数f (x )＝cos ωx －1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx ＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω>0，x ∈[0，2π]，所以ωx ∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π，解得2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3).方法二 函数f (x )＝cos ωx －1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx ＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象可知，cos x ＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx ＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y ＝cos ωx 在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即⎩⎨⎧2×2πω≤2π3×2πω>2π，又ω>0，所以2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3).13．BD 由题意得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2 ＝sin ωx ，则g (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π2 ，g (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2ω ＝－1，即sin π2 ω＝1，cos π2 ω＝0.对于A 项，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2ω ＝sin ωx cos π2 ω－cos ωx ꞏsin π2 ω＝－cos ωx ，又g (x )的定义域为R ，故g (x )为偶函数，A 错误．对于B 项，g ⎝⎛⎭⎫－π2 ＝－cos π2 ω＝0，B 正确．对于C 项，当ω＝5时，g (x )＝－cos 5x ，由5x ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，得x ＝π10 ＋k π5 ，k ∈Z ，因为x ∈(0，π)，所以x 可以取π10 ，3π10 ，π2 ，7π10 ，9π10 ，即当ω＝5时，g (x )在(0，π)上有5个零点，C 错误．对于D 项，由2k π≤ωx ≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k πω ≤x ≤2k πω ＋πω ，k ∈Z ，则函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤2k πω，2k πω＋πω (k ∈Z )上单调递增，因为g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π5 上单调递增，所以π5 ≤πω ，解得0<ω≤5，即ω的最大值为5，故D 正确．综上所述，正确的说法为BD.14．C 把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向左平移π6 个单位长度后得到函数f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝－sin 2x 的图象．作出函数f (x )的部分图象和直线y ＝12 x －12 如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.15．3答案解析：因为T ＝2π|ω| ，ω>0，所以ω＝2πT .由f (T )＝32 ，得cos (2π＋φ)＝32 ，即cos φ＝3.又因为0<φ<π，所以φ＝π6 .因为x ＝π9 为f (x )的零点，所以ωπ9 ＋π6 ＝k π＋π2 ，k ∈Z ，解得ω＝9k ＋3，k ∈Z .又因为ω>0，所以当k ＝0时ω取得最小值，ω的最小值为3.16．－3对比正弦函数y ＝sin x 的图象易知，点⎝⎛⎭⎫2π3，0 为“五点(画图)法”中的第五点，所以2π3 ω＋φ＝2π ①.由题知|AB |＝x B －x A ＝π6 ，⎩⎨⎧ωx A ＋φ＝π6ωx B ＋φ＝5π6，两式相减，得ω(x B －x A )＝4π6 ，即π6 ω＝4π6 ，解得ω＝4.代入①，得φ＝－2π3 ，所以f (π)＝sin ⎝⎛⎭⎫4π－2π3 ＝－sin 2π3 ＝－32 .。
(江苏版)高考数学一轮复习 专题4.4 三角函数图像与性质(讲)-江苏版高三全册数学试题
专题4.4 三角函数图像与性质【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 函数y ＝2sin 12x －3的最小正周期是________．【解析】最小正周期T ＝2π12＝4π.2． 函数y ＝A sin x ＋1(A >0)的最大值是5，则它的最小值是________．【解析】依题意得A ＋1＝5，所以A ＝4，所以函数y ＝4sin x ＋1的最小值为－4＋1＝－3. 3.判断函数y ＝2cos x 在[－π，0]上的单调性：____________．(填“增函数”或“减函数”) 【解析】由余弦函数的单调性，得函数y ＝2cos x 在[－π，0]上是增函数． 4.不等式2sin x >3的解集为______________________________． 【解析】不等式2sin x >3，即sin x >32，由函数y ＝sin x 的图像得所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z .题组二 常错题5．函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是___________________________．【解析】函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间即函数y ＝－cos x 的单调递减区间，也即函数y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．6．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________．【解析】设直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 的图像的交点为M (a ，y 1)，直线x ＝a 与函数g (x )＝cos x的图像的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4≤2，7．函数f (x )＝2sin x4对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．题组三 常考题8．定义在区间[0，2π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝sin x 的图像的交点个数是________． 【解析】由sin 2x ＝sin x 得sin x ＝0或cos x ＝12，因为x ∈[0，2π]，所以x ＝0，π3，π，5π3，2π，交点个数是5.9． 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5中，最小正周期为π的所有函数是________．(填序号)【解析】函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝sin x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻折至x 轴上方，即可得到y ＝|sin x |的图像，所以其最小正周期为π，②正确；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的最小正周期为π2，④不正确．【知识清单】1．正弦、余弦、正切函数的图像与性质 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《三角函数》复习练习题（含答案）一、单选题1．已知(0,)θπ∈且满足cos 2cos θθ=，则tan θ=A ．B ．CD 2．在△ABC 中，7,5a c ==，则sin :sin A C 的值是（ ）A ．75B ．57C ．712D ．5123．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 24．函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在下列区间内递减的是（ ） A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．22,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知a =116116tan tan +︒-，b =⎝⎭，c a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >> 6．函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为 A ．[32-，32] B ．[32-，3]C ．[D ．[，3] 7．将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，所得函数的解析式是（ ）A ．cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 2y x =-D ．sin 2y x = 8．函数tan y x =周期为（ ）A ．2πB ．2πC ．πD ．3π9．在ABC 中，60A =︒，43a =，42b =，则B 等于（ ）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．3010．函数()sin()f x A x b ωϕ=++的图象如下：则()f x 的解析式和(0)(1)(2)(2006)S f f f f =+++⋯+的值分别为A ．1()sin 122f x x π=+，2006S = B ．1()sin 122f x x π=+，120062S = C ．1()sin 122f x x π=+，120072S = D ．1()sin 122f x x π=+，2007S = 11．设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5x )．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12 12．如图所示，在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC BD =，若2BD =，则sin C 的值为（ ）A ．33B ．23C ．223D ．66二、填空题13．函数()()sin 0,0,y A x A ωϕωϕπ=+>><的图象如图所示，则该函数的解析式为y =______.14．在ABC ∆中，如果lg lg lgsin 2a c B -==-，且B 为锐角，则三角形的形状是__________．15．已知()2cos 3f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(1)(2)(2022)f f f +++的值为________.16．sin 73cos13sin167cos 73︒︒-︒︒=________.17．已知△ABC 中，3cot 4A =-，则cos A =______. 18．252525sin cos tan 634πππ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭______． 19．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为60︒，则扇形的面积为 2cm ．20．若sin 41cos 5γγ=+，则1cos 2sin γγ-=______.三、解答题21．求下列各式的值（1）2log 342233log 9log 2log 3log 432-++⋅； （2）()()()sin 1071sin99sin 171sin 261-︒︒+-︒-︒．22．已知一扇形的面积S 为定值，求当扇形的圆心角为多大时，它的周长最小？最小值是多少？23．在ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，()cos sin cos cos A A a C c A =+； （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 14b c +的最小值．24．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2a =，b =2B A =. （1）求sin A ；（2）求△ABC 的面积.25．（1）已知tan()22βα-=，tan()32αβ-=-，求)tan(βα+的值； （2）化简：21tan 9sin (12sin 99)︒︒-︒-．26．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且有2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ；（2）若3c =，求ABC ∆面积的最大值.27．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （1）求()f x 的最大值及此时的x 的集合；（2）求()f x 的单调增区间；（3）若1()2f α=，求sin(4)6πα-. 28．已知矩形纸片ABCD 中，AB=6，AD=12，将矩形纸片右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕的两端点M 、N 分别位于边AB ，BC 上，此时的点B 记为点P ，设MNB θ∠=，MN y =.(1)当15MNB ∠=时，判断N 的位置；(2)试将y 表示成θ的函数并求y 的最小值。
高考理科第一轮复习练习(3.3三角函数的图像与性质)
课时提升作业(二十二)一、选择题1.函数f(x)=1-2sin2x是( )(A)最小正周期为2π的奇函数(B)最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数(D)最小正周期为π的偶函数2.·等于( )(A)-sinα(B)-cosα(C)sinα(D)cosα3.(2013·黄山模拟)已知:tan(α+)=,则等于( )(A)3 (B)-3 (C)2 (D)-24.已知函数f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为π,则函数的一条对称轴可能是( )(A)x=(B)x=(C)x=(D)x=5.若函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m在[0,]上有零点,则实数m的取值范围为( )(A)[-1,] (B)[-1,1](C)[1,] (D)[-,-1]6.(2013·西安模拟)若cosα=-,α是第三象限的角,则等于( )(A)-(B)(C)2 (D)-2二、填空题7.(能力挑战题)已知tan2θ=-2,π<2θ<2π,化简= .8.(2013·上饶模拟)已知函数f(x)=sinx+acosx的图像的一条对称轴是x=,则函数g(x)=asinx+cosx的最大值是.9.函数y=的递增区间为.三、解答题10.(2013·吉安模拟)已知函数f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+(ω∈R,x∈R)的最小正周期为π,且其图像关于直线x=对称.(1)求f(x)的解析式并求出f(x)的递增区间.(2)若函数y=1-f(x)的图像与直线y=a在[0,]上只有一个交点,求实数a的取值范围.11.(2013·合肥模拟)已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(-sinθ,cosθ),θ∈(π,2π),且|m+n|=,求cos(+)的值.12.(能力挑战题)已知函数f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图像关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.答案解析1.【解析】选D.∵f(x)=1-2sin2x=cos2x,∴T===π.∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.2.【解析】选D.原式=·=·=cosα.3.【解析】选A.tan(α+)==,解得tanα=-.====3.4.【解析】选D.∵f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)=sin(2ωx-).又最小正周期为π,故=π得ω=1.∴f(x)=sin(2x-).故当x=时,2〓-=-=,此时f(x)取得最大值,故一条对称轴为x=.5.【思路点拨】求出函数y=(sinx+cosx)2-2cos2x在[0,]上的值域,即为m的范围.【解析】选A.f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x-m=1+sin 2x-2cos2x-m=1+sin 2x-1-cos 2x-m=sin(2x-)-m.∵0≤x≤,∴0≤2x≤π,∴-≤2x-≤,∴-1≤sin(2x-)≤,故当-1≤m≤时,f(x)在[0,]上有零点.6.【解析】选A.=====,∵cosα=-,α为第三象限角,∴sinα=-=-,∴原式==-.7.【解析】原式==.∵2θ∈(π,2π),∴θ∈(,π).而tan2θ==-2.∴tan2θ-tanθ-=0,即(tanθ+1)(tanθ-)=0.故tanθ=-或tanθ=(舍去).∴==3+2.答案:3+28.【解析】由y=f(x)的图像的一条对称轴为x=得f(0)=f(π),即sin 0+acos 0=sin+acos,即a=--a,解得a=-,则g(x)=-sinx+cosx=(cosx-sinx)=cos(x+),故g(x)的最大值为.答案:【方法技巧】三角恒等变换的特点(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.9.【思路点拨】利用倍角公式展开约分后化为正切再求解.【解析】y=====tan(+).由kπ-<+<+kπ,k∈Z,知2kπ-<x<2kπ+,k∈Z.答案:(2kπ-,2kπ+),k∈Z10.【解析】(1)∵f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+=sin 2ωx-(1+cos 2ωx)+=sin 2ωx-cos 2ωx+1=sin(2ωx-)+1由f(x)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=〒1.①当ω=1时,f(x)=sin(2x-)+1,∵f()=sin+1=不是最大值也不是最小值,其图像不关于x=对称,舍去;②当ω=-1时,f(x)=-sin(2x+)+1,∵f()=-sin+1=0是最小值,其图像关于x=对称,故f(x)=-sin(2x+)+1为所要求的解析式. 由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴递增区间是[kπ+,kπ+],k∈Z.(2)由(1)知y=1-f(x)=sin(2x+),在同一坐标系内作出y=sin(2x+)和y=a的图像,由图可知,直线y=a在a∈[-,)或a=1时,两曲线只有一个交点,∴a∈[-,)或a=1.11.【思路点拨】先根据条件求出cos(θ+),然后用倍角公式求解.【解析】∵|m+n|=,∴|m+n|2=m2+n2+2m·n=,即(cos2θ+sin2θ)+[(-sinθ)2+cos2θ]+2[cosθ(-sinθ)+sinθcosθ]=128 25,整理得(cosθ-sinθ)=,∴cos(θ+)=,∴2cos2(+)-1=,∴cos2(+)=,∵π<θ<2π,∴<+<,∴cos(+)=-.12.【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ),∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z.又∵0≤φ≤π,∴φ=.∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.又f(x)关于(,0)对称,故ω=kπ+,k∈Z.即ω=+,k∈Z.又ω>0,故k=0,1,2,…当k=0时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上是减少的.当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是减少的.当k=2时,ω=,f(x)=cos x在[0,]上不是单调函数, 当k>2时,同理可得f(x)在[0,]上不是单调函数,综上,ω=或ω=2.。
高三第一轮复习12----三角函数的的图像与性质训练题
三角函数的的图像与性质训练一、选择题：1．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ） A ．0 B ．4π C.2πD.π 2．函数22()lg(sin cos )f x x x =-的定义城是（ ） A.322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ B.522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ C.,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ D.3,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭3．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．方程1sin 4x x π=的解的个数是（ ）A.5 B.6 C.7 D.8 5．如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T ,且当2x =时取得最大值,那么（ ）A.2,2T πθ==B.1,T θπ==C.2,T θπ==D.1,2T πθ==6．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+对任意x 都有()(),66f x f x ππ+=-则()6f π等于（ ） A. 2或0 B. 2-或2 C. 0 D. 2-或07．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于（ ） A. 1C. 0D.8．已知1A ，2A ，…n A 为凸多边形的内角，且0sin lg .....sin lg sin lg 21=+++n A A A ，则这个多边形是（ ）A ．正六边形B ．梯形C ．矩形D ．含锐角菱形9．函数2cos 3cos 2++=x x y 的最小值为（ ）A ．2 B ．0 C ．1 D ．6 10．函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象关于（ ）A ．点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．直线x π=4对称 C ．点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称 D ．直线x π=3对称 11．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ） A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数 C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数12．函数22cos y x =的一个单调增区间是（ ） Ａ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，13．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 14．曲线sin (0,0)y A x a A ωω=+>>在区间2[0,]πω上截直线2y =及1y =-所得的弦长相等且不为0，则下列对,A a 的描述正确的是（ ） A.13,22a A => B.13,22a A =≤ C.1,1a A =≥ D.1,1a A =≤ 15．使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45C ．πD ．π2316．已知ABC ∆是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+则（ ） A.P Q < B.P Q > C.P Q = D.P 与Q 的大小不能确定 二、填空题： 17．函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为____ ____.18．函数)sin(cos lg x y =的定义域为_____________________。
2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题三角函数的图像和性质2含解析
三角函数的图像和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.函数y＝lgcos x的定义域为( )A. (2k π，＋2kπ)(k∈Z)B. (－＋2k π，＋2kπ)(k∈Z)C. (k π，＋kπ)(k∈Z)D. (－＋k π，＋kπ)(k∈Z)2.将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上的全部点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最终得到函数的图象，则（）A. B. C. D.3.将函数的图象上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）A. B.C. D.4.函数y＝cos－2x的单调递增区间是()A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z)5.函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.6.函数在定义域内零点的个数为A. 3B. 4C. 6D. 77.下列函数中最小值为8的是（）A. B. C . D.18.函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象的一条对称轴是直线，则ω的最小值为．9.函数的单调减区间为（）A. B.C. D.10.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较与的大小．1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】9.【答案】A10.【答案】解：（1），∴函数的最小正周期为．令，得，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为，（2），．，且在上单调递增，，即．3。
2021高考一轮复习 第十六讲 三角函数的图象与性质
2021高考一轮复习 第十六讲 三角函数的图象与性质一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 π6 个单位得到 g(x) ，下列关于 g(x) 的说法正确的是（ ）A ．x =π12 是对称轴 B ．在 [0,π2] 上单调递增 C ．在 [0,π3] 上最大值为1D ．在 [−π3,0] 上最小值为 −12．（2分）已知函数 f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0) 的图象关于直线 x =π8 对称，则 ω 的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．833．（2分）已知函数 y =sin(ωx +π3)(ω>0) 在区间 (−π6,π3) 上单调递增，则 ω 的取值范围是（ ） A ．(0,12]B ．[12,1]C ．(13,23]D ．[23,2]4．（2分）已知函数 f(x)=cos x 2−√3sin x2 的图象为C ，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（ ）A ．向左平移 π3 个单位 B ．向左平移 2π3 个单位C ．向右平移 π3 个单位D ．向右平移 2π3个单位5．（2分）函数 f(x)=2sin(wx +φ)(w >0,x ∈R) 的部分图象如图所示，则该函数图象的一个对称中心是（ ）A ．(π3,0)B ．(−2π3,0)C ．(−4π3,0)D ．(4π3,0)6．（2分）下列函数中，周期为1的奇函数是( )A ．y=1-2sin 2πxB ．y=sin (2πx +π3)C ．y=tan π2 xD ．y=sinπxcosπx7．（2分）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）A ．y =sin2xB ．y =cos x2C ．sin2x +cos2xD ．y =1−tan 2x 1+tan 2x8．（2分）已知函数 f(x)=√3sin(2x +φ)+cos(2x +φ) 为R 上的奇函数，且在 [π4,π2] 上单调递增，则 φ 的值可能是（ ） A ．−2π3B ．−π6C ．π3D ．5π69．（2分）函数 y =sin(2x +π4) 的最小正周期是（ ）A ．πB ．2πC ．π2D ．π410．（2分）函数 f(x)=cosx(1+√3tanx) 的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．12π11．（2分）函数 y =cos 2x +sinx −1 的值域为（ ）A ．(−∞,14]B ．[0,14]C ．[−2,14]D ．[−2,0]12．（2分）把函数 y =sin(x +π6) 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移 π3 个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(π3,0)B ．(π4,0)C ．(π12,0)D ．(0,0)二、多选题(共2题；共6分)13．（3分）函数f （x ）＝cos （2x +π6 ）的图象的一条对称轴方程为（ ）A ．x =π6B ．x= 5π12C ．x =11π12D ．x= −2π314．（3分）将函数 f(x)=√3cos(2x +π3)−1 的图象向左平移 π3 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数 g(x) 的图象，则下列关于函数 g(x) 的说法正确的是（ ）A ．最大值为 √3 ，图象关于直线 x =π12 对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为 πD ．图象关于点 (π4,0) 对称三、填空题(共3题；共4分)15．（1分）若函数 f(x)=2sin(2x +φ)(0<φ<π2) 的图象过点 (0,√3) ，则函数 f(x) 在 [0,π] 上的单调减区间是 ．16．（2分）函数 f(x)=2sin(2x −π6)−m ，若 f(x)≤0 在 x ∈[0,π2] 上恒成立，则m 的取值范围是 ;若 f(x) 在 x ∈[0,π2] 上有两个不同的解，则m 的取值范围是 . 17．（1分）不等式 sin 2x −cos 2x ≥0 的解集为 ．四、解答题(共3题；共35分)18．（10分）已知函数 f(x)=sinx −2√3cos 2x 2+√3（1）（5分）求 f(π) 的值；（2）（5分）求函数 y =|f(x)| 的单调递增区间.19．（10分）已知函数 f(x)=2√3cos 2x +sin(π−2x) ．（1）（5分）求函数 f(x) 的最小正周期．（2）（5分）求函数 f(x) 在 [0，π2] 上的单调区间．20．（15分）已知函数 f(x)=sinxcosx +√32(cos 2x −sin 2x) .（1）（5分）求 f(π6) 的值；（2）（5分）求 f(x) 的单调递增区间； （3）（5分）求 f(x) 的最大值.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位,得到g(x)=sin(2x−π3)的图象,对于A,当x=π12时, g(π12)=sin(−π6)=−12,A选项错误;对于B,当x∈[0,π2]时, 2x−π3∈[−π3,2π3],则g(x)=sin(2x−π3)在区间[0,π2]上不单调,B选项错误;对于C,当x∈[0,π3], 2x−π3∈[−π3,π3],则g(x)在区间[0,π3]上的最大值为g(π3)=sinπ3=√32,C选项错误;对于D, 当x∈[−π3,0], 2x−π3∈[−π,−π3],则g(x)在区间[−π3,0]上的最小值为g(−π12)=sin(−π2)=−1,D选项正确;故答案为：D.【分析】先根据平移变换法则求出g(x),再利用余弦函数的性质判断选项的正误. 2．【答案】C【解析】【解答】∵f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3 )，由于该函数的图象关于直线x=π8对称，则π8ω+π3=π2+kπ (k∈Z)，得ω=43+8k (k∈Z)，∵ω>0，当k=0时，ω取得最小值43.故答案为：C.【分析】利用辅助角公式将函数y=f(x)的解析式化简为f(x)=2sin(ωx+π3)，根据题意得出π8ω+π3=π2+kπ (k∈Z)，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.3．【答案】A【解析】【解答】函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(−π6,π3)上单调递增，当−π6<x<π3时，−πω6+π3<ωx+π3<πω3+π3，∵当x=0时，ωx+π3=π3，由于函数 y =sin(ωx +π3) (ω>0) 在区间 (−π6,π3) 上单调递增， 所以， {−πω6+π3≥−π2πω3+π3≤π2，解得 ω≤12，∵ω>0 ，所以， 0<ω≤12 ，因此， ω 的取值范围是 (0,12] .故答案为：A ．【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间 (−π6,π3) 上单调递增，建立不等式关系，即可求解． 4．【答案】A【解析】【解答】由 f(x)=cos x 2−√3sin x 2=2cos(x 2+π3)⇒f(x +φ)=2cos(x 2+φ2+π3) 为奇函数，得 φ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ∴φ=π3+2kπ 当 k =0 时， φ=π3 .故为得到关于原点对称的图像，只要把 C 向左平移 π3 个单位即可.故答案为：A【分析】利用辅助角公式化简 f(x) ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.5．【答案】C【解析】【解答】由题得 T =(1112π−512π)×2=π=2πw ,∴w =2，∴f(x)=2sin(2x +φ).由于曲线经过点 (512π,2) ，所以 2=2sin(2×5π12+φ),∴1=sin(5π6+φ),∴φ=−π3.∴f(x)=2sin(2x −π3)，令 2x −π3=kπ,∴x =kπ2+π6,k ∈z ，当k=-3时， x =−43π ， 所以函数图象的一个对称中心是 (−4π3,0) ， 故答案为：C.【分析】利用三角型函数的部分图象结合最小正周期公式和特殊值代入法，再利用正弦函数的五点对应法，从而求出三角型函数的解析式，再利用换元法转化为正弦函数，从而利用正弦函数图象，进而求出三角型函数的一个对称中心的坐标。
2020年高考数学一轮复习专题19三角函数的图像与性质(含解析)
专题19 三角函数的图像与性质一、【知识精讲】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 二、【典例精练】考点一 三角函数的定义域、值域(最值) 【例1】 (1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________.(2(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4B.5C.6D.7【答案】(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)B【解析】 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π （k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π （k ∈Z ）， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时，函数f (x )的最大值为5.【解法小结】 1.求三角函数的定义域其实质是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点二 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调性【例2－1】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ).(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间. 【解析】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝(32)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ， 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期是π. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z ).所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ).角度2 已知单调性求参数【例2－2】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【解法小结】 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.。
专题4.3三角函数的图象与性质(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 三角函数的图象与性质一、题型全归纳题型一 三角函数的定义域【题型要点】三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域． (2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．【例1】(2020·昆山一中模拟)1．函数y ＝lg(3tan x －3)的定义域为 ．【答案】：Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,2,6ππππ【解析】：要使函数y ＝lg(3tan x －3)有意义，则3tan x －3>0，即tan x >33.所以π6＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z . 【例2】函数y ＝cos x －12的定义域为 ．【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ【解析】 要使函数有意义，则cos x －12≥0，即cos x ≥12，解得－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ. 题型二 三角函数的单调性命题角度一 确定三角函数的单调性(单调区间)【题型要点】求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．【易错提醒】要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【例1】(2020·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是( ) A.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,342,322ππππ B.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,344,324ππππ D.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,344,324ππππ 【解析】：由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ，故选B. 【例2】．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |【解析】A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递增，故A正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.命题角度二 利用三角函数的单调性比较大小利用单调性比较大小的方法：首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．【例3】已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx ，设a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ＝2sin 10π21，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＝2，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递增，且π3<10π21<π2，所以c <a <b .命题角度三 已知三角函数的单调区间求参数【题型要点】已知函数单调性求参数——明确一个不同，掌握两种方法(1)明确一个不同：“函数f (x )在区间M 上单调”与“函数f (x )的单调区间为N ”两者的含义不同，显然M 是N 的子集．(2)抓住两种方法．已知函数在区间M 上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解．【例4】(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B.16 C.14D ．13【解析】 法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，所以⎩⎨⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎨⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.命题角度四 利用三角函数的单调性求值域(最值)【题型要点】1.三角函数值域的求法 (1)利用y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的形式求值域． (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域． 2.换元法求三角函数的值域(最值)的策略(1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【例5】 (2019·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx －3cos x 的最小值为 ． 【解析】 f (x )＝sin(2x ＋3π2)－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝1－2cos 2x －3cos x ＝－2243cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋178，因为cosx ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－4.【例6】(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+10πx －2在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，则实数a 的最大值是 ．【解析】：法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡5752ππ，上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.题型三 三角函数的周期性与奇偶性【题型要点】(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．【例1】(2020·湖北宜昌联考)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，则( ) A ．ω＝2，θ＝π2 B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4【答案】因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，所以函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最小正周期是π. 由2πω＝π得ω＝2.因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，所以θ＝π2＋k π，k ∈Z . 又0＜θ＜π，所以θ＝π2，故选A.【例2】(2020·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4πϕωx ⎪⎭⎫⎝⎛<>2,0πϕω的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增 B ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递减 C ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递减 D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递增 【解析】：.f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+4πϕωx ，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+42πϕx .f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝－cos 2x ，所以f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛02-，π上单调递减，故选A. 题型四 三角函数的对称性【题型要点】对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解． (2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝（2k ＋1）π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【例1】(2020·北京西城区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛13，π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛012，π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0125，π D ．⎪⎭⎫⎝⎛012-，π 【解析】 由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，可得f (x )＝A sin(2x ＋φ)，再由函数图象关于直线x ＝π3对称，故⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ32＝±A ，故可取φ＝－π6. 故函数f (x )＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx ，令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0122，ππk ，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛012，π. 【例2】已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心D ．f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，上单调递减【解析】：f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12·|sin 2x |，则⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf ＝12|sin π|＝0，则f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；函数周期T ＝12×2π2＝π2，故B 正确；f (π)＝12|sin 2π|＝0，则(π，0)是f (x )的一个对称中心，故C 正确；当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，时，2x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，2，此时sin 2x ＞0，且sin 2x 为减函数，故D 正确．题型五 三角函数的图象与性质的综合问题【题型要点】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【例1】 已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx . (1)求函数的最大值及相应的x 值的集合；(2)求函数f (x )的图象的对称轴方程与对称中心．【解析】：(1)当sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx ＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2；故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,83ππ(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .即函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .由2x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0,28ππk k ∈Z . 【例2】已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -23π－3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值． 【解析】 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋3＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ≤1，即0≤sin(2x －π3)＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.二、高效训练突破 一、选择题1．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， B.⎥⎦⎤⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ， D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223， 【解析】：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数y 的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ，.故选C.法二：当x ＝π时，函数有意义，排除A ，D ；当x ＝5π4时，函数有意义，排除B.故选C.2．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0B ．3C ．－1D ．－2【解析】：因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1. 所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.3．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx ，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )的最大值为12D ．f (x )的最小值为－12【解析】：.f (x )＝1＋cos 2x 2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32＝12＋12cos 2x ＋12－12⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋1＝12sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1，则f (x )的最小正周期为π，最小值为－12＋1＝12，最大值为12＋1＝32. 4．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π8D ．π【解析】：由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛4-2πx ，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡838-ππ，上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0＜m ≤3π8，即m 的最大值为3π8，故选C.5.若⎪⎭⎫⎝⎛08，π是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8【解析】：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx ，由题意，知⎪⎭⎫ ⎝⎛8πf ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48πωπ＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 6．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π【解析】：函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错；在区间(0，π3)上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于(π6，0)中心对称，故选C.7.(2020·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，则ω的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4【解析】：法一：因为x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，，所以ωx ＋π4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+484πωππ，，因为f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.法二：将选项逐个代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛80π，上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C.8．已知函数f (x )＝(x －a )k ，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( ) A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cos B ) B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B ) C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B ) D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )【解析】：A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，因为A ＋B ＞π2，所以π2＞A ＞π2－B ＞0，所以sin A ＞sin⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝cos B ，cos A ＜cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝sin B ，且sin A ，sin B ，cos A ，cos B ∈(0，1)．当k ＝1，a ＝2时，函数f (x )＝x －2单调递增，所以f (sin A )＞f (cos B )，f (cos A )＜f (sin B )，故A ，B 错误； 当k ＝2，a ＝1时，函数f (x )＝(x －1)2在(0，1)上单调递减，所以f (sin A )＜f (cos B )，f (cos A )＞f (sin B )，故C 错误，D 正确．9.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx . 由f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2，所以ω＝2ππ2＝4.10．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,10πϕω的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3212ππ，上是减函数 B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0 C ．f (x )≥1的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32,2πππk k ，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛03-，π 【解析】：由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx .因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx .令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πf ＝0，所以⎪⎭⎫⎝⎛03-，π是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.二、填空题1．比较大小：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 【解析】：因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡02-，π上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π＞sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 2．已知函数f (x )＝4sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是 ． 【解析】：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡127--ππ，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡012-，π 3．设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6-πωx (ω>0)．若f (x )≤⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 【解析】：由于对任意的实数都有f (x )≤⎪⎭⎫⎝⎛4πf 成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故⎪⎭⎫⎝⎛4πf ＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝23. 4．若函数y ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx (ω∈N *)图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛06，π，则ω的最小值为 ． 【解析】：由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )∈ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2.5．(2020·无锡期末)在函数∈y ＝cos|2x |；∈y ＝|cos 2x |；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ；∈y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．【解析】：∈y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；∈y ＝cos 2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos 2x |的最小正周期为π2；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx 的最小正周期T ＝2π2＝π；∈y ＝tan 2x 的最小正周期T ＝π2.因此∈∈的最小正周期为π.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．【解析】：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.三 解答题1.已知函数f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡44-ππ，时，f (x )≥－12. 【解析】：(1)f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，所以T ＝2π2＝π. (2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡26-ππ，上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡652ππ，上单调递减，且sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＜sin 5π6， 所以f (x )≥sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＝－12，得证． 2．已知f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．【解析】：(1)f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1. (3)由f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋2＝1，可得sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.3.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<320πϕ的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛236，π，求f (x )的单调递增区间．【解析】：由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0， 已知上式对∈x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ＝32，所以sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπ62＝32，即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．4.已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -2πsin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【解】：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx . 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛22-65x π＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ，又f (x 2)＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。
高考数学一轮复习全套课时作业4-4三角函数的图像和性质
题组层级快练4.4三角函数的图像和性质一、单项选择题1．函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为()A.π2B.2π3C ．πD ．2π2．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是()A ．{xx ≠π4}B ．{xx ≠－π4}C ．{xx ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{xx ≠k π＋3π4，k ∈Z }3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是()A ．y ＝sin|x|B ．y ＝cos2xC ．y ＝D ．y ＝x 34．(2018·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan 2x 的最小正周期为()A.π4B.π2C ．πD ．2π5．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是()A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝06．函数f(x)＝sin 在区间0，π2上的最小值为()A ．－1B ．－22C.22D ．07．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]8．(2021·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π39．(2020·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是()A ．(1，3)B ．[0，2]C ．[1，2)D ．[1，3]二、多项选择题10．(2017·课标全国Ⅲ，改编)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论正确的是()A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减11．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，g(x)＝22sinx ·cosx ，则下列结论中正确的是()A －π4，B ．两函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称C －π4，D ．两函数的最大值相同三、填空题与解答题12．函数y ＝cos ________．13．(2020·保定市一模)设函数f(x)＝2sinxsin(x ＋π3＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝________．14．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．15．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x(x ∈R )，则f(x)的最小正周期为________；当x ∈0，π4时，f(x)的最小值为________．16．已知函数f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)>22，求x 的取值集合．17．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos(2x －π3)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．(2021·衡水中学调研)已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是()A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]19．(2018·北京，理)设函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．4.4三角函数的图像和性质参考答案1．答案C 2．答案D解析y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.3．答案C 4．答案C解析f(x)＝tanx 1＋tan 2x ＝sinx cosx 1＋sin 2x cos 2x＝sinxcosx cos 2x ＋sin 2x＝sinxcosx ＝12sin2x ，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.5．答案D解析若f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，则有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝∓ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.6．答案B 7．答案C解析由f(x)＝12(1－cos2x)＋12sin2x ＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调递增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得函数f(x)的一个单调递增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.8．答案C解析根据题意，f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝＋φ若f(x)为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ，对于A ，当φ＝π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是减函数，不符合题意，对于C ，当φ＝4π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是增函数，符合题意．故选C.9．答案C解析因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈(π2，7π6]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2)，因此要有两个不相等实根，即m 与函数f(x)＝2sin 在π6，7π6上有两个交点，结合图象可知，m 的取值范围是[1，2)．故选C.10．答案ABC解析由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数，得f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确．11．答案CD解析f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sing(x)＝2sin2x ，因为＝2sin －π4＋＝2sin0＝0，所以f(x)－π4，因为＝2sin 2＝2sin ＝－2≠0，所以g(x)－π4，A 错误．由于f(x)－π4，g(x)关于x ＝－π4成轴对称，故B 错误．若－π4<x<π4，则0<x ＋π4<π2，此时函数f(x)为增函数，若－π4<x<π4，则－π2<2x<π2，此时函数g(x)为增函数，－π4，C 正确．两函数的最大值相同，都为2，故D 正确．12．答案k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )13．答案π6解析因为f(x)＝2sinxsin ＋π3＋y ＝sinx 也是奇函数，所以函数y ＝sin ＋π3＋函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6.14．答案2π3解析f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．15．答案π216．答案(1)π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z|－π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈解析(1)f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx －32＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＝因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f(x)>22，即>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋kπ<x<5π24＋k π，k ∈Z ，则x －π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈17．答案(1)π(2)证明见解析解析(1)f(x)＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．答案C解析方法一：由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.方法二(特值法)：取ω＝－1，则y ＝sin(－x)＝－sinx ，不合题意，故A 、B 不对．取ω＝2，则y ＝sin2x ，不合题意，故D 不对，所以选C.19．答案23解析由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，即πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.。
2022届高考一轮复习第4章三角函数解三角形第4节三角函数的图象与性质课时跟踪检测理含解
第四章 三角函数、解三角形第四节 三角函数的图象与性质A 级·基础过关 |固根基|1.函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x≠kπ＋3π4，k∈Z解析：选D y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由x －π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋3π4，k∈Z.故选D ．2．(2019届重庆南开中学月考)函数f(x)＝(1＋3tan x )·cos x 的最小正周期为( ) A ．2π B ．3π2C ．πD ．π2解析：选 A ∵f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x cos x ·cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴T＝2π.故选A ．3．函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin 2x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选 D ∵f(x)＝(1＋cos 2x)sin 2x ＝2cos 2xsin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos 4x 4，∴T＝2π4＝π2且为偶函数．故选D ．4．(2019届江西六校联考)下列函数中，最小正周期是π且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是增函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin xC ．y ＝tan x2D ．y ＝cos 2x解析：选D y ＝sin 2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性是先减后增；y ＝sin x 的最小正周期是T ＝2πω＝2π；y ＝tan x 2的最小正周期是T ＝πω＝2π；y ＝cos 2x 满足条件，故选D ．5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x∈[0，π])的增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π解析：选C ∵y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π3＋kπ≤x ≤5π6＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z，∴当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.故选C ．6．若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( ) A ．－π6B ．π6C ．－π3D ．π3解析：选D 因为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，且f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，所以θ－π3＝kπ(k∈Z)，即θ＝π3＋kπ(k∈Z)．又|θ|<π2，所以θ＝π3.7．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x|在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )A B C D解析：选D y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，结合选项图形知，D 正确．8．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D f(x)＝sin (ωx＋φ)＋cos (ωx＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f(x)为奇函数，所以φ＝3π4，即f(x)＝－2sin ωx.又直线y ＝2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f(x)的最小正周期为π2.由2πω＝π2，可得ω＝4，故f(x)＝－2sin 4x.由2kπ＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k∈Z，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k∈Z.令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D ． 9．(2019年北京卷)函数f(x)＝sin 22x 的最小正周期是________． 解析：∵f(x)＝sin 22x ＝1－cos 4x 2，∴f(x)的最小正周期T ＝2π4＝π2.答案：π210．已知函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g(x)＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f(x)的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 11．(2018年北京卷)已知函数f(x)＝sin 2x ＋3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． 解：(1)因为f(x)＝sin 2x ＋3sin xcos x＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 由题意知，－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m≥π3.所以m 的最小值为π3.12．(2019届福州调研)已知函数f(x)＝a2cos 2x2＋sin x ＋b.(1)若a ＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a ，b 的值． 解：f(x)＝a(1＋cos x ＋sin x)＋b ＝2asinx ＋π4＋a ＋b.(1)当a ＝－1时，f(x)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2kπ＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k∈Z)，得2kπ＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a≠0. ①当a>0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a<0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.B 级·素养提升 |练能力|13.(2019届河南部分示范性高中联考)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<ω<6，|φ|<π2的图象经过点π6，2和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，则函数f(x)的图象的对称轴可以是( )A ．x ＝－11π6B ．x ＝－3π5C ．x ＝π4D ．x ＝π3解析：选A 由题意得，2π3－π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋12T ，k 1∈N ，得T ＝π2k 1＋1(k 1∈N)，故ω＝2πT ＝4k 1＋2(k 1∈N)．因为0<ω<6，k 1∈N ，所以ω＝2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，∴π3＋φ＝2k 2π＋π2(k 2∈Z)．因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2x ＋π6＝π2＋kπ(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k∈Z)，取k ＝－4，得x ＝－11π6.故选A ．14．(2019届湖南长沙一中模拟)若函数f(x)＝sin ωx－cos ωx (ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，则ω的取值不可能为( )A ．14B ．15C ．12D ．34解析：选D f(x)＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ωx －π4(ω>0)，令－π2＋2kπ≤ωx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω，k∈Z.∵f(x)＝sin ωx －cos ωx (ω>0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴令－π4ω≤－π2且3π4ω≥π2，得0<ω≤12，结合选项知选D ．15．(2019届河北、河南重点中学联考)若对于任意x∈R，都有f(x)＋2f(－x)＝3cos x －sin x ，则函数f(2x)图象的对称中心为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k∈Z)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k∈Z)C ．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k∈Z)D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k∈Z)解析：选D 因为f(x)＋2f(－x)＝3cos x －sin x ，x∈R，① 所以f(－x)＋2f(x)＝3cos x ＋sin x ．②联立①②解得f(x)＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f(2x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝kπ(k∈Z)，得x ＝k π2－π8(k∈Z)，所以f(2x)图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k∈Z)．16．(2019届湖南长沙高三模拟)已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点，设∠BPC＝θ，若tan θ2＝34，则f(x)图象的对称中心可以是( )A ．(0，0)B ．(1，0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 解析：选D 由已知作出图形，连接BC ，过P 作BC 的垂线， 如图所示．由题意知，A ＝2.又∠BPC＝θ，所以tan θ2＝12|BC|2＋|－2|＝34，解得|BC|＝6，所以T ＝6＝2π|ω|.又∵ω>0，∴解得ω＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ.将点P(1，2)的坐标代入函数解析式，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，解得φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．令k ＝0，得φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.令π3x ＋π6＝mπ(m∈Z)，解得x ＝3m －12(m∈Z)．令m ＝1，得x ＝52，即f(x)图象的对称中心可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.故选D ．。
高考数学解答题(新高考)三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍()()sin f x A x k ωϕ=+=实根问题，换元法令t x ωϕ=+将函数()f x 化简为sin y A t =，在利用正弦函数sin t 的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型例题例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.第（2）问思路点拨：本小题要求时，方程有两个根，求的取值范围,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，作出函数的图象，根据图象讨论的的个数.图象可知：与的图象在内有两个不同的交点时，，故实数的取值范围为.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()1,2(1)显然2A =，又1121212T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以()Z 6k k πϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，即()y f x =与y m =的图像在02x π<<内有两个不同的交点，令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像如下：由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点时，12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.例题2．（2022·山东德州·高一期中）已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()1cos ,cos sin 2b x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()01ω<≤，函数()1f x a b =⋅+，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]0,x π∈时，讨论方程()0f x m -=的根的情况．【答案】(1)()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)答案见解析(1)已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()()1cos ,cos sin 012b x x x ωωωω⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，第（2）问思路点拨：本小题要求时，讨论方程的根的情况,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，则讨论方程的根的情况，转化为的根的情况.作出的图象.1．当或，即或时，有0个根； 2．当或，即或时，有1个根；3．当或，即或时，有2个根；4．当，即时，有3个根由图象可知则()12cos 21sin 2126f x x x x πωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭， 由于直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．所以26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭或0，所以2662k πππωπ⋅⋅+=+，()k ∈Z ，所以31k ω=+． 由于01ω<≤，所以，当0k =时，1ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)由题意得sin 216x m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 令26u x π=+，13,66u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则sin 1u m =-，如图．1．当11m ->或11m -<-，即0m <或2m >时，()f x 有0个根； 2．当11m -=或11m -=-，即0m =或2m =时，()f x 有1个根； 3．当1112m <-<或1112m -<-<，即322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；4．当112m -=，即32m =时，()f x 有3个根 综上，当0m <或2m >时，()f x 有0个根； 当0m =或2m =时，()f x 有1个根； 当322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；32m =时，()f x 有3个根．例题3．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间； (2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值.第（2）问思路点拨：方程在上的根从小到大依次为，求的值.可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则其中，；即，， ，，.根据图象作答转化为：方程在有个解，作出图象和问题转化作图象，找交点【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++= (1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z(2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=， 结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=； 即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=. 三、题型归类练1．（2022·河南驻马店·高一期中（理））已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π． (1)求函数()f x 的解析式；(2)()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2m <.(1)角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ=∵02πϕ-<<，∴3πϕ=-，由()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 得23T π=，即223ππω=，∴3ω=，∴()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)∵()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，即()y f x =与y m =的图象在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点，令33t x π=-，由0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 即2sin y t =与y m =在2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上有两个交点，2m <.2．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)m ⎡∈⎣，12(1)解：)()2cos cos 1f x xx x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，则,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则228888T AB BC π⋅=-=-，所以T π=．故22T ππω==，故1ω=， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(2)由题意，函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的零点，1x ，2x ，3x ，即曲线()y f x =与y m =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的交点．设26t x π=+，当130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2sin y t =，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m ⎡∈⎣，12t t π+=，233t t π+=，所以12324t t t π++=，即12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123523x x x π++=， 所以12351cos(2)cos32π++==x x x ．3．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知函数()()2sin cos 23f x x x x π=+． (1)求函数f (x )的最小正周期T 及()1003f π的值；(2)若关于x 的方程()12f x a π+=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)最小正周期π，(2)1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.(1)解：()2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin cos 2x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x x =1sin22x x =1sin22x =T π=，100133sin 233323f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解：sin 22126f x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23023662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，设32,[,]662t x t πππ=+∈，所以sin 2t a =有两个解， 结合图像可知1212a ≤< 故1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．4．（2022·山东潍坊·高一期中）已知函数()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在区间130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点12,x x ，求k 的取值范围，并求12x x +的值．【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)k 的范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，12x x +为53π或23π.(1)因为()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3cos 223sin cos sin cos 2x x x x x x =++-()22cos 223sin c 3s 2o x x x x =+-cos 223cos 223x x x =- 63sin 2x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==， 令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，则()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)由题意，()0f x k -=在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个解12,x x ，即()y f x =与y k =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，由130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,266x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象如下，由图知：k 的取值范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭， 设3sin y t =与y k =在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的两个交点的横坐标分别为12,t t ， 当33,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时12,t t 关于32t π=对称，即12,x x 关于56x π=对称，则1253x x π+=； 当()0,3k ∈时12,t t 关于2t π=对称，即12,x x 关于3x π=对称，则1223x x π+=； 综上，12x x +的值是53π或23π. 5．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，且()g x 为偶函数．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)若对a ∀，[]0,b m ∈．当a b <时，都有()()()()f b f a g a g b ->-成立，求m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()f x g x k +=在130,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，求k 的取值范围和123422x x x x +++的值．【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()cos2g x x =(2)012m π<≤.(3)32<k ，132π (1)由题意()sin 263g x f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin 2sin 233x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈， 而2πϕ<，故0k =，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()sin 2cos 22π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g x x x ． (2)对a ∀，[]0,b m ∈，a b <，都有()()()()f b f a g a g b ->-，()()()()f b g b f a g a +>+，设()()()h x f x g x =+，则()h x 在[]0,m 单调递增．又()()()3sin 2cos 22cos 22623h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23u x π=+，则,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，y u =在,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦递增， 故232m ππ+≤，012m π<≤．(3)()()()23h x f x g x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23t x π=+，则14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则sint =恰有4个不等实根1t ，2t ，3t ，4t ，则32<k ，不妨设1234t t t t <<<， 函数()sin t t ϕ=，14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与函数y =4个交点，如图所示（略），()sin t t ϕ=在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，57,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，914,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1433ππϕϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭591222πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，37122ππϕϕ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12322t t π+=，23522t t π+=，34722t t π+=，12342215t t t t π+++=， ()1234222215x x x x ππ++++=，123413222x x x x π+++=． 6．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间．(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2 (1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=． 所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-， 所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈， 所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的简图如下：1,2．所以实数m的取值范围为[)。
高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析
专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 25 三角函数的图象与性质
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结25 三角函数的图象与性质高考 概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲 研读1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在R 上的性质(如单调性，最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内的单调性一、基础小题1．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π6的最小正周期是( )A ．2π5B ．5π2 C ．2π D ．5π 答案 D解析 由T ＝2π25＝5π，知该函数的最小正周期为5π.故选D.2．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3C ．3＋2D ．2－ 3 答案 B解析 因为函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以函数y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝1－(－2)＝3，故选B.3．若直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z答案 B解析 因为直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，所以a ＝12，故tan x ≥2a 即tan x ≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z . 4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6，因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由正弦函数的图象和性质可知π2≤a ＋π6≤7π6，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D.5．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x 在[－π，π]的图象大致是( )答案 A解析 显然f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除D ；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，sin 2x ＞0，sin x ＞0，即f (x )＞0，排除B ，C.故选A.6．下列函数中同时具有以下性质的是( )①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数；④图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0.A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3答案 C解析 因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A ；当x ＝π3时，对于B ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝0，对于D ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝32，又图象关于直线x ＝π3对称，从而排除B ，D ，经验证y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6同时具有性质①②③④，故选C. 7．(多选)下列关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的说法，正确的是( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 答案 AB解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6满足上述关系式，故A 正确；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选AB.8．(多选)已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )的最大值为1 C ．f (x )的图象关于y 轴对称D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减答案 ABC解析 ∵f (x )＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为1，A ，B 正确；∵f (－x )＝－cos (－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，C 正确；∵f 1(x )＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，故f (x )＝－cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，D 错误．故选ABC.9．函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos 2x 的图象向左平移φ个单位长度得到，则正数φ的最小值为________．答案 π2解析 函数y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2＝1＋cos （2x ＋π）2的图象可由y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2的图象向左平移π2个单位长度得到，故正数φ的最小值为π2.二、高考小题10．(2022·北京高考)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98 D ．偶函数，最大值为98 答案 D解析 因为f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x )＝cos x －cos 2x ＝f (x )，且函数定义域为R ，所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －142＋98，所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.故选D.11．(2022·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.给出下列结论：①f (x )的最小正周期为2π； ②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2是f (x )的最大值； ③把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象．其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以最小正周期T ＝2π1＝2π，故①正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝sin 5π6＝12≠1，故②不正确；将函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，故③正确．故选B.12．(2022·全国Ⅱ卷)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．12 答案 A解析 由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知，12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.13．(2022·全国Ⅰ卷)关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( )A.①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 答案 C解析 ①中，f (－x )＝sin |－x |＋|sin (－x )|＝sin |x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，①正确．②中，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，函数单调递减，②错误.③中，当x ＝0时，f (x )＝0，当x ∈(0，π]时，f (x )＝2sin x ，令f (x )＝0，得x ＝π.又f (x )是偶函数，∴函数f (x )在[－π，π]上有3个零点，③错误．④中，∵sin |x |≤|sin x |，∴f (x )≤2|sin x |≤2，当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )或x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.14．(2022·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 根据题意，有f (x )＝32cos2x ＋52，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，且最大值为f (x )max ＝32＋52＝4.故选B.15．(2022·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A ．π4B ．π2 C ．π D ．2π 答案 C解析 由已知得f (x )＝tan x1＋tan 2x＝sin x cos x1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.16．(2022·全国Ⅲ卷)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题： ①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的图象关于原点对称； ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称； ④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是________． 答案 ②③解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，定义域关于原点对称，f (－x )＝sin (－x )＋1sin （－x ）＝－sin x －1sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋1sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＋1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x ＜0时，sin x ＜0，则f (x )＝sin x ＋1sin x ＜0＜2，命题④错误．17．(2022·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．答案 －4解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t＝cos x ，则t ∈[－1，1]，g (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数g (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1，1]，且开口向下，∴当t ＝1，即x ＝2k π(k ∈Z )时，f (x )有最小值－4.18．(2022·北京高考)函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是________． 答案 π2解析由降幂公式得f (x )＝sin 22x ＝1－cos4x 2＝－12cos 4x ＋12，所以最小正周期T ＝2π4＝π2.三、模拟小题19．(2022·浙江温州中学高三月考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin 3x 的最小正周期为( ) A ．π B ．2πC ．3π D ．6π答案 B解析 y ＝sin 2x 的最小正周期为π，函数y ＝sin 3x 的最小正周期为2π3，π与2π3的最小公倍数为2π，所以函数f (x )＝sin 2x ＋sin 3x 的最小正周期为2π.故选B.20．(多选)(2022·湖南长沙第一中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|sin x |，sin x ≥cos x ，|cos x |，sin x ＜cos x ，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的值域是[0，1]B ．f (x )是以π为最小正周期的周期函数C ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上单调递增D ．f (x )在[0，2π]上有2个零点 答案 AD 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π（k ∈Z ），|cos x |，－3π4＋2k π<x <π4＋2k π（k ∈Z ）， 作出函数f (x )的大致图象如图所示：由图可知f (x )的值域是[0，1]，故A 正确；因为f (π)＝|sin π|＝0，f (2π)＝|cos 2π|＝1，所以f (2π)≠f (π).所以π不是f (x )的最小正周期，故B 错误；由图可知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2上单调递减，故C 错误；由图可知，在[0，2π]上，f (π)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝0，所以f (x )在[0，2π]上有2个零点，故D 正确．故选AD.21．(多选)(2022·福建福州高三调研)已知函数f (x )＝sin (sin x )＋cos (cos x )，下列关于该函数的结论中正确的是( )A ．f (x )的一个周期是2πB ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为2 D ．f (x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数 答案 ABD解析 f (x ＋2π)＝sin [sin (x ＋2π)]＋cos [cos (x ＋2π)]＝sin (sin x )＋cos (cos x )＝f (x )，故A 正确；f (π－x )＝sin [sin (π－x )]＋cos[cos (π－x )]＝sin (sin x )＋cos (－cos x )＝sin (sin x )＋cos (cos x )＝f (x )，故B 正确；由于sin x ∈[－1，1]，cos x ∈[－1，1]，所以sin (sin x )＜1，cos (cos x )≤1，故f (x )＝sin (sin x )＋cos (cos x )＜2，C 错误；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x ∈(0，1)且单调递增，故y ＝sin (sin x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，同理可判断，y ＝cos (cos x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，故f (x )是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的增函数，D 正确．22．(2022·福建厦门高三模拟)用M I 表示函数y ＝sin x 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，则M [0，a ]＝________；a 的取值范围为________．答案 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，13π12解析 作出函数y ＝sin x 的图象，如图所示：显然，M [0，a ]的值为1，∵M [0，a ]≥2M [a ，2a ]，∴M [a ，2a ]的值为12，作出直线y ＝12与y ＝sin x 相交于A ，B ，C 三点，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，12，由图象可得⎩⎪⎨⎪⎧5π6≤a ，2a ≤13π6⇒5π6≤a ≤13π12，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，13π12.一、高考大题1．(2022·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R ). (1)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期；(2)求函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ， 所以y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2(sin x cos x ＋sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋22.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即当x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值，且最大值为1＋22.2．(2022·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin (x ＋θ)是偶函数，所以对任意实数x 都有sin (x ＋θ)＝sin (－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因此，所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.二、模拟大题3．(2022·荆州模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.(1)求函数f (x )的最大值及相应的x 的取值的集合； (2)求函数f (x )的图象的对称轴与对称中心．解 (1)当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即当x ＝k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f (x )取得最大值，为2；则使函数f (x )取得最大值的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z .(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋k π2，k ∈Z . 即函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝3π8＋k π2，k ∈Z . 由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ， 即函数f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，0，k ∈Z .4．(2022·安徽亳州高三质量检测)已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x ). (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的单调性．解 (1)由题意得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1－32.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得 －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . 易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12，A ∩C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．5．(2022·信阳高三阶段考试)已知向量m ＝(3sin ωx －cos ωx ，1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12，设函数f (x )＝m ·n ，若函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称且ω∈[0，2].(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)先列表，再用五点法画出f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12上的大致图象．解 (1)f (x )＝(3sin ωx －cos ωx ，1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx ＋12＝32sin2ωx －12cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， ∴2ωπ3－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴ω＝32k ＋1，k ∈Z .又ω∈[0，2]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π＋π2≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z . (2)列表如下：∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，7π12上的大致图象如图所示．。
高考数学一轮复习练案23第三章三角函数解三角形第四讲三角函数的图象与性质含解析新人教版
第四讲 三角函数的图象与性质A 组基础巩固一、单选题1．函数y ＝|2sin x |的最小正周期为( A ) A ．π B ．2π C ．π2D ．π4〖解析〗 由图象(图象略)知T ＝π.2．已知直线y ＝m (0<m <2)与函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A (1，m )，B (5，m )，C (7，m )，则ω＝( A )A ．π3B ．π4C ．π2D ．π6〖解析〗 由题意，得函数f (x )的相邻的两条对称轴分别为x ＝1＋52＝3，x ＝5＋72＝6，故函数的周期为2×(6－3)＝2πω，得ω＝π3，故选A. 3．(2020·山东省实验中学高三第一次诊断)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2(x ∈R )，则f (x )是( B )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数〖解析〗 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数．故选B.4．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为〖a ，b 〗，则b －a 的值是( B ) A ．2 B ．3 C ．3＋2D ．2－ 3〖解析〗 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为〖－2,1〗，所以b －a ＝3.5．(2021·河北邢台模拟)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( B ) A ．⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 〖解析〗 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( B ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称〖解析〗 ∵函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π.∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴函数f (x )图象的对称轴为2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝π8＋k π2，k ∈Z .故函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，故选B.二、多选题7．关于函数f (x )＝x ＋sin x ，下列说法正确的是( ACD ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )是周期函数 C ．f (x )有零点D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 〖解析〗 本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性及零点．函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；根据周期函数的定义，可知函数f (x )一定不是周期函数，故B 错误；因为f (0)＝0，所以函数f (x )有零点，故C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，函数y ＝x 与y ＝sin x 均为增函数，所以函数f (x )也为增函数，故D 正确． 8．(2020·河南南阳四校联考改编)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )，下列结论错误的是( BC )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称〖解析〗 由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ＝5π6时，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×5π6－π3＝－32，所以函数f (x )的图象不关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，函数f (x )不单调，故C 不正确；当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝3，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，故D 正确．综上选B 、C.三、填空题9．若y ＝cos x 在区间〖－π，α〗上为增函数，则实数α的取值范围是 －π<α≤0 . 10．(2021·云南昆明高三调研测试)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 π .〖解析〗 函数f (x )的图象上相邻两个最高点之间的距离为函数f (x )的最小正周期，又函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期为π，故f (x )的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π. 11．函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2部分图象如图所示，若x 1，x 2∈〖a ，b 〗且x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)，满足f (x 1＋x 2)＝1，则φ＝ π6 ，此时y ＝f (x )的单调递减区间是 ⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ) .〖解析〗 因为f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且f (a )＝f (b )＝0，故可得b －a ＝π2，因为f (x 1＋x 2)＝1，故可得2sin 〖2(x 1＋x 2)＋φ〗＝1，则可得2(x 1＋x 2)＋φ＝5π6.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2，故可得2sin 〖(x 1＋x 2)＋φ〗＝2，则可得(x 1＋x 2)＋φ＝π2，解得φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，故可得x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．故答案为：π6；⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．12．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 π ，单调减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 〖解析〗 ∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12(1－cos 2x )＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，∴最小正周期是π.由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．∴单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 四、解答题13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)当f (x )为偶函数时，求φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．〖解析〗 由f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． 所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， 所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 14．(2021·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋a (a 为常数)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有最小值1，求a 的值． 〖解析〗 (1)f (x )＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤76π，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以当x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为a －1＝1，所以a ＝2.B 组能力提升1．(多选题)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( AD ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )最大值为3C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )最大值为4〖解析〗 本题主要考查三角函数变换及三角函数的性质．f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝2(1－sin 2x )－sin 2x ＋2＝4－3sin 2x ＝4－3×1－cos 2x 2＝52＋3cos 2x2， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，当cos 2x ＝1时，f (x )取最大值为4，故选A 、D.2．已知函数f (x )＝2sin(πx ＋1)，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( B )A ．2B ．1C ．4D ．12〖解析〗 对任意的x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立， 所以f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2， 所以|x 1－x 2|min ＝T2，又f (x )＝2sin(πx ＋1)的周期T ＝2ππ＝2，所以|x 1－x 2|min ＝1，故选B.3．(2021·常德模拟)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)为奇函数，且在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，则θ的一个值为( D )A ．－π3B ．－π6C ．2π3D ．5π6〖解析〗 由题意得f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6.因为函数f (x )为奇函数，所以θ＋π6＝k π(k ∈Z )，故θ＝－π6＋k π(k ∈Z )．当θ＝－π6时，f (x )＝2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为增函数，不合题意．当θ＝5π6时，f (x )＝－2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，符合题意，故选D.4．如果函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，那么ω的取值范围是( B )A ．〖－6,0)B ．〖－4,0)C ．(0,4〗D ．(0,6〗〖解析〗 解法一：因为函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，所以ω<0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π8上单调递增， 则⎩⎨⎧ω<0，－ω·⎝⎛⎭⎫－π12≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω<0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，求得－4≤ω<0.故选B.解法二：代值检验法，当ω＝1时，y ＝12sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增，排除选项C ，D ；当ω＝－6时，y ＝12sin(－6x )＝－12sin 6x 在⎣⎡⎦⎤－π8，－π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π12，π12上单调递减，排除选项A.故选B.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间； (3)求x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，求f (x )的值域． 〖解析〗 (1)由题意，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)． y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8，则2×π8＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，结合－π<φ<0可得φ＝－3π4.(2)由(1)可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (3)因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以2x －3π4∈⎝⎛⎭⎫－3π4，－π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4<－22， 故f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－1，－22.。
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第3讲 三角函数的图像与性质一、选择题1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④D.①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图像知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.答案 A2.(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) 解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.答案 B3.(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1B.3，－2C.2，－1D.2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2. 答案 D4.(2016·山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2B.πC.32πD.2π解析 f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝π.答案 B5.(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.答案 A二、填空题6.(2017·郑州调研)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6. 答案5π67.(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________.解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z ).∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π68.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图像可知，π3ω＝π2，解得ω＝32. 答案 32 三、解答题9.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝sin 2 x ＋cos 2 x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.10.(2017·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值. 解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.(ⅰ)当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.11.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B12.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关D.与b 无关，但与c 有关解析 f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，若b ＝0，则f (x )＝sin 2x ＋c ＝12(1－cos 2x )＋c ，∴f (x )的最小正周期T ＝π.若b ≠0，f (x )＝－12cos 2x ＋b sin x ＋12＋c ，∵y ＝cos 2x 的最小正周期为π，y ＝b sin x 的最小正周期为2π，则f (x )的最小正周期T ＝ 2π.因此f (x )的最小正周期与b 有关，与c 无关. 答案 B13.若函数f (x )＝4sin 5ax －43cos 5ax 的图像的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________.解析 因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3.又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35. 答案 ±3514.(2016·天津卷)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }， f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，取k ＝0，得－π12≤x ≤π4，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z ， ∴k π＋5π12≤x ≤k π＋1112π，k ∈Z ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，取k ＝－1，得－π4≤x ≤－π12，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数.。