22.正弦定理、余弦定理专题

合集下载

正弦定理和余弦定理专题试题及答案

正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 D ．24．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .726．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B . 2C . 3D ．37.在△ABC 中,若A=,B=,BC=3,则AC=( )A. B. C.2D.48.在△ABC 中,若a 2+b 2<c 2,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=,则B= ( ) A.B. C. D.10.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=a,则 ( )A.a>bB.a<bC.a=bD.a 与b 的大小关系不能确定11．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC ＝的面积为________．12．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．13.△ABC 中,点D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求.(2)若∠BAC=60°,求B.14.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB 的值. (2)若·=2,且b=2,求a 和c 的值.15．如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是ɑ，b ，c ，且b 2＝ɑc ＝ɑ2－c 2＋bc. (1)求bsin Bc的值； (2)试判断△ABC 的形状，并说明理由．正弦定理和余弦定理专题试题及答案1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，∴sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3＞1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，若ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12B ．1 C. 3 D ．2 解析：∵ɑ2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bcsin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为ɑ，b ，c ，且bsin A ＝3ɑcos B ．则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：根据题意结合正弦定理，得sin Bsin A ＝3sin Acos B. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，即sin B cos B ＝tan B ＝3，所以B ＝π3. 答案：C5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A ．－19B .13C ．1D .72解析：由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinB sin A 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72。

正弦定理、余弦定理专题复习

正弦定理、余弦定理专题复习正弦定理、余弦定理专题复习教师版在下⾯考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则(1)S＝12a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝12ab sin C＝________＝________；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).[常⽤结论]1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．2．内⾓和公式的变形(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.⼆、基础⾃测：1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1 C． 3 D．22.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有()A．⽆解B．两解C．⼀解D．解的个数不确定4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，3，则b＝()A. 2B. 3C. 2D. 35．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．三、典例讲解：考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题例1：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝()A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6规律⽅法：练习1：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；②若2a＋b＝2c，求sin C.考点2 与三⾓形⾯积有关的问题例2：(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的⾯积为____________．规律⽅法：练习2 ：(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是⾓A，B，C的对边，且2b cos C＝2a＋c.(1)求B；(2)若b＝2，a＋c＝5，求△ABC的⾯积．考点3 判断三⾓形的形状例3设△ABC的内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为() A．锐⾓三⾓形B．直⾓三⾓形C．钝⾓三⾓形D．不确定练习3：(变条件1)本例中，若将条件变为2sin A cos B＝sin C，判断△ABC 的形状．(变条件2)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，判断△ABC的形状．三、巩固提⾼：1.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝2，则AC等于()A. 1B. 2C. 2D. 222.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6B．5 C．4 D．33.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上⼀点，且AD⊥AC，求△ABD的⾯积4.（2020春?五华区校级⽉考）在△ABC中，内⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，（a+c）（sin A﹣sin C）＝（b+c）sin B．（1）求A；（2）若，求b+c的取值范围．5.(2018·天津⾼考)在△ABC中，内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b sin A＝a cos (B－π6).(1)求⾓B的⼤⼩；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin (2A－B)的值．正弦定理、余弦定理专题复习考点要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题．⼀、知识梳理：1．正弦、余弦定理在△ABC中，若⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R.a2＝b2＋c2－2bc_cos_A；b2＝c2＋a2－2ca_cos_B；c2＝a2＋b2－2ab_cos_C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝2R.cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab(1)S＝12a·h a(h a表⽰边a上的⾼)；(2)S＝12ab sin C＝12ac_sin_B＝12bc_sin_A；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).[常⽤结论]1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B．2．内⾓和公式的变形(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C.⼆、基础⾃测：1．已知△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1 C． 3 D．2D[由asin A＝bsin B得b＝a sin Bsin A＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b= , c=3,则A=________ .由正弦定理得,即sin B=因为b3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三⾓形有() A．⽆解B．两解C．⼀解D．解的个数不确定B[∵b sin A＝24sin 45°＝122，∴122＜18＜24，即b sin A＜a＜b. ∴此三⾓形有两解．]4. △ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝( )A. 2B. 3C. 2D. 3由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,⼜b>0,解得b=3,故选D.5．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三⾓形的形状为________．等腰三⾓形或直⾓三⾓形[由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三⾓形为等腰三⾓形或直⾓三⾓形．] 6．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的⾯积等于________．23[因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC ＝12×2×23＝2 3.三、典例讲解：考点1.利⽤正余弦定理解三⾓形问题例：在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B cos C＋c sin B cos A＝12b，且a＞b，则B＝( )A. π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析∵a sin B cos C＋c sin B·cos A＝12b，∴由正弦定理得sin A sin B cos C＋sin C sin B·cos A＝12sin B，即sin B(sin A cos C＋sin C cos A)＝12sin B.∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝12，即sin B＝12.∵a＞b，∴A＞B，即B为锐⾓，∴B＝π6，故选A规律总结：练习：(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；②若2a＋b＝2c，求sin C.[解]①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos (C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin (C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin (C＋60°－60°)＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°＝6＋2 4.a＋b＝2c，求sin C.考点2 与三⾓形⾯积有关的问题例.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的⾯积为____________．63[法⼀：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos π3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的⾯积S＝12ac sin B＝12×43×23×sinπ3＝6 3.法⼆：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos π3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的⾯积S＝12×23×6＝6 3.]练习 (2019·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是⾓A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c .(1)求B ；(2)若b ＝2，a ＋c ＝5，求△ABC 的⾯积．解析 (1)由正弦定理，知2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ，由A ＋B ＋C ＝π，得2sin B cos C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )＋sin C ，即2cos B ·sin C ＋sin C ＝0. 因为sin C ≠0，所以cos B ＝－12.因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可知b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .因为b ＝2，a ＋c ＝5，所以22＝(5)2－2ac －2ac cos 2π3，得ac ＝1. 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×32＝34. 考点3 判断三⾓形的形状例设△ABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．不确定 B [由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin (π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直⾓三⾓形．] 练习：1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin (A ＋B )，∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin (A －B )＝0.⼜A ，B 为△ABC 的内⾓．∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三⾓形．2．(变条件)本例中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，⼜0＜C ＜π，∴C ＝π3，⼜由2cos A sin B ＝sin C 得sin (B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三⾓形．四、巩固提⾼：1.在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝2，则AC等于( )A. 1B. 2C. 2D. 22解析由题意可知B＝180°－105°－45°＝30°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin C＝ACsin B，∴2sin 45°＝ACsin 30°，解得AC＝1.2.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sinA－b sin B＝4c sin C，cos A＝－14，则bc＝()A．6B．5 C．4 D．3 (1)A[∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－（4c2＋b2）2bc＝－3c22bc＝－14，∴bc＝6.故选A.]3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上⼀点，且AD⊥AC，求△ABD的⾯积．[解](1)由已知条件可得tan A＝－3，A∈(0，π)，所以A＝2π3，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos 2π3，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，或c＝4.(2)法⼀：如图，由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6，故△ABD⾯积与△ACD⾯积的⽐值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1，⼜△ABC的⾯积为12×4×2sin ∠BAC＝23，所以△ABD的⾯积为 3.法⼆：由余弦定理得cos C ＝27，在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7，所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝ 3.4.（2020春?五华区校级⽉考）在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，（a +c ）（sin A ﹣sin C ）＝（b +c ）sin B ．（1）求A ；（2）若，求b +c 的取值范围．解：（1）△ABC 中，由（a +c ）（sin A ﹣sin C ）＝（b +c ）sin B ，得（a +c ）（a ﹣c ）＝（b +c ）b ，整理得b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，解得，⼜A ∈（0，π），所以．（2）由正弦定理，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以；⼜因为，所以，所以，所以b +c 的取值范围是．5.(2018·天津⾼考)在△ABC 中，内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos (B －π6).(1)求⾓B 的⼤⼩；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin (2A －B )的值．[解](1)在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B，可得b sin A＝a sin B，⼜由b sin A＝a cos (B－π6)，得a sin B＝a cos (B－π6)，即sin B＝cos (B－π6)，可得tan B＝ 3.⼜因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2ac cos B＝7，故b＝7.由b sin A＝a cos (B－π6)，可得sin A＝37.因为a＜c，故cos A＝2 7 .因此sin 2A＝2sin A cos A＝43 7，cos 2A＝2cos2A－1＝1 7，所以，sin(2A－B)＝sin 2A cos B－cos 2A sin B＝43 7×12－17×32＝3314.。

(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现.1.正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径.(2)正弦定理的其他形式：① a = 2RsinA , b =, csinO；③ a : b ： c= _______________________________2.余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平■方等——王彦文宵铜峡一中丁其他两边的平■方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即a2=, b2=,c?=.若令C= 90°, WJ c2=,即为勾股定理.(2)余弦定理的变形：cosA =, cosB=, cosC^.若C为锐角，则cosC>0,即a2 + b2 ; 若C为钝角，贝U cosC<0,即a2+ b2.故由a2+ b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角.(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A= sin2B+ sin2C—2sinBsinCcosA，类似地，sin2B= ________________ ; sin2C= _________ _S 意式中隐含条件A+ B+ C= TT .3.解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用理.只有一解.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用定理，可能有L如在△ ABC中，已知a, b和A时，解的情况如表：②sin A=2R' sinB=A为锐角A为钝角或直角图形关系式a= bsinA bsinA<ab解的个数①②③④(3)已知三边，用理.有解时，只有一解.(4)已知两边及火角，用理, 必有一解.4.三角形中的常用公式或变式⑴三角形面积公式& =:其中R, r分别为三角形外接圆、内切圆半径.(2)A+ B+ C=兀，WJ A=,A5 = , 从而sinA = tanAtanBtanC (3)a+ c sinA+ sinCcosA = , tanA =<(3)互化sin2C+ sin2A—2sinCsinAcosB sin2A+sin2B— 2sinAsinBcosC3. (1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②二解③一解④一解⑶余弦⑷余弦1 1 1 abc 14. (1)2absinC 2bcsinA 2acsinB 4R 2 (a+ b+ c)r在△ ABC中，A>B 是sinA>sinB 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.兀B+ C (2)代(B+ Q 2— Fsin(B+ C) — cos(B+ C)2 (1)b* 1 2+ c2— 2bccosA c2 + a2— 2cacosB a2 + b2—2abcosC a2 + b2b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2(2)2bc2ca2ab—tan(B+ C) co岩si号«C tan 2在△ ABC中，已知b= 6, c= 10, B= 30°,则解此三角形的结果有（）A.无解B. 一解C.两解D. 一解或两解解：由正弦定理知sinC=半=5, 乂由b 6c>b>csinB知，C有两解.也可依已知条件，画出△ ABC,由图知有两解.故选 C.（2012陕西）在^ABC中，角A, B, C所对的边…一…Tt i—一，分力U为a, b, c.右a= 2, B= c= 2寸3,贝U b =.解：由余弦定理知b2= a2 + c2—2accoSB=22 + （2^3）2— 2X 2X^/3X c%= 4, b= 2.故填2.（2013陕西）®AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ ccosB= asinA,则^ABC 的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+ sinCcosB= sinA sinA,即sin（B+ Q= sinAsinA, 亦即sinA= sinAsinA.因为0<A<TT,所以sinA= 1, 所以A=2.所以三角形为直角三角形.故选B.在^ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 a =寸2, b=2, sinB+ cosB=寸2,则角 A解：sinB+ cosB= ^2,,•寸2sin B+4 =寸2,即sin B+4 = 1._____ __ _兀兀_兀乂.. B€ （0,冗）... B+； = ；, B=~.4 2 4a b asinBsinA= b根据正弦正理、皿=sinB，可侍12'. a<b, . . Av B... A=g.故填&类型一正弦定理的应用△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A— C= 90 , a+ c=寸2b,求C.解：由a+ c=寸2b及正弦定理可得sinA+sinO 2sinB乂由丁A— C= 90 , B= 180 — (A+C),故cosC + sinC = sinA + sinC=戒sin(A + Q =戒sin(90 + 2Q =匝sin2(45 + Q.,•哀sin(45 + C) = 2 戒sin(45 + C)cos(45 + C),* 一1即cos(45 + C) = 2.乂 .。

正弦定理、余弦定理专题

正弦定理、余弦定理一、选择题1．(优质试题·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C 等于( )A.23B ．－23C ．－13D ．－142．北京优质试题年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度为50秒，升旗手匀速升旗的速度为( )A.35(米/秒) B.35(米/秒) C.65(米/秒) D.15(米/秒) 3．(优质试题·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A 等于( ) A.56π B.23π C.π3 D.π64．(优质试题·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则角C 等于( ) A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4 5．(优质试题·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2)6．(优质试题·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．(优质试题·山西大学附中期中)已知三个向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，其中a 、b 、c 、A 、B 、C 分别是△ABC 的三条边及相对三个角，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13二、填空题9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin 2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是__________________．10．(优质试题·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________. 11．(优质试题·佛山期中)如图，一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.12．(优质试题·吉安期中)在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC＝43，则△ADC的面积的最大值为________.答案精析1．D [由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋9k 2－16k 22·2k ·3k ＝－14.] 2．A [由条件得△ABD 中，∠DAB ＝45°，∠ABD ＝105°，∠ADB ＝30°，AB ＝106，由正弦定理得BD ＝sin ∠DAB sin ∠ADB·AB ＝优质试题，则在Rt △BCD 中，CD ＝优质试题×sin 60°＝30，所以速度v ＝3050＝35(米/秒)，故选A.]3．D [已知sin B ＝23sin C ，利用正弦定理化简得b ＝23c ，代入a 2－c 2＝3bc ，得a 2－c 2＝6c 2，即a ＝7c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12c 2＋c 2－7c 243c2＝32. ∵A 为三角形内角，∴A ＝π6，故选D.] 4．B [在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝b 2＋c 2－a 22bc，所以b 2＋c 2－a 2＝3bc ，又b 2＝a 2＋bc ，所以c 2＋bc ＝3bc ，所以c ＝(3－1)b <b ，a ＝2－3b ，所以cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝22，所以C ＝π4.]5．A [∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ，∴sin B ＝2sin A cos A ，∴b ＝2a cos A ，又∵a ＝1，∴b ＝2cos A .∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，即0<A <π2，0<2A <π2，0<π－A －2A <π2， ∴π6<A <π4，∴22<cos A <32， ∴2<2cos A <3，∴b ∈(2，3)．]6．C [由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 故选C.]7．B [∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2与n ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线，∴a cos B 2＝b cos A 2，由正弦定理，得sin A cos B 2＝sin B cos A 2， ∵sin A ＝2sin A 2cos A 2，sin B ＝2sin B 2cos B 2， ∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A 2，化简，得sin A 2＝sin B 2. 又0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B 2，可得A ＝B .同理，由n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2与p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线得到B ＝C ，∴A ＝B ＝C ，可得△ABC 是等边三角形．]8．A [设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.]9．等腰或直角三角形解析因为sin 2A ＋sin(A －C )－sin B＝sin 2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝2sin A cos A －2sin C cos A＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析由正弦定理知a sin A ＝csin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B ＝4·sin(A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2. 12．4 3解析在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.。

高考数学(文科)复习第三单元第22讲正弦定理和余弦定理

60°.
课前双基巩固
4.[教材改编] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边
分别为 a,b,c,若 a=3 2,b=2 3,cos C=13,则
△ABC 的面积为
.
[答案] 4 3
[解析] ∵cos C=13,∴sin C=232,∴S△ABC=12absin
C=12×3 2×2 3×232=4 3.
(2)[2018·北京东城区检测] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=5,c=7,cos C=15,
sin �� sin �� sin2 �� 2sin ��cos ��
6
此 sin A= 1-cos2��= 3,故选 D.
内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若
[解析] (1)因为△ABC 中,a= 6,b=4,所以由正弦定
a= 6,b=4,B=2A,则 sin A 的值为 ( )
A.
6 3
B.
6 6
C.
3 2D.Fra bibliotek3 3
理得sin6��=sin4��,又因为 B=2A,所以 6 = 4 = 4 = 4 ,化简得 cos A= 2 >0,因
课堂考点探究
例 2 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是
a,b,c,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC
的形状是 ( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)在△ABC 中,若 sin A=2cos Bsin C,则△ABC

22正弦定理和余弦定理

3.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或指南方向线与目标方向线所北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方
位角. 4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般
可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或
“南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25°等.
[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点) 走私船,则CD= 10 3 t海里,BD=10t海里,在
3 1 )·2·cos120°=6,
△ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,
3 1 ∴BC=
(
)2+22-2(
6 海里.
又∵
BC AC , sinA sinABC
考点陪练
1.已知 ABC中, a 2, b 3, B 60, 那么角A等于( A.135 B.90 C.45 D.30
a b 2 解析 :由正弦定理 ,得 sinA sinB sinA
)
3 2 , 可得sinA . 2 3 2 又a 2 b 3, 所以A B, 所以A 45.
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关
系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可
以综合起来运用. 2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式的运用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=

正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳

●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题．★备考知考情1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中,综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题．3.三种题型都有可能出现,属中低档题. 一、知识梳理名师一号P62知识点一正弦定理其中R 为△ABC 外接圆的半径变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222===a b c A B C R R R变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：补充关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;知识点二余弦定理222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇔=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：补充1关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;2勾股定理是余弦定理的特例3在∆ABC 中,222090︒︒<+⇔<<a b c A用于判断三角形形状名师一号P63问题探究问题3判断三角形形状有什么办法判断三角形形状的两种途径：一是化边为角；二是化角为边, 并常用正弦余弦定理实施边、角转换．知识点三三角形中常见的结论△ABC 的面积公式有：①S ＝错误!a ·hh 表示a 边上的高；②S ＝错误!ab sin C ＝错误!ac sin B ＝错误!bc sin A ＝错误!；--知两边或两边的积及其夹角可求面积③S ＝错误!ra ＋b ＋cr 为内切圆半径．补充1++=A B C π2在三角形中大边对大角,大角对大边．3任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边．4有关三角形内角的常用三角函数关系式sin()sin ,cos()cos ,tan()tan sin cos ,cos sin 2222+=+=-+=-++==B C A B C A B C A B C A B C A 利用++=A B C π及诱导公式可得之5在△ABC 中的几个充要条件:名师一号P63问题探究问题4sin A >sin B 错误!>错误! a >b A >B .补充 cos cos A B A B >⇔<若R ∈、αβ或2k απβπ=-+k Z ∈或2k αβπ=-+k Z ∈45套之7--196锐角△ABC 中的常用结论 ∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π4．解斜三角形的类型名师一号P63问题探究问题1利用正、余弦定理可解决哪几类问题在解三角形时,正弦定理可解决两类问题：1已知两角及任一边,求其它边或角；2已知两边及一边的对角,求其它边或角．情况2中结果可能有一解、二解、无解,应注意区分．余弦定理可解决两类问题：1已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；2已知三边问题．a b A补充已知两边和其中一边的对角如,,用正弦定理或余弦定理均可名师一号P63问题探究问题2选用正、余弦定理的原则是什么若式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理；若遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到．补充:一、正弦定理推导必修5证明思路：转化到特殊情形----直角三角形中二、余弦定理推导必修52011年陕西高考考查余弦定理的证明18.本小题满分12分叙述并证明余弦定理;2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-,2222cos c a b ab C =+-.证明：证法一如图,2c BC = ()()AC AB AC AB =-•-即2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,证法二已知ABC ∆中,,,A B C 所对边分别为,,,a b c ,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系,则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ,∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-,即 2222cos a b c bc A =+-同理可证 2222cos b c a ca B =+-,二、例题分析：一利用正、余弦定理解三角形例1．1名师一号P62 对点自测1在△ABC 中,A ＝60°,B ＝75°,a ＝10,则c 等于A ．5错误!B ．10错误! D ．5错误!解析由A ＋B ＋C ＝180°,知C ＝45°,由正弦定理得：错误!＝错误!.即错误!＝错误!. ∴c ＝错误!.注意：已知两角及任一边,求其它边或角----正弦定理,解唯一例1．2名师一号P62 对点自测2在△ABC 中,若a ＝3,b ＝错误!,A ＝错误!,则C 的大小为________．解析由正弦定理可知sin B ＝错误!＝错误!＝错误!,所以B ＝错误!或错误!舍去,因为a >b 即A ＝错误!> B 所以B ＝错误!所以C ＝π－A －B ＝π－错误!－错误!＝错误!.一解变式1: 在△ABC 中,若b ＝3,a ＝错误!,A ＝错误!, 则C 的大小为________．答案: sin B >1无解变式2:在ABC ∆中,已知45︒===a b B , 解ABC ∆.答案：60,75,︒︒+===A C c或120,15,2︒︒-===A C c两解变式3:求边c注意：知道两边和其中一边的对角如，，a b A 解三角形可用正弦定理先求出角B 也可用余弦定理先求出边c 再求解;两种方法均须注意解的个数可能有一解、二解、无解,应注意区分．练习:补充2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cossin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值；Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C; 解析 Ⅰfx ＝2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- ＝sinx+ϕ.因为 fx 在x ＝π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1.又 0＜ϕ＜π,所以ϕ＝2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A ＝6π. 由正弦定理得 sinB ＝sin b A a =22, 又b ＞a, 当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或例2．补充若满足条件060=C ,a BC AB ==,3的ABC ∆有两个,求a 的取值范围. 32<<a注意：判断三角形解的个数常用方法：1在ABC ∆中,已知,,A a b ;构造直角三角形判断 2利用余弦定理判断一元二次方程正根个数勿忘大边对大角判断已知两边及其中一边对角,判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC 中,已知a 、b 和A ,以点C 为圆心,以边长a 为半径画弧,此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数,解的个数见下表：图示已知a 、b 、A ,△ABC 解的情况．ⅰA 为钝角或直角时解的情况如下：ⅱA 为锐角时,解的情况如下：③运用余弦定理转化为关于一元二次方程正根个数问题练习:已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案：由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2, ∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.例3．1名师一号P62 对点自测3在△ABC 中,a ＝错误!,b ＝1,c ＝2,则A 等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 解析由余弦定理得：cos A ＝错误!＝错误!＝错误!,∵0＜A ＜π,∴A ＝60°.注意：已知三边,求其它边或角---余弦定理例3．2名师一号P63 高频考点例122014·新课标全国卷Ⅱ钝角三角形ABC的面积是错误!,AB＝1,BC＝错误!,则AC＝A．5 C．2 D．1解:由题意知S＝错误!AB·BC·sin B,△ABC即错误!＝错误!×1×错误!sin B,解得sin B＝错误!,∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋错误!2－2×1×错误!×错误!＝1.此时AC2＋AB2＝BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意；当B＝135°时,AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝12＋错误!2－2×1×错误!×错误!＝5,解得AC＝错误!.符合题意．故选B.注意：已知两边夹角,求其它边或角---余弦定理小结:已知与待求涉及三边和一角的关系---余弦定理例4．1名师一号P63 高频考点例112014·江西卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a＝2b,则错误!的值为A．－错误!C．1解:∵3a＝2b,∴由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!.∴错误!＝错误!,∴错误!＝2×错误!－1＝2×错误!－1＝错误!－1＝错误!.例4．2名师一号P62 对点自测已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－错误!ab,则此三角形的最大内角为__________．解析∵a2＋b2－c2＝－错误!ab,∴cos C＝错误!＝－错误!,故C＝150°为三角形的最大内角．注意：1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化.注意等价转换练习:2010·天津理在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2－b2＝错误!bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30°B．60°C．120°D．150°解:由余弦定理得：cos A＝错误!,由题知b2－a2＝－错误!bc,c2＝2错误!bc,则cos A＝错误!, 又A∈0°,180°,∴A＝30°,故选A.注意：已知三边比例关系---余弦定理二三角形的面积例1．1名师一号P62 对点自测62014·福建卷在△ABC中,A＝60°,AC＝4,BC＝2错误!,则△ABC的面积等于________．解析由题意及余弦定理得cos A＝错误!＝错误!＝错误!,解得c＝2.所以S＝错误!bc sin A＝错误!×4×2×sin60°＝2错误!.故答案为2错误!.注意：a b A解三角形可用正知道两边和其中一边的对角如，，弦定理先求出角B也可用余弦定理先求出边c再求解;两种方法均须注意解的个数本例用余弦求边更快捷.例1．2名师一号P63 高频考点例32014·浙江卷在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c＝错误!,cos2A－cos2B＝错误!sin A cos A－错误! sin B cos B.1求角C的大小；2若sin A＝错误!,求△ABC的面积．解:1由题意得错误!－错误!＝错误!sin2A－错误!sin2B,即错误!sin2A－错误!cos2A＝错误!sin2B－错误! cos2B,sin错误!＝sin错误!.由a≠b,得A≠B,又A＋B∈0,π．得2A－错误!＋2B－错误!＝π,即A＋B＝错误!,所以C＝错误!.2由c＝错误!,sin A＝错误!,错误!＝错误!,得a＝错误!.由a<c,得A<C,从而cos A＝错误!,故sin B＝sin A＋C＝sin A cos C＋cos A sin C＝错误!.所以△ABC的面积为S＝错误!ac sin B＝错误!.规律方法三角形面积公式的应用原则1对于面积公式S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误! bc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．2与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．三三角形形状的判定例1．1名师一号P63 高频考点例2在△ABC中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a sin A ＝2b＋c sin B＋2c＋b sin C.1求A的大小；2若sin B＋sin C＝1,试判断△ABC的形状．解:1由已知,根据正弦定理得2a2＝2b＋c·b＋2c＋bc,即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A,故cos A＝－错误!,∵0<A<180°,∴A＝120°.2由1得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝错误!.又sin B ＋sin C ＝1,解得sin B ＝sin C ＝错误!.∵0°<B <60°,0°<C <60°,故B ＝C ＝30°,A ＝120°.∴△ABC 是等腰钝角三角形．法二：因为A ＝120°,且A +B ＋C=180°所以sin B ＋sin C ＝1即sin60°-C ＋sin C ＝1 可求得C=30°例1．2补充根据所给条件,判断△ABC 的形状．1若a cos A ＝b cos B ,则△ABC 形状为________． 2若错误!＝错误!＝错误!,则△ABC 形状为________．解析：1 解法一: 由正弦定理得sinA cos A ＝sinB cos B 即sin2A ＝sin2B22A B ∴= 或 22A B π=-A B ∴= 或 2A B π+= ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二:由余弦定理得a cos A ＝b cos Ba ·错误!＝b ·错误!a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0,∴a 2－b 2c 2－a 2－b 2＝0∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．2由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!即tan A＝tan B＝tan C,∵A、B、C∈0,π,∴A＝B＝C,∴△ABC为等边三角形．注意：利用正、余弦定理进行边角互化1关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化;2关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化;规律方法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状．2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．加加练P9 第6题∆中,已知ABC∆为则ABCA.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：B计时双基练P252 第2题四三角形的综合问题例1．补充在△ABC 中,sinC-A=1,sinB=31. Ⅰ求sinA 的值；Ⅱ设AC=错误!,求△ABC 的面积.解：Ⅰ由2C A π-=,且C A B π+=-,∴42B A π=-,∴sin sin()sin )42222B B B A π=-=-, ∴211sin (1sin )23A B =-=,又sin 0A >,∴sin A = Ⅱ如图,由正弦定理得sin sin AC BC B A=∴sin 31sin 3AC A BC B ===, 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+∴11sin 223ABC S AC BC C ∆=••==注意:关注三角形内角和、特殊角、三角恒等变换公式、知两边夹角求面积公式的选择;例2．补充已知ABC ∆中,角A B C 、、所对的边 A BC分别为a b c 、、,3B π∠=,b =求a c +的取值范围解法一：正弦定理结合三角最值当且仅当62A ππ+=即3A π=时等号成立法二：余弦定理结合不等式由2222cos b a c ac B =+-得2228a c ac =+-即()2283a c ac =+-a c ∴+≤当且仅当a c =时等号成立又三角形两边之和大于第三边注：这是一道好题,刚好都能运用“正余弦定理求解最值问题”的两种主要方法解决; 小结：借助正弦定理,转化为角的正弦值,利用三角函数最值求解借助余弦定理,转化为边的关系,利用均值不等式求解余弦定理注意两数和差与这两数的平方和、两数的积的关系的运用练习:加加练P11 第11题已知△ABC 中,外接圆半径是1,且满足()()222sin sin sin sin A C A B b -=-,则△ABC 面积的最大值为答案：4计时双基练P251 第6题补充已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角．．ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c . Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小；Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =,求22b c +的取值范围. 解：Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理：2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)3sin 2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-ABC ∆为锐角三角形★注意：∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π讲评：1、计时双基练 P252 基础11---多个三角形问题2014·湖南卷如图,在平面四边形ABCD 中,AD ＝1,CD ＝2,AC ＝错误!.1求cos ∠CAD 的值；2若cos ∠BAD ＝－错误!,sin ∠CBA ＝错误!,求BC 的长．解 1由余弦定理可得cos ∠CAD ＝错误!＝错误!＝错误!,∴cos ∠CAD ＝错误!.2∵∠BAD 为四边形内角,∴sin ∠BAD >0且sin ∠CAD >0,则由正余弦的关系可得sin ∠BAD ＝错误!＝错误!,且sin ∠CAD ＝错误!＝错误!,由正弦的和差角公式可得sin ∠BAC ＝sin ∠BAD －∠CAD＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!＋错误!＝错误!, 再由△ABC 的正弦定理可得错误!＝错误!BC ＝错误!×错误!＝3.2、45套之7--192---方程的思想课后作业一、计时双基练P251基础1-6；课本P63变式思考1、3补充练习1、2、3二、计时双基练P251基础7-11；培优1-4课本P63变式思考2三、课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习第七节补充练习:1、2009山东文17已知函数x x x x f sin sin cos 2cos sin 2)(2-+=ϕϕ ππϕ=<<x 在)0(处取最小值; I 求ϕ的值；Ⅱ在ABC ∆中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,23)(,2,1===A f b a 求角C;解析Ⅰfx ＝2sinx 1cos cos sin sin 2x x ϕϕ++- ＝sinx+ϕ.因为 fx 在x ＝π时取最小值,所以 sin π+ϕ=-1,故 sin ϕ=1. 又 0＜ϕ＜π,所以ϕ＝2π, Ⅱ由Ⅰ知fx=sinx+2π=cosx. 因为fA=cosA=3,且A 为△ABC 的角, 所以A ＝6π. 由正弦定理得 sinB ＝sin b A a =22, 又b ＞a,当4π=B 时,,12746πππππ=--=--=B A C 当43π=B 时,.12436πππππ=--=--=B A C 综上所述,12127ππ==C C 或 2、已知ABC ∆中,若22,2==b a ,且三角形有两解,求角A 的取值范围;答案：由条件知b sin A <a ,即2错误!sin A <2,∴sin A <错误!,∵a <b ,∴A <B ,∴A 为锐角,∴0<A <错误!.3、已知△ABC 中,∠A ＝60°,BC=2错误!,则其外接圆面积为__________．答案：4π★注意：勿忘正弦定理中三角形各边与对角正弦的比为外接圆直径sin sin in 2s a b c A B R C=== R 为三角形外接圆半径 4、在四边形ABCD 中,∠B ＝∠D ＝90°,∠A ＝60°, AB ＝4,AD ＝5,则AC 的长为B ．2错误!解析如图,连结AC ,设∠BAC ＝α,则AC ·cos α＝4,AC ·cos60°－α＝5,两式相除得,错误!＝错误!,展开解得,tan α＝错误!∵α为锐角,∴cos α＝错误!∴AC ＝错误!＝2错误!解法二：补充△ABD 中,由余弦定理得21BD =由∠B ＝∠D ＝90°知AC 为△ABD 的外接圆直径由正弦定理得2127sin sin 620BD AC R A ︒====5、已知向量(sin ,1)2A m =-,()2,cos()nBC =+, ,,A B C 为锐角．．ABC ∆的内角,其对应边为a ,b ,c .Ⅰ当m n ⋅取得最大值时,求角A 的大小； Ⅱ在Ⅰ成立的条件下,当a =, 求22b c +的取值范围. 解：Ⅰ2(sin 212sin 22sin 2cos 2sin2)cos(sin 22--=++-=+=+-=⋅A A A A A C B A nm 0,0,0sin 2242A A A ππ<<∴<<∴<<,1sinA ∴=时,即A π=时,m n ⋅取得最大值,∴A π=正弦定理：2sin sin sin ===a b c R A B C其中R 为△ABC 外接圆的半径 22442cos 22cos(2)2cos 242sin(23b c B B B B B π+=---=-+=-∆ABC 为锐角三角形⇔02<<、、A B C π6、2013年广州二模文数第17题某单位有A 、B 、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点O ,使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ,70BC =m ,50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上．1求BAC ∠的大小；2求点O 到直线BC 的距离．答案13BAC π∠=23m 课后作业三、计时双基练P251基础1-6；课本P63变式思考1补充练习1、3、例2四、计时双基练P251基础7-11;培优1-4课本P63变式思考3补充练习2三、课本P63变式思考2课本P64典例、※对应训练补充练习4、5预习第七节。

高中数学余弦定理和正弦定理专题

余弦定理和正弦定理专题【知识要点归纳】1．三角形的元素与解三角形(1)三角形的元素三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．2.余弦定理及其变式3．正弦定理及其变式4.利用余弦定理及其变式可以解下面的问题：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角．5. 利用正弦定理及其变式可以解下面的问题：(1)已知三角形的任意两个角与一边，解三角形．(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．6．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理asin A＝bsin B，得sin B＝b sin Aa.若sin B>1，无解；若sin B＝1，一解；若sin B<1，一解或两解．还需结合“三角形中大边对大角”。

7．三角形形状的判定方法<1>转化为三角形的边来判断：(1)△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或b2=a2+c2或c2=a2+b2；(2)△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2且b2+c2>a2且c2+a2>b2；(3)△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2；(4)按等腰或等边三角形的定义判断.<2>转化为角的三角函数(值)来判断：(1)若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形；(2)若cosA<0，则△ABC为钝角三角形；(3)若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形；(4)若sin2A+sin2B=sin2C，则C=90°，△ABC为直角角形；(5)若sinA=sinB或sin(A-B)=0，则A=B，△ABC为等腰三角形；(6)若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形.在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.8．三角形的面积公式由正弦定理可得三角形的面积S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A．9.正弦定理与余弦定理的应用 (1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__上方__时叫仰角，目标视线在水平视线__下方__时叫俯角，如图所示.(2)方位角指从__正北方向__顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图1所示).(3)方位角的其他表示——方向角①正南方向：指从原点O 出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).题型一已知两边及一角解三角形1.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2D ．2192. 已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2a =，5c =，4s in 5A =，则(b = A 55B 255C 5D 5553．A B C ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2b =，5cos()3A C +则(c = A 5B ．5C 52D 534．在A B C∆中，内角C 为钝角，3s in 5C =，5A C =，35A B ，则B C = ．5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为___.题型二已知三边(三边关系)解三角形1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B ．π6 C ．π4 D ．π122.已知A B C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，b ，c ，则(C = A ．B ．23πC ．34πD ．56π3．在A B C∆中，若()()3a b c c b a b c +++-=，则角(A = A ．23πB ．56π C ．D ．4．已知A B C ∆中，7A B =，5B C =，3C A =，则B C 与C A 的夹角是 A ．56πB ．C ．23π D ．5．在锐角A B C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =且224b cb c +=+，则角A = 题型三已知两角及一边解三角形1．A B C ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知105A =︒，45C =︒，c (b =A ．1BC D ．22.在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．46B ．45C ．43D ．2233.在△ABC 中，已知A ＝45°，B ＝60°，b ＝6，那么a ＝．4．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝____. 题型四利用正、余弦定理实现边角互化1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 2.在△ABC 中，已知A ：B ：C ＝3：4：5，那么a ：b ：c ＝．3.在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝1：√2：1，则C＝4.在△ABC中，若sin A：sin B＝2：3，则a+bb=．5．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝____.6.在△ABC中，边a，b，c所对角分别为A，B，C，且sinAa =cosBb=cosCc，则∠A＝．7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2a－cc＝tan Btan C，则角B的大小为____.题型五判断三角形的形状1.在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.2.在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状.3.在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．4.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．题型六三角形解的个数确定1．(多选)在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则角B的度数可能为() A．15° B．45° C．105° D．135°2．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝6，b＝9，A＝45° D．a＝30，b＝40，A＝30°3.在△ABC中，已知a＝23，b＝2，A＝60°，则B＝__ _.4.已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A=题型七正、余弦定理的综合应用1．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝7，则sin∠ABD＝____.2.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，sin∠ABC＝235，则CD的长度为____.3.如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长度为．4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－2a sin C＝b sin B.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.①求角C；②若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．7.设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c，且cos B＝35，b＝2.①当A＝30°时，求a的值；②当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．8.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B=512b sin A＝5．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝30，求△ABC的周长．9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin B sin C.①求A；2a＋b＝2c，求sin C.10.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，设sin A cos B＝sin B（2﹣cos A）．（1）若b+c=√3a，求A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．题型一测量距离问题典例1(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA ＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是____m.(2)为测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B之间的距离为__ _.[归纳提升]测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB【对点练习】❶(1)如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为____.(2)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为()A．64a B．3＋34a C．32a D．6a题型二测量高度问题典例2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.[归纳提升]测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.【对点练习】❷如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.典例3某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以103海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.【对点练习】❸甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？典例4某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？【对点练习】❹海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距100 3 n mile，渔船B被困海面，已知B距离基地100 n mile，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是。

高考数学正弦定理和余弦定理专题

高考数学正弦定理和余弦定理专题一、选择题1．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 的值为( )A.2633B.2393C.393D.1333解析：∵S △ABC ＝3，即12bc sin A ＝3，∴c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝2133＝2393.答案：B2．在△ABC 中，已知∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 等于( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：根据正弦定理c sin C ＝b sin B ，sin C ＝c sin B b ＝22×22433＝32.∴C ＝60°或C ＝120°，因此A ＝75°或A ＝15°. 答案：D3．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若△ABC 是等边三角形，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A ；若a sin B ＝b sin C ＝csin A ，又a sin A ＝b sin B ＝csin C，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝bc ，b 2＝ac ，c 2＝ab ，即a ＝b ＝c .∴p 是q 的充要条件．答案：C4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是( )A．(1,2) B．(2，＋∞) C．＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝32cos C＋12sin C，∴3＋12sin C＝32cos C＋12sin C，即sin C＝cos C．又0°＜C＜180°，∴C＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.解法二：设最大边长为a，最小边长为c，则ac＝3＋12，由a2＋c2－b22ac＝12，则b2＝a2＋c2－ac.cos C＝a2＋b2－c22ab＝2a2－ac2a a2＋c2－ac＝2·a2c2－ac2·aca2c2－ac＋1＝22.又0°＜C＜180°，∴C＝45°，则A＝180°－(B＋C)＝75°.1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a＝23，tanA＋B2＋tanC2＝4,2sin B cos C＝sin A，求A，B及b，c.解答：由tanA＋B2＋tanC2＝4得cotC2＋tanC2＝4，∴cosC2sinC2＋sinC2cosC2＝4，∴1sinC2cosC2＝4.∴sin C＝12，又C∈(0，π)，∴C＝π6，或C＝5π6，由2sin B cos C＝sin A得2sin B cos C＝sin(B＋C)，即sin(B－C)＝0，∴B＝C，B＝C＝π6，A＝π－(B＋C)＝2π3，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C得b＝c＝asin Bsin A＝23×1232＝2.2．如下图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC＝3DC，求β的值．解答：(1)证明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0.①(2)在△ADC中，DCsin α＝ACsin β，即sin β＝3sin α.②①代入②整理得：23sin2β－sin β－3＝0.解得sin β＝32，或sin β＝－33舍去，又β为锐角，则β＝60°.。

高考数学复习(22) 正弦定理和余弦定理

高考数学复习（22）正弦定理和余弦定理1．(2018·姜堰中学测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋14c 2，则acos B c ＝________.解析：由已知及余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a 2－14c 22ac ＝5c 8a ，所以acos B c ＝58.答案：582．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则角B 的大小为________．解析：由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，所以sin B ＝cos B ，所以B ＝45°.答案：45°3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b＝________.解析：bsin A ＝3csin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，所以b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝ 6.答案： 64．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为________．解析：由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB·AC ＝12，所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，所以边AC 上的高h ＝ABsin A ＝332.答案：3325．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a>0，b>0)，则最大角为________．解析：易知a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b222ab＝－12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝2π3.答案：2π36．(2018·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m ＝－αsin α＝32·1tan α＋12>32×3＋12＝2. 答案：(2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2acos A ＋bcos C ＋ccos B ＝0，则角A 的大小为________．解析：由余弦定理得2acos A ＋b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·a 2＋c 2－b22ac ＝0，即2acos A ＋a ＝0，所以cos A ＝－12，A ＝120°.答案：120°2．(2018·海门中学检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为________．解析：依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12absin C ＝12×3×32＝34. 答案：343．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是________．解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C，所以sin B ＝bsin Cc＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：无解4．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c)(sin B ＋sin C)＝(a －3c)sin A ，则角B 的大小为____．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及(b －c)·(sin B＋sin C)＝(a －3c)sin A 得(b －c)(b ＋c)＝(a －3c)a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b22ac，所以cos B＝32，所以B ＝30°. 答案：30°5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2acos B ，c ＝1，则△ABC的面积等于________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin Acos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bcsin A ＝12×1×1×32＝34.答案：346．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：因为3sin A ＝2sin B ，所以3a ＝2b. 又a ＝2，所以b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，所以c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4. 答案：47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，则b a ＝________.解析：因为asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin Asin AsinB ＋sin Bcos 2A ＝2sin A ，所以sinB ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.答案： 28．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________. 解析：因为tan B ＝－43，所以sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝12acsin B ＝2c ＝8，所以c ＝4，所以b ＝a 2＋c 2－2accos B ＝65，所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.答案：56549．(2018·苏锡常镇调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知acos B ＝3，bcos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长； (2)求B 的大小．解：(1) 法一：在△ABC 中，acos B ＝3，由余弦定理，得a·a 2＋c 2－b 22ac ＝3，即a 2＋c 2－b 2＝6c.①由bcos A ＝1，得b·b 2＋c 2－a 22bc ＝1，即b 2＋c 2－a 2＝2c.②①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4. 法二：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sin Acos B ＋sin Bcos A ＝sin(A ＋B)＝sin C ，由正弦定理，得sin A ＝asin C c ，sin B ＝bsin Cc ，代入上式得，c ＝acos B ＋bcos A ＝3＋1＝4. (2)由正弦定理得acos B bcos A ＝sin Acos B sin Bcos A ＝tan Atan B ＝3.又tan(A －B)＝tan A －tan B 1＋tan Atan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝33，解得tan B ＝33，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2acos 2C 2＋2ccos 2A2＝52b.(1)求证：2(a ＋c)＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b.解：(1)证明：由条件得a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝52b ，由于acos C ＋ccos A ＝b ，所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c)＝3b.(2)在△ABC 中，因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.由S ＝12acsin B ＝1815ac ＝15，得ac ＝8，又b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝(a ＋c)2－2ac(1＋cos B)， 2(a ＋c)＝3b ，所以5b 24＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，所以b ＝4. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·致远中学检测)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(B －A)＋sin(B ＋A)＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：由sin(B －A)＋sin(B ＋A)＝3sin 2A ，得2sin Bcos A ＝6sin Acos A ，所以cos A ＝0或sin B ＝3sin A.若cos A ＝0，则A ＝π2，在Rt△ABC 中，C ＝π3，所以b ＝c tan C ＝213，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝12×213×7＝736；若sin B ＝3sin A ，即b ＝3a ，由余弦定理得7＝a 2＋9a 2－2·a·3a·12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC的面积S ＝12absin C ＝12×1×3×32＝334.答案：334或7362．(2018·苏州高三期中调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝acos C ＋csin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．解析：由b ＝acos C ＋csin A 及正弦定理可得sin B ＝sin Acos C ＋sin Csin A ，所以sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋sin Csin A ，化简可得sin A ＝cos A ，所以A ＝π4.在△ACD中，由余弦定理可得CD 2＝2＝b 2＋c 24－2b·c 2·cos A≥bc－22bc ，当且仅当b ＝c2时取“＝”，所以bc≤4＋22，所以△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝24bc≤2＋1，所以△ABC 面积的最大值是2＋1.答案：2＋13．(2018·苏州模拟)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD＝3，cos ∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33，所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2B －1＝－13.因为∠D ∈(0，π)，所以sin ∠D ＝1－cos 2D ＝223.因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD·CD·sin∠D ＝12×1×3×223＝ 2. (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DC·cos∠D ＝12，所以AC ＝2 3. 因为BC ＝23，AC sin ∠B ＝ABsin ∠ACB ，所以23sin ∠B＝AB π－2∠＝AB sin 2∠B ＝AB 2sin∠Bcos∠B ＝AB233sin ∠B ，所以AB ＝4.。

余弦定理与正弦定理

余弦定理与正弦定理余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。

它们在三角学中有着广泛的应用，能够帮助我们计算未知边长或角度。

本文将介绍余弦定理和正弦定理的定义、公式以及应用，并探讨它们的区别和联系。

一、余弦定理的定义和公式余弦定理是在三角形中，通过已知边长和夹角计算其他边长的定理。

它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为三角形对应于角C的边长，a和b为与角C相邻的两条边长，cosC为角C的余弦值。

二、正弦定理的定义和公式正弦定理是在三角形中，通过已知两个角度和一个边长计算其他边长的定理。

它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。

三、余弦定理和正弦定理的应用1. 通过余弦定理计算未知边长或角度：- 已知两边长和夹角：可以使用余弦定理计算第三条边长，或者计算其他两个角度。

- 已知三边长：可以使用余弦定理计算其中一个角度。

2. 通过正弦定理计算未知边长或角度：- 已知两角度和一个边长：可以使用正弦定理计算其他两条边长。

- 已知一个角度和两边长：可以使用正弦定理计算另外两个角度。

四、余弦定理与正弦定理的区别和联系余弦定理和正弦定理在解决三角形问题时具有不同的应用场景。

余弦定理适用于已知边长和夹角的情况，可以求解缺失的边长或角度。

而正弦定理适用于已知两个角度和一个边长的情况，同样可以求解其他边长或角度。

此外，两个定理之间也存在一定的联系。

通过余弦定理可以推导出正弦定理，而正弦定理也可以推导出余弦定理。

在解决问题时，可以根据具体情况选择使用其中一个定理进行计算。

总结：余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。

正弦定理和余弦定理专题集训

正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 等形式，解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a b 解的个数一解两解一解一解[难点正本疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC·2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.2．已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.4．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．A ．22B ．82C.2D.22题型一利用正弦定理解三角形例1在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A的大小为________．题型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos Bcos C ＝－b 2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．思维启迪：由cos Bcos C ＝－b 2a ＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．题型三正弦定理、余弦定理的综合应用例3已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．审题视角(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角．温馨提醒(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形．(3)易错分析：①方法一中由sin2A＝sin2B直接得到A＝B，其实学生忽略了2A与2B互补的情况，由于计算问题出错而结论错误．方法二中由c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)不少同学直接得到c2＝a2＋b2，其实是学生忽略了a2－b2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC为等腰三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．高考中的解三角形问题典例：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于()A ．43B ．23C.3D.322．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于()A ．－12B.12C ．－1D ．13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是()A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于()A.32B.332C.3＋62D.3＋394二、填空题(每小题5分，共15分)5．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.6．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．7．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.三、解答题(共22分)8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cosA 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．一、选择题(每小题5分，共15分)1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于()A ．23B ．22C.3D.23．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为()A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4二、填空题(每小题5分，共15分)4．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则∠A ＝________，△ABC 的形状为__________．5．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为________．6．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B 的值是______．三、解答题7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．。

(完整版)正弦定理、余弦定理知识点

正弦定理、余弦定理讲师：王光明【基础知识点】1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝＝ca sin B ；2121212．三角形中的边角不等关系: A>B a>b,a+b>c,a-b<c ；；⇔3．【正弦定理】：＝＝＝2R （外接圆直径）；A a sin B b sin Ccsin 正弦定理的变式：； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b AR a sin 2sin 2sin 24．正弦定理应用范围： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A 为锐角AABa=bsin A bsin A<ab 5．【余弦定理】　a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为、6．余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．【习题知识点】知识点1　运用判断三角形形状例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【解析】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式2RsinAcosB=2RsinBcosAsinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形解法2:由余弦定理: 22222222bc a c b b ac b c a a -+⋅=-+⋅ 22b a = ∴ b a =即△ABC 为等腰三角形.知识点2 运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理: ①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角.例题2　在△ABC 中，已知，，B=45︒ 求A 、C 及c .3=a 2=b 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【解析】解法1：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BCb c当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解法2：设c =x 由余弦定理将已知条件代入，整理：解之：B ac c a b cos 2222-+=0162=+-x x 226±=x 当时从而A=60︒ ，C=75︒226+=c 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 当时同理可求得：A=120︒ C=15︒.226-=c 知识点3 解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A 、B 、C 为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C 的值．　【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角．本题应先求出A+B 和C 的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C ．【解析】 A B C 、、为锐角∴<++<0270°°A B C 又，，由公式可得tan tan A B ==12tan()tan tan tan tan A B A B A B +=+-⋅=+-=-112123[]tan()tan ()A B C A B C ++=++=++-+⋅tan()tan tan()tan A B C A B C 1 =-+--⨯33133() =0所以A+B+C=π知识点4 求三角形的面积例题4 △ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，∠B ＝60o ，∠ADC ＝150o ，求AC 的长及△ABC 的面积．【解析】在△ABC 中，∠BAD ＝150o －60o ＝90o ，∴AD ＝2sin60o ＝3．A在△ACD 中，AD 2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150o ＝7，∴AC ＝7． ∴AB ＝2cos60o ＝1．S △ABC ＝21×1×3×sin60o ＝343．知识点4 解决实际为题例题4 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。

正弦定理和余弦定理专题及解析

3 A. 2
B. 3
C.2 3
D.2
1
1
3
3
解析因为 S＝2×AB×ACsin A＝2×2× 2 AC＝ 2 ，所以 AC＝1，
所以 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，
所以 BC＝ 3.
答案 B
5.在△ABC 中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为
.
解析由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，
asin B 21 由正弦定理得 b＝ sin A ＝13.
21 答案 (1)C (2)13
考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(典例迁移)
【例 2】 (经典母题)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为( )
A.1 个
B.2 个
C.0 个
D.无法确定
(2)(2016·天津卷)在△ABC 中，若 AB＝ 13，BC＝3，∠C＝120°，则 AC＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
(3)(2015·广东卷)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
1
π
a＝ 3，sin B＝2，C＝ 6 ，则 b＝
3 S△ABC＝ 2 ，符合条件，故 C＝60°.故选 C.
答案 C
2π 2.在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 A＝ 3 ，a＝2，b＝ 23
3 ，则 B 等于( )
又∵a2＋b2－c2＝ab. ∴2b2－c2＝b2，所以 b2＝c2，∴b＝c，∴a＝b＝c. ∴△ABC 为等边三角形. 法二利用角的关系来判断： ∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)，又∵2cos Asin B＝sin C，

2022年高考数学(理)必刷题考点22 正弦定理和余弦定理(解析版)

考点22 正弦定理和余弦定理1．在△ABC中，三个内角A，B，C满足sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，则角C的大小为( ) A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】A2．已知的内角所对的边分别是，，则“”是“有两解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，，当有两解时，则，解得“”是“有两解”的必要不充分条件故选.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=，c=，则∠C=( )A．B．C．或D．【答案】B4．在中，内角所对边的长分别为，且满足，若，则的最大值为（）A．B．3 C．D．9【答案】A【解析】，则，所以，,.又有，将式子化简得，则，所以.选.5．如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若，则（）A．B．C．D．【答案】B由①②可得x=1+，y=，故答案选B.6．在中，, 所对边分别为,已知，，且．（1）求的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）.7．如图所示，在中，D是BC边上一点，，．(1)求；(2)求AC的长．【答案】（1）;（2）8．已知一块半径为的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以为斜边；如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．【答案】选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为9．中，分别是内角所对的边，且满足．（1）求角的值；（2）若，边上的中线，求的面积．【答案】⑴；⑵10．在中，内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角；(2)若,求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵△ABC中，b﹣acosC=，∴由正弦定理知，sinB﹣sinAcosC=sinC，∵A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC﹣sinAcosC=sinC，∴cosAsinC=sinC，∴cosA=，∴A=．（2）由（1）及得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.11．中，内角的对边分别为，的面积为，若（1）求角；（2）若，，求角．【答案】(1) ;(2) 或12．在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．【答案】(1)(2)13．在中，角，，的对边分别为.已知，.求角；若，求的面积．【答案】（1）（2）214．在中，角的对边分别为且.(1)求;(2)若，求的面积.【答案】(1)；(2).15．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB＝14，BD＝6，，.（1）求；（2）求AD的长和△ABC的面积.【答案】（1）=；（2），=。

(完整版)正弦定理和余弦定理专题总结,推荐文档

正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的主要工具，一、解三角形（一）已知三边例1、在ΔABC 中，，，，则B=_________。

1a =7b =3c =方法小结：已知三边用余弦定理。

（二）已知两边（一角）1例2、在⑴a = ⑵a = ⑶a = ⑷a = ⑸a =⑵，即时，有唯一解B=90°；1B sin =b A sin a = ⑶，即时，1B sin A B > ②若，则，有一解；a b <A B < ③若，则，有一解。

a b =A B =综上：⑴无解：；⑵两解：；⑶一解：或。

1B sin >⎩⎨⎧><a b 1B sin 1B sin =⎩⎨⎧≤<a b 1B sin例3、在ΔABC 中，，，B=45°，若这个三角形有两解，则x 的取值范围是_____________。

x a =2b =例4、在方法小结：2例5、在方法小结：例6、在方法小结：（四）综合1、如图，在ΔABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，3BC=2BD ，则的值为（）C sin A ．B ．C ．D ．33633666ABC题12、在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝，2∠ADB ＝135°，若AC ＝AB ，则BD ＝_______。

2方法小结：求角或求边必须先找到一个适当的三角形：①包含所求角或边；②条件尽可能充足（三个或以上）。

练：1、在2、在3、在DC=6，求二、边角转换，只留一类。

三角形中有些问题会需要转换边角类型来解决，一般情况下（少数问题除外），转换后的表达式最好只保留边或角的一种类型。

例7、在ΔABC 中，若，则ΔABC 的形状一定是（）C sin A sin B cos 2=A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形ABDC题2例8、在ΔABC 中，已知，则ΔABC 的形状为()()C cos a b C sin B cos a c B sin -=-_______________________。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分) 1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a cos B ”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：a cos B . 答案：C
2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22
，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．0个解析：∵a sin B ＝102
，∴a sin B <b ＝3<a ＝5，∴符合条件的三角形有2个．答案：B 3．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )
A ．22
B ．8 2 C. 2 D.22
解析：∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2.答案：C 4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78
解析：设等腰三角形的底边为a ，顶角为θ，则腰长为2a . 由余弦定理得cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78
. 答案：D 5．(2010·惠州模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为 A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3
解析：∵a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32，∴sin B ＝32
. 答案：D 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
解析：法一由余弦定理得2a 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°，b 2＋ab －a 2＝0，即(b a )2＋b a －1＝0，b a ＝－1＋52
<1，故b <a . 法二：由余弦定理得2a 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°，b 2＋ab －a 2
＝0，b ＝a 2
a ＋
b ，由a <a ＋b 得b <a . 答案：A 二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 7．在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝13
，S △ABC ＝43，则b ＝__________. 解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝ 1－(13)2＝223，又S △ABC ＝43，即12
ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.答案：2 3 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c ) cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.
解析：由正弦定理得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，化简得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )．∵0<sin B ≤1，∴cos A ＝33
. 9．(2010·新课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12
CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积
为3－3，则∠BAC ＝________. 解析：由∠ADB ＝120°知∠ADC ＝60°，又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12
AD ·DC sin60°＝3－3，所以 DC ＝2(3－1)，又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1，过A 点作AE ⊥BC 于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝3，又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE ＝3，在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，
所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°，在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3
＝2＋3，所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°. 答案：60°
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状．
解：法一：∵2cos2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即
(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3
.∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ＝a 2＋c 2－(a ＋c 2)22ac ＝12，化简得a 2＋c 2－2ac ＝0，解得a ＝c . ∴△ABC 是等边三角形．法二：∵2cos2B －8cos B ＋5＝0，∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0.即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.
解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3
.∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3.∴sin A ＋sin(2π3－A )＝3，∴sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3
sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin(A ＋π6)＝1.∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2.∴A ＝π3，C ＝π3
. ∴△ABC 是等边三角形． 11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝203
，b sin A ＝4. (1)求cos B 和a ；
(2)若△ABC 的面积S ＝10，求cos4C 的值．
解：(1)由b sin A ＝4，得a sin B ＝4，又a t an B ＝
203，∴cos B ＝35.又由a tan B ＝203知tan B >0，则sin B ＝45，tan B ＝43
，故a ＝5.
(2)由S ＝12ac sin B ，得c ＝5，∴A ＝C .由cos4C ＝2cos 22C －1＝2cos 2(A ＋C )－1＝2cos 2B －1＝2×(35)2－1＝－725
. 12．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12
c ＝b . (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．
解：(1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12
sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3
. (2)由正弦定理得，b ＝
a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝a sin C sin A ＝23sin C ，则l ＝a ＋
b ＋
c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋
23
[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)．∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)， ∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．。