3.1辅助角公式及应用的公开课比赛课件

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由y＝sinx（x∈R）的图象经 过怎样的平移和伸缩变换得到?
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课堂小结
一个公式：
a sin x b cos x
a b sin( x )
2 2
两个应用：
⒈利用辅助角公式将三角函数化成正弦型，然后用正弦型函数的性质 解决函数问题

r
a r
a b
2
2


a b c o s s in x
2 2
a b s in c o s x
2 2
a a b
2 2
a b s in ( x )
2 2
(其 中 ， n ta
b a
)
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辅助角公式
a sin x b cos x a b sin( x )
ta n b a
决定了 的大小
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例3：试将以下各式化为 A sin( x ), ( A 0, )
的形式
⑴
3 2
s in
1 2
cos
⑵
2 s in
6 cos
⑶

3 s in c o s
⑷


2 6
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公式推导
例2：将
a sin x b cos x 化为一个角的三角函数形式
解：①若a=0或b=0时，a sin x b cos x已经是一个角的
三角函数形式 ，无需化简，故有ab≠0.
②从三角函数的定义出发进行推导
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公式推导
解 ： y = s in x +
3cosx
= 2(
1 2
s in x +
3
co sx)
= 2 (s in x c o s
π 3
2
+ c o s x s in
π 3
)
= 2 s in (x +
π 3
)
所 以 ， 所 求 函 数 的 周 期 为 2 π ， 最 大 值 为 2， 最 小 值 为 - 2。
学前测评
1.两角和与差的正弦公式
sin
s in c o s c o s s in s in ( ) s in c o s c o s s in
s in c o s
s in c o s

2.两角和与差的正弦公式的应用
3
所以OA = 3
3 3
DA =
3 3
BC =
3 3
s in α
所 以 A B = O B - O A = cosα -
3 3
s in α
设 矩 形 ABCD的 面 积 为 S， 则
S = A B ×B C
= (c o s α 3 3 s in α ) s in α
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思考：
通过前面四个题目我们发现，一个角的
三角函数值可以用同角的异名函数的关系表
示出来，反过来，是不是任何一个同角的异
名函数也可转换成一个角的三角函数值呢？
如果能，那么又是怎么转化的呢?那么这节课 我们就来研究一下这个问题。
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辅助角公式的推导及简单应用
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导学达标
引例
例1:求证：
3 sin x cos x 2 sin( x

6
)
分析：其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右
“凑”, 使等式得到证明,并得出结论: 可见， 3 sin x cos x 可以化为一个角的三角函数形式
a 思考：一般地， sin x b cos x 是否可以化为 一个角的三角函数形式呢?
)-
3 6
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由0 < α <
π 3
π 6
,得
o < 2α <
2π 3
进而
π 6
1
< 2α +
π 6
<
5π 6
所 以 当 2α +
=
π 2
时 ，即 α =
π 6
时 ,S最大 =
-
3 6
=
3 6
.
3
因此，当α =
π 6
时 ， 矩 形 ABCD的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 为
3 6
⒉三角函数解决几何问题中利用辅助角公式求最值问题
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课后作业
P.132
练习6
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谢谢指导！
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1 2
cos 1 2 cos
s in
1 2
2
3 2 s in

s in c o s
5 6
c o s s in
5 6
cos
s in c o s

6
c o s s in

6

3 2
s in
1 2
cos
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达标测评
1.把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)- sin cos (4)-3 sin( ) 3 cos( )
6 6
2 2 (3)- sin cos
2已知函数
y＝
3 s in x ＋ c o s x ， x R .
= s in α c o s α -
3 3
s in α
2
=
1 2
s in 2 α s in 2 α + 3 6
3 6
(1 - c o s2 α )
3 6
=
1 2
cos2 α -
=
1 3
(
3 2
s in 2 α +
1 2
cos2 α ) -
6
=
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1 3
s in (2 α +
π 6
在平面直角坐标系中,以a为 y 横坐标,b为纵坐标描一点 P(a,b)如图1所示,则总有一 r 个角 ,它的终边经过点P.设 OP=r,r= a b ,由三角函数 O 图1 的定义知 所以 a s in x b c o s x b b
2 2


的终边
P(a,b)
x
s in
cos
a sin x b cos x a b sin( x )
2 2
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认定目标
1、了解辅助角公式 推导过程
a sin x b cos x
a b sin( x )
2 2
的
2、 会将 a sin x b cos x （a、b不全为零）化为只含 有一个正弦的三角形式 3、会利用辅助角公式解决三角函数问题
s in (

3
)
6 6
cos(

3
)
答案：
⑴ sin ( ) ⑶ 2 sin (
6 5 6 )
⑵ 2 2 sin ( )

⑷ 2 sin ( 7 )
3 6
3
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例 4 ： 求 函 数 y = s in x +
3cosx的 周 期 ， 最 大 值 和 最 小 值 。
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例5:如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为
3
的扇形，
C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记
∠COP= ，问当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？ 并求出这个最大面积。 Q
D C

O
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A
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B P
分析:在求当α 取何值时,矩形ABCD的面积S
s in 6 5 s in 6
5 s in 6 s in 6
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6
5 6
c o s s in
c o s s in

6
5 6

3 2
s in 3
2 2
(其中tan =
b a
)
因为上述公式引入了辅助角 ，所以把 上述公式叫做辅助角公式
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注意问题
①由点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角 可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三 象限、第四象限)，所以一般情况下辅助角 的取值范围为（ 0 2 ），点 P(a,b)决定了 所在的象限 ②
最大 ,可分二步进行: (1)找出S与α 之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S的最大值。
解 ： 在 R tΔ O B C 中 ， O B = c o s α , B C = s in α
DA o 在 R tΔ O A D 中 ， = ta n 6 0 = OA
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