【淘宝店铺：日出书屋】2021高考数学一轮习题：专题2 第20练函数中的易错题

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2020_2021学年高考数学一轮复习考点讲解函数的图象

2020-2021年新高三数学一轮复习考点：函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.本部分常结合函数的基本性质、导数、不等式等知识进行综合考查，多以选择题为主，难度中，高考命题频率比较高。

一、作函数的图象；二、函数图象的辨识；三、函数图象的应用。

【易错警示】1.图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错.2.明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.作函数的图象1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象―——————————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象―——————————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――————————————→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )――———————————————————→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―————————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象――————————————→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【温馨提示】图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数． (2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．【典例】【例1】作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.【例2】分别作出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)． (2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．函数图象的辨识函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【典例3】函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为()(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()解析 (1)法一易知g (x )＝x ＋sin x x 2为奇函数，故y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象关于点(0，1)对称，排除C ；当x ∈(0，1)时，y >0，排除A ；当x ＝π时，y ＝1＋π，排除B ，选项D 满足.法二当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A ，C ；又当x →＋∞时，y →＋∞，排除B ，而D 满足.(2)f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2，2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，排除选项A ，B ；当x ≥0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，所以f ′(0)＝－1<0，f ′(2)＝8－e 2>0，所以函数f (x )在(0，2)上有解，故函数f (x )在[0，2]上不单调，排除C ，故选D. 答案 (1)D (2)D【例4】函数f (x )＝(2x ＋2－x )ln|x |的图象大致为( )答案 B解析 ∵f (x )定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝(2－x ＋2x )ln|－x |＝(2x ＋2－x )ln|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当x ∈(0,1)时，2x ＋2－x >0，ln|x |<0，可知f (x )<0，排除A ，C.(2)设函数f (x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A．y＝f (|x|) B．y＝－|f (x)|C．y＝－f (－|x|) D．y＝f (－|x|)答案 C解析题图中是函数y＝－2－|x|的图象，即函数y＝－f (－|x|)的图象，故选C.函数图象的应用1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【典例】角度1研究函数的性质【例5－1】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.答案 C角度2 求不等式的解集【例5－2】已知函数y ＝f (x )的图象是如图所示的折线ACB ，且函数g (x )＝log 2(x ＋1)”，则不等式f (x )≥g (x )的解集是( )A.{x |－1<x ≤0}B.{x |－1≤x ≤1}C.{x |－1<x ≤1}D.{x |－1<x ≤2}解析令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}. 答案 C角度3 求参数的取值范围【例5－3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. 答案 (3，＋∞)[。

2021高考浙江版数学一轮讲义：第二章专题强化练一函数的性质 Word版含解析

专项强化练一函数的性质1.(2018浙江宁波期末)若函数f(x)=ax 2+(2a 2-a-1)x+1为偶函数,则实数a 的值为( ) A.1B.-12C.1或-12D.01.答案 C2.已知实数x,y 满足(12)x<(12)y,则下列关系式中恒成立的是( ) A.tan x>tan y B.ln(x 2+2)>[ln(y 2+1)]2C.1x <1y D.x 3>y 3 2.答案 D3.(2019浙江模拟)定义域为R 的偶函数f(x)满足对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时, f(x)=-2x 2+12x-18,若函数y=f(x)-log a (|x|+1)至少有6个零点,则a 的取值范围是( ) A.(0,√22) B.(0,√33)C.(0,√55) D.(0,√66) 3.答案 B 令x=-1,则f(1)=f(-1)-f(1),又f(x)为偶函数,∴f(1)=f(-1)=0,∴f(x)=f(x+2)=f(-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数f(x)的图象,如图,由图可知,要使y=f(x)-log a (|x|+1)至少有6个零点,即函数y=f(x)与y=log a (|x|+1)的图象至少6个不同的交点,则有0<a<1,且点(2,-2)在函数y=log a (|x|-1)的图象的下方,即log a 3>-2⇒3<a -2⇒0<a<√33,故选B.4.(2019浙江教育绿色评价联盟高三适应性考试)函数f(x)=(x-1x)cos x(-π≤x≤π,且x≠0)的图象可能为( )4.答案 D ∵f(-x)=(-x+1x )cos(-x)=-(x-1x)cos x=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,可排除选项A,B,当x=π时, f(π)=(π-1π)cos π=1π-π<0,可排除选项C,故选D.5.已知函数f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,则方程f(2x-1)=f(x)所有根的和是( )A.13B.1C.43D.25.答案 C f(x)的定义域为R, f(-x)=|-x-1|+|-x|+|-x+1|=|x+1|+|x|+|x-1|=f(x),所以f(x)是偶函数.因为f(2x-1)=f(x),所以2x-1=x或2x-1=-x,解得x=1或x=13,故选C.6.(2018浙江嘉兴期末)若f(x)=x 2+bx+c 在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)( )A.都大于1B.都小于1C.至少有一个大于1D.至少有一个小于16.答案 D 若f(x)在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则设f(x)的两个零点分别为x 1,x 2,且x 1<x 2,则m-1<x 1<x 2<m+1,且f(x)=(x-x 1)(x-x 2). 因为f(m-1)=(m-1-x 1)(m-1-x 2)=(x 1-m+1)(x 2-m+1), f(m+1)=(m+1-x 1)(m+1-x 2),所以f(m-1)f(m+1)=(x 1-m+1)(x 2-m+1)(m+1-x 1)(m+1-x 2)<(x 1-m+1+m+1-x 12)2·(x 2-m+1+m+1-x 22)2=1,故f(m-1)和f(m+1)至少有一个小于1, 故选D.7.已知a 为常数且为正数, f(x)={x 2-ax +1,x ≥a ,x 2-3ax +2a 2+1,x <a ,若存在θ∈(π4,π2),满足f(sin θ)=f(cos θ),则实数a 的取值范围是( ) A.(12,1)B.(√22,1) C.(1,√2)D.(12,√22) 7.答案 D 由题意得 f(x)={(x -a 2)2-a 24+1,x ≥a ,(x -3a 2)2-a 24+1,x <a ,易知f(x)的图象关于直线x=a 对称,且在[a,+∞)上单调递增, 所以a=sinθ+cosθ2=√22sin (θ+π4).因为θ∈(π4,π2),θ+π4∈(π2,3π4),所以a=√22sin (θ+π4)∈(12,√22).8.(2018台州高三上期末)已知函数f(x)={x+1x,x>0,-x2+3,x≤0,若函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]上恰有两个不同的零点,则实数k的取值范围是( )A.[1,3)B.(1,3]C.[2,3)D.(3,+∞)8.答案 A 函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞,1]上恰有两个不同的零点,等价于y=f(x)与y=k(x+1)的图象在(-∞,1]上恰有两个不同的交点,画出函数y=f(x)和y=k(x+1)在(-∞,1]上的图象,如图所示,y=k(x+1)的图象是过定点(-1,0)且斜率为k的直线.当直线y=k(x+1)经过点(1,2)时,直线与y=f(x)在(-∞,1]上的图象恰有两个交点,此时k=1;当直线经过点(0,3)时,直线与y=f(x)在(-∞,1]上的图象恰有三个交点.直线在旋转过程中与y=f(x)在(-∞,1]上的图象恰有两个交点时,斜率在[1,3)内变化,所以实数k的取值范围是[1,3).9.(2018浙江嘉兴高三上期末)已知函数f(x)=log4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是; f(0)+4f(2)= .9.答案(-4,0);3解析由4-|x|>0,解得函数f(x)的定义域为(-4,4).f(x)={log4(4-x)(0≤x<4),log4(4+x)(-4<x<0),故f(x)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减.由于f(0)=log44=1, f(2)=log42=12×log44=12,故f(0)+4f(2)=1+412=3.10.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)={x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.10.答案 (1,4);(1,3]∪(4,+∞)解析当λ=2时,不等式f(x)<0等价于{x ≥2,x -4<0或{x <2,x 2-4x +3<0,即2≤x<4或1<x<2,故不等式f(x)<0的解集为(1,4).易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x 1=4,函数y=x 2-4x+3(x∈R)有两个零点x 2=1,x 3=3.在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ>4.②两个零点为1,4,由图可知,此时1<λ≤3. 综上,λ的取值范围是(1,3]∪(4,+∞).11.(2018金丽衢十二校联考)若f(x)为偶函数,当x≥0时, f(x)=x(1-x),则当x<0时, f(x)= ;方程[5f(x)-1][f(x)+5]=0的实根个数为 . 11.答案 -x(1+x);6解析因为f(x)为偶函数,所以当x<0时, f(x)=f(-x)=-x(1+x).因为[5f(x)-1][f(x)+5]=0,所以研究y=f(x)的图象与直线y=15,y=-5的交点个数即可,其大致图象如图所示.观察图象知有6个交点,故方程有6个实数根. 12.已知函数f(x)=|x +ax |(a∈R).(1)当a=1时,写出f(x)的单调递增区间(不需写出推证过程);(2)当x>0时,若直线y=4与函数f(x)的图象交于A,B 两点,记|AB|=g(a),求g(a)的最大值. 12.解析 (1)f(x)的单调递增区间为[-1,0),[1,+∞). (2)因为x>0,所以当a>4时,y=f(x)的图象与直线y=4没有交点; 当a=4或a=0时,y=f(x)的图象与直线y=4只有一个交点;当0<a<4时,0<g(a)<4; 当a<0时,由x+ax=4,得x2-4x+a=0,解得xA=2+√4-a.由x+ax=-4,得x2+4x+a=0,解得xB=-2+√4-a.所以g(a)=|xA -xB|=4.故g(a)的最大值是4.。

2020_2021年高考数学一轮复习考点专项练习函数的图象

上，甲的治污能力比乙强，故①对，t2 时刻甲比乙强，t3 时刻都低于达标排放量，∴都达标，甲企业在[0,t1]
时刻治污能力不是最强．
【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活运用，本题考查了函数图象及其性质的综合应用，考查数形结
合思想，考查数学运算、数学直观、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确接函数的图像及其性质解决问
当 b 0 时，在0, 上，x b 0 恒成立，∴只需满足 x a x 2a b 0 恒成立，此时当两根分别
为 x a 和 x 2a b ，
（1）当 a b 0时，此时 0 a 2a b ，当 x 0 时， x a x 2a b 0 不恒成立，
（2）当 a b 0时，此时 2a b a ，若满足 x a x 2a b 0 恒成立，只需满足
【2020 年高考上海卷 11】已知 a R ，若存在定义域为 R 的函数 f (x) 同时满足下列两个条件，①对任意
x0
R
，
f
(x0 ) 的值为
x0
或
x2 0
；②关于
x
的方程
f
(x)
a 无实数解；则 a
的取值范围为
．
【答案】 , 0 0,1 1,
【解析】由 y x2 和 y x 的图象和函数的定义可知，若满足 f x0 的值为 x0 或 f x0 x02 ，只有 f 0 0 02 ， f 1 1 12 ，结合②可知若方程 f x a 无实数解，则 a , 0 0,1 1, ，
C． 0 , 1
D． , 0 1 ,
【解析】不等式 f (x) 0 化为 2x > x +1, 在同一直角坐标系下作出 y=2x，y=x+1 的图象（如图），得不等式 f (x) 0 的解集是 (0,1) ，故选 C．

2020版高考数学一轮复习课后限时集训12 函数模型及其应用理(含解析)北师大版

课后限时集训(十二) 函数模型及其应用(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2 x ＋100C [根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.] 2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B ．p ＋1q ＋1－12C.pqD ．p ＋1q ＋1－1D [设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2，解得x ＝1＋p1＋q －1，故选D ．]3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093D [由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与MN最接近的是1093. 故选D ．]4．血药浓度(Pl a sm a Concen t r at ion)是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示．根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是( ) A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 D [结合图像易知A ，B ，C 均正确，D 选项中的描述会中毒，故选 D ．]5．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B x －A ，x ＞A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份 4 m 34元二月份 25 m 3 14元三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元A [根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12x －5，x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.]二、填空题6．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．4．24 [∵m ＝6.5， ∴[6.5]＝6，∴f (6.5)＝1.06(0.5×6＋1)＝4.24.]7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.20 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S m ax ＝400.]8．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x (a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a 的最小值为________．5 [设投资乙商品x 万元(0≤x ≤20)，则投资甲商品(20－x )万元．利润分别为Q ＝a 2 x (a ＞0)，P ＝20－x 4，因为P ＋Q ≥5,0≤x ≤20时恒成立，则化简得a x ≥x2，0≤x ≤20时恒成立． (1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x ≤20时，分离参数a ≥x2，0＜x ≤20时恒成立，所以a ≥5，a 的最小值为 5.] 三、解答题9．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销售x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足x ＝3－2t ＋1函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润是多少万元．[解] 由题知t ＝23－x－1，(1＜x ＜3)，所以月利润：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即月最大利润为37.5万元．10．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． [解] (1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，则该函数模型满足的条件是： ①当x ∈[10,100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10,100]时，f (x )≤5恒成立． ③当x ∈[10,100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a )对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1，它在[10,100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x ＞80时，y ＞5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．(b )对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10,100]上是增函数，满足条件①，x ＝100时，y m ax ＝log 2 100－2＝2log 2 5＜5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②，设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10,100]，所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )＜log 2e 10－15＜210－15＝0，所以h (x )在[10,100]上是递减的，因此h (x )＜h (10)＝log 210－4＜0，即f (x )≤x5恒成立，满足条件③，故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．B 组能力提升1．(2019·武汉检测)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元C [设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－110⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋110×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]2.(2018·山西一模)如图，R t △ABC 中，AB ⊥BC ，|AB |＝6，|BC |＝ 2.若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动．设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数y ＝f (θ)的图像大致是( )A BC DA [当θ＝π时，y ＝2，排除B 和C ；当θ＝0时，y 取得最小值－2，排除D ，故选A.]3．某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是________．(参考数据：lg 1.1＝0.041，lg 2＝0.301)2026 [设从2018年后，第x 年该公司全年投入的研发资金为y 万元，则y ＝300×(1＋10%)x ，依题意得，300×(1＋10%)x ＞600，即1.1x＞2，两边取对数可得x ＞lg 2lg 1.1＝0.3010.041≈7.3，则x ≥8，即该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2026年．]4．(2019·湖北八校联考)已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x (x ＞0)件产品的销售收入是R (x )＝－14x2＋500x (元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润总产量)．销售商从工厂以每件a 元进货后，又以每件b 元销售，且b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？并求P (x )的最大值； (2)求乐观系数λ的值；(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．[解] (1)依题意设总利润为L (x )，则L (x )＝－14x 2＋500x －100x －40 000＝－14x 2＋400x－40 000(x ＞0)，∴P (x )＝－14x 2＋400x －40 000x ＝－14x －40 000x ＋400≤－200＋400＝200，当且仅当14x ＝40 000x，即x ＝400时等号成立．故当每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元． (2)由b ＝a ＋λ(c －a )，得λ＝b －ac －a. ∵b －a 是c －b ，c －a 的比例中项， ∴(b －a )2＝(c －b )(c －a )，两边同时除以(b －a )2，得1＝c －a －b －a b －a ·c －a b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a b －a －1c －ab －a，∴1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1·1λ，解得λ＝5－12或λ＝－5－12(舍去)．故乐观系数λ的值为5－12. (3)∵厂家平均利润最大，∴a ＝40 000x ＋100＋P (x )＝40 000400＋100＋200＝400.由b ＝a ＋λ(c －a )，结合(2)可得b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)， ∴b ＝100(5＋3)．故a 与b 的值分别为400,100(5＋3)．。

[数学]-专题04 增长率问题(一元二次方程的应用)(原版)

2022-2023学年浙教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题04 增长率问题（一元二次方程的应用）姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(每题2分，共20分) 1．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）某商品原价为100元，第一次涨价40%，第二次在第一次的基础上又涨价10%，设平均每次增长的百分数为x ，那么x 应满足的方程是（）A ． 40%10%2x += B ．()()()2100140%110%1x +++= C ．()()()2140%110%1x +++=D ．()()()210040%10010%1001x +++= 2．(本题2分)（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）共享单车的投放，方便了市民的出行．某公司一期投放A 型号的单车，二期又投放了B 型号的单车．已知B 型号的单车的单价比A 型号的单价提高的百分率是B 型号的投放数量比A 型号投放数量的增长率的2倍，这样二期总投入是一期总投入的2倍，设B 型号的投放数量比A 型号投放数量的增长率为x ，则下列方程正确的是（）A ．132x +=B ．(1)(12)2x x ++=C ．(1)(12)3x x ++=D ．(1)(1)22x x ++= 3．(本题2分)（2021秋·上海·八年级期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为（）A ．2200(1)1000x +=B ．200+200×2x ＝1000C ．200+200×3x ＝1000D ．22001(1)(1)1000x x ⎡⎤++++=⎣⎦4．(本题2分)（2022春·浙江温州·八年级统考期末）温州某镇居民人均可支配收入逐年增长，从2019年的5.2万元增长到2021年的6万元．设这两年该镇居民人均可支配收入的年平均增长率为x ，根据题意可以列方程为（）A ．()5.2126x +=B ．()25.216x +=C ．()5.216x +=D ．()25.216x +=5．(本题2分)（2022春·浙江金华·八年级校联考期中）电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，全国第一天票房约3亿元，假设以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入约4亿元，若把增长率设为x ，则下列方程正确的是（）A ．（1+x ）2＝4B ．3（1+x ）2＝4C ．3（1+x ）3＝4D ．（1+x ）3＝4 6．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x ，则可列方程为（）A ．()2170%a x a -=B ．()2170%a x a += C ．()2130%a x a -= D ．()230%1x a a += 7．(本题2分)（2021春·八年级课时练习）某市2017年国内生产总值（GDP ）比2016年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2018比2017年增长7%，若这两年GDP 年平均增长率为x %，则x %满足的关系是A ．12%7%%x +=B ．()()()112%17%21%x ++=+C ．12%7%2%x +=D ．()()()2112%17%1%x ++=+ 8．(本题2分)（2020春·山东威海·八年级统考期中）今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x ，则根据题意可列方程为（）A ．2.3 （1+x ）2=1.2B ．1.2（1+x ）2=2.3C ．1.2（1﹣x ）2=2.3D ．1.2+1.2（1+x ）+1.2（1+x ）2=2.39．(本题2分)（2021春·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）若国家对某种药品分两次降价，该药品的原价是25元，降价后的价格是16元，平均每次降价的百分率均为x ，则可列方程为（）A ．225(1)16x -=B ．225(1)16x +=C ．216(1)25x -=D ．216(1)25x +=10．(本题2分)（2021春·广西南宁·八年级校考期中）由于新冠疫情影响，某口罩加工厂改进技术，扩大生产，从10月份开始，平均每个月生产量的增长率为50%，已知第四季度的生产量为2375万个，设10月份口罩的生产量为x 万个，则可列方程（）A ．2(150%)2375x +=B ．2(150%)2375x x ++=C ．2(150%)(150%)2375x x x ++++=D ．2(150%)(150%)2375x x +++=二、填空题(每题2分，共18分)11．(本题2分)（2023春·浙江·八年级专题练习）为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为16.2万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________．12．(本题2分)（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）某件商品在9月份的价格为100元，经过两个月后的价格为121元，如果这件商品价格每月的增长率相同，则这个增长率为______．13．(本题2分)（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）某工程队承包了一项污水处理工程，原计划每天铺设污水管道1250米，因准备工作不充分，第一天铺设了原计划的80%，从第二天开始，该工程队加快了铺设速度，第三天铺设了1440米．若该工程队第二天、第三天每天的铺设长度比前一天增长的百分数相同，设这个百分数为x，列出方程____________．14．(本题2分)（2022春·辽宁大连·八年级统考期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某特许零售店冰墩墩毛绒玩具的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．求该店冰墩墩毛绒玩具销量的月平均增长率．15．(本题2分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在“绿色低碳，节能先行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计，某商城4月份销售自行车100辆，6月份销售了121辆．若该商城2022年4－6月的自行车销量的月平均增长率相同，则商城自行车销量的月平均增长率为________．16．(本题2分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）某公司3月份的利润为200万元，5月份的利润为242万元，则平均每月利润的增长率是______．17．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年x>），则x=_________（用百分数表的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（0示）．18．(本题2分)（2021春·上海松江·八年级校考期中）一辆汽车，新车购买价18万元，第一年的折旧率为20%，以后每年的年折旧率为x，如果该车在购买后第三年末的折旧价值为12.25万元，求年折旧率x 的值．那么可以列出关于x的方程式为___．（只列方程，不求解）19．(本题2分)（2022春·安徽滁州·八年级校联考期末）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 _____．三、解答题(共62分)20．(本题6分)（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）为助力脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋．(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率．(2)该网店五月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在五月份可获利3250元？（若农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元）21．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台.(1)求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少?(2)按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少?22．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率．(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？23．(本题6分)（2023春·八年级课时练习）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票24．(本题6分)（2022春·浙江绍兴·八年级校联考期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（成本为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个．现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来8月份平均销售量的基础上，经过市场调查，10月份调整价格后，月销售额达到5760元．已知该玩具价格每下降1元，月销售量将增加10个．(1)求8月份到10月份销售额的月平均增长率．(2)求10月份该玩具的销售量．25．(本题6分)（2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？26．(本题6分)（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相同．(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品．该景点只销售A，B两种旅游纪念品，A种纪念品每件利润5元，B种纪念品每件利润8元，且售出的B种纪念品的数量不多于A种纪念品的3倍，设第四周该景点售出A种旅游纪念品a件，获得的总利润为W元，求W与a的函数关系式，并求出获得的最大利润．27．(本题6分)（2021春·四川成都·八年级统考期末）由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同．请解答下列问题．（1）每天增长的百分率是多少？（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩9000万个？若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．28．(本题6分)（2019秋·八年级课时练习）某人将10000元存入银行，一年后取出5000元，再将余下的本利和再存入银行，但此时银行的年利率已下降3个百分点，且到期后还要缴20%的利息税·第二年到期他取出全部存款共5588元，求银行原来的年利率．29．(本题8分)（2017春·八年级单元测试）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．。

2021学年新教材高中数学第二章函数微专题集训二简单函数的综合应用一课一练(含解析)北师大版必修一

第二章函数微专题集训二简单函数的综合应用专题1 函数的图像及其应用1.☉%#￥￥541@5%☉(2020·沈阳模拟)图2-1中的图像能够作为函数y =f (x )的图像的有( )。

图2-1A.2个B.3个C.4个D.5个答案：A解析：定义域中的每一个x 都有且仅有一个y 值与之相对应,满足条件的只有①⑤中图像。

2.☉%8￥86￥￥0*%☉(2020·黄冈中学月考)在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y =f (x ),另一种是平均价格曲线y =g (x ),如f (2)=3表示股票开始买卖后2个小时的即时价格为3元;g (2)=3表示2h 内的平均价格为3元,下面给出了四个图像,实线表示y =f (x ),虚线表示y =g (x ),其中可能正确的是( )。

图2-2答案：C解析：刚开始交易时,即时价格和平均价格应该相等,A,D 错误;开始交易后,平均价格应该跟随即时价格变动,B 错误。

故选C 。

3.☉%#2￥76#@7%☉(2020·鄂南高中月考)若函数y =f (x )的图像如图2-3,则其表达式f (x )为。

图2-3答案：f (x )={32x +3,x ∈[-2,0),-12x +3,x ∈[0,2),2,x ∈[2,4)解析：此函数在三个区间上的图像各不相同,故分别写出其在各区间内的函数表达式。

4.☉%9￥96￥@￥8%☉(2020·河北石家庄二中高一月考)若方程x 2-4|x |+5=m 有4个互不相等的实数根,则m 的取值范围是。

答案：(1,5)解析：令f (x )=x 2-4|x |+5,作出其图像,如图所示。

由图像可知,当1<m <5时,满足条件。

5.☉%￥9@#621@%☉(2020·武汉二中月考)用min{a ,b }表示a ,b 两个数中的较小值。

设f (x )=min{x +2,10-x }(x ≥0),则f (x )的最大值为。

(必考题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 3．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85 D ．M 的最小值为1654．已知()21ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()1,+∞C ．()0,1D ．[)1,+∞5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x xf'x 0->（x 0>），则（）A ．()((6f 13f 2f ->>B ．((()2f 3f 6f 1>>-C ．()((6f 12f 3f ->>D ．((()3f 2f 6f 1>>-6．已知函数f (x )在x =x 0处的导数为12，则000()()lim3x f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．-4B ．4C ．-36D ．367．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤8．已知函数()[]1sin ,0,3f x x x x π=-∈且[]001cos ,0,3x x π=∈那么下列命题中真命题的序号是（）①()f x 的最大值为()0f x ； ②()f x 的最小值为()0f x ； ③()f x 在上[]0,π是减函数； ④()f x 在上[]0,x π上是减函数. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．已知函数()f x 在R 上连续可导，导函数为()'f x ，(0)1f =，其满足()()01f x f x x '->-，函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（） A ．函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B ．0x ≤时，不等式()x f x e ≥恒成立 C ．函数()g x 有最小值，无最大值 D ．1x =是函数()g x 的极大值点 10．已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()'f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（） A ．(0)2()4f f π>B ．2()()34f f ππ< C ．(0)2()3f f π>D ．2()()34f f ππ-<-11．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x y e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（）A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()0,1D ．()1,212．α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>二、填空题13．函数y x b =+的图象与函数122y x =的图象有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围为_________.14．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________.15．点(),P x y 是曲线C ：()10y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点O 是坐标原点，①PA PB =；②OAB 的面积为定值；③曲线C 上存在两点,M N 使得OMN 是等边三角形；④曲线C 上存在两点M ，N 使得OMN 是等腰直角三角形，其中真命题的序号是______.16．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______．17．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.18．已知101098109810()(21)f x x a x a x a x a x a =-=+++++，则222223344C a C a C a ++21010C a ++= _________.19．设函数f （x ）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x ），若f （lnx ）=x 2﹣1nx ，则f′（1）=_____20．已知函数f(x)＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g(x)＝－2x ＋9x，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f(x 1)＝g(x 2)，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0. （1）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（2）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-. 22．设函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈（1）若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的斜率为1，求a 的值;（2）已知导函数()f x '在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1,x e ∈时，()2f x e >-. 23．已知函数()221xf x xe x x =---.（1）求函数()f x 在[1,1]-上的最大值；（2）证明：当0x >时，()1f x x >--. 24．已知函数2()ln f x a x x =+.其中a R ∈. （1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）当1a =，求证：2()1f x x x +-.25．已知函数2()(2)x x f x ae a e x =-++ （1）若0a >，求()f x 的单调递增区间；（2）若存在正实数0x ，使得0()f x e =-，求实数a 的取值范围. 26．已知函数f （x ）＝ax 3+bx +c 在x ＝2处取得极值为c ﹣16. （1）求a 、b 的值；（2）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值.【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．B解析：B 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=，由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ，所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-，则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.3．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ，切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165．又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =．故选：D ．【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-，令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立，分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1，故1a ≥. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立，转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键，再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 5．B解析：B 【分析】根据条件的结构特点构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可．【详解】设g （x ）=()2x f x ，定义在R 上的奇函数f （x ），所以g （x ）是奇函数，x ＞0时，g′（x ）=()()()()22'x f x xf x f x -，因为函数f （x ）满足2f （x ）﹣xf'（x ）＞0（x ＞0），所以g′（x ）＞0，所以g （x ）是增函数，g(g =()11f -，可得：((()2361f f f -＞＞．故选B ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中构造新函数()()2x g x f x =，利用导数得到函数()g x 的单调性，利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6．A解析：A【分析】根据题意，由极限的性质可得则000000()()()()1lim =lim 33x x f x x f x f x f x x x x∆→∆→-∆---∆-∆∆，结合导数的定义计算可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 在0x x =处的导数为12，则000000()()()()112lim=lim 4333x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→-∆---∆-=-=-∆∆；故选：A ．【点睛】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于容易题．7．D解析：D 【分析】求出函数的导数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，即可得结果【详解】解：由()32114332f x x mx x =-+-，得'2()4f x x mx =-+，因为函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立，得4m x x≤+恒成立因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取等号，所以4m ≤，故选：D 【点睛】此题考查导数的应用，考查函数最值的求值，考查基本不等式应用，考查转化思想，属于中档题8．B解析：B 【解析】本题考查导数及函数的最值、单调性由()1sin 3f x x x =-得()/1cos 3f x x =-令()/1cos 03fx x =-=有1cos 3x =；因为01cos 3x =，则0x 为函数()1sin 3f x x x =-的一个极值点.当[]0,x π∈时，函数cos y x =递减，所以当()00,x x ∈时()/0f x >，函数递增，则③错误，；当()0,x x π∈时()/0fx <，函数递减，④正确．故0x 是函数的一个极大值点且唯一，故此点也是最大值点，①正确，②错误. 故正确答案为①④ 所以本题选B9．D解析：D 【分析】对()()xf xg x e =求导，由条件可判断单调性，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】()()x f x g x e =，()()()xf x f xg x e-=''∴，当1x >时，()()0f x f x '->，即()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，故A 正确，不符合题意；当1x <时，()()0f x f x '-<，即()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞上单调递减，1x ∴=是函数()g x 的极小值点，故D 错误，符合题意；()g x 在(,0]-∞上单调递减，(0)()(0)1f g x g e∴≥==，即()1x f x e ≥，()x f x e ∴≥，故B 正确，符合题意；可知()g x 在1x =处取得极小值即最小值，无最大值，故C 正确，不符合题意.故选：D. 【点睛】本题考查导数的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】构造函数()()cos f x F x x=，利用函数()'F x 导数判断函数()F x 的单调性，将ππππ0,,,,3434x =--代入函数()F x ，根据单调性选出正确的选项.【详解】构造函数()()cos f x F x x=，依题意()()()2cos sin 0cos f x x f x xF x x+='>'，故函数在定义域上为增函数，由()π04F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π04πcos 0cos4f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()π04f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除A 选项.由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34ππcos cos34f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B 选项.由()π03F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭得()π03πcos 0cos3f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()π023f f⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，选项. 由ππ34F F ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得ππ34ππcos cos 34f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ34f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确，故选D. 【点睛】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.11．B解析：B 【解析】分析：先根据图像求出()1f x e '≤，即得()0f x '≤，也即得结果. 详解：因为当2x ≤时，()1f x e '≤，所以当2x ≤时，()0f x '≤，所以()y f x =的单调减区间是(),2-∞，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.12．D解析：D 【分析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项. 【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据幂函数的性质作出的图象数形结合即可求解【详解】由幂函数的性质作出的图象由图知当直线与的图象相切时只有一个公共点由得设切点则解得所以切点为因为切点在切线上所以解得符合题意当直线过点时此时有解析：(,0){1}-∞【分析】根据幂函数的性质作出122y x =的图象，数形结合即可求解. 【详解】由幂函数的性质作出122y x =的图象，由图知当直线y x b =+与122y x =的图象相切时，只有一个公共点，由122y x =得12122y x x-'=⨯=，设切点()00,x y 则00|1x x y x ='==，解得01x =，所以02y =，切点为()1,2，因为切点在切线y x b =+上，所以21b =+，解得1b =符合题意，当直线y x b =+过点()0,0时0b =，此时有2个交点，由图知0b <时有一个交点，故答案为：(,0){1}-∞ 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据幂函数的性质作出122y x =的图象，然后作y x =，当y x b =+与曲线相切时有一个公共点，利用切点处的导函数值等于1，求出b 的值，当直线y x b =+过原点时有两个公共点，此时0b =再向下平移有一个公共点，可得0b <.14．【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为：【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论解析：2π 【分析】先求导，根据单调性求函数最大值即可. 【详解】因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 递增，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()f x 递减，所以max ()sin cos 22222f x f πππππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2π．【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.15．①②③④【分析】利用导数的几何意义求得过点的切线方程结合函数性质对每个选项进行逐一分析即可容易判断和选择【详解】设点由得切线方程：即∴∴为中点∴①正确；②正确；过原点作倾斜角等于和的2条射线与曲线的解析：①②③④ 【分析】利用导数的几何意义求得过点P 的切线方程，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断和选择. 【详解】设点()1,0P a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由21y x '=-得切线方程：()211y x a a a -=--，即212y x a a=-+ ∴()2,0A a ，20,B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1,P a a ⎛⎫⎪⎝⎭为AB 中点， ∴PA PB =，①正确；1122222AOB S OA OB a a=⋅=⨯⨯=△，②正确；过原点作倾斜角等于15︒和75︒的2条射线与曲线的交点为,M N 由对称性可知OMN 中，=OM ON ，又60MON ∠=︒，∴OMN 为等边三角形，③正确；过原点作2条夹角等于45︒的射线与曲线交于点,M N ，当直线OM 的倾斜角从90︒减少到45︒的过程中，OMON的值从+∞变化到0，在此变化过程中必然存在OMON2和22的时刻，此时OMN 为等腰直角三角形，④正确. ∴真命题的个数为4个. 故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及函数性质的应用，属综合中档题.16．【分析】先判定再根据切线相互垂直可得的关系利用该关系式把转化为一元函数利用导数可求其最小值【详解】当时当时因为故所以即其中又令则当时；当时故故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值解析：1e-【分析】先判定()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，再根据切线相互垂直可得12,x x 的关系，利用该关系式把12x x 转化为一元函数，利用导数可求其最小值.【详解】当1x <时，()0xf x e '=-<，当1x >时，()10f x x'=>，因为()()121f x f x ''=-，故()()12,1,1,x x ∈-∞∈+∞，所以1211x e x -⨯=-即12x x e =，其中11<x . 又1121xx x x e =，令(),1tg t te t =<，则()()1,1tg t t e t '=+<，当1t <-时，()0g t '<；当11t -<<时，()0g t '>，故()()min 11g t g e=-=-，故答案为：1e-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，注意根据导数的性质确定切点的位置，而多元函数的最值问题一般可转化为一元函数的最值问题，后者可利用导数来处理.17．43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合（为常数）在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数解析：43. 【分析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】32()26f x x x m =-++， 2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，当20x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,上的最小值，即(0)3f m ==，函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=，∴函数在[]22-,上的最大值为43.故答案为：43 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.18．【解析】【分析】根据f （x ）的展开式结合求导出现所求的式子再令x=1则可得到结果【详解】∵∴=20两边再同时进行求导可得：180令x=1则有180∴a2a3a4a10＝180【点睛】本题考查了二项式解析：180【解析】【分析】根据f （x ）的展开式，结合求导出现所求的式子，再令x=1，则可得到结果. 【详解】∵()()10109810981021f x x a x a x a x a x a =-=+++++，∴()f x '=20()998710981211098x a x a x a x a ，-=++++ 两边再同时进行求导可得：180()88761098222110998872x a x a x a x a ⨯-=⨯+⨯+⨯++，令x=1,则有18010982210998872a a a a ⨯=⨯+⨯+⨯++∴22C a 223C +a 324C +a 4210C ++a 10()109821109988722a a a a =⨯+⨯+⨯++＝180．【点睛】本题考查了二项式展开式的应用问题，考查了导数法及赋值法的应用，考查了计算能力，属于中档题．19．【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式再求导代值计算即可【详解】设lnx=t 则x=et ∵f （lnx ）=x2-1nx ∴f （t ）=e2t-t ∴f （x ）=e2x-x ∴f′（x ）=2e2x-1∴f′（解析：221e -【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式，再求导，代值计算即可．【详解】设lnx=t ，则x=e t ， ∵f （lnx ）=x 2-1nx ， ∴f （t ）=e 2t -t ， ∴f （x ）=e 2x -x ， ∴f′（x ）=2e 2x -1， ∴f′（1）=2e 2-1，故答案为2e2-1．【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数的运算，属于基础题．20．【解析】【分析】分别求出g（x）f（x）的最大值和最小值得到不等式组解出即可【详解】问题等价于f（x）的值域是g（x）的值域的子集显然g（x）单调递减∴g（x）max=g（2）=g（x）min=g（解析：73,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分别求出g（x），f（x）的最大值和最小值，得到不等式组，解出即可．【详解】问题等价于f（x）的值域是g（x）的值域的子集，显然，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（2）=12，g（x）min=g（4）=﹣234；对于f（x），f′（x）=3x2﹣4x+1，令f′（x）=0，解得：x=13或x=1，x，f′（x），f（x）的变化列表如下：max min∴1222344aa⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，∴a∈[﹣74，﹣32]，故答案为：[﹣74，﹣32]．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．三、解答题21．（1）0；（2）证明见解析. 【分析】（1）由导数求出函数()f x 的单调性，即可得出函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（2）求导得出(21)(1)()ax x f x x--'=，讨论a 的值，确定函数()f x 的单调性，得出函数()f x 有最小值时a 的取值范围，再令12t a=，由（1）得出()ln 1,(1)h t t t t =-+>的单调性，进而证明该不等式. 【详解】解：（1）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x'=- 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≤. 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f =. （2）由题可知1()2(21)f x ax a x'=+-+ 22(21)1ax a x x-++=(21)(1)ax x x--=.①当0a =时，由（1）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意； ②当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->.此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ③当102a <<时，此时112a<. 函数()f x 在区间1(1,)2a 上单调递减，在区间1(,)2a+∞上单调递增所以min 111()()ln 224f x f a a a==- 即11()ln 24g a a a=-. 要证1()14g a a<-，只需证当102a <<时，1()104g a a -+<成立. 即证111ln 10,0222a a a ⎛⎫-+<<< ⎪⎝⎭ 设12t a=，()ln 1,(1)h t t t t =-+>由（1）知()(1)0h t h <= 即1()104g a a -+<成立. 所以1()14g a a<-. 【点睛】在证明不等式的恒成立问题时，可以将不等式问题转化为求函数的最值问题，进而证明不等式.22．（1）2a =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）结合导函数的零点可得02a x =，再由函数()f x 的单调性，进而可转化条件为()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()()22,21ln ,g x x x e x x x =--∈，通过导数证明()2g x e >-即可得证.【详解】（1）因为()()2ln 2f x a x x a x =+-+，所以()()22af x x a x'=+-+，所以()()42212af a '=+-+=，解得2a =；（2）证明：由题意，()()()()1222x x a af x x a x x--'=+-+=，因为导函数()f x '在区间()1,e 上存在零点，设零点为()00,1,x x e ∈，则()0222,e a x ∈=，所以()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()()22,21ln ,g x x x e x x x =--∈，则()2ln 2g x x x '=-，设()()()2ln 21,,h x g x x e x x '==-∈，则()220h x x'=-<，()h x 单调递减，又()()112h g '==-，故()2ln 20g x x x '=-<在()1,e 上恒成立，故()g x 单调递减，所以()()2g x g e e >=-，故当()1,x e ∈时，()2f x e >-.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导函数的零点即函数的极值点转化条件为证明2200002ln 2x x x x e -->-.23．（1）1e-；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数得到()f x 单调性，确定()()(){}max max 1,1f x f f =-，进而可得结果；（2）将所证不等式转化为证明10x e x -->，构造函数()1xg x e x =--，利用导数可证得()0g x >，从而得到结论. 【详解】（1）()()()2212xxxf x e xe x x e '=+--=+-，当()1,ln 2x ∈-时，()0f x '<；当()ln 2,1x ∈时，()0f x '>，()f x ∴在[)1,ln 2-上单调递减，在(]ln 2,1上单调递增，()()(){}max max 1,1f x f f ∴=-，又()111121f e e-=--+-=-，()11214f e e =---=-，()()max 11f x f e∴=-=-.（2）要证()1f x x >--，只需证()210xf x x xe x x ++=-->，0x ，∴只需证：10x e x -->.令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x >时，e 1x >，()0g x '∴>在()0,∞+上恒成立，()g x ∴在()0,∞+上单调递增，()0010g x e ∴>--=，即当0x >时，10x e x -->恒成立，则原命题得证，∴当0x >时，()1f x x >--.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是能够通过分析法将所证不等式进行等价转化，从而构造新函数，利用导数求得新函数的最值使得结论得证.24．（1）当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增；（2）证明见解析．【分析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对函数求导，按0a 和0a <时，分别判断导函数的符号，得到函数的单调区间．（2）当1a =时，2()f x lnx x =+，要证明2()1f x x x +-，即证10lnx x -+．构造()1g x lnx x =-+利用函数的导数，求解函数的极值，证出命题成立．【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a a xf x x x x'+=+=，①当0a 时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<220a x +<，所以()0f x '<，所以()f x 在上单调递减；当x >220a x +>，所以()0f x '>，所以()f x 在)+∞上单调递增．综上，当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增．（2）当1a =时，2()f x lnx x =+，要证明2()1f x x x +-，即证1lnx x -，即10lnx x -+．即10lnx x -+．设()1g x lnx x =-+则1()xg x x-'=，令()0g x '=得，1x =．当(0,1)x ∈时，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<．所以1x =为极大值点，也为最大值点所以()g x g （1）0=，即10lnx x -+．故2()1f x x x +-．【点睛】本题考查导数在函数中的应用，考查导数判断函数的单调性，考查导数解决不等式的证明，属于中档题．25．（1）当2a =时，单调增区间为(,)-∞+∞，当02a <<时，单调增区间为1(,ln )2-∞和1(ln ,)a +∞，当2a >时，单调增区间为1(,ln )a-∞和1(ln ,)2+∞（2）1a e≤. 【分析】（1）求()f x '()()211xxe ae =--，()0f x '=可以解得：11ln2x =，21ln x a =，讨论1a 和12的大小关系即可；（2）当0a ≤，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)2f x f <=-所以存在；讨论当10a e <≤，11a e<<，1a ≥时()f x 的单调性，利用()f x 的最值即可判断. 【详解】解：（1）()()2221xx f x aea e '=-++()()211x x e ae =--令()0f x '=，解得：11ln2x =，21ln x a =，当112a =，即2a =时，()()2210x f x e '=-≥，此时()f x 在R 上单调递增；单调增区间为(,)-∞+∞ 当112a >，即02a <<时，令()0f x '>得：1x e a >或12x e <，即1ln 2x <或1ln x a >，此时单调增区间为1(,ln )2-∞和1(ln,)a +∞ 当112a <，即2a >时，令()0f x '>得：12x e >或1x e a <，解得：1ln 2x >或1ln x a < 此时单调增区间为1(,ln )a -∞和1(ln,)2+∞ （2）()(21)(1)x x f x e ae '=--，0x >①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()(0)2f x f <=-，又x →+∞时，()f x →-∞，∴ 00x ∃>，使得0()f x e =-，②当0a >时，11()2()()2x x f x a e e a'=-- 若11a≤，即1a ≥时，()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)2f x f e >=->-不满足，若11a >，即01a <<时 ()f x 在1(0,ln )a 是单减，在1(ln ,)a+∞上单增 ∴min 11211()(ln )ln 1ln a f x f a a a a a a +==-+=--- 令1()1ln g a a a=---(01)a << 22111()0a g a a a a-'=-=>， ∴()g a 在(0,1)上单增，且1()11g e e e=--+=- ∴10a e <≤时，1()()g a g e e ≤=-，此时00x ∃>，使得0()f x e =-，当11a e <<时，1()()g a g e e>=-不满足题意综上所述：1a e ≤【点睛】本题主要考查了求函数的单调区间，考查了利用方程有解，求参数的范围，属于中档题. 26．（1）1,12a b ==-；（2）最小值为4-，最大值为28.【分析】（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '=，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（2）根据导数可知()f x 在2x =-处取得极大值，即可求出c ，再求出端点处的函数值，即可判断.【详解】（1）因3()f x ax bx c =++ ，故2()3f x ax b '=+，由于()f x 在点2x =处取得极值，故有(2)0(2)16f f c ==-'⎧⎨⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ，解得112a b =⎧⎨=-⎩；（2）由（1）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-令()0f x '= ，得122,2x x =-=，当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数，当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数．由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-，由题设条件知1628c += ，得12c =，此时(3)921f c -=+=，(3)93f c =-+=，(2)164f c =-=-，因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．。

高考数学一轮复习课时规范练20函数y=Asin(ωxφ)的图像及应用(文含解析)北师大版

课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用基础巩固组1.将函数y=sin x的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动π10个单位长度,所得图像的函数解析式是()A.y=sin2x-π10B.y=sin12x-π20C.y=sin2x-π5D.y=sin12x-π102.(2020安徽安庆二模,理8)已知函数f(x)=2sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π,若将其图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度,所得图像关于x=π3对称,则实数m的最小值为()A.π4B.π3C.3π4D.π3.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式为()A.f(x)=2√3sinπx8+π4B.f(x)=2√3sinπx8+3π4C.f(x)=2√3sinπx8−π4D.f(x)=2√3sinπx8−3π44.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()5.右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)=( )(x +π3)(π3-2x) (2x +π3)(5π6-2x) 6.(2019全国3,理12)设函数f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0),已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f (x )在(0,π10)递增 ④ω的取值范围是[125,2910)其中所有正确结论的编号是( ) A.①④B.②③C.①②③D.①③④7.已知简谐运动f (x )=2sin π3x+φ|φ|<π2的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为 , . 8.如图所示,某地夏天8~14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b ,A>0,ω>0,φ∈(0,π),则这期间的最大用电量为万千瓦时;这段曲线的函数解析式为 . 9.已知函数y=3sin12x-π4. (1)用五点法作出函数的图像;(2)说明此图像是由y=sin x 的图像经过怎么样的变化得到的.综合提升组10.已知函数f (x )=a sin x+b cos x (x ∈R ),若x=x 0是函数f (x )图像的一条对称轴,且tan x 0=3,则a ,b 应满足的表达式是( ) A.a=-3b B.b=-3a C.a=3bD.b=3a11.(2019天津,理7)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f (x )的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π,且g π4=√2,则f 3π8=( )A.-2B.-√2C.√212.(2020山东潍坊一模,15)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,将y=f (x )的图像沿x 轴向左平移π6个单位长度,再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为y=g (x ).已知y=g (x )的图像的相邻对称中心之间的距离为2π.则ω= .若y=g (x )的图像在其某对称轴处对应的函数值为-2,则g (x )在[0,π]上的最大值为 .创新应用组13.(2020安徽合肥一中模拟,理6)如图所示,秒针尖的位置为M (x ,y ),若初始位置为M 0-12,-√32,当秒针从M 0(此时t=0)正常开始走时,那么点M 的横坐标与时间t 的函数关系为( ) A.x=sin π30t-π6 B.x=sin π30t-π3 C.x=cosπ30t+2π3 D.x=cosπ30t-2π3参考答案课时规范练20 函数y= A sin (ωx+φ)的图像及应用1.B 由题意,将y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍后得到y=sin 12x 的图像,再把所有点向右平行移动π10个单位长度后所得图像的函数为y=sin12x-π10=sin12x-π20.故选B . 2.B f (x )=-cos2ωx+1,T=2π2ω=π,则ω=1,所以f (x )=-cos2x+1,将其图像沿x 轴向右平移m (m>0)个单位长度,所得图像对应函数为y=-cos(2x-2m )+1.所得图像关于x=π3对称,则有cos2π3-2m =±1,所以2π3-2m=k π,k ∈Z ,解得m=π3−kπ2,k ∈Z ,由m>0,得实数m 的最小值为π3.故选B . 3.D 由图得,A=2√3,T=2×[6-(-2)]=16,所以ω=2πT=2π16=π8.所以f (x )=2√3sinπ8x+φ.由函数的对称性得f (2)=-2√3,即f (2)=2√3sin π8×2+φ=-2√3,即sinπ4+φ=-1,所以π4+φ=2k π-π2(k∈Z ),解得φ=2k π-3π4(k ∈Z ).因为|φ|<π,所以k=0,φ=-3π4.故函数的解析式为f (x )=2√3sinπx 8−3π4.4.C 设水深的最大值为M ,由题意并结合函数图像可得{3+k =M ,k -3=2,解得M=8.5.B 由题图可知,T2=2π3−π6=π2,∴T=π.∴2πω=π,∴ω=2,故A 错误;∴y=sin(2x+φ).∵过点(2π3,0),∴sin (2×2π3+φ)=0,即4π3+φ=2π,∴φ=2π3.∴y=sin (2x +2π3)=sin π-2x+2π3=sin (π3-2x),故B 正确;∵y=sinπ3-2x =sin π2−(π6+2x)=cos 2x+π6,故C 错误;∵cos (5π6-2x)=cos π-2x+π6=-cos2x+π6,故D 错误,故选B .6.D ∵f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,∴5π≤2πω+π5<6π,解得125≤ω<2910,故④正确.画出f (x )的图像(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0<x<π10时,π5<ωx+π5<ωπ10+π5,又125≤ω<2910,∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2,∴③正确.综上可知①③④正确.故选D .7.6 π6 由题意知1=2sin φ,得sin φ=12,又|φ|<π2,得φ=π6,函数的最小正周期为T=2πω=6. 8.50 y=10sin π6x+π6+40,x ∈[8,14] 由图像知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.A=12(50-30)=10, b=12(50+30)=40, T=2πω=2×(14-8)=12,所以ω=π6,所以y=10sinπ6x+φ+40.因为函数图像过点(8,30),且φ∈(0,π),解得φ=π6. 故所求解析式为y=10sin π6x+π6+40,x ∈[8,14].9.解(1)列表,243sin12x-π4描点画图如图所示,(2)(方法1)“先平移,后伸缩”先把y=sin x 的图像上所有点向右平移π4个单位长度,得到y=sin x-π4的图像;再把y=sin x-π4的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x-π4的图像,最后将y=sin 12x-π4的图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-π4的图像. (方法2)“先伸缩,后平移”先把y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin 12x 的图像;再把y=sin 12x 图像上所有的点向右平移π2个单位长度,得到y=sin 12x-π2=sinx2−π4的图像,最后将y=sin x2−π4的图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin 12x-π4的图像. 10.C f (x )=a sin x+b cos x=√a 2+b 2a √a 2+b 2sin x+b√a 2+b 2cos x .令cos α=√a 2+b2,sin α=√a 2+b2,则tan α=ba , 则f (x )=√a 2+b 2sin(x+α).因为x=x 0是函数f (x )图像的一条对称轴,则x 0+α=π2+k π,k ∈Z ,x 0=π2-α+k π,k ∈Z . tan x 0=tanπ2-α+k π=tan π2-α=1tanα=ab =3,k ∈Z ,则a=3b.故选C . 11.C 已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0.则f (x )=A sin ωx.∴g (x )=A sinω2x .∵g (x )的最小正周期为2π,而2πω2=2π,∴ω=2.则g (x )=A sin x. 由gπ4=√2,得A sin π4=√2,解得A=2.则f (x )=2sin2x. ∴f3π8=2sin3π4=√2.故选C .12.1 √3 ∵f (x )是偶函数,且0<φ<π,∴φ=π2.∴f (x )=A sin (ωx +π2)=A cos ωx.由已知将y=f (x )的图像沿x 轴向左平移π6个单位长度,可得y=A cos ωx+π6的图像.再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=A cos ω2x+π6ω的图像.∴g (x )=A cosω2x+π6ω.∵y=g (x )的图像的相邻对称中心之间的距离为2π, ∴T 2=2π,∴T=4π,2πω2=4π,∴ω=1.∵y=g (x )的图像在其某对称轴处对应的函数值为-2,∴A=2. ∴g (x )=2cos (12x +π6).∵0≤x ≤π,∴π6≤12x+π6≤2π3,∴当12x+π6=π6,即x=0时,g (x )在[0,π]上的最大值为g (x )max =2×√32=√3.13.C 当t=0时,点M 0-12,-√32,则初始角为-2π3,由于秒针每60秒顺时针转一周,故转速ω=-2π60=-π30,当秒针运动t 秒到M 点时,秒针与x 正半轴的夹角为-π30t-2π3,所以x 与时间t 的函数关系式x=cos -π30t-2π3=cos π30t+2π3.故选C .。

(常考题)人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．若函数21()f x x ax x =++在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，则a 的取值范围是（） A ．[1,0]-B ．[1,)-+∞C ．[0,3]D ．[3,)+∞2．已知奇函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且()11f =-，则“1x >-”是“()1xf x <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件.3．已知函数2()85f x x x =---，()x e exg x ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若1x ∀∈[],m n ，2x ∃∈()0,∞+，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（）A ．7B ．6C ．D ．4．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞5．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（） A ．1 B ．eC ．2eD ．1e6．设ln 2ln 3ln ,,23a b c ππ===则下列判断中正确的是（） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．c b a >>7．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知函数()21,20ln ,0x x f x x x e⎧--≤≤=⎨<≤⎩，方程()f x a =恰有两个不同的实数根1x 、()212x x x <，则212x x +的最小值与最大值的和（）A ．2e +B ．2C ．36e -+D ．34e -+9．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，则使得()()240x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()2,00,2-⋃B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．()()2,02,-⋃+∞D ．()(),20,2-∞-⋃10．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--11．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（） A ．()(),00,2∞⋃-B ．()(),02,-∞+∞C ．()0+∞，D ．(),2∞-12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（）A ．()()21ln 2f f -C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->二、填空题13．若函数3213()(4)32xf x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为________ 14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________.15．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且()()0f x f x +'>，则()2ln 2a f =，()1b ef =，()0c f =的大小关系为_____16．函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则+a b 的值为________． 17．已知()32f x x ax bx =++，在1x =处有极值1-，则2+a b =_______18．已知抛物线2y ax bx c =++过点()1,1，且在点()2,1-处与直线3y x =-相切，则a =__________，b =____________，c =_________________.19．已知32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，那么此函数在[]22-,上的最大值为______.20．已知函数()f x sinx cosx =+，()'f x 是()f x 的导函数，若()()00'2f x f x =，则2020012sin x cos x sin x +=-______．三、解答题21．已知函数(),()1x f x e g x ax ==-，其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.（1）讨论函数()()()h x f x g x =⋅的单调性；（2）设N ,()()a f x g x +∈≥恒成立，求a 的最大值(ln 3 1.1,ln 20.69)≈≈. 22．已知函数()331f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.（3）求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.23．已知函数2()ln f x x x =-，()g x kx =．（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()g x 是()f x 的切线，求实数k 的值；（3）若()f x 与()g x 的图象有两个不同交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，求证：121x x >． 24．已知函数32()3f x x x =-.（1）求()f x 在点(1,4)P --处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若()f x 的定义域为[1,]m -时，值域为[4,0]-，求m 的最大值. 25．已知函数()322312f x x x x m =--+.（1）若1m =，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数m 的取值范围. 26．已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先求出()32221212x ax f x x a x x +-=+-='，由()f x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦是增函数，则()0f x '≥在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，也即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，【详解】()32221212x ax f x x a x x+-=+-='，令32()21g x x ax =+-，要使函数21()f x x ax x =++在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数，则有()32210g x x ax =+-≥在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，令21()2h x x x =-+，32()20h x x '=--<，所以()h x 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故1()32h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以3a ≥ 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数单调性求参数的范围，解答本题的关键是()f x 在1,12⎛⎤⎥⎝⎦是增函数转化为()0f x '≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，即32210x ax +-，分离参数即212a x x -+在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，属于中档题.2．B解析：B 【分析】根据奇函数的定义和单调性可确定()f x 和()f x '的符号，由奇偶性定义可知()g x 为偶函数，利用导数可确定()g x 单调性；根据()()111g g =-=，利用单调性可求得()1xf x <的解集，根据推出关系可确定结论. 【详解】()f x 为(),-∞+∞上的奇函数，∴()00f =，又()f x 单调递减，∴当0x <时，()0f x >；当0x >时，()0f x <，且()0f x '≤，令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，()g x ∴为偶函数，当0x ≥时，()0xf x ≤；当0x <时，()0xf x <；()()g x xf x ∴=-，()()()()()g x f x xf x f x xf x '''∴=--=-+⎡⎤⎣⎦当0x ≥时，()0f x ≤，()0g x '∴≥，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增，由偶函数对称性知：()g x 在(],0-∞上单调递减；()()()1111g g f =-=-=，∴由()()1g x xf x =<得：11x -<<，()()1,11,≠-⊂-+∞，∴“1x >-”是“()1xf x <”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．3．B解析：B 【分析】先用导数法研究()y g x =，然后的同一坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =的图象，根据[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立求解. 【详解】因为()x e exg x ex+=，所以()()211x x e x e g x ex ex '-⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()10g '=，所以()g x 在1x =处取得极小值，且为定义域内唯一极值，()()min 12g x g ∴==.()22185()4111f x x x x -==---++≤，作函数()y f x =与()y g x =的图象，如图所示：当()2f x =时，方程两根分别为7-和1-，则n m -的最大值为：()176---=. 故选：B 【点睛】关键点睛：利用导数和二次函数的性质，作出图像，利用数形结合进行求解，考查了转化化归的的思想、运算求解，以及数形结合的能力，属于中档题.4．B解析：B 【分析】构造函数()()xg x e f x =，根据题意，可得函数()g x 的奇偶性，根据0x <时()()0f x f x +'>，对函数()g x 求导，可得函数()g x 的单调性，将()()211a e f a f a +≥+，左右同乘1a e +，可得()()211211a a e f a e f a +++≥+，即()()211g a g a +≥+，利用()g x 的性质，即可求得答案.【详解】∵()()2x f x e f x -=，∴()()()x x xf xe f x e f x e --==-，令()()xg x e f x =，则()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，当0x <时()()0f x f x +'>，∴()()()'0xx e f x f x g '+⎡⎤⎣⎦>=，即函数()g x 在(),0-∞上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在()0,∞+上单调递减， ∵()()211ae f a f a +≥+，∴()()211211a a ef a e f a +++≥+，∴()()211g a g a +≥+，即211a a +≤+，解得，203a -≤≤，故选：B .【点睛】解题的关键是将题干条件转化为()()()x x xf x e f x e f x e --==-，根据左右相同的形式，构造函数()()xg x e f x =，再根据题意，求得函数的奇偶性，单调性；难点在于：由于()()211a e f a f a +≥+，不符合函数()g x 的形式，需左右同乘1a e +，方可利用函数()g x 的性质求解，属中档题.5．B解析：B 【分析】令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可．【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b<，()a b <，令ln xy x=，则函数在(0,)t 递增，故21ln 0xy x-'=>，解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集，可得0t e <≤，故t 的最大值是e ，故选：B ．【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．6．B解析：B 【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数分析()f x 的单调性，从而判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】设()ln x f x x =，所以()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，所以x e =，所以()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(),x e ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，因为()ln 22ln 2ln 44244f ===，且()()()34f f f π>>，所以b c a >>，故选：B. 【点睛】方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法：（1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性；（2）先比较处于同一单调区间的函数值大小；（3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小.7．C解析：C 【分析】先对函数()f x 求导，再利用辅助角公式化简，然后利用正弦函数图像和性质即可分增区间. 【详解】()cos2f x x =， ()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C . 【点睛】本题主要考查的是正弦复合函数的单调性以及单调区间的求解，以及复合函数的导数的求法，熟练掌握正弦函数图像和性质是解决本题的关键，是中档题.8．C解析：C 【分析】作出函数()y f x =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围，将21x 、2x 用a 表示，可将212x x +表示为以a 为自变量的函数，利用导数可求得212x x +的最大值和最小值，进而可求得结果. 【详解】作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，当31a -≤≤时，直线y a =与函数()y f x =的图象有两个交点()1,x a 、()2,x a ，12x x <，则2121ln x a x a ⎧-=⎨=⎩，可得2121ax a x e⎧=-⎨=⎩，则2121ax x e a +=-+，构造函数()1xx g x e =-+，其中31x -≤≤，则()1xg x e '=-.当-<3≤0x 时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减；当01x <≤时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增. 所以，()()min 02g x g ==，()334g e --=+，()1g e =，显然()()31g g ->，()()3max 34g x g e -∴=-=+.因此，212x x +的最大值和最小值之和为33426e e --++=+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数求解代数式的最值，解题的关键就是将212x x +表示为以a 为自变量的函数，考查计算能力，属于中等题.9．D解析：D 【分析】构造函数()ln (),g x xf x = 根据()g x '的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,再解不等式即可. 【详解】构造函数()ln (),g x xf x =则()()()()ln ()ln f x f x x xf x g x xf x xx+''=+'=，已知当0x >时，()()ln 'x x f x f x ⋅<-，所以在x>0时，()g x '<0，即g （x ）在（0，+∞）上是减函数，因为y=lnx 在（0，+∞）上是增函数，所以f （x ）在（0，+∞）上是减函数已知()()f x x R ∈是奇函数，所以f （x ）在（-∞，0）上也是减函数，f （0）=0，故当0x >时，f （x ）<0, 当0x <时，f （x ）>0,由()()240x f x ->得224040()0()0x x f x f x ⎧⎧->-<⎨⎨><⎩⎩或，解得x<-2或0<x<2 故选D. 【点睛】本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f （x ）＞0与f （x ）＜0的解集.10．B解析：B 【分析】求出函数的导数，根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】()262x f x x e '=-+，且()f x '为单调函数，∴()12620f e '=-+>，()0620f '=-+<，由()()010f f ''<，故()f x 的极值点所在的区间为()0,1，故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的应用，函数的极值点的意义，考查转化思想，属于中档题.11．D解析：D 【分析】构造函数()()xxF x e f x e =-，则由题意可证得()F x 在R 上单调递增，又()20f =，()()22222F e f e e =-=-，故2()x x e f x e e <-可转化为()()2F x F <，解得2x <.【详解】令()()xxF x e f x e =-，则()()()()()1xxxxF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦，因为()()1f x f x '+>，所以()()()0xF x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()F x 在R 上单调递增，又()20f =，所以()()22222F e f e e =-=-故当2()x x e f x e e <-时，有2()x x e f x e e -<-，即()()2F x F <，由()F x 的单调性可知2x <. 故选：D. 【点睛】本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.12．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．详解：令()(),0g x f x lnx x =->， ∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->．故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．二、填空题13．【分析】函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点分别讨论三种情况数形结合分析整理即可得答案【详解】函数有只有一个极值点函数只有一个变号零点则易知①当时显然不合题意；②当时当时为减函数当时为增函数所以解析：[]310,3e e ⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭【分析】函数()f x 有只有一个极值点⇔函数()'f x 只有一个变号零点，分别讨论0k <、0k =、0k >三种情况，数形结合，分析整理，即可得答案. 【详解】函数()f x 有只有一个极值点⇔函数()'f x 只有一个变号零点，则2()(3)3(3)()x x f x e x k k x k x x x e =--+-=-'，易知(3)0,(0)3f f ''==-， ①当0k <时，,()0,,()0x f x x f x →-∞>→+∞>，显然不合题意； ②当0k =时，()(3)x f x e x -'=，当3x <时()0f x '<，()f x 为减函数，当3x >时()0f x '>，()f x 为增函数，所以3x =为函数()f x 唯一极值点，满足题意；③当0k >时，若3x =为()'f x 唯一的零点2(3)30x e x kx kx ⇒--+=,0k >只有唯一解，则3x =，可得0-=xe kx 无解，即(3)xe k x x=≠无解，设()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x-'=，当1x <时，()0h x '<，()h x 为减函数，当1x >时，()0h x '>，()h x 为增函数，min ()(1)h x h e ==，所以0k e <<，经验证满足题意；④当0k >，若3x =不是()'f x 唯一的零点，()'f x 可能有2个或3个零点，当()'f x 有3个零点时候显然不合题意，当()'f x 有两个零点时，()xe h x x=有一个零点时，k e =，当()x e h x x =有两个零点时，结合题意，3x =为其中一个零点，所以33e k =，经验证满足题意；故答案为：[]310,3k e e ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭【点睛】解题的关键是将()f x 只有一个极值点等价为函数()'f x 只有一个变号零点，分析()'f x 解析式，数形结合，可得答案，易错点为，x=3为x-3=0和0-=x e kx 共同零点时，也符合题意，属中档题.14．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根解析：()()1,00,1-【分析】令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x '-'=，因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．15．【分析】令则可以判断出在上单调递增再由根据单调性即可比较大小【详解】令则因为对于恒成立所以所以在上单调递增因为所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数利用导数判断出在上单调递增更关解析：c a b <<【分析】令()()x g x f x e =，则()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，可以判断出()()xg x f x e =在R上单调递增，再由()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =根据单调性即可比较大小. 【详解】令()()xg x f x e =，则()()()()()xxxg x f x e f x e e f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，因为()()0f x f x +'>对于x ∈R 恒成立，所以()()()0xg x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以()()xg x f x e =在R 上单调递增，()()()ln22ln 2ln 2ln 2a f e f g ===，()()()1111b ef e f g ===， ()()()0000c f e f g ===，因为0ln 21<<，所以()()()0ln 21g g g <<，所以c a b <<，故答案为：c a b << 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()xg x f x e =，利用导数判断出()g x 在R 上单调递增，更关键的一点要能够得出()ln 2a g =，()1b g =，()0c g =，根据单调性即可比较大小.16．【分析】先根据极值列方程组解得值再代入验证即可确定结果【详解】解∵函数∴又∵函数当时有极值10∴∴或当时有不等的实根满足题意；当时有两个相等的实根不满足题意；∴【点睛】本题考查根据极值求参数考查基本解析：7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得a b ，值，再代入验证，即可确定结果. 【详解】解∵函数322()f x x ax bx a =--+∴2()32f x x ax b '=--，又∵函数322()f x x ax bx a =--+，当1x =时有极值10，∴2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，∴411a b =-⎧⎨=⎩或33a b =⎧⎨=-⎩当411a b =-⎧⎨=⎩时，2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=有不等的实根满足题意；当33a b =⎧⎨=-⎩时，22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=有两个相等的实根，不满足题意；∴7a b += 【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.17．【分析】求出由题意求出即得答案【详解】在处有极值即解得经检验当时在处有极值符合题意故答案为：【点睛】本题考查函数的极值点与极值属于中档题解析：3-【分析】求出()'fx .由题意，()()'10,11f f ==-，求出,a b ，即得答案.【详解】()()32'2,32f x x ax bx f x x ax b =++∴=++. ()f x 在1x =处有极值1-，()()'10,11f f ∴==-，即32011a b a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得1a b ==-.经检验，当1a b ==-时，()32f x x x x -=-在1x =处有极值1-，符合题意.1a b ∴==-，23a b ∴+=-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查函数的极值点与极值，属于中档题.18．3-119【分析】先求函数的导函数再由题意知函数过点且在点处的切线的斜率为1即分别将三个条件代入函数及导函数解方程即可【详解】解：由于抛物线过点则又因为点处与直线相切即切线的斜率为1即又因为切点为把解析：3 -11 9 【分析】先求函数2y ax bx c =++的导函数'()f x ，再由题意知，函数过点(1,1)，(2,1)-，且在点(2,1)-处的切线的斜率为1，即()'21f =，分别将三个条件代入函数及导函数，解方程即可. 【详解】解：由于抛物线2y ax bx c =++过点()1,1，则()11f =，1a b c ∴++=，又'()2f x ax b =+，因为2y ax bx c =++点()2,1-处与直线3y x =-相切，即切线的斜率为1，即()21f '=， 41a b ∴+=．又因为切点为(2,1)-，421a b c ∴++=-．把①②③联立得方程组14142 1.a b c a b a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=-⎩，解得：3119a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即3a =，11b =-，9c =．故答案为：3，-11，9. 【点睛】本题考查导数的几何意义及其应用，利用方程的思想求参数的值，考查计算能力.19．43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合（为常数）在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数解析：43. 【分析】先求导数，判断函数单调性和极值，结合32()26f x x x m =-++（m 为常数）在[]22-,上有最小值3，求出m 的值，再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】32()26f x x x m =-++， 2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,令 ()0f x '=，解得 0x =或2x =，当20x -<<时，()0,()f x f x '<单调递减，当02x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，当2x >时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()f x 在0x =时有极小值，也是[]22-,上的最小值，即(0)3f m ==，函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得， 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=，∴函数在[]22-,上的最大值为43.故答案为：43 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最值，属于中档题.20．【分析】求出导函数后由可得再结合可得又化简可得代入求值可得即为所求【详解】∵∴由得∴∵由得又∴把代入得：∴故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系式解题时注意公式的灵活应用和变形同时注意整体代换在解解析：1115【分析】求出导函数后由()()00'2f x f x =可得003cosx sinx =-，再结合22001sin x cos x +=可得20110sin x =．又化简可得22002200011215sin x sin x cos x sin x sin x ++=-+，代入求值可得20201111515sin x sin x +=+，即为所求．【详解】∵()f x sinx cosx =+， ∴()'f x cosx sinx =-，由()()00'2f x f x =，得000022cosx sinx sinx cosx -=+， ∴003cosx sinx =-， ∵()2222000022220000000001111.21212315sin x sin x sin x sin x cos x sin x sin x sinx cosx sin x sinx sinx sin x ++++===---⋅---+①由003cosx sinx =-，得22009cos x sin x =，又22001sin x cos x +=，∴201.10sin x =② 把②代入①得：20201111515sin x sin x +=+． ∴20200111215sin x cos x sin x +=-．故答案为1115．【点睛】本题考查同角三角函数关系式，解题时注意公式的灵活应用和变形，同时注意整体代换在解题中的作用，属于基础题．三、解答题21．（1）答案见解析；（2）3. 【分析】（1）求函数导数得()(1)xh x e ax a -'=+，再分0a =、0a >和0a <，由导数的正负判断单调性即可；（2）设函数()()()1xF x f x g x e ax =-=-+，通过求导得min ()(ln )ln 10F x F a a a a ==-+≥，再构造()ln 1G a a a a =-+，1a ≥，求导数根据单调性，结合零点存在性定理即可得解. 【详解】（1）由题意得()()()(1)xh x f x g x e ax =⋅=-，则()(1)(1)x x xh x e ax ae e ax a =-+=-+'当0a =时，()0x h x e =-<'恒成立，函数()h x 单调递减；当0a >时，令()0h x '>得1a x a ->，令()0h x '<得1ax a-<，函数()h x 在1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减. 当0a <时，令()0h x '>得1a x a -<，令()0h x '<得1ax a->，函数()h x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）设函数()()()1xF x f x g x e ax =-=-+，所以()xF x e a =-'，令()0F x '=得ln ,(0)x a a =>.当ln x a <时，()0F x '<；当ln x a >时，()0F x '> 所以()F x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增, 所以min ()(ln )ln 1F x F a a a a ==-+因为要使得()()f x g x ≥恒成立，只要()0F x ≥恒成立即min ()(ln )ln 10F x F a a a a ==-+≥ 设()ln 1G a a a a =-+，1a ≥∴()ln 0G a a =-≤'，∴()G a 在1a ≥上单调递减，又(3)33ln 314 3.30G =-+≈->，(4)44ln 415 5.520G =-+≈-<，且()G a 图象连续不断，又a N +∈，所以满足条件的a 的最大值为3. 【点睛】思路点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.22．（1）310x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-；（3）最大值为3，最小值为1-. 【分析】（1）对()f x 求导， ()0k f '=，计算()0f 求切点，利用点斜式即可写出切线方程；（2）令()0f x '>可得单调递增区间，令()0f x '<可得单调递减区间；（3）求出()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，即可利用单调性求出最值.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，()03k f '==-，因为()01f =，所以切点为()0,1，所以切线方程为()130y x -=--，即310x y +-=，（2）由()()()2333110f x x x x '=-=+->可得1x >或1x <-，由()()()2333110f x x x x '=-=+-<可得11x -<<，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-，（3）由（2）知()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[]1,2单调递增，所以31113312228f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3223213f =-⨯+=， ()3113111f =-⨯+=-，所以()()min 11f x f ==- ，()()max 23f x f == ，所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-，【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 23．（1）11ln 222+；（2）1；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出其单调性，即可得出函数()f x 的最小值；（2）利用导数的几何意义得出切线方程20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，再由2000012,1ln 0x k x x x -=-+-=求出k 的值；（3）将22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加相减化简得出2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=-，令211x t x =>，构造函数2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，利用单调性证明2(1)ln 1t t t ->+，从而得出1212ln 22x x x x +>，再由令()ln 2G x x x =+的单调性得出12()(1)G x x G >，从而得出121x x >. 【详解】解：（1）∵2()ln f x x x =-，∴2121()2(0)x f x x x x x-'=-=>当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x在2⎛ ⎝⎭上单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增．故函数()f x的最小值为211ln ln 222222f ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若()g x 是()f x 的切线，设切点为00(,())x f x 则过点00(,())x f x 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+即20000012()ln y x x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭由题意知2000012,1ln 0x k x x x -=-+-= 令2()1ln (0)h x x x x =-+->，则0x >时，1()20h x x x'=--< ∴2()1ln h x x x =-+-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =∴2001ln 0x x -+-=有唯一的实根01x =，则0012211k x x =-=-=．（3）由题意知22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加得22121212ln ()x x x x k x x +-=+两式相减得22221211ln ()x x x k x x x --=-，即212121ln x x x x k x x +-=- ∴22211212211221ln ln ()x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪+-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=- 不妨令120x x <<，记211x t x =>，则2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++==-1ln 1t t t +- 令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+ ∴2l ())1n 1(t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+ ∴2(1)ln 1t t t ->+，因而1212ln 2x x x x +=112(1)ln 2111t t t t t t t ++->⋅=--+ 令()ln 2G x x x =+，则0x >时，1()20G x x '=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增 ∵121212()ln 22(1)G x x x x x x G =+>=，∴121x x >．【点睛】在处理极值点偏移问题时，关键是构造新函数，结合单调性解决极值点偏移问题. 24．（1）950x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞、(2,)+∞；单调递减区间为(0,2)；（3）3.【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；（2）令()0f x '<和()0f x '>分别可得单调递减和递增区间；（3）根据()f x 在(1,)-+∞上的单调性，结合(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；(3)0f =以及值域为[4,0]-可得03m ≤≤，从而可得结果.【详解】（1）由32()3f x x x =-，得2()36f x x x '=-，所以'(1)9f -=所以切线方程为49(1)y x +=+，即：950x y -+=（2）令2()360f x x x '=-<，得02x <<，令()0f x '>，得0x <或2x >，.所以()f x 的单调递增区间为(,0)-∞、(2,)+∞；单调递减区间为(0,2).（3）由（1）知，函数()f x 在区间(1,0)-和(2,)+∞上单调递增；在区间(0,2)上单调递减，且(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；(3)0f =.所以当03m ≤≤时，()f x 的值域为[4,0]-；当3m >时，()(3)0f m f >=，()f x 的值域为[4,()]f m -.所以m 的最大值等于3.【点睛】关键点点睛：第3问根据()f x 在(1,)-+∞上的单调性，利用(1)4f -=-；(0)0f =；(2)4f =-；(3)0f =以及值域为[4,0]-解题是关键.25．（1）12y x =-；（2）()7,20-.【分析】（1）求出()f x 的导数，求出()1f '即为切线斜率，再求出()1f ，即可利用点斜式求出切线方程；（2）利用导数讨论()f x 的变化情况，求出极大值和极小值，即可根据题意建立不等式，求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，()26612f x x x '=--，故()112f '=-，又当1m =时，()12312112f =--+=-，故所求的切线方程为()12121y x +=--，即12y x =-.（2）由题意，()()()()22661262612f x x x x x x x '=--=--=+-，令()0f x '=，得1x =-或2x =，故当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，当()1,2x ∈-时，()0f x '<，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>故当1x =-时，函数()f x 有极大值()()()121311217f m m -=⨯--⨯-⨯-+=+，当2x =时，函数()f x 有极小值()2283412220f m m =⨯-⨯-⨯+=-.若函数()f x 有3个零点，实数m 满足70200m m +>⎧⎨-<⎩，解得720m -<<，即实数m 的取值范围为()7,20-.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.26．（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）1a e ≥-. 【分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令()0f x '=求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数()1ln g x x x=+，求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()ln f x x x =，所以()1ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，()1ln111f '=+=. 又因为()10f =，则切点坐标为()1,0，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-.（2）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，由（1）可知，()ln 1f x x '=+.令()0f x '=解得1=x e. ()f x 与()f x '在区间()0,∞+上的情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； ()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）当1x e e≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x ≥+”. 令()1ln g x x x =+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22111x g x x x x -'=-=，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令()0g x '=解得1x =，当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.当()1,x e ∈时，()0g x '>，所以()g x 在区间()1,e 单调递增.而1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，()11ln 1 1.5g e e e e=+=+<.所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.。

(压轴题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．222,1⎡⎤-⎣⎦B ．(],1-∞C ．()222,0-D ．222,0⎡⎤-⎣⎦2．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2C ．2019D ．20203．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 4．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1655．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()1010V t H t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（H 为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为()3m /h v .那么瞬时融化速度等于()3m /h v 的时刻是图中的（）.A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t6．已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，满足x R ∀∈，()()f x f x '>且(1)f e =，则不等式(ln )f x x <的解集为（）A ．(,)e +∞B ．(1,)+∞C ．(0,) eD ．(0,1)7．函数()3sin cos 2xxf x x x =+在[]2,2ππ-的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．8．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（） A ．7B ．4C ．0D ．﹣49．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为（） A ．(,)e +∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．1(0,)(1,)e e10．R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()20f =，则不等式2()x x e f x e e <-的解集为（） A ．()(),00,2∞⋃-B ．()(),02,-∞+∞C ．()0+∞，D ．(),2∞-11．α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（）A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．22αβ>12．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()()0,1,4,+∞C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,4)二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数，()()()()220,xf x f x g x x f x '+<=，则不等式()(122x g g ->-的解集为______ 14．已知函数()xf x a x e =-有3个零点，则实数a 的取值范围为_______________. 15．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，则函数()f x 的图象在1ln 2x =处的切线的倾斜角为________. 16．已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为______________. 17．已知21()34ln 2f x x x x =--+在(,1)t t +上不单调，则实数t 的取值范围是______________18．已知函数()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈的最小值为2，则实数m 的值为____________．19．已知函数f(x)＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g(x)＝－2x ＋9x，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f(x 1)＝g(x 2)，则实数a 的取值范围是________．20．函数()f x 的定义域和值域均为()0,∞+，()f x 的导函数为()f x '，且满足()()()2f x f x f x '<<，则()()20182019f f 的取值范围是____________．三、解答题21．已知函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++，（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a <时，讨论函数()f x 的单调性；（3）若对a ∀∈(-3，-2)，12,x x ∈[1，3] ，不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数2()2ln f x x ax x =++（a 为常数）. （1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，()212x x x <，且2132x x -≤，求()()12f x f x -的范围.23．若函数()32143f x x ax bx =+-+在2x =-和1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论方程()f x k =实数解的个数. 24．已知函数()xaf x x e =+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）当1a =-时，求函数() f x 在区间[0,)+∞的零点个数；（2）若()2xe f x <对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围.25．已知函数211()ln (,0)22f x x a x a R a =--∈≠. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 26．已知函数()ln f x x x =.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】作出函数()f x 的图象，利用数形结合的思想判断a 的范围，找出临界点即相切时a 的取值，进而得出a 的范围．【详解】作出()f x 的图象，如图，由图象可知：要使()f x ax 恒成立，只需函数()g x ax =的图象恒在图象()f x 的下方，可得1a ，设()g x ax =与函数2()22(0)f x x x x =++相切于点(),(0)P m n m <，由()f x 的导数为22x +，可得切线的斜率为22m +，即有22a m =+，222am m m =++，解得2m =-，222a =-由图象可得222a -，综上可得a 的范围是[22-1]．故选：A 【点睛】解决此类问题的关键是作出函数图象，根据数形结合的思想处理问题，本题关键找出相切时刻这一临界位置，利用直线与抛物线相切即可求解.2．B解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.3．A解析：A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减，所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-，而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e ==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.4．D解析：D 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线22260x y ln +--=上，则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方，利用导数求出切点坐标，再由点到直线的距离公式求解．求出d 的最小值为两直线平行时的距离，即可得到M 的最小值，并可求出此时对应的2x 从而得解．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 在函数2y lnx x =-+的图象上，点B 在直线24220x y ln +--=上，221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方．由2y lnx x =-+，得11y x'=-，与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-．令1112x -=-，得2x =，则切点坐标为(2,2)ln ，切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d ==即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165．又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-，即2420x y ln --+=，联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩，解得145x =，即当M 最小时，2145x =．故选：D ．【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于中档题．5．C解析：C 【分析】根据题意可知，平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案. 【详解】解：平均融化速度为(100)(0)1000V V v -=-，反映的是()V t 图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知3t 处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，故选：C ．【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.6．C解析：C 【分析】由不等式()f lnx x <，令t lnx =，可知()()t f lnx x f t e <⇔<，令()()xf xg x e =，求导可得函数单调性，从而可解：10lnx x e <⇔<<，【详解】解：令t lnx =，则()()t f lnx x f t e <⇔<，令()()xf xg x e=，则()()()0x f x f x g x e '-'=>，因为：满足x R ∀∈，()()f x f x '>()g x ∴在R 上单调递增，∴()()()()11t tf t f t eg t g e <⇔<⇔<110t lnx x e ⇔<⇔<⇔<<，故选：C ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，考查了导数的综合应用，属于中档题．7．C解析：C 【分析】利用()()'2,0f f π确定正确选项.【详解】()23sin 222cos 2202f ππππππ=+⋅=>，由此排除BD 选项. 当0x ≥时，()3sin cos 2xxf x x x =+， ()'3cos 3ln 2sin cos sin 2xx xf x x x x -⋅=+-，()'031040f =+-=>，由此排除A 选项.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.8．A解析：A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 9．C解析：C【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R上的偶函数，又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即：(ln )(1)f x f <，()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,，故选C.【点睛】对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x fx f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．10．D解析：D 【分析】构造函数()()xxF x e f x e =-，则由题意可证得()F x 在R 上单调递增，又()20f =，()()22222F e f e e =-=-，故2()x x e f x e e <-可转化为()()2F x F <，解得2x <.【详解】令()()xxF x e f x e =-，则()()()()()1xxxxF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-⎡⎤⎣⎦，因为()()1f x f x '+>，所以()()()0xF x e f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()F x 在R 上单调递增，又()20f =，所以()()22222F e f e e =-=-故当2()x x e f x e e <-时，有2()x x e f x e e -<-，即()()2F x F <，由()F x 的单调性可知2x <. 故选：D. 【点睛】本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.11．D解析：D 【分析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项. 【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又 ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.12．B解析：B 【分析】结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出()g x 的导数，判断其与0的关系即可.【详解】结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′，而()()()0xf x f xg x e-=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，故选B ．【点睛】本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据条件可得函数为偶函数且在单调递减从而可得不等式【详解】当时且为偶函数在单调递减解得：故答案为：【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数再利用导数研究函数的单调性进而将不等式进行等价转化解析：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】根据条件可得函数()g x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，从而可得不等式. 【详解】当0x >时，()''(()2())0g x x xf x f x =+<，且()g x 为偶函数，∴()g x 在(0,)+∞单调递减，∴()()()()11112222222x x x g g g g--->-⇔>⇔<112x ⇔-<，解得：1322x <<，故答案为：1322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】求解的关键在于构造什么样的函数，再利用导数研究函数的单调性，进而将不等式进行等价转化.14．【分析】对参数的取值分类讨论特别地考虑当时利用导数的几何意义求得相切状态时参数的临界值即可数形结合求得参数范围【详解】函数有3个零点也即的图象有3个交点当时没有零点故舍去；当时故此时也没有零点故舍去解析：a e >【分析】对参数a 的取值分类讨论，特别地考虑当0a >时，利用导数的几何意义，求得相切状态时参数a 的临界值，即可数形结合求得参数范围. 【详解】函数()f x 有3个零点，也即,xy e y a x ==的图象有3个交点.当0a =时，()xf x e =没有零点，故舍去；当0a <时，0xa x e ≤<，故此时()f x 也没有零点，故舍去；当0a >时，画出,xy e y a x ==的函数图象，如下所示：数形结合可知，当a 大于,(0)y ax x =>与xy e =相切时切线的斜率即可.不妨设此时切线斜率为k ，切点为(),m n ，又xy e '=，则mm n e k e m m===，解得1m =，故可得k e =.即,(0)y ax x =>与xy e =相切时切线的斜率为1，故要满足题意，只需a e >. 故答案为：a e >. 【点睛】本题考查由函数零点个数求参数范围，以及导数的几何意义，涉及数形结合的数学思想，属综合中档题.15．【分析】设则求得的值进而得到的解析式然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解【详解】设则因为为单调函数故不随的变化而变化即是常数又切线斜率为1所以倾斜角为∴答案为:【点睛】本题考查利用换元解析：45︒【分析】设2()log t f x x =-，则()3f t =，求得t 的值，进而得到()f x 的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解. 【详解】设2()log t f x x =-，则()3f t =.因为()f x 为单调函数，故t 不随x 的变化而变化即t 是常数. 又2()log f x x t =+，，2log 3t t +=，2t =，2()log 2f x x =+，1()ln 2f x x '=，11ln 2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，切线斜率为1，所以倾斜角为45︒. ∴答案为:45︒. 【点睛】本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.16．1【分析】由知为奇函数求导分析为增函数故利用可以算得的关系再利用基本不等式的方法求的最小值即可【详解】故为奇函数又所以为增函数又故所以当且仅当时取得最小值1故答案为1【点睛】本题主要考查函数的奇偶性解析：1 【分析】由()sin f x x x =+知()f x 为奇函数,求导分析()f x 为增函数,故利用()()490f a f b +-=可以算得,a b 的关系,再利用基本不等式的方法求11a b+的最小值即可. 【详解】()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,又()'1cos 0f x x =+≥,所以()f x 为增函数.又()()()()()490,499f a f b f a f b f b +-==--=-, 故49,49a b a b =-+=,所以()11111144599b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1519⎛≥+= ⎝,当且仅当4b aa b =时取得最小值1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.17．【解析】【分析】先由函数求f′（x ）＝﹣x ﹣3再由函数f （x ）x2﹣3x+4lnx 在(tt+1)上不单调转化为f′（x ）＝﹣x ﹣30在区间（tt+1）上有解从而有0在（tt+1）上有解进而转化为：x 解析：()0,1【解析】【分析】先由函数求f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +，再由“函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx 在(t ，t +1)上不单调”转化为“f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +=0在区间（t ，t +1）上有解”从而有234x x x+-=0在（t ，t +1）上有解，进而转化为：x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解，进而求出答案．【详解】 ∵函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx ， ∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34x+， ∵函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx 在（t ，t +1）上不单调， ∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34x+=0在（t ，t +1）上有解 ∴234x x x+-=0在（t ，t +1）上有解∴g （x ）＝x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解，由x 2+3x ﹣4＝0得：x ＝1，或x ＝﹣4（舍）， ∴1∈（t ，t +1），即t ∈（0，1），故实数t 的取值范围是（0，1），故答案为（0，1）．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系，考查了转化思想，属于中档题．18．【分析】求出分三种讨论函数的单调性可得函数的最小值从而得到的值【详解】当时为减函数故解得舍；当时为减函数故舍；当时若故在上为减函数；若故在上为增函数；所以故符合；综上故填【点睛】求函数的最值应结合函解析：e【分析】求出'()f x ，分0m ≤，10m e <≤，1m e>三种讨论函数的单调性可得函数的最小值，从而得到m 的值. 【详解】()1'(),0,mx f x x e x-=∈，当0m ≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，故 ()min 12f x me =-=，解得3m e=，舍；当10m e<≤时，'()0f x <，()ln ,(0,]f x mx x x e =-∈为减函数，()()min 12f x f e me ==-=，故3m e=，舍；当1m e >时，若10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，'()0f x <，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数；若1,x m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，'()0f x >，故()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数；所以min 11()ln 2f x m m m=⨯-=，故m e =，符合；综上，m e =，故填e . 【点睛】求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符号还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．19．【解析】【分析】分别求出g （x ）f （x ）的最大值和最小值得到不等式组解出即可【详解】问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集显然g （x ）单调递减∴g （x ）max=g （2）=g （x ）min=g （解析：73,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分别求出g （x ），f （x ）的最大值和最小值，得到不等式组，解出即可．【详解】问题等价于f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集，显然，g （x ）单调递减，∴g （x ）max =g （2）=12，g （x ）min =g （4）=﹣234；对于f （x ），f′（x ）=3x 2﹣4x+1，令f′（x ）=0，解得：x=13或x=1， x ，f′（x ），f （x ）的变化列表如下：max min ∴1222344a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，∴a ∈[﹣74，﹣32]，故答案为：[﹣74，﹣32]．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道中档题．20．【分析】根据题给定条件设构造函数g （x ）=与h （x ）=再利用导数判断在（0+∞）上函数的单调性得解【详解】设g （x ）=则g （x ）=＞0∴g （x ）在（0+∞）上单调递增所以g （2018）＜g （2019 解析：21(,)e e --【分析】根据题给定条件，设构造函数g （x ）=()xf x e与h （x ）=()2xf x e，再利用导数判断在（0，+∞）上函数的单调性得解．【详解】设g （x ）=()xf x e，则g'（x ）=()()'xf x f x e-＞0∴g （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以g （2018）＜g （2019），即2018(2018)f e ＜()20192019f e ⇒()()20182019f f ＜1e；令h （x ）=()2xf x e ，则h'（x ）=()()2'20xf x f x e -＜∴h （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以h （2018）＞h （2019），即()40362018f e ＞()40382019f e ⇒()()20182019f f ＞21e综上，()()20182019f f ＜1e 且 ()()20182019f f ＞21e．故答案为：()21,e e --【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性以及构造法的应用，属中等难度题．解题的关键是构造函数求函数的单调性，利用单调性解题.三、解答题21．（1）极小值为4，无极大值（2）答案见解析（3）133m ≤- 【分析】（1）利用导数可求得结果；（2）求导后，令()0f x '=得1x a =-或12x =，对1a -与12的大小分类讨论可求得结果；（3）转化为12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，根据（2）中的单调性求出1max ()f x 和2min ()f x 代入后得2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立，列式23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩可解得结果.【详解】（1）当2a =时，1()4f x x x =+(0)x >，222141()4x f x x x-'=-=，当102x <<时，()0f x '<，当12x >时，()0f x '>，所以()f x 在1(0,)2上递减，在1(,)2+∞上递增，所以()f x 在12x =处取得极小值1()42f =，无极大值.（2）当0a <时，1()(2)ln 2f x a x ax x=-++，定义域为(0,)+∞， 221()2a f x a x x -=-+'222(2)1ax a x x+--=2(1)(21)ax x x +-=，令()0f x '=得1x a =-或12x =，当112a ->，即20a -<<时，由()0f x '<得102x <<或1x a >-，由()0f x '>得112x a<<-，所以()f x 在1(0,)2和1(,)a -+∞上单调递减，在11(,)2a-上单调递增，当112a -=，即2a =-时，22(21)()x f x x--'=0≤，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，当112a -<，即2a <-时，由()0f x '<得10x a<<-或12x >，由()0f x '>得112x a -<<，所以()f x 在1(0,)a -和1(,)2+∞上单调递减，在11(,)2a -上单调递增，（3）由（2）可知对a ∀∈(-3，-2)，()f x 在[1,3]上单调递减，因为不等式12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，等价于12max (ln3)2ln3()()m a f x f x +->-1max 2min ()()f x f x =-，而1max ()(1)12f x f a ==+，2min 1()(3)(2)ln 363f x f a a ==-++，所以1(ln 3)2ln 312(2)ln 363m a a a a +->+----，即2(4)03m a +->对a ∀∈(-3，-2)恒成立，所以23(4)0322(4)03m m ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，解得133m ≤-.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．22．（1）4a ≥-；（2）150,4ln 24⎛⎤- ⎥⎝⎦.【分析】（1）求出2()24f x x a a x=++≥+'，解不等式40a +≥即得解；（2）求导得到韦达定理，再化简221222221()()2ln f x f x x x x -=--，设22t x =，求出1()2ln g t t t t=--的最值即得解.【详解】（1）∵2()24f x x a a x=++≥+'，∴只要40a +≥，即4a ≥-时()0f x '≥恒成立，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增. （2）由（1）知()f x 有两个极值点则4a，22222()20220x ax f x x a x ax x x++=++==⇒++='的二根为1x ，2x则121221a x x x x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，1201x x <<<， ()()()()22121112222ln 2ln f x f x x ax x x ax x -=++-++ ()()221121222lnx x x a x x x =-+-+()()()221121212222lnx x x x x x x x =---++ 2212222222122ln12ln x x x x x x x =--=-+，设22t x =，又22122232320122x x x x x -≤⇔--≤⇔<≤，∴(]1,4t ∈. 则()()121()2ln f x f x g t t t t -==--，22212(1)()10t g t t t t'-=+-=>， ∴()g t 在(]1,4递增，15(1)()(4)0()4ln 24g g t g g t <≤⇔<≤-. 即()()12f x f x -的范围是150,4ln 24⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】方法点睛：关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的()()12f x f x -化成关于2x 的函数221222221()()2ln f x f x x x x -=--再来解答. 23．（1）()32112432f x x x x =+-+；（2）答案见解析. 【分析】（1）先对函数求导，根据函数的极值点，列出方程求解，得出,a b ，即可得出解析式；（2）由（1）的结果，利用导数的方法判定函数单调性，求出函数极值，即可得出结果. 【详解】（1）由()32143f x x ax bx =+-+得()22f x x ax b =+-'，因为函数()32143f x x ax bx =+-+在2x =-和1x =处取得极值，所以()()2010f f ⎧-=⎪⎨=''⎪⎩，即440120a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a =，2b =，所以()32112432f x x x x =+-+；（2）由（1）知，()32112432f x x x x =+-+，则()22f x x x '=+-；令()0f x '=，解得2x =-或1x =，随x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下：()f x ∴在2x =-处取得极大值，为()23f -=；在1x =处取得极小值，为()1716f =. ∴当176k <或223k >时，方程()f x k =有一解；当176k =或223k =时，方程()f x k =有两解；当172263k <<时，方程()f x k =有三解. 【点睛】思路点睛：利用导数的方法判定方程根的个数，或由方程根（函数零点）的个数求参数时，通常需要对函数求导，用导数的方法判定函数单调性，求出极值，再利用分类讨论的思想，即可求解；有时也需要利用数形结合的方法求解.24．（1）1个；（2）2122e e a --+<.【分析】（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解（2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解【详解】（1）()x f x x e -=-，0x ≥，()10xf x e '-=+> 故()f x 在[0,)+∞递增，又(0)1f =-，1(1)10f e -=->(0)(1)0f f <，故()f x 在(0,1)上存在唯一零点因此()f x 在区间[0,)+∞的零点个数是1个；（2）1x ∀≥-，2x xe x ae-+<恒成立，即1x ∀≥-，2e 2x x a xe <-恒成立令2()2xx e g x xe =-，1x ≥-，则min ()a g x <()()1x x g x e x e '=--，令()1x h x e x =--，1x ≥-()1x h x e '=-，[1,0)x ∈-时，()0h x '<，0x >时，()0h x '>故()h x 在[1,0)-递减，(0,)+∞递增，因此()(0)0h x h ≥= 所以，()0g x '≥，故 ()g x 在[1,)-+∞递增故21min 2()(1)2e e g x g --+=-=，因此2122e e a --+<. 【点睛】不等式恒成立问题解决思路：一般参变分离、转化为最值问题. 25．（1）10x y +-=；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞.【分析】（1）当2a =时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线方程；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数()f x 的单调区间；（3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数a 的取值范围．【详解】解：（1）2a =时，211()2ln 22f x x x =--，(1)0f =， 2'()f x x x=- ，'(1)1f =- 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-=（2）2'()(0)a x af x x x x x-=-=>①当0a <时，2'()0x af x x-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+②当0a >时，令'()0f x =，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为（3）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[1,)+∞上是增函数，所以只需(1)0f ≥ 而11(1)ln1022f a =--= 所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可而(1)0f f <= 从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.【点睛】本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用，属于中档题．26．（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（3）1a e ≥-. 【分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令()0f x '=求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数()1ln g x x x=+，求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）因为函数()ln f x x x =，所以()1ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，()1ln111f '=+=. 又因为()10f =，则切点坐标为()1,0，所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-. （2）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，由（1）可知，()ln 1f x x '=+. 令()0f x '=解得1=x e. ()f x 与()f x '在区间()0,∞+上的情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭.（3）当1x e e≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x ≥+”.令()1ln g x x x =+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22111x g x x x x -'=-=，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令()0g x '=解得1x =，当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. 当()1,x e ∈时，()0g x '>，所以()g x 在区间()1,e 单调递增. 而1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，()11ln 1 1.5g e e e e=+=+<. 所以()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.。

(压轴题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数222,0()11,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．222,1⎡⎤-⎣⎦B ．(],1-∞C ．()222,0-D ．222,0⎡⎤-⎣⎦2．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（）A ．12B ．1C ．2D ．23．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞4．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >5．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x +'>，若()()211ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)0,+∞D ．(],0-∞6．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 7．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85 D ．M 的最小值为1658．已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭=->在[1)+∞，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（）A ．[0)+∞，B ．(0)+∞，C ．(1)+∞， D ．[1)+∞， 9．已知函数f (x )在x =x 0处的导数为12，则000()()lim 3x f x x f x x∆→-∆-=∆（）A ．-4B ．4C ．-36D ．3610．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R ，都有2f (x )＋xf ′(x )＜2，则使x 2f (x )－f (1)＜x 2－1成立的实数x 的取值范围是（） A ．{x |x ≠±1} B ．(－1，0)∪(0，1) C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)11．函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为（） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1--12．已知奇函数()f x 在R 上是增函数且当0x ≥时()0f x ≥ ，()()g x xf x =．若()2log 5.1a g =-，()0.82b g =，()3c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <的解集为______ 14．函数2()ln(3)f x x ax =--在(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______. 15．若函数()ln 3f x a x ax =-+在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为________.16．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数.若()()()2202020202f m m f ->-，则实数m 的取值范围为______.17．已知函数()1ln f x x x =--，对定义域内的任意x 都有()2f x kx ≥-，则实数k 的取值范围是______.18．已知()ln(1)sin 2f x x a x =++，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为-1，则a =________；当0a =时，与曲线ln 1y x =+和曲线()y f x =都相切的直线的方程是________.19．当直线()10kx y k k --+=∈R 和曲线325:(0)3E y ax bx ab =++≠，交于()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()123x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则点(),b a 的坐标为____________．20．已知函数32()26f x x x m =-+（m ∈R ）在区间[－2，2]上有最大值3，那么在区间[－2，2]上，当x=_______时，()f x 取得最小值。

2020年高考数学一轮复习讲练测专题2.10函数(单元测试)(含解析)(2021-2022学年)

函数单元———测【满分：１50分时间:１20分钟】一、选择题:本大题共１0小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（２０19·浙江高三期末)设不为1的实数，，满足:,则 ( )Ａ． B.Ｃ．ﻩD ．【答案】D 【解析】因为底数与的大小关系不确定，故Ｂ错;同理,Ｃ也错。

取，则,从而,故A 错,因为为上的增函数，而,故,故D 正确．综上，选D 。

２.（２019·浙江高三会考)函数（)的图像不可能是Ａ． B.C ． D.【答案】A 【解析】直接利用排除法： ①当时，选项B 成立; ②当时,，函数的图象类似D ;ﻬ③当时,，函数的图象类似Ｃ;故选：A .3.（2019·浙江高三会考）已知函数y ＝f(x)的定义域是R ，值域为[-1，２］,则值域也为[-１，２]的函数是a bc a c b b >b ba c >a 1()0,∞+0a c >>b ba c >A． B. C.Ｄ.【答案】B【解析】的定义域为,值域为,即；ﻫ∴A.,即的值域为，∴该选项错误;Ｂ．,即的值域为，∴该选项正确;Ｃ.，即的值域为,∴该选项错误;D．，即的值域为,∴该选项错误.故选：Ｂ．４.（201９·浙江高三会考)函数的定义域是Ａ．B． C.[0，２］Ｄ.(2,２)【答案】A【解析】由函数的解析式,可得,解不等式可得,函数的定义域是，故选A。

5．(２018·天津高三期中（理)）函数的单调递增区间是A． B. C． D.【答案】D【解析】由可得或∵在单调递增,而是增函数,由复合函数的同增异减的法则可得,函数的单调递增区间是，故选D。

６．(2０1７·四川高三期中(理）)设,则A．Ｂ． C. D.【答案】Ａ【解析】由题意得,∴．选A.7.(2019·湖北高三期中（理））函数在单调递减,且为奇函数,若,则满足的的取值范围是（).A．Ｂ. C. D．【答案】D【解析】是奇函数,故;又是增函数，,即则有，解得 ,故选D.8.(2０18·湖南高考模拟（理））2018年9月2４日,阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主,英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想,这一事件引起了数学界的震动.在１859年,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论,估计1０00０以内的素数个数为(）(素数即质数,,计算结果取整数）A.1089B.1086ﻩＣ.43４ﻩD．１45【答案】B【解析】由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为，则１０000以内的素数的个数为＝＝=２500,故选:B．9.(20１9·浙江高三期中)已知函数,且,则不等式的解集为A.Ｂ．ﻩＣ．ﻩ D.【答案】C【解析】函数,可知时，，所以，可得解得．不等式即不等式,可得：或,解得:或,即故选:C．10.(20１9·山东高三期中(理）)函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时,,则A. B． C.0 D.2【答案】D【解析】根据题意，函数是偶函数,则函数的对称轴为,则有,又由函数的图象关于点成中心对称，则,则有,即，变形可得,则函数是周期为8的周期函数,;故选D．二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共3６分11.(2019·浙江高三会考）已知函数则_＿_＿＿＿__;___＿＿__＿.【答案】0 2ﻬ【解析】因为函数则=0;。

(压轴题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=（）A ．0B ．2C ．2019D ．20202．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（）A ．12B ．1CD ．23．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()201920191f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（） A ．()0,2020B ．()2019,+∞C ．()2020,+∞D ．()2019,20204．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 5．已知函数2()f x x a =-+，2()x g x x e ，若对于任意的2[1,1]x ∈-，存在唯一的112[,]2x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A ．（e ，4）B ．（e 14+，4] C ．（e 14+，4） D ．（14，4] 6．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则12a b+的最小值是（）A ．B ．C ．3+D ．3+7．已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭=->在[1)+∞，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（）A ．[0)+∞，B ．(0)+∞，C ．(1)+∞，D ．[1)+∞， 8．已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =，且()f x 的导数f ′(x )>12，则不等式1()22x f x <+的解集（） A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－1，1)9．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+⋅的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2fB ．函数()f x 有极大值()1f -和极小值()2fC ．函数()f x 在()3,2x ∈--单调递增D ．函数()f x 在()1,2x ∈单调递增11．已知定义在[),e +∞上的函数()f x 满足()()ln 0f x xf x x '+<且()40f =，其中fx 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．[),4eB ．[)4,+∞C ．(),e +∞D ．[),e +∞12．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()()0,1,4,+∞C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,4)二、填空题13．已知x y ，均为正实数.1x y +=.则1y x y+的最小值为________． 14．定义在()22ππ-，上的奇函数()f x 的导函数为()'f x ，且(1)f 0=．当0x >时，()tan ()0f x x f x '+>，则不等式()0f x <的解集为________15．已知函数()332f x x x =+，()2,2x ∈-，如果()()1120f a f a -+-<成立，则实数a 的取值范围为__________． 16．已知函数2ln ()a xf x x x=-，对于12,[2,2020]x x ∈，且当21x x >时，恒有()()12210f x f x x x ->，则实数a 的取值范围为__________. 17．已知函数()xf x a x e =-有3个零点，则实数a 的取值范围为_______________. 18．已知a R ∈，若()xa f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,1上只有一个极值点，则a 的取值范围为______.19．设函数f （x ）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x ），若f （lnx ）=x 2﹣1nx ，则f′（1）=_____20．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)=f ________三、解答题21．已知函数()331f x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间.（3）求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．已知函数()()x f x x k e =-. （1）求()f x 的极值；（2）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.23．已知函数32()f x x ax bx c =+++在0x 处取得极小值32-，其导函数为()'f x ．当x 变化时，()'f x 变化情况如下表：（1）求0x 的值；（2）求,,a b c 的值．24．已知函数()e x f x ax b =-，且函数()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为1a -．（1）求b 的值；（2）求函数()f x 的最值；25．已知函数32()f x x x ax b =--+在1x =处取得极值，且(1)1f =. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()y f x =在区间[0,2]上的值域. 26．已知函数()()ln f x x x ax =+，()()g x f x '=.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，求实数a 的值；（2）当13a =-时，求()g x 在[]1,2上的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.2．D解析：D 【分析】()y f x =的所有切线的斜率即为()2a f x x x'=+（0x >）的值域，由题意知当1x =时()f x '取得最小值，由基本不等式可知()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2ax x =即22a x =时()f x '取得最小值，可得2a = 【详解】因为2()ln f x a x x =+，定义域为()0,∞+，所以()2af x x x'=+，由导数的几何意义可知：当1x =时()f x '取得最小值，因为0a >，0x >，所以()2a x f x x '=+≥=，当且仅当2ax x=即22a x =时()f x '取得最小值，又因为1x =时()f x '取得最小值，所以2212a =⨯=，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当1x =时()2af x x x'=+取得最小值，再利用基本不等式求()f x '取得最小值时满足2ax x=即22a x =，即可求出a 的值. 3．D解析：D 【分析】构造函数()()f x h x x =，根据导数可判断函数单调递减，由()()2019120191f m f m ->-，结合函数定义域可解得. 【详解】令()()f x h x x =，()0,x ∈+∞，则()()()2xf x f x h x x '-'=，因为()()0xf x f x '-<，所以()0h x '<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减．因为()()()201920191f m m f ->-，20190m ->，所以()()2019120191f m f m ->-，即()()20191h m h ->，所以20191m -<且20190m ->，解得20192020m <<，所以实数m 的取值范围为()2019,2020．故选D ．【点睛】易错点点睛，本题的容易忽略定义域20190m ->，切记解函数抽象不等式要优先考虑定义域.4．A解析：A 【分析】根据条件变形可知()()F x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，转化()0F x '≤恒成立，即可求解. 【详解】不妨设()()121212,1,f x f x x x x x -<<-可得()()1122.f x x f x x ->-令()(),F x f x x =-则()F x 在区间[]1,2上单调递减，所以()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，()()2110,x ae x F x x--≤'=当1x =时，,a R ∈当(]1,2x ∈时，()()21xx a g x e x ≤=-，而()()()222201x x x x g x e x -'-+=<-，所以()g x 在区间[]1,2上单调递减，则()()2min 42g x g e ==，所以24,a e ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题中[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，可转化为函数()()F x f x x =-递减是解题的关键，突破此点后，利用导数()0F x '≤在区间[]1,2上恒成立，分离参数就可求解.5．B解析：B 【分析】结合导数和二次函数的性质可求出()f x 和()g x 的值域，结合已知条件可得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：g （x ）=x 2e x 的导函数为g ′（x ）=2xe x +x 2e x =x （x +2）e x ，当0x =时，()0g x '=，由[)1,0x ∈-时，()0g x '<，(]0,1x ∈时，()0g x '>，可得g （x ）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g （x ）在[–1，1]上的最小值为g （0）=0，最大值为g （1）=e ，所以对于任意的2[1,1]x ∈-，2()[0,e]g x ∈．因为2y x a =-+开口向下，对称轴为y 轴，又10202--<-，所以当0x =时，max ()f x a =，当2x =时，min ()4f x a =-，则函数2()f x x a =-+在[12-，2]上的值域为[a –4，a ]，且函数f （x ）在11[,]22-，图象关于y 轴对称，在（12，2]上，函数()f x 单调递减．由题意，得[0e 4[]a ⊆-,，1)4a -，可得a –4≤0<e <14a -，解得e 14+<a ≤4．故选:B ．【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是12()()f x g x =这一条件的转化.6．D【分析】由导数的几何意义转化条件得1a b +=，进而可得1223b a a b a b+=++，由基本不等式即可得解. 【详解】因为函数ln()y x b =+的导数1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，所以11x b=+即切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -，代入y x a =-得10b a --=，即1a b +=，又a 、b 为正实数，所以()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当1a =，2b =.所以12a b +的最小值是3+. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数几何意义及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.7．D解析：D 【分析】首先求导，由题意转化为在[1,)x ∈+∞，220ax x a -+≥恒成立，即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立.再利用基本不等式求出221xx +的最大值即可. 【详解】222()ax x af x x-+'=，(0)a > 因为()f x 在[1,)+∞上为单调递增，等价于220ax x a -+≥恒成立. 即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立. 因为222111x x x x x x=≤=++，当1x =时，取“=”，所以1a ≥，即a 的范围为[1,)+∞.【点睛】本题主要考查利用导数的单调区间求参数的问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据f ′(x )>12，构造函数 ()()122x g x f x =-- ，又()()1111022=--=g f ，然后将不等式1()22x f x <+，转化为1()022--<x f x ，利用单调性的定义求解. 【详解】因为f ′(x )>12，所以()102f x '->所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增，又()()1111022=--=g f ，所以不等式1()22x f x <+，即为1()022--<x f x ，即为：()()1g x g <，所以1x <，故选：A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用，还考查了构造转化求解问题的能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】设()()sin f x g x x=， ()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数，并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.10．A解析：A 【分析】根据图象判断出导函数()f x '的符号，由此求得()f x 的单调区间、极大值、极小值. 【详解】当3x <-时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒>⎨+<'⎩'，()f x 递增；当31x -<<-时，()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒<⎨+<'⎩'，()f x 递减；当12x -<<时，()()()10010x f x f x x ⎧+<⇒<⎨+>'⎩'；当2x >时()()()10010x f x f x x ⎧+>⇒>⎨+>'⎩'，()f x 递增；综上：函数()f x 有极大值()3f -和极小值()2f . 故选：A【点睛】本小题主要考查利用图象判断函数的单调性和极值，属于中档题.11．A解析：A【分析】根据条件构造函数()()g x f x lnx =，求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式()0f x >等价为()()4g x g >，进行求解即可．【详解】解：x e ，1lnx ∴，则不等式()()0f x xf x lnx '+<等价为()()0f x f x lnx x'+<，设()()g x f x lnx =，则()()()0f x g x f x lnx x '='+<，即()g x 在[e ，)+∞上为减函数， f （4）0=，g ∴（4）f =（4）40ln =，则不等式()0f x >等价为()0lnxf x >，即()()04g x g >=，()g x 在[e ，)+∞上为减函数，4e x ∴<，即不等式()0f x >的解集为[e ，4)，故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，通过导数研究函数的单调性是解决本题的关键．属于中档题．12．B解析：B【分析】结合函数图象比较()f x 与()f x '的大小，求出()()0f x f x -<′成立的x 的范围，求出()g x 的导数，判断其与0的关系即可.【详解】结合图象：()01x ∈，和()4x ∈+∞，时，()()f x f x '<，即()()0f x f x -<′，而()()()0xf x f xg x e -=<′′，故()g x 在()0,1，()4,+∞递减，故选B ．【点睛】本题主要考查了数形结合思想，考查函数的单调性与导数的关系，判断()f x 与()f x '的大小是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．【分析】均为正实数可得所以再利用导数研究单调性极值与最值即可求解【详解】因为所以所以令则令即解得此时单调递增令即解得此时单调递减所以时所以时的最小值为3故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数求函数解析：3【分析】x y ，均为正实数，1x y +=，可得10x y =->，所以01y <<，()11111y f y x y y y+=+-=-再利用导数研究单调性极值与最值即可求解. 【详解】因为1x y +=，所以1x y =-，所以()11111111111y y y x y y y y y y y--++=+=+=+----，令()1111f y y y=+--，则()()()222211211y f y y y y y -'=-+=--令()0f y '>，即210y ->，解得112y << ，此时()f y 单调递增，令()0f y '<，即210y -<，解得102y <<，此时()f y 单调递减，所以12y =时，()min 11131122f y =+-=，所以12x y ==时1y x y+的最小值为3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.14．【分析】引入新函数它是偶函数由导数可确定它的单调性通过解不等式或求得的解【详解】设是奇函数则是偶函数时单调递增∴时单调递减又时则时则综上原不等式的解集为【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性解析：(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭【分析】引入新函数()()sin g x f x x =，它是偶函数，由导数可确定它的单调性，通过解不等式()0<g x 或()0>g x 求得()0f x <的解．【详解】设()()sin g x f x x =，()f x 是奇函数，则()g x 是偶函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()()()()()sin cos cos tan 0g x f x x f x x x f x x f x ''+=+'=>()g x 单调递增，∴,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，又(1)(1)sin10g f ==，(1)(1)0g g -==，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，则()0f x <⇔()0<g x 01x ⇔<<， ,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin 0x <，则()0f x <⇔()0>g x 12x π⇔-<<-，综上，原不等式的解集为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查用导数研究函数的单调性，解题关键是根据已知不等式引入函数()()sin g x f x x =，首先确定它的奇偶性，然后用导数确定它在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，从而可得它在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，然后通过()g x 的单调性解相应的不等式得原不等式的解．15．【详解】因为恒成立所以在R 上递增又所以为奇函数则可化为由递增得解得：0＜a ＜故答案为解析：3(0,)2【详解】因为23+6x 0f x '=（）＞恒成立，所以f x （）在R 上递增，又f x f x =（﹣）﹣（），所以f x （）为奇函数，则1120f a f a +（﹣）（﹣）＜，可化为121f a f a （﹣）＜（﹣），由f x （）递增，得1212122212a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩＜＜＜＜＜，解得：0＜a ＜32，故答案为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，．16．【分析】依题意构造函数则函数在上单调递减利用导数研究函数的单调性则恒成立再根据参变分离即可得解【详解】解：由可知则函数在上单调递减∴∵∴∴实数a 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数的求导构造函解析：(,24]-∞【分析】依题意，构造函数()()F x xf x =，则函数在[2,2020]上单调递减，利用导数研究函数的单调性，则()0F x '≤恒成立，再根据参变分离，即可得解.【详解】解：由()()12210f x f x x x ->，2120202x x ≥>≥，可知()()1122x f x x f x >，则函数()()F x xf x =在[2,2020]上单调递减.32()()ln ,()30a F x xf x a x x F x x x '==-=-≤，∴33a x ≤.∵[2,2020]x ∈，∴33224a ≤⨯=，∴实数a 的取值范围为(,24]-∞.故答案为：(,24]-∞.【点睛】本题考查函数的求导、构造函数、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题. 17．【分析】对参数的取值分类讨论特别地考虑当时利用导数的几何意义求得相切状态时参数的临界值即可数形结合求得参数范围【详解】函数有3个零点也即的图象有3个交点当时没有零点故舍去；当时故此时也没有零点故舍去解析：a e >【分析】对参数a 的取值分类讨论，特别地考虑当0a >时，利用导数的几何意义，求得相切状态时参数a 的临界值，即可数形结合求得参数范围.【详解】函数()f x 有3个零点，也即,xy e y a x ==的图象有3个交点. 当0a =时，()xf x e =没有零点，故舍去；当0a <时，0xa x e ≤<，故此时()f x 也没有零点，故舍去；当0a >时，画出,xy e y a x ==的函数图象，如下所示：数形结合可知，当a 大于,(0)y ax x =>与x y e =相切时切线的斜率即可.不妨设此时切线斜率为k ，切点为(),m n ，又xy e '=，则mm n e k e m m ===，解得1m =，故可得k e =. 即,(0)y ax x =>与xy e =相切时切线的斜率为1，故要满足题意，只需a e >.故答案为：a e >.【点睛】本题考查由函数零点个数求参数范围，以及导数的几何意义，涉及数形结合的数学思想，属综合中档题. 18．【分析】求出函数的导数对分和三种情况讨论利用极值点与函数零点的关系得出关于的不等式组即可解出实数的取值范围【详解】设①当时在上恒成立即函数在上为增函数在上有且只有一个零点使得且在上在上为函数在上唯一解析：()0,∞+【分析】求出函数()y f x =的导数，对a 分0a >、0a =和0a <三种情况讨论，利用极值点与函数零点的关系得出关于a 的不等式组，即可解出实数a 的取值范围.【详解】()x a f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()322x x x ax a f x e x ⎛⎫++-'∴= ⎪⎝⎭，设()32h x x x ax a =++-，()232h x x x a '∴=++， ①当0a >时，()0h x '>在()0,1上恒成立，即函数()y h x =在()0,1上为增函数， ()00h a =-<，()120h =>，()y h x ∴=在()0,1上有且只有一个零点0x ，使得()00f x '=，且在()00,x 上，()0f x '<，在()0,1x 上，()0f x '>，0x ∴为函数()y f x =在()0,1上唯一的极小值点；②当0a =时，()0,1x ∈，()2320h x x x '=+>成立，函数()y h x =在()0,1上为增函数，此时()00h =，()0h x ∴>在()0,1上恒成立，即()0f x '>，函数()y f x =在()0,1上为单调增函数，函数()y f x =在()0,1上无极值；③当0a <时，()()321h x x x a x =++-， ()0,1x ∈，()0h x ∴>在()0,1上恒成立，即()0f x '>，函数()y f x =在()0,1上为单调增函数，函数()y f x =在()0,1上无极值. 综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞+.故答案为：()0,∞+.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数的取值范围，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19．【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式再求导代值计算即可【详解】设lnx=t 则x=et ∵f （lnx ）=x2-1nx ∴f （t ）=e2t-t ∴f （x ）=e2x-x ∴f′（x ）=2e2x-1∴f′（解析：221e -【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式，再求导，代值计算即可．【详解】设lnx=t ，则x=e t ，∵f （lnx ）=x 2-1nx ，∴f （t ）=e 2t -t ，∴f （x ）=e 2x -x ，∴f′（x ）=2e 2x -1，∴f′（1）=2e 2-1，故答案为2e 2-1．【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数的运算，属于基础题．20．-1【解析】【分析】首先对函数求导然后利用方程思想求解的值即可【详解】由函数的解析式可得：令可得：则【点睛】本题主要考查导数的运算法则基本初等函数的导数公式方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力解析：-1【解析】【分析】首先对函数求导，然后利用方程思想求解()'1f 的值即可.【详解】由函数的解析式可得：()()1'2'1f x f x=+，令1x =可得：()()1'12'11f f =+，则()'11f =-.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21．（1）310x y +-=；（2）()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-；（3）最大值为3，最小值为1-.【分析】（1）对()f x 求导， ()0k f '=，计算()0f 求切点，利用点斜式即可写出切线方程；（2）令()0f x '>可得单调递增区间，令()0f x '<可得单调递减区间；（3）求出()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，即可利用单调性求出最值. 【详解】 ()()()233311f x x x x ==+'--，()03k f '==-，因为()01f =，所以切点为()0,1，所以切线方程为()130y x -=--，即310x y +-=，（2）由()()()2333110f x x x x '=-=+->可得1x >或1x <-，由()()()2333110f x x x x '=-=+-<可得11x -<<，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-，（3）由（2）知()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，[]1,2单调递增，所以31113312228f ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3223213f =-⨯+=，()3113111f =-⨯+=-，所以()()min 11f x f ==- ，()()max 23f x f == ，所以函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-，【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.22．（1）极小值1(1)k f k e --=-，无极大值；（2）见详解.【分析】（1）对函数求导，由导数的方法，研究函数单调性，进而可得出极值；（2）分别讨论10k -≤，011k <-<，11k -≥三种情况，由导数的方法研究函数在给定区间的单调性，即可求出最值.【详解】（1）由()()x f x x k e =-可得()(1)x f x x k e '=-+，令()0f x '=，得1=-x k ，则，随x 变化，()f x 与()'f x 的情况如下：所以()f x 的单调递减区间是,1k -∞-；单调递增区间是)1,k -+∞；所以()f x 有极小值1(1)k f k e --=-，无极大值；（2）当10k -≤，即1k ≤时，()(10)x f x x k e '=-≥+在[]0,1x ∈上恒成立，则函数()f x 在[]0,1上单调递增；所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为(0)f k =-；当011k <-<，即12k <<时；由（1）知()f x 在[0,1]k -上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为1(1)k f k e --=-；当11k -≥，即2k ≥时，函数()f x 在[]0,1上单调递减，所以()f x 在区间[]0,1上的最小值为(1)(1)f k e =-.综上，当1k ≤时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为(0)f k =-；当12k <<时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为1(1)k f k e --=-；当2k ≥时，()f x 在区间[]0,1上的最小值为(1)(1)f k e =-.【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.23．（1）01x =；（2）1,2,02a b c =-=-=.【分析】（1）由表可得出1x =是极小值点；（2）由题可得()01f '=，3(1)2f =-，2()03f '-=，由此可求出. 【详解】解：（1）由题意可知，2()32f x x ax b '=++ 当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在区间2(,1)3-上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增. 故1x =时，函数()f x 有极小值，所以01x =.（2）由（1）知1x =为函数()f x 的极小值点，得()01f '=，即320a b ++=.①因为函数()f x 的极小值为32-，所以3(1)2f =-，即312a b c +++=-，整理得：52a b c ++=-.② 由题可知23x =-为函数()f x 的极大值点，所以2()03f '-=，即44033a b -+=.③ 联立①②③得：1,2,02a b c =-=-=.【点睛】关键点睛：本题考查函数的导数与极值的关系，解题得关键是知道函数在极值点处的函数值为0.24．（1）1；（2）当0a ≤时，()f x 没有最值；当0a >时，()f x 的最大值为ln a a a -，无最小值．【分析】（1）对()f x 求导，又(0)1f a b a '=-=-，进而求出b 的值．（2）对a 进行讨论，利用导函数求函数的单调性，进一步求出最值.【详解】（1）由题意，得()e x f x a b '=-，又(0)1f a b a '=-=-，1b ∴=．（2）()x f x a e '=-．当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减，()f x 没有最值；当0a >时，令()0f x '<，得ln x a >，令()0f x '>，得ln x a <，()f x ∴在区间(,ln )a -∞上单调递增，在区间(ln ,)a +∞上单调递减，()f x ∴在ln x a =处取得唯一的极大值，即为最大值，且()()max ln ln f x f a a a a ==-．综上所述，当0a ≤时，()f x 没有最值；当0a >时，()f x 的最大值为ln a a a -，无最小值．【点睛】本题考查的是导函数的知识点，涉及到利用导函数求函数的最值，以及分类讨论的思想，属于常见的题型.25．（1）1a =，2b =；（2）[1,4]【分析】（1）先求出()'f x ，由题得()01f '=，又(1)1f =，则可求出a ，b 的值；（2）利用导数确定()y f x =在区间[0,2]上的单调性，列表分析求出值域.【详解】（1）：32()f x x x ax b =--+，2()32f x x x a '∴=--，函数32()f x x x ax b =--+在1x =处取得极值，(1)0f '∴=，得1a =；又(1)1f =，得2b =，经检验，1a =，2b =符合题意，所以1a =，2b =；（2）由（1）得32()2f x x x x =--+，2()321f x x x '∴=--，令()0f x '>得：13x <-或1x >；令()0f x '<，得：113-<<x ，所以函数()y f x =在区间[0,2]上()f x 与()'f x 的变化情况如下表：由上表可知函数在区间上的值域为.【点睛】本题主要考查了函数极值的概念，利用导数求解函数的值域，考查了学生的运算求解能力. 26．（1）52a =-；（2）()max 3ln 2=g x .【分析】（1）求出函数的导数，求得()1f '的值，由题意可得124a +=-，从而可求出a 的值；（2）先求出()2ln 13g x x x =-+，然后对函数求导，通过列表判断函数的极值，得到函数只有极大值，从而可得其最大值【详解】解：（1）由()()ln f x x x ax =+，得()ln 21f x x ax '=++，所以()112f a '=+，因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，所以()14f '=-得124a +=-，解得52a =-. （2）()2ln 13g x x x =-+，()123g x x '=-， ∵12x ≤≤，∴1112x≤≤∴()max ln 22g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查了导数的几何意义的应用，考查利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题。

学易金卷：2021年高考数学(文)原创押题预测卷 02(新课标Ⅰ卷)(原卷版)

高考押题卷（2）【新课标I 卷】文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U ={|54}x x ∈-<<Z ，{}32+11A x x =∈-≤<Z ，{}220B x x x =∈-≤N ，则()U C A B = （）A.∅B. {0，1，2}C. {-2，-1}D. {1，2}2. 已知z 为纯虚数，且(2i)z +＝1＋3i a （i 为虚数单位），则复数a z +的共轭复数为（） A ．1+2i B ．12i - C ．2i + D ．2i - 3. 已知n S 是数列}{n a 的前n 项和，13n n n S S a +=++，5629a a +=，则10S = （） A.125 B.135 C.145 D.155 4. 执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，输出k 的值为10，则判断框内应填的条件为（）A ．x ≤100？ B.x ＞90？ C.x ＞100？ D.x ＞190？ 5. 甲乙两人在同一站台分别等1路和2路公共汽车，已知1路车到达的时间为7：10到7：20，2路车到达的时间为7:12到7:22，则甲比乙先坐上公共汽车的概率为 ( ) A.0.32 B.23C.0.68D.0.8 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.23B.43C.83D.1637.已知()f x 是定义域为R 的函数，()f x =2log ()2,022,02(5),2x x x x f x x --<⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩，则(((2016)))f f f = （）A ．2-B ．1-C ．0D ．2 8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,||2A πωϕ>><）的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为(18π，3)、2(,0)9π，则要得到函数()y f x =图象可将函数2sin 3y x =的图象（） A. 向左平移9π个单位 B. 向右平移9π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位9. 已知,x y 满足不等式组40+2053150x y x y x y +-≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则z =2x y x +的最大值为（）10. 已知双曲线E 的中心在原点，焦点在x 轴上，12,F F 为双曲线的焦点，离心率为53，过原点的l 交双曲线左右两支分别于,A B ，若11||||6BF AF -=，则该双曲线的方程为（）A.22=1169x y - B.22=1259x y -C.22=1916x y -D.22=1925x y - 11. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a ＝3， tan 21+tan A cB b=，则△ABC 面积的最大值为（）12. 若2()e (e)xf x ax a x =-+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A.(0,)+∞B.0e)（，C.[1,e)D. (e,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量,a b 满足||a =1，2)⊥+（a a b ，则b 在a 上的投影为 . 14. 为了了解文理科学生数学成绩的差异，某校从全校700名学生（其中文科学生300名）中用分层抽样方法随机抽取7人，文理科学生抽取的人数分别为,a b ，则直线l ：100ax by ++=被圆229x y +=截得的弦长为 .15. 已知抛物线26y x =的焦点为F ，,A B 是抛物线上两点，且3144OF OA OB =+，则||AB = . 16. 已知定义域为R 的函数()f x 满足对任意x ∈R 都有(1)f x +=(1)f x -，()f x -=()f x ，当0≤x ≤1时，=21x -，若函数()F x =()log ||a f x x -(1)a >恰有6个零点，则实数a 的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）已知n S 是数列{n b }的前n 项和,231n n S b =-. (Ⅰ)求数列{n b }的通项公式；（Ⅱ）求{(21)n n b -}的前n 项和n T .（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计服务人员成绩的平均值和中位数；（II ）现在要用分层抽样的方法从这200人中抽取5人参加某项活动，并从这5人中任意抽取2人，求这2人中恰有1人获优胜奖的概率.19.（本小题满分12分）在三棱锥ACD P -中，CD AD ⊥，CD AD ==2，△PAD 为正三角形，点F 是棱PD 的中点，且平面PAD ⊥平面ACD ．（Ⅰ）求证：AF ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求F 到平面PAC 的距离.20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为为2-22，离心率为22. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）已知M （0,1），)4,0(N ，过M 任作一条直线与椭圆E 相交于两点B A ,，连接BN AN ,，求证：BNM ANM ∠=∠．21. （本小题满分12分）已知()f x =1ln 2a a x x x++++(a ∈R ). （Ⅰ）当a =-3时，求()f x 的极值；请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.（本题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵上一点，DE ∥AB ，交BC 于E ．（Ⅰ）求证：AD 是∠BAC 的平分线；（Ⅱ）求证：AC ·BC ＝2AD ·CD ．ED23. （本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为21212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24(sin cos )40ρρθθ-++=，. （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长. 24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲设)(x f =||()x a a -∈R ．（Ⅰ）当1=a 时，解不等式4)1()(≤-+x f x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得12)()(-≤+--a a x f a x f 成立，求实数a 的取值范围．。

(常考题)人教版高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试卷(答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数()322213x f x ax bx c ++=+，函数()f x 的两个极值点分别在区间()0,1与()1,2内，则2+a b 的取值范围为（）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．()1,-+∞D ．()3,-+∞2．已知1x ，2x 是函数()3211232x b f ax x c x =+++（a ，b ，c ∈R ）的两个极值点，()12,0x ∈-，()20,2x ∈，则2a b +的取值范围为（）A ．(),2-∞-B ．()2,4-C ．()2,-+∞D ．()4,4-3．已知关于x 的方程ln 2ln x a x -=有三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．21,4e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),e +∞D ．()2,e +∞4．已知a R ∈，0b ≠，若x b =是函数()()()2f x x b x ax b =-++的极小值点，则实数b 的取值范围为（）A ．1b <且0b ≠B ．1b >C ．2b <且0b ≠D ．2b >5．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,∞+D ．()(),10,-∞-+∞6．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：31()1010V t H t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（H 为常数），其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为()3m /h v .那么瞬时融化速度等于()3m /h v 的时刻是图中的（）.A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t7．已知函数()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭8．若()()21ln 22f x x b x =-++在[)1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞9．已知函数()f x 在R 上连续可导，导函数为()'f x ，(0)1f =，其满足()()01f x f x x '->-，函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（） A ．函数()g x 在(1,)+∞上为单调递增函数 B ．0x ≤时，不等式()x f x e ≥恒成立 C ．函数()g x 有最小值，无最大值 D ．1x =是函数()g x 的极大值点10．已知点M 在函数()x f x e =图象上，点N 在函数()ln g x x =图象上，则||MN 的最小值为（） A ．1B 2C ．2D ．311．已知函数()2sin 3f x xf x π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（） A ．12π- B ．12π+C ．12π-- D ．12π-+12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>，则（） A ．()()21ln 2f f -C ．()()211f f -<D ．()()211f f ->二、填空题13．已知k 为常数，函数2,0()1ln ,0x x f x x x x +⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，若关于x 的函数()()2g x f x kx =--有4个零点，则实数k 的取值范围为________.14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()xf x f x '<，若()10f =，则不等式()0f x x>的解集为________. 15．函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10，则+a b 的值为________．16．当直线()10kx y k k --+=∈R 和曲线325:(0)3E y ax bx ab =++≠，交于()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()123x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则点(),b a 的坐标为____________． 17．已知21()34ln 2f x x x x =--+在(,1)t t +上不单调，则实数t 的取值范围是______________ 18．已知函数(a ≤0)，函数，若不存在，使，则实数的取值范围为___．19．若函数2(())x f x e x ax a -=+-在R 上单调递减，则实数a 的值为_______. 20．若0()2f x '=，则000()()lim2x f x x f x x∆→+∆-∆＝________.三、解答题21．已知函数()ln f x x ax b =-+的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=. （1）求a 和b 的值；（2）对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()()21ln 12f x x a x =+-. （1）当2a =-时，求()f x 的单调区间；（2）设()()21g x f x x -=+，证明：当1a ≥时，()g x 有两个极值点1x ，2x ，并求2212x x +的取值范围.23．设函数()ln f x x x =．（1）设()()f xg x x'=，求()g x 的极值点；（2）若210x x >>时，总有()()()2221212m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围．24．求函数()331f x x x =-+在闭区间[]3,0-上的最大值、最小值.25．已知函数()ln 1xf x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（2）证明；当1a e≥时，()0f x ≥． 26．已知函数1()ln f x a x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，设函数()eg x x=，若在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求得()22f x x ax b '=++，根据题意可得出()()()001020f f f '''⎧>⎪<⎨⎪>⎩，利用不等式的基本性质可求得2+a b 的取值范围. 【详解】由()322213x f x ax bx c ++=+，求导()22f x x ax b '=++，因为函数()f x 的两个极值点分别在区间()0,1与()1,2内，即方程220x ax b ++=的两个根分别在区间()0,1与()1,2内，即()()()020*********f b f a b f a b ⎧=>⎪=++<⎨⎪=++>''⎩'，则0212b a b a b >⎧⎪+<-⎨⎪+>-⎩，所以，()22a b a b b +=++>-. 综上所述，2+a b 的取值范围是()2,1--. 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解.2．D解析：D 【分析】求()f x 的导函数，导函数根的分布建立不等关系，再由线性规划得解. 【详解】()22f x x ax b '=++为二次函数开口向上，∵1x 和2x 是()f x 的极值点，∴1x 和2x 是()f x '的两个零点 ∵()12,0x ∈-，()20,2x ∈，∴()()()200020f f f ⎧->⎪<⎨⎪>⎩，即20020a b b a b -+>⎧⎪<⎨⎪++>⎩ 如图为线性区域，令2t a b =+，则2b t a =-，画出2b a =-平移至点A ，此时t 最小min 4t =- 平移至点C ，此时t 最大，则4t =， ∴2a b +的范围是()4,4-．故选D ．【点睛】关键点睛：利用二次函数根的分布，建立关于,a b 的不等关系，再利用线性规划求最值.3．B解析：B 【分析】方程有三个解转化直线ln y x a =-与函数2ln y x =有三个交点，作出函数2ln y x =的图象，作出直线ln y x a =-，可知，只要求得直线ln y x a =-与函数2ln y x =的图象相切a 的什值，即可得结论．【详解】转为直线ln y x a =-与函数2ln y x =有三个交点.显然当0x <时，有一个交点：当0x >时，只需ln y x a =-与2ln y x =有两个交点即可. 由2'1y x==，得2x =，ln y x a =-与2ln y x =相切时，切点坐标为()2,2ln 2，此时24e a =. 由图象可知，当2,4e a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，关于x 的方程ln 2ln x a x -=有三个不等的实数根．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的个数问题，解题方法是转化为直线与函数图象交点个数，进而转化为研究函数的性质，本题是用导数求出函数的切线方程方程．然后结合图象可得结论．4．B解析：B 【分析】由x b =既是()f x 的极小值点，又是零点，且()f x 的最高次项系数为1，因此可设2()()()f x x b x m =-+，这样可求得1m =-，然后求出()'f x ，求得()'f x 的两个零点，一个零点是b ，另一个零点2x 必是极大值点，由2b x >可得b 的范围．【详解】因为()0f b =，x b =是函数()f x 的极小值点，结合三次函数的图象可设2()()()f x x b x m =-+，又2()()()f x x b x ax b =-++，令0x =得22b m b =-，1m =-，即2()(1)()f x x x b =--，22()3(42)2f x x b x b b '=-+++()(32)x b x b =---，由()0f x '=得1x b =，223b x +=， x b =是极小值点，则23b +是极大值点，23b b +>，所以1b >．故选：B ．【点睛】本题考查导数与极值点的关系，解题关键是结合零点与极值点，设出函数表达式，然后再求极值点，由极小值点大于极大值点可得所求范围．5．B解析：B 【详解】()21ln 2f x x ax bx =--,,,由得，()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-', 若,由,得,当时,,此时单调递增；1x > 时,,此时单调递减；所以是的极大值点．若,则由,得或．时的极大值点, ,解得．综上：,的取值范围时．故选B ．【点晴】本题是一道关于函数极值的题目,考虑运用导数求函数的极值．对求导,得,由得,将代入到导函数中,可得()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-',接下来分和两种情况,结合函数的单调性,分别求出的极大值点,从而建立的不等式求解即可．6．C解析：C 【分析】根据题意可知，平均融化速度为(100)(0) 100V Vv-=-，反映的是()V t图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度（即切线的斜率），即可得到答案.【详解】解：平均融化速度为(100)(0)1000V Vv-=-，反映的是()V t图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知3t处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速度一致，故选：C．【点睛】本题考查了图象的识别，瞬时变化率和切线斜率的关系，理解平均速度表示的几何意义（即斜率）是解题的关键.7．C解析：C【分析】当2x≥时，利用导数研究函数的单调性，()()g x f x m=-有两个零点，即()y f x=的图象与直线y m=有两个交点，结合函数图象，即可求出参数的取值范围；【详解】解：当2x≥时，设()22xx xh xe+=，则()()()2222222x xx xx e x x e xh xe e+-+-'==-，易知当2x>时，()0h x'<，即()h x是减函数，∴2x=时，()()2max82heh x==，又x→+∞时，()0h x→且()0h x>，而2x≤时，()2f x x=+是增函数，()24f=．()()g x f x m=-有两个零点，即()y f x=的图象与直线y m=有两个交点，函数()22,22,2xx xxf x ex x⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象如下所示：所以280m e <<．故选:C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数方程思想与数形结合思想，属于中档题.8．B解析：B 【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案【详解】由题意可知()02bf x x x '-+≤+=，在[)1x ∈-+∞，上恒成立，即()2b x x ≤+在[)1x ∈-+∞，上恒成立，由于()2y x x =+在[)1,-+∞上是增函数且最小值为1-，所以1b ≤-，故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题，属于中档题.9．D解析：D 【分析】对()()xf xg x e =求导，由条件可判断单调性，即可依次判断每个选项的正误. 【详解】()()x f x g x e =，()()()xf x f xg x e-=''∴，当1x >时，()()0f x f x '->，即()0g x '>，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，故A 正确，不符合题意；当1x <时，()()0f x f x '-<，即()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞上单调递减，1x ∴=是函数()g x 的极小值点，故D 错误，符合题意；()g x 在(,0]-∞上单调递减，(0)()(0)1f g x g e∴≥==，即()1x f x e ≥，()xf x e ∴≥，故B 正确，符合题意；可知()g x 在1x =处取得极小值即最小值，无最大值，故C 正确，不符合题意.故选：D. 【点睛】本题考查导数的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据函数()xf x e =与函数()lng x x =互为反函数，将问题转化为求函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】因为函数()x f x e =与函数()ln g x x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，所以||MN 的最小值为函数()xf x e =的图象上的点M 到直线y x =的距离的2倍，即为函数()xf x e =的图象与直线y x =平行的切线的切点00(,)x y 到直线y x =的距离的两倍，因为()xf x e '=，所以函数()xf x e =的图象上与直线y x =平行的切线的斜率01x k e ==，所以00x =，所以切点为(0,1)，它到直线y x =的距离2d ==，所以||MN 故选：B. 【点睛】本题考查了互为反函数的图象的对称性，考查了导数的几何意义，属于中档题.11．D解析：D 【分析】求得函数的导数()2cos 3f x f x π⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，得到1()32f π'=，得到()sin f x x x =-，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数()2sin 3f x xf x π'⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得()2cos 3f x f x π⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，令3x π=，可得()2cos 333f f πππ'⎛⎫'=-⎪⎝⎭，解得1()32f π'=，即()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 单调递增，当2x π=-，函数取得最小值，最小值为()sin()1222f x πππ=---=-+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数的导数的运算及应用，其中解答中熟记导数的运算公式，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12．B解析：B 【解析】分析：根据题意，由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>，构造函数()()g x f x lnx =-，可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>'，故()g x 单调递增，根据单调性可得结论．详解：令()(),0g x f x lnx x =->， ∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=， ∵()1xf x '>， ∴()0g x '>，∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增， ∴()()21g g >，即()()2211f ln f ln ->-， ∴()()21ln2f f ->．故选B ．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．二、填空题13．【分析】将x 的函数有4个零点转化为与有4个不同的交点然后利用数形结合法求解【详解】因为函数有4个零点所以与有4个不同的交点在同一坐标系中作出与的图象如图所示：当时单调递减与有一个交点则；所以当时有3 解析：310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭将x 的函数()()2g x f x kx =--有4个零点，转化为()y f x =与2y kx =+有4个不同的交点，然后利用数形结合法求解. 【详解】因为函数()()2g x f x kx =--有4个零点，所以()y f x =与2y kx =+有4个不同的交点，在同一坐标系中作出()y f x =与2y kx =+的图象，如图所示：当0x ≤时，311y x =+-单调递减，与2y kx =+有一个交点，则0k >；所以当0x >时，有3个交点，求出2y kx =+与|ln |y x =相切时的k 值，当1x >时，设切点为()00,ln x x ，所以1y x '=，则01k x =，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又因为点()0,2在切线上，所以则()00012ln 0x x x -=-，解得30x e =，所以31k e =，由图像知()()2g x f x kx =--有4个零点，则310k e<<，故答案为： 310,e ⎛⎫⎪⎝⎭方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根解析：()()1,00,1-【分析】令()()f xg x x=，对其求导，由0x >时，()()xf x f x '<，可知()0g x '<，从而()g x 在()0,∞+上单调递减，由()f x 的奇偶性，可得()g x 是定义域上的偶函数，从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性，再结合()()110g g -==，可求出()0g x >的解集.【详解】由题意，令()()f x g x x =，则()()()2xf x f x g x x'-'=，因为0x >时，()()xf x f x '<，则()()()20xf x f x g x x'-'=<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据偶函数的对称性，可知()g x 在(),0-∞上单调递增，且()()()11101f g g -===，所以()()1,00,1x ∈-时，()0g x >.故答案为：()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=，求导并结合当0x >时，()()xf x f x '<，可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．15．【分析】先根据极值列方程组解得值再代入验证即可确定结果【详解】解∵函数∴又∵函数当时有极值10∴∴或当时有不等的实根满足题意；当时有两个相等的实根不满足题意；∴【点睛】本题考查根据极值求参数考查基本解析：7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得a b ，值，再代入验证，即可确定结果. 【详解】解∵函数322()f x x ax bx a =--+∴2()32f x x ax b '=--，又∵函数322()f x x ax bx a =--+，当1x =时有极值10，∴2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩，∴411a b =-⎧⎨=⎩或33a b =⎧⎨=-⎩当411a b =-⎧⎨=⎩时，2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=有不等的实根满足题意；当33a b =⎧⎨=-⎩时，22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=有两个相等的实根，不满足题意； ∴7a b += 【点睛】本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.16．【分析】由题意可知直线恒过定点由曲线在处的切线平行可得两点关于的对称中心对称故为的对称中心由对称性可得的方程求出的值即可【详解】∵曲线在点点处的切线总是平行的∴两点关于的对称中心对称故为的对称中心又解析：113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】由题意可知直线恒过定点()1,1，由曲线在,A C 处的切线平行，可得,A C 两点关于()f x 的对称中心对称，故B 为()f x 的对称中心，由对称性，可得,a b 的方程，求出,a b 的值即可．【详解】∵曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，∴,A C 两点关于()f x 的对称中心对称，故B 为()f x 的对称中心，又直线()10kx y k k --+=∈R 恒过点()1,1， ∴()f x 的对称中心为()1,1，即()1,1B ， ∴513a b ++=……① 由325:(0)3E y ax bx ab =++≠，可得232y ax bx '=+，令2320y ax bx '=+=，可得223ba-=……② 由①②可得1,13a b ==-．即(,)b a 的坐标为113⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故答案为：113⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数对称性的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17．【解析】【分析】先由函数求f′（x ）＝﹣x ﹣3再由函数f （x ）x2﹣3x+4lnx 在(tt+1)上不单调转化为f′（x ）＝﹣x ﹣30在区间（tt+1）上有解从而有0在（tt+1）上有解进而转化为：x 解析：()0,1【解析】【分析】先由函数求f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +，再由“函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx 在(t ，t +1)上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x﹣34x+=0在区间（t，t+1）上有解”从而有234x xx+-=0在（t，t+1）上有解，进而转化为：x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，进而求出答案．【详解】∵函数f（x）12=-x2﹣3x+4lnx，∴f′（x）＝﹣x﹣34x+，∵函数f（x）12=-x2﹣3x+4lnx在（t，t+1）上不单调，∴f′（x）＝﹣x﹣34x+=0在（t，t+1）上有解∴234x xx+-=0在（t，t+1）上有解∴g（x）＝x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，由x2+3x﹣4＝0得：x＝1，或x＝﹣4（舍），∴1∈（t，t+1），即t∈（0，1），故实数t的取值范围是（0，1），故答案为（0，1）．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系，考查了转化思想，属于中档题．18．-10【解析】【分析】先求导分别求出导函数的最值再根据不存在x1x2∈R 使得f′（x1）＝g′（x2）得到关于a的不等式解得即可【详解】∵函数f（x）＝ex﹣ax函数g（x）＝﹣x3﹣ax2∴f′（解析：【解析】【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），得到关于a的不等式解得即可．【详解】∵函数f（x）＝e x﹣ax，函数g（x）＝﹣x3﹣ax2，∴f′（x）＝e x﹣a＞﹣a，g′（x）＝﹣x2﹣2ax＝﹣（x）2，∵不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）＝g′（x2），∴，解得-1≤a≤0，故答案为．【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题．19．【分析】由于函数在上递减利用导函数恒小于或等于零由此求得实数的值【详解】依题意在上恒成立则需恒成立有两个相等的实数根故【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性考查除法的导数考查一元二次不等式恒解析：2-【分析】由于函数在R 上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数a 的值. 【详解】依题意，()()()20xx a x f x e+-+'=≤在R 上恒成立，则需()()20x a x +-+≤恒成立，()()20x a x +-+=有两个相等的实数根，故2a =-.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.20．1【详解】根据函数在处导数的定义知即答案为1解析：1 【详解】根据函数()f x 在0x 处导数的定义知，()()()()()000000011limlim 1.222x x f x x f x f x x f x f x xx ∆→∆→'+∆-+∆-===∆∆ 即答案为1.三、解答题21．（1）2a =，4b =；（2）3m ≥．【分析】（1）求导()1f x a x'=-，再根据函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=，由()12f a b =-+=，()111f a '=-=-求解.（2）将对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，转化为ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，令()ln 4x g x x x xe =+-+，0x >，用导数法求得其最大值，由()maxm g x ≥求解.【详解】（1）因为()ln f x x ax b =-+，所以()1f x a x'=-，又因为函数()f x 的图象在1x =处的切线方程为30x y +-=，所以()12f a b =-+=，()111f a '=-=-，解得2a =，4b =.（2）因为对0x ∀>，()e 3xf x x x m ≤-+成立，所以ln 4x m x x xe ≥+-+恒成立，令()ln 4xg x x x xe =+-+，0x >则()()()()11111x x x xe g x x e xx+-'=+-+=，设()00g x '=，00x >，则01x ex =，从而00ln x x =-，因为()13102g ⎛'=> ⎝⎭，()()1210g e '=-<，所以()()1102g g '⋅<，因为()g x '的图象在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是不间断的，所以01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，满足()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减．从而()g x 在0x x =时取得最大值()00000ln 4143xg x x x x e =+-+=-+=，所以m 的取值范围为3m ≥．【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.22．（1）()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析，(]1,7. 【分析】（1）求出()()2122121x x f x x x x-++'=--=，然后可求出答案；（2）首先得出()()221ax a x g x x-++'=，设()()221h x ax a x =-++，设()0h x =的两个根为12,x x ，可得1220a x x a ++=>，1210x x a⋅=>，即可证明()g x 有两个极值点1x ，2x ，然后利用()222212121222242211x x x x x x a a a a⎛⎫+=+-=+-=++ ⎪⎝⎭可求出其范围.【详解】（1）当2a =-时，()()()2ln 10f x x x x =-->，()()2122121x x f x x x x-++'=--=.令()0f x '=，即22210x x -++=，解得12x =（负值舍去）.当0x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. （2）由（1）得()()()2121ln 1212g x f x x x a x x =-+=+--+， ()()()221112ax a x g x a x x x-++'=+--=. 设()()221h x ax a x =-++，因为()222440a a a =+-=+>△，且1220a x x a ++=>，1210x x a⋅=>，所以()0h x =在()0,∞+上有两个不等实根1x ，()2120x x x <<，且当()10,x x ∈，()2,x +∞时，()0h x >，()0g x '>；当()12,x x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 故1x ，2x 是()g x 的两个极值点. 由12221a x x a a++==+，121=x x a .得()222212121222242211x x x x x x a a a a ⎛⎫+=+-=+-=++ ⎪⎝⎭.又因为1a ≥，所以101a<≤，解得221217x x <+≤.即2212x x +的取值范围是(]1,7.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟悉导数的运算，准确的算出函数的导数，然后要将2212x x +转化为()212122x x x x +-进行求解.23．（1）1x =是函数的极大值点，无极小值点；（2）[)1,+∞．【分析】（1）求得()g x ，进而得到()g x '，判断()g x '与0的关系即可得出函数()g x 的单调区间，得极值点；（2）引入新函数()()22m m x f x x =-，依题意可得函数()m x 在()0,∞+上单调递减，求导可知1ln xm x+≥在()0,∞+上恒成立，结合函数()g x 的单调性，求得()g x 在()0,∞+上的最大值，即可得到实数m 的取值范围．【详解】解：（1）()1ln f x x '=+，()1ln xg x x+=， ()2ln xg x x∴'=-，显然，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，∴函数()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故1x =是函数的极大值点；（2）对于()()()2221212m x x f x f x ->-可化为()()22112222m m f x x f x x ->-，令()()22m m x f x x =-，210x x >>，()m x ∴在()0,∞+上单调递减，()1ln 0m x x mx ∴'=+-≤在()0,∞+上恒成立，即1ln xm x+≥，又()1ln xg x x+=在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ()g x ∴的最大值为()11g =，1m ∴≥，即实数m 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立求参数的取值范围，解题关键是引入新函数()()22m m x f x x =-，已知不等式说明了此函数的单调性，由导数根据此函数单调性可求得参数范围． 24．最大值为3，最小值为17-. 【分析】求()'fx ，求出()f x 在闭区间[]3,0-上的极值，与()()3,0f f -比较大小，即得最值.【详解】()()()()3'231,33311f x x x f x x x x =-+∴=-=+-.令'0f x，得1x =-或1x =（舍）.由()'0fx >，得31x -≤<-；由()'0f x <，得10-<≤x . ()f x ∴在区间[)3,1--上单调递增，在区间(]1,0-上单调递减， ()f x ∴在[]3,0-上有极大值()13f -=.又()()317,01f f -=-=，()f x ∴在[]3,0-上的最大值为3，最小值为17-.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，属于基础题. 25．（1）212a e =；（2）见解析. 【分析】（1）由题意得出()20f '=，可求得a 的值，然后对函数()y f x =是否在2x =取得极值进行验证，进而可求得实数a 的值；（2）当21a e ≥时，()ln 1x e f x x e ≥--，构造函数()ln 1xe g x x e=--，利用导数证明出当0x >时，()0g x ≥恒成立，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数()ln 1xf x ae x =--的定义域为()0,∞+，()1xf x ae x'=-．由题设知，()20f '=，所以212a e =，此时()212x e f x x-'=-，则函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>. 此时，函数()y f x =在2x =处取得极小值，合乎题意. 综上所述，212a e=；（2）当1a e ≥时，()ln 1xe f x x e≥--，设()ln 1x e g x x e =--，则()1x e g x e x'=-．由于函数()y g x '=在()0,∞+上单调递增，且()10g '=. 当01x <<时，()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减；当1x >时，()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增．所以，函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，()()min 10g x g ∴==. 因此，当1a e≥时，()0f x ≥．【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.26．（1）1y x =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）22,1e e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 【分析】（1）先(1)11ln10f =--=，再求导211()1f x x x'=+-，从而可得切线的斜率为11(1)1111f '=+-=，然后利用点斜式写出切线方程即可；（2）先求出导函数，要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0f x '≥在(0,)+∞内恒成立，然后将a 分离，利用基本不等式可求出实数a 的取值范围；（3）根据()eg x x=在[1,e]上的单调性求出函数的值域，然后根据（2）可求出()f x 的最大值，要使在[1,e]上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x ≥成立，只需max min ()()f x g x ≥，然后建立不等式，即可求出实数a 的取值范围【详解】（1）当1a =时，函数1()ln f x x x x=--， ∴(1)11ln10f =--=，211()1f x x x'=+-，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为11(1)1111f '=+-=.从而曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，（2）2221()a ax x af x a x x x-+'=+-=. .要使()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数，只需()0f x '≥在(0,)+∞内恒成立. 即：20ax x a -+≥得2111x a x x x≥=++恒成立.∵12x x +≥，∴1112x x≤+，∴12a ≥. ∴()f x 在(0,)+∞内为增函数，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭法二：2221()a ax x af x a x x x -+'=+-=当0a ≤时，()0f x '<在定义域内恒成立，不合题意舍当0a >时，2140a ∆=->即102a <<方程20ax x a -+=有两解1x ，2x ， 1210x x a+=>，1210x x => 故20ax x a -+=在(0,)+∞恒有两解，()0f x '≥不恒成立，不合题意舍去； 2140a ∆=-≤即12a ≥，20ax x a -+≥即22()0ax x a f x x-+'=≥在(0,)+∞内恒成立，函数()f x 在其定义域内为增函数所以实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）∵()eg x x=在[1,]e 上是减函数 ∴x e =时，min ()1g x =，1x =时，max ()g x e =，即()[1,]g x e ∈ 由（2）知，当12a ≥；在定义域(0,)+∞内是增函数，即1()1,1f x a e e ⎡⎤⎛⎫∈--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 存在0[1,]x e ∈，()()00f x g x ≥只需满足max min ()()f x g x ≥，[1,e]x ∈，即1ln 1a e e e ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，解得221ea e ≥- . ∴实数a 的取值范围是22,1e e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】此题考查了导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了数学转化思想，属于中档题。

(压轴题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数2()ln f x a x x =+，0a >，若曲线()y f x =在点(1,1)处的切线是曲线()y f x =的所有切线中斜率最小的，则a =（）A ．12B ．1CD ．22．已知关于x 的方程ln 2ln x a x -=有三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．21,4e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),e +∞D ．()2,e +∞3．已知函数233()32f x x x e ⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭，则（） A ．函数()f x的极大值点为x B ．函数()f x在(,-∞上单调递减 C ．函数()f x 在R 上有3个零点D ．函数()f x 在原点处的切线方程为33y e x =- 4．若函数sin ()cos x a f x x +=在区间(0,)2π上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≤-B ．2a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤5．已知函数[](),1,2,xae f x x x=∈且[]()()12121212,1,2,1f x f x x x x x x x -∀∈≠<-，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．24,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．24,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],0-∞D ．[)0+，∞ 6．已知111ln 20x x y --+=，22262ln 20x y +--=，记()()221212M x x y y =-+-，则（）A ．M 的最小值为25B ．M 的最小值为45C ．M 的最小值为85D ．M 的最小值为1657．已知函数()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（） A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭8．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)16f =，且()f x 的导函数'()41f x x <-，则不等式2()21f x x x <-+的解集为（） A ．{}|33x x -<- C ．{}|3x x > D ．{|3x x <-或3x10．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（） A ．7B ．4C ．0D ．﹣411．已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()-∞⋃+∞ B ．()-∞⋃+∞C ．⎡⎣D ．(12．若f ′(x 0)＝－3，则()()0003limh f x h f x h h→+--等于( )A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12二、填空题13．函数32()22=-f x x x 在区间[1,2]-上的最大值是___________.14．已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()()2f x lnx ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a =________.15．若点()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数1,1()ln ,1x e x f x x x ⎧-+=⎨>⎩的图象上任意两点，且函数()f x 分别在点A 和点B 处的切线互相垂直，则12x x 的最小值为______． 16．已知函数()y f x =在0x x =处的导数为2-，则()()000limx f x x f x x→--=△△△______.17．已知函数32()26f x x x m =-+（m ∈R ）在区间[－2，2]上有最大值3，那么在区间[－2，2]上，当x=_______时，()f x 取得最小值。

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1．若函数f (x )定义域为[0,1]，则f (x ＋a )·f (x －a )⎝⎛⎭⎫0<a <1
2的定义域为 ( ) A ．[0,1] B ．[－a ，a ] C ．[a,1－a ]
D ．[0,1－a ]
2．已知函数y ＝2－x ＋x ＋4的最大值为M ，最小值为m ，则m ·M 等于( ) A ．8 2 B ．6 2 C ．4 2 D ．2 2
3．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 3，x ≤0，
g (x )，x >0，若f (2
－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1,2)
D ．(－2,1)
4．(2020·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－e x ，x ≤0，
x 2－2x ，x >0，若函数y ＝f (x )－m 有两个不同的零点，
则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,1) B ．(－1,1] C ．(－1，＋∞)
D ．[－1，＋∞)
5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47), b ＝13
(log 3)f ，c ＝f (0.2
－0.6
)，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．c <a <b
B ．c <b <a
C ．b <c <a
D ．a b >c >0)满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数
x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( ) A ．x 0<a B ．x 0>a C ．x 0<b
D ．x 0<c
8．(多选)定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足：f (x )＋g (x )＝4x ，下列结论正确的有( ) A ．f (x )＝4x －4－
x 2，且0<f (1)<g (2)
B ．∀x ∈R ，总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1
C ．∀x ∈R ，总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0
D ．∃x 0∈R ，使得f (2x 0)>2f (x 0)g (x 0)
9．(2020·湖北荆州中学期末)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－1
2时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( ) A.13 B.12 C.3
4
D ．1 10．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2.令g (x )＝f (x )－kx －k ，若在区间[－1,3]内，关于x 的方程g (x )＝0有4个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤0，1
2 C.⎝⎛⎦
⎤0，14 D.⎣⎡⎦⎤14，13
11．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(a －1)x ＋4－2a ，x <1，
1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是
( ) A ．(1,2] B ．(－∞，2] C ．(0,2]
D ．[2，＋∞)
12．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2x ，x ∈[0，1)，
1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的
函数f (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( ) A ．2a －1 B ．1－2－
a C ．－log 2(1＋a )
D ．log 2(1－a )
13．若定义运算f (a *b )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
b ，a ≥b ，a ，a 0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－1
2＝________，若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．
16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )
b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4
是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．
答案精析
1．C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.B 7．ABC 8.ABC 9.D 10.C 11.A
12．C [当x ≥0时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2x ，x ∈[0，1)，
1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，
又f (x )是奇函数，由图象可知，f (x )＝0⇒f (x )＝a (0<a <1)有5个零点，
其中有两个零点关于x ＝－3对称，还有两个零点关于x ＝3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线y ＝a 与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x
－1，x ∈(－1,0]交点的横坐标，即方程a ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的解，
x ＝－log 2(1＋a )．] 13．(0,1] 14．(3，＋∞)
解析若m ＝0，g (x )＝0，不存在g (x 0)<0.
若m >0，因为当x <1时， g (x )<0，所以f (x )<0在(－∞，1)有解，
则⎩
⎪⎨
⎪
⎧
f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，
Δ>0，f (1)≥0，m ≤1，
也即是m >3或⎩⎪⎨⎪⎧
m >0，
m 2
－m －2>0，
3－m ≥0，
m ≤1
(无解)，故m >3.
若m <0，因为当x >1, g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)有解，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
f (1)<0，m <0，此时不等式组无解．
综上， m 的取值范围为(3，＋∞)． 15.1
4
(4,8) 解析 f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎝⎛⎭⎫－122＋2a ·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＝14
. 作出函数f (x )的示意图，如图．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．
由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2) 转动时，符合题意．
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，
消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0. 由Δ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，
消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0. 由Δ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)．综上，得4<a <8. 16．(0,2)
解析因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f (1)－f (－1)1－(－1)
＝m ＝f (x 0)，
即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，
所以实数m的取值范围是(0,2)．。