2016年上海南洋模范中学高一下学期数学期末考试
2015-2016年上海中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．（3分）arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝．2．（3分）＝．3．（3分）若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11＝44，则a3+a5+a10＝．4．（3分）设数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝（n≥1），则a2016＝．5．（3分）已知数列{a n}满足：a n＝n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n＝．6．（3分）已知数列{a n}满足：a1＝3，a n+1＝9•（n≥1），则a n＝．7．（3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝，则＝．8．（3分）等比数列{a n}，a1＝3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3＝．9．（3分）定义在R上的函数f（x）＝，S n＝f（）+f（）+…+f（），n＝2，3，…，则S n＝．10．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两个根，则arctan x1+arctan x2的值为．11．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝，则S2016＝．12．（3分）设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n＝1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．（3分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．14．（3分）一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞15．（3分）等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于016．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n＝，n＝1，2，…，则（a 1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．17．（3分）已知＝1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9B．8C．12D．不确定18．（3分）已知f（n）＝（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30B．26C．36D．6三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+32+22+12＝n（2n2+1）20．已知数列{a n}满足a1＝1，其前n项和是S n对任意正整数n，S n＝n2a n，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x+sin2x＝k+1．（1）k为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n}满足a1＝2，a2＝6，a n+2＝2a n+1﹣a n+2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等差数列；（2）求：++…+．23．数列{a n}，{b n}满足，且a1＝2，b1＝4．（1）证明：{a n+1﹣2a n}为等比数列；（2）求{a n}，{b n}的通项．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2＝4，a5＝32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1＝6，d n•d n+1＝6a•（﹣）（a＞0），设T n＝d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n＝8时，T n取得最大值，求a的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝﹣arcsin（）+π﹣arccos ﹣arctan＝﹣+（π﹣）﹣＝，故答案为：．2．（3分）＝5．【解答】解：＝＝＝＝5．故答案为：5．3．（3分）若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11＝44，则a3+a5+a10＝33．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11＝44＝4a1+20d，∴a1+5d＝11．则a3+a5+a10＝3a1+15d＝3（a1+5d）＝33．故答案为：33．4．（3分）设数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝（n≥1），则a2016＝﹣．【解答】解：依题意，a1＝，a2＝＝＝3，a3＝＝＝﹣2，a4＝＝＝，a5＝＝＝，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016＝504×4，∴a2016＝a4＝﹣，故答案为：﹣．5．（3分）已知数列{a n}满足：a n＝n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n＝•3n+1+．【解答】解：∵a n＝n•3n，则此数列的前n项和S n＝3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3S n＝32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1＝（﹣n）3n+1﹣，∴S n＝•3n+1+．故答案为：•3n+1+．6．（3分）已知数列{a n}满足：a1＝3，a n+1＝9•（n≥1），则a n＝27．【解答】解：由a n+1＝9•（n≥1），得，即，令b n＝lga n，则，∴，则数列{b n﹣3lg3}是以b1﹣3lg3＝lga1﹣3lg3＝﹣2lg3为首项，以为公比的等比数列，∴，即，∴，则a n＝＝103lg3＝10lg27＝27．故答案为：27．7．（3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝，则＝．【解答】解：∵{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若＝，∴设S n＝kn×2n，T n＝kn（3n+1）（k≠0），则当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝4kn﹣2k；当n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝6kn﹣2k．∴＝＝，故答案为：．8．（3分）等比数列{a n}，a1＝3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3＝．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意，，即，∴，得，∵a1＝3﹣5，∴，则q＝9，∴．故答案为：．9．（3分）定义在R上的函数f（x）＝，S n＝f（）+f（）+…+f（），n＝2，3，…，则S n＝2n﹣2．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（1﹣x）＝＝＝，∴f（x）+f（1﹣x）＝4，∴S n＝f（）+f（）+…+f（）＝4×＝2n﹣2．故答案为：2n﹣2．10．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两个根，则arctan x1+arctan x2的值为．【解答】解：由x1、x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两根，可得x1+x2 ＝sin，x1•x2＝cos，故x1、x2均大于零，故arctan x1+arctan x2∈（0，π），且tan（arctan x1+arctan x2）＝＝＝cotπ＝tan（﹣π），∴arctan x1+arctan x2＝．故答案为：．11．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝，则S2016＝．【解答】解：a n＝＝＝（﹣）．∴S2016＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝[1﹣（）]＝＝．故答案为：．12．（3分）设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n＝1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．【解答】解：由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝1，n＝1时，a1+a1＝1，解得a1＝．n＝2时，a1+a2+a1•（a1+a2）＝1，解得a2＝．…，猜想：a n＝．验证：a1+a2+…+a n＝++…+＝＝．∴a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝××…×＝．∴a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝+＝1．∴n＜＝＜n+1，∴＜S n＜，∴2016＜S63＜2080，∴数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．故答案为：63．二、选择题.13．（3分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．【解答】解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），故选：B．14．（3分）一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞【解答】解：设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．则q≥1时，+a＞aq，解得：．0＜q＜1时，＜a+aq，解得：＜q＜1．综上可得：公比q的范围是．故选：C．15．（3分）等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0【解答】解：∵a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|∴d＝a6﹣a5＞0∴数列的前5项都为负数∵a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0由等差数列的性质及求和公式可得，S9＝＝9a5＜0S10＝5（a1+a10）＝5（a5+a6）＞0由公差d＞0可知，S1，S2，S3…S9均小于0，S10，S11…都大于0．故选：C．16．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n＝，n＝1，2，…，则（a 1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．【解答】解：a n＝即a n＝∴a1+a2+…+a n＝（2﹣1+2﹣3+2﹣5+）+（3﹣2+3﹣4+3﹣6+）．∴（a 1+a2+…+a n）＝+＝．，故选：C．17．（3分）已知＝1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9B．8C．12D．不确定【解答】解：将＝1，变形得：sinθ+1＝cot2016θ+2，整理得sinθ＝1+cot2016θ≤1，即cot2016θ≤0，又∵cot2016θ≥0所以cot2016θ＝0，所以cosθ＝0，sinθ＝1，所以（sinθ+2）2（cosθ+1）＝（1+2）2＝9；故选：A．18．（3分）已知f（n）＝（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30B．26C．36D．6【解答】解：由f（n）＝（2n+7）•3n+9，得f（1）＝36，f（2）＝3×36，f（3）＝10×36，f（4）＝34×36，由此猜想m＝36．下面用数学归纳法证明：（1）当n＝1时，显然成立．（2）假设n＝k时，f（k）能被36整除，即f（k）＝（2k+7）•3k+9能被36整除；当n ＝k +1时，[2（k +1）+7]•3k +1+9 ＝3[（2k +7）•3k+9]﹣18+2×3k +1 ＝3[（2k +7）•3k +9]+18（3k ﹣1﹣1）， ∵3k ﹣1﹣1是2的倍数，∴18（3k ﹣1﹣1）能被36整除，∴当n ＝k +1时，f （n ）也能被36整除．由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）＝（2n +7）•3n +9能被36整除，m 的最大值为36．三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12＝n （2n 2+1）【解答】证明：利用数学归纳法证明：（1）当n ＝1时，左边＝1＝右边，此时等式成立；（2）假设当n ＝k ∈N *时，12+22+32+…+（k ﹣1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+32+22+12 ＝k （2k 2+1）（k ∈N *）成立．则当n ＝k +1时，左边＝12+22+32+…+k 2+（k +1）2+k 2+…+22+12 ＝k （2k 2+1）+（k +1）2+k 2＝（k +1）[2（k +1）2+1]＝右边，∴当n ＝k +1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对n ∈N *等式成立．20．已知数列{a n }满足a 1＝1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n ＝n 2a n ，求此数列的通项公式．【解答】解：∵S n ＝n 2a n ，∴n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2a n ﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，化为：＝．∴a n ＝••…••a 1＝••…•××1 ＝，n ＝1时也成立．∴a n＝．21．已知方程cos2x+sin2x＝k+1．（1）k为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．【解答】解：（1）令f（x）＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），作出f（x）在[0，]上的函数图象如图所示：由图象可知当1≤k+1＜2即0≤k＜1时，f（x）＝k+1有两个相异的解．（2）令2x+＝+kπ，解得x＝+，∴f（x）在[0，上的对称轴为x＝，∴α+β＝．22．设数列{a n}满足a1＝2，a2＝6，a n+2＝2a n+1﹣a n+2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等差数列；（2）求：++…+．【解答】（1）证明：∵a n+2＝2a n+1﹣a n+2，∴（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4，∴数列{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为4，公差为2．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2．∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+…+2×2+2＝＝n2+n．∴＝＝．∴++…+＝++…+＝1﹣＝．23．数列{a n}，{b n}满足，且a1＝2，b1＝4．（1）证明：{a n+1﹣2a n}为等比数列；（2）求{a n}，{b n}的通项．【解答】（1）证明：由a n+1＝﹣a n﹣2b n，可得：b n＝，∴b n+1＝﹣，代入b n+1＝6a n+6b n，可得：﹣＝6a n+6×（），化为：a n+2﹣2a n+1＝3（a n+1﹣2a n）．a2＝﹣2﹣2×4＝﹣10，a2﹣2a1＝﹣14，∴{a n+1﹣2a n}为等比数列，首项为﹣14，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣2a n＝﹣14×3n﹣1．化为：a n+1+14×3n＝2，∴数列是等比数列，首项为16，公比为2．∴a n+14×3n﹣1＝16×2n﹣1，可得a n＝2n+3﹣14×3n﹣1．∴b n＝﹣＝28×3n﹣1﹣3×2n+2．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2＝4，a5＝32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1＝6，d n•d n+1＝6a•（﹣）（a＞0），设T n＝d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n＝8时，T n取得最大值，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵a2＝4，a5＝32，由等比数列性质可知：a5＝a2•q3＝32，∴q3＝8，q＝2，∴a1＝2，∴由等比数列通项公式可知：a n＝2×2n﹣1＝2n，数列{a n}的通项公式a n＝2n；（2）∵a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2﹣[（n﹣2）•2n+2]＝n•2n，即b n＝＝n（n≥2），又∵a1b1＝2，即b1＝1满足上式，∴b n＝n；令∁n＝d n•d n+1＝6a•（﹣）n（a＞0），T n＝d1d2d3…d n＝，由当且仅当n＝8时，T n取得最大值，∴|T2|＜|T4|＜|T6|＜|T8|＞|T10|＞…，|T1|＜|T3|＜|T5|＜|T7|＞…＞|T11|＞…．当n≤7时，|∁n|＞1，当n≥8时，|∁n|＜1，∴6a＞27，即a＞，6a＜28，即a＜，∴a的取值范围（，）．。
2016-2017学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期末数学试卷及答案
2016-2017学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．（3分）已知||＝3，||＝6，＝12，则在方向上的投影为．2．（3分）已知等差数列{a n}满足a1+a2+a19+a20＝18，则a7+a14＝．3．（3分）数列{a n}的前n项和为s n＝n2+1，则数列{a n}的通项公式为．4．（3分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，则＝．5．（3分）若实数x满足sin x＝﹣．x∈[]，则x＝．6．（3分）已知cos（﹣α）＝，则sin2α＝．7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα＝，则cos（α﹣β）＝．8．（3分）若1+2cosα+22cos2α+23cos3α+…+299cos99α＝0，α∈（0，π），则α＝．9．（3分）在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若＝2，＝λ﹣（λ∈R），且＝﹣4，则λ的值为．10．（3分）已知，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n+2＝f（a n），若a2010＝a2012，则a20+a11的值是．二、选择题11．（3分）设向量＝（x﹣1，1），＝（3，x+1）．则是x＝2的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件12．（3分）已知曲线C1：y＝cos x，如何变换可得到曲线C2：y＝sin（2x+）（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度D．把C1上上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度13．（3分）下列关于极限的计算，错误的是（）A．＝＝B．（++…+）＝++…+＝0+0+…+0＝0C．（﹣n）＝＝＝D．已知a n＝，则＝＝14．（3分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．15．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD．若动点P从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在16．（3分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110三、简答题17．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sin x cos x（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．18．已知向量，．（1）计算及||、||；（2）设，（其中x≠0），若，试求此时y和x满足的函数关系式y＝g（x），并求g（x）的最小值．19．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．20．已知向量＝（λcosα，λsinα）（λ≠0），＝（﹣sinβ，cosβ），其中O为坐标原点．（1）若β＝α﹣，求向量与的夹角；（2）若||≥2||对任意实数α、β都成立，求实数λ的取值范围．21．已知数列{a n}；满足•a n+1＝a n﹣1且a2＝6，设b n＝a n+n，n∈N*．（1）求b1，b2，b3，b4；（2）求{b n}的通项公式：（3）求（+）．2016-2017学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：∵||＝3，||＝6，＝12，设，的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝，则在方向上的投影为||cosθ＝3×＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础试题．2．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：∵{a n}等差数列，又7+14＝1+20＝2+19，∴a7+a14＝a1+a20＝a2+a19，∴a7+a14＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了等差数列的性质，是基础题．3．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：a1＝S1＝1+1＝2，a n＝S n﹣S n﹣1＝（n2+1）﹣[（n﹣1）2+1]＝2n﹣1．当n＝1时，2n﹣1＝1≠a1，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列通项公式的求法，解题时要注意递推公式的灵活运用．4．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．可得：8＝﹣1+3d，d＝3，a2＝2；8＝﹣q3，解得q＝﹣2，∴b2＝2．可得＝1．故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．5．【考点】&5：三角方程．【解答】解，当sin x＝﹣时，又因为x∈[]，所以π﹣x∈[﹣]，又sin x＝sin（π﹣x），所以π﹣x＝arcsin（﹣）＝﹣arcsin，所以x＝，故答案为：，【点评】本题考查了解三角及反三角与三角的主值区间，属简单题6．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：∵cos（﹣α）＝∴cosα+sinα＝两边平方得：（1+2sinαcosα）＝∴sin2α＝故答案为：．【点评】本题考查差角的余弦公式，考查二倍角的正弦公式，解题的关键是利用差角的余弦公式展开，再两边平方．7．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴sinα＝sinβ＝，cosα＝﹣cosβ，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣cos2α+sin2α＝2sin2α﹣1＝﹣1＝﹣方法二：∵sinα＝，当α在第一象限时，cosα＝，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第二象限时，sinβ＝sinα＝，cosβ＝﹣cosα＝﹣，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣×+×＝﹣：∵sinα＝，当α在第二象限时，cosα＝﹣，∵α，β角的终边关于y轴对称，∴β在第一象限时，sinβ＝sinα＝，cosβ＝﹣cosα＝，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣×+×＝﹣综上所述cos（α﹣β）＝﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题8．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：∵1+2cosα+22cos2α+23cos3α+…+299cos99α＝0，∴＝0，∴（2cosα）100＝1，且1﹣2cosα≠0，∴2cosα＝﹣1，∴cosα＝﹣，∵α∈（0，π），∴α＝，故答案为：【点评】本题考查了等比数列的求和公式和三角函数值，考查了运算能力，属于基础题．9．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，＝2，∴＝+＝+＝+（﹣）＝+，又＝λ﹣（λ∈R），∴＝（+）•（λ﹣）＝（λ﹣）•﹣+λ＝（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．10．【考点】8I：数列与函数的综合．【解答】解：∵，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n+2＝f（a n），∴a1＝1，，，a7＝，，∵a2010＝a2012，∴∴a2010＝（负值舍去），由a2010＝得a2008＝…依次往前推得到a20＝∴a20+a11＝故答案为：【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2＝f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．二、选择题11．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：＝（x﹣1，1），＝（3，x+1）．由，得x2﹣1＝3，即x＝±2，∴是x＝2的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查向量共线的坐标运算，考查充分必要条件的判定，是基础题．12．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：把曲线C1：y＝cos x＝sin（x+）的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，可得y＝sin（2x+）的图象；再把所得图象向左平移个单位长度，可得到曲线C2：y＝sin（2x+）的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．13．【考点】6F：极限及其运算．【解答】解：选项A求的是数列极限，采用分子分母同时除以n2后求极限值，正确；选项B应先求数列的前n项和，即，然后求得极限值为1，∴选项B错误；选项C是采用先分子有理化，然后分子分母同时除以n再取极限，正确；选项D是运用等比数列的求和公式先把奇数项和偶数项分别作和，然后求极限值，做法正确．故选：B．【点评】本题考查数列的极限及其求法，解答的关键是消去无穷大项，同时注意先化简再取极限，是基础题．14．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵＜A＜π，∴A＝，由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∵a＝2，c＝，∴sin C＝＝＝，∵a＞c，∴C＝，故选：B．【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题15．【考点】98：向量的加法．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝（λ﹣μ，μ），当λ＝μ＝1时，＝（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ＝2，但P不是BC的中点，故A错误；当λ＝1，μ＝0时，＝（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ＝1，当λ＝，μ＝时，＝（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ＝1，故满足λ+μ＝1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ＝0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ＝1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ＝1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ＝0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选：C．【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，属中档题．16．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n＝+…+＝2n+1﹣1，（n∈N+），则＝a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由＝435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A 项符合题意．B项，仿上可知＝325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知＝210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知＝105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N＝1+2+3+…+n＝，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有+2＝3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有+3＝18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有+4＝95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有+5＝440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．三、简答题17．【考点】3G：复合函数的单调性；GF：三角函数的恒等变换及化简求值；H1：三角函数的周期性；H5：正弦函数的单调性．【解答】解：∵函数f（x）＝sin2x﹣cos2x﹣2sin x cos x＝﹣sin2x﹣cos2x＝2sin（2x+）（Ⅰ）f（）＝2sin（2×+）＝2sin＝2，（Ⅱ）∵ω＝2，故T＝π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．18．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：（1）∵，．根据向量数量积的坐标表示可得，＝＝0，||＝＝2，||＝＝1，（2）∵，（其中x≠0），若，则＝0，即＝0，∴y＝g（x）＝结合二次函数的性质可知，当x＝时，函数g（x）有最小值【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示及向量数量积的性质，二次函数的性质的简单应用．19．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3＝12，得b1（q+q2）＝12，而b1＝2，所以q+q2﹣6＝0．又因为q＞0，解得q＝2．所以，b n＝2n．由b3＝a4﹣2a1，可得3d﹣a1＝8①．由S11＝11b4，可得a1+5d＝16②，联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n＝3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n＝2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n＝6n﹣2，b2n﹣1＝4n，有a2n b2n﹣1＝（3n﹣1）4n，故T n＝2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n＝2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n＝2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1＝＝﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n＝．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．20．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：（1）∵向量＝（λcosα，λsinα）（λ≠0），＝（﹣sinβ，cosβ），β＝α﹣，设向量与的夹角为θ，∵•＝λcosα•（﹣sinβ）+λsinα•cosβ＝λsin（α﹣β）＝λsin＝，||＝|λ|，||＝1，∴cosθ＝＝＝±，∴θ＝60°，或120°．（2）若||≥2||对任意实数α、β都成立，∵＝（﹣sinβ﹣λcosα，cosβ﹣λsinα），∴≥2，即（﹣sinβ﹣λcosα）2+（cosβ﹣λsinα）2≥4，即1+λ2+2λsin（β﹣α）≥4．当λ＝0时，不满足条件；当λ＞0时，1+λ2﹣2λ≥4，求得λ≥3，∴λ≥3；当λ＜0时，1+λ2+2λ≥4，求得λ≥3，∴λ≤﹣3，综上可得，{λ|λ≥3 或λ≤﹣3 }．【点评】本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，以及向量的平方即为模的平方，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．【考点】8H：数列递推式；8J：数列的极限．【解答】解：（1）由可得，当n＝1时，得a1＝1，n＝2时，得a3＝15，n＝3时，得a4＝28，又∵b n＝a n+n，∴b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32；（2）猜想，n∈N*，证明：1°，当n＝1时，，成立；2°，假设n＝k时成立，即，由b k＝a k+k，可得，由，可得＝（k+1）（2k+1）＝（k+1）（2k+2﹣1）＝2（k+1）2﹣（k+1），即n＝k+1时，猜想成立，∴对任意的n∈N*，都有，即数列{b n}的通项公式为：；（3）∵＝＝，∴＝＝＝＝【点评】此题考查了数学归纳法，数列求和等，难度适中．。
2017-2018年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷和答案
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为．6．（3分）函数的值域为；7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．9．（3分）函数f （x）=的单调递增区间为．10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km 15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；【解答】解：∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=﹣3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，∴sinα+cosα=，故答案为：．2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=，可得：sin=，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r2α==．故答案为：．3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．【解答】解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为（，] ．【解答】解：arccos2x＜arccos（1﹣x），由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．6．（3分）函数的值域为；【解答】解：∵﹣≤x≤，∴﹣，∴﹣≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；【解答】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=﹣）+1，由sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴当sin（2x﹣）=﹣1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为[，]．故答案为：[，]．8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【解答】解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得b2=22+c2﹣2×2×c×（﹣），即b2=4+49﹣14b+b2+7﹣b，15b=60∴b=4．故答案为：4．9．（3分）函数 f （x）=的单调递增区间为，k∈Z．【解答】解：∵对数的真数大于零∴⇒，k∈Z解之得函数的定义域为：，k∈Z令t=∵∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=的单调递增区间由，k∈Z，得x∈，k∈Z，再结合函数的定义域，得x，是原函数的增区间故答案为：10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移个单位．【解答】解：函数y=cos（﹣）=cos（﹣+）=sin（），只需将y=sin的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos（﹣）的图象，故答案为：向左平移个单位．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是（﹣4，﹣2]∪{0} ．【解答】解：∵令g（x）=﹣3|cosx|+cosx=，x∈（0，2π），在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y=m，m∈（﹣4，﹣2]∪{0}时，g（x）=﹣3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．故答案为：（﹣4，﹣2]∪{0}．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．【解答】解：∵tanC=，∴sinC=sin（B+C）=sinA，∴c=a，∵b=2，∴S===，∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为，故答案为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去），故选：D．14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km【解答】解：如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°，∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴=故选：B．15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=．故选：D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，•=﹣，∴ω=2，再根据2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；【解答】解：（1）∵f（x）=4sin3xcosx﹣2sinxcosx﹣cos4x=sin2x×（1﹣cos2x）﹣sin2x﹣cos4x=﹣sin4x﹣cos4x=﹣sin（4x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴4x+，∴sin（4x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=﹣sin（4x+）∈[﹣，]，可得当x=时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，当x=时，取得最小值为．18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；【解答】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA；（2）△ABC 中，由正弦定理得=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图【解答】解：∵1﹣sinx ≥0且1+sinx ≥0，在R 上恒成立 ∴函数的定义域为R ； ∵=2+2|cosx|∴由|cosx |∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[，2]；∵=f （x ）∴函数的最小正周期为π ∵当x ∈[0，]时，=2cos ，在[0，]上为减函数当x ∈[，π]时，=2sin ，在[，π]上为增函数 ∴f （x ）在上递增，在上递减（k ∈Z ）∵f （﹣x ）=f （x ）且，∴f （x ）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称因此，可得如下表格：值域调性上上，图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx﹣sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx•cos（x﹣），∴f（x）=2cosx，α=﹣．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|﹣sinx）=，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=﹣1当时，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1﹣x2|的最小值是．。
2016年上海市徐汇区南洋模范中学高一下学期数学期末考试试卷
2016年上海市徐汇区南洋模范中学高一下学期数学期末考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 点从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为．2. 已知，则．3. 已知，则的值为．4. 方程在区间内解的个数是．5. 用数学归纳法证明等式：，验证当时，等式左边．6. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共为升，下面节的容积共升，则第节的容积为升．7. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比．8. 设是数列的前项和，，，则．9. ，则．10. 若函数在上的最大值为，则的值是．11. 如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，，，，，若，，则所有正方形的面积的和为．12. 定义在上的函数，对任意的正整数，，都有，且，若对任意的正整数，有，则．二、选择题（共6小题；共30分）13. 为奇函数，当时，，则当时，A. B.C. D.14. 如图是函数，的部分图象，则在下列命题中，正确的命题序号是①函数的最小正周期为；②函数的振幅为；③函数的一条对称轴方程为；④函数的单调递增区间是；⑤函数的解析式为．A. ③⑤B. ③④C. ④⑤D. ①③15. 设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是A. B.C. D. 与均为的最大值16. 数列的通项，其前项和为，则为A. B. C. D.17. 已知二次函数，当时，其抛物线在轴上截得的线段长依次为，则的值是A. B. C. D.18. 对数列，，若区间满足下列条件：①；②；则称为区间套，下列可以构成区间套的数列是A. ，B. ，C. ，D. ，三、解答题（共5小题；共65分）19. 已知函数的最小正周期是．（1）求的值；（2）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．20. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求的大小；（2）如果，，求的面积．21. 已知数列满足，．若数列满足：．（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等差数列．22. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入万元，以后每年投入比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年比上年增加．（1）设年内（本年度为第一年）总投入为万元，旅游业的总收入为万元，写出，的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?23. （1）若对于任意的，总有成立，求常数，的值；（2）在数列中，，，求的通项公式；（3）在（）题的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，，第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中，．试问是否存在正整数，使且成立?若存在，求正整数，的值；不存在，说明理由．答案第一部分1.【解析】点从点出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则恰好是角的终边，故点的横坐标，纵坐标为，则的坐标为．2.【解析】因为，所以3.【解析】．4.【解析】方程，即，即或．由，，可得或；由，，可得或．综上可得，方程在区间内的解的个数是．5.【解析】用数学归纳法证明：“”时，在验证当时，把当时代入，左端．6.【解析】由题设知解得，，所以．7.【解析】依题意，，成等差数列，有，当时，有，由于，得，又，故，当时，不成立．8.【解析】因为，所以，所以，所以数列是等差数列，首项为，公差为．所以，解得．9.【解析】因为，所以，，所以，解得．10.【解析】因为函数又因为函数在上的最大值为，所以的最大值为，又因为，所以，即．11.【解析】根据题意可知，可得，依次计算，，，则，，，，构成公比为的等比数列，正方形的面积依次是：，，，边长依次为，，，，则正方形的面积构成公比为的等比数列．所有正方形的面积的和．12.【解析】令，得，则，即，令，得，则，即，令，得，即，则，即，所以，数列是等比数列，公比，首项．所以．第二部分13. C 【解析】因为，所以，又，所以所以当时，即，则14. A 【解析】由图象可知，所以，因为最大值为，所以，则，因为图象过点，则，所以，即可判定①②错，⑤正确，由，得对称轴方程为，，当时，，故③正确；由，，，函数的单调递增区间是，故④错；综上，正确的命题序号是③⑤．15. C【解析】由得，即，又因为，所以，所以，故B正确；同理由，得，因为，故A正确；而C选项，即，可得，由结论，，显然C选项是错误的．因为，，所以与均为的最大值，故D正确．16. A 【解析】由于以为周期，故17. A 【解析】当时，．令，得，．故＝．所以．．18. C 【解析】由题意，对于A，，，因为，所以不成立，所以A不正确；对于B，因为，所以不成立，所以B不正确；对于C，因为，，所以成立，并且，所以C正确；对于D，因为，，所以不成立，所以D不正确．第三部分19. （1）由题设，函数的最小正周期是，可得所以（2）由（1）知，当即时取得最大值，函数的最大值是，此时的集合为20. （1）因为，即，所以，又，所以．（2）因为，，所以，由正弦定理，得，因为，即，整理得：，解得：，因为，所以，则．21. （1）数列满足，．所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为．所以，所以．（2）数列满足：．当时，，解得．当时，，可得，化为：，可得：，相减可得：，化为：，所以数列是等差数列．22. （1）第年投入万元，第年投入为万元，，第年投入为万元，所以年内的总投入为第年旅游业收入为万元，第年旅游业收入为万元，，第年旅游业收入为万元，所以年内的旅游业总收入为．（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，即，化简得，设，代入得，解得或（舍去），即，由此得，故至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入．23. （1）由题设得即恒成立，所以，．（2），由题设，又得，当时，，且，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即为所求．（3）假设存在正整数，满足题设，由（）知，显然，又得，因为，即数列是以为首项，为公比的等比数列．于是，由得，，所以或，当时，，；当时，，；综上，存在正整数，满足题设，即，或，．。
上海市南洋模范中学2018-2019学年高一下期中考试数学学科数学题(解析版)
2018-2019学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1．（3分）已知角α的终边在射线y＝﹣x（x≤0）上，则cosα＝．2．（3分）若，则cos2α＝．3．（3分）已知tan（π﹣θ）＝3，则＝．4．（3分）已知，则＝．5．（3分）已知，则cosα＝．6．（3分）函数的最小正周期为．7．（3分）函数y＝cos2x+2sin x﹣2的值域为．8．（3分）下图为函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD 的中点，且△OMB为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）＝．9．（3分）已知方程sin x+cos x＝m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是．10．（3分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D 用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为（精确到1米）．11．（3分）设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）＝．12．（3分）已知函数f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx+1（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间内没有零点，则ω的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13．（3分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（）A．B．C．D．（1﹣sin1cos1）R215．（3分）已知△ABC内接于单位圆，则长为sin A、sin B、sin C的三条线段（）A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D．不一定能构成一个三角形16．（3分）已知函数f（x）＝cos（sin x），g（x）＝sin（cos x），则下列说法正确的是（）A．f（x）与g（x）的定义域都是[﹣1，1]B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）的值域为[cos1，1]g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]D．f（x）与g（x）都不是周期函数三、解答题17．（8分）已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18．（8分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a＝2；②B＝45°；③c＝b试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可）19．（8分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝1，∠ABC＝，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用θ表示S1和S2；（2）当θ变化时，求的最小值，及此时角θ的大小．20．某种波的传播是由曲线f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把解析式f（x）＝A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．（1）已如“1类波”中的两个波，与加后是一个“A类波”，求A的值；（2）已知三个不同的“A类波”，从f1（x）＝A sin（x+φ1），f2（x）＝A sin（x+φ2），f3（x）＝A sin（x+φ3）（其中φ1、φ2、φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y＝0，即f1（x）+f2（x）+f3（x）＝0，求cos（φ1﹣φ2）cos（φ2﹣φ3）cos（φ3﹣φ1）的值．21．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：（1）请写出上表的x1、x2、y2，及函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式及的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，若在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．2018-2019学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1．【解答】解：∵角α的终边在射线y＝﹣x（x≤0）上，在角α的终边上任意取一点（﹣1，1），则cosα＝＝﹣，故答案为：﹣．2．【解答】解：因为sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故答案为：．3．【解答】解：∵tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝3，∴tanθ＝﹣3，则＝．故答案为：．4．【解答】解：∵已知，∴cosα＝﹣＝﹣，则＝sinαcos+cosαsin＝﹣＝，故答案为：．5．【解答】解：，所以：，解得：，所以：，整理得：，解得：（负值舍去），故＝，故答案为：．6．【解答】解：函数的最小正周期是函数y＝sin的周期的一半，而函数y＝sin的周期为＝4π，故函数的最小正周期是2π，故答案为：2π．7．【解答】解：y＝cos2x+2sin x﹣2＝﹣sin2x+2sin x﹣1＝﹣（sin x﹣1）2，∵x∈R，∴sin x∈[﹣1，1]，∴当sin x＝1时，y max＝0；当sin x＝﹣1时，y min＝﹣4，∴函数y的值域为[﹣4，0]．故答案为：[﹣4，0]．8．【解答】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A＝2，根据△OMB为等腰直角三角形，可得M（﹣1，0），D（1，2），∴•＝1﹣（﹣1），解得ω＝；∴函数f（x）＝2sin（x+φ），又由M（﹣1，0）是f（x）图象上的点，由正弦函数的图象与性质知，×（﹣1）+φ＝0，可得φ＝，∴f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．9．【解答】解：m+1＝sin x+cos x＝2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，如图：方程sin x+cos x＝m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，2sin（x+）∈．∴m+1∈，可得m∈．故答案为：．10．【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD＝500（米），DA＝300（米），∠CDO＝60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°＝OC2即，5002+（r﹣300）2﹣2×500×（r﹣300）×＝r2解得r＝≈445（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD＝500（米），AD＝300（米），∠CDA＝120°在△CDO中，AC2＝CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°＝5002+3002+2×500×300×＝7002．∴AC＝700（米）．cos∠CAD＝＝．在直角△HAO中，AH＝350（米），cos∠HAO＝，∴OA＝＝≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．故答案为：445米．11．【解答】解：∵α1，α2∈R，且，∴sinα1+2＝1，2+sin （2α2）＝1，求得sinα1＝﹣1，sin（2α2）＝﹣1，∴α1＝2kπ﹣，且2α2＝2nπ﹣，k、n∈Z，∴α2＝nπ﹣，∴α1+α2＝（2k+n）﹣，∴tan（α1+α2）＝tan（﹣）＝1，故答案为：1．12．【解答】解：f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx+1＝sin2ωx﹣cos2ωx＝sin（2ωx﹣），（ω＞0），由f（x）＝0得2ωx﹣＝kπ，即x＝+，k∈Z，∵函数f（x）在区间内没有零点，∴x＝+∉（，π），若+∈（，π），则＜+＜π，得ω﹣＜k＜2ω﹣，若函数f（x）在区间内没有零点，等价为在（ω﹣，2ω﹣）内没有整数，则≥＝，即0＜ω≤1，若（ω﹣，2ω﹣）内有整数，则当k＝0时，由ω﹣＜0＜2ω﹣，得，即＜ω＜，若当k＝1时，由ω﹣＜1＜2ω﹣，得，即＜ω＜，此时＜ω≤1，当k＝2时，由ω﹣＜2＜2ω﹣，得，即＜ω＜，此时ω超出范围，即若（ω﹣，2ω﹣）内有整数，则＜ω＜或＜ω≤1，则若（ω﹣，2ω﹣）内没有整数，则0＜ω≤或≤ω≤，即ω的取值范围为（0，]∪[，]，故答案为：（0，]∪[，]二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分）13．【解答】解：由正弦定理知＝2R，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，∴sin A＞sin B故选：A．14．【解答】解：l＝4R﹣2R＝2R，α＝＝＝2，可得：S扇形＝lR＝×2R×R＝R2，可得：S三角形＝×2R sin1×R cos1＝sin1•cos1•R2，可得：S弓形＝S扇形﹣S三角形＝R2﹣sin1•cos1•R2＝（1﹣sin1cos1）R2．故选：D．15．【解答】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C∵a，b，c为三角形的三边∴sin A，sin B，sin C也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选：C．16．【解答】解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误，B．f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（﹣sin x）＝cos（sin x）＝f（x），则f（x）是偶函数，故B错误，C．∵﹣1≤sin x≤1，﹣1≤cos x≤1，∴f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域[﹣sin1，sin1]，故C正确，D．f（x+2π）＝cos（sin（x+2π））＝cos（sin x）＝f（x）则f（x）是周期函数，故D错误，故选：C．三、解答题17．【解答】解：（1）由于，则有3tan2α+8tanα﹣3＝0，解得或tanα＝﹣3，∵，∴tanα＝﹣3；（2）＝﹣cos2α＝﹣（cos2α﹣sin2α）＝＝＝＝．18．【解答】解：（1）由2b cos A＝c cos A+a cos C代入正弦定理得：2sin B cos A＝sin C cos A+sin A cos C即2sin B cos A＝sin（C+A）＝sin B≠0∴cos A＝又0＜A＜π∴A＝（2）选①③由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A∴b2+3b2﹣3b2＝4∴b＝2，c＝2∴S＝选①②由正弦定理得：又sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝∴S＝选②③这样的三角形不存在．19．【解答】解：（1）∵BC是半圆的直径，A在半圆上，∴AB⊥AC，又BC＝1，∴AB＝cosθ，AC＝sinθ，所以：S1＝•AB•AC＝sinθcosθ；设正方形的边长为x，则：BP＝，AP＝x cosθ，由BP+AP＝AB，得：+x cosθ＝cosθ，解得：x＝，所以：S2＝x2＝（）2．（2）＝＝＝+sin2θ+1，令t＝sin2θ，因为0＜θ＜，所以：0＜2θ＜π，则t＝sin2θ∈（0，1]，所以：＝++1，令g（t）＝++1（0＜t≤1），则g′（t）＝﹣+＝＜0，所以函数g（t）在（0，1]上递减，因此：当t＝1时，g（t）取得最小值g（1）＝1++1＝，此时：sin2θ＝1，解得θ＝．所以：当θ＝时，的值最小，最小值为．20．【解答】解：（1）与加后是一个“A类波”，即：f1（x）+f2（x）＝sin（x+）+sin（x+）＝sin x cos+cos x sin+sin x cos+cos x sin ＝sin x+cos x＝sin（x+）；由定义解析式f（x）＝A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以：A＝；（2）设f1（x）＝A sin（x+φ1），f2（x）＝A sin（x+φ2），f3（x）＝A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）＝0恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得：（cosφ1+cosφ2+cosφ3）sin x+（sinφ1+sinφ2+sinφ3）cos x＝0，易得：cosφ1+cosφ2+cosφ3＝0；①sinφ1+sinφ2+sinφ3＝0；②由两式变型平方可得：cosφ1+cosφ2＝﹣cosφ3；sinφ1+sinφ2＝﹣sinφ3；两式左右完全平方相加可得：2+2cos（φ1﹣φ2）＝1；cos（φ1﹣φ2）＝﹣；同理可得：cos（φ2﹣φ3）＝﹣；cos（φ3﹣φ1）＝﹣；∴cos（φ1﹣φ2）cos（φ2﹣φ3）cos（φ3﹣φ1）＝﹣．21．【解答】解：（1）由表格根据五点法作图的规律，可得+＝x1﹣＝x2﹣x1＝﹣x2，解得x1＝，x2＝，A＝，y2＝﹣，f（x）＝sin（x+）．（2）将函数f（x））＝sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y＝sin（x﹣+）＝﹣sin x的图象；再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）＝sin x的图象．函数＝[sin x﹣]，由sin x﹣＞0，可得sin x＞，要求函数的单调递增区间，即求y＝sin x的减区间，而y＝sin x的减区间为[，），故的单调递增区间为[，）．（3）＝3sin2x+a sin x﹣1，令F（x）＝0，则a sin x＝1﹣3sin2x，显然当sin x＝0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，令t＝sin x（sin x≠0且0＜x≤2π），则t∈[﹣1，0）∪（0，1]，a＝，则函数y＝在[﹣1，0）和（0，1]上单调递减，且t＝1时y＝2，当t＝﹣1时，y＝﹣2∴当y∈（﹣2，2）时，y＝t与y＝有两个交点，此时方程a sin x＝1﹣3sin2x存在4个实根，当y∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，y＝t与y＝有一个交点，此时方程a sin x＝1﹣3sin2x存在2个实根，当y＝2或y＝﹣2时，y＝t与y＝有两个交点，此时方程a sin x＝1﹣3sin2x存在3个实根．∵在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，∴当x∈（2018π，2019π）时，F（x）只可能存在2个零点，因此只有a＝2时符合条件，∴x∈（0，2019π）时F（x）的零点为：个．。
上海市徐汇区南洋中学2016-2017学年高一(下)3月月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市徐汇区南洋中学高一（下）3月月考数学试卷一、填空题：1．已知角α的终边经过点P（1，2），则tanα=．2．如果角α是第二象限角，则点P（tanα，secα）位于第象限．3．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．4．已知cos31°=a，则sin239°的值为．5．若，那么=．6．若f（tanx）=sin2x，则f（﹣1）的值是．7．若，则φ=．8．若扇形的中心角α=60°，扇形半径R=12cm，则阴影表示的弓形面积为．9．已知，则tanα•tanβ=．10．若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=．11．若，，，则=．12．已知角α和β满足，且2cos（α+β）cosβ=﹣1+2sin（α+β）sinβ，则角α和角β满足的关系式是．二、选择题：13．“x=2kπ+（k∈Z）”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．14．在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定15．若θ是第二象限角，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角16．已知，则cosθ的值等于（）A．B．C．D．三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知，求的值．18．已知tan=2，求（1）tan（α+）的值（2）的值．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（tanα+cotα）x+1=0的一个实数根是，求sin2α和cos4α的值．20．已知关于x的方程的两个根为sinθ，cosθ，θ∈（0，2π）．（1）求的值；（2）求m的值；（3）求方程的两个根及此时θ的值．21．已知，且．（1）用tanα表示tanβ；（2）求tanβ的最大值．2016-2017学年上海市徐汇区南洋中学高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．已知角α的终边经过点P（1，2），则tanα=2．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，2），则x=1，y=2，tanα==2，故答案为：2．2．如果角α是第二象限角，则点P（tanα，secα）位于第三象限．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由于角α是第二象限角可得tanα＜0，secα＜0，从而可得答案．【解答】解：∵角α是第二象限角，∴tanα＜0，secα＜0，即点P（tanα，secα）位于第三象限．故答案为三．3．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】由α∈（﹣，0）sin（α+）=，利用诱导公式可求得cosα，从而可求得sinα与tanα．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴c osα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．4．已知cos31°=a，则sin239°的值为﹣a．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式，把要求的式子化为﹣cos31°，即可计算得解．【解答】解：∵cos31°=a，∴sin239°=sin=﹣cos31°=﹣a．故答案为：﹣a．5．若，那么=﹣．【考点】半角的三角函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值，再利用半角公式求得=﹣的值．【解答】解：若，∴∈（，），cosθ=﹣=﹣，那么=﹣=﹣，故答案为：﹣．6．若f（tanx）=sin2x，则f（﹣1）的值是﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令tanx=﹣1，则有x=kπ﹣或x=kπ+，从而解得sin2x=﹣1可得到结果．【解答】解：令tanx=﹣1∴x=kπ﹣或x=kπ+∴sin2x=﹣1 即：f （﹣1）=﹣1 故答案为：﹣17．若，则φ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接利用辅助角公式化解即可得解．【解答】解：由f （θ）=sin cosθ=2sin （θ）．由题意，﹣π＜φ＜π．∴φ=．故答案为：．8．若扇形的中心角α=60°，扇形半径R=12cm ，则阴影表示的弓形面积为 24π﹣36．【考点】扇形面积公式．【分析】过点O 作OD ⊥AB 于点D ，根据∠O=60°，OA=OB 可知△OAB 是等边三角形，可得∠OAB=60°，由锐角三角函数的定义求出OD 的长，再根据S 弓形=S 扇形AOB ﹣S △OAB 即可得出结论．【解答】解：如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ， ∵中心角α=60°，OA=OB=12， ∴△OAB 是等边三角形， ∴∠OAB=60°，∴OD=OA•sin60°=12×=6，∴S 弓形=S 扇形AOB ﹣S △OAB =﹣=24π﹣36．故答案为：24π﹣36．9．已知，则tanα•tanβ=﹣．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和与差的余弦函数公式化简已知两等式，再利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tanα•tanβ的值．【解答】解：∵cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=，∴===2，即1﹣tanαtanβ=2+2tanαtanβ，整理得：tanαtanβ=﹣．故答案为：﹣．10．若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=．【考点】二倍角的正弦．【分析】根据sin2A的值确定A的范围，然后把已知条件两边都加上1，利用同角三角函数间的基本关系把等式右边的“1”变为sin2A+cos2A，并利用二倍角的正弦函数公式把sin2A化简，等式的左边就变成一个完全平方式，根据A的范围，开方即可得到sinA+cosA的值．【解答】解：因为A为三角形的内角且，所以2A∈（0，180°），则A ∈（0，90°）把已知条件的两边加1得：1+sin2A=1+即1+2sinAcosA=sin2A+2sinAcosA+cos2A=（sinA+cosA）2=所以sinA +cosA==故答案为：11．若，，，则=．【考点】角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．【分析】根据条件确定角的范围，利用平方关系求出相应角的正弦，根据=，可求的值．【解答】解：∵∴∵，∴，∴===故答案为：12．已知角α和β满足，且2cos （α+β）cosβ=﹣1+2sin （α+β）sinβ，则角α和角β满足的关系式是 α+2β= ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】先根据两角和的余弦公式得到cos （α+2β）=﹣，再根据角的范围，即可求出答案．【解答】解：∵2cos （α+β）cosβ=﹣1+2sin （α+β）sinβ， ∴cos （α+β）cosβ﹣sin （α+β）sinβ=﹣，∴cos （α+2β）=﹣，∵角α和β满足，∴0＜α+2β＜π，∴α+2β=，故答案为：α+2β=二、选择题：13．“x=2kπ+（k∈Z）”是“tanx=1”成立的（）A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据正切函数的定义，分别判断当x=2kπ+（k∈Z）时，tanx=1是否成立及tanx=1时，x=2kπ+（k∈Z）是否成立，进而根据充要条件的定义可得答案【解答】解：当x=2kπ+（k∈Z）时，tanx=1成立当tanx=1时，x=2kπ+或x=2kπ+（k∈Z）故x=2kπ+（k∈Z）是tanx=1成立的充分不必要条件故选：A．14．在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定【考点】三角形的形状判断．【分析】先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．【解答】解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．15．若θ是第二象限角，且，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据，可得，θ是第二象限角，即可判断．【解答】解：由题意，∵，∴，∵θ是第二象限角，∴在第一、三象限角．得是在三象限角．故选C．16．已知，则cosθ的值等于（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】要求cosθ，就需要把条件里的sinθ转化为cosθ消去，所以利用已知条件解出sinθ，两边平方再根据同角三角函数间的基本关系化简可得到关于cosθ的一元二次方程，求出方程的解即可．【解答】解：由已知变形为2+2sinθ+2cosθ=1+sinθ﹣cosθ，解得sinθ=﹣1﹣3cosθ；两边平方得：sin2θ=1﹣cos2θ=（﹣1﹣3cosθ）2，化简得：5cos2θ+3cosθ=0即cosθ（5cosθ+3）=0，由题知cosθ≠0，所以5cosθ+3=0即cosθ=﹣．故选B三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知，求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式化解后，即可计算的值．【解答】解：由==2cosα．则=2cos（）=2cos（）=．18．已知tan=2，求（1）tan（α+）的值（2）的值．【考点】弦切互化；两角和与差的正切函数；二倍角的正切．【分析】（1）根据正切的二倍角公式，求出tanα的值，再利用正切的两角和公式求出tan（α+）的值．（2）把原式化简成正切的分数式，再把（1）中tanα的值代入即可．【解答】解：（I）∵tan=2，∴tanα===﹣∴tan（α+）====﹣（Ⅱ）由（I）∵tanα=﹣∴===19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（tanα+cotα）x+1=0的一个实数根是，求sin2α和cos4α的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可得tanα+cotα=4．“切化弦”即可求解sin2α和cos4α的值．【解答】解：由题意，一元二次方程x2﹣（tanα+cotα）x+1=0的一个实数根是，那么：另一个根为2．则tanα+cotα=4，即，可得sinαcosα=．∴sin2α=2sinαcosα=cos4α=1﹣2sin22α=．20．已知关于x的方程的两个根为sinθ，cosθ，θ∈（0，2π）．（1）求的值；（2）求m的值；（3）求方程的两个根及此时θ的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）（2）（3）根据一元二次方程的根与系数的关系，可得sinθ，cosθ的关系．解出sinθ，cosθ的值，即可求解的值；【解答】解：x的方程的两个根为sinθ，cosθ．可得sinθ×cosθ=，sinθ+cosθ=，∵sin2θ+cos2θ=1，θ∈（0，2π）．∴或那么tanθ=或．（1）=（2）由sinθ×cosθ=，可得m=．（3）当方程的两个根分别时，此时θ=．当方程的两个根分别时，此时θ=．21．已知，且．（1）用tanα表示tanβ；（2）求tanβ的最大值．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】（1）把已知等式的左边中的角β变为α+β﹣α，利用两角和与差的正弦函数公式化简，移项整理后，在等式左右两边同时除以cos（α+β）cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，利用两角和的正切函数公式即可得解．（2）由（1）及基本不等式即可计算得解．【解答】解：（1）∵α，β∈（0，），∴sinβ=sin（α+β﹣α）=cos（α+β）sinα，即sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=cos（α+β）sinα，移项得：sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，两边同时除以cos（α+β）cosα，得：tan（α+β）=2tanα，∴=2tanα，可得：tanβ=．（2）∵，∴由（1）可得tanβ==≤．即tanβ的最大值为．2017年5月9日。
上海市南洋模范中学2015-2016学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析
2015-2016学年上海市南洋模范中学高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q 点，则Q点的坐标为．2．已知，则sin2x+3sinxcosx﹣1=．3．已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．4．方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内解的个数是．5．用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=．6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．8．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．9．，则a=．10．若函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，则θ的值是．11．如图，在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为a1，a2，…，a n，…，若AB=a，BC=2a，则所有正方形的面积的和为．12．定义N*在上的函数f（x），对任意的正整数n1，n2，都有f（n1+n2）=1+f（n1）+f（n2），且f（1）=1，若对任意的正整数n，有，则a n=．二、选择题：13．f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则x＜0时，f（x）=（）A．arccos（sinx）B．π+arccos（sinx）C．﹣arccos（sinx）D．﹣π﹣arccos（sinx）14．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是（）①函数f（x）的最小正周期为②函数f（x）的振幅为③函数f（x）的一条对称轴方程为④函数f（x）的单调递增区间是⑤函数f（x）的解析式为．A．③⑤B．③④C．④⑤D．①③15．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值16．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）A．470 B．490 C．495 D．51017．已知二次函数y=a（a+1）x2﹣（2a+1）x+1，当a=1，2，3，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得线段长依次为d1，d2，…，d n，…，则（d1+d2+…+d n）=（）A．1 B．2 C．3 D．418．对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①；②；则[a n，b n]为区间套，下列可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题：19．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．=2a n+1（n∈N*）．若数列{b n}满足：4•4 21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•…4=（a n+1）bn（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：{b n}是等差数列．22．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度为第1年）总投人为a n万元，旅游业总收入为b n万元，写出a n，b n的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收人才能超过总投入？23．（1）若对于任意的n∈N*，总有成立，求常数A，B的值；（2）在数列{a n}中，，（n≥2，n∈N*），求通项a n；（3）在（2）题的条件下，设，从数列{b n}中依次取出第k1项，第k2项，…第k n项，按原来的顺序组成新的数列{c n}，其中，其中k1=m，k n﹣k n=r∈N*．试问是否存在正整数m，r使且+1成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．2015-2016学年上海市南洋模范中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（﹣，）．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得OQ恰好是角的终边，利用任意角的三角函数的定义，求得Q点的坐标．【解答】解：点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点，则OQ恰好是角的终边，故Q点的横坐标x=1•cos=﹣，纵坐标为y=1•sin=，故答案为：（﹣，）．2．已知，则sin2x+3sinxcosx﹣1=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式可得sin2x+3sinxcosx﹣1=3sinxcosx﹣cos2x=，然后分子分母同时除以cos2x求解．【解答】解：∵，∴sin2x+3sinxcosx﹣1=3sinxcosx﹣cos2x====．故答案为：．3．已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．【解答】解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）=故答案为4．方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内解的个数是4．【考点】三角方程．【分析】方程即sinx=0或cosx=，结合正弦函数、余弦函数的图象以及x∈[0，2π），分别求得x的值，可得结论【解答】解：方程sin2x=sinx，即2sinxcosx=sinx，即sinx=0或cosx=．由sinx=0，x∈[0，2π），可得x=0或π；由cosx=，x∈（0，2π），可得x=或x=．综上可得，方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内的解的个数是4，故答案为：4．5．用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=1+a+a2．【考点】数学归纳法．【分析】根据题目意思知：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”时，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a26．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【考点】数列的应用．【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．【解答】解：由题设知，解得，∴=．故答案为：．7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=﹣1，a n +1=S n S n +1，则S n = ﹣ ． 【考点】数列的求和．【分析】a n +1=S n S n +1，可得S n +1﹣S n =S n S n +1， =﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n +1=S n S n +1，∴S n +1﹣S n =S n S n +1， ∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n ﹣1）=﹣n ，解得S n =﹣．故答案为：．9．，则a= 28 ．【考点】极限及其运算．【分析】由等差数列的前n 项和公式，把等价转化为=6，进而得到=6，所以，由此能求出a ．【解答】解：∵，∴=6，=6，∴，解得a=28．故答案为：28．10．若函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，则θ的值是．【考点】三角函数的最值．【分析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，易求出θ的值．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+2cosx=﹣cos2x+2cosx+1=﹣（cosx﹣1）2+2又∵函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，∴cosθ的最大值为0又∵x∈∴cosθ∈0即θ=故答案为：11．如图，在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为a1，a2，…，a n，…，若AB=a，BC=2a，则所有正方形的面积的和为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意可知，可得，依次计算，…，不难发现：边长依次为a 1，a 2，…，a n ，…构成是公比为的等比数列，正方形的面积：依次S 1=，…，不难发现：边长依次为a 1，a 2，…，a n ，…正方形的面积构成是公比为的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和．【解答】解：根据题意可知，可得，依次计算，…，是公比为的等比数列，正方形的面积：依次S 1=，…，边长依次为a 1，a 2，…，a n ，正方形的面积构成是公比为的等比数列．所有正方形的面积的和．故答案为：12．定义N *在上的函数f （x ），对任意的正整数n 1，n 2，都有f （n 1+n 2）=1+f （n 1）+f （n 2），且f （1）=1，若对任意的正整数n ，有，则a n = 2n +1 ．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据条件求出a n =f （2n ）+1的表达式，利用等比数列的定义即可证明{a n }为等比数列，即可求出通项公式．【解答】解：令n 1=n 2=1，得f （2）=1+f （1）+f （1）， 则f （2）=3，a 1=f （2）+1=4，令n 1=n 2=2，得f （4）=1+f （2）+f （2），则f （4）=7，a 2=f （4）+1=8， 令n 1=n 2=2n ，得f （2n +2n ）=1+f （2n ）+f （2n ）， 即f （2n +1）=1+2f （2n ），则f （2n +1）+1=2[1+f （2n ）]，a n +1=2a n所以，数列{a n }是等比数列，公比q=2，首项a 1=4．所以a n=4×2n﹣1=2n+1，故答案为：2n+1二、选择题：13．f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则x＜0时，f（x）=（）A．arccos（sinx）B．π+arccos（sinx）C．﹣arccos（sinx）D．﹣π﹣arccos（sinx）【考点】反三角函数的运用．【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论．【解答】解：∵sin（﹣x）=﹣sinx∴，﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos （﹣sinx）），又arccos（﹣α）=π﹣arccosα，∴﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））=﹣（π﹣（π﹣arccos （sinx）））=﹣arccos（sinx），∴x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x）=﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣arccos （sinx），故选：C．14．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是（）①函数f（x）的最小正周期为②函数f（x）的振幅为③函数f（x）的一条对称轴方程为④函数f（x）的单调递增区间是⑤函数f（x）的解析式为．A．③⑤B．③④C．④⑤D．①③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据图象求出函数解析式，根据三角函数型函数的性质逐一判定．【解答】解：由图象可知T=2（，∴ω=2，最大值为，∴，φ）因为图象过点（），2×+φ=π，⇒φ=﹣，∴即可判定①②错，⑤正确，由2x﹣=kπ+得对称轴方程为x=，k∈Z，故③正确；由2kπ﹣2x﹣，⇒kπ+≤x，k∈Z，函数f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]，故④错；故选：A15．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．16．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）A．470 B．490 C．495 D．510【考点】数列的求和．【分析】利用二倍角的公式化简可得一个三角函数，根据周期公式求出周期为3，可化简S30，求出值即可．【解答】解：由于{cos2﹣sin2}以3为周期，故S30=（﹣+32）+（﹣+62）+…+（﹣+302）=∑ [﹣+（3k）2]=∑ [9k﹣]=﹣25=470故选A17．已知二次函数y=a（a+1）x2﹣（2a+1）x+1，当a=1，2，3，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得线段长依次为d1，d2，…，d n，…，则（d1+d2+…+d n）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】数列与函数的综合；数列的极限．【分析】当a=n时，y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1，运用韦达定理得d n=|x1﹣x2|====﹣，运用裂项相消求和可得d1+d2+…+d n．由此能求出（d1+d2+…+d n）．【解答】解：当a=n时，y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1，由n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1=0，可得x1+x2=，x1x2=，由d n=|x1﹣x2|====﹣，∴d1+d2+…+d n=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣．∴（d1+d2+…+d n）=（1﹣）=1．故选：A．18．对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①；②；则[a n，b n]为区间套，下列可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．【考点】数列的极限．【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【解答】解：由题意，对于A，，a n+1＜a n，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以A不正确；对于B，a n+1＜a n，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，∵a n+1＞a n，b n＞b n+1，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，∵a n+1＜a n，b n＞b n+1，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以D不正确；故选：C．三、解答题：19．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）先用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，进而根据函数的最小正周期求得ω．（2）根据正弦函数的性质可知时，函数取最大值2+，进而求得x的集合．【解答】解：（Ⅰ）解：=sin2ωx+cos2ωx+2==由题设，函数f（x）的最小正周期是，可得，所以ω=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．当，即时，取得最大值1，所以函数f（x）的最大值是，此时x的集合为．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的大小；（Ⅱ）由cosB的值，求出sinB的值，利用正弦定理求出a的值，将a与b的值代入已知等式中求出c的值，由b，c，sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），∴sinB==，由正弦定理=，得a==3，∵b2+c2=a2+bc，即4+c2=9+2c，整理得：c2﹣2c﹣5=0，解得：c=1±，∵c＞0，∴c=+1，=bcsinA=．则S△ABC=2a n+1（n∈N*）．若数列{b n}满足：4•4 21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•…4=（a n+1）bn（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：{b n}是等差数列．【考点】数列递推式．【分析】（1）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．变形为a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）数列{b n}满足：…•==，n≥2时，…=，可得=，化为：2（b n﹣1）=nb n ﹣（n ﹣1）b n ﹣1，可得：2（b n +1﹣1）=（n +1）b n +1﹣nb n ，相减化简即可证明．【解答】解：（1）数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n +1（n ∈N *）． ∴a n +1+1=2（a n +1），∴数列{a n +1}是等比数列，首项为2，公比为2． ∴a n +1=2n ，∴a n =2n ﹣1．（2）证明：数列{b n }满足：…•==n=1时， =，解得b 1=2．n ≥2时，…=，可得=，化为：2（b n ﹣1）=nb n ﹣（n ﹣1）b n ﹣1，可得：2（b n +1﹣1）=（n +1）b n +1﹣nb n ，相减可得：（n ﹣1）b n +1+（n ﹣1）b n ﹣1=2（n ﹣1）•b n ， 化为：b n +1+b n ﹣1=2•b n ， ∴{b n }是等差数列．22．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n 年内（本年度为第1年）总投人为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收人才能超过总投入？ 【考点】数列的应用．【分析】（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n 年投入量，从而求出n 年内的总投入量a n ，进而求出a n ，b n 的表达式．（2）先设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n ﹣a n ＞0，解得n 的取值范围即可．【解答】解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为万元，第n年投入为万元，所以n年内的总投入为=．第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×万元．第n年旅游业收入为400×万元，所以n年内的旅游业总收入为=万元．（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n﹣a n＞0，即，化简得，设t=（）n，则不等式等价为5t2﹣7t+2＞0，解得．即，去对数得nlg＜lg，则n＞=====4.103，解得n≥5，即至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．23．（1）若对于任意的n∈N*，总有成立，求常数A，B的值；（2）在数列{a n}中，，（n≥2，n∈N*），求通项a n；（3）在（2）题的条件下，设，从数列{b n}中依次取出第k1项，第k2项，…第k n项，按原来的顺序组成新的数列{c n}，其中，其中k1=m，k n﹣k n=r∈N*．试问是否存在正整数m，r使且+1成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．【考点】数列递推式；数列的极限．【分析】（1）由题设得（A+B）n+A=n+2恒成立，所以A=2，B=﹣1．（2）由（n≥2）和知，，且，由此能推导出．（3）假设存在正整数m，r满足题设，由，，又得，．于是=，由此能推导出存在正整数m，r满足题设，m=4，r=3或m=4，r=4．【解答】解：（1）由题设得A（n+1）+Bn=n+2即（A+B）n+A=n+2恒成立，所以A=2，B=﹣1．（2）由题设（n≥2）又得，，且，即是首项为1，公比为2的等比数列，所以．即为所求．（3）假设存在正整数m，r满足题设，由（2）知显然，又得，即{c n}是以为首项，为公比的等比数列．于是=，由得，m ，r ∈N *，所以2m ﹣2m ﹣r =14或15， 当2m ﹣2m ﹣r =14时，m=4，r=3； 当2m ﹣2m ﹣r =15时，m=4，r=4；综上，存在正整数m ，r 满足题设，m=4，r=3或m=4，r=4．2017年3月27日。
2014-2015学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)学期期中数学试卷 (解析版)
2014-2015学年上海市徐汇区南洋模范中学高一第二学期期中数学试卷一、填空题1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P （4，y ）是角θ终边上的一点，且sin θ=−2√55，则y ＝ ．2．设扇形AOB 的周长为8 cm ，若这个扇形的面积为4 cm 2，则圆心角的弧度数为 ． 3．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为 千米． 4．已知tanα=12，则sin2α的值为 ．5．若f （x ）是定义R 在上的奇函数，当x ＜0时f （x ）＝cos3x +sin2x ，则当x ＞0时，f （x ）＝ ．6．函数y =1−cosx sinx的最小正周期是 ．7．当x ∈[−π4，3π4]时，函数y ＝arccos （sin x ）的值域是 ．8．已知tan α＝1，3sin β＝sin （2α+β），求tan （α+β）的值． 9．函数y =log 13(sinx −cosx)的单调递增区间是 ．10．已知函数f(x)=3sin(ωx −π6)（ω＞0）和g （x ）＝2cos （2x +φ）+1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π4]，则f （x ）的取值范围是 ．11．若关于x 的方程2cos 2x +5sin x ﹣4＝a 有实数解，则实数a 的取值范围是 ． 12．在△OAB 中，O 为坐标原点，A （1，cos θ），B （sin θ，1），θ∈(0，π2]，则当△OAB的面积达最大值时，则θ＝ ． 二、选择题13．若sinx =−14，x ∈(π，3π2)，则（ ） A ．x =arcsin(−14)B ．x =−arcsin 14C ．x =π+arcsin 14D ．x =π−arcsin 1414．把函数y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．y =sin(2x −π3)，x ∈RB ．y =sin(x 2+π6)，x ∈RC ．y =sin(2x +π3)，x ∈RD ．y =sin(2x +2π3)，x ∈R 15．方程|x |＝cos x 在（﹣∞，+∞）内（ ） A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根16．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ） A ．（0，π6]B ．[π6，π）C ．（0，π3]D ．[π3，π）17．函数y ＝tan x +sin x +|tan x ﹣sin x |在区间（π2，3π2）内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．18．已知函数f （x ）＝sin （2x +φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立，且f （π2）＞f （π），则f （x ）的单调递增区间是（ ）A ．[k π−π3，k π+π6]（k ∈Z ） B ．[k π，k π+π2]（k ∈Z ） C ．[k π+π6，k π+2π3]（k ∈Z ） D ．[k π−π2，k π]（k ∈Z ）三、解答题19．已知α∈(π2，π)，sinα=45． （1）求sin(π4+α)的值；（2）求cos(5π6−α2)的值．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C +cos C ＝1﹣sin C2（1）求sin C的值（2）若a2+b2＝4（a+b）﹣8，求边c的值．21．半圆O直径为2，OA＝2，B为半圆上任意一点，C为半圆外异于A的点，以AB为边按顺时针方向作正△ABC，问B在何位置时，四边形OACB面积最大？22．已知定义在R上的函数f(x)=12(sinωx+acosωx)(a∈R，0＜ω≤1)满足：f(x)=f(π3−x)，f（x﹣π）＝f（x+π）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设不等的实数x1，x2∈(−π3，5π3)，且f(x1)=f(x2)=−12，求x1+x2的值．23．已知函数f（x）＝sin kx sin k x+cos kx cos k x﹣cos k2x，（其中k为常数，x∈R）（1）当k＝1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当k＝1时，求函数g(x)=f(x)a+f2(x)在(0，π3]上的最大值（其中常数a＞0）（3）是否存在k∈N*，使得函数f（x）为常函数，若存在，求出k的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海市徐汇区南洋模范中学高一第二学期期中数学试卷参考答案一、填空题1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ=−2√55，则y＝﹣8．【分析】根据三角函数的第二定义，我们可得sinθ=yr（r表示点P到原点的距离），结合p（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ=−2√55，我们可以构造出一个关于y的方程，解方程即可求出y值．解：若P（4，y）是角θ终边上的一点，则点P到原点的距离r=√42+y2则sinθ=−2√55=y√4+y，则y＝﹣8故答案为：﹣8【点评】本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中根据三角函数的第二定义将已知条件转化为一个关于y的方程是解答本题的关键．2．设扇形AOB的周长为8 cm，若这个扇形的面积为4 cm2，则圆心角的弧度数为2．【分析】设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，根据扇形的周长与面积列出方程组，即可求出α的值．解：设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则扇形的周长为l＝α•r+2r＝8①，扇形的面积为S=12lr=12α•r2＝4②，由①②解得α＝2，r＝2；∴圆心角的弧度数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了扇形面积与扇形弧长公式的应用问题，是基础题．3．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C 两点之间的距离为√6千米．【分析】先由A 点向BC 作垂线，垂足为D ，设AC ＝x ，利用三角形内角和求得∠ACB ，进而表示出AD ，进而在Rt △ABD 中，表示出AB 和AD 的关系求得x ． 解：由A 点向BC 作垂线，垂足为D ，设AC ＝x ， ∵∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°， ∴∠ACB ＝180°﹣75°﹣60°＝45°∴AD =√22x∴在Rt △ABD 中，AB •sin60°=√22xx =√6（千米）答：A 、C 两点之间的距离为√6千米． 故答案为：√6 下由正弦定理求解：∵∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°， ∴∠ACB ＝180°﹣75°﹣60°＝45° 又相距2千米的A 、B 两点∴√22=√32，解得AC =√6答：A 、C 两点之间的距离为√6千米． 故答案为：√6【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．主要是利用了三角形中45°和60°这两个特殊角，建立方程求得AC ． 4．已知tanα=12，则sin2α的值为45．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．解：∵已知tanα=12，则sin2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanα1+tan 2α=11+14=45， 故答案为：45．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题． 5．若f （x ）是定义R 在上的奇函数，当x ＜0时f （x ）＝cos3x +sin2x ，则当x ＞0时，f （x ）＝ ﹣cos3x +sin2x ．【分析】根据x ＜0时，有f （x ）＝cos3x +sin2x ，可得x ＞0时，﹣x ＜0满足函数的解析式，进而根据函数f （x ）是奇函数，f （x ）＝﹣f （﹣x ）得到当x ＞0时，f （x ）的表达式． 解：当x ＞0时，﹣x ＜0时，∵当x ＜0时，有f （x ）＝cos3x +sin2x ，∴当x ＞0时，﹣x ＜0时，f （﹣x ）＝cos （﹣3x ）+sin （﹣2x ）＝cos3x ﹣sin2x ， 又∵函数f （x ）是奇函数，∴当x ＞0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣cos3x +sin2x 故答案为：﹣cos3x +sin2x ．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握奇函数的性质是解答的关键． 6．函数y =1−cosxsinx的最小正周期是 2π ． 【分析】先利用二倍角公式将已知函数化简为y ＝A tan ωx 型函数，再利用y ＝A tan ωx 型函数周期计算公式即可得函数的最小正周期解：y =1−cosxsinx =2sin 2x22sin x 2cos x2=tan x 2∵此函数的最小正周期为π12=2π故答案为 2π【点评】本题主要考查了三角变换公式在三角化简和求值中的应用，y ＝A tan ωx 型函数的图象和性质，属基础题7．当x ∈[−π4，3π4]时，函数y ＝arccos （sin x ）的值域是 [0，3π4] ．【分析】先将sin x 看作整体求出其取值范围，再利用反余弦函数的性质求解． 解：当−π4≤x ≤3π4时，−√22≤sin x ≤1， 由于反余弦函数是定义域[﹣1，1]上的减函数，且arccos （−√22）=3π4，arccos1＝0，所以值域为[0，3π4]，故答案为：[0，3π4]．【点评】本题考查反三角函数的运用，主要考查了三角函数，反三角函数的单调性及值域，属于基础题．8．已知tan α＝1，3sin β＝sin （2α+β），求tan （α+β）的值．【分析】将已知等式两边中的角度变形后，分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用同角三角函数间的基本关系化简，把tan α的值代入即可求出tan （α+β）的值． 解：将sin （2α+β）＝3sin β，变形得：sin[（α+β）+α]＝3sin[（α+β）﹣α]， 即sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α＝3sin （α+β）cos α﹣3cos （α+β）sin α， 整理得：2sin （α+β）cos α＝4cos （α+β）sin α①， ∵tan α＝1，∴根据①得：tan （α+β）＝2tan α＝2． 故答案为：2．【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9．函数y =log 13(sinx −cosx)的单调递增区间是 （2k π+4，2k π+5π4），k ∈Z ．【分析】令t ＝sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4）＞0，求得函数的定义域．根据函数即 y =log 13t ，故本题即求函数t 的减区间．再根据正弦函数的单调性求得函数t 的减区间． 解：令t ＝sin x ﹣cos x =√2sin （x −π4）＞0，可得2k π＜x −π4＜2k π+π，k ∈Z ， 求得2k π+π4＜x ＜2k π+5π4，故函数的定义域为{x |2k π+π4＜x ＜2k π+5π4}． 再根据函数即 y =log 13t ，故本题即求函数t 的减区间． 令2k π+π2＜x −π4＜2k π+π，求得2k π+3π4＜x ＜2k π+5π4， 故函数t 的减区间为（2k π+3π4，2k π+5π4）， 故答案为：（2k π+3π4，2k π+5π4），k ∈Z ． 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、正弦函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．已知函数f(x)=3sin(ωx −π6)（ω＞0）和g （x ）＝2cos （2x +φ）+1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π4]，则f （x ）的取值范围是 [−2，√32] ． 【分析】根据函数f （x ）和g （x ）的图象对称轴完全相同确定ω的值，再由x 的范围确定ωx −π6的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案． 解：函数f （x ）和g （x ）的图象对称轴完全相同， ∴它们的最小正周期相同，则ω＝2； 又x ∈[0，π4]时，2x −π6∈[−π6，π3]，f （x ）是单调增函数，∴f （x ）的最小值为3sin （−π6）=−32， 最大值为3sinπ3=3√32； ∴f （x ）的取值范围是[−32，3√32]． 故答案为：[−32，3√32]． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．11．若关于x 的方程2cos 2x +5sin x ﹣4＝a 有实数解，则实数a 的取值范围是 [﹣9，1] ． 【分析】令sin x ＝t ，则关于t 的方程a ＝﹣2t 2+5t ﹣2在[﹣1，1]上有解，求出右侧函数的值域即可得出a 的范围．解：有2cos 2x +5sin x ﹣4＝a 得﹣2sin 2x +5sin x ﹣2＝a ， 令sin x ＝t ，则a ＝﹣2t 2+5t ﹣2，t ∉[﹣1，1]．令f （t ）＝﹣2t 2+5t ﹣2，则f （t ）在[﹣1，1]上单调递增， ∴f min （t ）＝f （﹣1）＝﹣9，f max （t ）＝f （1）＝1， ∵关于x 的方程2cos 2x +5sin x ﹣4＝a 有实数解， ∴关于t 的方程a ＝﹣2t 2+5t ﹣2在[﹣1，1]上有解， ∴﹣9≤a ≤1． 故答案为：[﹣9，1]．【点评】本题考查了根的存在性问题，函数值域的计算，属于中档题．12．在△OAB 中，O 为坐标原点，A （1，cos θ），B （sin θ，1），θ∈(0，π2]，则当△OAB 的面积达最大值时，则θ＝π2．【分析】根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O ，单位圆O 与x 轴交于M ，与y 轴交于N ，过M ，N 作y 轴和x 轴的平行线交于P ，角θ如图所示，所以三角形AOB 的面积就等于正方形OMPN 的面积减去三角形OAM 的面积减去三角形OBN 的面积，再减去三角形APB 的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积最大时θ所取的值． 解：如图单位圆O 与x 轴交于M ，与y 轴交于N ， 过M ，N 作y 轴和x 轴的平行线交于P ， 则S △OAB ＝S 正方形OMPN ﹣S △OMA ﹣S △ONB ﹣S △ABP＝1−12（sin θ×1）−12（cos θ×1）−12（1﹣sin θ）（1﹣cos θ）=12−12sincos θ=12−14sin2θ 因为θ∈（0，π2]，2θ∈（0，π]，所以当2θ＝π即θ=π2时，sin2θ最小， 三角形的面积最大，最大面积为12．故答案为：π2【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数学结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题． 二、选择题13．若sinx =−14，x ∈(π，3π2)，则（ ）A ．x =arcsin(−14)B ．x =−arcsin 14C ．x =π+arcsin 14D ．x =π−arcsin 14【分析】由x ∈(π，3π2)，得x ﹣π∈（0，π2），利用sinx =−14，得sin （x ﹣π）=14，即可得出结论． 解：∵x ∈(π，3π2)， ∴x ﹣π∈（0，π2）， ∵sinx =−14， ∴sin （x ﹣π）=14， ∴x ﹣π＝arcsin 14，∴x ＝π+arcsin 14，故选：C ．【点评】本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角． 14．把函数y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．y =sin(2x −π3)，x ∈R B ．y =sin(x 2+π6)，x ∈R C ．y =sin(2x +π3)，x ∈RD ．y =sin(2x +2π3)，x ∈R【分析】根据左加右减的性质先左右平移，再进行ω伸缩变换即可得到答案． 解：由y ＝sin x 的图象向左平行移动π3个单位得到y ＝sin （x +π3），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到y ＝sin （2x +π3）故选：C ．【点评】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换，平移变换时注意都是对单个的x 或y 来运作的．15．方程|x |＝cos x 在（﹣∞，+∞）内（ ） A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根【分析】由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根．解：方程|x |＝cos x 在（﹣∞，+∞）内根的个数，就是函数y ＝|x |，y ＝cos x 在（﹣∞，+∞）内交点的个数， 如图，可知只有2个交点．故选：C ．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象，一次函数的图象的画法，函数图象的交点的个数，就是方程根的个数，考查数形结合思想．16．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ） A ．（0，π6]B ．[π6，π）C ．（0，π3]D ．[π3，π）【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cos A 的范围，进而求得A 的范围．解：由正弦定理可知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∵sin 2A ≤sin 2B +sin 2C ﹣sin B sin C ， ∴a 2≤b 2+c 2﹣bc ， ∴bc ≤b 2+c 2﹣a 2∴cos A =b 2+c 2−a 22bc ≥12∴A ≤π3 ∵A ＞0∴A 的取值范围是（0，π3]故选：C ．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．17．函数y ＝tan x +sin x +|tan x ﹣sin x |在区间（π2，3π2）内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】去掉绝对值符号，化简函数的表达式即可判断函数的图象． 解：函数y ＝tan x +sin x +|tan x ﹣sin x |{2sinxx ∈(π2，π]2tanxx ∈(π，3π2)，由正弦函数与正切函数的图象可知，选项A 正确； 故选：A ．【点评】本题看函数解析式的化简，基本函数的图象的应用，考查计算能力．18．已知函数f （x ）＝sin （2x +φ），其中φ为实数，若f （x ）≤|f （π6）|对x ∈R 恒成立，且f （π2）＞f （π），则f （x ）的单调递增区间是（ ）A ．[k π−π3，k π+π6]（k ∈Z ）B ．[k π，k π+π2]（k ∈Z ）C ．[k π+π6，k π+2π3]（k ∈Z ）D ．[k π−π2，k π]（k ∈Z ）【分析】由若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f （π6）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f(π2)＞f(π)，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案． 解：若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立， 则f （π6）等于函数的最大值或最小值即2×π6+φ＝k π+π2，k ∈Z 则φ＝k π+π6，k ∈Z 又f(π2)＞f(π) 即sin φ＜0令k ＝﹣1，此时φ=−5π6，满足条件 令2x −5π6∈[2k π−π2，2k π+π2]，k ∈Z 解得x ∈[kπ+π6，kπ+2π3](k ∈Z)故选：C ．【点评】本题考查的知识点是函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角φ的值，是解答本题的关键． 三、解答题19．已知α∈(π2，π)，sinα=45． （1）求sin(π4+α)的值；（2）求cos(5π6−α2)的值．【分析】（1）利用同角三角函数间的关系式可求得cos α的值，再利用两角和的正弦公式即可求得sin （π4+α）的值；（2）由同角三角函数的基本关系和二倍角公式可得sin α2和cos α2，代入两角差的余弦公式可得答案．解：（1）∵α∈（π2，π），sin α=45，∴cos α=−√1−sin 2α=−35，∴sin （π4+α）＝sin π4cos α+cos π4sin α=√22×(−35)+√22×45=√210；（2）由（1）可知cos α=−35，由二倍角是可得cos α＝2cos 2α2−1=−35，解得cos α2=√55．则sin α2=√1−cos 2α2=2√55．∴cos(5π6−α2)=cos 5π6cos α2+sin 5π6sin α2=−√32×√55+12×2√55=2√5−√1510． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C +cos C ＝1﹣sin C2（1）求sin C 的值（2）若a 2+b 2＝4（a +b ）﹣8，求边c 的值．【分析】（1）利用二倍角公式将已知等式化简；将得到的式子平方，利用三角函数的平方关系求出sin C ．（2）利用求出的三角函数的值将角C 的范围缩小，求出C 的余弦；将已知等式配方求出边a ，b ；利用余弦定理求出c 解：（1）∵sinC +cosC =1−sin C2∴2sin C 2cos C 2+1−2sin 2C 2=1−sin C 2∴2sin C2cos C2−2sin 2C 2=−sin C2∴2sin 2C 2−2sin C 2cos C2=sin C2 ∴2sin C 2(sin C 2−cos C 2)=sin C2 ∴sin C 2−cos C 2=12∴sin 2C 2−sinC +cos 2C 2=14 ∴sinC =34（2）由sin C 2−cos C 2=12＞0得π4＜C 2＜π2即π2＜C ＜π∴cosC =−√74∵a 2+b 2＝4（a +b ）﹣8 ∴（a ﹣2）2+（b ﹣2）2＝0 ∴a ＝2，b ＝2由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =8+2√7 ∴c =1+√7【点评】本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦定理．21．半圆O 直径为2，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，C 为半圆外异于A 的点，以AB 为边按顺时针方向作正△ABC ，问B 在何位置时，四边形OACB 面积最大？【分析】设∠AOB ＝θ，AB ＝x ，则由余弦定理求得 x 2＝5﹣4cos θ．再利用两角和差的正弦公式化简S OACB ＝S △AOB +S △ABC 的解析式，从而求得S OACB 的面积取得最大值． 解：设∠AOB ＝θ，则S OACB ＝S △AOB +S △ABC ．设AB ＝x ，则x 2＝OB 2+OA 2﹣2OB •OA cos θ＝12+22﹣2×1×2•cos θ＝5﹣4cos θ． 故 S OACB ＝S △AOB +S △ABC =12×1×2•sin θ+12⋅x ⋅x ⋅sin π3＝sin θ+√34（5﹣4cos θ）=5√34+2sin （θ−π3），∴当sin （θ−π3）＝1，即θ=5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值． 【点评】本题主要余弦定理的应用，两角和差的正弦公式、正弦函数的最值，属于中档题． 22．已知定义在R 上的函数f(x)=12(sinωx +acosωx)(a ∈R ，0＜ω≤1)满足：f(x)=f(π3−x)，f （x ﹣π）＝f （x +π）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）设不等的实数x 1，x 2∈(−π3，5π3)，且f(x 1)=f(x 2)=−12，求x 1+x 2的值．【分析】（Ⅰ）利用f （x ﹣π）＝f （x +π），求出函数的周期，通过周期公式求出ω，通过f （x ）＝f （π3−x ），令x ＝0，得到f （0）＝f （π3），求出a ，即可求f （x ）的解析式；（Ⅱ）利用f （x ）的图象的对称性，及x 1，x 2∈(−π3，5π3)，且f(x 1)=f(x 2)=−12，可知x 1、x 2关于直线x =7π6对称；解：由f （x ﹣π）＝f （x +π）知f （x ）＝f （x +2π），即函数f （x ）的周期为2π． 又∵0＜ω≤1∴2πω≤2π，ω＝1．又∵f （x ）＝f （π3−x ），∴f （0）＝f （π3）⇒12(sin0+acos0)=12(sinπ3+acos π3)，解得a =√3，∴f （x ）＝sin （x +π3） （Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x ）＝sin （x +π3）可知f （x ）的图象关于直线x ＝k π+π6（k ∈Z ）对称，∵x 1，x 2∈(−π3，5π3)，且f(x 1)=f(x 2)=−12，可知x 1、x 2关于直线x =7π6对称．x 1+x 2=7π3． 【点评】本题考查三角函数的化简，解析式的求法，以及函数的对称性，方程的根的知识，考查转化思想，计算能力，属于中档题．．23．已知函数f （x ）＝sin kx sin k x +cos kx cos k x ﹣cos k 2x ，（其中k 为常数，x ∈R ） （1）当k ＝1时，求函数f （x ）的单调递增区间； （2）当k ＝1时，求函数g(x)=f(x)a+f 2(x)在(0，π3]上的最大值（其中常数a ＞0）（3）是否存在k ∈N *，使得函数f （x ）为常函数，若存在，求出k 的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）k ＝1时，函数f （x ）＝sin x sin x +cos x cos x ﹣cos2x ＝1﹣cos2x ，再根据余弦函数图象求得（2）由（1）得f （x ）＝1﹣cos2x ，当x ∈（0，π3]时，f （x ）∈（0，32]．令f （x ）＝t ，t ∈(0，32]，g(x)=f(x)a+f 2(x)=t a+t2=1t+a t 再根据函数h （t ）＝t +a t （a ＞0）的单调性求解 （3）令x ＝0，f （x ）＝0，∴若函数f （x ）为常函数，必是f （x ）＝0令x =π2，f （x ）＝sin kπ2−（﹣1）k ＝0，k ∈Z +，k ＝4m ﹣1 （m ∈N +）．再验证k解：（1）k ＝1时，函数f （x ）＝sin x sin x +cos x cos x ﹣cos2x ＝1﹣cos2x ． 由2k π≤2x ≤2k π+π，得k π≤x ≤k π+π2k ∈Z即函数f （x ）的单调递增区间为：[k π，k π+π2]，k ∈Z（2）由（1）得f （x ）＝1﹣cos2x ，当x ∈（0，π3]时，f （x ）∈（0，32]．令f （x ）＝t ，t ∈(0，32]，g(x)=f(x)a+f 2(x)=t a+t 2=1t+a t函数h （t ）＝t +at （a ＞0）在t ∈（0，√a ）递减，在t ∈（√a ，+∞）递增， ∴当0＜a ＜94时，函数g （x ）的最大值为√a2a，当a ≥94时，函数g （x ）的最大值为64a+9．（3）令x ＝0，f （x ）＝0，∴若函数f （x ）为常函数，必是f （x ）＝0令x=π2，f（x）＝sinkπ2−（﹣1）k＝0，k∈Z+，k＝4m﹣1 （m∈N+）．经验证k＝3符合题意．【点评】本题考查了三角函数的化简，三角函数的图象与性质，函数的单调性、存在性问题，属于难题．。
上海市南洋模范中学2016届高三数学10月检测试题(三)(含解析)
上海市南洋模范中学2016届高三数学10月检测试题（三）（含解析）一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1. 若实数a、b满足a2+b2=1，则ab的取值范围是______________．【答案】．【解析】因为实数满足，解得的取值范围是，故答案为.2. 设是一元二次方程的两个实根，则的最小值为______________．【答案】8．【解析】根据题意得，即，或，，当时，，当时，，的最小值，故答案为.3. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b（b为常数），则f(-1)=______________．【答案】-3．【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，解得，所以当时，，又因为为定义在上的奇函数，所以，故答案为.4. 已知集合A={(x,y) |-2<y<1,x∈Z,y∈Z}，，则A⋂B的真子集的个数为______________．【答案】15．【解析】或，或，，所以集合的真子集的个数为，故答案为.5. 函数的单调递增区间是______________．【答案】．【解析】由，解得，令，则外函数为为减函数，求函数的单调递增区间，即求的减区间，函数在上为减函数，则原函数的增区间为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查二次函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.6. 不等式的解集为______________．【答案】 )【解析】因为且，所以原不等式的解集是，故答案为.7. 已知二次函数的值域为[0, )，则的最小值为__________．【答案】4．【解析】因为二次函数的值域为，，，当且仅当时取等号，而，故答案为.8. 若三角方程有解，则实数m的取值范围是______________．【答案】．【解析】令，则，因为三角方程有解，所以直线与正弦曲线有公共点，，故答案为.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．9. 若y=f(2x-1)是周期为t的周期函数，则函数y=f(x)的一个周期是______________．【答案】．【解析】若是周期为的周期函数，则，则，故的一个周期是，故答案为.【方法点晴】本题主要考查抽象函数的周期性，属于难题.对函数周期性的考查主要命题方向由两个，一是三角函数，可以用公式求出周期；二是抽象函数，往往需要根据条件判断出周期，抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:(1)；（2）；（3） .10. 已知若，则=______________．【答案】．【解析】因为，所以，所以，因为，所以，所以，故答案为.11. 若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b)，则的值为______________．【答案】108．【解析】因为正数满足，，所以设，则，，故答案为 .12. 设集合中的最大元素与最小元素分别为M,m，则M-m的值为______．【答案】．【解析】由题意得，，当且仅当时，等号成立，，，故答案为.13. 若函数f(x)=x2+a|x-1|在[0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______________．【答案】．【解析】,要使在上单调递增，则，得，所以实数的取值范围是，故答案为...................【答案】．【解析】当时，，解得，当时，，解得，的阶周期点的个数是，当时，解得，当时，解得，当时，解得，当时，解得，的阶周期点的个数是…由依次类推，有个不同的解析式，f n(x)=x的点有个，的阶周期点的个数是，故答案为.二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15. 把下列命题中的“=”改为“>”，结论仍然成立的是（）A. 如果，，那么B. 如果，那么C. 如果，，那么D. 如果，，那么【答案】D【解析】把下列命题中的“=”改为“>”, 对于选项，如果，那么，若时，不成立，对于选项，如果，那么，取时，不成立，对于选项，如果，取不成立，对于选项，如果，那么根据不等式的性质可知正确，故选D.16. 设p,q是两个命题，，，则p是q（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】可化为，可得，显然后者可以推出前者，前者不能推出后者，所以是必要非充分条件，故选B.17. 定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数f(x)在区间的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当，所以；当，所以；当，所以；所以当时，，故选D.18. 如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点的轨迹方程是，则关于的最小正周期及在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】从某一个顶点（比如）落在轴上的时候开始计算，到下一次点落在轴上，这个过程中四个顶点依次落在了轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长,因此该函数的周期为.下面考查点的运动轨迹,不妨考查正方形向右滚动，点从轴上开始运动的时候，首先是围绕点运动个圆，该圆半径为，然后以点为中心，滚动到点落地，其间是以为半径旋转，再以为圆心，旋转,这时候以为半径,因此最终构成图象如下：所以两个相邻零点间的图象与轴所围成区域的面积，故选A.三、解答题（本大题满分74分）19. 已知函数，且．(1) 求实数c的值；(2) 解不等式．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）函数求值时首先确定自变量的值对应的取值范围，进而代入相应的函数解析式；（2）解不等式时需分与两种情况分别代入函数式求解试题解析：（1）因为，所以；由，即，．（2）由（1）得由得，当时，解得，当时，解得，所以的解集为．考点：分段函数求值及解不等式20. 已知函数．(1) 若，求x的取值范围；(2) 若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数．【答案】(1) (2) ，【解析】试题分析：（1）考虑对数函数的定义域，结合对数运算法则。
上海市南洋模范中学2018-2019学年高一下期中考试数学学科数学题(简答)
上海南洋模范中学2018-2019学年度第二学期高一年级数学学科期中试卷一、填空题(本大题共有12题,每题3分,满分36分)1.已知角α的终边在射线()0≤-=x x y 上,则=αcos ________.2.若，31sin =α则=αcos2_______.3.已知()，π3tan =-θ则=+-θθθθcos sin 2cos 2sin 3_______.4.已知，，ππ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=253sin αα则=⎪⎭⎫⎝⎛+3sin πα_______. 5.已知()，，π，π074tan ∈=⎪⎭⎫⎝⎛+αα则=αcos ________. 6.函数xxy sin=的最小正周期为________. 7.函数2sin 2cos 2-+=x x y 的值域为_______.8.下图为函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2000sin π＜＜，＞，＞ϕωϕωA x A x f 的部分图像，M 、N 是它与x 轴的两个交点，D 、C 分别为它的最高点和最低点，E(01)是线段MD 的中点，且△OMB 为等腰直角三角形，则()x f 的解析式为()=x f _____________.9.已知方程1cos 3sin +=+m x x 在[]，π0∈x 上有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是_________.10.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径OA 的长约为 ________(精确到1米).1l.设，，R ∈21αα且()，20192sin 22018sin 2121=+++αα则()=+21tan αα_______.12.已知函数()()，，＞R x x x x f ∈+-=01cos 22sin 2ωωω若函数()x f 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛，ππ2内没有零点，则ω的取值范围为_________.二、选择题(本大题共有4题,每题3分,满分12分) 13.在△ABC 中,“A ＞B ”是“B A sin sin ＞”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 14.一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积为 A.221R B.1cos 1sin 212S R C. ()21cos 1sin 121R - D.()21cos 1sin 1R - 15.已知△ABC 内接于单位圆，则长为C B A sin sin sin 、、的三条线段 A 能构成一个三角形，其面积小于△ABC 面积的一半 B.能构成一个三角形，其面积等于△ABC 面积的一半 C.能构成一个三角形，其面积大于△ABC 面积的一半 D.不一定能构成一个三角形16.已知函数()()()()，，x x g x x f cos sin sin cos ==则下列说法正确的是A.()x f 与()x g 的定义域都是[]11，- B.()x f 为奇函数，()x g 为偶函数C.()x f 的值域为[]11cos ，()x g 的值域为[]1sin 1sin ，- D.()x f 与()x g 都不是周期函数 三、解答题17.(本小题满分8分)已知.38cot tan 2-=-ααα＜π，＜π(1)求αtan 的值；(2)求⎪⎭⎫⎝⎛-22sin πα的值。
上海市南洋模范中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题Word版缺答案
2014学年第二学期南模中学高一年级数学学科期末考试卷一、填空题1． 写出数列12-，43，94-，165，…的一个通项公式．2． 函数1()arccos 12f x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭的值域是．3． 向量(34)a =，在向量(10)b =，方向上的投影为 ．4． 在ABC △中，已知2sin sin cos 2AB C ⋅=，则ABC △的形状为 ． 5． 等比数列{}n a 共有20项，其中前四项的积是1128，末四项的积是512，则这个等比数列的各项乘 积是 ． 6． 已知向量a ，b 的夹角为150°，1a =，3b =13b +=．7． 函数ππtan 42y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()OA OB AB +⋅=．8． 已知(0π)αβ∈，，，且3cos(2)2cos()cos 5αβαβα+-+=，则sin 2β= ．9． 已知π3x =是方程2cos()1x a +=的解，若()02πα∈，，则α= ． 10．已知无穷等比数列{}n a 各项和是94，且数列{}n a 各项平方和为818，则数列{}n a 的公比为 ．11．已知1OA =，2OB =0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且45AOC ∠=︒．设()OC mOA nOB m n R =+∈，，则mn=． 12．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：[]1(1)(1)(2)(1)(1)3k k k k k k k k +=++--+，由此得[]112(12312)3123(234123)3.1(1)(1)(2)3n n n nn n n n⎧⨯=⨯⨯-⨯⨯⎪⎪⎪⨯=⨯⨯-⨯⨯⎪⎨⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪+=++--+⎪⎩，两边分别相加，得11223(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++．类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果是．二、选择题13．已知向量a b ，都是非零向量，“a b a b ⋅=⋅”是“a b ∥”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件14．等比数列{}n a 中，11a >，前n 项和为n S ，若11lim n x S a →∞=，那么1a 的取值范围是（ ）A ．(1)+∞，B ．(12)，C ．(1D ．(115．已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线π3x =是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是（ ）A ．π4sin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．π2sin 426y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．π2sin 223y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D ．π2sin 423y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭16．动点P 从点(10)，出发，在单位圆上逆时针旋转α角，到点133M ⎛- ⎝⎭，，已知角β的始边在x 轴的正半轴，顶点为(00)，，且终边与角α的终边关于x 轴对称，则下面结论正确的是（ ）A ．12πarccos 3k k Z β=-∈，B ．12πarccos 3k k Z β=+∈，C ．12ππarccos 3k k Z β=+-∈，D ．12ππarccos 3k k Z β=++∈，17．已知数列{}n a 的通项公式为1133144n n n a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则关于n a 的最大项、最小项叙述正确的是（ ）A ．最大项为1a 、最小项为3aB ．最大项为1a 、最小项不存在C ．最大项不存在、最小项为3aD ．最大项为1a 、最小项为4a18．由9个互不相等的正数排成的方阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的队列中，每行中的三个数成等差数列，且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列四个判断正确的有（ ）①第2列12a ，22a ，32a 必成等比数列②第1列11a ，21a ，31a 不一定成等比数列③12322123a a a a +>+④若9个数之和等于9，则221a <A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个三、解答题19．⑴已知22lim 2x n na b n →∞⎛⎫-=⎪+⎝⎭，求a b ，的值． ⑵已知131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，求a 的取值范围．20．已知函数2π()2sin 4f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，⑴求()f x 的最大值和最小值；⑵若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知数列{}n a 中，135a =，且112(2)n n a n a -=-≥，数列{}n b 满足11n nb a =- ⑴求证：数列{}n b 是等差数列；⑵求数列{}n a 中最大项、最小项．22．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知(2)m b c a =-，，(cos cos )n A C =-，，且m n ⊥．⑴求角A 的大小；⑵若a =ABC △，试判断ABC △的形状，并说明理由． 23．已知函数3()23xf x x =+，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，*n N ∈，⑴求2a ，3a ，4a 的值；⑵求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑶设数列{}n b 满足1(2)n n n b a a n -=⋅≥，13b =，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，若20152n m S -<对一切*n N ∈成立，求最小正整数m 的值．。
2017-2018年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷含解析
2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为．6．（3分）函数的值域为；7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=．9．（3分）函数f （x）=的单调递增区间为．10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km 15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．2017-2018学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共计36分）1．（3分）已知角α的终边在射线上，sinα+cosα=；【解答】解：∵角α的终边在射线上，故α的终边再第二象限，在α的终边上任意取一点P（x，y），取x=﹣3，y=4，则r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，∴sinα+cosα=，故答案为：．2．（3分）一扇形的中心角为弧度，中心角所对的弦长为2cm，则此扇形的面积为cm2；【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，则α=，可得：sin=，可得：r==2，可得扇形的面积为S=r2α==．故答案为：．3．（3分）已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α（0，），β∈（﹣，0），则sinα=．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案为：4．（3分）若θ∈（，），sin2θ=，则cosθ﹣sinθ的值是﹣．【解答】解：（cosθ﹣sinθ）2=1﹣sin2θ=，又，cosθ＜sinθ所以cosθ﹣sinθ=，故答案为：．5．（3分）满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为（，] ．【解答】解：arccos2x＜arccos（1﹣x），由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．6．（3分）函数的值域为；【解答】解：∵﹣≤x≤，∴﹣，∴﹣≤arcsin（cosx）≤．∴函数的值域为[﹣，]．故答案为：[﹣，]．7．（3分）函数f（x）=2sin2x+sin2x的值域是；【解答】解：函数f（x）=2sin2x+sin2x=1﹣cos2x+sin2x=﹣）+1，由sin（2x﹣）∈[﹣1，1]，∴当sin（2x﹣）=﹣1时，f（x）取得最小值为，当sin（2x﹣）=1时，f（x）取得最大值为．∴函数的值域为[，]．故答案为：[，]．8．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．【解答】解：由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，得b2=22+c2﹣2×2×c×（﹣），即b2=4+49﹣14b+b2+7﹣b，15b=60∴b=4．故答案为：4．9．（3分）函数 f （x）=的单调递增区间为，k∈Z．【解答】解：∵对数的真数大于零∴⇒，k∈Z解之得函数的定义域为：，k∈Z令t=∵∴t关于x的单调减区间是函数f （x）=的单调递增区间由，k∈Z，得x∈，k∈Z，再结合函数的定义域，得x，是原函数的增区间故答案为：10．（3分）要得到函数y=cos（﹣）的图象，只需将y=sin的图象向左平移个单位．【解答】解：函数y=cos（﹣）=cos（﹣+）=sin（），只需将y=sin 的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos（﹣）的图象，故答案为：向左平移个单位．11．（3分）若函数f（x）=3|cosx|﹣cosx+m，x∈（0，2π），有两个互异零点，则实数m的取值范围是（﹣4，﹣2]∪{0} ．【解答】解：∵令g（x）=﹣3|cosx|+cosx=，x∈（0，2π），在坐标系中画出函数f（x）图象，如下图所示：由其图象可知当直线y=m，m∈（﹣4，﹣2]∪{0}时，g（x）=﹣3|cosx|+cosx，x∈（0，2π）的图象与直线y=m有且仅有两个不同的交点．故答案为：（﹣4，﹣2]∪{0}．12．（3分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S=．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b=2，且tanC=，则△ABC的面积S的最大值为．【解答】解：∵tanC=，∴sinC=sin（B+C）=sinA，∴c=a，∵b=2，∴S===，∴a=2时，△ABC的面积S的最大值为，故答案为．二．选择题（每小题4分，共计16分）13．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去），故选：D．14．（4分）张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）A．2km B．3km C．3km D．2km【解答】解：如图，由条件知AB=24×=6．在△ABS中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°﹣75°=105°，∴∠ASB=45°．由正弦定理知，∴=故选：B．15．（4分）图是偶函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，△KML为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，则=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．【解答】解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=1，所以A=，T=2，因为T=，所以ω=π，函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=，∴函数的解析式为：f（x）=sin（πx+），所以f（）=sin（+）=．故选：D．16．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，ϕ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线对称，且，则ω取最小时，•=﹣，∴ω=2，再根据2•+φ=，2•+φ=2π，求得φ=，故选：D．三、解答题（48分）17．（8分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值；【解答】解：（1）∵f（x）=4sin3xcosx﹣2sinxcosx﹣cos4x=sin2x×（1﹣cos2x）﹣sin2x﹣cos4x=﹣sin4x﹣cos4x=﹣sin（4x+），∴函数f（x）的最小正周期T=．∵由2kπ+≤4x+≤2kπ+，k∈Z，可得：，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z；（2）∵x∈[0，]，∴4x+，∴sin（4x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=﹣sin（4x+）∈[﹣，]，可得当x=时，f（x）在区间[0，]上的最大值为，当x=时，取得最小值为．18．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且．将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）若，求x2；（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．【解答】（Ⅰ）解：由三角函数定义，得x1=cosα，．因为，，所以．所以．（Ⅱ）解：依题意得y1=sinα，．所以，．依题意S1=2S2 得，即sin2α=﹣2[sin2αcos+cos2αsin]=sin2α﹣cos2α，整理得cos2α=0．因为，所以，所以，即．19．（10分）如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂足的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；（2）求B，D的距离（计算结果精确到0.01km）；【解答】解：（1）△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA；（2）△ABC 中，由正弦定理得=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33；所以B、D的距离约为0.33km．20．（10分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[﹣π，2π]上的图象．图【解答】解：∵1﹣sinx ≥0且1+sinx ≥0，在R 上恒成立 ∴函数的定义域为R ； ∵=2+2|cosx|∴由|cosx |∈[0，1]，f 2（x ）∈[2，4]，可得函数的值域为[，2]；∵=f （x ）∴函数的最小正周期为π ∵当x ∈[0，]时，=2cos ，在[0，]上为减函数当x ∈[，π]时，=2sin ，在[，π]上为增函数 ∴f （x ）在上递增，在上递减（k ∈Z ）∵f （﹣x ）=f （x ）且，∴f （x ）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称因此，可得如下表格：调性在在图21．（12分）已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx﹣sinx；∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sin2x=cos2x．（2）∵=4cosx•cos（x﹣），∴f（x）=2cosx，α=﹣．（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|﹣sinx）=，因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=﹣1当时，g（x）≤g（x2）=2所以或所以|x1﹣x2|的最小值是．。
上海市南洋模范中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题
4 1D • x= n - arcs in2014学年第二学期南模中学高一年级数学学科期中考试卷、填空题1 •已知角 二的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若 P 4, y 是角二终边上一点，且.亠 2弱山sin •二… ，贝U y =•5-----------------2 •设扇形AOB 的周长为8cm ，若这个扇形的面积为4cm 2，则圆心角的弧度数为 ___________3•在相距 2千米的A ，B 两点处测量目标 C ，若N CAB =75，乙CBA =60，则A ，C 两点之间的距离是 __________ 千米.14 •已知tan ，则sin 2】的值为 _________________ •25 •若f x 是定义R 在上的奇函数，当x ：：：0时f x =cos3x si n 2x ，则当x .0时，1 _cos x6 •函数y的最小正周期是 ___________sin x8.已知 tan T ，且 3sin ： =sin 2很亠卩］，贝U tan :- - : = _____________ 9.函数 y =log ： sinx-cosx 的单调递增区间是 _________________________310 •已知函数 f x =3si n 卜.x-n.0 ）和g x j=2cos 2x 」「|T 的图象的对称轴完全相同，若x 三0，扌，则fx 的取值范围是 ___________________ •211 .若关于x 的方程2cos x - 5sin x 「4二a 有实数解，则实数 a 的取值范围是 ____________________12 .在△ OAB 中，O 为坐标原点，A 1，cos v ，B sin v ，1，'…-\ 0，^，则当△OAB 的面积达最大值时， 二=____________ •二、选择题y = arccos sin x 的值域是13•若 sinx = -丄，4冗,3n，则（A • x = arcs inB • x - -arcsin 14n arcs inf n ,贝U f x 的单调递增区间是（有点的横坐标缩短到原来的 丄倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）2A . y =sin 2x 「n , x 三 RB . y =sin I 3丿f nX2B •有且仅有一个根 D •有无穷多个根A •没有根 C .有且仅有两个根16 .在△ ABC 中，sin 2 A < sin 2 B - sin 2 C -sinBsinC ，贝U A 的取值范围是（ A 0，n B . n ，n C . 0，- .0，6 _6，% 0，3 7171r n 3 % 17 函数 y 二 tanx sin x ・tan x -sin x 在区间 ，■122丿内的图象大致是（18 •已知函数 f x ]=s in 2x •:'，其中「为实数，若f （x 戶f 仃对x • R 恒成立，且n A. "n ， k n n■i k 冗，~nx 三R ,x 三Rk n 2n3 k nn，…k Z222 .已知定义在R 上的函数, 1丿 」f x sin ，x a cos x a - R ，0 ：：，w 1满足:(I)求f x 的解析式；5 n1(H)设不等的实数 x ，x 2「—一，一，，且 f (X 1 )= f(x 2 ) = —1，求 x +X 2 的值.I 3 3 丿 2kkk23 .已知函数 f x =sinkxsin x coskxcos x —cos 2x ，（其中 k 为常数， R ）⑴当k =1时，求函数f x 的单调递增区间；三、解答题 19 .已知:-■=，n4"5⑴求sin 的值；4⑵求cos 15n的值.16 2丿20 •在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a , b ,Cc ，已知sine cosC 亠叫•⑴求sin C 的值;2 2⑵若a b ^4 a b -8，求边c 的值.21•半圆O 直径为2, OA=2 , B 为半圆上任意一点， 按顺时针方向作正 △ ABC ，问B 在何位置时，四边形C 为半圆外异于 A 的点，以AB 为边OACB 面积最大？2f (x ) (n]⑵ 当k =1时，求函数g x 2在0，n上的最大值(其中常数a 0 )，a + f (x ) I 3」⑶是否存在k • N*，使得函数f x为常函数，若存在，求岀k的值，并加以证明；若不存在，请说明理由.。
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14. 如图是函数 f ( x) A sin( x ) （ A 0 ， 0 ， ）， x R 的部分图 像，则下列命题中，正确命题的序号为（ 资料整理 sh-maths ）
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① 函数 f ( x ) 的最小正周期为 ② 函数 f ( x ) 的振幅为 2 3
n 1
4 5
5 4
1 ； n 1
1 2
2r ， m 4 ， r 3或 4 ； 2m (2r 1)
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n
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
*
18. 对数列 {an } ，{bn } ， 若区间 [ an , bn ] 满足下列条件： ① [ an 1 , bn 1 ] [ an , bn ]（ n N ） ； ② lim(bn an ) 0 ；则称 {[ an , bn ]} 为区间套，下列可以构成区间套的数列是（
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南模中学高一期末数学试卷
2016.06 一. 填空题 1. 点 P 从点 (1, 0) 出发，沿单位圆 x 2 y 2 1 顺时针方向运动 的坐标为
弧长到达 Q 点，则 Q 点 3
1 ，则 sin 2 x 3sin x cos x 1 2 3 3. 已知 sin( x) ，则 sin 2 x 的值为 4 5
a[1 4 7 (3n 2)] 6 ，则 a 7 n 2 5n 2 2 2 10. 函数 f ( x) sin x 2cos x 在区间 [ , ] 上的最大值为 1，则 的值是 3
9. 已知 lim
n
11. 如图，在 Rt ABC 内有一系列的正方形，它 们的边长依次为 a1 , a2 , , an , ，若 AB a ，
BC 2a ，则所有正方形的面积的和
12. 定义在 N * 上的函数 f ( x ) ， 对任意正整数 n1 、n2 ， 都有 f ( n1 n2 ) 1 f ( n1 ) f ( n2 ) ， 且 f (1) 1 ，若对任意正整数 n ，有 an f (2 n ) 1 ，则 an
二. 选择题 13. f ( x ) 为奇函数，当 x 0 时， f ( x ) arccos(sin x ) ，则 x 0 时， f ( x) （ A. arccos(sin x) C. arccos(sin x) B. arccos(sin x) D. arccos(sin x ) ）
2 n 1
1 a n 2 （ a 1， n N* ） 时， 在验证当 n 1 1 a
7. 等比数列 {an } 前 n 项和为 S n ，已知 S1 ， 2S2 ， 3S3 成等差数列，则 {an } 公比为 8. 设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和，且 a1 1 ， an 1 S n Sn 1 ，则 S n
2
7 12 7 ④ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ , ] 12 12 2 ⑤ 函数的解析式为 f ( x) 3 sin(2 x ) 3
③ 函数 f ( x ) 的一条对称轴方程为 x A. ③⑤ B. ③④ C. ④⑤ D. ①③ 15. 设 {an } 是等差数列， S n 是其前 n 项和，且 S5 S6 ， S 6 S 7 S8 ，则下列结论错误的 是（ ） B. a7 0
22. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业， 根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入比上年减少 20%，本年度当地旅游收入估 计为 400 万元， 由于该项建设对旅游业的促进注意， 预计今后的旅游业收入每年会比上年增 加 25%； （1）设 n 年内（本年度为第一年）总投入为 an 万元，旅游业总收入为 bn 万元，写出 an 、bn 的表达式； （2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
n
）
A. an ( ) ， bn ( ) C. an
1 2
n
2 3
n
B. an ( ) ， bn D. an
1 3
n
n n 1
2
n 1 1 ， bn 1 ( ) n n 3
n3 n2 ， bn n2 n 1
三. 解答题 19. 已知函数 f ( x) 2cos x 2sin x cos x 1（ x R ， 0 ） 的最小正周期是 （1）求 的值； （2）求函数 f ( x ) 的最大值，并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合；
n
4 1 S 成立？ 61 13
若存在，求正整数 m 、 r 的值，若不存在，说明理由；
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参考答案
一. 填空题 1. ( ,
1 3 ) 2 2
7.
2. 2
3.
7 25
9. 28
4. 4
5. 1 a a 2
6.
67 66
21. 已知数列 {an } 满足 a1 1 ， an 1 2an 1 （ n N ） ， 若数列 {bn } 满足： 4 1 4 2 4 3 4
b 1 b 1 b 1 bn 1
*
( an 1)bn （ n N * ） ；
（1）求数列 {an } 的通项公式 an ； （2）求证： {bn } 是等差数列；
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*
n2 A B 成立，求常数 A 、 B 的值； n(n 1) n n 1 n2 1 * （2）在数列 {an } 中， a1 ， an 2an 1 （ n 2 ，n N ） ，求通项 an ； 2 n(n 1) n 1 （3）在（2）题的条件下，设 bn ，从数列 {bn } 中依次取出第 k1 项，第 k2 项， 2(n 1)an 2
3 3 2 3 3 2 3 ； （2） sin B ， a 3 ， sin C ， S ABC ； 3 3 6 2
20.（1） A
21.（1） an 2n 1 ； （2） b1 2 ，公差为任意常数，证明略； 22.（1） an 4000[1 ( ) n ] ， bn 1600[( ) n 1] ； （2）第 5 年； 23.（1） A 2 ， B 1 ； （2） an 2 （3） cn ( ) m ( n 1) r ， S
n 1
1 3
8.
1 n
10.
2
11.
4 2 a 5
12. 2
二. 选择题 13. C 三. 解答题 19.（1） f ( x ) （ 2） f ( x ) 14. A 15. C 16. D 17. A 18. C
2 sin(2 x ) 2 ， 2 ； 4
k 2 sin(4 x ) 2 ，最大值 2 2 ， {x | x , k Z} ； 4 16 2
2
； 2
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20. 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，已知 b 2 c 2 a 2 bc ； （1）求 A 的大小； （2）如果 cos B
6 ， b 2 ，求 ABC 的面积； 3
23. （1）若对任意的 n N ，总有
，第 kn 项，按原来顺序组成新数列 {cn } ，其中 cn bkn ，其中 k1 m ， kn 1 kn r ，
r N * ，试问是否存在正整数 m 、 r ，使 lim(c1 c2 cn ) S 且
2 2
A. d 0
C. S9 S5
D. S6 与 S7 均为 S n 的最大值 ）
16. 数列 {an } 的通项 an n (cos A. 510 B. 495
n n sin 2 ) ，其前 n 项和为 S n ，则 S30 为（ 3 3
C. 490 D. 470
17. 已知二次函数 y a( a 1) x 2 (2a 1) x 1 ，当 a 1, 2,3, , n, 时，其抛物线在 x 轴 上截得的线段长依次为 d1 , d 2 , d3 , , d n , ，则 lim(d1 d 2 d n ) 的值是（