一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性

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一类线性差分方程组解的稳定性分析

理学硕士学位论文一类线性差分方程组解的稳定性分析郭亮哈尔滨工业大学2004年7月图书分类号：O241.84U.D.C.: 517.962.2理学硕士学位论文一类线性差分方程组解的稳定性分析硕士研究生：郭亮导师：薛小平教授申请学位级别：理学硕士学科、专业：基础数学所在单位：理学院数学系答辩日期：2004年7月授予学位单位：哈尔滨工业大学Classified Index：O241.84U.D.C.: 517.962.2A Dissertation for the Degree of Master of ScienceSTABILITY OF LINEAR DIFFERENCEEQUATIONSCandidate：Guo LiangSupervisor：Prof. Xue XiaopingAcademic Degree Applied for：Master of Science Speciality：Pure Mathematics Affiliation：Department of Mathematics Date of Defence：July, 2004Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology哈尔滨工业大学理学硕士学位论文摘要差分方程是和微分方程相平行的一个数学理论，它不但在数学各分支内应用甚广，而且由于电子计算机的迅速发展和广泛使用，它已成为现代控制理论、通讯理论等科技领域内的一个基本数学工具。

用差分方程描述动力系统稳定性的研究是李雅普诺夫稳定性理论的近代内容。

Lyapunov函数法、LaSalle不变原理、比较原理虽然是研究离散系统稳定性的一般方法，但应用这些方法构造V函数技巧性强，因此无一般规律可言。

如果能够根据系统本身的参数，得出一系列简单实用的离散系统稳定性代数判据，这就会使一些离散系统稳定性问题得到简化，更加简洁实用。

一类有理型时滞差分方程的稳定性

重根；c>β 时，没有实根。
≠ ≠ c）k≡2（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准1
<C< A-β4 ，或者-A< A
（b）c<0 时，方程（2.2）有一个正根和一个负根，分别记为 μ（3 c）和 μ（4 c），它们分别属于（1，+∞）和（-∞，0），μ（3 c）单调减少，μ（4 c）单
单调减少。特别地，0<c<β 时，方程（2.2）分别在（0，α）和（α，1）上各
作者简介：张一敏（1982-），女，黑龙江海伦人，讲师，硕士，研究方向为泛函有一个正根 μ（6 c）和 μ（7 c），且 μ（6 c）单调增加，μ（7 c）单调减少；c=β
≠ ≠ b）k≡1（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准0
<C< A-β4 ，或者-A< A
≠ ≠ β4 <0，-b
β4 A
，准0
<（-1）
k+1
C<
A+β4 A
，其中
准 0 是方程（1.2）在
ห้องสมุดไป่ตู้
≠ ≠ 4π ，（4k+21）π 5 5（k+5）
上的根。
姨 ≠ ≠≠ ≠ 5
α=
k k+5
A
A
≠ ≠ 当 k 是偶数时，-AC-β4
<A
且 -C
<b
β4 ，准 A
准是方程
sin（k+5）θ = β4
sinkθ
A
（1.2）
其中
ab≠0。令

一类高阶有理型差分方程的全局渐近稳定性

ｑａｉｓｗｔＯｅｒｂｍｓｎｏｊｃｒｓＣａｍａｎａ１ＣＣ，０２］ｕｔｎ，ｉｐｎＰｏｌｄＣｎｅｔｅ，ｈｐｎａｄＨｌＲ２０．中的公ｏｈｅａｕ／开问题７５２并证明了这类方程无周期解；．．，然后推广这个结果到更一般的情形．
Ｋｅｒｓａｉａｄｆｒｃｑａｏ；ｏａａｙｐｏｃｓｉｔ；ｅｉｄｃ；ｐｎｙｗｏｄ：ｒｔｎｌｉｅｎｅｅｕｔｎｇｂｌｓｍｔｔｔｌｙｐｒｉｔｏｅｏｅｉｌｉａｉｂｏｉｙ
ｐｂｅｏｒｌｍ
０引言
有理型差分方程是一类典型的非线性差分方程，定性分析一直是近年来研究的热点，其因为许
多高于一阶的非线性差分方程定性结果的原型来源于有理型差分方程的结果．于这方面的研究，关可参见专著［ — ］论文［１］１２、３— Ｏ及其引用的参
考文献，其是Ｍ．Ｒ．Ｋｌｎｖ尤．Ｓｕｅｏｉｃ和Ｇａａ．Ｌｄｓ
收稿日期：０７— ３—０２００１作者简介：吕定洋（９８一）男，１６，湖南邵阳人，湖南第一师范学院高级讲师，湖南师范大学硕士研究生．主要研究方向：方程稳定性理论．
Ｃｈｎｓａ，ｎｎ４１８１，ｉａ；ＤｅａｔｎｆＭａｈｍａｉｓａｄＰｈｓｃ，ａｇｈＨｕａ００Ｃｈｎ２．ｐｒｍｅｔｏｔｅｔｃｎｙｉｓ
ＴｅＦｒｏａＣｌｇ，ｈｎｓａＨｎｎ４１０，ｈｎ）ｈｉｔｒｌｏｅｅＣａｇｈ，ｕａ２０１ＣｉａｓＮｍｌ

一类高阶有理差分方程的全局渐进稳定性

㈩
其中Ｆ — ｆ（ … １一２ … ，ｎｒ， — ｇ（，一２… ，一， — ｈｘ一１一２・，ｎＰ，ｘ，，，Ｘ－ｋＧ）ｘ一１，）Ｈ（ｐ，，・Ｘ－１）
∈ Ｃ（Ｏ，。）（。）ｇ ∈ Ｃ（Ｏ，。），Ｏ，。）ｈ∈ Ｃ（Ｏ。），Ｏ。），Ｚｉ∈ ｛，３ … ｝０≤ ｒ ≤ （。，Ｏ，。），（。（。），（，。（，。）ｋ，，１２，，，，
．
一
吉一
＃等一＋＋＋６＋６ｎ６１＋易ｎ＋
ｎ＋ｎ＋６＋ｃ＋ｃ＋
若ｎ≥ １６＜１ｃ１则有ｎ— ｎ６一，，＜，，，．（）可得 ≥ １故ｃ一由２，
收稿日期：０７０ — ３２０— ７２
Ｖ０＿Ｎｏ１ｌ７．
Ｍａ．２０ｒ０８
２００８年３月
一
类高阶有理差分方程的全局渐进稳定性
牛文英王小梅闰卫平
（山西大学数学科学学院，山西太原０００）３０６
［要］对一类高阶有理差分方程的唯一正解及其全局渐进稳定的充分条件进行了研究，摘并
盘ｃ＋盘＋ｂ－ｂＩｌ－ｃａ．Ｃ－＋１ｂ２ｌ－ａＩＣｌ－ｂ
１
。ｂ
１
。Ｃ
同，ａ，足余种形，得｝昙十理当，满其四情时也＝６ｃ可去＿

一类高阶时滞差分方程的有界持久性与全局渐近稳定性

（）２
初值一一＋一，ｌ为任意正数．， — ，０
方程（）ｋ＝１的特殊情况已被文献广泛地研究过．例如，［，］到了当Ａ，ｌ１时文１２得０Ａ ∈ （，，０ｐ ∈ （，），程（）０ ∞）ｐ，ｌ０１时方１的正平衡点是其一切正解的全局吸引子；［］文２还证明了ｐ０
文献标识码：Ａ
中图分类号：Ｏ１５７７．
引
言
考虑下列高阶时滞差分方程
Ｘ＋ｎｌ其中
Ａｏ
：
＋
＋… ＋ “＋
（：０ｌ２ … ）ｎ＇，，Ｊ ’ ， ’
… （）１
Ａ，‘ ［，，ｉＰ ∈ ０ ∞）
（ｉ＝０１２ … ｋｋ∈ （，，），，，，；１２ … ）
＝ｐｌ＝１方程（）时１的正平衡点是全局渐近稳定的．对Ａ， ∈ （，，０＝２ｐ＝１２０Ａｌｏ ∞）ｐ，ｌ／时
的一些结果及公开问题，可见文［，］当ｐ３４；ｌ＝０时的一些结果．文［，］见５６．
文章编号：ＯＯＯ８（ｏ２１－１８ｏｌＯ－８７２ｏ）１１８－７
一
类高阶时滞差分方程的有界持久性
与全局渐近稳定性。
李先义
（．华大学数理部，南衡阳４１０；．东师范大学数学系，海２０６）１南湖２０１２华上００２

一类高阶线性差分方程的全局稳定性

文章编号１００４．６４１０（２０１３）０２．００３２．０４
一
类高阶线性差分方程的全局稳定性
王琦，张更容，韩松，李乃雄
（１．广西科技大学理学院，广西柳州５４５００６；２．广西大学数学与信息科学学院，广西南宁５３０００４）
第２４卷第２期２０１３年６月
广西科技大学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＵＡＮＧＸＩＵＮＩＶＥＲＳｎＹＯＦＳＣＩＥＮＣＥＡＮＤＴＥＣＨＮ０Ｌ０ＧＹ
Ｖｏ１．２４Ｎｏ．２
Ｊｕｎｅ２０１３
问题．
关键词：线性差分方程；收敛；有界性中圈分类号：Ｏ１７５文献标志码：Ａ
０引言
离散系统理论在经济学、自动控制工程、通讯、雷达技术、生物医学工程、图像技术、电动力学系统及核物理学等学科已发挥了巨大作用，随之而来的是人们对差分方程理论的需求．而差分方程模型是应用广泛的一类离散数学模型，它在生态学、生理学、物理学、工程学、自动控制与设计、数值计算及经济学研究
其中ｋ＝７，ａ＝Ｏ．４，ａｌ＝ａ２＝ａ４＝ａ￣＝ａ６＝０，锄０．３，ａＴ＝０．５．

一类有理差分方程的全局吸引性

掣， Ⅳ ０ ∈，
（．）１１
的局近定．中 ∈ｏ），始件 … ，∈０且全渐稳性其ｇ【∞，ｅ初条Ｊ，，１ｏ【∞ ，ｋｎＹ，
且程（１唯正衡方１）一平点歹＝ｐ＋）（＋）面考方１）正．．有（１ｇ１下仅虑程（１的解／．．
进一步，在文【，１９中，他们提出了下述公开问题和猜想：３．１ｐ２
公问Ａ设，∈０ｏ｛３）究分程开题假ｐｑ【ｏＲ ∈２，．差方，）ｋ，… 研
＝
÷ ， Ⅳ 拜ｏ ∈．
所有正解的全局行为．
猜想Ａ（，１５ｏｊｔｒ６５假设Ｐ＞ｑ［ｐ２，ｎｃｅ．．）３．Ｃｅｕ１】０．证明方程（３的每一个正解都收敛．１）文【也研究了方程（３所有正解的全局吸引性，它们是利用４】１）．产极限集这一复杂方法证明了猜想Ａ．本文受到上述
基金项目：甘肃省教育厅科研项目（７９０）００－３；甘肃省教育厅科研项目（８９．４．００Ｂ０）
收稿日：２０．８１期０９０－６作者简介：袁晓红（９１，女，甘肃临洮人，讲师，主要从事微分方程和差分方程的研究．１７一）
袁晓红，晏兴学，王仁虎：一类有理差分方程的全局吸引性
文【】１研究了下列差分方程解的全局吸引性．
＋＞．然＞， Ⅳ Ｏ０显 ∈ ０
．＋＝ｌ
其主要结论为下述定理：
，，∈Ⅳ０ｋ，．
（１．２）
定理Ａ如果下列条件之一满足，则方程（．）的每一个解都收敛到该方程的唯一正平衡点：１２

一类非线性有理差分方程的全局渐近稳定性

关键词：有理差分方程；全局渐近稳定性；辅助方程
中图分类号：７Ｏ１５
文献标识码：Ａ
Ｇｌｂｌａｙｐｔｔｃｓａｉｉｙｏｌｓｆｎｎｌｎａａｉｎａｉｆｒｎｅｅａｉｎｏａｓｍｏｉｔｂｌｔｆａｃａｓｏｏｉｅｒｒｔｏｌｄｆｅｅｃｑｕｔｏｓ
２０，０４年李先义Ⅲ利用半环分析法研究下面两个有理差分方程正平衡点的全局渐近稳定性．
ｎ
（，２ … ，ｚ１ｚ，ｚ）一
哩 ± ｒ ± 塑上
± 塑 ±堡
，＋ｎ一
１＋ｙ－ｙ十Ｙ－ｙ一＋Ｙ￣Ｉ，￣Ｉ，，
维普资讯
第３４卷第３期
２０年６０８月
兰
州
理工大来自学学报
Ｖｏ．４Ｉ３ＮＯ３．
ＪｕｎｌｏｎｈｕＵｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇｏｒａｆＬａｚｏｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙ
ＪＩ２０ｕ１０８．
ＨＵＯｌｅｇＨａ— ｎ，ＭＩｆＡＯ — ｎＬｉｍｉｇ，ＺＨＡＮＧａｇ，ＸＩＬｉｎＡＮＧｎＨｏｇ
（ｎｓｉｕｅｏＩｔｔｔｆＡｐｐｉｄＭａｈｍａｉｓｌｔｅｔｃ，ＬａｚｏｕＵｎｉ．ｏｃｅｎｈｖｆＴｅｈ
．，
ｍｅｎｆｓｔｉｇｕｎａｘｌｒｑａｉｎＳｈｔａｓｆｉｉｎｏｄｔｎｗａｂａｎｄａｓｏｅｔｎｐａｕｉａｙｅｕｔ，Ｏｔａｕｆｅｔｃｎｉｉｓｏｔｉｅｉｏｃｏ

常微分方程定性与稳定性方法

常微分方程定性与稳定性方法.第2版
常微分方程定性与稳定性方法是研究动力系统及其变化规律的重要手段，此第二版收录了最新的理论发展与实际应用相结合的一系列定性与稳定性方法完整的介绍，旨在启发读者的全新思考，为他们在动力系统解决方案的设计和实现提供有价值的支持。

常微分方程定性与稳定性方法是一类在多个科学领域中有效的数学解决方案。

这些方法可以在混沌系统中被用来描述不同形式的动态系统行为。

第2版的常微分方程定性与稳定性方法包括：
1. 计算函数法：采用各种数值方法求解二阶微分方程，可以快速解决定性和稳定性方法问题。

2. 拉格朗日差分方程法：使用有限差分步长比较，来解决定性和稳定性方法,从而帮助用户快速了解系统行为。

3. 高阶差分法：利用一组高阶差分方程以精确的高次近似形式描述稳定性模型，有效的解决定性和稳定性问题。

4. 代数方程法：可以把一系列定性和稳定性问题转化为一组代数方程，从而迅速获得解决方案。

这是第2版常微分方程定性与稳定性方法的概况，它们为计算动态系
统提供准确、可靠的数学解决方案，以模拟实际的动态系统行为。

自动控制原理稳定性判据知识点总结

自动控制原理稳定性判据知识点总结自动控制原理是探讨控制对象的动态特性以及如何设计稳定的控制系统的学科。

在自动控制系统的设计和分析中，稳定性是一个重要的概念。

本文将对自动控制原理中的稳定性判据进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

1. 稳定性定义稳定性是指控制系统在一定的输入条件下，输出不随时间而无穷增长或无穷减小的性质。

一个稳定的控制系统能够保持输出的有限性，而不会因为扰动或非线性特性产生不可控制的结果。

2. 稳定性判据2.1. 线性系统的稳定性线性系统的稳定性判据可以分为两类：时域判据和频域判据。

2.1.1. 时域判据时域判据主要通过分析系统的状态转移方程或差分方程来判断系统的稳定性。

在稳定的线性系统中，初始状态被扰动后，系统状态在有限时间内收敛到稳定状态。

2.1.2. 频域判据频域判据通过系统的频率响应函数来判断稳定性。

常用的频域稳定性判据有：奈奎斯特稳定判据、Nyquist判据、波恩稳定判据等。

这些判据通过分析系统的极点位置和频率响应曲线来判断系统稳定性。

2.2. 非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判据相对于线性系统更加复杂。

常见的非线性稳定性判据有：李雅普诺夫稳定性判据、小扰动稳定性判据等。

2.2.1. 李雅普诺夫稳定性判据李雅普诺夫稳定性判据是对非线性系统进行稳定性判断的重要方法。

其基本思想是通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。

若李雅普诺夫函数为正定函数且导数小于等于零，系统即为稳定的。

2.2.2. 小扰动稳定性判据小扰动稳定性判据是通过对非线性系统进行线性化处理，然后判断线性化后的系统是否稳定来判断非线性系统的稳定性。

3. 典型的稳定性判据3.1. Nyquist判据Nyquist判据是频域判据中的一种，用于判断线性系统的稳定性。

通过绘制系统的频率响应曲线，然后判断曲线与虚轴的交点来确定系统的稳定性。

3.2. Routh-Hurwitz判据Routh-Hurwitz判据是一种时域判据，用于判断线性系统的稳定性。

一类非线性差分方程的全局渐进稳定性

一类非线性差分方程的全局渐进稳定性一类非线性差分方程的全局渐进稳定性非线性差分方程是指一类常见的差分方程，它的研究可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统。

而全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。

一. 非线性差分方程的基本概念非线性差分方程是一类常见的差分方程，它以差分方程的形式描述复杂系统的时变行为。

它以抽象的形式表达复杂系统的一般性质，以及系统的运动规律，是研究复杂系统的重要工具。

非线性差分方程的典型形式为：y(n+1) = f(y(n))其中，y(n)表示系统状态在时刻n时的值，f(y(n))表示系统状态在时刻n+1时的值，它们之间的关系可以通过非线性函数f(y(n))来描述。

二. 全局渐进稳定性全局渐进稳定性是指一类非线性差分方程的稳定性，它可以帮助我们更好地理解和控制复杂系统的行为，从而更好地应用这类非线性差分方程。

全局渐进稳定性的定义：设y(n)为一类非线性差分方程的解，如果存在正定的常数k和M，使得当n→∞时，|y(n)|≤M·kn，则称此差分方程具有全局渐进稳定性。

全局渐进稳定性的特征：全局渐进稳定性可以保证一类非线性差分方程的解在某个范围内收敛，并且收敛速度是渐进的，即当n→∞时，|y(n)|的增长速度越来越慢。

三. 全局渐进稳定性的判别要判断一类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性，需要先确定这类非线性差分方程的有限解，然后根据定义验证这类非线性差分方程是否具有全局渐进稳定性。

（1）确定有限解：一般来说，一类非线性差分方程具有有限解的充要条件是，不等式f(y(n))≤y(n)成立，其中f(y(n))是一类非线性差分方程的右边的函数。

如果满足此条件，则一类非线性差分方程具有有限解。

（2）验证全局渐进稳定性：确定有限解后，可以根据定义，构造出一类非线性差分方程的有限解，并将其作为验证全局渐进稳定性的依据。

一类四阶有理差分方程的振动规律和全局稳定性

一类四阶有理差分方程的振动规律和全局稳定性陈云新【摘要】主要讨论了一类四阶有理差分方程x_(n+1)=x_(n-2)x_(n-3)/x_(n-2)+x_(n-3)+1,n=0,1,2,…,初始值x_(-3),x_(-2),x_(-1),X_0 ∈(0,∞)的振动规律和全局稳定性,即描述了其解的振动周期为15,且正、负半环长的规律为:4~+,3~-,1~+,2~-,2~+,1~-,1~+,1~-;又指出了解之间存在x_(n+k)△(C(x_(n+k))x_n(C(x_(n+k)C(x_n))(n≥-3)的大小关系;并得到了方程的平衡点是全局渐近稳定的.【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2009(032)004【总页数】4页(P14-17)【关键词】有理差分方程;振动规律;全局渐近稳定【作者】陈云新【作者单位】南华大学数理学院,中国衡阳 421001【正文语种】中文【中图分类】O175.7近几年来,有理差分方程的研究日益受到人们的关注[1-10]. 李先义,朱德明[1]利用半环分析法研究了以下有理差分方程正平衡点的全局渐近稳定性,式中:a∈[0,∞),初始值x-2,x-1,x0∈(0,∞).霍海峰、苗黎明等[2]运用子序列分析法[3]研究了一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性．受以上工作的启发，本文主要讨论四阶有理差分方程：(1)其中，初始值x-3,x-2,x-1,x0∈(0,∞)．容易看出，方程(1)的平衡点满足：因此，可知方程(1)有唯一的平衡解下面是本文中将要用到的一些定义[4-5]：定义1 设为方程(1)的一个解，为方程(1)的一个平衡点，方程(1)的一个正半环是由一串连续大于或者等于的项(xl,xl+1,…,xm)组成，且l≥-3,m≤∞满足：l=-3,或者并且，m=∞,或者方程(1)的一个负半环是由一串连续小于的项(xl,xl+1,…,xm)组成，且l≥-3,m≤∞满足：l=-3,或者并且，m=∞,或者半环的长是指半环所包含的数据项的个数．定义2 设为方程(1)的一个解，如果最终等于平衡解则称方程(1)的解是最终平凡解；否则，称此解为非平凡解；如果最终大于平衡解则称方程(1)的解是最终正解；如果最终小于平衡解则称方程(1)的解是最终负解．本文其他概念见文献[4-5]．2 两个引理为了证明主要结果，下面引入两个基本引理．引理1 方程(1)的解最终等于当且仅当(x-3-1)(x-2-1)(x-1-1)(x0-1)=0.(2)证充分性.假定(2)成立，则由方程(1)可知下列结论成立：A.若(x-3-1)=0，则xn=1(n≥7)；B.若(x-2-1)=0，则xn=1(n≥4)；C.若(x-1-1)=0，则xn=1(n≥5)；D.若(x0-1)=0，则xn=1(n≥6).必要性.若(x-3-1)(x-2-1)(x-1-1)(x0-1)≠0，则xn≠1,(n≥1).因为方程(1)的解最终等于则必定存在N，使得xN=1,N≥1，xn≠1,-3≤n≤N-1.显然,矛盾．推论1 若方程(1)的初始条件不满足方程(2)，则对方程(1)的任意解均有xn≠1,n≥-3．引理2 设为方程(1)的非平凡解，则下列结论成立：(a)(xn+1-1)(xn-2-1)(xn-3-1)<0(n≥0)；(b)(xn+1-xn-3)(xn-3-1)<0(n≥0)；(c)(xn+1-xn-2)(xn-2-1)<0(n≥0)．证根据方程(1)，可以得到下列等式：从上面这些方程式可看到不等式(a),(b),(c)成立．证毕引理3 若方程(1)存在非振动解，则它一定是最终负解；即：方程(1)不存在非振动的最终正解．证假设方程(1)存在非振动的最终正解，则存在一个正整数N，当n>N时,所有的Xn>1成立，因此，对于n>N+3时，(xn+1-1) (xn-2-1) (xn-3-1)>0,这与引理2(a)相矛盾，所以方程(1)不存在非振动的最终正解．3 主要结果及证明定理1 设为方程(1)的严格振动解，则此解的正、负解变换周期为15,且正、负半环长的规律为： 4+,3-,1+,2-,2+,1-,1+,1-．证根据引理2方程(1)的正半环长不超过5，负半环最长为3．基于解的严格振动的性质，对整数p≥0,下列4种情形之一必定发生：情形1：xp-3>1,xp-2<1,xp-1>1,xp>1；情形2：xp-3>1,xp-2<1,xp-1>1,xp<1；情形3：xp-3>1,xp-2<1,xp-1<1,xp>1；情形4：xp-3>1,xp-2<1,xp-1<1,xp<1；如果情形1成立，从引理2(a)可知：xp-3>1,xp-2<1,xp-1>1,xp>1,xp+1>1,xp+2>1,xp+3<1,xp+4<1,xp+5<1, xp+6>1,xp+7<1,xp+8<1,xp+9>1,xp+10>1,xp+11<1,xp+12>1,xp+13<1,xp +14>1,xp+15>1,xp+16>1,xp+17>1,xp+18<1,xp+19<1,xp+20<1,xp+21>1,xp+22 <1,xp+23<1,xp+24>1,xp+25>1,xp+26<1,xp+27>1,xp+28<1,xp+29>1,xp+30>1,xp+31 >1,xp+32>1,xp+33<1,xp+34<1,xp+35<1,xp+36>1,xp+37<1,xp+38<1,xp+39>1,xp+40 >1,xp+41<1,xp+42>1,xp+43<1,…可以发现此解的正、负半环长的规律为：4+，3-，1+，2-，2+，1-，1+，1-；同理，当情形2、情形3、情形4成立时，用类似的方法，也可得出解的正、负半环长的规律为：4+，3-，1+，2-，2+，1-，1+，1-．证毕定理2 设为方程(1)的严格振动解，则此解之间存在下列大小关系：(3)式中，k=3，4；C(xn)=1,xn>1;C(xn)=-1,xn<1;Δ(1)=<;Δ(-1)=>.证 (1)当k=3时.(i)若xn+3>1,xn>1，式(3)变为不等式：xn+3<xn.式(3)成立;同理,若xn+3<1,xn<1，式(3)变为xn+3>xn也成立.(ii)若xn+3>1,xn<1时，式(3)变为不等式：xn+3<xn.式(3)成立；同理,若xn+3<1,xn>1，式(3)变为也成立.(2) 当k=4时.(i)若xn+4>1,xn>1，式(3)变为不等式：xn+4<xn.式(3)成立；同理，若xn+4<1,xn<1，式(3)变为xn+4>xn也成立.(ii)若xn+4>1,xn<1，式(3)变为不等式：式(3)成立；同理,若xn+4<1,xn>1，式(3)变为也成立.综上所述：式(3)成立，定理2正确．定理3 方程(1)的负平衡解是全局渐近稳定的．证首先，方程(1)关于平衡点的线性化方程是：yn+1=0·yn+0·yn-1+0·yn-2+0·yn-3,n=0,1,2,…由文献[2]可知，其解是局部渐近稳定的,只需要证明方程(1)的解当n→∞时收敛于1，即如果方程(1)的初始条件满足(2)式，由引理1表明方程(1)的解是平凡解，最终等于1，显然上式成立.如果方程(1)的初始条件不满足(2)式，由推论1，对方程(1)的任意解均有xn≠1(n≥-3)，方程的解为非平凡解．此时，将方程(1)的解分为非振动的和振动的2种情况分别进行讨论.(i) 当方程(1)的解是非振动时，由引理3,方程(1)的解是最终负解；按照引理2(b),{xn}是最终有界的和递增的，所以{xn}的极限存在且是有穷的．不妨假设则结论成立.(ii)当方程(1)的解是振动时，由定理1，此解的正、负解变换周期为15,且正、负半环长的规律为：4+，3-，1+，2-，2+，1-，1+，1-；即可以找到一个非负整数P,用{xp,xp+1,xp+2,xp+3}+表示长度为4的正半环，用{xp+4,xp+5,xp+6}-表示长度为3的负半环，用{xp+7}+表示长度为1的正半环，用{xp+8,xp+9}-表示长度为2的负半环，用{xp+10,xp+11}+表示长度为2的正半环，用{xp+12}-表示长度为1的负半环，用{xp+13}+表示长度为1的正半环，用{xp+14}-表示长度为1的负半环，即正、负半环的长度规律为：{xp+15n,xp+15n+1,xp+15n+2,xp+15n+3}+，{xp+15n+4,xp+15n+5,xp+15n+6}-，{xp+15n+7}+，{xp+15n+8,xp+15n+9}-，{xp+15n+10,xp+15n+11}+，{xp+15n+12}-，{xp+15n+13}+，{xp+15n+14}-，n=0,1,2,…由定理2容易得到下列结果：xp+15n+15<xp+15n+11<xp+15n+7<xp+15n+3<xp+15n n=0,1,2,…从上面的表达式可知：方程(1)的振动解xp+15n在一个周期内的所有序列的极限都存在且有穷，其中：正半环上所有序列的极限都存在且相等，负半环上所有序列的极限都存在且相等，而且它们之间互为倒数．即考虑到得到：定理3证明完毕．参考文献：[1] LI X.Two rational recursive sequence [J]. Computers and Mathematics with Applications,2004,47(1): 487-494.[2] 霍海峰,苗黎明,张良. 一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性[J].兰州理工大学学报,2008,34(1):125-127[3] LI Z, ZHU D M.Global asymptotic stability of a higher order nonlinear difference equation [J].Appl Math Lett,2006,19:926-930.[4] AGARWAL R P.Difference Equations and Inequalities[M].2nd ed. New York: Marcel Dekker,2000.[5] KOCIC V L, LADAS G. Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications [M]. Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1993.[6] 霍海峰,刘纯英,马战平,等. 一类有理差分方程的全局渐近稳定性[J]. 兰州理工大学学报,2009,35(1):136-138[7] NESEMANN T.Positive nonlinear difference equations:some results and applications[J].Nonlinear Analysis, 2001,47(7):4 707-4 717.[8] SUN T X, XI H J. Global asymptotic stability of a higher order rational difference equation[J]. J Math Anal Appl, 2007,330(3):462-466.[9] LI X.Global behavior for fourth-order rational difference equation[J]. J Math Anal Appl,2005,312(3):555-563.[10] BERENHAUT K S,STEVIC S. The global attractivity of a higher orderrational difference equation[J].J Math Anal Appl, 2007,326(2):940-944.。

一类差分方程的稳定性研究

ＯＮＴＨＥＳＴＡＢＩＬＩＴＩＥＳＯＦＡＣＬＡＳＳＯＦＤＩＦＦＥＲＥＮＣＥＥＱＵＡＴＩＯＮＳ
ＸＵＳｈｅｎｇ—ｒｏｎｇ，ＷＡＮＧＸｉ —ｃｈａｏ，ＺＨＯＵＹｉｎｇ—ｙｉｎｇ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｉｆｎｇ，ＳｈａｎｄｏｎｇＡｃｕｌｔｕｒａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｉａｎ２７１０１８，Ｃｈｉｎａ）
山东农业大学学报（自然科学版），２０１３，４４（４）：６２４— ６２９ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｄｏｎｇＡｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒｌａＳｃｉｅｎｃｅ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ ’ ｗｅｓｔｕｄｙｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｅｑｕａｔｉ
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ｅｐ８。
ｒａｍｅｔｅｒｓ卢，７，Ａ，Ｂ，Ｃａｎｄｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ一， …，一， …，一１，０ａｒｅａｌｌｐｏｓｉｔｉｖｅｒｅｌａｎｕｍｂｅｒｓ，ｋＥ｛０，１，２， …｝，ｌ ∈｛１，２，一・｝，ｋ＜１．Ｂａｓｅｄｏｎｈｔｅｃｈａｎｇｅｏｆｖａｉｒａｂｌｅｓ，ｗｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｈｔｅｌｏｃｌａａｓｙｍｐｔｏｔｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｂｙｌｉｎｅ —

数学建模,微分方程稳定性理论简介

微分方程稳定性理论简介一、问题的背景稳定性的物理意义：用微分方程描述的物质运动的特解密切依赖于初值，而初值的计算或测定实际上不可避免地出现误差和干扰。

如果描述这运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差或干扰将导致“差之毫厘，谬以千里”的严重后果。

因此，这样不稳定的解不宜作为我们设计的依据，反之，稳定的特解才是我们最感兴趣的。

二、一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()()x t f x = （1）方程右端不显含自变量t ，称为自治方程。

代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点）。

它也是方程（1）的解（奇解）如果存在某个邻域，使方程（1）的解()x t 从这个邻域的某个(0)x 出发，满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（渐进稳定）；否则称0x 是不稳定的（不渐进稳定）。

判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法。

利用定义即（3）式称间接法。

不求方程（1）的解，即不利用（3）式的方法称直接法。

下面介绍直接法将()f x 在0x 点作Taylor 展开，只取一次项，方程（1）近似为00()()()xt f x x x '=- （4）（4）称为(1)的近似线性鞥方程，0x 也是（4）的平衡点，关于0x 点稳定性结论如下：若0()0f x '<，则0x 对于方程（4）和（1）都是稳定的；若0()0f x '>，则0x 对于方程（4）和（1）都是不稳定的。

（事实上，若记0()f x a '=，则（4）的一般解是0()atx t ce x =+ （5）其中c 是由初始条件决定的常数，显然，当0a <时，（3）式成立）三、二阶方程的平衡点和稳定性二阶方程可用两个一阶方程表为112212()(,)()(,)xt f x x x t g x x =⎧⎨=⎩ （6）右端不显含t ，为自治方程。

系统的稳定性以及稳定性的几种定义

系统的稳定性以及稳定性的几种定义一、系统研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。

在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。

由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。

从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。

但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。

人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。

描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。

中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。

二、系统的稳定性一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。

即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。

三、连续（时间）系统与离散(时间)系统连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。

系统的激励和响应均为连续信号。

离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。

系统的激励和响应均为离散信号。

四、因果系统因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。

也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。

即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。

判定方法对于连续时间系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。

高阶差分方程的解

© ２００４Ｍｉｎｇ－Ｈｅｎｇ／ＩＴＱｕａｎｔ™
(ix ) 0 < R < 1 ⇒ b1b2 = αγ < 1 收敛 ( xi ) R ≥ 1 ⇒ b1b2 = αγ ≥ 1 发散
１７．２Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ乘数加速互作用模型 –稳定性条件
n
稳定性条件
收敛 iff αγ < 1
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Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ模型有关参数ｇａｍｍａ、ａｌｐｈａ的关系
( vi ) 0 < b < 1 ⇒ 0 < γ ≤ 1; b1b2 = αγ < 1 收敛 (v) b > 1 ⇒ 0 < γ < 1; b1b2 = αγ > 1 发散
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１７．２Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ乘数加速互作用模型 –稳定性 – 重根
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稳定性分析 –重根
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参数ａｌｐｈａ、ｇａｍｍａ分布
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１７．３离散时间条件下的通货膨胀与失业
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模型 –微分方程／差分方程 •ｐ –通货膨胀率价格水平增长率 •ｐｉ –预期通货膨胀率 •Ｕ –失业率 pt = α − T − βU t + hπ t •ｍ –名义货币增长率 ∆π t +1 = π t +1 − π t = j ( pt − π t ) •Ｔ –劳动生产增长率 ∆U t +1 = U t +1 − U t = −k ( m − pt +1 ) 关于实际通货膨胀率的差分方程
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１７．３离散时间条件下的通货膨胀与失业 –通货膨胀率分析

一类含有二次项的高阶有理差分方程的全局行为

一类含有二次项的高阶有理差分方程的全局行为陈韦韦【摘要】In this paper,we determine the forbidden set,introduce an explicit formula for the solutions and discuss the global behavior of a rational difference equation xn+ 1=xnx n-k/αx n+βxn-(k+ 1),w here inter k ∈ N n ∈ N ∪ {0},α,βare real numbers,the initial conditions(x-(k+ 1),x-k,…,x0)∈Rk+ 2.%本文给出方程 xn+ 1=xnx n-k/αx n+βxn-(k+ 1)的奇点集及解的表达式,并讨论了该方程解的全局行为,其中k ∈ N,n ∈ N ∪ {0},α,β都是实数,初始值(x-(k+ 1),x-k,…,x0)∈Rk+2.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(055)002【总页数】6页(P231-236)【关键词】差分方程;奇点集;全局行为【作者】陈韦韦【作者单位】四川大学数学学院,成都610064【正文语种】中文【中图分类】O175.71 引言随着科学技术的发展，差分方程理论越来越受到重视.它被广泛应用于计算机科学，航天技术，金融，医学，生物学等领域. 迄今为止，线性差分方程理论已基本完善，而非线性差分方程主要针对的是有理差分方程. 其中，分子与分母均为线性的有理差分方程已被众多学者进行了较为系统的研究[1-4]，目前主要集中在分子或分母中含有二次项或更高次项的有理差分方程的研究，并已获得一些有价值的成果[5-7].本文研究一个含二次项的k+2阶差分方程(1)其中k∈N,n∈N∪{0},α,β都是实数，且初始值(x-(k+1)，x-k，…，x0)∈Rk+2.当k=1,方程已经由Sedaght，Abo-Zeid，陈克慧等进行了系统的研究[8-11].当k=2,方程当α>0,β>0时，已经被Abo-Zeid研究[12].对于一般的k,若α=β=0,则方程是没有定义的;若α=0,β≠0,则当(x-(k+1)，x-k，…，x0)∉时，该方程的解为其中j=1，2，…，k+1.若α≠0,β=0,则当(x-k，x-(k-1)，…，x0)∉时，方程可化为此时该方程的解为其中j=1，2，…，k+1.因此,下面我们讨论方程(1)当α≠0，β≠0时方程解的全局行为.2 方程(1)的奇点集和解的表达式为了讨论方程(1)的奇点集，首先给出了一个引理.引理2.1 对任意n0≥k+2,设序列满足方程(1)，且对任意的0≤i≤n0-1有αxi+βxi-(k+1)≠0,则对任意的-k≤j≤n0有xj≠0.证明假设存在-k≤j≤n0使得xj=0.令j0:=min{j|xj=0，-k≤j≤n0}.a) 若-k≤j0≤0,由于xj0=0,根据方程从而αxj0+k+1+βxj0=0,即xj0+k+2无定义.b) 若1≤j0≤n0,由于xj0=0,由方程(1)知xj0-1=0或xj0-1-k=0,这都与j0的定义矛盾.以上情况均出现矛盾，所以假设不成立，命题得证.定理2.2 方程 (1)的奇点集F是Rk+2上包含原点的一个序列，如下所示:其中Qj={(x-(k+1)，x-k，…，x0)|x-j=0}，Sn={(x-(k+1)，x-k，…，x0)|x-(k+1)=δnx0}，证明由奇点集的定义，方程(1)的奇点集F={(x-(k+1)，x-k，…，x0)|对任意的m∈N∪{0}，αxm+βxm-(k+1)=0}.显然F={(x-(k+1)，x-k，…，x0)|αx0+βx-(k+1)=0}βxm-(k+1)=0且αxj+βxj-(k+1)≠0，0≤j≤m-1}.(a) 若αx0+βx-(k+1)=0,由于α,β均不为0，从而故S0⊂F.(b) 若1≤m≤k+1,αxm+βxm-(k+1)=0且αxj+βxj-(k+1)≠0,其中0≤j≤m-1,则(i) 若xm=0,由αxm+βxm-(k+1)=0可知xm-(k+1)=0,从而Qk+1-m⊂F; (ii) 若xm≠0,则对任意的-k≤i≤m-1有xi≠0.事实上，若存在-k≤i0≤m-1使xi0=0,由方程(1)可依次得xi0+1,…,xm均为0，这便出现矛盾.因此可令从而方程(1)当0≤n≤m-1时等价于线性方程yn+1=βyn+α，0≤n≤m-1(2)由方程(2)得(3)而αxm+βxm-(k+1)=0意味着将代入(3)式得(4)即Sm⊂F.(c) 若m≥k+2,αxm+βxm-(k+1)=0且αxj+βxj-(k+1)≠0,其中0≤j≤m-1,由引理2.1可知对任意-k≤i≤m有xi≠0.因此可令从而方程(1)当0≤n≤m-1时等价于线性方程(2)，同理(4)式成立，即Sm⊂F.证毕.定理2.3 设{xn}是方程(1)满足初始值(x-(k+1)，x-k，…，x0)∉F的解，则xn(k+1)+j=其中n∈N∪{0},j=1，2，…，k+1,且证明因为初始值(x-(k+1)，x-k，…，x0)∉F,所以初始值经方程 (1)可生成序列且对任意i∈N∪{0}有αxi+βxi-(k+1)≠0.由引理2.1可得,对任意-k≤j<+∞,有xj≠0.因此可令从而方程 (1)等价于线性方程yn+1=βyn+α，n∈N∪{0}(6)由方程(6)得(7)其中(a) 当β=1时，(8)当β≠1时，(9)其中(b) 由于对任意的-k≤j<+∞有xj≠0,从而对任意的1≤n<+∞有yn≠0.进而，当n≥0时有即(10)其中j=1，2，…，k+1.将(8)式，(9)式分别代入(10)式即得(5)式.综上，命题得证.3 方程(1)解的全局行为在这一节中，我们用方程(1)的解的基本形式来研究该方程解的全局行为.3.1 β=1的情形定理3.1 设β=1,{xn}是方程(1)满足初始值(x-(k+1)，x-k，…，x0)∉F的解，则{xn}收敛到0.证明因为初始值(x-(k+1)，x-k，…，x0)∉F,由定理2.2知x0≠0.由定理2.3知方程(1)的解具有(5)式的形式.显然当i→+∞时，故{xn}收敛到0.证毕.3.2 β≠1的情形定理3.2 设β≠1,{xn}是方程(1)满足初始值(x-(k+1)，x-k，…，x0)∉F的解.(A) 如果那么1.若则{xn}收敛到0.2.若则{xn}是无界的.3.若则{xn}是一个至多k+1周期解.4.若则{xn}是一个至多2(k+1)周期解.(B) 如果那么1.若|β|>1,则{xn}收敛到0.2.若β=-1,(1) k为偶数时，1) 如果那么{xn}收敛到0;2) 如果那么{xn}是无界的;3) 如果那么，(i) 若则{xn}是一个至多k+1周期解,(ii) 若则{xn}是一个至多2(k+1)周期解,(iii) 若与只有一个是-1,则{xn}是一个至多4(k+1)周期解,(iv) 若则{xn}是一个至多2(k+1)周期解,(v) 若则{xn}是一个至多4(k+1)周期解;(2) k为奇数时，1) 如果且那么{xn}收敛到0;2) 如果与有一个大于1，那么{xn}是无界的;3) 如果那么{xn}是一个至多k+1周期解;4) 如果与有一个是-1,那么{xn}是一个至多2(k+1)周期解.3.若|β|<1,则(1) 如果那么{xn}收敛到0.(2) 如果那么{xn}是无界的.(3) 如果那么{xn}收敛到周期解.当时，{xn}收敛到至多k+1周期解;当时，{xn}收敛到至多2(k+1)周期解.证明因为初始值(x-(k+1)，x-k，…，x0)∉F,由定理2.2知x0≠0.由定理2.3知方程(1)的解具有(5)式的形式.(A) 若则ρ=0,从而因此，1.若则{xn}收敛到0.2.若则{xn}是无界的.3.若则xn(k+1)+j=xj-(k+1),此时{xn}是一个至多k+1周期解.4.若则xn(k+1)+j=xj-(k+1)(-1)n+1,此时{xn}是一个至多2(k+1)周期解.(B) 若则ρ≠0.1.若|β|>1,则当i→+∞时，从而{xn}收敛到0.2.若β=-1,因为初始值(x-(k+1)，x-k，…，x0)∉F,所以x-(k+1)≠0，从而xn(k+1)+j=而则均不为0.(1) k为偶数，当j为奇数时，xn(k+1)+j=(11)当j为偶数时，xn(k+1)+j=(12)因此，(1) 若即则{xn}收敛到0.(2) 若即则{xn}是无界的.(3) 若即(i) 若则xn(k+1)+j=xj-(k+1).此时{xn}是一个至多k+1周期解;(ii) 若则xn(k+1)+j=xj-(k+1)(-1)n+1,此时{xn}是一个至多2(k+1)周期解; (iii) 若与只有一个是-1，由(11)式可知xn(k+1)+j=x(n+4)(k+1)+j， j为奇数,由(12)式可知xn(k+1)+j=x(n+4)(k+1)+j， j为偶数，故{xn}是一个至多4(k+1)周期解;(iv) 若由(11) (12)式可知xn(k+1)+j=x(n+2)(k+1)+j,故{xn}是一个至多2(k+1)周期解;(v) 若由(11) (12)式可知xn(k+1)+j=x(n+4)(k+1)+j,故{xn}是一个至多4(k+1)周期解.(2) k为奇数，xn(k+1)+j=(13)因此，(1) 若且则{xn}收敛到0.(2) 若与有一个大于1，则{xn}是无界的.(3) 若则xn(k+1)+j=xj-(k+1),此时{xn}是一个至多k+1周期解.(4) 若且与至少有一个是-1,由(13)式知xn(k+1)+j=x(n+2)(k+1)+j,则{xn}是一个至多2(k+1)周期解.3.为叙述简便，令若|β|<1,则当i→+∞时，|μj(i)|→从而(1)若则{xn}收敛到0.(2)若则{xn}是无界的.(3) 若由于易知收敛.事实上，存在充分大的i1∈N,使得当i>i1时，令其中x>0,k∈N,j=1,2,……,k+1.由于从而由达朗贝尔判别法知，收敛，故收敛.因此收敛.从而收敛.记其中j=1，2，…，k+1.1) 若则记rj:=min{i|μj(i)<0且对任意的i′>i有因此当n>rj时有由于从而当n取偶数时，当n取奇数时，所以{xn}收敛到至多2(k+1)周期解.2)若则记sj:=min{i|μj(i)>0且对任意的i′>i有因此当n>sj时，由于xn(k+1)+j=xj-(k+1)Qn(j).,从而有故{xn}收敛到至多k+1周期解.证毕.注文献[12]讨论了方程(14)当a,b,c>0时的全局行为.若令则方程(14)为方程(1)当α>0,β>0,k=2时的特殊情形.因此本文的结果包含了文献[12]中的所有结果.参考文献:[1] Kulenovic M R S， Ladas G. Dynamics of second order rational differe nce equations with open problems conjectures [M]. Boca Raton: Chapman and Hall/CRC Press， 2002.[2] Camouzis E， Ladas G. Dynamics of third order rational difference eq uations with open problems and conjectures [M]. Boca Raton: Chapman Ha ll/CRC Press， 2007.[3] Dehghan M， Mazrooei-Sebdani R. Dynamics of a high-order rational difference equation[J]. Appl Math Comput， 2006， 178： 3 45.[4] Dehghan M， Mazrooei-Sebdani R. The characteristics of a high-order rational difference equation [J]. Appl Math Comput， 2006， 182： 528.[5] Sedaghat H. Open problem and conjectures: on third order rational di fference equations with quadratic terms [J]. J Differ Equ Appl， 2008， 14： 889.[6] Papaschinopoulous G， Stefanidou G. Asymptotic behaviors of the so lutions of a class of rational difference equations [J]. Int J Differ Equ， 2010， 5: 233.[7] Anisimova A， Bula I. Some problems of second-order rational difference equations with quadratic terms [J]. Int J Differ Equ ， 2014， 9: 11.[8] Sedaghat H. Global behaviours of rational difference equations of ord ers two and three with quadratic terms [J]. J Differ Equ Appl， 2009， 15：215.[9] Abo-Zeid R. Global behavior of a rational difference equation with quadratic ter ms [J]. Math Moravica， 2014， 18: 81.[10] Abo-Zeid R. On the solutions of two third order recursive sequence [J]. Am J Ma th， 2014， 6: 64.[11] 陈克慧. 一类含有二次项的三阶有理差分方程的全局行为[J]. 四川大学学报：自然科学版， 2016， 53: 1190.[12] Abo-Zeid R. Global behavior of a fourth order difference equation [J]. Am J Mat h， 2014， 18: 211.。

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Ｇｏａａｙｔｔａｉｔｆａｓｆｉｈｏｄｒｒｔｎｌｉｅｅｃｕｔｎｌｂｌｓｍｐｏｉｓｂｌｙｏｃｓｏｇ－ｒｅａｉａｄｆｒｎｅｑａｉｃｔｉａｌｈｏｆｅｏ
ＨＵｏｉｅｇ，ＭＩＨａ－ｎｆＡＯ－ｎ，ＺＨＡＮＧａｇＬｉｍｉｇＬｉｎ
— —
其他相关结果见文献［～５．３］
１相关定义及引理
定义ｌ式（）任一正解｛）为关于三２的ｏ称；ｏ最终平凡的，如果｛）最终等于；；否则被称为非
平凡的．
ｘ＿－ｋ，，
—
ｑａ－
（）１
Ｚｌ… ，Ｏ０∞ ）ａ０∞）Ｓｉ｛一ｍ，－ｋ．ｓ，Ｘ ∈（，，Ｅ［，，＋￣ｍｎ１ｌ｝
关键词：有理差分方程；解的符号；局渐近稳定性全
中图分类号：７０１５文献标识码：Ａ
的局近定，：ｋＺ五全渐稳性中，＋，武ｍＥ，
令
Ａ一｛）－ｏｌ — ｏ ’ ｉ１２… ，一，，ｍ
显然，每一个Ａ是式（）２的解序列｛）ｏ一的模ｍ：ｏ同余类，：故
｛）ｌ．｛，，，）ｏ一一ＡｌＡ２… Ａ：ｏ
基金项目：甘肃省自然科学基金（Ｚ０２Ｂ５１）甘肃省教３Ｓ４－２－３，０育厅基金（４６－８Ｏ１ＢＯ）
ｚ＂，ｒ — ，－ｚｌ－
令一则由１得而，式（）
Ｘｎ一
定义２式（）的解｛）２ｏ的符号定义为由一ｏ
掣
ｚ＂１ —，ｌ十ｚ
（２）
｛一三）的项的符号所组成的序列．若一三，一Ｏ那么｛一；｝的第７项的符号表示为０１．
文章编号：１７～１６２０）１０２—３６３５９（０８０－１５０
一
类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性
霍海峰，苗黎明，张良
（兰州理工大学应用数学研究所，甘肃兰州７０５）３００
摘：用序分法究类阶理分程一等要运子列析研一高有差方晶量
项亦为正．本文主要结果如下：定理ｌ假设ａＯ ∞ ）那么式（）正平衡Ｅ［，，２的
ｚ，ｌ１－ｚ，＿ｒ２
和
Ｘｎ一 — 一
ｘ￣
—
＿－，－，２
・
一
ｑａ－
’ ，
７， ‘一 ’ ０’ ｚ一０，２， ■’ … １，
点是全局渐近稳定的．
ｚＨ－－Ｘｎ２ｒ－
正平衡点的全局渐近稳定性，式中：Ｅ［，，ａＯ ∞］初始值一，ｌ ∈（，ｏ．２ — ，Ｏｏ）
本文用子序列分析法研究式（）１的全局渐近
稳定性．
Ｘｎ一ｘ，￣ —
Ｘｎ：
然，（）唯一的正平衡点三一１式２有．另外，对初始值为正的式（）２的任一解｛）７ｓｓ１… ）每ｏ， ∈｛，＋，的：ｏ１
一ｎ一 Leabharlann —ＸｎＩＸｎ２．－
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＂１３－ａ
—
—
Ｉ
一
’ ，
７， ‘一ｚ：０，２， ’ ０’ １’ … １，
（ｎｔｔｔｆＡｐｌｄａｈｍａｉｓａｚｏｉ．ｏｅ．，Ｌａｚｏ７０５ＩｓｉｕｅｏｐｉＭｔｅｔ，ＬｎｈｕＵｎｖｆＴｅｈｅｃｎｈｕ３００，Ｃｈｎ）ｉａ
Ａｂｔａｃ：Ａｔｏｆｓｂｅｕｎｅａａｙｉｓｕｅｏｓｕｙｔｅｇｏａｓｍｐｏｉｔｂｌｙｏｌｓｆｓｒｔｍｅｈｄｏｕｓｑｅｃｎｌｓｓｗａｓｄｔｔｄｈｌｂｌｙｔｔｓａｉｔｆｃａｓｏａｃｉａ
Ｋｅｒｓａｉｎｌｉｆｒｎｅｅｕｔｏｙｗｏｄ：ｒｔｏａｆｅｅｃｑａｉｎ；ｓｇｆｓｌｔｎｌｂｌｓｐｏｉｔｂｌｙｄｉｎｏｏｕｉ；ｇｏａｙｔｔｃｓａｉｔｏａｍｉ
李先义，朱德日［利用半环分析法研究以下有月理差分方程
式中：ｋ＋五，ｌ… ，０ｏ ∞ ）ａ０ｍ， ∈ｚ，五＋， ∈（，， ∈Ｅ，
∞ ）ｓ，＝ｍｉ｛一ｍ，一志，ｎ１１）这里Ｙ仍用表示．显
收稿日期：２０－７１０６０－９
注ｌ把式（）２的解｛）ｏ分为ｍ个子序列，ｏ：
维普资讯
第３卷第１４期２０年２０８月
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Ｖｏ．４Ｎｏ１１３．Ｆｂ２０ｅ．０８
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