工资发放数学模型
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*
.128 8 -.717
*
. 8 .619
.102 8 1.000
.386 8 .124
. 8 .
. 8 .
论研讨 次数 Sig.（双侧） N 其他 项目 说明 Sig.（双侧） N . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 相关系数 .305 8 . .625 8 . .625 8 . .305 8 . .386 8 . .770 8 . . 8 . . 8 .
将 A 矩阵进行
的处理得到 R，计算矩阵
得到归一化矩阵，
，其中
0 0 0 0 0 0 0 0.0247 0.0123 0.0123 0.0270 0.0135 0.0135 0.0299 0.0149 0.0149 0.0227 0.0227 0.0227 0.0270 0.0541 0.0270 0 0 0.05 0.0556 0.0278 0 0.0238 0.075 0.025
**. 在置信度（双测）为 0.01 时，相关性是显著的。 *. 在置信度（双测）为 0.05 时，相关性是显著的。
由 spearman 相关分析结果表中可以得到：随堂听课与习题课的相关系数是 1，为强正 相关；辅导答疑量与批改作业的相关系数是 1，为强正相关；指导课外阅读与习题课的相关 系数是-0.717，为较强负相关；实验上机指导次数与批改作业量的相关系数为-0.577，为中 度 负 相 关 。 对 于 这 些 变 量 我 们 可 以 彼 此 代 替 ， 因 此 变 量 从 随堂听课、批改量、答疑量、习题课、上机指导、课程研讨、课外阅读、其他任务 减 少 至 批改量、习题课、课程研讨、其他任务 。因此，在后面的讨论中，我们可以只讨论这 4 个变量的影响。
36 16 16 9 0 2 1 1 32 15 15 8 0 2 1 1 30 13 13 7 0 2 1 1 12 12 12 5 0 1 1 1 A= 10 10 10 3 0 1 2 1 10 10 10 3 0 0 2 1 12 12 12 5 0 0 0 1 8 8 8 2 8 2 3 1
0.2790 0.6267 0.2797 0.0936 0.3041 0.6026 0.0933
因为 故
,故总结果满足一致性。
模型二.用 spearman 相关分析法确定各变量之间的相关程度
表 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8
助教工作量 助教任务
课程名称
随 堂 听 课
批 改 量
答 疑 量
习 题 课
1/5 3 1
，从而
0.0559
因为 所以满足一致性检验。 构造判断矩阵 C1—D： C1 J J G P 运用 Matlab（见程序）求得 一致性检验 当阶数为 3 时 0.0578 ，从而 1 5 3
G 1/5 1 1/5 ,w=( 0.0972, 0.2021 , 0.7007)
P 1/3 5 1
问题一.由基于熵的多重属性确定各环节的权重
在原始表中的助教任务里，空格的填 0，协助考试填 1（假设每学期就 1 次）
表示序号为 i 的课程（i=1,2,3,4,5,6,7,8） 表示序号为 j 的环节（j=1,2,3,4,5,6,7,8） 表示第 i 门课程在第 j 环节下的工作量，得到决策 A 矩阵：
0.2000 0.2000 0.2000 0.0500 0.2
计算 的信息熵 根据信息熵计算属性权重 得到各个环节的重要程度。
，j=1,2,3,4,5,6,7,8； ,其中 ,从而
然后计算属性的权重向量（见程序 1） W=（0.0781,0.1549,0.1549,0.2363,0.0262,0.0216,0.0194,0.3341） 故排出各个环节的重要程度：阅卷>习题课次数>批改作业=答疑>随堂
听课>上机指导>课程研讨>指导课外阅读。 至于各个环节与课程、学生人数之间的关系，直接观察表可得。
问 题二
. 工资 工作量 奖惩 反馈 表示针对第 i 门课程单个助教所得的最高工资（即原表中单个助教的工作经费） 表示各个部分的津贴所占的权重（ ） 表示针对第 i 个课程的工作量单个助教所得的资助 表示针对第 i 门课程的助教实施奖惩所对应的金额 表示针对第 i 门课程的助教获得的评价效果、反馈信息所对应的工资 表示第 i 门课程在第 j 环节下的实际工作量 在实际工作量的情况下对第 i 门课程的奖惩系数 表示按权重分配给第 i 门课程的助教奖赏工资的最初金额 表示按权重分配给第 i 门课程的助教反馈工资的最初金额 表示按权重分配给第 i 门课程的助教工作量工资的最初金额 ω 表示老师给第 i 门课程助教评价所得的等级系数 ω 表示学生给第 i 门课程助教评价所得的等级系数 在评价过程中老师的评价所占权重 在评价过程中学生的评价所占权重 表示第 i 门课程的助教所获得的评价系数 表示修改后的工作量中第 i 门课程的第 j 个环节的工作量 表示第 j 个环节的工资系数 针对工作量 模型一.利用层次分析法确定
为 1，说明模型
，表明该助教受到
惩罚。若实际工作量大于标准工作量则 其中 从而单位助教实际获得的奖惩工资为 针对反馈工资
主讲老师通过给助教的评分问卷（见附录）得到等级系数ω 学生通过给助教的评分问卷（见附录）得到等级系数ω 在给助教的评价中可认为老师占的权重为 设立反馈系数 ω ω ,学生占的权重
从而得到单位助教获得的实际反馈工资为 总工资(S)
目标层 A
助教使用与管理 理
准则层 C
助教能力提升 （C1）
教学质量提高(C2)
学生权利的保障(C3)
方案层 D
奖惩金额（J）
C1
反馈收入 （P）
C2
工作量收入（G）
C3
构造判断矩阵 A—C： A
C1 C2 C3 运用 Matlab（见程序）求得 一致性检验 当阶数为 3 时
1 7 5
1/7 1 1/3 ,w=( 0.0719, 0.6491,0.2790 )
*
.305 8 -.206
. 8 .
相关系数
.414 8 .337
. 8 1.000
**
. 8 1.000
.414 8 .337
.134 8 -.577
.046 8 -.715
*
.625 8 -.206
. 8 .
相关系数
.414 8 1.000
**
. 8 .337
. 8 .337
.414 8 1.000
2
矩阵
回归系数估算值 0 24.8833 89.2498 -7.9601 0.4552 F=1 p<0.0001
回归系数置信区间 [0,0] [0.3,30] [50,100] [-10,-2] [0.03,1.4]
Residual Case Order Plot
600 400 200
Residuals
模型三.建立线性回归模型 改善后的变量表 序 号 课程名称 1 2 3 4 习题课 助教任务 课程研讨 其他任务 批改量 最初工作 量工资
高等数学 （Ⅰ-1） 高等数学 （Ⅱ-1） 高等数学 （Ⅲ-1） 线性代数 （Ⅱ） 概率论与 数理统计 (Ⅰ) 复变函数 与积分变 换 复变函数
9 8 7
2 2 2
0.4444 0.1975 0.1975 0.1111 0.4324 0.2027 0.2027 0.1081 0.4478 0.1940 0.194 0.1045 0.2727 0.2727 0.2727 0.1136 = 0.2703 0.2703 0.2703 0.0811 0.2778 0.2778 0.2778 0.0833 0.2857 0.2857 0.2857 0.1190
上 机 指 导
课 程 研 讨
课 外 阅 读
其 他 任 务 1 1 1 1 1 1 1 1
高等数学（Ⅰ -1） 高等数学（Ⅱ -1） 高等数学（Ⅲ -1） 线性代数 （Ⅱ） 概率论与数理 统计(Ⅰ) 复变函数与积 分变换 复变函数 数学实验
36 32 30 12 10 10 12 8
960 1247 1733 1369 1205 1178 1386 720
1 9 2 1 960 1 8 2 1 1247 1 7 2 1 1733 1 5 1 1 1369 1 3 1 1 1205 1 3 0 1 1178 1 5 0 1 1386 1 2 2 1 720
故 利用 MATlLAB 做线性回归模型得到如下的结果： 回归系数 k0 k1 k2 k3 k4 R =1
0.099655
因为 所以满足一致性检验。 构造判断矩阵 C2—D： C2 J G P 运用 Matlab（见程序）求得 一致性检验 当阶数为 3 时 ，从而 J 1 5 1/3 G 1/5 1 1/7 ,w=(0.1884 , 0.0810 , 0.7306 ) P 3 7 1
因为 所以满足一致性检验。 构造判断矩阵 C3—D： C3 J J G P 运用 Matlab（见程序）求得 一致性检验 当阶数为 3 时 0.0429 ，从而 0.07 1 1/3 1/5
.134 8 -.584
.046 8 -.717
*
.625 8 .416
. 8 .
相关系数
. 8 -.584
.414 8 -.577
.414 8 -.577
. 8 -.584
.128 8 1.000
.045 8 .619
.305 8 .356
. 8 .
相关系数
.134 8 -.715
*
.134 8 -.715
960 1246 1733 1368 1204 1177 1386 720
9 8 7 5 3 3 5 2
0 0 0 0 0 0 0 8
2 2 2 1 1 0 0 2
1 1 1 1 2 2 0 3
注意答疑量与批改量的得来是根据如下的公式： 批改量 答疑量 学生人数 学生人数 批改次数 答疑次数 助教岗位总数 助教岗位总数
*
其他 实验上机指 指导课外阅 课程讨论 习题课次数 1.000
**
项目 说明 .
量 .337
量 .337
导次数 -.584
读次数 -.717
*
研讨次数 .416
相关系数
1.000
. 8 .337
.414 8 1.000
.414 8 1.000
**
. 8 .337
.128 8 -.577
.045 8 -.715
0 -200 -400 -600 -800 1 2 3 4 5 Case Number 6 7 8
残差及其置信区间图 F 检验的 P 值接近于零;K 的置信区间不包含零点，并且区间长度小， 精度一般，由此可知该模型是有效的。 从而单位助教实际获得的工作量工资 针对奖惩 设立奖惩系数 ，若实际工作量小于标准工作量则 ，表明该助教受到奖赏。
G 3 1 1/4 ,w=(0.6267 , 0.0936, 0.2797 )
P 5 4 1
因为 所以满足一致性检验。 各个方案的权重如下： C C1
C2
C3
D 的权重
D J G P 组合一致性检验：
0.0719 0.0972 0.7007 0.2021 0.0372
0.6491 0.1884 0.7306 0.0810
1 1 1
960 1247 1733
867.744 1001.52 1205.2 549.57
5
1
1
1369 867.74
5
3
1
1
1205 851.47
6
3 5
0 0
1
1178 1386
556.80
7
1
8
数学实验
பைடு நூலகம்
2
2
1
720
433.872
最初工作量工资与各个工作环节成正比，则可得：
可令向量 向量 （ ， ， ， ， ）
问题三 作一个优缺点分析就可以了
假设： 1. 助教在基本要求的工作量上不会过度地增加工作 2. 学校只进行一次期中考试 3. 主讲老师、学生对助教工作的评价都比较客观 参考文献 [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年 【01】 姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003 年 【02】 朱建青、张国梁，数学建模方法，郑州大学出版社，2003 年 【03】 衷克定，数据统计分析与实践——SPSS for Windows,高等教育出版社，2005 年 【04】 徐泽水，不确定多属性抉择方法及应用，清华大学出版社，2004 年
利用
对助教工作量的各个相关环节间作相关性分析得到相关系数表
：
批改作业 实验报告 辅导答疑 随堂听课 Spearman 随堂听 的 rho 课 Sig.（双侧） N 批改作 业实验 报告量 Sig.（双侧） N 辅导答 疑量 Sig.（双侧） N 习题课 次数 Sig.（双侧） N 实验上 机指导 次数 Sig.（双侧） N 指导课 外阅读 次数 Sig.（双侧） N 课程讨 相关系数 .045 8 .416 .046 8 -.206 .046 8 -.206 .045 8 .416 .102 8 .356 . 8 .124 .770 8 1.000 相关系数 .128 8 -.717
.128 8 -.717
*
. 8 .619
.102 8 1.000
.386 8 .124
. 8 .
. 8 .
论研讨 次数 Sig.（双侧） N 其他 项目 说明 Sig.（双侧） N . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 相关系数 .305 8 . .625 8 . .625 8 . .305 8 . .386 8 . .770 8 . . 8 . . 8 .
将 A 矩阵进行
的处理得到 R，计算矩阵
得到归一化矩阵，
，其中
0 0 0 0 0 0 0 0.0247 0.0123 0.0123 0.0270 0.0135 0.0135 0.0299 0.0149 0.0149 0.0227 0.0227 0.0227 0.0270 0.0541 0.0270 0 0 0.05 0.0556 0.0278 0 0.0238 0.075 0.025
**. 在置信度（双测）为 0.01 时，相关性是显著的。 *. 在置信度（双测）为 0.05 时，相关性是显著的。
由 spearman 相关分析结果表中可以得到：随堂听课与习题课的相关系数是 1，为强正 相关；辅导答疑量与批改作业的相关系数是 1，为强正相关；指导课外阅读与习题课的相关 系数是-0.717，为较强负相关；实验上机指导次数与批改作业量的相关系数为-0.577，为中 度 负 相 关 。 对 于 这 些 变 量 我 们 可 以 彼 此 代 替 ， 因 此 变 量 从 随堂听课、批改量、答疑量、习题课、上机指导、课程研讨、课外阅读、其他任务 减 少 至 批改量、习题课、课程研讨、其他任务 。因此，在后面的讨论中，我们可以只讨论这 4 个变量的影响。
36 16 16 9 0 2 1 1 32 15 15 8 0 2 1 1 30 13 13 7 0 2 1 1 12 12 12 5 0 1 1 1 A= 10 10 10 3 0 1 2 1 10 10 10 3 0 0 2 1 12 12 12 5 0 0 0 1 8 8 8 2 8 2 3 1
0.2790 0.6267 0.2797 0.0936 0.3041 0.6026 0.0933
因为 故
,故总结果满足一致性。
模型二.用 spearman 相关分析法确定各变量之间的相关程度
表 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8
助教工作量 助教任务
课程名称
随 堂 听 课
批 改 量
答 疑 量
习 题 课
1/5 3 1
，从而
0.0559
因为 所以满足一致性检验。 构造判断矩阵 C1—D： C1 J J G P 运用 Matlab（见程序）求得 一致性检验 当阶数为 3 时 0.0578 ，从而 1 5 3
G 1/5 1 1/5 ,w=( 0.0972, 0.2021 , 0.7007)
P 1/3 5 1
问题一.由基于熵的多重属性确定各环节的权重
在原始表中的助教任务里，空格的填 0，协助考试填 1（假设每学期就 1 次）
表示序号为 i 的课程（i=1,2,3,4,5,6,7,8） 表示序号为 j 的环节（j=1,2,3,4,5,6,7,8） 表示第 i 门课程在第 j 环节下的工作量，得到决策 A 矩阵：
0.2000 0.2000 0.2000 0.0500 0.2
计算 的信息熵 根据信息熵计算属性权重 得到各个环节的重要程度。
，j=1,2,3,4,5,6,7,8； ,其中 ,从而
然后计算属性的权重向量（见程序 1） W=（0.0781,0.1549,0.1549,0.2363,0.0262,0.0216,0.0194,0.3341） 故排出各个环节的重要程度：阅卷>习题课次数>批改作业=答疑>随堂
听课>上机指导>课程研讨>指导课外阅读。 至于各个环节与课程、学生人数之间的关系，直接观察表可得。
问 题二
. 工资 工作量 奖惩 反馈 表示针对第 i 门课程单个助教所得的最高工资（即原表中单个助教的工作经费） 表示各个部分的津贴所占的权重（ ） 表示针对第 i 个课程的工作量单个助教所得的资助 表示针对第 i 门课程的助教实施奖惩所对应的金额 表示针对第 i 门课程的助教获得的评价效果、反馈信息所对应的工资 表示第 i 门课程在第 j 环节下的实际工作量 在实际工作量的情况下对第 i 门课程的奖惩系数 表示按权重分配给第 i 门课程的助教奖赏工资的最初金额 表示按权重分配给第 i 门课程的助教反馈工资的最初金额 表示按权重分配给第 i 门课程的助教工作量工资的最初金额 ω 表示老师给第 i 门课程助教评价所得的等级系数 ω 表示学生给第 i 门课程助教评价所得的等级系数 在评价过程中老师的评价所占权重 在评价过程中学生的评价所占权重 表示第 i 门课程的助教所获得的评价系数 表示修改后的工作量中第 i 门课程的第 j 个环节的工作量 表示第 j 个环节的工资系数 针对工作量 模型一.利用层次分析法确定
为 1，说明模型
，表明该助教受到
惩罚。若实际工作量大于标准工作量则 其中 从而单位助教实际获得的奖惩工资为 针对反馈工资
主讲老师通过给助教的评分问卷（见附录）得到等级系数ω 学生通过给助教的评分问卷（见附录）得到等级系数ω 在给助教的评价中可认为老师占的权重为 设立反馈系数 ω ω ,学生占的权重
从而得到单位助教获得的实际反馈工资为 总工资(S)
目标层 A
助教使用与管理 理
准则层 C
助教能力提升 （C1）
教学质量提高(C2)
学生权利的保障(C3)
方案层 D
奖惩金额（J）
C1
反馈收入 （P）
C2
工作量收入（G）
C3
构造判断矩阵 A—C： A
C1 C2 C3 运用 Matlab（见程序）求得 一致性检验 当阶数为 3 时
1 7 5
1/7 1 1/3 ,w=( 0.0719, 0.6491,0.2790 )
*
.305 8 -.206
. 8 .
相关系数
.414 8 .337
. 8 1.000
**
. 8 1.000
.414 8 .337
.134 8 -.577
.046 8 -.715
*
.625 8 -.206
. 8 .
相关系数
.414 8 1.000
**
. 8 .337
. 8 .337
.414 8 1.000
2
矩阵
回归系数估算值 0 24.8833 89.2498 -7.9601 0.4552 F=1 p<0.0001
回归系数置信区间 [0,0] [0.3,30] [50,100] [-10,-2] [0.03,1.4]
Residual Case Order Plot
600 400 200
Residuals
模型三.建立线性回归模型 改善后的变量表 序 号 课程名称 1 2 3 4 习题课 助教任务 课程研讨 其他任务 批改量 最初工作 量工资
高等数学 （Ⅰ-1） 高等数学 （Ⅱ-1） 高等数学 （Ⅲ-1） 线性代数 （Ⅱ） 概率论与 数理统计 (Ⅰ) 复变函数 与积分变 换 复变函数
9 8 7
2 2 2
0.4444 0.1975 0.1975 0.1111 0.4324 0.2027 0.2027 0.1081 0.4478 0.1940 0.194 0.1045 0.2727 0.2727 0.2727 0.1136 = 0.2703 0.2703 0.2703 0.0811 0.2778 0.2778 0.2778 0.0833 0.2857 0.2857 0.2857 0.1190
上 机 指 导
课 程 研 讨
课 外 阅 读
其 他 任 务 1 1 1 1 1 1 1 1
高等数学（Ⅰ -1） 高等数学（Ⅱ -1） 高等数学（Ⅲ -1） 线性代数 （Ⅱ） 概率论与数理 统计(Ⅰ) 复变函数与积 分变换 复变函数 数学实验
36 32 30 12 10 10 12 8
960 1247 1733 1369 1205 1178 1386 720
1 9 2 1 960 1 8 2 1 1247 1 7 2 1 1733 1 5 1 1 1369 1 3 1 1 1205 1 3 0 1 1178 1 5 0 1 1386 1 2 2 1 720
故 利用 MATlLAB 做线性回归模型得到如下的结果： 回归系数 k0 k1 k2 k3 k4 R =1
0.099655
因为 所以满足一致性检验。 构造判断矩阵 C2—D： C2 J G P 运用 Matlab（见程序）求得 一致性检验 当阶数为 3 时 ，从而 J 1 5 1/3 G 1/5 1 1/7 ,w=(0.1884 , 0.0810 , 0.7306 ) P 3 7 1
因为 所以满足一致性检验。 构造判断矩阵 C3—D： C3 J J G P 运用 Matlab（见程序）求得 一致性检验 当阶数为 3 时 0.0429 ，从而 0.07 1 1/3 1/5
.134 8 -.584
.046 8 -.717
*
.625 8 .416
. 8 .
相关系数
. 8 -.584
.414 8 -.577
.414 8 -.577
. 8 -.584
.128 8 1.000
.045 8 .619
.305 8 .356
. 8 .
相关系数
.134 8 -.715
*
.134 8 -.715
960 1246 1733 1368 1204 1177 1386 720
9 8 7 5 3 3 5 2
0 0 0 0 0 0 0 8
2 2 2 1 1 0 0 2
1 1 1 1 2 2 0 3
注意答疑量与批改量的得来是根据如下的公式： 批改量 答疑量 学生人数 学生人数 批改次数 答疑次数 助教岗位总数 助教岗位总数
*
其他 实验上机指 指导课外阅 课程讨论 习题课次数 1.000
**
项目 说明 .
量 .337
量 .337
导次数 -.584
读次数 -.717
*
研讨次数 .416
相关系数
1.000
. 8 .337
.414 8 1.000
.414 8 1.000
**
. 8 .337
.128 8 -.577
.045 8 -.715
0 -200 -400 -600 -800 1 2 3 4 5 Case Number 6 7 8
残差及其置信区间图 F 检验的 P 值接近于零;K 的置信区间不包含零点，并且区间长度小， 精度一般，由此可知该模型是有效的。 从而单位助教实际获得的工作量工资 针对奖惩 设立奖惩系数 ，若实际工作量小于标准工作量则 ，表明该助教受到奖赏。
G 3 1 1/4 ,w=(0.6267 , 0.0936, 0.2797 )
P 5 4 1
因为 所以满足一致性检验。 各个方案的权重如下： C C1
C2
C3
D 的权重
D J G P 组合一致性检验：
0.0719 0.0972 0.7007 0.2021 0.0372
0.6491 0.1884 0.7306 0.0810
1 1 1
960 1247 1733
867.744 1001.52 1205.2 549.57
5
1
1
1369 867.74
5
3
1
1
1205 851.47
6
3 5
0 0
1
1178 1386
556.80
7
1
8
数学实验
பைடு நூலகம்
2
2
1
720
433.872
最初工作量工资与各个工作环节成正比，则可得：
可令向量 向量 （ ， ， ， ， ）
问题三 作一个优缺点分析就可以了
假设： 1. 助教在基本要求的工作量上不会过度地增加工作 2. 学校只进行一次期中考试 3. 主讲老师、学生对助教工作的评价都比较客观 参考文献 [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年 【01】 姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003 年 【02】 朱建青、张国梁，数学建模方法，郑州大学出版社，2003 年 【03】 衷克定，数据统计分析与实践——SPSS for Windows,高等教育出版社，2005 年 【04】 徐泽水，不确定多属性抉择方法及应用，清华大学出版社，2004 年
利用
对助教工作量的各个相关环节间作相关性分析得到相关系数表
：
批改作业 实验报告 辅导答疑 随堂听课 Spearman 随堂听 的 rho 课 Sig.（双侧） N 批改作 业实验 报告量 Sig.（双侧） N 辅导答 疑量 Sig.（双侧） N 习题课 次数 Sig.（双侧） N 实验上 机指导 次数 Sig.（双侧） N 指导课 外阅读 次数 Sig.（双侧） N 课程讨 相关系数 .045 8 .416 .046 8 -.206 .046 8 -.206 .045 8 .416 .102 8 .356 . 8 .124 .770 8 1.000 相关系数 .128 8 -.717