水平面的匀速圆周运动
高一物理匀速圆周运动试题答案及解析
高一物理匀速圆周运动试题答案及解析1.如图所示，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。
小球的向心力由以下哪个力提供A．重力B．支持力C．重力和支持力的合力D．重力、支持力和摩擦力的合力【答案】C【解析】小球受到重力和支持力，由于小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球的向心力由重力和支持力的合力提供，故C正确．【考点】考查了向心力2.图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（）A．ab两点的线速度大小相等B．ab两点的角速度大小相等C．ac两点的线速度大小相等D．ad两点的向心加速度大小相等【答案】CD【解析】由图可看出，a点的线速度等于c点的线速度，而c点的线速度大于b点的线速度，故a点的线速度大于b点的线速度，选项A错误，C正确；设c点的线速度为v，则a点的角速度为，b点的角速度，选项B错误；a点的向心加速度，d点的向心加速度，选项D正确。
【考点】线速度、角速度及向心加速度。
3.如图所示，A、B是两个摩擦传动轮（不打滑），两轮半径大小关系为RA =2RB，则两轮边缘上的( )A．角速度之比ωA :ωB＝2:1B．周期之比TA :TB＝2:1C．转速之比nA :nB＝2:1D．向心加速度之比aA :aB＝2:1【答案】B【解析】A、B两轮边缘线速度相同，由公式ɷ=得ωA :ωB＝rB:rA=1:2，故选项A错误；由公式T=得，TA :TB＝ωB:ωA=2：1，故B正确；由公式n=知，nA:nB＝TB:TA=1：2，故选项C错误；由加速度公式a=＝知aA :aB＝rB:rA=1:2，故选项D错误。
【考点】匀速圆周运动的公式4.如图所示，一个圆盘绕轴心O在水平面内匀速转动，圆盘半径R= 0.4m，转动角速度=15rad/s。
水平面内的圆周运动
4、图为一皮带传 动装置，右轮半径 为r，a为它边缘上 一点；左侧是一轮 轴，大轮半径为4r， 小轮半径为2r，b点 在小轮上，到小轮 中心的距离为r。c点和d点分别位于小轮和大轮 的边缘上。若传动过程中皮带不打滑，则（ ） A a点和b点的线速度大小相等 B a点和b点的角速度大小相等 C a点和c点的线速度大小相等 D a点和d点的向心加速度大小相等
转台上物体的临界问题：
ω
N
f
A
G
3、如图所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直 径的２倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边 缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距 离等于小轮半径。转动时皮带不打滑，则A、 B、C三点的角速度之比ωA： ωB： ωC=________，向心加速度大小之比aA：aB： 1:２:1 aC=________。 ２:４:1
向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受到的指 向圆心的合力，叫向心力。
注意：
2.特点：方向始终与V垂直，指向圆心。 例 方向时刻发生变化，是变力
V F
O F O
1、向心力通常由重力、弹力、摩 擦力中的某一个力，或者是某个力 的分力，或几个力的合力所提供。
2、向心力是根据力的作用效 果来命名的，受力分析时不要 把向心力当作一个独立的力。
F
V
V
卫星绕地球运动--万有引力
光滑桌面上转动的小球 ---弹力
随圆盘匀速转动的物体
圆锥摆---重力和弹力的合力
-----摩擦练习】 请分析以下圆周运动的向心力的来源。
汽车转弯的向心力由谁提供？
. 冰面上的溜冰运动员所受最大静摩擦力为运动员重 力的K倍，在水平面上沿半径为R的圆周滑行的运动 员，其安全速度为（ ）
高考物理模型101专题讲练：第18讲 水平面内的圆周运动(圆锥摆模型)及其临界问题
第18讲水平面内的圆周运动（圆锥摆模型）及其临界问题1．（江苏高考）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（）A．A的速度比B的大B．A与B的向心加速度大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小一.知识总结1．圆周运动相关物理量3.匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系匀速圆周运动变速圆周运动运动特点线速度的大小不变，角速度、周期和频率都不变，向心加速度的大小不变线速度的大小、方向都变，角速度变，向心加速度的大小、方向都变，周期可能变也可能不变受力特点所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果：①沿半径方向的分力F n，即向心力，它改变速度的方向；②沿切线方向的分力F t，它改变速度的大小运动性质非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向变化)非匀变速曲线运动(加速度大小、方向都变化)二. 圆锥摆模型及其临界问题1.圆锥摆模型的受力特点受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2．运动实例运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯圆锥摆物体在光滑半圆形碗 内做匀速圆周运动3．解题方法(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆心和轨道半径。
(3)应用相关力学规律列方程求解。
4．规律总结 (1)圆锥摆的周期如图摆长为L ，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：mg tan θ＝m 4π2T 2rr ＝L sin θ解得T ＝2πL cos θg ＝2πh g 。
(2)结论①摆高h ＝L cos θ，周期T 越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
②摆线拉力F ＝mgcos θ，圆锥摆转得越快，摆线拉力F 越大。
③摆球的加速度a ＝g tan θ。
高一物理匀速圆周运动试题
高一物理匀速圆周运动试题1.如图所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下作匀速圆周运动。
若小球运动到P点时，拉力F发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa作离心运动B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa作离心运动C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb作离心运动D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc作离心运动【答案】A【解析】在水平面上，细绳的拉力提供m所需的向心力，当拉力消失，物体受力合为零，将沿切线方向做匀速直线运动，故A正确．当拉力减小时，将沿pb轨道做离心运动，故BD错误；当拉力增大时，将沿pc轨道做近心运动，故C错误．【考点】考查了离心现象2.如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑，图中有A、B、C三点，这三点所在处半径rA＞r B =rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的关系是A．aA =aB=aCB.aC＞aA＞aBC.aC＜aA＜aBD.aC=aB＞aA【答案】C【解析】由皮带传动规律知，A、B两点的线速度相同，A、C两点的角速度相同，由得：aA ＜aB，aC＜aA，则aC＜aA＜aB，C正确。
【考点】本题考查皮带传动规律。
3.物体在做匀速圆周运动的过程中，保持不变的物理量为（）A．线速度B．角速度C．向心力D．向心加速度【答案】 B【解析】物体在做匀速圆周运动时，速度方向改变，线速度变，向心力和向心加速度指向圆心，方向时刻改变，所以本题选择B。
【考点】匀速圆周运动4.如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有( ) A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力D．圆盘对B的摩擦力和向心力【答案】B【解析】据题意，A、B两个物体均做匀速转动，对A物体，其转动的向心力由B对A的静摩擦力提供，据相互作用力关系，B物体一定受到A物体给的静摩擦力，其方向向外，在水平方向B 物体还受到圆盘给的指向圆心的摩擦力，故选项B正确。
圆周运动和平抛运动的综合问题专业知识讲座
将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系
为s=6t-2t2，物块飞离桌边缘D点后由P点沿切线落入圆弧轨道。
g=10 m/s2，求：
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22RvDt解得：vD=4
m/s
在桌面上过B点后由s=6t-2t2得初速度v0=ห้องสมุดไป่ตู้ m/s，加速度
a=-4 m/s2 BD间位移为xBD= v2D v02 2.5 m
2a
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(2)若物块能沿轨道到达M点，其速度为vM，由能量守恒定律
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【解析】(1)小球在绳断前瞬间受力如图所示：
由牛顿第二定律得：
竖直方向：FTmcosθ-mg=0
水平方向：FTmsinθ= m
v
2 1
r
由几何关系得：r=Lsinθ
解得：v1= 3 g L
2
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【解析】选A。设伞边缘距地面的高度为h，伞边缘水滴的速
度v＝ωR，水滴下落时间t＝ 2 h ， 水滴平抛的水平位移x＝
g
vt＝ R 2 h ， 如图所示。由几何关系，R2＋x2＝r2，可得：
2
水平面、竖直面内的圆周运动(含解析)
水平面、竖直面内的圆周运动类型一水平面内圆周运动的临界问题知识回望1.运动特点(1)运动轨迹是水平面内的圆.(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动.2.几种常见的临界条件(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力.(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零.(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等.例1(多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.ω＝kg2l是b开始滑动的临界角速度D.当ω＝2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg【答案】AC【解析】小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即F f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：F f a＝mωa2l，当F f a＝kmg时，kmg＝mωa2l，ωa＝kgl；对木块b：F f b＝mωb2·2l，当F f b＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，ωb ＝kg2l，所以b 先达到最大静摩擦力，选项A 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则F f a ＝mω2l ，F f b ＝mω2·2l ，F f a <F f b ，选项B 错误；当ω＝kg2l时，b 刚开始滑动，选项C 正确；ω＝2kg3l<ωa ＝kg l ，a 没有滑动，则F f a ＝mω2l ＝23kmg ，选项D 错误. 故选AC 。
变式训练1 (汽车在水平地面上转弯)(多选)如图所示为赛车场的一个水平“U ”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内、外半径分别为r 和2r .一辆质量为m 的赛车通过AB 线经弯道到达A ′B ′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O ′为圆心的半圆，OO ′＝r .赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max ，选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( )A.选择路线①，赛车经过的路程最短B.选择路线②，赛车的速率最小C.选择路线③，赛车所用时间最短D.①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等 【答案】ACD【解析】由题图及几何关系知：路线①的路程为s 1＝2r ＋πr ，路线②的路程为s 2＝2r ＋2πr ，路线③的路程为s 3＝2πr ，A 正确；赛车以不打滑的最大速率通过弯道，有F max ＝ma n ＝m v 2R ，速度v ＝F max Rm，即半径越大，速率越大，选择路线①赛车的速率最小，B 错误，D 正确；根据t ＝sv ，代入数据解得，选择路线③，赛车所用时间最短，C 正确. 故选ACD 。
匀速圆周运动公式
匀速圆周运动公式
匀速圆周运动是指物体以恒定的速度、恒定的方向在水平面上沿着圆周运动的运动，其运动规律可用牛顿第二定律及矢量运动定律来解释。
根据矢量运动定律可以得到匀速圆周运动的速度公式：
v=rω
其中，v为物体的速度，r为物体运动的圆周半径，ω为物体的角速度。
角速度的定义为：
ω=2π/T
其中，T为物体在1周（即360°）内所用的时间。
根据以上定义，可以得到匀速圆周运动的速度公式：
v=r(2π/T)
这个公式表明，圆周运动的速度与物体所在圆周的半径和物体在1周（即360°）内所用的时间有关。
若物体所在圆周的半径为r，在1周（即360°）内所用的时间为T，则物体的速度为v=r(2π/T)
例如：一个物体在半径为5m的圆周上运动，在1周（即360°）内所用的时间为2s，那么该物体的速度为：v=5(2π/2s)=15πm/s。
匀速圆周运动的速度公式简单明了，只要知道物体所在圆周的半径和物体在1周（即360°）内所用的时间，就可以求出物体的速度。
例如，在地球表面上，若一个物体的圆周半径为6378km，在1周内所用的时间为24小时，则该物体的速度为：v=6378km (2π/24h)=465.2km/h。
总之，匀速圆周运动的物理公式为：v=r(2π/T)，其中，v为物体的速度，r为物体运动的圆周半径，T为物体在1周（即360°）内所用的时间。
知道了这个公式，我们就可以计算出物体在圆周上的速度。
匀速圆周运动方程公式
匀速圆周运动方程公式
匀速圆周运动的基本方程公式如下：
1. 线速度公式：v = Δs/Δt = 2πr/T = ωr = 2πrn。
其中，s代表弧长，t代表时间，r代表半径，n代表转速。
2. 角速度公式：ω = Δθ/Δt = 2π/T = 2πn。
其中，θ表示角度或者弧度。
3. 周期公式：T = 2πr/v = 2π/ω = 1/n。
4. 转速公式：n = 1/T = v/2πr = ω/2π。
5. 向心力公式：Fn = mrω^2 = mv^2/r = mr4π^2/T^2 = mr4π^2n^2。
6. 向心加速度公式：an = rω^2 = v^2/r = r4π^2/T^2 = r4π^2n^2。
7. 过最高点时的线速度条件：vmin = √gr。
8. 过最高点时对杆的压力最小值：fmin = mg - （有杆支撑）。
9. 过最低点时的对杆的拉力最大值：fmax = mg + （有杆）。
这些公式可以用于描述匀速圆周运动的各种物理量之间的关系，包括线速度、角速度、周期、转速、向心力和向心加速度等。
第4章 第3讲 圆周运动—2021届高中物理一轮复习讲义(机构)
第四章曲线运动第3讲圆周运动【教学目标】1、理解线速度、角速度和周期的概念；2、理解向心加速度和向心力以及和各物理量间的关系；3、会用牛顿第二定律求解圆周运动问题，并能灵活解决圆周运动中的有关临界问题4、知道离心现象及发生离心现象的条件。
【重、难点】1、会用牛顿第二定律求解圆周运动问题；2、临界问题【知识梳理】1（1）匀速圆周运动是匀变速曲线运动．（）（2）物体做匀速圆周运动时，其角速度是不变的．（）（3）物体做匀速圆周运动时，其合外力是不变的．（）（4）匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比．（）（5）做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比．( )（6）比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢，看周期或角速度．（）（7）匀速圆周运动的向心力是产生向心加速度的原因．（）（8）做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力．（）（9）做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力时，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用．（）（10）做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出．（）（11）做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周的半径方向飞出．（）（12）摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故．（）（13）在绝对光滑的水平路面上汽车可以转弯．（）（14）火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大．（）（15）飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态．（）典例精析考点一描述圆周运动的物理量1．圆周运动各物理量间的关系及其理解2．常见的三种传动方式及特点（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即23v A ＝v B 。
（2）摩擦传动：如图丙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即 v A ＝v B 。
水平面内的圆周运动
水平面内圆周运动的两种模型一、两种模型模型Ⅰ圆台转动类小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图1所示．物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力(设最大静摩擦力等于摩擦力)提供小物块做圆周运动所需的向心力．水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”．图1临界条件圆台转动的最大角速度ωmax=，当ω<ωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ω>ωmax时，小物块脱离圆台轨道．模型Ⅱ火车拐弯类如图2 所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力．圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”．图2临界条件若v=，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v>，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v>，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F之差提供火车拐弯时所需的向心力．二、两种模型的应用例1 如图3所示，半径为R的洗衣筒，绕竖直中心轴00'转动，小橡皮块P靠在圆筒内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ.现要使小橡皮块P恰好不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为多大?(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)图3 图4【解析】此题属于“圆台转动类”，当小橡皮块P绕轴00'做匀速圆周运动时，小橡皮块P受到重力G、静摩擦力f和支持力N的作用，如图4所示.其中“恰好”是隐含条件，即重力与最大静摩擦力平衡f max=G，μN=mg列出圆周运动方程N=mω2min R联立解得ωmin=例2 在半径为R的半球形碗的光滑内面，恰好有一质量为m的小球在距碗底高为H处与碗保持相对静止，如图5所示．则碗必以多大的角速度绕竖直轴在水平面内匀速转动?图5【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小球做匀速圆周运动时，其受到重力G和支持力F的作用，如图5所示.隐含条件一是小球与碗具有相同的角速度ω，隐合条件二是小球做匀速圆周运动的半径r=Rcosθ．列出圆周运动方程Fcosθ=mω2Rcosθ竖直方向上由平衡条件有Fsinθ-mg=0其中 sinθ=联立解得ω=例3 长度为2l的细绳，两端分别固定在一根竖直棒上相距为l的A、B两点，一质量为m的光滑小圆环套在细绳上，如图6所示．则竖直棒以多大角速度匀速转动时，小圆环恰好与A点在同一水平面内?图6【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小圆环做匀速圆周运动时，小圆环受到重力G、绳OB的拉力F和绳OA的拉力F的作用，如图7所示图7隐含条件一是小圆环与棒具有相同角速度ω，隐含条件二是小圆环光滑，两侧细绳拉力大小相等，隐含条件三是小圆环做匀速圆周运动的圆心为A点、半径为r(OA)．列出圆周运动方程 F+Fcosθ=mω2r由平衡条件有 Fsinθ-mg=0其中 cosθ=，sinθ=联立解得ω=小试身手1、如图8所示，质量均为m的A、B两物体用细绳悬着，跨过固定在圆盘中央光滑的定滑轮．物体A与圆盘问的动摩擦因数为μ，离圆盘中心距离R．为使物体A与圆盘保持相对静止，则圆盘角速度ω的取值范围为多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）图82、如图9所示，长度分别为l1和l2两细绳OA、OB，一端系在竖直杆，另一端系上一质量为m的小球，两细绳OA和OB同时拉直时，与竖直杆的夹角分别为30°、45°.则杆以多大角速度转动时，两细绳同时且始终拉直？图9。
高中物理基本模型之：水平面内的圆周运动模型
高中物理《水平面内的圆周运动模型》专题训练与解析〖模型一圆盘模型〗例1．如图所示，一水平转盘可绕中心轴匀速转动，A 、B 、C 三个物块的质量关系是m A =2m B =3m C ，放置于水平转台上，它们到转轴的距离之间的大小关系是B C A r r r 21==，它们与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的μ倍.则当转盘的转速逐渐增大时()A ．最先发生离心运动的是A 物块B ．最先发生离心运动的是B 物块C ．最先发生离心运动的是C 物块D ．B 、C 物块同时发生离心运动【答案】B【解析】由题意，不妨设m m m m m m C B A ===,2,3和R r r r B C A ===21，则由以上分析知：物块B 发生滑动所需的角速度最小，因此物块B 先发生离心运动例2．(多选)如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g ．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω=kg2l是b 开始滑动的临界角速度D．当ω=2kg3l时，a所受摩擦力的大小为kmg例4．(多选)如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，例5．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2.则ω的最大值是() A．5rad/sB．3rad/s所以开始时物块受到的摩擦力必定有沿轨迹切当角速度为ω2时，mω22r ＝1×42×0.25N ＝4N>μ1mg ，即绳子产生了拉力因此，当4rad/s<ω≤6rad/s 时，F ＝mω2r －μ1mg ＝0.25ω2－1综上所述，作出的F －ω2图象如图所示：〖模型二圆锥摆模型〗例8．(多选)如图所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球，给小球一个初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ．下列说法中正确的是()A ．小球受重力、绳的拉力和向心力作用C ．θ越大，小球运动的速度越大B ．小球做圆周运动的半径为L sin θD ．θ越大，小球运动的周期越大【答案】BC【解析】向心力是效果力，不能说物体受到向心力的作用①对小球受力分析如图所示：θθtan tan 2n gr v rv m mg F =⇒==由几何关系，得r=L sin θ解得θθtan sin gL v =，因此θ↑，θsin ↑，θtan ↑，v ↑②又θππθsin 22tan 22L T m r T m mg ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 解得gL T θπcos 2=，因此θ↑，θcos ↓，T ↓③θmgFnF例9．如图所示，有一陀螺其下部是截面为等腰直角三角形的圆锥体、上部是高为h 的圆柱体，其上表面半径为r ，转动角速度为ω.现让旋转的陀螺以某水平速度从距水平地面高为H 的光滑桌面上水平飞出后恰不与桌子边缘发生碰撞，陀螺从桌面水平飞出时，陀螺上各点中相对桌面的最大速度为(已知运动中其转动轴一直保持竖直，空气阻力不计)()A ．gr2B ．gr2＋ω2r 2C ．gr2＋ωr D ．r r h g⋅+)(2＋ωr 【答案】C【解析】设陀螺下部分高为h ′＝r ，下落h ′所用时间为t ，则h ′＝12gt 2陀螺水平飞出的速度为v ，则r ＝vt ，解得v ＝gr 2陀螺自转的线速度为v ′＝ωr ，陀螺上的点当转动的线速度与陀螺的水平分速度的方向相同时，对应的速度最大，所以最大速度v ＝ωr ＋gr 2例10．(多选)如图所示，两根细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点．设法让两个小球均在同一水平面上做匀速圆周运动．已知L 1跟竖直方向的夹角为60°，L 2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是()A ．细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为3∶1B ．小球m 1和m 2的角速度大小之比为3∶1C ．小球m 1和m 2的向心力大小之比为3∶1D ．小球m 1和m 2的线速度大小之比为33∶1【答案】AC【解析】对球受力分析，得mg ＝F T1cos 60°，mg ＝F T2cos 30°，解得F T1＝2mg ，F T2＝233mg 所以细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为3∶1①根据mg tan θ＝mω2h tan θ，可得小球m 1和m 2的角速度大小之比为1∶1②小球m 1和m 2的向心力大小之比为mg tan 60°∶mg tan 30°＝3∶1③根据mg tan θ＝mv 2h tan θ，可得小球m 1和m 2的线速度大小之比为tan 60°∶tan 30°＝3∶1④例11．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．【答案】θθωsin tan L r g +=【解析】对座椅受力分析知：R m mg 2tan ωθ=由几何关系，得θsin L r R +=，解得θθωsin tan L r g +=例12．如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P ，细线的上端固定在金属块Q 上，Q 放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P ′位置)，两次金属块Q 都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是()A ．细线所受的拉力变小B ．小球P 运动的角速度变小C ．Q 受到桌面的静摩擦力变大D ．Q 受到桌面的支持力变大【答案】C【解析】设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为F T ，细线的长度为L ，则P 球做匀速圆周运动时，受力分析如图所示：F T ＝mgcos θ，mg tan θ＝mω2L sin θ解得ω＝g L cos θ，T ＝2πω＝2πL cos θg使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，则细线拉力F T 增大，角速度增大，周期T 减小①对Q ，由平衡条件知，Q 受到桌面的静摩擦力变大②金属块Q 保持在桌面上静止，根据平衡条件知，Q 受到桌面的支持力等于重力，所以桌面的支持力保持不变③例13．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()A．a绳张力不可能为零B．a绳的张力随角速度的增大而增大。
专题24 圆周运动基本物理量、水平面内的圆周运动、离心现象-2025版高三物理一轮复习多维度导学
2025届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题24圆周运动基本物理量、水平面内的圆周运动、离心现象导练目标导练内容目标1圆周运动基本物理量目标2水平面内的圆周运动（圆锥摆、圆筒、转弯模型和圆盘临界模型）目标3离心现象【知识导学与典例导练】一、圆周运动基本物理量1．匀速圆周运动各物理量间的关系2．三种传动方式及特点(1)皮带传动（甲乙）：皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等。
(2)齿轮传动（丙）：两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等。
(3)同轴传动（丁）：两轮固定在同一转轴上转动时，两轮转动的角速度大小相等。
3.向心力：（1）来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
（2）公式：F n＝ma n＝m v2r＝mω2r＝mr·4π2T2＝mr·4π2f2＝mωv。
【例1】如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦力作用，B轮也随之无滑动地转动起来．a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的（）A．线速度大小之比为3∶2∶2B．角速度之比为3∶3∶2C．转速之比为2∶3∶2D．向心加速度大小之比为9∶6∶4【答案】D【详解】A．A、B靠摩擦传动，则边缘上a、b两点的线速度大小相等，即v a∶v b＝1∶1 BC同轴转动角速度相等，根据v=ωR又R B∶R C＝3∶2可得v b∶v c＝3∶2解得线速度大小之比为v a ∶v b ∶v c =3∶3∶2故A 错误；BC ．B 、C 同轴转动，则边缘上b 、c 两点的角速度相等，即ωb ＝ωca 、b 两点的线速度大小相等，根据v =ωR 依题意，有R B ∶R A ＝3∶2解得ωb ：ωa =2:3解得角速度之比为ωa ：ωb ：ωc =3∶2∶2又ω＝2πn 所以转速之比n a ：n b ：n c =3∶2∶2故BC 错误；D ．对a 、b 两点，由2n v a R=解得a a ∶a b ＝3∶2对b 、c 两点，由a n ＝ω2R 解得a b ∶a c ＝3∶2可得a a ∶ab ∶ac ＝9∶6∶4故D 正确。
水平面内的圆周运动实例分析总结
水平面内的圆周运动实例分析总结水平面内的圆周运动，顾名思义即为物体在水平面内所作的圆周运动。
在生活中这样的例子很多，其运动的分析在高中物理中也是比较重要的，对学生来说也存在着一定的难度。
其实做这方面的习题时，关键是找出是什么力来提供的向心力，将受力分析所得的实际力与理论公式中的向心力联立，就可以得到所需要求的物理量。
现将常见的水平面内的圆周运动归结如下：一、水平面内汽车转弯、物体随转盘转动：某个力提供向心力在上述两个问题中，物体都处于水平接触面上，竖直方向的支持力和重力两者互相抵消，而物体作圆周运动时都有着被向外甩出的趋势，所以向心力都是由静摩擦力提供，即f静=Fn=。
从公式还可以看出，r一定时，v越大，所需的Fn 就会越大，当所需的Fn>Fmax时,物体将不能再作圆周运动。
临界Fmax=≈F动=μmg，所以v临=μgr。
当v>v临，物体将被甩出。
二、火车转弯、漏斗内物体的圆周运动、圆锥摆类，向心力由几个力的合力提供虽然这几种情况描述的物体运动形式不同，但从受力分析上看非常相似，都是除受到竖直向下的重力之外，再受到一个倾斜的支持力或拉力。
因为物体在水平面上作圆周运动需要水平方向的向心力，所以支持力或拉力与重力的合成后的合力提供向心力，向心力大小可以通过三角形三边关系解得。
练习：1.一辆质量为2t的汽车正在水平路面上行驶，要经过一个水平转弯，已知弯道的转弯半径为20米，汽车轮子与路面的动摩擦因数为0.2，若汽车最大静摩擦力与动摩擦力相等，则汽车行驶的最大速度为（）。
A.２10m/sB.2m/sC.4m/sD.22m/s2.如图所示，有A、B两个完全相同的小球，在同一光滑漏斗中作匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（）。
A、两物体的线速度的大小相同B、两物体的角速度相同C、两物体的向心力的大小相同D、两物体的向心加速度大小相同3.一列火车正在行驶，发现前方有一转弯，已知在转弯处的内外轨的高度差为h,内外轨道间距为L，弯道半径为r，则火车要想通过此弯道时不受内外轨道的挤压，应以速度_____转弯。
水平面内的圆周运动(解析版)
突破16 水平面内的圆周运动水平面内的圆周运动是指圆周运动的圆形轨迹在水平面内，出题多以生活中常见实例或水平圆周运动模型为例分析向心力及临界条件问题。
1. 水平面内圆周运动的“摩擦力模型”是指依靠静摩擦力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。
2. 水平面内圆周运动的“弹力模型”是指依靠弹力提供物体在水平面内做圆周运动的向心力。
3. 水平面内圆周运动的“圆锥摆模型”是指依靠弹力（细线拉力或倾斜面弹力）和物体重力的合力使物体在水平面内做匀速圆周运动。
解题技巧水平面内圆周运动临界问题的分析技巧在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)，通常对应着临界状态的出现。
这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
【典例1】铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ(如图所示)，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度小于gR tan θ，则( )A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压；B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压；C ．这时铁轨对火车的支持力等于mg /cos θ；D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg /cos θ. 【答案】： A【典例2】 如图所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球A 和B 。
小球A 和B 的质量之比m A m B ＝12。
当小球A 在水平面内做匀速圆周运动时，小球A 到管口的细绳长为l ，此时小球B 恰好处于平衡状态。
钢管内径的粗细不计，重力加速度为g 。
求：(1)拴着小球A 的细绳与竖直方向的夹角θ；(2)小球A 转动的周期。
【答案】 (1)60° (2)π 2lg【典例3】 如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l .木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )A. b 一定比a 先开始滑动B. a 、b 所受的摩擦力始终相等C. ω＝ kg2l是b 开始滑动的临界角速度 D. 当ω＝2kg3l时，a 所受摩擦力的大小为kmg 【答案】 AC【解析】 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f ＝mω2R ，由于小木块b 的轨道半径大于小木块a 的轨道半径，故小木块b 做圆周运动需要的向心力较大，B 项错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；当b 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω2b ·2l ，可得ωb ＝kg2l ，C 项正确；当a 开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg ＝mω2a l ，可得ωa ＝ kgl，而转盘的角速度2kg 3l < kgl，小木块a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f ＝mω2l ＝23kmg ，D 项错误。
水平(竖直)面内的匀速圆周运动
FN
F
F
h
L
mg
如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上 有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做 匀速圆周运动，以下说法正确的是： ( A ) A N
A . vA > vB
B . ωA > ωB C . aA > aB D . 压力NA > NB 解: B
θ
mg θθ
受力如图示 v2 mgctg m m 2 r ma 恒 量 N cosθ r ∴ vA > vB ωA < ωB aA = aB NA = NB
mg O 绳 N mg O 杆 管道
mg O 轨道 N mg O
mg O 绳
mg O 轨道
例题1：绳子系着装有水的木桶，在竖 直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg， 绳子长度为l=60cm，求：
A、最高点水不流出的最小速度？ B、设水在最高点速度为V=3m/s，求水对 桶底的压力？
一、无支撑小球运动情况
求：1、 当V gl / 6时， 绳上拉力是多大 ？
2、 当V 3gl / 2时， 绳上拉力又是多大 ？
O
l
m
解析：选ABC. 由an=ω2r知A项对；由Fn=mω2r及mA＞mB知B项对；由
μmg=mω2r知，C项对D项错.
o
m
o
M
m
如图所示，质量相等的小球A、B分别固定 在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水 平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段 及AB段对球的拉力之比？
解析: A、B小球受力如图所示，在竖直方向上A与B处于平衡状态．在水平 方向上根据匀速圆周运动规律：TA-TB=mω2OA，TB=mω2OB， OB=2OA 解之得：TA∶TB = 3∶2
水平面内圆周运动的临界问题和竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型
因此
OB
绳的拉力范围为
33mg～2
3 3 mg
AB 绳的拉力范围为 0～ 33mg，B 项正确。
答案 B
转 原题
Ø3.规律方法
反思总结 解答水平面内匀速圆周运动临界问题的一般思路
1．判断临界状态：认真审题，找出临界状态． 2．确定临界条件：分析该状态下物体的受力特点. 3．选择物理规律：临界状态是一个“分水岭”，“岭”的
平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管， 与质量也为m的小球相连，木块与转 盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍(μ ＝0.2)，当转盘以角速度ω＝4 rad/s匀
速转动时，要保持木块与转盘相对静 止，木块转动半径的范围是多少？(g 取10 m/s2)
扩展变式
【盘审题备转用动123...当当若变的木木使式角块 块木速】离 恰块度对圆 好半范于心 不径围上的向再是题距里增多，离滑大少若很动,木？木小时块块时,所木,转受块随动各受圆的力力盘情情转半况况动径又如,保木会何块持如?会r遵=何向0从变.圆5什m化心么,？则滑规转动律？？
F合=F向
F合=F向
Ffm
F拉=mg
Ffm F拉=mg
rmin
rmax
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ返 原题
第四章 曲线运动 万有引力与航天
物理建模： 竖直平面内圆周运动的 “轻绳、轻杆”模型
Ø 1.模型特点 Ø 2.典例剖析 Ø 3.规律方法 Ø 4.跟踪训练 Ø 5.真题演练
Ø1.模型特点
物理建模 “竖直平面内圆周运动的绳、杆”模型
牛顿第二定律得 μmg＝mω21rB，rB＝2L，解得此时转台的角速度 ω1
＝
μrBg＝
μg 2L
(2)当物块 A 刚要开始滑动时，A、B 受到的静摩擦力都达到最大值， 设此时细线上的张力为 F，根据牛顿第二定律 对 A，有 μmg－F＝mω22rA，rA＝L 对 B，有 F＋μmg＝mω22rB，rB＝2L
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水平面内匀速圆周运动
一：向心力来源分析
请分析以下圆周运动的向心力来源（作受力图说明）。
二、实例分类分析
（1）、水平圆盘问题
2.质量相等的小球A 、B 分别固定在轻杆的中点和端点，当杆在光滑的水平面上绕O 点匀速转动时，求杆的OA 段和AB 段对小球的拉力之比。
3．水平圆盘绕竖直中心轴匀速转动，一小木块放在圆盘上随盘一起转动，且木块相对于圆盘保持静止，如图所示．以下各说法中正确的是（ ）
A ．木块做匀速圆周运动，运动中所受摩擦力方向与其线速度方向相反
B ．木块质量越大，就越不容易在圆盘上滑动
C ．木块到转轴的距离越大，就越容易在盘上滑动
D ．圆盘转动的周期越小，木块就越容易在盘上滑动 4．如图所示，半径为 R 的圆筒绕竖直中心轴 OO ′ 转动，小物块 A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为 μ，现要使 A 不下落，则圆筒转动的角速度 ω 至少为 （ ）
A ．R g μ
B ．g μ
C ．R g
D ．R g μ
5．如图所示，OO ′为竖直轴，MN 为固定在OO ′上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A 、B 套在水平杆上，AC
和BC 为抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴OO ′上．当绳拉直时，A 、B 两球转动半径之比恒为2∶1，当转轴的角速度逐渐增大时 （ ） A ．AC 先断 B ．BC 先断
C ．两线同时断
D ．不能确定哪根线先断
8. 如图7所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物
体，M 的中与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。
现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么
范围m 会处于静止状态？（g ＝10m ／s 2）
光滑的水平面
图 7
（2、）圆锥摆问题
11、长为L 的细线悬挂质量为M
的小球，小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为θ，求
(1)小球的角速度。
(2)小球对细线的拉力大小。
12.一个光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，质量为m 运动，圆锥母线与轴线夹角为θ，小球到锥面顶点的高为h ，
（1）小球的向心加速度为多少？ （2）对圆锥面的压力为多大？
（3）小球的角速度和线速度各为多少？
思考：小球的向心加速度与小球质量有关吗？与小球的高度有关吗？
13．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和小球B 紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是
A ．A 球的线速度必定小于
B 球的线速度
B ．A 球的角速度必定大于B 球的角速度
C ．A 球运动的周期必定大于B 球的周期
D ．A 球对筒壁的压力必定大于B 球对筒壁的压力
14． 如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
（附加题）15．如图所示，把一个质量m = 1 kg 的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A 、B 两个固定点相连接，绳a 、b 长都是1 m ，杆AB 长度是1.6 m ，直杆和球旋转的角速度等于多少时，b 绳上才有张力？
θ ·
（附加题）16.如图所示，质量为m=0.1kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长
L A =2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ
1
=30°，θ
2
=45°，g=10m/s2．求：
（1）当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A、B两绳始终张紧？
（2）当ω=3rad/s时，A、B两绳的拉力分别为多大？
答案： 2.3：2 ; 3.C ; 4.D;
5. ．A；对A球进行受力分析，A球受重力、支持力、拉力F
A
三个力作用，拉力的分力提供A球做圆周运动的向心力，
得：水平方向F
A cosα＝mr
A
ω2，同理，对B球：F
B
cosβ＝mr
B
ω2，由几何关系，可知cosα＝
r
A
AC
，cosβ＝
r
B
BC
. 所以：
F A F B ＝
r
A
cosβ
r
B
cosα
＝
r
A
r
B
BC
r
B
r
A
AC
＝
AC
BC
. 由于AC>BC，所以F
A
>F
B
，即绳AC先断．
8.解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。
而M与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静
摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。
此时，对M运用牛顿第二定律。
有 T－f
m ＝Mω
1
2r 且 T＝mg
解得ω
1
＝2.9 rad／s
9．解：水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的的绳子刚好被拉直（绳子的张力为零），此时向心力完全来自于摩擦力，所以，摩擦力 = μmg
1、F = mrω1² = μmg/2 ＜μmg
证明此时绳子完全松弛，T1=0，向心力靠静摩擦力就足以，此时静摩擦力 = μmg/2
2、F = mrω2² = 3μmg/2 ＞μmg
T2 + μmg = F
T2 = μmg/2
13.D. 14.【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。
由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。
【解】对小球进行受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有
T〃sinθ-N〃cosθ=mω2r ①
y方向上应有
N〃sinθ+T〃cosθ-G=0 ②
∵r = L〃sinθ③
由①、②、③式可得
T = mgcosθ+mω2Lsinθ
当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）
则有Tsinθ=mω2r ④
T〃cosθ-G=0 ⑤
15．．如图所示，a 、b 两绳都伸直时，已知a 、b 绳长均为1 m ，即 AD ＝BD ＝1 m ，AO ＝1
2
AB ＝0.8 m ；
△AOD 中，cos θ＝AO
AD
＝0.8
1＝0.8，sin θ＝0.6，θ＝37°，小球做圆周运动的轨道半径 r ＝OD ＝
AD 〃sin θ＝1×0.6 m ＝0.6 m.，b 绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg 与a 绳拉力F Ta 的合力F 为向心力，其受力分析如图所示，由图可知小球的向心力为 F ＝mgtan θ，根据牛顿第二定律得 F ＝mgtan θ＝mr 〃ω2 解得直杆和球的角速度为 ω＝
gtan θ
r
＝10×tan37°
0.6
rad/s ≈3.5 rad/s 。
当直杆和球的角速度ω＞3.5 rad/s
时，b 中才有张力
16. [解析]（1）当B 绳恰好拉直，但T B =0时，细杆的转动角速度为ω1， 有： T A cos30°=mg
21030sin 30sin A A L m T ω=
解得：ω1=2．4 rad/s
当A 绳恰好拉直，但T A =0时，细杆的转动角速度为ω2，
有：
mg T B =0
45cos 022030sin 45sin A B L m T ω=
解得：ω2=3.15（rad/s ）
要使两绳都拉紧2.4 rad/s ≤ω≤3.15 rad/s （2）当ω=3 rad/s 时，两绳都紧．
︒=︒+︒30sin 45sin 30sin 2A B A L m T T ω
mg T T B A =︒+︒45cos 30cos T A =0.27 N ， T B =1.09 N
[点评]分析两个极限（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围”题目的基本思路和方法．。