2018-2019学年九年级数学寒假先修作业--第一讲 二次函数的认识与待定系数法
2019年初三数学寒假讲练《二次函数》(含答案)
《二次函数》(满分：100分 时间：90分钟)一、选择题(每小题2分，共20分)1．二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( )A ．(－1,8)；B ．(1,8)；C ．(－1,2)；D ．(1，－4)2．二次函数y ＝kx 2＋2x ＋1(k ＜0)的图象可能是( )3．二次函数y ＝x 2＋2x ＋3自变量x 的取值范围为( )A ．x ＞0；B ．x 为一切实数；C ．y ＞2；D ．y 为一切实数4．抛物线y ＝2x 2－3的顶点在( )A ．第一象限；B ．第二象限；C ．x 轴上；D ．y 轴上5．已知a ＜－1，且点(a －1，y 1)，(a ，y 2)，(a ＋1，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则( )A ．y 1＜y 2＜y 3；B ．y 1＜y 3＜y 2；C ．y 3＜y 2＜y 1；D ．y 2＜y 1＜y 36．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝x 2－3x ＋5，则( )A ．b ＝3，c ＝7；B ．b ＝6，c ＝3；C ．b ＝－9，c ＝－5；D ．b ＝－9，c ＝217．关于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象有下列命题：①当c ＝0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0，且函数的图象开口向下时，ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个实数根；③函数图象最高点的纵坐标是4ac －b 24a；④当b ＝0时，函数图象关于y 轴对称．其中正确的个数是( ) A ．1；B ．2；C ．3；D ．48．当－4≤x ≤2时，函数y ＝－(x ＋3)2＋2的取值范围为( )A ．－23≤y ≤1；B ．－23≤y ≤2；C ．－7≤y ≤1；D ．－34≤y ≤29．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋m ，则m 的值是( )A ．1或7；B ．－1或7；C ．1或－7；D ．－1或－710．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)过A (4,4)、B (2，m )两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d ，满足0＜d ≤1，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤2或m ≥3；B ．m ≤3或m ≥4；C ．2＜m ＜3；D ．3＜m ＜4二、填空题(每小题3分，共24分)11．用配方法把二次函数y ＝x 2－6x ＋7化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式为__ __.12．二次函数y ＝x 2－2x 的图象的对称轴是直线__ _ .13．如图是二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象，当－1＜x ＜a 时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是 .（第13题）（第14题）14．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为 . 15．点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)在二次函数y ＝x 2－4x －1的图象上，当1＜x 1＜2,3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系是y 1_ __y 2.(用“＞”“＜”或“＝”填空)16．抛物线的顶点为P (－2,2)，与y 轴交于点A (0,3)，若平移该抛物线使其顶点移动到点P 1(2，－2)，那么得到的新抛物线的解析式是 .17．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__ __．（第17题）（第18题）18．已知二次函数y ＝(x －2a )2＋(a －1)(a 为常数)，当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．当a ＝－1，a ＝0，a ＝1，a ＝2时，二次函数的图象如图所示．它们的顶点在一条直线上，则这条直线的解析式为 .三、解答题(共56分)19．(8分)已知二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋6.(1)求出该函数图象的顶点坐标，图象与x 轴的交点坐标；(2)当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？(3)当x 在什么范围内时，y ≤6?20.(8分)如图，二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2,0)、B (0，－6)两点． (1)求该二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积．第20题21．(9分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过O (0,0)、M (1,1)和N (n,0)(n ≠0)三点．(1)若该二次函数图象顶点恰为点M ，写出此时n 的值及y 的最大值；(2)当n ＝－2时，求该二次函数的解析式，并判断此时y 是否有最大值；(3)由(1)(2)可知，n 的取值变化会影响函数图象的开口方向，请你求出n 满足什么条件时，y 有最小值．22．(9分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交y 轴于点C (0,4)，对称轴x ＝2与x 轴交于点D ，顶点为M ，且DM ＝OC ＋OD .(1)求抛物线的解析式；(2)设点P (x ，y )是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD 的面积为S ，当x 取多少时，S 的值最大？最大是多少？第22题23．(10分)某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？24．(12分)如图，点A(－2,0)、B(4,0)、C(3,3)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，点D在y轴上，且DC⊥BC，∠BCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E、F.(1)求抛物线的解析式；(2)CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，说明理由；(3)若△FDC是等腰三角形，求点F的坐标．第24题参考答案1—10．ACBDC ACBDB ；11．y ＝(x －3)2－2；12．x ＝1；13．－1<a ≤1；14．⎝⎛⎭⎫2，32；15．_< ；16．y ＝14x 2－x －1；17．0.5米；18．y ＝12x －1； 19．解：(1)∵y ＝－2x 2＋4x ＋6＝－2(x －1)2＋8，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1,8)．令y ＝0，则－2x 2＋4x ＋6＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.∴图象与x 轴交点坐标是(－1,0)，(3,0)．(2)∵抛物线对称轴为直线x ＝1，开口向下，∴当x ≤1时，y 随x 的增大而增大．(3)令y ＝－2x 2＋4x ＋6＝6，解得x ＝0或x ＝2.∵抛物线开口向下，∴当x ≤0或x ≥2时，y ≤6.20．解：(1)把(2,0)，(0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6.解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝－6.∴二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －6. (2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×⎝⎛⎭⎫－12＝4，∴点C 的坐标为(4,0)，∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12AC ·OB ＝12×2×6＝6. 21．解：(1)由二次函数图象的对称性可知n ＝2，y 的最大值为 1. (2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝0，a ＋b ＋c ＝1，4a －2b ＋c ＝0.解得⎩⎨⎧ a ＝13，b ＝23，c ＝0.∴二次函数的解析式为y ＝13x 2＋23x .∵13＞0，∴此时y 没有最大值． (3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，an 2＋bn ＝0.整理，得an 2＋(1－a )n ＝0.∵n ≠0，∴an ＋1－a ＝0，故(1－n )a ＝1，且n ≠1.若y 有最小值，则需a >0，即11－n>0，即n ＜1.∴当n ＜1且n ≠0时，y 有最小值．22．解：(1)∵OC ＝4，OD ＝2，∴DM ＝6，∴点M (2,6)．设y ＝a (x －2)2＋6，将(0,4)代入，解得a ＝－12，∴该抛物线解析式为y ＝－12(x －2)2＋6＝－12x 2＋2x ＋4. (2)易知点P 在抛物线的对称轴右边．设点P ⎝⎛⎭⎫x ，－12x 2＋2x ＋4.过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，则PE ＝－12x 2＋2x ＋4，DE ＝x －2，S ＝12x ·⎝⎛⎭⎫－12x 2＋2x ＋4＋4－12×2×4－12(x －2)·⎝⎛⎭⎫－12x 2＋2x ＋4＝－12x 2＋4x ＝－12(x －4)2＋8，∴当x ＝4时，S 的值最大，最大为8. 23．解：(1)当50≤x ≤80时，y ＝210－(x －50)，即y ＝260－x ；当80＜x ＜140时，y ＝210－(80－50)－3(x －80)＝420－3x .故⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝260－x (50≤x ≤80)，y ＝420－3x (80<x <140).(2)⎩⎪⎨⎪⎧W ＝－x 2＋300x －10 400(50≤x ≤80)，W ＝－3x 2＋540x －16 800(80<x <140). (3)当50≤x ≤80时，W ＝－x 2＋300x －10 400＝－(x －150)2＋12 100.当x ＝80时有最大值，最大值为7200；当80＜x ＜140时，W ＝－3x 2＋540x －16 800＝－3(x －90)2＋7500.当x ＝90时有最大值，最大值为7500.故售价定为90元，每个月可获得最大利润，最大利润为7500元．24．解：(1)设抛物线解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)．将点C 坐标(3,3)代入，得a (3＋2)(3－4)＝3，解得a ＝－35.故抛物线解析式是y ＝－35(x ＋2)(x －4)． (2)能．由C 、B 两点坐标易求得直线CB 的解析式为y ＝－3x ＋12.∵CD ⊥CB ，∴设直线CD 的解析式为y ＝13x ＋m .将点C 坐标代入，得m ＝2，∴直线CD 的解析式为y ＝13x ＋2，∴点D 坐标为(0,2)．由抛物线解析式可以求得顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1，275.由直线CF 经过(3,3)，⎝⎛⎭⎫1，275两点，可求得直线CF 的解析式为y ＝－65x ＋335，∴点F 坐标为⎝⎛⎭⎫0，335.设直线CE 的解析式为y ＝56x ＋n .将点C 坐标代入，解得n ＝12，∴直线CE 的解析式为y ＝56x ＋12.令y ＝0，解得x ＝－35，∴点E 坐标为⎝⎛⎭⎫－35，0. (3)由C 、D 两点坐标可以求得CD ＝10.△FDC 是等腰三角形可以有三种情形：①FD ＝CD ＝10，则点F 坐标为(0,2＋10)；②FC ＝CD ＝10，过点C 作y 轴垂线，垂足为点H ，则DH ＝1，FH ＝1，∴点F 坐标为(0,4)；③FD ＝FC ，作DC 的中垂线FG ，交y 轴于点F ，交DC 于点G .由中点公式，得点G 坐标为⎝⎛⎭⎫32，52.设直线FG 的解析式为y ＝－3x ＋p .将点G 坐标代入，解得p ＝7，故点F 坐标为(0,7)．综上，点F 的坐标为(0,2＋10)或(0,4)或(0,7)．。
初三数学《二次函数》知识点总结和经典习题(附答案)
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =--3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
初三数学上册《二次函数》讲义第1讲二次函数的概念图象和性质（1）（有答案）
初三数学上册《⼆次函数》讲义第1讲⼆次函数的概念图象和性质（1）（有答案）第1讲⼆次函数的概念、图象和性质⼀般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的⼆次函数注意：⼆次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是关于⾃变量x 的⼆次式，x 的最⾼次数是，按、、依次排列2、强调⼆次项系数a 01、⼆次函数基本形式：（1）.2y ax =的性质：a 的绝对值越⼤，抛物线的开⼝越⼩。
（2）. 2y ax c =+的性质：上加下减。
（3）. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
（4）. ()2y a x h k =-+的性质：2、⼀般式：2y ax bx c =++ 3、顶点式：2()y a x h k =-+ 4、交点式：12()()y a x x x x =--5、平移：将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成⼋个字“左加右减，上加下减”1.⼆次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象是⼀条，其顶点坐标为，对称轴式2.在抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)中： 1.当a>0时，y ⼝向，当x<-2ba时，y 随x 的增⼤⽽，当x 时，y 随x 的增⼤⽽增⼤2、当a<0时，开⼝向，当x<-2ba时，y 随x 增⼤⽽，当x 时，y 随x 增⼤⽽减⼩注意：注意⼏个特殊形式的抛物线的特点1.y=ax 2 ,对称轴；顶点坐标2.y= ax 2 +k ，对称轴；顶点坐标3.y=a(x －h) 2对称轴；顶点坐标4.y=a(x －h) 2 +k 对称轴；顶点坐标考点1、⼆次函数定义例1、如果y=（a-1）x2-ax+6是关于x的⼆次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≠1 C．a≠1且a≠0 D．⽆法确定例2、在下列关系式中，y是x的⼆次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1 B．y2-ax+2=0 C．y+x2-2=0 D．x2-y2+4=0例3、下列函数关系中，可以看作⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）A．在⼀定距离内，汽车⾏驶的速度与⾏驶的时间的关系B．我国⼈⼝的⾃然增长率为1%，这样我国总⼈⼝数随年份变化的关系C．矩形周长⼀定时，矩形⾯积和矩形边长之间的关系D．圆的周长与半径之间的关系例4、若是⼆次函数，则m的值是．例5、已知正⽅形的⾯积为y（cm2），周长为x（cm）．（1）请写出y与x的函数关系式．（2）判断y是否为x的⼆次函数．例6、已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+m+1．（1）若这个函数是⼀次函数，求m的值；（2）若这个函数是⼆次函数，则m的值应怎样？1、下列各式中，y 是x 的⼆次函数的是（） A ．21xyB ．y=2x+1C ．y=x 2+x-2D ．y 2=x 2+3 2、⼆次函数y=2x （x-3）的⼆次项系数与⼀次项系数的和为（） A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．－4 3、下列函数关系中，是⼆次函数的是（）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离⼀定时，⽕车⾏驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三⾓形的周长C 与边长a 之间的关系D ．圆⼼⾓为120°的扇形⾯积S 与半径R 之间的关系4、已知抛物线y=（m-1）x 2，且直线y=3x+3-m 经过⼀、⼆、三象限，则m 的范围是．5、已知y=（m+1）是⼆次函数，求m 的值．考点2、⼆次函数图象例1、在平⾯直⾓坐标系中，与抛物线y=x 2关于直线y=x 对称的图象是（）A ．B ．C ．D ．例2、如图，平⾯直⾓坐标系中的⼆次函数图象所对应的函数解析式可能为（）例3、如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象，根据图象回答，当ax2+bx+c＜1时，x的取值范围是（）A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．x＜－1 D．x＞3例4、当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图像⼤致是（）例5、如图所⽰四个⼆次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的⼤⼩关系为．例6、如表给出了⼀个⼆次函数的⼀些取值情况：请在坐标系中画出这个⼆次函数的图象，并根据图象说明：（1）当y随x的增⼤⽽增⼤时⾃变量x的取值范围；（2）当0≤y＜3时x的取值范围．1、下列为四个⼆次函数的图形，哪⼀个函数在x=2时有最⼤值3（）A ．B ．C ．D ．2、苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落的时间t 满⾜s=2gt 2（g 是不为0的常数），则s 与t 的函数图象⼤致是（）A ．B ．C ．D ．3、已知函数y=-x 2+2x+c 的部分图象如图所⽰，若y≤0，则x 的取值范围是（） A ．－1＜x ＜3 B ．－1≤x≤3 C ．x ＜－1或x ＞3 D ．x≤－1或x≥34、已知函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所⽰，则函数y=ax+b 的图象是（）5、在同⼀直⾓坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是（）6、在正⽅形的⽹格中，抛物线y 1=x 2+bx+c 与直线y 2=kx+m 的图象如图所⽰，请你观察图象并回答：当－1＜x ＜2时，y 1 y 2（填“＞”或“＜”或“=”号）．考点3、⼆次函数的性质例1、若是⼆次函数且图象开⼝向下，则m 的值是（）A ．－2B ．1C ．1或－2D ．2或－1 例2、下列函数中，在全体实数范围内，y 随x 的增⼤⽽增⼤的是（）A ．y=2x 2B ．x-= C ．y=-2 D ．y=-2+例3、已知⼀个函数具有以下条件：①该函数图象经过第⼆象限；②当x ＜0时，y 随x 的增⼤⽽增⼤；③该函数图象不过原点，请写出⼀个符合上述条件的函数关系式：．例4、有⼀次函数y 1=kx+m 和⼆次函数y 2=ax 2+bx+c 的⼤致图象如图，请根据图中信息回答问题（在横线上直接写上答案）（1）不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是______；kx+m ＞ax 2+bx+c 的解集是______．（2）当x=______时，y 1=y 2．（3）要使y 2随x 的增⼤⽽增⼤，x 的取值范围应是______．例5、已知⼆次函数y=x 2+2x-3，解答下列问题：（1）⽤配⽅法将该函数解析式化为y=a （x+m ）2+k 的形式；（2）指出该函数图象的开⼝⽅向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况．例6、将⼆次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的图象解析式为y=a（x-h）2+k．（1）求出a，h，k的值．（2）对于函数y=a（x-h）2+k，当x取何值时，y随x的增⼤⽽减⼩？该函数的顶点是什么？1、下列说法正确的是（）A．函数y=ax2+bx+c的图象⼀定是抛物线B．抛物线y=ax2⼀定在x轴上⽅（顶点在x轴上）C．⼆次函数图象的对称轴是y轴D．⼆次函数图象的顶点⼀定在其对称轴上2、已知函数y=-ax+b（a≠0）的图象经过⼀、三、四象限，则函数y=-ax2+bx的图象不经过的象限是（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3、⼆次函数y=2（x+2）2的开⼝向，顶点坐标为，对称轴为，当x 时，y随x的增⼤⽽增⼤．4、已知⼆次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＞0），关于这个⼆次函数的图象有如下说法：①图象的开⼝⼀定向上；②图象的顶点⼀定在第四象限；③图象与x轴的交点⾄少有⼀个在y轴的右侧．以上说法正确的是．5、已知函数y=3x 2-6x-24．（1）通过配⽅，写出抛物线的开⼝⽅向、对称轴和顶点坐标；（2）利⽤对称性作出这个函数的图象；（3）分别求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标．1、下列函数中，是⼆次函数的为（） A ．y=2x+1 B ．y=（x-2）2-x 2 C ．22x yD ．y=2x （x+1） 2、⼆次函数y=x 2+2x-7的函数值是8，那么对应的x 的值是（） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－53、已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所⽰，根据图象提供的信息，可得y≤1时，x 的取值范围是（）A ．x≥－3B ．－3≤x≤1C ．－1≤x≤3D ．x≤－1或x≥34、抛物线y=x 2与y=-x 2的图象的关系是（） A ．开⼝⽅向不同，顶点相同，对称轴相同 B ．开⼝⽅向不同，顶点不同，对称轴相同 C ．开⼝⽅向相同，顶点相同，对称轴相同 D ．开⼝⽅向相同，顶点不同，对称轴不同5、如图，⼆次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此⼆次函数的说法正确的是（）A ．y 的最⼤值⼩于0B ．当x=0时，y 的值⼤于1C ．当x=-1时，y 的值⼤于1D ．当x=-3时，y 的值⼩于06、函数y=ax和y=ax2+b同⼀坐标系中的⼤致图象是（）A．B．C．D．7、如图，⼆次函数y1=ax2+bx+c与⼀次函数y2=kx+b的交点A，B的坐标分别为（1，-3），（6，1），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．-3＜x＜1 D．x＜-3或x＞1第7题第8题8、已知⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所⽰，给出以下结论：①a＞0．②该函数的图象关于直线x=1对称．③⽅程ax2+bx+c=0的两根是－1和3．④x ＜1时，y随x的增⼤⽽增⼤．其中正确结论的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．09、当a 时，函数y=（a－1）x2+bx+c是⼆次函数．10、已知y=是y关于x的⼆次函数，则m= ，此函数图象与x轴的交点坐标是，其图象的对称轴是．11、如图是⼆次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和⼀次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1，x的取值范围是．12、把函数y=3-4x-2x2写成y=a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开⼝⽅向、顶点坐标和对称轴．13、抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上⽅？（4）x取什么值时，y的值随x值的增⼤⽽减⼩？14、函数y=（m+2）是关于x的⼆次函数，求：（1）满⾜条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x 的增⼤⽽增⼤？（3）m为何值时，函数有最⼤值？最⼤值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增⼤⽽减⼩．1、如图，是⼀次函数y=kx+b与⼆次函数y=的图象，则关于x的⽅程kx+b=的解为（）A．x l=-1，x2=2 B．x l=1，x2=-2C．x l=0，x2=2 D．x l=0，x2=-22、如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三⾓形所得阴影部分的⾯积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）1、若y=（m-1）+mx+3是⼆次函数，则m的值是（）A．1 B．－1 C．±1 D．22、在平⾯直⾓坐标系中，函数y=-x+1与y=－（x-1）2的图象⼤致是（）A．B．C．D．3、根据图象判断下列说法错误的是（）A．函数y2的最⼤值等于4 B．x＞2时，y1＞y2C．当-1＜x＜2，y2＞y1 D．当x为-1或2时，y1≠y24、已知y=（a+1）x2+ax是⼆次函数，那么a的取值范围是．5、⼆次函数y=ax2+bx+c的图象如图所⽰，则当y＞0时x的取值范围是．6、⼆次函数y=x2-2x-3的开⼝⽅向向，对称轴为，顶点坐标为，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．7、根据下⾯的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为⼆次函数：（1）如果两个数中，⼀个⽐另⼀个⼤5，那么，这两个数的乘积p是较⼤的数m的函数；（2）⼀个半径为10cm的圆上，挖掉4个⼤⼩相同的正⽅形孔，剩余的⾯积S（cm2）是⽅孔边长x（cm）的函数；（3）有⼀块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁⾦⾹，那么郁⾦⾹的种植⾯积S（cm2）是草坪宽度a（m）的函数．8、已知函数y=21x 2+2x+1，解答下列问题：（1）写出抛物线的开⼝⽅向，顶点坐标及对称轴；（2）作出函数图象，并观察图象，写出x 为何值时，y 随x 的增⼤⽽增⼤？x 为何值时，y 随x 的增⼤⽽减⼩？（3）函数的最值是多少？参考答案第1讲⼆次函数的概念图象和性质考点1、⼆次函数定义例1、B例2、C例3、C例4、例5、例6、1、C2、D3、D4、5、考点2、⼆次函数图象例1、B例2、D例3、A例4、B例5、例6、解：（1）如图所⽰，y随x的增⼤⽽增⼤时⾃变量x的取值范围为x＞2；（2）如图，当0≤y＜3时0＜x≤1或3≤x＜4．1、A5、D6、考点3、⼆次函数的性质例1、A例2、D例3、例4、例5、例6、解：（1）因为⼆次函数y=2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到⼆次函数y=2（x+2）2-3，所以a=2，h=2，k=-3；（2）对于y=2（x+2）2－3，抛物线的对称轴为直线x=-2，因为a=2＞0，所以当x＜－2时，y随x的增⼤⽽减⼩；抛物线的顶点坐标为（-2，3）．4、5、。
人教版九年级数学“二次函数定义及其图像性质”知识点、例题、考题-2018版详解
2018-2019学年九年级（上）数学-专属资料二次函数性质及其图像一、知识点总结知识点一：二次函数的定义1.二次函数的定义：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质2.二次函数()2=-+的图象与性质y a x h k（1）二次函数基本形式2=的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax（4）二次函数()2y a x h k=-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与x 轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移 平移步骤：17、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax y =经过适当的平移得到。
具体平移方法如下：2y ax bx c =++2y ax bx c =++2()y a x h k =-+平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对）（y x ,，的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位如果0=b 时，对称轴为y 轴； 如果0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； 如果0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. ③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果0=c ，抛物线经过原点； 如果0>c ,与y 轴交于正半轴； 如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个相等实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c =+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121二、例题精讲第一讲：【类型一】二次函数的识别(1)y ＝2－x 2;(2)y ＝1x 2－1；(3)y ＝2x (1＋4x ); (4)y ＝x 2－(1＋x )2.解析：(1)是二次函数；(2)1x 2－1是分式而不是整式，不符合二次函数的定义式，故y ＝1x 2－1不是二次函数；(3)把y ＝2x (1＋4x )化简为y ＝8x 2＋2x ，显然是二次函数；(4)y ＝x 2－(1＋x )2化简后变为y ＝－2x －1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有(1)和(3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.【类型二】确定二次函数中待定字母的取值如果函数＝(＋2)－2是关于的二次函数，则k 的值为多少？解析：紧扣二次函数的定义求解．注意易错点为忽视k ＋2≠0的条件．解：根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2＝2，k ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝±2，k ≠－2，∴k ＝2.方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c.【类型三】求函数值当x y＝2－3x－x2的值为________．解析：把x＝－3直接代入函数的表达式得y＝2－3×(－3)－(－3)2＝2＋9－9＝2.即函数的值为2.方法总结：求函数值实际上就是求代数式的值．用所给的自变量的值替换函数关系式中的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变．【类型四】确定自变量的取值当x＝＝x2＋5x－5的函数值为1.解析：令y＝1，即x2＋5x－5＝1，解这个一元二次方程得x1＝－6，x2＝1.即x＝－6或1.方法总结：求二次函数自变量的值实际上就是解一元二次方程．直接转化为关于自变量的一元二次方程，通过解方程确定自变量的取值．探究点二：列二次函数的解析式一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x ＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为y cm2.(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？(2)当x的值为2或4时，相应的剩余部分面积是多少？解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．如图所示．解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144，∴y是x的二次函数．(2)当x＝2或4时，相应的y的值分别为132cm2或104cm2.方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题的解决，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．解析：根据题意可知：实际商品的利润为(60－x－40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x)，则每星期售出商品的利润为y＝(60－x－40)(300＋20x)，化简，注意要求出自变量x的取值范围．解：由题意，得：y＝(60－x－40)(300＋20x)＝(20－x)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000，自变量x的取值范围为0≤x<20.方法总结：销售利润＝单位商品利润×销售数量；商品利润＝售价－进价．第二讲：【类型一】图象的识别已知y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( )解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.方法总结：分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．【类型二】实际问题中图象的识别已知h关于t的函数关系式为h＝12gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为( )解析：根据h关于t的函数关系式为h＝12gt2，其中g为正常数，t为时间，因此函数h＝12gt2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．探究点二：二次函数y＝ax2的性质【类型一】利用图象判断二次函数的增减性题：(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2，(2)由图象可知y 3<y 4；(3)在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误． 【类型二】二次函数的图象与性质的综合题的二次函数．(1)求m 的值；(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m 为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．解析：(1)由二次函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，故可求m 的值． (2)图象的开口向下，则m ＋3＜0；(3)函数有最小值，则m ＋3＞0；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数．(2)∵图象开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值．(4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．探究点三：确定二次函数y ＝ax 2的表达式 【类型一】利用图象确定y ＝ax 2的解析式A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax 2的图象经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2的图象经过点B 1(－2，－2)时，－2＝a ×(－2)2，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12x 2. 方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案． 【类型二】二次函数y ＝ax 2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数＝(≠0)与直线＝2－3相交于点A (1，b )，求：(1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标．解析：直线与函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解．解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.(2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．【类型三】二次函数y ＝ax 2的实际应用如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM 为3m ，跨度AB ＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m ，宽2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．解：(1)以O 点为坐标原点，平行于线段AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B点坐标为(3，－3)，∴－3＝a ×32，解得a ＝－13，∴抛物线的函数关系式为y ＝－13x 2. (2)当x ＝1时，y ＝－13×12＝－13.∵OM ＝3，∴木板最高可堆放3－13＝83(米)． 方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．第三讲 【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解这个方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值． 【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，图象顶点是(－2，3)，∴h ＝－2，k ＝3，依题意得：5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2，∴y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为y ＝a (x －h )2＋k .顶点坐标为(h ，k )，对称轴方程为x ＝h ，极值为当x ＝h 时，y 极值＝k 来求出相应的数． 【类型三】根据平移确定二次函数解析式 将抛物线＝2－4＋1先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后的函数解析式．解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y ＝2x 2－4x ＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．解：y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x 2－2x ＋1)－1＝2(x －1)2－1，该抛物线的顶点坐标是(1，－1)，将其向左平移3个单位，向下平移2个单位后，抛物线的形状，开口方向不变，这时顶点坐标为(1－3，－1－2)，即(－2，－3)，所以平移后抛物线的解析式为y ＝2(x ＋2)2－3.即y ＝2x 2＋8x ＋5.方法总结：抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的图象向左平移m (m >0)个单位，向上平移n (n >0)个单位后的解析式为y ＝a (x －h ＋m )2＋k ＋n ；向右平移m (m >0)个单位，向下平移n (n >0)个单位后的解析式为y ＝a (x －h －m )2＋k －n .【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式已知二次函数＝2－12＋5，求该函数图象关于x 轴对称的图象的解析式．解析：关于x 轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形状不变，而开口方向，顶点的纵坐标变化了，开口方向与原图象的开口方向相反，顶点的横坐标不变，纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数．解：y ＝2x 2－12x ＋5＝2(x －3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x 轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y ＝－2(x －3)2＋13.方法总结：y ＝a (x －h )2＋k 的图象关于x 轴对称得到的图象的解析式为y ＝－a (x －h )2－k . 【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这推测最适合这种植物生长的温度为________℃.解析：设l 与t 之间的函数关系式为l ＝at 2＋bt ＋c ，把(－2，49)、(0，49)、(1，46)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝49，c ＝49，a ＋b ＋c ＝46，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49.∴l ＝－t 2－2t ＋49，即l ＝－(t ＋1)2＋50，∴当t ＝－1时，l 的最大值为50.即当温度为－1℃时，最适合这种植物生长．故答案为－1.方法总结：求函数解析式一般采用待定系数法．用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况判断)A ．y ＝x 2＋2x －3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝x 2－2x＋3 D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：选项A 中b 2－4ac ＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B 中b 2－4ac ＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D 中b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x轴只有一个交点，故选D.【类型二】利用二次函数图象与x 轴交点坐标确定抛物线的对称轴如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________．解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x ＝2.方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程． 【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋2m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－2解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m (12m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点．方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当b 2－4ac ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点．【类型四】利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解x 2＋ax ＋b ＝0的解是( )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝4解析：∵二次函数y＝x2＋ax＋b的图象与x轴交于(－1，0)和(4，0)，即当x＝－1或4时，x2＋ax＋b＝0，∴关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解为x1＝－1，x2＝4，故选D.方法总结：本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．探究点二：二次函数y＝ax2＋bx＋c中的不等关系【类型一】利用抛物线解一元二次不等式x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )A．x＜2B．x＞－3C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1解析：观察图象，可知当－3＜x＜1时，抛物线在x轴上方，此时y ＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1.故选C.方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围二次函数＝＋＋(≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是( )A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞3解析：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)且其对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)．当y＞0时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知x＜－1，由右边一段图象可知x＞3.因此，x ＜－1或x ＞3.故选D.方法总结：利用数形结合思想来求解，抛物线与x 轴的交点坐标是解题的关键．三、课堂练习第一讲：二次函数1. 下列函数中,不是二次函数的是( )A 、B 、C 、D 、 2．在半径为4的圆中，挖去一个边长为的正方形，剩下部分面积为，则关于y 与x 之间函数关系式为（ ）A 、B 、C 、D 、3.在二次函数中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．4.边长为2的正方形，如果边长增加，则面积S 与之间的函数关系是 .5.已知是二次函数,则= ．6．某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5 m.如果长方体的长和宽用x(m)表示, 油漆每平方米所需费用是5元,油漆每个长方体所需费用为y 元.求y 与x 之间函数关系式.第一讲：二次函数参考答案212y x =-22(1)4y x =+-1(1)(4)2y x x =-+22(2)1y x x =--+xcm 2ycm 24y x π=-216y x π=-216y x =-24y x π=-21y x =-+x x 221(3)2a a y a x --=--a1．D 2．B 3． 0 4． 5． 6．第二讲：二次函数的图象与性质一、填空题:1.已知函数y=(k+2)是关于x 的二次函数,则k=________.2.已知正方形的周长是acm,面积为Scm 2,则S 与a 之间的函数关系式为_____.3.填表: c 24.在边长为4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y 与x 间的函数关系式为_________5.用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为________.二、选择题:6.下列结论正确的是( )A.二次函数中两个变量的值是非零实数;B.二次函数中变量x 的值是所有实数;C.形如y=ax 2+bx+c 的函数叫二次函数;D.二次函数y=ax 2+bx+c 中a,b,c 的值均不能为零7.下列函数中,不是二次函数的是( )A.y=1-x 2B.y=2(x-1)2+4;C.y=(x-1)(x+4)D.y=(x-2)2-x 28.在半径为4cm 的圆中, 挖去一个半径为xcm 的圆面, 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则y 与x 的函数关系式为( )A.y=x 2-4B.y=(2-x)2;C.y=-(x 2+4)D.y=-x 2+169.若y=(2-m)是二次函数,则m 等于( )A.±2B.2C.-2D.不能确定244S x x =++1a =-23010y x x =+24k k x +-1212ππππ22m x -三、解答题10.分别说出下列函数的名称：(1)y=2x-1 (2)y=-3x 2, (3)y= (4)y=3x-x 2 (5)y=x11、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)d=n 2-n , (2)y=1-x 2, (3)y=-x(x-3) 12、 二次函数y=ax 2+c 中，当x=3时，y=26 ;当x=2时，y=11 ;则当x=5时，y= .13、已知一个直角三角形的两条直角边的和为10cm 。
2018-2019学年度九年级数学下册 第5章 二次函数 专题训练(一)与二次函数图像有关的三种
专题训练(一) 与二次函数图像有关的三种常见题型► 题型一 根据系数的符号确定函数的图像1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图像可能是( )图1－ZT －12．设a ，b 是常数，且a <0<b ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－5a －6的图像可能是( )图1－ZT －23．2018·德州如图1－ZT －3，函数y ＝ax 2－2x ＋1和y ＝ax －a (a 是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )图1－ZT －3► 题型二 根据某一函数的图像确定其他函数的图像4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －4所示，则反比例函数y ＝bx与一次函数y ＝cx ＋a 在同一平面直角坐标系中的大致图像是( )图1－ZT －4图1－ZT －55．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －6所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图像大致是( )图1－ZT－6图1－ZT－76．如果一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx 的图像可能是( )图1－ZT－8►题型三根据函数图像确定系数及其代数式的符号7．如图1－ZT－9，在平面直角坐标系中，抛物线对应的函数表达式为y＝－2(x＋h)2＋k，则下列结论正确的是( )图1－ZT－9A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜08．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图1－ZT－10所示，则下列结论正确的是( )图1－ZT－10A．a<0，b<0，c>0 B．a＞0，b<0，c>0C．a<0，b＞0，c<0 D．a<0，b＞0，c>09．2018·上海黄浦区一模已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像大致如图1－ZT－11所示，则下列关系式中成立的是( )图1－ZT－11A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b＋2a＞010．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图1－ZT－12所示，下列结论错误的是( )图1－ZT－12A．b>2a B．abc<0C．b＋c>3a D．a<b11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图像如图1－ZT－13所示，则有下列结论：①2a－b＝0；②a＋b＋c＜0；③点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2.其中正确结论的个数是( )图1－ZT－13A．0 B．1 C．2 D．312．2018·威海二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图1－ZT－14所示，下列结论错误的是( )图1－ZT－14A．abc＜0 B．a＋c＜bC．b2＋8a＞4ac D．2a＋b＞013．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－15，则a________0；b________0；c ________0；a ＋b ＋c ________0；a －b ＋c ________0；2a －b ________0.(填“＞”“＜”或“＝”)图1－ZT －1514．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －16所示，则下列结论：①c ＝2；②abc ＞0；③当x ＝1时，y 取得最小值为a ＋b ＋c .其中正确的是________(把正确结论的序号都填上)．图1－ZT －16 15．2017·玉林已知抛物线：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过A (－1，1)，B (2，4)两点，顶点坐标为(m ，n )，有下列结论：①b ＜1；②c ＜2；③0＜m ＜12；④n ≤1.则所有正确结论的序号是________．16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的对称轴是直线x ＝1，其图像的一部分如图1－ZT －17所示．对于下列说法：①abc ＜0；②当－1＜x ＜3时，y ＞0；③3a ＋c ＜0；④a －b ＋c ＜0.其中正确的是________(把正确说法的序号都填上)．图1－ZT －1717．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －18所示，直线x ＝32是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a ，b ，c 的四条结论，并简单说明理由．图1－ZT－18详解详析1．[解析] C ∵a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∴－b2a＞0，∴二次函数的图像开口向上，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的负半轴相交． 故选C .2．[解析] D ∵a ＜0，∴抛物线开口向下． 又∵b ＞0，∴抛物线的对称轴在y 轴的右边． 故选D .3．[解析] B 抛物线y ＝ax 2－2x ＋1过点(0，1)，对称轴为直线x ＝1a .当a ＞0时，选项A 与B 符合题意；此时直线y ＝ax －a 经过第一、三、四象限，故选项B 符合题意；当a ＜0时，选项D 不符合题意．4．[解析] B 根据二次函数图像与y 轴的交点可得c ＞0，根据抛物线开口向下可得a ＜0，由对称轴在y 轴右边可得a ，b 异号，故b ＞0，则反比例函数y ＝bx 的图像在第一、三象限，一次函数y ＝cx ＋a 的图像经过第一、三、四象限．故选B .[点评] 此题主要考查了二次函数图像、一次函数图像及反比例函数图像，关键是根据二次函数图像确定出系数a ，b ，c 的正负．5．[解析] A ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上， ∴a ＞0.∵二次函数图像的对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第一、二、三象限． 故选A .6．[解析] C ∵一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，∴a ＜0，b ＜0，∴二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像开口向下，对称轴为直线x ＝－b2a＜0，在y 轴左边．故选C .7．[解析] B ∵抛物线y ＝－2(x ＋h)2＋k 的顶点坐标为(－h ，k)，由题图可知，抛物线的顶点在第一象限，∴－h ＞0，k ＞0， ∴h<0，k>0.故选B .8．[解析] D ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0. ∵抛物线的对称轴在y 轴右边，∴a ，b 异号，即 b ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴c>0.故选D .9．[解析] D ∵抛物线开口向下，对称轴在直线x ＝1的右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，－b2a ＞1，c ＞0，∴b ＞－2a ＞0， ∴b ＋2a ＞0. 故选D .10．[解析] D 因为抛物线开口向下，所以a<0.因为抛物线对称轴在y 轴左侧，直线x ＝－1的右侧，所以－1＜－b2a＜0，所以2a ＜b ＜0，故A 选项正确，不符合题意；因为抛物线与y 轴交于负半轴，所以c<0.因此abc<0，故B 选项正确，不符合题意；由题意可知，a －b ＋c>0.又因为b ＞2a ，所以a －b ＋c ＋2b>4a ，即b ＋c>3a ，故C 选项正确，不符合题意．D 选项错误，符合题意．11．[解析] C 二次函数图像的对称轴是直线x ＝－1，即－b2a ＝－1，则b ＝2a ，2a －b＝0，故①正确；因为函数图像的对称轴为直线x ＝－1，所以x ＝1和x ＝－3时的函数值相等． 因为x ＝－3时，函数图像上对应的点在x 轴下方，所以a ＋b ＋c ＜0，故②正确； y 1和y 2的大小无法判断，故③错误．故选C .12．[解析] D 由函数图像开口向下，得a ＜0；由函数图像与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，得c ＞0；由对称轴在y 轴的右侧，得－b2a ＞0，所以b>0，所以abc ＜0，A 结论正确，不符合题意；当x ＝－1时，函数值为负值，即a －b ＋c ＜0，所以a ＋c ＜b ，B 结论正确，不符合题意；由图像知，顶点的纵坐标大于2，所以4ac －b24a >2.又因为a<0，所以4ac－b 2<8a ，所以b 2＋8a>4ac ，故C 正确，不符合题意；因为－b 2a ＜1，且a<0，所以－b ＞2a ，即2a ＋b ＜0，故D 结论错误．故选D .13．[答案] ＞ ＜ ＜ ＝ ＞ ＞ [解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＞0，其中a ＞0，∴b ＜0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c ＜0.∵点(1，0)是抛物线与x 轴的一个交点， ∴把x ＝1代入表达式，得a ＋b ＋c ＝0. 由a ＋b ＋c ＝0可得a ＋c ＝－b ， ∴a －b ＋c ＝－b －b ＝－2b ， 由b ＜0，得a －b ＋c ＞0. ∵a ＞0，b ＜0，∴2a －b ＞0. 14．[答案] ①[解析] 由题图可知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y 轴的交点坐标是(0，2)．令x ＝0，则y ＝c ＝2，即c ＝2.故①正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，对称轴在y 轴右侧， ∴a ＜0，b ＞0，∴abc ＜0.故②错误；∵x ＝0与x ＝2所对应的y 值都是2，即点(0，2)与点(2，2)关于对称轴对称， ∴该抛物线的对称轴是直线x ＝1. ∵抛物线的开口向下，∴当x ＝1时，y 取得最大值为a ＋b ＋c. 故③错误．15．[答案] ①②④[解析] ∵抛物线过点A(－1，1)，B(2，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝4， ∴b ＝－a ＋1，c ＝－2a ＋2. ∵a ＞0，∴b ＜1，c ＜2， ∴结论①②正确；∵抛物线的顶点坐标为(m ，n)， ∴m ＝－b 2a ＝－－a ＋12a ＝12－12a ，∴m ＜12，∴结论③不正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)经过A(－1，1)，顶点坐标为(m ，n)， ∴n ≤1，∴结论④正确．综上所述，正确的结论为①②④. 故答案为①②④. 16．[答案] ①③④[解析] 根据图像可得a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则abc ＜0，故①正确；当－1＜x ＜3时，图像上有的点在x 轴的上方，有的点在x 轴的下方，故②错误； 根据图像知，该抛物线的对称轴是直线x ＝1，即－b2a ＝1，则b ＝－2a.那么当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜0，故③正确；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c 一定在x 轴的下方，因而a －b ＋c ＜0，故④正确． 17．解： 答案不唯一，如： ①∵抛物线开口向上，∴a ＞0；②∵图像与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0；③∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＞0，∴a ，b 异号，即b ＜0；④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0； ⑤当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.结论有a ＞0，c ＞0，b ＜0，a ＋b ＋c ＜0，a －b ＋c ＞0等．。
2018-2019学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数的概念(作业本)课件 (新版)新人教
第1课时二次函数的概念
作业本
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1.下列函数中不是二次函数的有（ D ）
A．y=x（x﹣1） B．y= ﹣1
C．y=﹣x2
D．y=（x+4）2﹣x2
2．已知二次函数y=1﹣3x+5x2，则其二次项系 数a，一次项系数b，常数项c分别是（ D ） A．a=1，b=﹣3，c=5 B．a=1，b=3，c=5 C．a=5，b=3，c=1 D．a=5，b=﹣3，c=1
（2）y=1﹣x2．
解：（1）二次项系数、一次项系数和常数项 分别为 、0； （2）二次项系数、一次项系数和常数项分 别为﹣1、0、1．
作业本
7.某汽车的行驶路程y（m）与行驶时间x（s） 之间的函数表达式为y=3x+ x2．y是x的二次函 数吗？求汽车行驶60s的路程． 解：y=3x+ x2满足二次函数的一般形式， 所以y是x的二次函数，当x=60时， y=3×60+ ×602=1980．
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3．已知y=（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函 数，那么，表面积为y，则y ＝ 6x2 ．（用含x的代数式表示）
作业本
5. N支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛, 则比赛的场次 与球队数 之间的关系式为 .
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6.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次 项系数和常数项：
作业本
8.已知y与x ²成正比例，当x=3时，y=-18,写出y 与x之间的函数解析式，它是二次函数吗？
解: ∵ y与x ²成正比例， ∴设y=kx（k ≠ 0） 把x=3时，y=-18代入得-18=3·k ∴k=-2 ∴y与x之间的解析式为y=-2x ²
符合二次函数的定义，属于二次函数
九年级上册知识点二次函数
九年级上册知识点二次函数九年级上册知识点：二次函数一、引言在九年级上册的数学课本中，我们将学习到许多重要的数学知识点，其中包括二次函数。
二次函数是代数学中的重要概念，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对九年级上册的二次函数进行详细的介绍和解析。
二、二次函数的定义和特点二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
它是一个二次多项式，其中的x^2项是最高次项，而x和常数项分别是一次和零次项。
二次函数的图像形状为抛物线，如果a>0，则抛物线开口向上，称为顶点向上；如果a<0，则抛物线开口向下，称为顶点向下。
顶点坐标可以通过求解二次函数的极值点来获得。
三、二次函数图像的性质1. 对称性二次函数的图像具有对称性。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，对于任意的x值，f(x) = f(-x)，即抛物线关于y轴对称。
2. 峰值与最小值如果二次函数的开口向上，顶点为最小值点；如果二次函数的开口向下，顶点为最大值点。
3. 零点二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点。
我们可以通过求解f(x) = 0来确定二次函数的零点。
4. 增减性如果二次函数的导数大于零，说明函数增加；如果二次函数的导数小于零，说明函数减少。
四、二次函数的应用二次函数在现实生活中有许多应用，下面我们来介绍其中两个典型的应用场景。
1. 抛物线的运动模拟我们知道，抛物线的运动轨迹可以用二次函数来模拟。
当一个物体被斜抛时，它的运动轨迹形状呈抛物线。
通过建立合适的二次函数模型，我们可以计算出抛物线的参数，从而预测物体的落点或者反向求解初始速度等。
2. 最优化问题二次函数在最优化问题中也有广泛的应用。
例如，我们希望以最小的成本建造一座桥梁，可以通过建立一个二次函数模型来求解最佳的桥梁设计方案。
同样，我们也可以利用二次函数来解决最大化收益或最小化风险的问题。
五、二次函数的解法与技巧在解题过程中，我们有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地理解和解决二次函数相关的问题。
初三数学二次函数(例题+练习)
二次函数（入门篇）【教学目标】1.理解二次函数的概念；2．会根据二次函数解析式计算函数值.3．能利用二次函数描述有关的生产、生活实际中的数量关系.【重点、难点】重点：二次函数的概念； 难点：建立实际问题中的二次函数关系式.【知识要点】1．二次函数概念形如),,,0(2是常数c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做一元二次函数，简称为二次函数. 在理解二次函数的定义时，应注意下述问题：（1）2ax 称为二次项，bx 称为一次项，c 称为常数项，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数.（2）在解析式中最高项是2x 项且系数0≠a ，而b,c 可以不为零，也可以为零，对于判断一个函数是否是二次函数不起作用，如22x y =（.0,0==c b ），),0(3212=+-=c x x y )0(5322=-=b x y 都是二次函数.（3）自变量x 的取值范围是任何实数.（4）如果0=a ，则该函数一定不是二次函数，但不一定是一次函数，如果0=a ，0≠b 才是一次函数.（5）如果一个函数的解析式形如)0(2≠++=a c bx ax y ，则这个函数一定是二次函数.反之，如果一个函数是二次函数，那么它的解析表达式一定是)0(2≠++=a c bx ax y 的形式. 2．计算函数值根据二次函数解析式，当x 取某一个值时，代入二次函数解析式中计算出最后结果，即为函数值. 3．建立实际问题中的二次函数关系式 （1）审清题意找出问题中的已知量（定量），未知量（变量）及相互关系. （2）建立函数关系式根据题意建立函数形式，并指出函数的定义域. （3）判断是否为二次函数解析式根据二次函数的定义及解析式的形式，判断求出的函数关系式是否为二次函数.【经典例题】例1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）13-=z y （2） kk y 12+= （3）22)3(x x y -+= （4）322++=x x y（5）21x y -= （6）122+=x y （7）)31(2x x y -= （8）23x y -= （9）()222y x x =-- （10）),,(2是常数p n m p nx m y ++=例2 已知函数3)2()4(22+++-=x m x m y （1）当m 为何值时，此函数是二次函数 （2）当m 为何值时，此函数是一次函数例3．当m 为何实数时，函数y=(m+1)x 122--m m +(m －3)x+m 是二次函数？例4．（1）已知二次函数为x x y 22+=.分别计算当自变量x 分别取-1，12,2,2-+n n m 时，计算函数y 的值；（2）已知二次函数2)1(2+-+=x m x y ，当3,1==y x 时，试确定对应二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中c b a ,,的值.（3）已知二次函数8102-+-=x x y ，当x 取何值时，函数y 的值为1.例5．（1） 写出圆面积S(cm 2)与圆半径R(cm)之间的函数关系式。
九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图像与性质2.2.1二次函数y=±x2的图象与性质练习
2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二章二次函数2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数y＝±x2的图象与性质同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时作业（九)[第二章 2 第1课时二次函数y＝±x2的图象与性质］一、选择题1．下列关于二次函数y＝x2的图象的说法:①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0,0)；⑤它的顶点是原点,且是抛物线的最高点；⑥y的值随x值的增大而增大．其中正确的有(）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．下列函数中，当x>0时,y的值随x值的增大而减小的是( )A．y＝x2 B．y＝x－1C．y＝错误!x D．y＝错误!3．下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是( )A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴B．在同一直角坐标系中，抛物线y＝x2和y＝－x2既关于x轴对称，又关于原点对称C．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反D．点A(－3，9）既在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上4．二次函数y＝x2与一次函数y＝－x－1在同一直角坐标系中的图象大致为（）图K－9－15．已知a＜－1，点(a－1，y1）,(a，y2），(a＋1，y3）都在函数y＝x2的图象上,则（）错误!A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3二、填空题6．函数y＝x2的图象的顶点坐标为________,若点（a，4）在该函数图象上，则a的值是________．7．如图K－9－2，A，B分别为抛物线y＝x2上的两点，且线段AB⊥y轴，若AB＝6，则直线AB的表达式为________．图K－9－28．如图K－9－3，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处,AD∥x轴,以O 为顶点且过A,D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是________．图K－9－3三、解答题9．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点（2，n）．(1）画出y＝－x2的图象,并求出m,n的值；(2）抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m是否存在另一个交点？若存在,请求出这个点的坐标．规律探究如图K－9－4，点A1，A2，A3,…，A n在抛物线y＝x2上,点B0，B1，B2,B3，…，B n 在y轴上，若△A1B0B1,△A2B1B2，…，△A n B n－1B n都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，则△A2018B2017B2018的腰长等于________．图K－9－4详解详析【课时作业】[课堂达标］1．［解析] B ①②③④正确．2．[答案］ D3．[解析］ D 点A（－3，9）在抛物线y＝x2上，但不在抛物线y＝－x2上．故选D。
2018-2019学年九年级数学下册-第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质 1.2.4 二次函数y=a(x-h)2+k的
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第4课时
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
目标三 能根据抛物线的顶点坐标求二次函数表达式y＝a(x－h)2＋k
例 3 [教材例 5 针对训练] 已知二次函数图象的顶点为
A(－1，4)，且过点 B(2，－5)．
知识点三 用平移法由二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x－h)2＋ k(a≠0)的图象
图 1－2－3 二次函数图象平移的规律：左加右减(对 x 变化)， 上加下减(对 y 变化)．
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第4课时
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
(3)将该函数图象向右平移，当图象经过坐标原点时，A，B
两点随图象移至点 A′，B′，求△OA′B′的面积．
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第4课时
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
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第4课时
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
【归纳总结】抛物线 y＝ax2 与 y＝a(x－h)2＋k 之间的平移： (1)抛物线的平移规律可以总结为“左加右减自变量，上加下减常数 项”，即抛物线 y＝ax2 向左平移时，在自变量 x 中加上平移的单位 数 h，向右平移时，在自变量 x 中减去平移的单位数 h; 向上平移 时，在常数项中加上平移的单位数 k，向下平移时，在常数项中减 去平移的单位数 k.
九年级数学寒假作业之二次函数的图像和性质
九年级数学寒假作业之二次函数的图像和性质
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(一)基础过关
1、假定函数是二次函数，那么的值为( )
A.3或
B.3
C.
D.2或
2、将二次函数化为普通方式为 .
3、假定二次函数的图象的启齿方向向上，那么的取值范围为 .
4、抛物线 -5的启齿方向，对称轴是，顶点坐标是
(二)才干提升
1、把抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，失掉的抛物线的解析式为，此时抛物线的启齿方向，顶点坐标为，对称轴为 .
2.假定二次函数与二次函数图象的外形完全相反，那么与的关系为( )
A. =
B. =
C. =
D.无法判别
3、二次函数
⑴应用配方法将普通方式化为顶点式
⑵经过列表、描点画出该函数图象;
⑶此函数的启齿方向 ;顶点坐标为，意义为 ;对称轴为 .
⑷其图象是由的图象经过怎样的图形变换失掉的?
⑸假定将此图象沿轴向上平移5个单位长度，再沿轴向左平移2个单位长度失掉的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为，对称轴为 .
(三) 综合拓展
抛物线
⑴求此抛物线与轴的交点、两点的坐标，与轴的交点的坐标.
⑵求的面积.
⑶在直角坐标系中画出该函数的图象
⑷依据图象回答以下效果：①当时，的取值范围?②当时，的取值范围?③当时，随的增大而增大;当时，随的增大而减小;
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2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象 第2课时 二次函数y=a(x-
第1章 二次函数1．2 二次函数的图象第2课时 二次函数y ＝a (x －m )2＋k (a≠0)的图象及其特征知识点1 二次函数y ＝a (x －m )2＋k (a≠0)的图象 及特征1．2017·长沙抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)2．对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2，下列说法中，正确的是( )A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是(－1，2)C ．图象最高点的坐标是(1，2)D ．图象与y 轴的交点坐标为(0，2)3．二次函数y ＝(x ＋2)2－1的图象大致为()图1－2－104．下列二次函数中，图象以直线x ＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x ＋2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－3D ．y ＝(x ＋2)2－35．填写下表：知识点2 抛物线的平移6．二次函数y ＝－12(x －3)2＋1的图象可以由二次函数y ＝－12x 2的图象先向________(填“左”或“右”)平移________个单位，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位得到．7．将抛物线y ＝3x 2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) A ．y ＝3(x －2)2－1 B ．y ＝3(x －2)2＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2－1 D ．y ＝3(x ＋2)2＋18．2017·丽水将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A (1，4)的是( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位知识点3 根据二次函数的顶点式求表达式9．2017·雁塔区月考已知抛物线的顶点坐标是(2，1)，且抛物线经过点(3，0)，则这条抛物线的函数表达式是( )A ．y ＝－x 2－4x －3B ．y ＝－x 2－4x ＋3 C ．y ＝x 2－4x －3 D ．y ＝－x 2＋4x －310．某抛物线的顶点坐标为(2，1)，它的形状和开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个抛物线的函数表达式为__________．11．2017·湖州模拟在体育测试时，九年级的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分(如图1－2－11所示)．如果这名男同学出手处A 点的坐标是(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标是(6，5)．求这个二次函数的表达式．图1－2－1112．若抛物线y＝(x－m)2＋m＋1的顶点在第一象限，则m的取值范围为( ) A．m>1 B．m>0C．m>－1 D．－1<m<013．已知二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图1－2－12所示，图1－2－12则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限14．二次函数y ＝x 2＋1的图象过A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为(a ，294)，(b ，294)，则线段AB 的长度是( )A.254 B.292 C ．5 D.29215．把二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数表达式为__________．16．已知某抛物线以点A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)将该抛物线向下平移几个单位，可使抛物线经过原点？17．如图1－2－13，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴的对称点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A (1，0)及点B .(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值范围．图1－2－1318．如图1－2－14，抛物线y ＝a (x －1)2＋c 与x 轴交于点A (1－3，0)和点B ，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶点P 落在点P ′(1，3)处．(1)求原抛物线的函数表达式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x 轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型图案．请你计算这个“W”型图案的高与宽CD的比．图1－2－14详解详析1．A 2.C3．D [解析] 因为a＝1＞0，所以抛物线开口向上，由表达式可知对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，－1)．4．C5．解：填表如下：6.右 3 上 17．C．D [解析]89.D [解析] 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋1，把(3，0)代入得a ×(3－2)2＋1＝0， 解得a ＝－1，所以抛物线的函数表达式为y ＝－(x －2)2＋1＝－x 2＋4x －3. 故选D.10．y ＝－2(x －2)2＋111．解：依题意设这个二次函数的表达式为y ＝a (x －6)2＋5(a ≠0)， ∵点A (0，2)在此二次函数的图象上， ∴36a ＋5＝2，解得a ＝－112，∴这个二次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋5.12．B [解析] ∵抛物线的顶点坐标为(m ，m ＋1)，而它在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ＋1>0，∴m >0.故选B.13．C [解析] ∵抛物线的顶点在第四象限，∴－m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过第二、三、四象限．14．C15．y ＝－(x ＋1)2－2 [解析] 二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象的顶点坐标为(1，2)，图象绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(－1，－2)，所以旋转后的新图象的函数表达式为y ＝－(x ＋1)2－2.16．解：(1)设该抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋1)2＋4. ∵抛物线过点B (2，－5)， ∴－5＝a ·(2＋1)2＋4，得a ＝－1.∴该抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4.(2)设平移后的抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4－k ，将(0，0)代入函数表达式，得0＝－(0＋1)2＋4－k ，解得k ＝3.∴将该抛物线向下平移3个单位，可使抛物线经过原点． 17．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1， ∴二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1. 当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3， ∴C (0，3)．∵点B 与点C 关于直线x ＝2对称， ∴B (4，3)．将点A ，B 的坐标代入y ＝kx ＋b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，∴一次函数的表达式为y ＝x －1. (2)x 的取值范围是1≤x ≤4.18．解：(1)∵点P 与P ′(1，3)关于x 轴对称， ∴点P 的坐标为(1，－3)．∵抛物线y ＝a (x －1)2＋c 过点A (1－3，0)，顶点是P (1，－3)，∴⎩⎨⎧a ·（1－3－1）2＋c ＝0，a ·（1－1）2＋c ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.则抛物线的函数表达式为y ＝(x －1)2－3， 即y ＝x 2－2x －2.(2)∵CD 平行于x 轴，点P ′(1，3)在CD 上， ∴C ，D 两点的纵坐标均为3.由(x －1)2－3＝3，得x 1＝1－6，x 2＝1＋6，∴C ，D 两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)，∴CD ＝2 6，∴“W ”型图案的高与宽CD 的比为32 6＝64.。
2018年秋九年级数学上册 第1章 二次函数 1.2 二次函数的图象 第1课时 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及特征同步
第1章 二次函数1．2 二次函数的图象第1课时 二次函数y ＝ax 2(a≠0)的图象及其特征知识点1 二次函数y ＝ax 2(a≠0)的图象的画法及 特征1．在同一平面直角坐标系内，画出下列函数的图象： ①y ＝13x 2；②y ＝－13x 2.(1)画图： ①列表：②描点； ③连线．图1－2－1(2)根据图象填空：①二次函数y ＝13x 2的图象是一条________，开口向________，对称轴是________(或________)，顶点坐标是________，抛物线上的点(除顶点外)都在x 轴的________方；②二次函数y ＝－13x 2的图象是一条________，开口向________，对称轴是________(或________)，顶点坐标是________，抛物线上的点(除顶点外)都在x 轴的________方．2．下列函数中，图象的最高点是原点的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 2C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝5x3．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝2x 2，y ＝－x 2，y ＝12x 2的图象的共同特点是( )A ．都关于x 轴对称B ．都关于y 轴对称，且开口向下C ．都关于原点对称D ．都关于y 轴对称，且原点是抛物线的顶点 4．将图1－2－2中图象的代号填在横线上．图1－2－2(1)y ＝3x 2的图象是______； (2)y ＝13x 2的图象是______；(3)y ＝－x 2的图象是______； (4)y ＝－34x 2的图象是______．知识点2 二次函数y ＝ax 2(a≠0)的图象特征的应用5．若抛物线y ＝(2m －1)x 2开口向下，则m 的取值范围是( ) A ．m <0 B ．m <12C ．m >12D ．m >－126．若抛物线y ＝ax 2与抛物线y ＝2x 2关于x 轴对称，则a ＝________．图1－2－37．已知二次函数y ＝12x 2的图象如图1－2－3所示，线段AB ∥x 轴，交抛物线于A ，B两点，且点A 的横坐标为2，则AB 的长为________．8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点(－3，2)． (1)求这个抛物线的函数表达式；(2)说出这个抛物线的开口方向和所在位置．9．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图1－2－4，现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点O 与水面的距离为2.4 m ，ED 离水面的高FC ＝1.5 m ，则涵洞ED 宽多少，是否会超过1 m ？[提示：设涵洞所成抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ＜0)]图1－2－410．2017·新罗区校级期中赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图1－2－5所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y ＝－125x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是2 m 时，这时水面宽度AB 为( )图1－2－5A ．－10 mB ．－5 2 mC ．5 2 mD ．10 2 m11．在图1－2－6中，函数y ＝－ax 2与y ＝ax ＋b 的图象可能是( )图1－2－6图1－2－712．如图1－2－7，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y ＝13x 2与y ＝－13x 2的图象，则阴影部分的面积是________．13．如图1－2－8所示，直线l 经过点A(4，0)，B(0，4)，它与抛物线y ＝ax 2在第一象限内相交于点P ，且△AOP 的面积为4，求a 的值．图1－2－814．如图1－2－9，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1＝x 2(x≥0)与y 2＝x23(x≥0)的图象于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交函数y 1的图象于点D ，直线DE∥AC，交函数y 2的图象于点E ，求DEAB的值．图1－2－9详解详析1．(1)略(2)①抛物线 上 y 轴 直线x ＝0 (0，0) 上 ②抛物线 下 y 轴 直线x ＝0 (0，0) 下2．B [解析] 图象有最高点，所以一定是开口向下的抛物线．故选B. 3．D4．(1)③ (2)① (3)④ (4)②5．B [解析] ∵抛物线开口向下，∴2m －1<0，∴m <12.6．－2 7.48．解：(1)∵抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴， ∴设此抛物线的函数表达式是y ＝ax 2.把(－3，2)代入y ＝ax 2中，得2＝9a ，解得a ＝29，∴这个抛物线的函数表达式是 y ＝29x 2.(2)∵a ＝29>0,∴这个抛物线的开口向上，在x 轴上方(除顶点外)． 9．解：设涵洞所成抛物线的函数表达式为y ＝ax 2(a ＜0)， ∵点B 在抛物线上，∴将点B (0.8，－2.4)代入y ＝ax 2(a ＜0)， 求得a ＝－154，∴抛物线的函数表达式为y ＝－154x 2.2．4－1.5＝0.9(m)．设D 点坐标为(x ，－0.9)，则－0.9＝－154x 2，解得x ＝±65，故宽度为2×65＝2 65(m)＜1 m. 答：涵洞ED 宽2 65 m ，不会超过1 m.10．D [解析] 由题意得－2＝－125x 2，解得x ＝±5 2，即点A 的坐标为(－5 2，－2)，点B 的坐标为(5 2，－2)， 这时水面宽度AB 为10 2 m. 故选D. 11．D12．8 [解析] y ＝13x 2和y ＝－13x 2的图象开口方向相反，开口大小相同，形状相同，故它们的图象关于x 轴对称．又因为图中正方形也关于x 轴对称，故S 阴影＝12S 正方形＝12×4×4＝8.13．解：∵OA ＝OB ＝4， ∴△AOB 的面积为8. 又∵△AOP 的面积为4， ∴P 是AB 的中点，从而可得△OAP 是等腰直角三角形． 过点P 作PC ⊥OA 于点C ， 可得OC ＝2，PC ＝2，∴P (2，2)． 将P (2，2)代入y ＝ax 2中，得a ＝12.14．解：设点A 的坐标为(0，a )(a >0)．令x2＝a，解得x＝±a，∴点B的坐标为(a，a)．令x23＝a，解得x＝±3a，∴点C的坐标为(3a，a)．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为3a，∴y D＝(3a)2＝3a，∴点D的坐标为(3a，3a)．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，令x23＝3a，∴x＝±3 a，∴点E的坐标为(3 a，3a)，∴DE＝3 a－3a，∴DEAB＝3 a－3aa＝3－ 3.。
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第一讲 二次函数的认识与待定系数法、配方法【问题探索】某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子；（2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2510060000y x x =-++。
【新课引入】提问：1、在式子2510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。
2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。
（其中）答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。
总结：一般地，形如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。
因此，最简单的二次函数形式是2(0)y ax a =≠举例：2510060000y x x =-++和2100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2S r π=等，都是二次函数．3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？答案：是，因为化简能变成2y ax bx c =++（0a ≠）的形式。
4、通过二次三项式的配方，改变函数2510060000y x x =-++的表示形式。
答案：2225100600005(20)600005(20100)60000500y x x x x x x =-++=--+=--+++ 25(10)60500y x ∴=--+，它反过来也能变成2y ax bx c =++（0a ≠）的形式，因此，它还是二次函数。
这个式子可以让我们之间看出y 的最大值或最小值。
如：25(10)60500y x =--+中，当10x =时，y 有最大值60500。
5、一次函数、反比例函数都有图象，二次函数有图象吗？怎么画出它的图象呢？ 答案：二次函数也有图象，画二次函数的图象应该①列表；②描点；③连线。
6、请画出2510060000y x x =-++（5(100)(120)y x x =-+-、25(10)60500y x =--+）的图象，观察图象的形状是什么？观察图象与x 轴、y 轴的交点坐标，以及图象的最高点（顶点）坐标。
答案：图象是抛物线，与x 轴交点（-100,0）、（120,0），与y 轴的交点（0,60000），顶点（10,60500），同一个函数可以有三种表达形式，从解析式可以分别看出图象的哪些特征？【总结归纳】一、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的x 、y 对应也就是说：1、 二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；2、 满足二次函数解析式的每一组(,)x y 的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。
二、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数；2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；3、已知图象与x 轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。
4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。
四、配方法其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——2222()a ab b a b ±+=±。
配方法在如下几个方面使用较多： 1、 用于求二次三项式的最值； 2、 用于解一元二次方程；3、 用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。
【精选例题】（一）二次函数的概念例1、（1） 函数y=（m ＋2）x＋2x －1是二次函数，则m= ．（2）下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析： （1）2y ax bx c =++中，只有二次项系数0a ≠时，才是二次函数，22220m m ∴-=+≠且，故答案为2m =；（2）①④中未知项的最高次数都是1次，不是2次，因此不是二次函数；②③通过化简成一般形式，发现它们符合2y ax bx c =++且0a ≠，所以答案为B 。
前思后想：一个函数是不是二次函数，关键看两个方面，①最高次项为2次，化简后符合一般形式；②二次项系数不等于0. 牛刀小试：1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y =（m －2）x是二次函数．3．下列不是二次函数的是（ ）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－x 2 C ．y=D ．y=（x ＋1）（x －2）答案：1、0a ≠，0,0a b =≠，0,0,0a b c =≠=； 2、2m =-； 3、C.（二）根据等量关系列二次函数关系式例2 1、正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式． 解析：22-m x 121x 22-m 3152-x等量关系：增加的面积=新正方形面积—原正方形面积，则22(5)5y x =+-整理得210y x x =+前思后想：根据实际情境列函数关系式，跟方程应用题一样，先找等量关系，再用代数式分别表示各个量，根据等量关系即可列出函数关系式。
变式：1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式． 牛刀小试：1、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5套，如果商场将售价定为x 元，请你得出每天销售利润y （元）与售价x （元）的函数表达式．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP =x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 答案：1、[](40)3005(50)y x x =---化简得2575022000y x x =-+-；2、先证ABP PCQ ∆∆得1(4)4CQ x x =-，在根据面积公式得21282y x x =-+。
（三）画二次函数图象例3. 画出函数y ＝2x 2－3x 的图象，并说出它与坐标轴的交点坐标以及顶点坐标. 解析： 列表：描点并连线：前思后想：1、 列表：画二次函数的图象，必须先配方找到顶点，再将x 取五个数，正中取顶点，向两边平均取点；2、 描点：根据表格中每个(,)x y 的实数对，在坐标系中描出相应的点；3、 连线：按照从左到右的顺序沿着各点用平滑的线连起来。
牛刀小试：1、画出下列函数的图象．（1）2235y x x =--； （2）234y x x =--+2、画函数y ＝－14x 2＋32x ＋4的图象，并写出它与坐标轴的交点及顶点坐标。
答案：略（四）利用配方法把函数解析式配成顶点式例4. 把y=x 2+3x -4化成顶点式； 解析：299(3)444y x x =++-- 2325()24y x =+-例5.把 y=2x 2-8x +6配成顶点式； 解析：22(44)68y x x =-++- 22(2)2y x =-- 例6．把y ＝－x 2＋x ＋1配成顶点式； 解析：211()144y x x =--+++ 215()24y x =--+例7．把y=12-x 2+3x -2配成顶点式。
解析：219(69)222y x x =--++- 215(3)22y x =--+前思后想：以上四道配方题可以看出配方的过程：①把二次项和一次项添上括号，提取二次项系数；②在括号内把二次项和一次项添加一个常数项配成完全平方式，里面添了项，外面就要减去添的项，注意括号外的系数；③把括号内写成平方形式即可。
牛刀小试：1、把Q =－(50－x )2＋ (50－x )＋308配成顶点式；2、把y ＝－3x 2－6x ＋8配成顶点式；3、把y =2x 2-8x +1配成顶点式。
答案：1、2992142Q x x =-+-配方得299()12332Q x =--+ 2、23(1)11y x =-++ 3、22(2)7y x =--（五）用待定系数法求二次函数解析式例8. 已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式。
解析：设二次函数解析式为2y ax bx c =++ （0a ≠），因为图象过三点，则043a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解得：1a =，2b =，3c =-。
所以二次函数的解析式为：223y x x =+-。
例9. 已知二次函数的图象经过原点，且当x ＝1时，y 有最小值－1，求这个二次函数的解析式。
解析：因为二次函数当x ＝1时，y 有最小值－1，所以，设2(1)1y a x =--，由于图象过原点， 所以10a -=，1a ∴=。
故二次函数为2(1)1y x =--。
例10. 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为 (0，－3)，求这个二次函数解析式。
解析：因为函数图象与x 轴相交于（-3,0），（1,0）两点，故设二次函数为(3)(1)y a x x =+- 由于图象与y 轴交于点（0，-3），所以，33a -=-，即1a =。
∴二次函数为(3)(1)y x x =+-前思后想：三道例题分别反映了待定系数法求函数关系式的三种方法：知道三点，设一般式；知道顶点，设顶点式；知道与x 轴交点，设交点式。