利用函数性质判定方程解的存在--课件
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新北师大版第2章第8节方程解的存在性及方程的近似解课件(48张)
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对点强化 1 (1)(2022·江西高三模考)已知函数
f(x)＝|fl（n xx|－－3s）in ，x，x>03<x≤3 ，则 f(x)在(0，10)上的零点个数为(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
B 由题意，当 0<x≤3 时，作出函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 的图象．
由图可知，函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 在(0，1)和[1，3]内各有一个交点，
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解析 方程 f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0. 画出 y＝f(x)－2 与 y＝kx－2 的函数图象如图所示：
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2．(多选题)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 345 6 7
f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(5，6)
D．(5，7)
BCD 由所给的函数值表知，
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，
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2．二分法 对于一般的函数 y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数 y＝f(x)的图象是一条连__续__ 的曲线，_____f_(_a_)·_f_(b_)_＜__0________，则每次取区间的中点，将区间一分为 二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二 分法．
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考点三 函数零点的应用 命题点 1 根据函数零点个数求参数
(2022·全国模拟)已知函数 f(x)＝x|l2n＋（2，x－x≤1）1，|＋2，x>1. ，若关 于 x 的方程 f(x)－kx＝0 有且只有一个实数根，则实数 k 的取值范围是 ________________．
对点强化 1 (1)(2022·江西高三模考)已知函数
f(x)＝|fl（n xx|－－3s）in ，x，x>03<x≤3 ，则 f(x)在(0，10)上的零点个数为(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
B 由题意，当 0<x≤3 时，作出函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 的图象．
由图可知，函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 在(0，1)和[1，3]内各有一个交点，
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解析 方程 f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0. 画出 y＝f(x)－2 与 y＝kx－2 的函数图象如图所示：
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2．(多选题)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 345 6 7
f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(5，6)
D．(5，7)
BCD 由所给的函数值表知，
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，
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2．二分法 对于一般的函数 y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数 y＝f(x)的图象是一条连__续__ 的曲线，_____f_(_a_)·_f_(b_)_＜__0________，则每次取区间的中点，将区间一分为 二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二 分法．
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考点三 函数零点的应用 命题点 1 根据函数零点个数求参数
(2022·全国模拟)已知函数 f(x)＝x|l2n＋（2，x－x≤1）1，|＋2，x>1. ，若关 于 x 的方程 f(x)－kx＝0 有且只有一个实数根，则实数 k 的取值范围是 ________________．
课件3利用函数性质判定方程解的存在
零点
答案：A
思考：
若函数 y f (x) 在闭区间 [a,b] 上的图 像是连续曲线，则：
f (a) f (b) 0 函数y f (x)在区间(a,b) 内有
零点，反之成立吗？
小结：
1、函数零点的定义： 函数图像与横轴交点的横坐标.
2、等价关系： f ( x0 ) 0 x0 是函数 f (x) 的零点. y f (x) 与 x 轴交点的横坐标为x0
y 3 x 与 y 2 x 是否有交点？
课堂练习
判定方程 (x 2)(x 5) 1 有两个相异实数
解，且一个大于5，一个小于2.
方法一：
7 13 (x 2)(x 5) 1 x1 2 5,
7 13 x2 2 2
方法二：考虑相应函数 f (x) (x 2)(x 5) 1
方法三：
f ( 2 ) 1 0 f (0) 9 0 f (x) 在区间 [0,2 ]内有零点,
f (5) 1 0 f (6) 3 0 f (x) 在区间 [5 ,6 ]内有零点.
2、若 a b c ,则函数f (x) (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) 两个零点分别位于区间
2求下列函数的零点. （1）f (x) 2x 3 （2）f (x) 1 2（3）f (x) 3x 9
x
问：函数 f (x) 3 x 2 是否有零点？
分析：f (x) 3 x 2 有零点，零点所在的范围呢？
f (1) 5 0 f (1) 1 0 函数在(1,1)内有零点
A. (a,b) 和 (b, c)
B.(, a)和(a,b)
答案：A
思考：
若函数 y f (x) 在闭区间 [a,b] 上的图 像是连续曲线，则：
f (a) f (b) 0 函数y f (x)在区间(a,b) 内有
零点，反之成立吗？
小结：
1、函数零点的定义： 函数图像与横轴交点的横坐标.
2、等价关系： f ( x0 ) 0 x0 是函数 f (x) 的零点. y f (x) 与 x 轴交点的横坐标为x0
y 3 x 与 y 2 x 是否有交点？
课堂练习
判定方程 (x 2)(x 5) 1 有两个相异实数
解，且一个大于5，一个小于2.
方法一：
7 13 (x 2)(x 5) 1 x1 2 5,
7 13 x2 2 2
方法二：考虑相应函数 f (x) (x 2)(x 5) 1
方法三：
f ( 2 ) 1 0 f (0) 9 0 f (x) 在区间 [0,2 ]内有零点,
f (5) 1 0 f (6) 3 0 f (x) 在区间 [5 ,6 ]内有零点.
2、若 a b c ,则函数f (x) (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) 两个零点分别位于区间
2求下列函数的零点. （1）f (x) 2x 3 （2）f (x) 1 2（3）f (x) 3x 9
x
问：函数 f (x) 3 x 2 是否有零点？
分析：f (x) 3 x 2 有零点，零点所在的范围呢？
f (1) 5 0 f (1) 1 0 函数在(1,1)内有零点
A. (a,b) 和 (b, c)
B.(, a)和(a,b)
利用函数的性质判定方程解的存在
例 1.判断方程 x x 6 0 是否存在实数解.
2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
y
A
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 14 0 ,
问题引入：
1.方程 x 2 x 1 0 是否有实数解？
2
2.方程 x 2 x 1 0 在区间 (2,3) 上是否有实数解？
2
3.方程 2 3x 0 在区间 (3,5) 上是否有实数解？
x
北师大版数学教材 必修1
利用函数性质判定方程解的存在
北师大版数学教材 必修1
实例分析：
故方程 x x 6 0 在区间 (4, 0) 内有实根,记为 x2 .
2
C
x2
-4 O
x1
4
x
综上可知,方程 x x 6 0 有两个实数解 x1 , x2 .
2
B
北师大版数学教材 必修1
抽象概括:
1.请指出函数的零点的概念. 2.函数的零点与方程的实数解之间有何关系？ 3.用函数的性质来断定方程有解的条件有哪些？
北师大版数学教材 必修1
典例分析:
例 2.已知函数 f ( x ) 3x x 2 .问:方程 f ( x ) 0 在 [1,0] 内 有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f ( x) 3 x 的图像是 0 , f (1) 2 0 , 3 x 2 所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
y
A
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 14 0 ,
问题引入：
1.方程 x 2 x 1 0 是否有实数解？
2
2.方程 x 2 x 1 0 在区间 (2,3) 上是否有实数解？
2
3.方程 2 3x 0 在区间 (3,5) 上是否有实数解？
x
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利用函数性质判定方程解的存在
北师大版数学教材 必修1
实例分析：
故方程 x x 6 0 在区间 (4, 0) 内有实根,记为 x2 .
2
C
x2
-4 O
x1
4
x
综上可知,方程 x x 6 0 有两个实数解 x1 , x2 .
2
B
北师大版数学教材 必修1
抽象概括:
1.请指出函数的零点的概念. 2.函数的零点与方程的实数解之间有何关系？ 3.用函数的性质来断定方程有解的条件有哪些？
北师大版数学教材 必修1
典例分析:
例 2.已知函数 f ( x ) 3x x 2 .问:方程 f ( x ) 0 在 [1,0] 内 有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f ( x) 3 x 的图像是 0 , f (1) 2 0 , 3 x 2 所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
利用函数性质判定方程解的存在PPT演示文稿
怎样求这个根的近似值？
-x 2 =log
数形 结合
练习
2
已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 （A） （B） （C） （D）
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 x bx c, x 0, x 0 f ( x) f 4 f 0， f 2 2 2、设函数 若 ， 2, x 0 则关于x的方程 f ( x) x 解的个数为 （A）1 （B）2 （C）3（D）4 3、已知函数 y log x与y kx 的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则 k = 1 1 1 1 （A） 4 （B） 2 （C） 4 （D） 2
坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内 至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
例2
两根都大于1，求m 的范围。
数形 结合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 f(x)=x -5x+m=0的
例3
讨论
x 2 解的个数和分 布情况。
1 2014-9-24
4.1.1
利用函数性质判 定方程解的存在
问题提出
方程与函数都是代数的
重要内容 多数方程没有求解公式 如何利用方程与函数的 关系求方程的解？
实例分析
判断方程
F(x)=
2 x -x-6=0
解的存在。
2 x -x-6
-3
0
4
-6
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横
1 4
总结 方程与函数的关系 根的存在性的判断 的方法
-x 2 =log
数形 结合
练习
2
已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 （A） （B） （C） （D）
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 x bx c, x 0, x 0 f ( x) f 4 f 0， f 2 2 2、设函数 若 ， 2, x 0 则关于x的方程 f ( x) x 解的个数为 （A）1 （B）2 （C）3（D）4 3、已知函数 y log x与y kx 的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则 k = 1 1 1 1 （A） 4 （B） 2 （C） 4 （D） 2
坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内 至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
例2
两根都大于1，求m 的范围。
数形 结合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 f(x)=x -5x+m=0的
例3
讨论
x 2 解的个数和分 布情况。
1 2014-9-24
4.1.1
利用函数性质判 定方程解的存在
问题提出
方程与函数都是代数的
重要内容 多数方程没有求解公式 如何利用方程与函数的 关系求方程的解？
实例分析
判断方程
F(x)=
2 x -x-6=0
解的存在。
2 x -x-6
-3
0
4
-6
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横
1 4
总结 方程与函数的关系 根的存在性的判断 的方法
利用函数性质判定方程解的存在
②采用“启发――探究――讨论”的教学模式; ③教学中巧妙地融入人文、数学史教育，对学 生进行数学文化和人文熏陶，提高课堂教学的 品味; ④理论依据：维果茨基“最近发展区”理论；新
课程理论；APOS理论、课堂教学金字塔理论.
• 我们将用两个课时来学习高次方程和任意 方程的近似解的求法,本节课重点解决方程 解的存在性问题,即函数的零点存在性问题.
零点存在性的探索
1、如图: X轴两侧有两点P、Q，现你用一条 不间断的曲线在[a,b]上将P、Q两点连起来， 观察曲线与x轴的交点情况及P、Q两点对应 的y值的乘积情况.
Q
a
y f x
( a, b)
x 2 3 x =0 在区间[-1，0]内有没有实数解， 解法3：方程
方程 3 =x 在区间[-1，0]内有没有实数解，
x 2
x 2 函数 和 y 3 y =x 的图像在区间[-1，0]内有没有交 点
运用几何画板分别在同一个坐标系中作出函数 y 3x 和 2 y =x 的图像，如下：
• “函数零点”这个名称非常妙，点出了事物的本质。 同学们能否给出函数零点的定义？
函数的零点：
f x) 的图像 我们把 函数 y （ 与横轴的交点的横坐标称为这个 函数的零点
思考1：函数零点是一个点？
思考2：函数零点有哪些等价关系？
数根
x0 是方程f(x)=0的实
数
函数y=f(x)的图像与x轴有 交点（ x0 ，0 ）
P
b
零点存在性的探索
思考 4：函数 y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x)一定有零点？ 探究: （Ⅰ）观察二次函数 f ( x) x 2 2x 3 的图象： 1 在区间 (-2,1) 上有零点 ______ ； f (2) _______ ， ○
利用函数性质判定方程解的存在
y
0
x
有,2个 ,2个
没有
4x－ （3） x2 ＝4x－4；
2x＝ （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
有，1个
有，2个
知识探究
观察二次函数f(x)=x 2x－ 的图像: 观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图像:
f(－ [－2,1] f(－2)>0 f(1)<0
y
2 1
.
－2 －1
. .
第四章
§1
1.1
函数应用
函数与方程
利用函数性质判定 方程解的存在
学习目标
1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点 1.理解函数（结合二次函数）零点的概念， 理解函数 与相应方程解的关系. 与相应方程解的关系. 2.掌握零点存在的判定条件． 2.掌握零点存在的判定条件． 掌握零点存在的判定条件
1.函数零点的定义 1.函数零点的定义 2.等价关系 2.等价关系 3.函数的零点或相应方程的 3.函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断
行动与不满足是进步的第一必需品。
= x - 3x + 2 的图像与 x 轴交点坐标有何关
2
y
o
1
2
x
方程的根等于交点的 横坐标
函数的零点
我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为 我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为 y=f(x) 这个函数的零点。 这个函数的零点。 等价关系： 方程 f (x) = 0 有实数解 等价关系：
y y
.
a
0
.
b
x
.
a 0
.
b
x
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 只要满足上述两个条件, 区间内存在零点。 区间内存在零点。
0
x
有,2个 ,2个
没有
4x－ （3） x2 ＝4x－4；
2x＝ （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
有，1个
有，2个
知识探究
观察二次函数f(x)=x 2x－ 的图像: 观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图像:
f(－ [－2,1] f(－2)>0 f(1)<0
y
2 1
.
－2 －1
. .
第四章
§1
1.1
函数应用
函数与方程
利用函数性质判定 方程解的存在
学习目标
1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点 1.理解函数（结合二次函数）零点的概念， 理解函数 与相应方程解的关系. 与相应方程解的关系. 2.掌握零点存在的判定条件． 2.掌握零点存在的判定条件． 掌握零点存在的判定条件
1.函数零点的定义 1.函数零点的定义 2.等价关系 2.等价关系 3.函数的零点或相应方程的 3.函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断
行动与不满足是进步的第一必需品。
= x - 3x + 2 的图像与 x 轴交点坐标有何关
2
y
o
1
2
x
方程的根等于交点的 横坐标
函数的零点
我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为 我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为 y=f(x) 这个函数的零点。 这个函数的零点。 等价关系： 方程 f (x) = 0 有实数解 等价关系：
y y
.
a
0
.
b
x
.
a 0
.
b
x
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 只要满足上述两个条件, 区间内存在零点。 区间内存在零点。
北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》PPT课件
数的零点，方程的根，图象与x轴交点 数零点与方程解的关系.
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
新课标人教A版数学必修1全部课件：4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
，则关于x的方程
f 2 2
（A）1 （B）2 （C）3（D）4 f 已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则
(x) x
（D）
3、已知函数
（A）
（A）
（B）
（C）
的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则
4
=
（B） y log 1 x 与 y kx （C） （D）
k
1 4
1 2
1 4
1 2
Page 7
总结 方程与函数的关系
根的存在性的判断 的方法
Page 8
作业
P136:A B P125:A 2 1 6
Page 9
数形 结合
Page 6
例3 -
怎样求这个根的近似值？
练习
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 2、设函数 解的个数为
x 2 若x c , x 0, x ， b 0 f (x) x0 2,
f 4 f 0
利用函数性质判 定方程解的存在
\
4.1.1
方程与函数都是代数的 重要内容 多数方程没有求解公式 如何利用方程与函数的 关系求方程的解？
问题提出
Page 2
实例分析 判断方程 x -x-6=0 解的存在。
2
x2-x-6
F(x)=
-3
0
4
-6
Page 3
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐 标叫做该函数的零点。即f(x)=0的 解。
若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲 线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至 少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内 至少有一个实数解。
「精品」北师大版高中数学必修一课件4-1-1~2-精品课件
∴ ff01＞ ＜00， ， f2＞0，
(6 分)
即 1a＞ －02， ＋1＜0， 4a－4＋1＞0，
解得34＜a＜1.(8 分)
(3)当 a＜0 时，设方程的两根为 x1，x2， 则 x1·x2＝1a＜0，(10 分) x1，x2 一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为34，1(12 分)
1.25
f(1.25)＜0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)＞0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)＜0
(1.312 5,1.375)
∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1， 故函数 f(x)＝x3－x－1 在(1,1.5)内的一个近似零点为 1.375， 即方程 x3－x－1＝0 在(1,1.5)内的一个近似解为 1.375.
规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零 点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值， 进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数值符 号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该 函数的单调性．
【训练 1】 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1； (3)f(x)＝x3－4x.
规律方法 使用二分法求方程的近似解应转化为求其相应函数 的近似零点，当区间两个端点在满足精确度条件下的近似值相 等时，所得区间两个端点的近似值便为所求方程的根(或函数零 点)．
【训练 2】 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥 部的电话线路发生了故障，这是一条 10 km 长的线路，每隔 50 m 有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到 一个简便易行的方法吗？
利用函数性质判定方程解的存在
5 2010-12-11
2-5x+m=0的 f(x)=x
例3
讨论 x 2 解的个数和分 布情况。
-x=log 2
怎样求这个根的近似值？
数形 结合
6 2010-12-11
练习
已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 （A） （B） （C）
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 x + bx + c, x ≤ 0, x ≤ 0 f (x) = f ( −4) = f ( 0)， f ( −2 ) = −2 2、设函数 2, ， x > 0若 则关于x的方程 f ( x ) = x 解的个数为 （A）1 （B）2 （C）3（D）4 3、已知函数 y = log x与y = kx 的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则 k = 1 1 1 1 （A）− 4 （B） 2 （C） 4 （D） − 2
利用函数性质判 定方程解的存在
1 2010-12-11
问题提出
方程与函数都是函数的 关系求方程的解？
2 2010-12-11
实例分析
判断方程 x2-x-6=0 解的存在。 F(x)= x2-x-6
-3
0
4
-6
3 2010-12-11
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横 坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内 至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
4 2010-12-11
例2
两根都大于1，求m 的范围。
数形 结合
2
（D）
2-5x+m=0的 f(x)=x
例3
讨论 x 2 解的个数和分 布情况。
-x=log 2
怎样求这个根的近似值？
数形 结合
6 2010-12-11
练习
已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 （A） （B） （C）
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 x + bx + c, x ≤ 0, x ≤ 0 f (x) = f ( −4) = f ( 0)， f ( −2 ) = −2 2、设函数 2, ， x > 0若 则关于x的方程 f ( x ) = x 解的个数为 （A）1 （B）2 （C）3（D）4 3、已知函数 y = log x与y = kx 的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则 k = 1 1 1 1 （A）− 4 （B） 2 （C） 4 （D） − 2
利用函数性质判 定方程解的存在
1 2010-12-11
问题提出
方程与函数都是函数的 关系求方程的解？
2 2010-12-11
实例分析
判断方程 x2-x-6=0 解的存在。 F(x)= x2-x-6
-3
0
4
-6
3 2010-12-11
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横 坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内 至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
4 2010-12-11
例2
两根都大于1，求m 的范围。
数形 结合
2
（D）
利用函数性质判定方程解的存在
③ ② y=x2 f(-1)f(1)>0
可方程x2=0在(-1,1)上有解x=0。
． ．
x
例1 判定方程x3+2x+1=0在[-2,3]上是否有解。 分析： 利用上述结论。 解：因为f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0 f(3)=33+2×3+1=34>0 则 f(-2)f(3)<0 又因为函数f(x)=x3+2x+1的图像在[-2,3]上连续， 所以，方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解。 小结：
课件介绍
作者：高竹
单位：长安四中
使用方式：PPT 制作思路： 本课件是为高中数学必修一第四章《函数应用》中的第 一节课制作的。由于本节内容对数形结合思想应用的非常多， 所以利用课件会使得问题变得直观﹑简单；同时课件中丰富的 色彩，简单的动画也会引起学生学习的兴趣。而且利用课件会 节约很多画图﹑抄题的时间，这样就可以增大课堂容量，可给 予学生充分的思考﹑练习﹑讨论的时间。
课堂练习： ⒈判断方程x3-x=0在[-2，2]上是否有解。 分析： 思路一 f(-2)f(2)<0且f(x)=x3-x的图像在[-2,2] 上连续， 所以方程在此区间上有解。 思路二 数形结合
y
1
y=x3
y=x 1 x
从图可知方程 有三个解
-1
0 -1
⒉判断方程x3+x=0 在（-∞，0）上是否有解。 分析： 思路一 利用值域判断 当x∈(-∞,0)时，f(x)<0 ，即图像在x轴下方， 函数在(-∞,0)上没有零点，则方程在(-∞,0)上 无解。
布置作业：
判定下列方程在给定区间上是否有解： ⑴ x5+3x+1=0,x∈[-1,1]; ⑵ ⑶
可方程x2=0在(-1,1)上有解x=0。
． ．
x
例1 判定方程x3+2x+1=0在[-2,3]上是否有解。 分析： 利用上述结论。 解：因为f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0 f(3)=33+2×3+1=34>0 则 f(-2)f(3)<0 又因为函数f(x)=x3+2x+1的图像在[-2,3]上连续， 所以，方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解。 小结：
课件介绍
作者：高竹
单位：长安四中
使用方式：PPT 制作思路： 本课件是为高中数学必修一第四章《函数应用》中的第 一节课制作的。由于本节内容对数形结合思想应用的非常多， 所以利用课件会使得问题变得直观﹑简单；同时课件中丰富的 色彩，简单的动画也会引起学生学习的兴趣。而且利用课件会 节约很多画图﹑抄题的时间，这样就可以增大课堂容量，可给 予学生充分的思考﹑练习﹑讨论的时间。
课堂练习： ⒈判断方程x3-x=0在[-2，2]上是否有解。 分析： 思路一 f(-2)f(2)<0且f(x)=x3-x的图像在[-2,2] 上连续， 所以方程在此区间上有解。 思路二 数形结合
y
1
y=x3
y=x 1 x
从图可知方程 有三个解
-1
0 -1
⒉判断方程x3+x=0 在（-∞，0）上是否有解。 分析： 思路一 利用值域判断 当x∈(-∞,0)时，f(x)<0 ，即图像在x轴下方， 函数在(-∞,0)上没有零点，则方程在(-∞,0)上 无解。
布置作业：
判定下列方程在给定区间上是否有解： ⑴ x5+3x+1=0,x∈[-1,1]; ⑵ ⑶
新教材高中数学第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解第1课时利用函数性质判定方程解的存在性课件
再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2
(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.1或2
(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
(1) 答案 A
解析 ∵b2=ac,且abc≠0,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0.
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,
f(2)=-1+ln 2=ln
2
<0,
e
所以f(3)·f(2)<0,
说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上单调递增,所以原函数只有一个零点.
探究点三 已知零点个数求参数的取值范围
【例 3】 已知函数 f(x)=
2
出函数 g(x)和 h(x)的图象如图所示.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点.
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上单调递增,故f(x)有且只有一个零点.
故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
)
(2)解(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.
变式训练2
(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.1或2
(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
(1) 答案 A
解析 ∵b2=ac,且abc≠0,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0.
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,
f(2)=-1+ln 2=ln
2
<0,
e
所以f(3)·f(2)<0,
说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上单调递增,所以原函数只有一个零点.
探究点三 已知零点个数求参数的取值范围
【例 3】 已知函数 f(x)=
2
出函数 g(x)和 h(x)的图象如图所示.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点.
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上单调递增,故f(x)有且只有一个零点.
故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
)
(2)解(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.
新教材高中数学第五章函数应用1-1利用函数性质判定方程解的存在性课件北师大版必修第一册
[归纳提升] 判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：转化为解方程f(x)＝0，方程有几个根，函数就有几个 零点． (2)图象交点法：画出函数y＝h(x)与y＝g(x)的图象，根据图象的交点 个数判断方程h(x)＝g(x)有几个根，或函数y＝h(x)－g(x)有几个零点．
【对点练习】❷ 已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝－(x－1)2＋1，
解法二：由 x2－1x＝0，得 x2＝1x.
令 h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x， 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象，由图可知两函数图象只有一 个交点，故函数 f(x)＝x2－1x只有一个零点．
(3)当 x≥0 时，令 f(x)＝0，得 x＋1＝0，解得 x＝－1，与 x≥0 矛盾； 当 x＜0 时，令 f(x)＝0，得 x－1＝0，解得 x＝1，与 x＜0 矛盾，∴函数 f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ ＜00，没有零点．
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 函数的零点 (1)零点的概念：如果函数y＝f(x)在实数__a_处__的__函__数__值__等__于__0___，即
___f(_a_)_＝__0__，则a为函数f(x)的零点． (2)零点的意义
思考1：(1)函数的零点是点吗？ (2)所有的函数都有零点吗？ 提示：(1)函数的零点是实数，而不是点．如函数 f(x)＝x＋1 的零点 是－1，而不是(－1，0)． (2)并不是所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x，y＝x2＋1 均没有零 点．
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
【素养目标】 1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 【学法解读】 1．理解函数的零点、方程的根与图象与x轴交点三者之间的关 系．(数学抽象) 2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(直观想 象) 3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(逻辑推理)
【对点练习】❷ 已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝－(x－1)2＋1，
解法二：由 x2－1x＝0，得 x2＝1x.
令 h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x， 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图象，由图可知两函数图象只有一 个交点，故函数 f(x)＝x2－1x只有一个零点．
(3)当 x≥0 时，令 f(x)＝0，得 x＋1＝0，解得 x＝－1，与 x≥0 矛盾； 当 x＜0 时，令 f(x)＝0，得 x－1＝0，解得 x＝1，与 x＜0 矛盾，∴函数 f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ ＜00，没有零点．
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 函数的零点 (1)零点的概念：如果函数y＝f(x)在实数__a_处__的__函__数__值__等__于__0___，即
___f(_a_)_＝__0__，则a为函数f(x)的零点． (2)零点的意义
思考1：(1)函数的零点是点吗？ (2)所有的函数都有零点吗？ 提示：(1)函数的零点是实数，而不是点．如函数 f(x)＝x＋1 的零点 是－1，而不是(－1，0)． (2)并不是所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x，y＝x2＋1 均没有零 点．
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
【素养目标】 1．结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 【学法解读】 1．理解函数的零点、方程的根与图象与x轴交点三者之间的关 系．(数学抽象) 2．会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．(直观想 象) 3．能借助函数单调性及图象判断零点个数．(逻辑推理)
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件-高一上学期数学北师大版
学习目标
新课讲授
课堂总结
方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系:
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象 与x轴有交点
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：函数零点存在定理
思考:不解方程,该如何判断函数f(x)=x2-x-6零点是否存在？
函数f(x)=x2-x-6的图象如图，f(0)=6<0，f(4)=6>0，
新课讲授
课堂总结
知识点1:函数的零点及其与方程根的关系
1.计算完成下列表格:
2.画出函数y=x2-x-6的图像:
x
-4
x2
0
x1
4
y=x2-x-6
14
0
-6
0
6
x1 x2
问题:方程y=x2-x-6的根与对应函数图像与x轴交点有什么关系
学习目标
新课讲授
课堂总结
新知讲解
使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. f (x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 注意: 1.函数的零点是一个实数,而不是一个点. 例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0). 2.不是所有的函数都有零点,如f(x)=1，f(x)=x2+1就没有零点.
例1.方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？
又因为函数f(x)=3x-x2的图象是一条连续的曲线,由零点存在定理可知方程 f(x)=0在区间(-1,0)内有解,即在区间[-1,0]内有解,故方程3x-x2=0在区间[-1,0]内 有解.
学习目标
新课讲授
课题§1利用函数性质判定方程解的存在
【课题】§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在【课时】第一课时【教学目标】1.知识与技能①正确认识函数与相应方程的关系，理解函数零点的概念,求方程的实数解就是求函数的零点，体会函数知识的核心作用.②掌握零点存在的判定条件，并能利用函数的性质判定方程解的存在性.（2）过程与方法：①由特殊方程的根与相应函数的关系，推广到一般方程与函数的关系.②由特殊函数的零点所在区间的判断推广到一般情况.③学生自主探究得到零点存在区间的判断方法.（3）情感态度与价值观：①在学习的过程中，体会数形结合思想及函数与方程想的应用.进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间的内在联系.②感受探索学习、发现结论的乐趣.【教学重点、难点】重点：理解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理难点：零点存在性定理的准确理解及零点的确定.【学法与教学用具】学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.教学用具：投影仪【新课导学】（一）实例引课请同学们研究F列函数图像及相应方程根的情况.①函数y=X-l方与程X-I=O②函数y=/-x-6与方程/-x-6=0（动手实践1）【师】引导学生解方程，画函数图像，分析方程的根与函数图像与X轴交点坐标的关系，引出零点概念. 【生】独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流.发现结论：______________________________________________________________意图：问题比较简单，面向了全体学生，符合学生认知规律，真正让学生思维"动"起来。
让学生感知"函数的零点”概念发生的过程和求函数零点的两种方法：方程求根法与图像法•思考I 一般地，对于方程/(x)=O与函数y=/(x)上述关系适应吗？试举例说明！(二)互动交流研讨新知1函数零点的概念：函数y=/(x)图像与横轴(X轴)的交点的横坐标称为这个函数的零点.注：函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=O实数根.概念加强：求下列函数的零点.y=l0g2X y=(x-2)∙(x-3)∙(x-4)方程/(x)=0有实数根O函数\，=f(x)的图像与A轴有交点。
利用函数性质判定方程解的存在
[例2]
判断下列函数有几个零点？
(1)y＝ex＋2x－6； (2)y＝log2x－x＋2.
[思路点拨] 借助函数的单调性和图像解答． [精解详析] (1)由于y1＝ex在R上单调递增，y2＝2x－6 在R上单调递增，∴y＝ex＋2x－6在R上单调递增． 又f(0)＝1＋0－6＝－5<0，f(3)＝e3＋6－6＝e3>0. ∴y＝f(x)在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一 个零点；
(2)函数对应的方程为log2x－x＋2＝0.即求函数y＝
log2x 与y＝x－2图像交点个数． 在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知 有2个交点．从而函数y＝log2x－x＋2有两个零点．
[一点通] 判断函数零点个数的方法主要有： (1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判
断．
2．函数的零点的作用：
(1)解决根的分布问题．
(2)已知零点的存在，求字母的范围． 3．解决二次方程根的分布问题主要从以下几个方 面考虑： (1)二次函数的开口方向
(2)判别式
(3)对称轴 (4)特殊点对应的函数值
方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4. 故函数的零点－5,4；
(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.
故函数的零点是－1,1. [一点通] 求函数的零点常用方法是解方程 (1)一元二次方程可用求根公式求解． (2)高次方程可用因式分解法求根．
∴x＝± 2. 故 f(x)的零点有 2 个．
答案：C
6．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值
范围． 解：(1)当 a＝0 时，函数为 y＝－x－1，显然该函数的
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本节课的主要教
学内容是函数零点 的概念和函数零点 存在的判定方法， 这又是学习下一节 “用二分法求方程 近似解” 的基础。
学情分析
学生具备的
学生缺乏的
(1)基本初等函数的图象 和性质；
(2)初步了解一元二次方 程的根和相应二次函数 图像与x 轴的关系； (3)初步具备将“数”与 “形”相结合及转化的 意识。
y
.
. [－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－2)·f(1)<0
2
（－2,1）x＝－1 x2－2x－3＝0的一个根
.1
.
－2 <0 f(4)>0 f(2)·f(4)<0
－2 －3
（2,4）x＝3 x2－2x－3＝0的另一个根
. －4
再y 观察对数函数f(x)=lgx的图象发现:
△＞0
△=0
△＜0
设计方(a意程≠a0x)图2的+根b：x+c学=0生通两 的个 实过不 数填相根等x表1 、，x2 画有实图两数，个根相x经1 =等x历的2 了由没特有实殊数到根 一般的过
程，让学生能自主的得y 出结论：二次函数图象与x轴交点的横坐
标就是相应方程的实数根。从而形成y 概念。 y
函数y= ax2 +bx
函数y = f ( x)有零点
设计意图：让学生明白有些方程问题可以转化为
函数问题来求解，有些函数问题有时也可转化为 方程问题来解决，这正是方程与函数思想的重要 之所在。
画一画
练习2：下图是焦作市2月份的某一天从0点到12点的 气温变化图， 假设气温气是温连为续0度变的化时的刻就，请将图
y 形补充成一个完(整气的温)函是数坐图标图象，象与从。X函轴数交y角点(气度横温) 思考：这段6时间内，是否来说一就定是点函6数的零
设问2：结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什 么情况下一定成功过河呢？
观察学生所画的图像，大致可以分为以下两类：
当A、B两点在x轴的两侧时，可能会出现以下情形：
A
xA
x
A
x
B
B
B
当A、B两点在x轴的同侧时，可能会出现以下情形：
A
B
A
B
A
B
x
x
x
设计意图：学生通过画图，大部分不难发现，第Ⅰ组能说明 小马在行程中一定成功过河（因为A、B两点在x轴的两侧）， 而第Ⅱ组中小马在行程就不一定成功过河（因为A、B两点在x 轴的同侧 ）。
用一用
练习1：求下列函数的零点：
f ( x ) = lg( x 2 + 4 x - 4)
设计意图：进一步巩固函数零点的求法，并渗透二 次函数以外的函数零点问题．进一步体现方程与函 数的关系．
想一想 以下三个结论有怎样的相关性？
函数y = f (x)的图像与x轴有交点
方程f ( x) = 0有实数根
优秀题材。因此，经历将“本类比节—课归纳的—教应用学”目的过程
2 标过确程定与方为法：目标
经历了方程与函数的转化过程
3 情感与价值观目标
培养学生严谨的学习态度 体验自主探究，合作交流的乐趣
重点与难点
重点 理解函数零点的概念，
掌握函数零点的判定方法。
函数零点是连接方程的根与函数图象之间 的纽带，体现了数形结合的数学思想，体现了 化归与转化的数学思想，又是后面学习二分法 的基础，结合教材的地位和作用，将本节课的 教学重点确定为：
难点 探究发现函数零点的存在性，利用函数的
图像和性质判别函数零点的个数
从方程根的角度理解函数零点，学生 并不觉得困难，而用函数来确定方程根的 个数和大致范围，则需要适应，零点存在 性定理的获得与应用，必须让学生从大量 的具体案例中操作感知，结合学情分析， 将本节课的教学难点确定为：
教法与学法
教法选择
简单运用，巩固练习
练一练
例1.函数 f ( x) = ( x - 1)( x + 2)( x - 3)的零点为( )
(A) 1
(B) 1,-2
(C ) (1,0), (-2,0), (3,0) ( D) 1,-2,3
设计意图：形成概念后，通过实例理解概念，使
学生清晰地认识到，函数零点是具体的自变量的 取值，而不是一个点。
北师大版 · 普通高中课程标准实验教科书 · 必修1
第四章 函数的应用 4.1函数与方程 第一课时
利用函数性质判定方程解的存在
修武县第一中学 范瑛
利用函数性质判定方程解的存在
1
教材分析
2
教学目标
3
重点难点
4
教法学法
5
教学过程
6
教学评价
教材分析 教材的地位：
函数在数学中占据着不可替代的核 心地位，它与其它知识具有广泛的 联系，而本节课“利用函数性质判 定方程解的存在”就是其中的一个 链结点,它从不同的角度,将数与形, 函数与方程有机地联系在一起。
[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0
1
（0.5 , 1.5) x＝1 lgx=0的一个根.
.
1.
0.
2
x
设计意图：
通过观察两个 具体的函数图 像，进一步说 明函数零点存 在的判定方法. 由特殊到一般， 由直观到抽象， 符合学生的认 知特点，从而
形成定理。
+c(a≠0)的图象 x1 0
x2 x
0 x1
x
0
x
让函学数生的图自象主得出结论:
二次与 函x 轴数的图交象点与x轴(x1,交0) ,点(x2,的0) 横坐标(x1,0就) 是相应方没有程交的点 实数根。
启发引导，形成概念
概念
1、函数零点的概念： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0
的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
原理
零点的存在性原理：如果函数y=f(x)
在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有f(a)•f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0 的根.
巩固深化，发展思维
回到引入
例2.求函数f (x) = ln x + 2x - 6的零点的个数.
问题一：能否确定零点区间？ 问题二：该函数有几个零点？
设计意图：定理形成后，直接应用定理解决引入时所
留下的问题，首尾呼应，让学生感受到定理的作用以及 学习的必要性。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象
x
f (x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-4 -1.3069 1.0986 1.0986 5.6049 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
由列表和图像可知f(2)<0,f(3)>0，
y
即f(2)·f(3)<0,说明这个函数 14 12
在区间(2,3)内有零点。
10 8
6
. . . . .
由于函数f(x)在定义域(0,+∞) 4 2
..
内是增函数,因而仅有一个零点。
0 －2
－4
.
123
.
4
5
6
7
8
9 10
x
－6
练一练
练习3.已知函数 f ( x) 的图象是连续不断 的，有如下 x，f ( x) 对应表
(1)应用函数解决问题 的能力还不强；
(2)由特殊到一般的归 纳能力还不够；
(3) 数形结合的思想 还有待提高；
教学目标
理解函数零点的概念
1 知本识与节能课力目渗标透了理化解归函数与零转点存化在，性定数理形结 合的数学思想，是数学建模的典型范 例，是培养学生“会判运断用函数数零学点的意个识数和”所的在区间
个系统、完整的认识。 引导学教师生提从出零问题点的概
结 合 思 想
与 方 程 的 思
与 转 化 的 思
念与零学生点归的纳判概括定方法，
想想
以及本师生节共课同所完善体现的
三种数学思想方面进
行总结。
课后反馈，作业布置
作业：
必做题1．教材119页习题4--1（A组）第1题； 选做题2．求函数 f (x) = ln x - 2 的零点个数，并 指出其零点所在的大致区间．x 研究性题3.已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x3-a.如果函数y=f(x)在区间［-1，1］上有零点, 求a的取值范围.
函数
y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
熟设与悉计函数的图相的意应环图二境：次中从函发－1学数现.y012 －－生图新121 所像知2 .熟3联识悉系，x 的起比二来较－1 次，全y012 函进面1 2数而的问推把x 题广一入到元手二一y123，次般54让方情学程形生的。在根
有某个时刻的气温为0度？为 O
什么？
-2
12 x (时间)
O
12 x (时间)
- 2 设计意图：引入生活实例，激发学生的探究热情，学生通过动手画图，
会自主的发现，无论图像怎么画，一定会有零点，从几何直观上感觉和 认识零点的概念，并能启发学生发现零点的判定方法，起到承上启下的
作用 。
讨论探究，揭示原理
教材的作用：
本节课是培养学生“化归与转化思 想”、“数形结合思想”、 “方程与 函数思想”的优质载体. 本节课在内容上还具有承上启下的 重要作用.
教材的地位和作用
承上
启下
本节课的内容是在刚
刚学习完了前两章函数 性质的基础上，利用函 数的图象和性质来判断 方程根的个数，理解方 程的根与函数零点的关 系，是前两章内容的延 续。