—晶体投影
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高考化学晶体投影知识点
高考化学晶体投影知识点晶体投影是高考化学中的重要知识点之一，理解和掌握晶体投影的相关概念和方法对于解决晶体结构问题具有重要意义。
下面将介绍晶体投影的相关知识点及其应用。
一、晶体投影的定义晶体投影是指将三维晶体结构中的原子、分子或离子的投影投射在一个平面上，用二维图形来表示晶体的结构。
晶体投影可以帮助我们更清晰地观察晶体的结构，便于分析和研究晶体的性质。
二、晶体投影的方法1. 平行投影法平行投影法是一种常用的晶体投影方法，通过将所有原子在一个平面上投影，使得所有原子在投影图上的尺寸和位置与真实晶体结构一致。
可以使用线段或圆点表示原子，根据需要选择合适的比例尺和投影方向进行绘制。
2. 立体投影法立体投影法是另一种常用的晶体投影方法，它可以提供三维晶体结构的立体感。
通常使用矩形或六边形的投影图形表示晶体结构，其中不同的原子用不同的颜色或符号表示。
三、晶体投影的应用1. 晶体结构分析晶体投影可以帮助我们分析和解释晶体的结构。
通过观察晶体投影图，可以确定晶体中的基本单元和各个原子的位置关系，进而推断晶体的晶格类型、空间群和化学组成等信息。
2. 晶体性质研究晶体投影还可以用于研究晶体的物理和化学性质。
通过观察晶体投影图的形状和对称性，可以推断晶体的晶胞参数、晶体的晶系和晶体的晶体学类别，进而预测晶体的性质，如硬度、光学性质等。
3. 材料设计和合成晶体投影在材料科学和工程中有着广泛的应用。
通过研究晶体投影图，可以了解晶体的结构特征和原子排列方式，从而指导新材料的设计和合成。
四、晶体投影的难点和注意事项1. 投影方向的选择选择合适的投影方向是进行晶体投影的关键。
不同的投影方向可以呈现不同的晶体结构信息。
经验上，选择高对称轴或者对称平面作为投影方向，可以简化晶体投影图的绘制，并且更容易把握晶体的对称性。
2. 投影图的分析正确理解和分析晶体投影图对于解决晶体结构问题至关重要。
需要注意的是，晶体投影图只能提供晶体中原子位置在投影面上的信息，需要结合其它实验数据和理论知识进行综合分析。
晶体投影
FCC(111)极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
应用：面角测量 N
S
极式网：经线上的纬度差
吴式网：能转动
有且只有一个大圆过两点，此大圆必与0°经线相交于xy平面内 N
S
转动直到两点在一条经线上，读出纬度的差值即为面角
第二章：晶体投影 § 2.3 心射切面投影
极射赤面投影（Stereographic projection）：主要用来表示 线、面的方位，及其相互之间的角距关系和运动轨迹， 把物体三维空间的几何要素（面、线）投影到平面上来 进行研究。 特点：简便、直观、是一种形象、综合的定量图解。 在结晶学、地质和航海上被广泛地应用。 步骤: 1. 球面投影：视点-球心，投影面-参考球面 作晶面的法线交投影面于极点P； 2. 极射赤面投影：视点-南极S，投影面-赤平面，赤道-基圆 连接SP，交赤平面于一点即极射赤面投影点p。
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影
晶体学第一定律的意义：使人们从实际晶体千变万化的形态 中，找到它们外形上的内在规律，得以根据面角的关 系，来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学 的基础。对晶体学的发展产生了极为深远的影响。 面角: 两个晶面法线间的夹角，等于外角
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 极射赤面投影：
N 晶面 P 晶面法线
p
投影面 基圆 S
晶面在球上的投影
北半球晶面的极射赤面投影
南半球晶面的极射赤面投影
N
S
大圆的极射赤面投影
小圆的极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用 § 2.3 心射切面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
晶体投影含球面投影(特选内容)
若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道的交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不方便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）的S2称为此晶面（或晶向）的极射赤面投影。
为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。
线均分成180份。
优选内容
6
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面，
再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度
差，即为两极点间夹角。图中极点优P选1与内容P2之间的夹角为30°。
7
′
15
小圆弧
大圆弧
O
优选内容
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
8
2. 极射赤面投影
以赤道平面为投影平面，称为投影基圆。
取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投
为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。
线均分成180份。
优选内容
6
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面，
再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度
差，即为两极点间夹角。图中极点优P选1与内容P2之间的夹角为30°。
7
′
15
小圆弧
大圆弧
O
优选内容
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
8
2. 极射赤面投影
以赤道平面为投影平面，称为投影基圆。
取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。
经纬线坐标网在投影平面上的极射赤面投影是由投影基圆内的放射状直径族（经线的投
晶体学基础(第二章)
晶体学基础(第二章)第二章晶体的投影2.1面角守恒定律2.2晶体的球面投影及其坐标2.3极射赤平投影和乌尔夫网2.4乌尔夫网的应用举例2.1面角守恒定律面角守恒定律(lawofcontancyofangle),斯丹诺于面角守恒定律(angle)斯丹诺定律(Steno)1669年提出亦称斯丹诺定律年提出，1669年提出，亦称斯丹诺定律(lawofSteno)。
同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
这里夹角一般指同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
的是面角面角(angle)即晶面法线之间的夹角。
的是面角(interfacialangle),即晶面法线之间的夹角。
晶面角守恒定律告诉我们：晶面角守恒定律告诉我们：将一种物质的一个晶体的m1面与另一晶体的相应面m1´平行放置，则这两个晶体其它的相平行放置，也互相平行，应晶面m2与m2´,…………,mn与mn´也互相平行，即同一种，物质的相应晶面间夹角不变。
物质的相应晶面间夹角不变。
2.1面角守恒定律2.1面角守恒定律成分和结构相同的晶体，成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件变化的影响，而形成不同的外形，影响，而形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪晶”成所谓的“歪晶”。
2.1面角守恒定律面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
因为同种晶体具有完全相同的格子构造，晶体具有完全相同的格子构造，格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面。
种面网构成晶体外形上的同种晶面。
晶体生长过程中，晶面平行向外推移，程中，晶面平行向外推移，故不论晶面大小形态如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学的基础，奠定了几何结晶学的基础，并促使人们进一步去探索决定这些规律的根本原因。
第二章晶体的投影
ρ ϕ= 0 ϕ
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
即：方位角在基圆上度量，极距角则体现为投 影点距圆心的距离（h = r tan ρ /2） 。
极射赤平投影：
是将物体在三维空间的几何要素表述在平面上的一种投影方式。
特点：只反映物体的线和面在三度空间的方位和角距关系，而不涉及它 们的具体位置、长短大小和距离远近。它是一种等角投影。
上述投影平面与球面相截的圆称 为投影基圆。 球面上位于赤道上的点，其极射 赤平投影点将落在基圆上； 北极的投影点即是基圆的中心； 北半球上其他的点，它们的投影 都将落在基圆之内。
第二章 晶体的测量与投影
Ⅰ.面角守恒定律 Ⅱ.晶体的测量 Ⅲ.晶体的球面投影及其坐标 Ⅳ.极射赤平投影和乌尔夫网(吴氏网) Ⅴ.乌尔夫网应用举例
理想晶体与歪晶
p 理想晶体：理想条件下生长的晶体，表现为同一单形的晶面同形等大。 p 歪晶：偏离理想状态的晶体，表现为同一单形的晶面不同形等大，有
些晶面甚至缺失。
˜
˜
˜ ˜
˜˜ ˜
˜
凡是北半球上的点均以南极为视 点；南半球上的点则以北极作为视点。
北半球（包括赤道）上的点的极射 赤平投影点标记为“•”，南半球上者 标记为“○”；
如果南、北半球上的某两个点的投 影位置恰好重合时，则记为“☉”。
也有参考书将北半球（包括赤道）上的点的 极射赤平投影点标记为“⊙”，南半球上者标 记为“×”； 如果南、北半球上的某两个点的投影位置恰 好重合时，则记为“⊕”。
ϕ=350o；ρ=40.5o。
①求作该直线的另一个投影点b 1； ②求b 1的球面坐标值。
例：立方体晶面的球面投影
2. 球面坐标
• 球面坐标（ρ,ϕ):
类似地球的经纬度
• 极距角ρ (纬度) ：投影轴与晶面
晶体投影
投影平面，称为投影基圆。 取半径极大的球为参考球，把晶体放在球心上，作某晶面的极点P1（此晶面 法线与参考球的交点），或某晶向的迹点P1（此晶向与参考球的交点），将南极 点与此极点（或迹点）连线SP1，与赤道大圆（投影基圆内）交于一点S1，此点 S1则称为某晶面（或晶向）的极射赤面投影。 若极点在南半球P2点，连线SP2与赤道的交点S2位于赤道大圆（投影基圆） 之外，这种情况对投影作图及角度测量不方便，这时可从北极连线NP2，将NP2 与赤道大圆（投影基圆内）的S2称为此晶面（或晶向）的极射赤面投影。 为区别起见，将北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“o”表示；将南 半球的极点P2对应的极射赤面投影点S2用“”表示。 或：北半球的极点P1对应的极射赤面投影点S1用“”表示；将南半球的极点 P2对应的极射赤面投影点S2用“×”表示。
---精品---
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
---精品---
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
---精品---
图中S点的ρ不能直接从 乌里夫网上读出，但S‘及S‘‘点 的ρ与S点的ρ点相等，S‘点的 ρ可在AB上直接读出，S‘‘点的 可在CD上直接读出。因此， 将S点沿小圆S‘ SS‘‘绕O点转 到AB或CD上就可将到S点的ρ 度量出来。（实际上也就AB 或CD以O点为轴将S转动到与 S‘或S‘‘重合）
（经纬网是以NS为直径的大---圆精品族--和- 平行于赤道平面的小圆族）
小圆弧
大圆弧
O
---精品---
球面上的大圆族 在赤道平面上投影形 成大圆弧族，球面上 的小圆族在赤道平面 上投影投影形成小圆 弧族，它们构成一个 坐标网，这种网是乌 里夫首先制成，故称 为吴里夫网。
在乌里夫网上，大圆 弧族将小圆弧族划分 成180个间隔，小圆 弧族也将大圆弧族划 分成180个间隔，每 一间隔为1°。投影基 圆被小圆弧族划分成 360个间隔，每一间 隔为1°。
X射线晶体学(第一章6)
四、乌里弗网 将过AB的倾斜大圆 和垂直于AB的小圆投 影到赤道平面上所得 到的投影图称为乌里 弗网，简称乌氏网。 如果将投影球上的 经线都经过AB，即保 持投影球不动，将其 上的经纬线网沿NA方 向转动90度，这时再 以ABCD面作投影面得 到的投影图即是。
五、极射赤面投影的基本作图 1、已知投影球面上点的坐标，求点的极射赤面投影。 设P、Q为投影球面上的两点，其球面坐标为： P：ρ=65°，φ=40 ° Q： ρ=150°，φ=240 ° 求P、Q的极射赤面投影P′、Q′ 。
二、二维投影方法 1、心射切面投影 以过投影球N极的切面 为投影平面，如果要求球 面上一点p的投影，则连 op，以op为投影线，交平 面于g点，这就把球面上 一点转换到一个平面上， 这种投影称为心射切面投 影。图中g点即为p的心射 切面投影。
2、极射赤面投影
1）极射赤面投影的绘制 a、以赤道平面为投影面，把 赤道大圆称为投影基圆； b、设晶体中某一晶面p 的球 面投影为p1（在上半球）， 由S极经过p1引直线（投影线） 交赤道平面于s1点，则s1点 即为p1点的极射赤面投影， 也就是晶面p的极射赤面投 影。
3）绕一个倾斜轴转动 要求将A1以顺时针方向围绕B1转动40°。 解：a、使透明纸上的投影基圆的中心与乌氏网的中心 重合，使两者作相对转动，将B1转到乌氏网的CD轴 上； b、 B1围绕乌氏网的AB轴转动48°，即将B1沿CD转 到位于网心的B2上，同时A1也沿其所在的纬度小圆向 同方向转动同样角度到达A2 ； c、将A2围绕投影图的中心转动40°，到达A3； d、将B2沿CD反向转48°到达B3（与B1重合）， A3 沿所在纬度小圆转动同样角度到达A4，则A4即为A1绕 B1转动40°后的新位置。
经过NS轴的平面（子午面）与投影球的相交大圆 称为经线（子午线、直立大圆）。
第三章 晶体的测量与投影
第一节
晶体测角 CRYSTAL GONIOMETRY
晶体测量的目的： 晶体测量的目的：
通过测角数据，恢复晶体晶面的空间位置， 揭示晶体几何规律。
注意： 注意：
为了测量方便， 为了测量方便，一般测定晶面的法线夹角 晶面夹角的补角），称面角。 ），称面角 （晶面夹角的补角），称面角。
面角:晶面法线之间的夹角。 面角:晶面法线之间的夹角。
1．晶体的球面坐标系
将晶体置于球面坐标系内。 将晶体置于球面坐标系内。 方位角（azimuthal angle,经度）：指包含晶面法线的 方位角 azimuthal angle 子午面与零度子午面之间的夹角，, 即φ值。 极距角（polar angle,纬度）：指北极与晶面法线之间 极距角 polar angle 的夹角，即ρ 值。 即晶面法线与球面交点的方位角Φ（经度）和极距角ρ （纬度）称为该晶面的球面坐标（spherical 球面坐标（ 球面坐标 coordinate） coordinate）。 晶面的球面坐标反映了该晶面在晶体上的空间的方位。
0°
° 30 3
30 °
0°
60
30
°
2 7 0°
21
0°
° 50 1
18 0°
12
0°
9 90°
0°
24
第五节
1
吴尔夫网简介
吴氏网成网原理
A
吴氏网极射赤平投影举例： 吴氏网极射赤平投影举例：
已知某一晶面M的球面坐标为： Φ=120° ρ=66° 已知某一晶面M的球面坐标为： Φ=120°， ρ=66°。 步骤： 步骤： 用一张透明纸蒙在吴氏网上，描出基圆、基圆中心及Φ=0 Φ=0° 1）用一张透明纸蒙在吴氏网上，描出基圆、基圆中心及Φ=0°点。 Φ=0°为起点，在基圆上顺时针方向找到并在透明纸上标出120 120° 2）以Φ=0°为起点，在基圆上顺时针方向找到并在透明纸上标出120°点。 将基圆中心与该点相连，其连线一定是球面上Φ=120 的经线的投影， Φ=120° 3）将基圆中心与该点相连，其连线一定是球面上Φ=120°的经线的投影，即晶 的投影点一定位于该半径上。 面M的投影点一定位于该半径上。 使透明纸以基圆中心旋转，至透明纸上Φ=120 Φ=120° 4）使透明纸以基圆中心旋转，至透明纸上Φ=120°点落在吴氏网的任意直径的 一端之上。此时，从基圆中心沿此直径方向向外数66 66° 即得到ρ=66 ρ=66° 一端之上。此时，从基圆中心沿此直径方向向外数66°，即得到ρ=66°同心 圆与Φ=120 半径的交点，将该点标在透明纸上便是M的赤平投影点。 Φ=120° 圆与Φ=120°半径的交点，将该点标在透明纸上便是M的赤平投影点。
晶体的投影和倒易点阵
a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b = 0 倒易点阵的基矢垂直于正点阵异名矢量构成的平面。
若正点阵的单位格子体积为V = a ·(b×c)，倒易点阵的单 位格子体积为V*=a*·(b*×c*) ，则有
19
2021/2/19
a b c, V
a *b cs V in a c o 1 s
φ、ψ、ω分别为a与a*、b与b*、c与
b cV a，b*a cs V in bco 1 s
c*之间的夹角。 立方晶系时， φ=ψ=ω=0°则
ca V b ，c*b a V sin = cc o 1 s a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c
cos*coscoscos sinsin
cos*cosscio nss in cos
示为R=ma+nb+pc，其中m、n、p为整数， α、β、γ分别为b与c，
c与a，a与b之间的夹角。
15
二、倒易点阵
1.概念：是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立起 来的，该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易关系，故称为~， 所在空间为倒空间。 倒易点阵与晶体衍射有关，描述衍射方向问题； 正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点，同一晶带的各晶面 在倒空间中为共面的倒易阵点。 倒易空间与厄瓦尔德球相结合时，可直观解释晶体中的各种衍射现 象，因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影。
10
极式网的用途： 直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相； 当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶向 间的夹角，可以从极式网上直接读出； 但是，当两极点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到限 制。
11
若正点阵的单位格子体积为V = a ·(b×c)，倒易点阵的单 位格子体积为V*=a*·(b*×c*) ，则有
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a b c, V
a *b cs V in a c o 1 s
φ、ψ、ω分别为a与a*、b与b*、c与
b cV a，b*a cs V in bco 1 s
c*之间的夹角。 立方晶系时， φ=ψ=ω=0°则
ca V b ，c*b a V sin = cc o 1 s a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c
cos*coscoscos sinsin
cos*cosscio nss in cos
示为R=ma+nb+pc，其中m、n、p为整数， α、β、γ分别为b与c，
c与a，a与b之间的夹角。
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二、倒易点阵
1.概念：是一个虚拟点阵，是由厄瓦尔德在正空间点阵基础上建立起 来的，该点阵的许多性质与晶体正点阵保持着倒易关系，故称为~， 所在空间为倒空间。 倒易点阵与晶体衍射有关，描述衍射方向问题； 正空间中的晶面在倒空间表现为一个倒易阵点，同一晶带的各晶面 在倒空间中为共面的倒易阵点。 倒易空间与厄瓦尔德球相结合时，可直观解释晶体中的各种衍射现 象，因为衍射花样的本质是满足衍射条件的倒易阵点的投影。
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极式网的用途： 直接读出极点的球面坐标，获得该晶面或晶向的空间位相； 当晶面或晶向的极点在同一直径上，其间的纬度差即为晶面或晶向 间的夹角，可以从极式网上直接读出； 但是，当两极点不在同一直径上时，无法测量其角度，应用受到限 制。
11
第三讲—晶体投影
P4
PZT
P3
晶带：平行于某一轴线方向的
晶面组成晶带
微观对称性的反映 7
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan(/2)
P
基圆 A
基圆平面
rO p
/2
球面坐标：极距角、方位角。 S
纬线、经线（子午线、面）。
极距角、方位角
晶面
（极）点
8
晶体的投影
N
球面
基圆
晶体的球面投影
S
球面上点的极射赤面投影
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
4
23 (3L24L3)
立方晶系：五角三四面体晶类
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
5
晶面角守恒定律：在相同温度和压力等条件下，成
分和构造上均相同的同种晶体，其对应晶面之间的夹 角是守恒的。
6
P6
180o -
A
180o -
B
P1
a6
P5
a1
a5
a2
o
P2
a3 a4
22
花椒凤蝶
23
24
Natural Diamond 43.51 carat
SG(No.227): Fd3m
Type IIa CVD Diamond
Type Ib HPHT Diamond
25
重要概念：对称操作、点对称操作、参考轴、
对称算符
1 (E，L1)
26
z xy
y
m (，P )
x
27
晶胞，lattice unit cell
34
点阵，Lattice
基元 Basis
PZT
P3
晶带：平行于某一轴线方向的
晶面组成晶带
微观对称性的反映 7
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan(/2)
P
基圆 A
基圆平面
rO p
/2
球面坐标：极距角、方位角。 S
纬线、经线（子午线、面）。
极距角、方位角
晶面
（极）点
8
晶体的投影
N
球面
基圆
晶体的球面投影
S
球面上点的极射赤面投影
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
4
23 (3L24L3)
立方晶系：五角三四面体晶类
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
5
晶面角守恒定律：在相同温度和压力等条件下，成
分和构造上均相同的同种晶体，其对应晶面之间的夹 角是守恒的。
6
P6
180o -
A
180o -
B
P1
a6
P5
a1
a5
a2
o
P2
a3 a4
22
花椒凤蝶
23
24
Natural Diamond 43.51 carat
SG(No.227): Fd3m
Type IIa CVD Diamond
Type Ib HPHT Diamond
25
重要概念：对称操作、点对称操作、参考轴、
对称算符
1 (E，L1)
26
z xy
y
m (，P )
x
27
晶胞，lattice unit cell
34
点阵，Lattice
基元 Basis
晶体投影
P
E
S A N F
如图：平面A的面痕 为EFNS，极点为P。 可 以 看 出 P 与EFNS 成90º
两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表示 。图 中P1 和P2 分别为两平面的极点。大 圆ABCD和BEDF为面痕， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测 圆 P1 和P2 两极点之间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点P1 和 P2 ，如图中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
晶系的标准投影对所有立方晶系晶体都是相同的。
但在其他晶系中、必须考虑点阵常数对点阵面夹角的影 响，所以对某一具体晶体都具有它自己特有的极射赤面标准
投影，它们彼此之间是不能通用的。
因此，极射赤面投影多用于研究立方晶系晶体，而在其 他晶系中用的比较少。
乌式网绘图计算（投影基圆半径R=9） 角度 大圆弧半径 R/(COS(C4*PI()/180)) 5 10 15 9.034 9.139 9.317 小圆弧半径 =R/(COS(C4*PI()/180))R*tan((45-C4/2)*PI()/180) 0.787 1.587 2.412
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上 两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面， 再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度 差，即为两极点间夹角。图中极点P1与P2之间的夹角为30°。
如果球面投影上原有P1、
P2 两个极点，要确定晶 体 绕AB轴转动某个角度后极 点P1、P2的位置。
1. 球面投影
晶体投影
方法 ： (一) 晶体定向 一 晶体定向即是在晶体中确定坐标系统。晶体定向的具 体步骤： 1. 找出晶体的全部对称要素，确定对称型； 2. 根据对称型确定晶族、晶系（晶体对称分类）； 3.按各晶系选择晶轴的原则进行晶体定向，即将根据选 择晶轴原则选出的对称要素按结晶轴位置放置晶体模 型。由于晶体对称特征有以下二种定向： 三轴定向：X（前后）、Y（左右）及Z（上下） 三轴定向 轴，用于除三、六方晶系以外的其它晶系。 四轴定向：水平等角度分布的X、Y、U和与之垂 四轴定向 直的Z轴，用于三、六方晶系。
实习七、八 晶体定向及 晶面符号
内容： 内容：
第一次实习： 第一次实习 三轴定向（三斜、单斜、斜方、四方、
等轴晶系）晶体的晶面符号的确定。 第二次实习： 第二次实习 四轴定向（三方、六方晶系）晶体的 晶面符号的确定。 第三次实习： 第三次实习 三轴、四轴定向（七个晶系）晶体的 晶面符号及晶带符号的确定。
实习九
单形认识
对照教材47种单形图逐一观察模型，记忆单形名称，尤其对其 中的20种常见单形要熟练地掌握。 分析单形时一定要注意：单形的晶面数目、晶面间的相对位置、 晶面的形状以及晶面和对称要素之间的关系(与对称要素是 平行、垂直、等角度相交，还是任意斜交)，同时还要注意 单形的横切面形状等。 例如菱面体：由六个两两平行的菱形晶面组成，晶面三个在上， 三个在下，上下各交于Z轴，并上下晶面相互等角度错开 （区别于偏方面体）。
在确定晶面符号时，应注意下列几点： 在确定晶面符号时，应注意下列几点： 1．晶面指数首先考虑用确定数值，如(321)、(1011)等。当晶面指数难以确 定时，以(hkl)、(hhl)、(hkk)、(hh2h0)、(0kkl)等一般形式表示。晶面与 晶轴负端相截时，对应的晶面指数为负，如与Z轴负端相截与其它两晶轴 平行的晶面，其晶面符号为（001）。 2．晶面指数的一般规律：当晶面与晶轴平行时，其对应的晶面指数为0，如 (100)、(010)、和(1010)等；当晶面与晶轴相截时，截距系数越大晶面指 数越小，如一晶面在X、Y、Z轴上的截距系数分别为1、2、0，晶面符号 为（210）；四轴定向晶体的晶面指数前三位代数和为0,如（1010）、 （hh2hl）。 3．当晶面与三个晶轴等距相截时，因其晶体常数不同其对应的晶面指数不 一定全部相等。如与三结晶轴（正端）等距相截的晶面符号：等轴晶系 中为(111)、四方晶系中为(hhl)、低级晶族中则为(hkl)。三方、六方晶系 中为(hh2hl)(与U轴负端相截，截距是其它水平轴的1/2)。 4．所有晶面符号中的晶面指数均为较小的整数(很少超过6)，不会出现小数 等非整数。 5．在一个晶体上同一晶面符号决不会在不同晶面上重复出现。 6 ． 晶面符号中数字(0除外)与字母不能共存，但不包括系数,如 (hh2hl)。
晶体的投影和倒易点阵
6
2020年3月1日2时49分
2. 晶体的极射投影：是一种二次投影，即将晶体的晶面或晶向的球 面投影再以一定的方式投影到赤平面所获得的投影。包括心射极平 投影和极射赤平投影。
➢ 心射极平投影：
定义：将投影平面与上述带有晶面极点的球面相切与球面上的任一点， 以球心为视点，将球面上的晶面极点投影于投影平面上，即以球心与球 面上的晶面极点做直线延伸到投影平面，此直线与投影平面相交点即为 此晶面极点的投影点。 缺点：投影直线与投影平面平行的那些晶面极点无法做投影，一个投影 平面只能记录球面上部分晶面极点。 应用：诠释劳埃衍射照片十分有用。
六、广义晶带理论
在倒易点阵中，同一晶带的所有晶面的倒易矢量共面，即倒阵中每 一阵面上的阵点所表示的晶面均属于同一晶带轴。当阵面通过原点 时则 uh+vk+wl = 0 当倒阵面不过原点，而是位于原点的上方或下方，则此时
uh+vk+wl = N ➢ 当N>0时，倒易阵面在原点上方； ➢ 当N<0时，倒易阵面在原点的下方。
7
➢ 极射赤平投影：
以赤道平面为投影平面，以南极(或北极)为视点，将球面上的各个 点、线进行投影。
晶体投影的基本要素
8
D’
C’
B’
A’
极射赤平投影
2020年3月1日2时49分
球面投影与极射赤面投影之间的关系： 球面上过南北轴的大圆，其极射赤面投影为过基圆中心的直径； 球面上未过南北轴的倾斜大圆，其投影为大圆弧，大圆弧的弦为基圆直径； 水平大圆即赤道平面与投影球的交线，其极射赤面投影为投影基圆本身； 水平小圆的极射赤面投影为与基圆同心的圆； 倾斜小圆的投影为椭圆； 直立小圆的极射赤面投影为一段圆弧，其大小和位置取决于小圆的大小和位置。
晶体投影
5
9.034
0.787
10
9.139
1.587
15
9.317
2.412
20
9.578
3.276
25
9.930
4.197
30
10.392
5.196
35
10.987
6.302
40
11.749
7.552
45
12.728
9.000
50
14.002
10.726
55
15.691
12.853
60
18.000
15.588
线均分成180份。
---精品---
假设球面经纬线网是带有刻度的极薄的透明塑料球。测量球面投影上
两极点P1和P2之间的夹角时，应先把球面经纬线网紧贴在球面投影的表面， 再让P1和P2两极点转到经纬线网的同一条经线上，读出两极点之间的纬度 差，即为两极点间夹角。图中极点--P-精1与品--P- 2之间的夹角为30°。
极点：某晶面法线与参考球的交点称为此晶面的极点 迹点：晶体中某个方向与参考球的交点称为此晶向的迹点
P
E
S
A
如图：平面A的面痕 为 EFNS ， 极 点 为 P 。 可 以 看 出 P 与 EFNS 成90º
N F
---精品---
---精品---
两晶面之间的夹角可 用两面痕或两极点之间的 夹 角 表 示 。 图 中 P1 和 P2 分别为两平面的极点。大 圆 ABCD 和 BEDF 为 面 痕 ， 两平面之间夹角为α。为 测量极点之间的角度需要 先作一个能在球面上自由 转动的大圆，并把此大圆 均分成360份，画上刻度。 测圆P1 和 P2 两 极 点 之 间 的夹角时，在球面上转动 此带刻度的大圆、让它通 过 极 点 P1 和 P2 ， 如 图 中 的LMNK位置，两极点之 间的刻度数就是这两个极 点之间的角度数。
晶体学基础第四章-1
三个位所表示的方向(依次列出) 2 3 1 2 a+b+c a+b [001] [111] a a+b [001] [100] b c [100] [010] [010] 任意方向 任意方向 a 2a+b [001] [100]
[110] [110] [001]
[210]
晶带的极射赤平投影
晶带定律：（晶面与晶列之间存在依存关系） 两个晶带相交的平面必为一可能晶面。 晶带方程：
4.4 乌尔夫网
将投影平面标上刻度； 乌尔夫网的组成：
基圆、直径、大圆弧、 小圆弧；
规定： j 起始于E r 起始点于中心
乌尔夫网是一个平面网面，相当于极射赤平投影面； 视点（球的南极S与北极N）投影于乌尔夫网的中心； 圆周投影为基圆； 乌尔夫网的两个相互垂直的直径是垂直于投影面的大
二、球面坐标：（r , j )
极距角r ：0°- 180°
北极 r = 0°
南极 r = 180°
M
方位角j ： 0°- 360°
东方 j = 0°
4.3 极射赤平投影
一、晶体的投影的原理：
投影球、投影面（赤平面）、 北极点与南极点（目测点）。
投影过程：
往球面上投影
作极射赤平投影
即将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。
圆投影；
小圆弧相当于直立小圆的投影。 乌尔夫网可以作为球面坐标的量角规： 基圆上的刻度可以用来度量方位角 j （ 0°- 360° ） 直径上的刻度可以用来度量 极距角r （0°- 90°）
大圆弧上的刻度可以用来度量晶面间的面角
应用1：已知晶面的球面坐标（方位角与极距角），作 晶面的投影。
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点阵，Lattice 基元，Basis
31
晶体结构 = 基元 + 点阵
a
a 基元，Basis
点阵，Lattice
32
1
2 a
a/2 3
a
1
2
基元，Basis
3
对称性？？ 点阵，Lattice
33
点阵，Lattice
3 2
基元 Basis
初基晶胞，primitive unit cell
4
b
a
1
Oblique, a ≠ b ? ≠ 90o
晶胞，lattice unit cell
34
点阵，Lattice
基元 Basis
Rectangular, a ≠ b ? = 90o
35
Square, a = b ? = 90o
36
60o angle rhombus, Hexagonal, a = b ? = 120o
37
Rectangular, a ≠ b ? = 90o
晶面
（极）点9
球面上小圆的投影
N
N
N
球面
A
B
O
O
基圆
C
S 水平小圆
S 直立小圆
晶带
（极点组成的）圆
S 倾斜小圆
两圆心一般不重合 10
球面上大圆的投影
N
N
球面
z
xy
S
S
y
基圆
x
N S
11
极式网 and 赤式网 (Wulff net)
极式网
垂直大圆+水平小圆 赤道面
赤式网
倾斜大圆+直立小圆
12
球面大圆上点的投影、夹角
100
110
110 101
011
011
011
011
101
110
110
18
(111) (111)
(111) (111)
(111) (111)
001 100
110 111
010
011 111 110
010
100
101
001
110
111
010
011
y
111 101
110
100
x
Cu单晶体的极射赤面投影 19
(001)
a = b = c, ? = ? = ? = 90o
(100)
[010]
{100},<100>
001
100
010
(011)
(101)
(110)
(111) (111)17
100 (001)
(010)
(100)
001
010
010
001
001
100
010
(101) (011) (110) (110)
44
[010]
[120]
[110]
(010)
b
[100]
a (110) (100) (120)
a = b, ? = 90o
[010]
(010)
b a
[120]
[110]
(110)
(100)
a ≠ b, ? = 90o
[100] (120)
45
[010]
[120]
[110]
点阵，Lattice
40
基元，Basis 点阵，Lattice
41
点阵，Lattice
基元，Basis
42
?
c
a?
?
b
简单立方 sc
体心立方 bcc
面心立方 fcc
43
方向指数 [uvw] 晶面指数 (hkl)
点阵，Lattice
基元 Basis
[-1-10]
b
[410]
a
(420) (430) (210)
22
花椒凤蝶
23
24
Natural Diamond
43.51 carat
SG(No.227): Fd3m
Type IIa CVD Diamond
Type Ib HPHT Diamond
25
重要概念： 对称操作、点对称操作、参考轴、
对称算符
1 (E，L1)
26
z xy
y
m (? ，P )
x
27
38
斜方 长方 有心长方 正方
六角
Oblique, a ≠ b ? ≠ 90o Rectangular, a ≠ b ? = 90o
Square, a = b ? = 90o 60o angle rhombus, Hexagonal, a = b ? = 120o
39
?
c
a?
?
b
基元，Basis
z xy
y
x
极射赤面（平）投影
28
1, 2, 3, 4, 5, 6, … 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
29
习题： 结晶学 Page 23: 3, 5, 6, 7
30
第二讲 晶体中的点、线、面
周期性 晶体的对称性是由其周期性所决定的
晶体结构 = 基元 + 点阵
晶体是这样构成的：在每一个格点上附加一个全同的基元，该 基元由s个原子组成，其原子的位置由 rj = xja + yjb +zjc 决定， j = 1, 2, 3, ……., s; x, y, z 在0至1之间取值。
球面
z
xy
y x
y
基圆
x
13
极式网 and 赤式网 (应用，晶面夹角测量 )
极式网
赤式网
14
y x
y x
15
例：铜单晶体的极射赤面投影
z
(001)
(010) (100)
xy
(101) (011)
(110) (110)
(111) (111)
(111)
(111)
16
[001]
(010)
[100]
为何不作两维格 子的投影？
为何不关注正交 或四方晶格非主 轴方向的赤面投 影？
110 111
010
011 111 110
100
101
001
110
111
010
011
111 101
110
100
20
21
第三讲(II) 点对称操作
晶体对称的特点： 晶体外形的对称（宏观对
称）决定于晶体内部结构的对称性（平移对称性） ， 所有的晶体结构都是对称的 。晶体外形是有限图形， 宏观对称是有限的，而微观结构被视作无限的。 晶 体的对称不仅体现在 外形上，同时也体现在 物理性 质上。
第三讲 晶体投影
意义： 1、投影是研究晶体外形和结构
的有用工具。 2、极射赤面投影能清楚表达 晶体点群中对称要素的空间分布。
1
4 (Li4)
四方晶系：四方四面体晶类
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
2
4/m (L4PC)
四方晶系：四方双锥晶类
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
3
mmm (3L23PC)
正交晶系：正交双锥晶类
a4
P4
PZT
P3
晶带：平行于某一轴线方向的
晶面组成晶带
微观对称性的反映 7
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan( ? /2)
?P
基圆 A
基圆平面
rO p
?
? /2
极距角? 、方位角?
球面坐标： 极距角、方位角。 S
纬线、经线（子午线、面）。
晶面
（极）点
8
晶体的投影
N
球面
基圆
晶体的球面投影
S
球面上 点的极射赤面投影
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
4
23 (3L24L3)
立方晶系： 五角三四面体晶类
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
5
晶面角守恒定律： 在相同温度和压力等条件下，成
分和构造上均相同的同种晶体， 其对应晶面
180o -?
B
P6
P1
a6
P5
a1
a5
a2
o
P2
a3
31
晶体结构 = 基元 + 点阵
a
a 基元，Basis
点阵，Lattice
32
1
2 a
a/2 3
a
1
2
基元，Basis
3
对称性？？ 点阵，Lattice
33
点阵，Lattice
3 2
基元 Basis
初基晶胞，primitive unit cell
4
b
a
1
Oblique, a ≠ b ? ≠ 90o
晶胞，lattice unit cell
34
点阵，Lattice
基元 Basis
Rectangular, a ≠ b ? = 90o
35
Square, a = b ? = 90o
36
60o angle rhombus, Hexagonal, a = b ? = 120o
37
Rectangular, a ≠ b ? = 90o
晶面
（极）点9
球面上小圆的投影
N
N
N
球面
A
B
O
O
基圆
C
S 水平小圆
S 直立小圆
晶带
（极点组成的）圆
S 倾斜小圆
两圆心一般不重合 10
球面上大圆的投影
N
N
球面
z
xy
S
S
y
基圆
x
N S
11
极式网 and 赤式网 (Wulff net)
极式网
垂直大圆+水平小圆 赤道面
赤式网
倾斜大圆+直立小圆
12
球面大圆上点的投影、夹角
100
110
110 101
011
011
011
011
101
110
110
18
(111) (111)
(111) (111)
(111) (111)
001 100
110 111
010
011 111 110
010
100
101
001
110
111
010
011
y
111 101
110
100
x
Cu单晶体的极射赤面投影 19
(001)
a = b = c, ? = ? = ? = 90o
(100)
[010]
{100},<100>
001
100
010
(011)
(101)
(110)
(111) (111)17
100 (001)
(010)
(100)
001
010
010
001
001
100
010
(101) (011) (110) (110)
44
[010]
[120]
[110]
(010)
b
[100]
a (110) (100) (120)
a = b, ? = 90o
[010]
(010)
b a
[120]
[110]
(110)
(100)
a ≠ b, ? = 90o
[100] (120)
45
[010]
[120]
[110]
点阵，Lattice
40
基元，Basis 点阵，Lattice
41
点阵，Lattice
基元，Basis
42
?
c
a?
?
b
简单立方 sc
体心立方 bcc
面心立方 fcc
43
方向指数 [uvw] 晶面指数 (hkl)
点阵，Lattice
基元 Basis
[-1-10]
b
[410]
a
(420) (430) (210)
22
花椒凤蝶
23
24
Natural Diamond
43.51 carat
SG(No.227): Fd3m
Type IIa CVD Diamond
Type Ib HPHT Diamond
25
重要概念： 对称操作、点对称操作、参考轴、
对称算符
1 (E，L1)
26
z xy
y
m (? ，P )
x
27
38
斜方 长方 有心长方 正方
六角
Oblique, a ≠ b ? ≠ 90o Rectangular, a ≠ b ? = 90o
Square, a = b ? = 90o 60o angle rhombus, Hexagonal, a = b ? = 120o
39
?
c
a?
?
b
基元，Basis
z xy
y
x
极射赤面（平）投影
28
1, 2, 3, 4, 5, 6, … 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
29
习题： 结晶学 Page 23: 3, 5, 6, 7
30
第二讲 晶体中的点、线、面
周期性 晶体的对称性是由其周期性所决定的
晶体结构 = 基元 + 点阵
晶体是这样构成的：在每一个格点上附加一个全同的基元，该 基元由s个原子组成，其原子的位置由 rj = xja + yjb +zjc 决定， j = 1, 2, 3, ……., s; x, y, z 在0至1之间取值。
球面
z
xy
y x
y
基圆
x
13
极式网 and 赤式网 (应用，晶面夹角测量 )
极式网
赤式网
14
y x
y x
15
例：铜单晶体的极射赤面投影
z
(001)
(010) (100)
xy
(101) (011)
(110) (110)
(111) (111)
(111)
(111)
16
[001]
(010)
[100]
为何不作两维格 子的投影？
为何不关注正交 或四方晶格非主 轴方向的赤面投 影？
110 111
010
011 111 110
100
101
001
110
111
010
011
111 101
110
100
20
21
第三讲(II) 点对称操作
晶体对称的特点： 晶体外形的对称（宏观对
称）决定于晶体内部结构的对称性（平移对称性） ， 所有的晶体结构都是对称的 。晶体外形是有限图形， 宏观对称是有限的，而微观结构被视作无限的。 晶 体的对称不仅体现在 外形上，同时也体现在 物理性 质上。
第三讲 晶体投影
意义： 1、投影是研究晶体外形和结构
的有用工具。 2、极射赤面投影能清楚表达 晶体点群中对称要素的空间分布。
1
4 (Li4)
四方晶系：四方四面体晶类
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
2
4/m (L4PC)
四方晶系：四方双锥晶类
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
3
mmm (3L23PC)
正交晶系：正交双锥晶类
a4
P4
PZT
P3
晶带：平行于某一轴线方向的
晶面组成晶带
微观对称性的反映 7
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan( ? /2)
?P
基圆 A
基圆平面
rO p
?
? /2
极距角? 、方位角?
球面坐标： 极距角、方位角。 S
纬线、经线（子午线、面）。
晶面
（极）点
8
晶体的投影
N
球面
基圆
晶体的球面投影
S
球面上 点的极射赤面投影
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
4
23 (3L24L3)
立方晶系： 五角三四面体晶类
y
x
极射赤面（平）投影
一般形
5
晶面角守恒定律： 在相同温度和压力等条件下，成
分和构造上均相同的同种晶体， 其对应晶面
180o -?
B
P6
P1
a6
P5
a1
a5
a2
o
P2
a3