高等数学(高教版)第七章线性变换第八节

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《高等代数》第七章线性变换

线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的如果有 V 的变换 B 存在，使

第7章线性变换

第7章线性变换§ 1线性变换的定义线性空间V到自身的映射，通常叫做V的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义定义7・1设V为线性空间，若对于V中的任一向量按照一定的对应规则T,总有V中的一个确定的向量0与之对应，则这个对应规则T称为线性空间V中的一个变换，记为T©) = 0或Ta =股©外，0称为Q的象，&称为0的原象。

象的全体所构成的集合称为象集，记作T (V),即T (V) ={/? = T(«) I « G v}o由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2线性空间V中的变换T,若满足条件(1)对任意w V有(2) 2 + 0) = %) + 丁(0)；(3)对任意a eV及数域P中任意数£有T(ka) = kT (a),则称变换T为V中的线性变换。

例7.1线性空间V中的恒等变换或称单位变换£即£(«) = a (a E V)以及零变换o,即o(a) = 0 (tz G V)都是线性变换.例7.2设V是数域P上的线性空间，£是P中的某个数，定义V的变换如下：a Tka,« G V.这是一个线性变换，称为由数£决定的数乘变换，可用K表示•显然当比=1时，便得恒等变换，当比=0时, 便得零变换.例7.3在线性空间P［x］或者冲，求微商是一个线性变换•这个变换通常用©代表，即①(/(x)) =f V)-例7.4定义在闭区间［%闰上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表•在这个空间中变换9(/(兀))二是一线性变换.例7.5在疋中，定义下列变换：对任意的x2G7?3,((、& +勺) (5 丫(1 ] T A：?—兀3x2—0任丿丿<旺J k宀丿丿宀丿试确定它们是否为线性变换?5、Ji''X] + XT(兀2+)；2)=T x2 + y2宀丿"+旳丿厂坷+比+£ +力、丫X] + £ '、1+力、勺+『3= +『3< K + >1 )＜州丿< >1 >解对任意的x29G R和数£ GR,= T / 卜、兀2任丿5'、+ T‘刃、宀丿g、•(kx x + 总2、' k x2=T kx2= kx§卫3八l鋼丿+ 无2'5、=k兀3=^T兀2<兀I )故T是线性变换;/ 01、( ( \r 1 )T i x2+ 『2=T.兀2 +丁2=0 ，（儿丿/（勺+儿丿" + )5（、兀1/ 、〔］、< 2、兀2+ T.y2——0+0——0U3 J<^3>宀丿」丿上两式不等，故T］不是线性变换。

第七章线性变换

(4) 多项式:
1) n 个( n 是正整数)线性变换 /A的乘积为/A的
n次幂，记为/An，即/An=/A/A.../A(n个). 规定 /A0 = /E. 当线性变换/A可逆时, 规定/A-n=(/A-1)n 2) 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是P[ x ] 中一多项式，/A是 V 的一线性变换，则称 f (/A ) = am /A m + am -1 /A m -1 + … + a0/E
xi1, xi 2 ,, xiri
，则向量组
x11 , x12 ,, x1r1，x21 , x22 ,, x2r2，，xs1, xs 2 ,, xsrs
线性无关.
6) 设B=X-1AX,即矩阵A与B相似. 如果i是A的特征
值，xi是A对应特征值i的特征向量，则i是B的特征值 ,且B对应特征值i的特征向量是X-1x.
是线性变换 /A 的多项式.
3) 线性变换的幂运算规律 ① /A n + m = /A n /A m , (/A n )m = /A m n (m , n 0) . ② 一般来说:(/A /B )n /A n /B n . 4) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(/A ) = f (/A ) + g(/A ) , p(/A ) = f (/A ) g(/A ) .
1+ 2+ ...+n=a11+a22+...+ann; 12...n=|A|.
4) 如果1, 2, ..., s是矩阵A的互异特征值，其对应

大学数学(高数微积分)第七章线性变换第八节(课堂讲义)

1
i
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也是若尔当形.
把每个 Vi 的上述基合起来是 V 的
基， A 在该基下的矩阵仍为若尔当形矩阵.
证毕
上述结果用矩阵表示就是：
定理 17 每个 n 级复矩阵 A 都与一个若尔当
形矩阵相似.
定理 17 是借助于线性变换的不变子空间的直
和分解及取适当基向量来达到证明的.
这是用线性
变换的工具来解决矩阵问题的范例.
其中 Vi { | ( A iE )ri 0, V }. 我们如
能证明在每个 Vi 上有一组基使 A |Vi 在该基下矩
阵为若尔当形矩阵，则定理得证. 为此需证明：
引理 n 维线性空间 V 上线性变换 B 满足 B k = 0 ，k 是某正整数，就称 B 为 V 上幂零线性变换. 对幂零线性变换 B ，V 中必有下列形式的
这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.
证明设 A 的特征多项式为
f ( ) ( 1 )r1 ( 2 )r2 ( s )rs ,
1 , 2 , … s 是 f () 的全部不同的根.
由定理 15 设
知 V 可分解成 A 的不变子空间的直和
它可分解成一次
f () (
V = V1 V2 … Vs ,
一组元素作为基
1
2
B1
B2
B k111,
B k2 12 ,
(B
k1 1
0)
(B
k2 2
0)
于是 B 在这组基下的矩阵为
s Bs
(2)
B ks 1s.
(B
ks s
0)
0
1 0
10
k1`
0
10
(3)

第七章-线性变换

x1 , x2 ,, xn P , 使 x1 1 x2 2 xn n
从而， ( ) x1 ( 1 ) x2 ( 2 ) xn ( n ).
由此知， ( ) 由 ( 1 ), ( 2 ),, ( n ) 完全确定.
二、线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵
设 1 , 2 , , n为数域P上线性空间V的一组基，
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
( 1 ) a11 1 a21 2 an1 n ( 2 ) a12 1 a22 2 an 2 n ( ) a a a n 1n 1 2n 2 nn n
＝x1 1 x2 2 xn n
＝x1 1 x2 2 xn n
由已知，即得＝ .
.
由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.
( 2 ) (0,1,0) (0,1,1) 0 1 1 2 1 3
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0) 0 1 0 2 0 3
1 0 0 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 0 1 1 0
和：
数量乘积
k ： k k k P
记作 1 .
的逆变换: E
n
n 的n次幂： , n为自然数
的多项式： f ( ) am m a1 a0 E
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二、线性变换的简单性质

高等数学线性代数教材目录

高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。

这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。

希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。

高等代数讲义ppt第七章线性变换

(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E，证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N

第七章线性变换.(20201011015825)

第七章线性变换计划课时： 24 学时 .( P 307—334)§7.1 线性变换的定义及性质( 2 学时)教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授 .一 . 线性变换的定义( P 307 )注意：向量空间V 到自身的同构映射一定是 V 上的线性变换，反之不然。

二. 线性变换的性质定理 7.1.1定理 7.1.2推论 7.1.3 注意：1.定理 7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。

2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。

P 309) P 309) ( P 3107.1.3 (P 310)告诉作业：习题七 P 330 1 ，2，3.§ 7.2 线性变换的运算(4 学时)教学目的及要求教学重点、难点：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义 1 ( P 310)注意：+ 是V 的线性变换.二 . 数乘运算定义 2 ( P 311) 显然k 也是V 的一个线性变换.定理 7.2.1L (V ) 对于线性变换的加法与数乘运算构成数域三 . 乘法运算(1). 乘法运算定义 3( P 311-312 ) 注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律 F 上的一个向量空间 . 两个非零线性变换的乘积可能是零变换 .(2). 线性变换的方幂四 . 可逆线性变换定义 4 ( P 313)线性变换可逆的充要条件例 2 ( P 314)线性变换的多项式的概念 ( 阅读内容 ).作业： P 330 习题七 4， 5.§7.3 线性变换的矩阵( 6 学时)教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握与 ( )关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M (F )的同构理论。

7线性变换

因为
(A + B ) ( + ) = A ( + ) + B ( + ) = (A ( ) + A ( ) ) + (B () + B ( )) = (A ( ) + B ( ) ) + (A () + B ( )) = (A + B ) ( ) + ( A + B ) ( ) , (A + B ) ( k ) = A ( k ) + B ( k ) = k A ( ) + k B ( )
可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量
组. 例如零变换就是这样.
17
§2 线性变换的运算
线性变换的乘积
线性变换的加法
线性变换的数量乘法线性变换的逆变换
线性变换的多项式
举例
18
一、线性变换的乘积
1. 定义线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可以定义乘法.
定义2
设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
15
= -A ( ).
性质 2
线性变换保持线性组合与线性关系式不变.
换句话说，如果是 1 , 2 , … , r 的线性组合：
= k11 + k22 + … + krr ,
那么经过线性变换 A 之后， A ( ) 是 A ( 1 ), A ( 2 ) , …, A ( r ) 同样的线性组合： A ( ) = k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + …+ krA ( r ) . 又如果 1 , 2 , … , r 之间有关系式
T( + ) = - ( + )+ 2( + , ) = [- + 2 ( , ) ] + [- + 2 ( , ) ] = T( ) + T ( )

第七章线性变换（小结）

第七章线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,则(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。

高等代数第七章线性变换

高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。

二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。

只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。

某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。

三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。

高等代数.第七章.线性变换.课堂笔记

第七章线性变换§7.1 线性变换的定义与判别一、线性变换的定义：定义1 设V 为数域P 上线性空间，A 为V 的一个变换(即V ⟶V 的映射)，若A 保持加法和数乘运算，即A (α+β)=A (α)+ A (β),∀α,β∈V ，A (kα)=k A (α),∀k ∈P ，则称A 为V 的一个线性变换.注记：以后我们用花体拉丁字母A,B,C,...表示V 的线性变换，除了特别说明外，本章节中V 均指数域P 上有限维线性空间.例1.说明下列变换均为线性变换： (1)把V 中任一向量都映射为0（称为零变换，记作0）； (2)把V 中任一向量α映射为本身（恒等变换，记作E ）； (3)取定k ∈P ，把V 中的每一个向量α映射为kα（数乘变换，记作k ）.例2.判定下列规则σ是否为指定线性空间的线性变换： (1)ℝ,x -:σ(f (x ))=f′(x );(2)C ,a,b -: σ(f (x ))=∫f (t )dt x0;(3)P n×n : σ(A )=A +A ′,σ2(A )=SAT ，S,T 为固定二个n ×n 矩阵. (4)ℝ,x -n : σ1(f (x ))=xf (x ),σ2(f (x ))=f (x )+1. 解：可验证(1)-(3)均为线性变换，下面证明(1)： ∀ f (x )∈ℝ,x -，其导函数唯一确定，且f (x )∈ℝ,x -，因而σ为V ⟶V 的变换，即V 的一个变换，σ(f (x )+g (x ))=(f (x )+g (x ))′=f ′(x )+g ′(x )= σ(f (x ))+ σ(g (x )), ∀k ∈ℝ,σ(kf (x ))=(kf (x ))′=kf ′(x )=kσ(f (x )).(4): σ1与σ2均不是线性变换，取f (x )=x n−1+1=ℝ,x -n ，但σ1(f (x ))=xf (x )=x n +x ∉ℝ,x -n ，因而σ1不是ℝ,x -n 的一个变换， σ2是ℝ,x -n 的一个变换，但运算不保持，因而不是线性变换.习题：P320、1例3.设α为通常几何空间ℝ3中固定的向量，把空间中每个向量η映射为η在α上的内映射（正投影），即Πα: η⟶(α∙η)(α∙α)α是ℝ3的线性变换，这里(α∙η),(α∙α)表示通常向量的内积.证：如图，Πα(η)=OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ηcos (η∙α)α|α|=(α∙η)(α∙α)α，唯一确定，从而Πα为ℝ3的一个变换，如图，AC ⊥W(垂足为C)，OCD LA Wα1α2η因此L 与W 为ℝ3的子空间且ℝ3=W ⊕L ，令 η=α1+α2,α1=OD⃗⃗⃗⃗⃗ =Πα(η),α2∈W , δ=β1+β2,β1=Πα(δ)∈L,β2∈W ，则η+δ=(α1+β1)+(α2+β2),α1+β1∈L,α2+β2∈W ，从而Πα(η+δ)=α1+β1=Πα(η)+Πα(δ)，同理，Πα(kη)=kΠα(η).二、线性变换的性质：设A 为V 的线性变换，则： (1) A (0)=0, A (−α)=−A (α),∀α∈V ; (2) A (k 1α1+k 2α2+⋯+k t αt )=k 1A (α1)+k 2A (α2)+⋯+k t A (αt ); (3) A 把线性相关的向量组映射为线性相关的向量组（反之不真）.2011-04-02A : V ⟶V 线性变换性质： (3) A 为V 中线性相关的向量组，映为V 中线性相关的向量组，即α1,α2,…,αs 相关⟹A (α1), A (α2),…, A (αs )相关;但A (α1), A (α2),…, A (αs )线性相关⇒α1,α2,…,αs 相关. 如A =0,∀ α∈V,α≠0, A (α)=0.(4)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，∀ α∈V,α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ⟹A (α)=A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ) 线性变换A 由V 中一个基中的像唯一确定;(5)设α1,α2,…,αn 为V 的一个基，则对V 中任一向量组β1,β2,…,βn 必存在一个线性变换 A : V ⟶V ，使得：A (αi )=βi ,1≤i ≤n ;证：作V ⟶V 映射：A (α)= x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ，其中：α=x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn ,则A (αi )=βi ,1≤i ≤n ; 下证：A 为V 的线性变换：∀ α=x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn ∈V,β=y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn ∈V,A (α+β)= A .(x 1+y 1)α1+(x 2+y 2)α2+⋯+(x n +y n )αn /=(x 1+y 1)β1+(x 2+y 2)β2+⋯+(x n +y n )βn=(x 1β1+x 2β2+⋯+x n βn )+(y 1β1+y 2β2+⋯+y n βn ) = A (x 1α1+x 2α2+⋯+x n αn )+ A (y 1α1+y 2α2+⋯+y n αn )= A (α)+A (β)同理，∀k ∈P ，A (kα)=k A (α).§7.2 线性变换的运算为方便，引入记号：Hom (V,V )，它表示数域P 上线性空间V 的所有线性变换的集合。

第七章线性变换

第七章线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1）对任意向量,n V αβ∈,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2）对任意向量,n V k F α∈∈,有)()(ααkT k T =则称T 为n V 中的线性变换。

2. 线性变换的性质及运算 1)0)0(=T ，)()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++3）设向量组n ααα,,,21 线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T ααα 也线性相关。

线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。

线性变换的多项式：εσσσσ0111)(a a a a f m m m m ++++=-- 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21 是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++= n n a a a εεεεα22221122)(+++=n nn n n n a a a εεεεσ ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσ =A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσ == （*）则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21 下的矩阵。

4. 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应与矩阵的和； 2）线性变换的积对应与矩阵的积；3）线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应与逆矩阵。

高等代数第七章线性变换复习讲义

⾼等代数第七章线性变换复习讲义第七章线性变换⼀.线性变换的定义和运算1.线性变换的定义（1）定义：设V是数域p上的线性空间，A是V上的⼀个变换，如果对任意α，β∈V和k∈P都有A（α＋β）=A（α）+A（β），A（kα）=kA（α）则称A为V的⼀个线性变换。

（2）恒等变换（单位变换）和零变换的定义：ε（α）=α，ο（α）=0，任意α∈V.它们都是V的线性变换。

（3）A是线性变换的充要条件：A（kα+lβ）=kA(α)+lA(β),任意α，β∈V，k，l∈P.2.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变换，则有（1）A（0）=0；（2）A（-α）=-A（α），任意α∈V；（3）A（∑kiαi）=ΣkiA（α），α∈V，ki∈P，i=1,…,s;（4）若α1，α2，…,αs∈V,且线性相关，则A（α1），A （α2），…,A(αs)也线性相关，但当α1，α2，…,αs线性⽆关时，不能推出A（α1），A（α2），…,A(αs)线性⽆关。

3.线性变换的运算4.线性变换与基的关系（1）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，如果线性变换A和B在这组基上的作⽤相同，即Aεi=Bεi，i=1,2，…,n,则有A=B.（2）设ε1，ε2，…,εn是线性空间v的⼀组基，对于V 中任意⼀组向量α1，α2，…,αn,存在唯⼀⼀个线性变换A 使Aεi=αi,i=1,2，…,n.⼆．线性变换的矩阵1.定义：设ε1，ε2，…,εn是数域P上n维线性空间v的⼀组基，A是V中的⼀个线性变换，基向量的像可以被基线性表出Aε1=a11ε1+a21ε2+…an1εnAε2=a12ε1+a22ε2+…an2εn……Aεn= a1nε1+a2nε2+…annεn⽤矩阵表⽰就是A（ε1，ε2，…,εn）=（ε1，ε2，…,εn）A,其中a 11 a 12 …… a 1na 21 a 22 …… a 2nA= ……a n1 a n2 …… a nn称为A在基ε1，ε2，…,εn下的矩阵。

高教线性代数第七章线性变换课后习题答案

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。

高等代数(第7章)

例如，零变换将线性无关的向量组变成线性相关的向量组.
§7.2 线性变换的运算
设V是数域P上的线性空间，、是V的两个线性变换. 1.线性运算 (1)加法：与的和定义为 ( +)()=()+() ( V) (2)数量乘法：数域P中的数k与的数量乘法定义为 (k)( ) =k(()) ( V) (3) 负变换：的负变换 -定义为 (-)()= - () ( V) 结论：线性空间V上的线性变换的全体，对于如上定义的加法与数乘运算构成数域P上的线性空间.即
例2 设是几何空间中一个固定的非零向量, 将每个向量变到它在上的内射影的变换
( , ) ( ) ( , ) .
( )

是一个线性变换.
2.线性变换的简单性质设是数域P上线性空间V的一个变换. (i)(0)=0, (-)= - (), V. (ii)(k11+…+ kmm)= k1(1) +…+ km(m) i V, ki P (i=1,2,…,m) (iii) 设i V, (i=1,2,…,m) .若 1,2,…,m线性相关,则 (1),(2),…,(m)线性相关；反之不然.
线性变换被基向量的像唯一确定！
定理1: 设1, 2,…,n是数域P上n维线性空间V 的一组基, 1,2,…,n是V中任意n个向量,则存在唯一的线性变换使 (j)= j , j=1,2,…,n.
证明：(i)存在性
x i i V , 定义V的变换： x i i .
仍是线性变换
()()=(()) ( V)
运算律： (i)()= () (ii) (+) = + , (+)+= +(+) (iii)k()=(k)= (k) 注意：线性变换的乘积一般是不可交换的,即 . 例1 在P22中，定义线性变换、、为

(完整word版)第七章线性变换总结篇(高等代数)

第 7章线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。

注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。

性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()d i m V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。

高等数学(高教版)第七章线性变换第八节

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第7章线性变换

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第七章-线性变换

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高等代数讲义ppt第七章 线性变换

第七章线性变换.(20201011015825)

7线性变换

第七章线性变换（小结）

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