3.5.2简单线性规划
学案6：3.5.2 简单线性规划
3.5.2 简单线性规划学习目标导航1．了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．(重点)2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 简单的线性规划 阅读教材，完成下列问题． 1．线性规划中的基本概念如果两个变量x ，y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的 ，那么我们称这个线性函数为目标函数，称 为约束条件，像这样的问题叫作 问题．在线性规划问题中，满足约束条件的 称为可行解，由所有可行解 称为可行域，使目标函数取得 称为这个问题的最优解． 2．求目标函数最值的步骤在约束条件下，当b ＞0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为： (1)作出 ；(2)作出直线l 0： ；(3)确定l 0的 ，依可行域判断取得最优解的点；(4)解相关方程组，求出 ，从而得出目标函数的最小值或最大值．随手练判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x 或y 的值．( ) (2)线性目标函数的最优解是唯一的．( )(3)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )类型1求线性目标函数的最值例1 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．[再练一题]类型2已知最值求参数例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3[再练一题]2．已知x ，y ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k 等于( )A ．2B ．9C ．310D ．0 [探究共研型]探究点非线性目标函数的最值探究1 若(x ，y )为可行域内的任意一点，能否求出x 2＋y 2的最值？怎样求？探究2 若(x ，y )为可行域内的任意一点，能否求出y －ax －b类型的最优解？怎样求？例3 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．[再练一题]当堂检测1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．22．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．123．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 的值为________.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域内到直线y ＝2x －4的距离最远的点的坐标为________． 5．若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，求目标函数z ＝x ＋3y 的最大值与最小值．参考答案[基础·初探]教材整理 简单的线性规划阅读教材，完成下列问题． 1．线性规划中的基本概念最大值或最小值，一次不等式组 二元线性规划 解(x ，y ) 组成的集合 最大值或最小值的解 2．求目标函数最值的步骤(1)可行域； (2) ax ＋by ＝0； (3)平移方向 (4)最优解随手练【解析】(1)最优解指的是使目标函数取得最值的可行解(x ，y )． (2)最优解不一定唯一，可能有无穷多个．(3)z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上截距得b 倍． 【答案】(1)× (2)× (3)×类型1求线性目标函数的最值例1 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3,4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.【答案】－5 [再练一题]1．【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.【答案】－10类型2已知最值求参数例2 【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B. 【答案】B [再练一题]2．【解析】先根据约束条件画出可行域，设z ＝2x ＋4y ，将最大值转化为y 轴上的截距，当直线z ＝2x ＋4y 经过点A 时，z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，2x ＋4y ＝－6，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，代入直线x ＋y ＋k ＝0得，k ＝0.【答案】D[探究共研型]探究点非线性目标函数的最值探究1 【提示】可以求，利用几何意义求解，x 2＋y 2可以看作可行域内的任意一点到原点的距离的平方．探究2 【提示】可以求，利用几何意义求解，y －a x －b 可以看作可行域内的任意一点与Q (b ，a )连线的斜率．例3【解】依约束条件作出可行域为图中阴影部分，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故z min ＝d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－5＋2|12＋(－1)22＝92.(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2×y ＋12x ＋1可以看作可行域内的点(x ，y )与点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率k 的2倍，其范围是k QB ≤k ≤k QA ，而k QB ＝1－⎝⎛⎭⎫－123－(－1)＝324＝38，k QA ＝3－⎝⎛⎭⎫－121－(－1)＝722＝74.故z ＝2k ∈⎣⎡⎦⎤34，72. [再练一题]3．【解析】画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. ∴A (1,3)． ∴yx的最大值为3.【答案】3当堂检测1．【解析】约束条件对应的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数y ＝2x ＋z 经过直线x －y －2＝0和y ＝3的交点(5,3)时，z 取得最小值－7.【答案】A2．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.【答案】C3．【解析】可行域如图所示，设x ＋y ＝9.显然只有在x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点处满足要求．解得此时x ＝4，y ＝5，即点(4,5)在直线x －my ＋1＝0上，代入得m ＝1.【答案】14．【解析】在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)及直线y ＝2x －4，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，点(－1,0)到直线y ＝2x －4的距离最远．【答案】(－1,0)5．【解】满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6的可行域如图阴影部分所示，作出直线x ＋3y ＝0，通过平移直线可知当直线过点A (2,2)时，z 取最小值，z min ＝2＋3×2＝8，过点B (2,4)时，z 取最大值z max ＝2＋3×4＝14，∴z ＝x ＋3y 的最大值为14，最小值为8.。
人教B版高中数学必修五课件3.5.2简单线性规划
由53xx＋ ＋25yy＝ ＝210500， ， 解得xy＝＝7111059900，
.
设点 A 的坐标为2700，970，点 B 的坐标为71090，11590， 则不等式组(※)所表示的平面区域是四边形的边界及其内部 (如图中阴影部分)．
令 z＝0，得 7x＋10y＝0，即 y＝－170x.
解决简单线性规划的方法为图解法，就是用一组平行直线 与某平面区域相交，研究直线在y轴上截距的最大值或最小值， 从而求某些函数的最值．
2x＋y≤40 1.若变量 x，y 满足xx＋≥20y≤50
y≥0
，则 z＝3x＋2y 的最大
值是( ) A．90 C．70
B．80 D．40
【解析】 由题意，满足二元一次不等式组的解的可行域 如图所示．
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
3.5.2 简单线性规划
1．在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分成 三类：即点在直线上，点在直线的区域，上点方在直线的区域．
2下．方二元一次不等式组表示的平面区域是其中的每个二元一
次不等式表示的平面区域的． 公共部分
线性规划中的基本概念
名称
目标函 数
由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.要求 z 的最大值，可求2z的 最大值，即求斜率为－32的直线在可行域内在 y 轴上截距的 最大值．
如上图，显然直线过 A 点时，在 y 轴上截距最大． 联立2x＋x＋2yy＝＝4500 ，得xy＝ ＝1200 ， ∴A(10,20)，∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20 ＝70. 【答案】 C
x≥1
，所表示的平面区
域如图所示(阴影部分)
当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最大， 解方程组x3－x＋4y5＝y＝－235 ，得 A 的坐标为(5,2)． 所以 zmax＝2×5＋2＝12. 当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最小． 解方程组xx－ ＝41y＝－3 ，得 B 的坐标为(1,1)． 所以 zmin＝2x＋y＝2×1＋1＝3.
3.5.2简单线性规划
1. 知识与技能：让学生了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2. 过程与方法：学会把实际问题转化为简单的线性规划的问题，提高数学应用能力；3. 情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生解决实际问题的能力。
利用图解法求得线性规划问题的最优解；把实际问题转化成线性规划问题，准确求得线性规划问题的最优解一、课堂热身画出下列约束条件的可行域：x 2y 4002x y 500+≤⎧⎨+≤⎩二、例题讲解1例1：某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，2000元．甲、乙都需要在A 、B 两种设备上加工，在A 、B 设备上加工1件甲所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙所需工时分别为2h 、1h ，A 、B 两种设备每月有效使用时效分别为400h 和500h ，问甲、乙各生产多少件能使每月收入最大．三、练习1：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，生产一件甲获利2万元，生产一件乙获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？四、练习2：某工厂生产A ，B 两种高科技产品，需要甲、乙两种新型材料。
生产一件A 产品需要消耗甲材料1吨，乙材料1.5吨，用40个工时，产品获利3万元；生产一件B 产品需要消耗甲材料2吨，乙材料1.5吨，用30个工时，产品获利2万元.该工厂现有甲材料14吨，乙材料18吨，在不超过360个工时的条件下，怎么安排生产才能使利润最大？并求最大利润。
五、例题讲解2例2：求z=2x －y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y六、练习3：求23z x y =-的最小值，式中变量x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x七、练习4：某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。
§3.5.2简单线性规划
3.5.2简单线性规划
2017级高二数学备课组
三维目标
1、知识与技能： (1)了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念； (2)在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约 束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解； (3)掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步 骤。 2、过程与方法: 培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；强化数形结合的数学思想方法；提高 学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力 3、情感态度与价值观： 在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；在运用求解线 性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；在探究性练习中，感受多角度思考、探究 问题并收获探究成果的乐趣。 重点：突出根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图 解法求出最优解． 难点：求非线性目标函数的最优解问题．
Q(x,y)
4x-3y-12=0
P(-3,-1)
x+2y-3=0
规律方法
非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标
函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方).点到直线的距离，
过已知两点的直线斜率等.常见代数式的几何意义主要有：
(1) x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离； x2＋y2表 示点(x，y)与原点(0,0)的距离. y－b y (2) 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；x表示点(x，y)与原点 x－a
(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；
3.5.2简单线性规划
-2 -1 1 2
x
-1
时,求z的最大值和最小值.
A(-6,-3)
-2 B(6,-3)
-3
y+3=0
线性规划问题
最优解
有关概念
目标函数：欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数：目标函数为关于变量的一次函数 约束条件：目标函数中变量所满足的不等式组 线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式
（或等式）
由z 2x y y 2x z 这里
z就是直线y 2x z在y轴上的截距.
线性目标函数
设z=2x+y,求满足
y
可行域
2x 3y 3 0
2x 3y 3 0线性约束条件 2x+3y-3=0
可行解
2x-3y+3=0
y 3 0
C(0,1)
可行解：满足线性约束条件的解（x，y） 可行域：所有可行解组成的集合 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 一般地，求线性目标函数在约束条件下的最优解问题， 叫做线性规划问题.
解线性规划问题（图解法）的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平 行线中，利用平移的方法找出与可行域 有公共点且纵截距最大或最小的直线；
2.思想方法
主要应用了化归及数形结合的思想方法。
作业： P94 1,2 P96 3,4
小结
思考
x y2 0 已知x, y满足 x y 4 0 ，求下列
2x y 5 0 目标函数的相应最值。
y
z=2x+y
1
-2 -1
12
x
-1
-2
课件9：3.5.2 简单线性规划
类型1：求线性目标函数的最值问题
x＋y≥0，
例 1：(1)变量 x，y 满足约束条件 x－2y＋2≥0，
mx－y≤0，
若 z＝2x－y 的最
大值为 2，则实数 m 等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
2x－y＋1≥0，
(2)设 x，y 满足约束条件 x－2y－1≤0，
x≤1，
则 z＝2x＋3y－5 的最小
值为____ x，y 满足约束条件 x＋y－3≥0，
x－3≤0，
则 z＝x－2y 的最小值为
________.
【解析】 (1)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图(1)，直线 y＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确； 对于选项 B，当 m＝－1 时，mx－y≤0 等同于 x＋y≥0，可行域如图(2)， 直线 y＝2x－z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 B 不正确；
5x＋4y≤24，
由题意得
2x＋5y≤13， x≥0，y≥0，
x∈N，y∈N.
z＝20x＋10y，
作出可行域如图所示，
作直线 l：20x＋10y＝0，当直线 z＝20x＋10y 经过可行域上的点 A 时， z 最大，又 A(4.8,0)不是整点，解方程组52xx＋ ＋45yy＝ ＝2143， ， 得点 B(4,1) 为整点.所以甲货物托运 4 箱，乙货物托运 1 箱，可获得最大利润.
对于选项 C，当 m＝1 时可行域如图(3)，当直线 y＝2x－z 过点 A(2,2) 时截距最小，z 最大为 2，满足题意，故 C 正确； 对于选项 D，当 m＝2 时，可行域如图(4)，直线 y＝2x－z 与直线 2x－y ＝0 平行，截距最小值为 0，z 最大为 0，不符合题意，故 D 不正确.故 选 C.
课件8：3.5.2 简单线性规划
其中 x、y 满足下列条件xx＋≥20y≤800
②
y≥0
于是问题转化为，在 x、y 满足条件②的情况下，求 t＝30x＋40y 的最大值．
画出不等式组②表示的平面区域 OABC 如图．
问题又可以转化为，在不等式组②表示的平面区域内找一点， 把它的坐标代入式子 30x＋40y 时，使该式取最大值．
令 30x＋40y＝0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为 l0. 易知，在区域 OABC 内有 30x＋40y≥0.考察这个区域内任意一点 P(x，y)到 l0 的距离 d＝|303x0＋2＋4400y2|＝30x＋5040y， 于是 30x＋40y＝50d， 这就是说，点 P(x，y)到直线 l0 的距离 d 越大，式子 30x＋40y 的值也越大．因此，问题就转化为：在不等式组②表示的平面 区域内，找与直线 l0 距离最大的点．
解：设隔出大房间 x 间，小房间 y 间，收益为 z 元，
则 x、y 满足1180x0＋0x1＋5y6≤001y8≤0 8 000 ，即65xx＋ ＋53yy≤ ≤6400 ，
x≥0，y≥0
x≥0，y≥0
z＝200 x＋150 y. 作出可行域，如图所示．
当直线 z＝200x＋150y 经过可行域上的点 M 时， z 最大．
当动直线 y＝43x－13z 通过点 B 时，z 取最大值； 当动直线 y＝43x－13z 通过点 C 时，z 取最小值． ∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14， zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
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【答案】2 300
变式训练 2：某公司的仓库 A 存有货物 12t，仓库 B 存有货物 8t.现按 7t、8t 和 5t 把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从 仓库 A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为 8 元、 6 元、9 元、从仓库 B 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的 运费分别为 3 元、4 元、5 元．则应如何安排调运方案，才能 使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？
原创1：3.5.2 简单的线性规划（一）
答：由目标函数的几何意义，求目标函数的最大值和最小值，
即求目标函数在 轴上的截距的最大值和最小值.
当直线 = −2 向上平移时，所对应的z 随之增大；当直线
y = −2x 向下平移时，所对应的 随之减小.
新知探究
（一）线性规划问题中的基本概念
同学们，再见！
答: 由不等式组的解集确定的平面区域(如
下图阴影部分)即为 = 2＋中的，对
应的点 ， 所在平面区域．
新知探究
（一）线性规划问题中的基本概念
问题2. 目标函数 = 2 + 具有怎样的几何意义？
答：若把 = 2 + 变形为 = −2 + ，则它表示斜率为−2，
在 轴上的截距为，且与函数 = −2平行的一族直线．
甲
乙
丙
维生素A(单位/千克)
400
600
400
维生素B(单位/千克)
800
200
400
单价(元/千克)
7
6
5
营养师想购买这三种食物共10千克，使它们所含的维生素
不少于4400单位，维生素 不少于4800 单位，而且要使付出
的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？
新知探究
（二）线性规划在生活中的应用
5 + 7 ≥ 35
，则ቐ10 + 4 ≥ 40，目标函数
≥ 0， ≥ 0
为 = 3 + 2，
作出可行域如图所示：
新知探究
（二）线性规划在生活中的应用
把 = 3 + 2 变形为 =
3
−
2
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教学设计5：3.5.2 简单线性规划 第2课时 简单线性规划的应用
3.5.2 简单线性规划第2课时简单线性规划的应用教学目标1.体会用线性规划的方法解决实际问题的过程.2.了解整数点最优解的求法．教学过程知识点一线性规划在实际中的应用思考某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，应怎样安排生产．在这一问题中，种植成本和种植总利润与哪些变量有关？如何用这些变量表示种植成本和总利润？【答案】种植成本和总利润都与黄瓜、韭菜各自的种植面积有关．设黄瓜、韭菜各种x，y 亩，则种植成本＝1.2x＋0.9y，总利润＝4×0.55x＋6×0.3y－(1.2x＋0.9y)．梳理解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．知识点二整数点最优解思考在下面的问题中：某学校用800元购买A，B两种教学学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，设A，B两种用品各买的件数为x，y.(1)x，y能取1.5，1.3之类的小数吗？(2)该问题的可行域是连续的区域吗？【答案】(1)不能．(2)不是．可行域是由整数点组成．梳理(1)在实际问题中，有些变量如人数、车辆数等必须取整数．在这样的线性规划问题中，可行域、最优解都会受到影响． (2)寻找整点最优解的三种方法①平移找解法：先打 格，描整点，平移直线l ，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．③调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解． 教学小测1．在从实际问题中抽象出约束条件、目标函数时，设谁为x ，y 都没关系．(×) 2．在约束条件中，有没有“x ∈N ，y ∈N ”，最优解都一样．(×) 教学案例类型一 连续型变量的实际线性规划例1 营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 g 的脂肪，1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg? 将已知数据列成下表：食物/ g 碳水化合物/ g蛋白质/ g 脂肪/ g A 0.105 0.07 0.14 B0.1050.140.07解 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z21，它表示斜率为－43，且随z 变化的一组平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小． 由图可知，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时， 截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6，得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 17 kg ，食物B 47kg.反思与感悟 在把实际问题抽象成线性规划时，要注意找到决策变量，并用决策变量表示每一个约束条件和目标函数．跟踪训练1 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为 .货物 体积 (m 3/箱) 重量 (50 g/箱)利润 (百元/箱) 甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制2413【答案】4，1【解析】设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4，1)． 易知当直线 ＝20x ＋10y 平移经过点A 时， 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润． 类型二 离散型变量的线性规划问题例2 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件，y 件，获取的利润为z 百元， 则z ＝2x ＋y (百元)，⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ≤24，x ＋y ≤5，5y ≤15，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤12，x ＋y ≤5，y ≤3，x ，y ∈N .作出可行域，如图阴影部分中的整点，由图可得O (0，0)，A (0，3)，B (2，3)，C ⎝⎛⎭⎫72，32，D (4，0)．平移直线y ＝－2x ＋z ，又x ，y ∈N ，所以当直线过点(3，2)或(4，0)时，z 有最大值． 所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大．反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．跟踪训练2 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？解 设桌子、椅子分别买x 张，y 把，目标函数为z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤32x ，x ∈N ，y ∈N .由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝32x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752，O ()0，0为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内经过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时取得最大值， 但注意到x ∈N ，y ∈N ，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．当堂检测1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种 【答案】C【解析】设购买软件x 片，磁盘y 盒，则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点．即有7种选购方式．2．一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛胚，则钢材的最大利用率为 ． 【答案】99.65【解析】设截518 mm 和698 mm 的两种毛胚分别为x 个、y 个(x ，y ∈N ＋)． 由题意知，即求z ＝518x ＋698y 的最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧0<518x <4 000，0<698y <4 000，x ，y ∈N ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤7，1≤y ≤5，x ，y ∈N ＋.又由z ≤4 000，得当x ＝5，y ＝2时，z max ＝518×5＋698×2＝3 986.故利用率为3 9864 000×100 ＝99.65 .3．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为 元． 【答案】2 300【解析】设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为 ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x＝4，y＝5时，＝200x＋300y有最小值2 300.课堂小结1．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调．。
学案2：3.5.2 简单线性规划
3.5.2 简单线性规划学习目标：1．掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.学习过程：自主学习知识梳理1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．3．线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题利用图形直观、形象、简便地寻找出来．自主探究在线性目标函数z ＝Ax ＋By (B ≠0)中，目标函数z 的最值与截距之间有怎样的对应关系？请完成下面的填空．1．线性目标函数z ＝Ax ＋By (B ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－A B x ＋z B，在y 轴上的截距是z B，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 2．当B >0时，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当B <0时，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．对点讲练知识点一 求线性目标函数的最值问题例1：线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．变式训练1：设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 知识点二 求非线性目标函数的最值问题例2：已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．总结 若目标函数为形如z ＝y －b x －a ，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率． 若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方．变式训练2：已知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，则x 2＋y 2的最小值和最大值分别是________．知识点三 和平面区域有关的参数问题例3：设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]总结 准确作出可行域，熟知指数函数y ＝a x 的图象特征是解决本题的关键．变式训练3：若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．课堂小结：1．用图解法求线性目标函数的最值时，要搞清楚z 的含义，z 总是与直线在y 轴上的截距有关．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.课堂检测：1．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．16 D ．102．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( ) A ．90 B ．80 C ．70 D ．403．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x >0，则y x －1的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞) 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2.则z ＝x －3y 的最小值为________． 5．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．6．已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．7．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋y )(x －y ＋5)≥0－3≤x ≤3表示的平面区域的面积．参考答案对点讲练例1：解：如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)，x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.变式训练1：B【解析】作出可行域如图所示：由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.例2：解：由题意知，作出线性约束条件下的可行域如图所示，且可求得A (2,3)，B (0,2)，C (1,0)．由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)， 所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值， 结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3， 此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.变式训练2：5,25【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0， 得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝03x －y －5＝0， 得B (3,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －5＝02x ＋y －5＝0， 得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB →|2＝25，z min ＝|OC →|2＝5.例3：C【解析】作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A (1,9)，C (3,8)．当y ＝a x 过A (1,9)时，a 取最大值，此时a ＝9；当y ＝a x 过C (3,8)时，a 取最小值，此时a ＝2，∴2≤a ≤9.]变式训练3：0<a ≤1或a ≥43【解析】不等式表示的平面区域如图所示，当x ＋y ＝a 过A ⎝⎛⎭⎫23，23时表示的区域是△AOB ，此时a ＝43； 当a >43时，表示区域是△AOB ； 当x ＋y ＝a 过B (1,0)时表示的区域是△DOB ，此时a ＝1；当0<a <1时可表示三角形；当a <0时不表示任何区域，当1<a <43时，区域是四边形． 故0<a ≤1或a ≥43. 课堂检测：1．D【解析】画出不等式组对应的可行域如下图所示：易得A (1,1)，OA ＝2，B (2,2)，OB ＝22，C (1,3)，OC ＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝OC 2＝(10)2＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝OC 2＝(10)2＝10.2．C【解析】作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.3．B【解析】可行域如图阴影部分所示，y x －1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率， 易求得y x －1>1或y x －1<－1.4．－8【解析】作出可行域如图所示．可知当x －3y ＝z 经过点A (－2，2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为－2－3×2＝－8. 5．92【解析】点(x ，y )在图中阴影部分，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2， 则u min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92. 6．解：作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝5， 得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝1， 得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．7．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋y )(x －y ＋5)≥0－3≤x ≤3 所表示的可行域如图所示，其可行域为两个等腰直角三角形，其底边长分别为1与11，高分别为12与112， 所以，可行域的面积为12×1×12＋12×11×112＝612.。
原创1：3.5.2 简单的线性规划（二）
的距离的平方；
−
③ =
表示可行域内的点 ， 与定点 ， 连线的斜率；
−
新知探究
（二）非线性目标函数的最值问题
④ = | + + | (2 + 2 ≠ 0)，可以化为
z=
− = −1
解方程组ቊ
，得点(4，5)．
3 + 5 = 37
所以，当 = 4， = 5 时， 取得最大值，并且max = 5 × 4
+3 × 5 = 35，即、 两区参与活动同学的人数分别为4、5 时，
受到服务的老人最多，最多为35人．
新知探究
（一）线性规划中的整数解问题
+1
−(−1)
解: (1) ∵ = +1 = −(−1)，
∴ 的几何意义是点 ， 与点
−1， − 1 连线的斜率，
∴
+1
的最值就是点
+1
， 与点
−1， − 1 连线的斜率的最值，
如图所示，
新知探究
（二）非线性目标函数的最值问题
直线的斜率最大，直线的斜率最小，
2
+
2
·
|＋＋|
2 +2
的形式，可知z表示可行域内
的点 ， 到直线 + + = 0 距离的 2 + 2 倍．
新知探究
（二）非线性目标函数的最值问题
变式2. 已知x，y满足约束条件同例题，求下列函数z的最值：
(1) =
+1
(2)
；
+2
解：(1) 将 =
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x 2 y 8
4 4
x y
16 12
（ 1）
x
0
y 0
l0
l1
新课讲解
探究一
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ 设工厂获得的利润为 z,则 z 2x 3y . 上述问题就转化为： 当 x、y 满足不等式组（1）并且为非负整数时，z 的最大值 是多少？
第二步：令z＝0，画直线l0；（平移） 第三步：观察，分析，平移直线l0，从而
找到最优解（求点）
第四步：求出目标函数的最大值或最小值 （作答）.
练习：
解下列线性规划问题：
求 z＝2x＋y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足 y x
约束条件 x y 1 y 1
归纳总结
1.在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值， 是一种数形结合的数学思想，它将目标函数的最值 问题转化为动直线在y轴上的截距的最值问题来解 决.
2.对于直线l：z＝Ax＋By，若B＞0，则当直线l在y
轴上的截距最大(小)时，z取最大(小)值；若B＜0，
则当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取最小(大)
问题 1： z 2x 3y 中 z 的几何意义是什么？
回答：
z 2 x z 代表斜率为 - 2 ，在 y 轴上的截距为
33
3
z 的直线（z 是 y 轴上截距的 3 倍）
3
问题 2：若 z 发生变化，则 z 2x 3y 得到的图像是什么？ 有什么特征？
回答：图像是一组互相平行的直线.先画出 l0 : z 2x 3y
3.5.2简单的线性规划问题 (一)
授课教师 马艳霞
新课导入
1. 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生 产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品 使用4个B配件耗时2h，该厂最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有的日 生产安排是什么？
(1) 设甲、乙两种产品分别生产x、y件 ，则
轴上的截距最小，所以，目标函数 z 最大， zmax 2 4 3 0 8
当 l0 平移至点 B（0，3），即 l2 处时，此时直线在 y 轴上的截距最大， 所以，目标函数 z 最小， zmin 2 0 3 3 9
l2 l1
解答线性规划问题的步骤：
第一步：根据约束条件画出可行域；（画域）求Fra bibliotekz
2x
3y
的最值，其中
x,y
满足不等式组44xy
16 12
（ 1）
x 0
y 0
最优解 可行域
使z取得最值 的可行解
所有的 可行解
任何一个满足 不等式组的 （x,y）
探究二：
若x, y满足不等式（1），如何求目标函数z=2x-3y的最值？
解：由图可知：当 l0 平移至点 A（4,0），即 l1 处时，此时直线在 y
问题 3：z 何时最大？
回答：把 l0 平移至 M 点处，此时， l1 在 y 轴上的截距最大 （即 z 最大）
zmax 2 4 3 2 14
所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时，工厂可获 最大利润 14 万元
线性规划问题
（线性）目标函数
线性约束 条件
x 2y 8
值.
布置作业
教科书P.91练习第1题(2)