波利亚解题四步骤
波利亚四步解题法
波利亚四步解题法
波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》（How to Solve it:A New Aspect of Mathematical Method)
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形
式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。
2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。
如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。
3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷
的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。
达利奥的五步成功路径：
1、设定目标：设定目标就是设定你真正想达到的，不要去想能不能完成
2、发现通向目标的障碍：这要用身外之我，“元我”思维有助于以客观、抽离的方
式来“旁观”因难，以不受制于“我”在困难面前的纠结困扰。
3、诊断问题所在并制定计划：诊断问题就是诊断问题，不要去想如何解决。
以终
为始，要把可能遇到的问题及应对想透，对怎么走到现在、如何走下一步，相象出其展开全景，好像写越狱的电影剧本。
4、列出解决问题的任务清单：分解目标，可执行，越细越好。
5、坚决执行任务，但不忘初心，不忘目标。
然后这五步反复迭代。
解答数学题的四个常规步骤
探索探索与与研研究究数学家波利亚在《怎样解题》中对怎样解题进行了深入而又细致的分析与讨论，并提出在解题过程中所需要经历的四个阶段，第一阶段：理解题目，看清题目中的要求是什么；第二阶段：掌握题目中所涉及的相关项目是如何关联起来的，已知量与未知量之间具有什么样的关系；第三阶段：执行所设计的方案；第四阶段：回顾解题的过程并进行检查与讨论.仔细研究可发现，这就是解题的四个步骤：审题——寻找解题思路——确定解题方案并实施——检验解题过程.解题的第一步是审题.我们需要仔细读题，明确题意：（1）弄清楚题目中给出的已知条件以及所求的目标；（2）确定哪些是已知量，哪些是未知量，隐含条件有哪些；（3）判断所给的条件充足与否；（4）判断题目属于什么类型；（5）明确涉及了哪些知识点；等等.第二步，需要在找出有用的数据和信息后，将其关联起来，仔细分析问题，寻找解题的思路.最重要的是确定题目中的未知量与已知量之间的关系，并将其关联起来，可用相关的公式，引入辅助元，构造辅助数列，用已有的知识与过去的解题经验，寻找解题的思路.第三步，确定并实施解题方案.这一步是解题的关键，需要对上一阶段中所确定的解题思路进行分析、整理、优化，可画出相应的表格、图象，以辅助解题.在这个过程中，需确定解题的每一个步骤，列出关系式、建立数学模型，根据已知条件、相关定理、公式、性质、运算法则进行推理、运算，确保推理有理有据，计算准确，解题的过程简洁、有条理，答案正确.第四步，检查上一阶段中得到的解题过程，并进行验算，主要检查：（1）运用到的公式、定义、性质是否正确；（2）运算过程是否正确；（3）用到的数据是否正确；（4）图表是否正确.若存在错误，需及时改正.对于解题或证明过程相对繁杂的题目，这一步尤为重要.在该过程中，要对题目进行反复斟酌，并对所获得的解题过程进行回顾，以确定得到答案的正确性.例1.（2023年高考数学新课标Ⅱ卷，第10题）设O为坐标原点，直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M、N两点，l为C的准线，则（）.A.p=2B.|MN|=83C.以MN为直径的圆与l相切D.ΔOMN为等腰三角形分析：题目中的已知量有：①直线y=-3(x-1)与x轴的交点坐标为（1,0），即抛物线焦点为（1,0）；②直线y=-3(x-1)的斜率为k MN=-3，即直线MN的倾斜角为120°；③直线y=-3(x-1)与C交于M、N两点；④直线l为抛物线C的准线.未知量有：①p的取值；②线段|MN|的长度；③以MN为直径的圆与直线l的位置关系；④ΔOMN的形状；解题思路：由抛物线的焦点坐标可以确定p的取值；由直线MN的倾斜角与圆锥曲线的定义可以确定线段|MN|的长度；通过图象可以研究以MN为直径的圆与直线l的位置关系，判断出ΔOMN的形状.这样便将未知量与已知量关联起来了.图148本题的解答过程为：根据题设条件画出圆锥曲线的图象，如图1所示.由抛物线的定义可知，焦点F 的横坐标为1，则p =2，故A 选项正确；而|MN |=2p sin 2120°=163，故B 选项错误；过点M 作准线l 的垂线，交l 于点M ′；过点N 作准线l的垂线，交l 于点N ′；取MN 的中点为P ,过点P 作准线l 的垂线，交l 于点P ′，连接MP ′、NP ′，由抛物线的定义知|MF ′|=|MM ′|，|NF ′|=|NN ′|,所以|MN|=|MM ′|+|NN ′|.由梯形中位线的性质可知|PP ′|=12(|MM ′|+|NN ′|)=12|MN|,即|PP ′|=|MP|=|PN|，所以以MN 为直径的圆与直线l 相切，故C 选项正确；通过观察图象可知，ΔOMN 不是等腰三角形，故D 选项错误；所以本题的答案为AC .经检验，所得的结果正确.例2.双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点F 1(-25,0)，离心率为5.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为A 1,A 2，过点B (-4,0)的直线l 与C 的左支交于M ,N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于P ，证明：P 在定直线上.分析：题目中的已知量有：①该圆锥曲线是以中心为坐标原点的双曲线；②双曲线左焦点为F 1(-25,0)，即c =25；③离心率e =ca=5；④直线l 过定点B (-4,0)；⑤点P 为直线MA 1与NA 2的交点；未知量有：①双曲线C 的方程；②点P 是否在定直线上.解题思路：通过已知的a ,e 的取值，结合双曲线的定义，就可以确定双曲线的方程；依题意可知，直线l 过定点(-4,0)，可以令直线l 为x =ty -4.另外，结合（1）可以得出点A 1,A 2的坐标，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 0,y 0)，就可以得出直线MA 1与MA 1方程，接着联立方程，即可得解.解答本题的过程为：根据题设条件画出圆锥曲线的图象，如图2所示.图2（1）由c =25，e =ca=5可知a =2，即a 2=4，b 2=c 2-a 2=20-4=16，所以双曲线C 的方程为x 24-y 216=1.（2）设直线l ：x =ty -4，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 0,y 0).联立方程得ìíîïïx =ty -4,x 24-y 216=1,则(4t 2-1)y 2-32ty +48=0.因为直线与双曲线的左支有两个交点，所以ìíîïï4t 2-1≠0,Δ>0,y 1y 2<0,由韦达定理可得y 1+y 2=32t 4t 2-1，y 1y 2=484t 2-1.又MA 1与NA 2交于点P ，则ìíîïïïïy 0x 0+2=y 1x 1+2,y 0x 0-2=y 2x 2-2,可得x 0-2x 0+2=y 1(x 2-2)y 2(x 1+2)=y 1(ty 2-6)y 2(ty 1-2)=ty 1y 2-6(y 1+y 2)+6y 2ty 1y 2-2y 2=-3，解得x 0=-1，所以点P 在定直线x =-1上.经检验点P 在定直线x =-1上，且满足题意.很多同学在解题时常常不清楚应该如何下手，由哪个地方切入，掌握了解题的这四个步骤，就能高效、正确的完成解题.审题、寻找解题思路、确定并实施解题方案、回顾或检查解题的过程，每一个步骤都不可或缺，并有一定的先后顺序，上一个阶段是下一个阶段的前提，下一个阶段是对上一个阶段的完善.这四个步骤虽然不一定适用于所有的题目，却能为同学们解题提供一个大致的方向，这有利于培养同学们良好的解题习惯，进而提高解题的效率.（作者单位：哈尔滨师范大学教师教育学院）探索探索与与研研究究49。
波利亚数学家教我如何解题
波利亚数学家教我如何解题—5.4解决问题的四个步骤的教学反思波利亚数学家曾经说：“一个重大的发现可以解决一道重大的题目”。
又该如何去解决问题呢？基本来说有四个步骤：一、理解问题理解问题包括未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？有什么样的数量关系等等。
例如课本例1的未知量为改用计费方法A时通话时间，已知为计费方法A、B的费用与时间的关系，B方法的时间等。
为了能有效地，但不露痕迹的帮助学生，我们往往会迫不及待的一次又一次的问同样地问题，指出同样地步骤。
其实可以变换词语，用多种不同的方法来问相同的事情：观察未知量，得出是求A方法的时间，等量关系为A 与B的费用相同二、制定计划制定计划可以回到理解问题这一步，特别是找等量关系时有时学生因为多种数量关系会混淆，我们可以这么引出：你用到所有的已知量了吗？你用到全部条件了吗？会得到等量关系用计费方法B的用户一个月通话360分的话费=改用计费方法A后所花的话费，根据这一等量关系,可用列方程求解.具体步骤为:三、执行计划解：设所求的通话时间为x分，则有：360×0.6=50+0.4x解方程得：x=415答：改用计费方法A后该用户可通话415分。
但是往往学生都是是在我们的引导下采用这个方案，导致容易忘记，因此在讲解时可以这么强调：你能清楚地看出这个步骤是正确的吗?但是你又能怎么说明这个步骤是正确的。
四、回顾现在学生已经执行了计划，尽管如此，错误总是可能存在的，尤其是当论证冗长且复杂时，更是这样。
因此，需要进行验证。
检验不单单是查看是否符合方程和题意。
应该再想想把某些数据变化下，会不会有新的发现。
因此可利用课内练习中对例1的变式把360分钟改为200分钟，在继续变为75分钟，此时解得x=12.5,显然不符合实际，事实上计费B方法的费用已经少于A的月租费，因此可以马上提出那有没有可能相同的通话时间，费用也相同呢？这样的提问更符合学生的求知欲望和认知规律。
解得x=250时，费用相同。
读波利亚的《怎样解题》
读波利亚的《怎样解题》波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了数学解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。
这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。
波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。
怎样解题第一步：你必须弄清问题。
1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2.画张图，将已知标上。
3.引入适当的符号。
4.把条件的各个部分分开。
第二步：找出已知与未知的联系。
1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？3.回到定义去。
4.你能否解决问题的一部分？5.你是否利用了所有的条件？第三步：写出你的想法。
1.勇敢地写出你的方法。
2.你能否说出你所写的每一步的理由？第四步：回顾。
1.你能否一眼就看出结论？2.你能否用别的方法导出这个结论？3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。
他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，可能不得不考虑辅助问题。
最终得出一个求解计划。
”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
波利亚感叹：“学数学是一种乐趣！”教师如果能在平时的解题教学过程中不断实践和体会该表，必能很快地会发出这样一种感叹：“教会学生善解数学题目是学数学的乐趣的根本。
”1、教师最重要的任务之一是帮助学生。
学生解题时应当有尽可能多的独立的思考时间。
但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够，那么他很可能没有进步。
但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰好能使学生有一份合理的思考过程。
简述波利亚解题表的四个步骤
简述波利亚解题表的四个步骤
波利亚解题表是一种帮助人们解决问题的实用工具，由美国心理学家George Polya提出。
其主要包含四个步骤，分别是理解问题、制定计划、执行计划、以及回顾并改进。
1. 理解问题。
在这一步骤中，我们需要充分理解所面对问题，弄清问题的具体内容及其所涉及的知识点，把问题简化并明确解题目标。
2. 制定计划。
接下来，我们需要基于对问题的理解，提出一些初步解决问题的策略。
这些策略可以是利用已有的知识、问题分解、逆向思考、模拟推理等解决问题的方法。
3. 执行计划。
选定好解题策略后，我们需要具体执行计划，逐步实施解决方案，每一次推进都要注意与问题的一致性，并记录下来每一步的进展和困难。
4. 回顾并改进。
在问题解决完成后，我们需要回顾自己的解题过程，总结出好的和不好的地方，从过程和结果中学到经验和教训，为以后的解决问题积累经验和自信心。
这四个步骤间的流程是相互关联和重复的，即我们所采用的解题策略
或所看到的进展可能会影响我们再次理解问题或制定更加精确的策略等，为了解决问题，我们需要不断地循环执行这四个步骤。
波利亚解题四步骤精编版
波利亚解题四步骤集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-第一，弄清问题?未知数是什么已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知数，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的画张图。
引入适当的符号。
把条件的各个部分分开。
你能否把它们写下来？第二，拟定计划?找出已知数与求知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。
你应该最终得出一个求解的计划。
你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗你能不能利用它你能利用它的结果吗为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素你能不能重新叙述这个问题你能不能用不同的方法重新叙述它回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。
你能不能想出一个更容易着手的有关问题一个更普遍的问题一个更特殊的问题一个类比的问题你能否解决这个问题的一部分仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度它会怎样变化你能不能从已知数据导出某些有用的东西你能不能想出适合于确定未知数的其它数据如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近你是否利用了所有的已知数据你是否利用了整个条件你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念第三，实现计划?实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步是正确的你能否证明这一步是正确的第四，回顾反思?你能否检验这个论证你能否用别的方法导出这个结果你能否一下子看出它来你能不能把这结果或方法用于其它的问题？下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。
【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2(x＋π12)，g(x)＝1＋12sin2x.(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．第一步：弄清问题。
波利亚《怎样解题》
波利亚《怎样解题》波利亚（George Pólya）于1945年出版了一本名为《怎样解题》（How to Solve It）的书籍，这本书成为了解决问题的经典指南。
波利亚是一位知名的数学家，他在书中分享了他对问题解决过程的理解和方法。
《怎样解题》不仅适用于数学问题，也可以应用于各个领域。
解题的四个基本原则波利亚认为，解决问题有四个基本原则：理解问题、制定计划、执行计划和回顾。
下面将针对这四个原则进行详细讨论。
理解问题理解问题是解决问题的第一步。
对于有关问题的任何陈述，我们都需要理解其含义。
理解问题包括搞清楚问题的要求，识别问题中涉及到的关键数据和信息，并将问题进行分类。
分类问题可以帮助我们找出问题的模式和发现问题的规律。
在理解问题阶段，我们需要提出问题，并找出已知条件和未知数。
这个过程有助于我们建立解决问题的框架，并提供解决方案的线索。
制定计划在理解问题的基础上，我们需要制定一个解决问题的计划。
计划是解决问题的指导方针，可以帮助我们有条理地进行思考和行动。
制定计划的关键是找出解决问题的途径。
这可以通过思考类似的问题、试图将问题分解为更小的子问题以及利用问题中的条件和限制来实现。
制定计划时，我们还可以考虑使用图表、图形和模型来表示问题。
这有助于我们更好地理解问题，并找到解决问题的启示。
执行计划一旦我们制定了解决问题的计划，我们就要开始实施这个计划。
执行计划是解决问题的实质性步骤，需要我们运用适当的技能和方法。
在执行计划的过程中，我们要仔细记录和跟踪每一步骤，并确保以正确的方式执行。
如果在执行计划的过程中遇到问题，我们需要及时调整计划，找到新的方向。
回顾回顾是解决问题的最后一步。
在解决问题后，我们需要回顾整个解决过程，反思经验和教训，总结和归纳解决问题的方法和策略。
回顾过程可以帮助我们加深对问题解决过程的理解，并帮助我们提高解决问题的能力。
通过回顾，我们可以发现问题解决中的瑕疵和改进的空间，从而在下次面对类似问题时更好地应对。
简述波利亚解题表的四个步骤
简述波利亚解题表的四个步骤
波利亚解题表的四个步骤分别是：弄清问题、拟定计划、实现计划和反思。
这四个步骤可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。
弄清问题是解决数学问题的第一步。
在这个阶段，学生需要仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
此外，学生还应该尝试将问题转化为更容易解决的形式，这可以通过观察、画图、列举例子等方法来实现。
接下来是拟定计划阶段。
在这个阶段，学生需要根据自己对问题的理解，制定一个解决问题的策略。
这包括选择合适的数学方法、公式或定理，以及确定解题的步骤。
在这个阶段，学生可以参考课本、笔记或老师的讲解，寻找解决问题的线索。
在实现计划阶段，学生需要按照拟定的策略，逐步解决问题。
这需要学生熟练掌握相关的数学知识和技能。
在这个阶段，学生可能会遇到一些困难，需要调整策略或寻求帮助。
最后是反思阶段。
在这个阶段，学生需要对解题过程进行总结和反思。
这包括检查解题过程的准确性，分析解题方法的可行性和效率，以及思考如何改进解题策略。
反思可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
总之，波利亚解题表的四个步骤为学生在解决数学问题提供了有力的指导。
通过弄清问题、拟定计划、实现计划和反思，学生可以更好地理解问题，提高解题效率，并培养自己的数学素养。
在日常学习
中，学生可以多加练习，熟练掌握这四个步骤，从而在解决数学问题时更加游刃有余。
波利亚四步解题法
波利亚四步解题法1. 什么是波利亚四步解题法？波利亚四步解题法（Polya’s Four-Step Problem Solving Method）是由匈牙利数学家乔治·波利亚（George Pólya）提出的一种解决问题的方法。
这个方法适用于各种领域的问题，包括数学、科学、工程等。
波利亚四步解题法的核心思想是通过有序、系统的方式来解决问题，以确保每个步骤都得到适当的考虑和分析。
这种方法强调了问题解决过程中的创造性思维和灵活性，而不仅仅是机械地应用公式和算法。
2. 波利亚四步解题法的四个步骤2.1 理解问题（Understand the problem）在解决任何问题之前，首先需要全面理解问题的要求和限制。
这包括明确问题所涉及的概念、条件和目标。
在这一步骤中，可以通过以下几个方面来帮助理解问题：•仔细阅读问题陈述，并将其转化为自己理解的语言。
•将关键信息提取出来，并进行归纳总结。
•确定问题的目标和要求，明确需要解决的具体内容。
理解问题的过程中，可以使用思维导图、流程图等工具来帮助整理和梳理思路。
2.2 制定计划（Devise a plan）在理解问题之后，接下来需要制定解决问题的计划。
这个步骤是一个关键的思考过程，它要求我们考虑使用哪些方法、公式或算法来解决问题。
以下是一些常见的解题策略：•找出类似的问题，并尝试将其应用到当前问题上。
•将大问题分解为小问题，并逐一解决。
•使用图表、模型或示意图来帮助理清思路。
制定计划时，可以尝试不同的方法和角度，寻找最适合自己的解题策略。
2.3 执行计划（Carry out the plan）在制定好计划之后，就可以开始执行计划了。
这一步骤是具体操作和计算的过程。
根据制定的计划，按照一步一步地进行操作，直到得出最终结果。
在执行计划时，需要注意以下几点：•确保每个步骤都正确无误地执行。
•保持记录和注释，以便追溯和复查。
•尝试不同的方法和技巧，以获得更好的结果。
波利亚解题四步骤
Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π
6
)]，h(x)
＝12sin(2x＋π3)＋32
.第二步：制订计划。建立条件与结论之间的联系。如本题中，
因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋π
2
是增函数．
故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－5π12，kπ＋π
12
](k∈Z).
?
第四步：反思回顾．检验反思，查看关键点、易错点及解题过程每一步是否合理、充分，书写是否规范．
如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论
6
＝kπ
(k∈Z)，即2x0＝kπ－π
6
(k∈Z)．
第3页共3页?
所以g(x0)＝1＋12sin?2x0＝1＋12sin(kπ－π
6
)．
当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin(－π6)＝1－14＝3
4；
当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝5
4
.
?
第三步：实现计划。如本题中，由sin?x、cosx的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．即：h(x)＝f(x)＋g(x)
波利亚解题四步骤
第一，弄清问题?
未知数是什么已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知数，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的
画张图。引入适当的符号。
把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？
第二，拟定计划?
找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不
波利亚解题表的四个步骤
波利亚解题表的四个步骤
一、理解问题
在解决任何数学问题的第一步，我们首先需要完全理解问题。
这一步骤涉及到仔细阅读题目，并明确问题的目标。
理解问题需要我们识别出已知条件、未知数以及问题所要求的解。
此外，我们还需要理解问题中的数学概念和术语，以便更好地构建解题策略。
二、制定计划
在理解了问题之后，我们需要制定一个详细的解题计划。
这一步骤是解决问题的关键，因为它涉及到确定解题的步骤和策略。
我们可能需要回顾相关的数学知识和方法，以帮助我们构建出正确的解题计划。
在这个过程中，我们可以尝试通过画图、列表或符号表示来组织和整理信息，以便更好地理解问题。
三、执行计划
在制定了解题计划之后，我们需要按照计划进行实施。
这一步骤需要我们根据解题计划进行逐步推导和计算，直到我们找到解决方案。
在这个过程中，我们需要仔细执行每一步的计算和推理，以确保我们的解答是准确的。
四、回顾和总结
最后，我们需要回顾和总结我们的解答过程。
这一步骤可以帮助我们检查我们的解答是否正确，以及是否可以进一步优化我们的解题策略。
通过回顾我们的解答过程，我们可以学习到解决问题的方法和技巧，这对于未来的问题解决是非常有帮助的。
此外，总结也可以帮助我们将解决方案转化为实际应用，以便更好地理解和应用数学知识。
波利亚解题过程的四个阶段
波利亚解题过程的四个阶段解题就像在神秘的迷宫里找宝藏，而波利亚的解题过程那可是超棒的寻宝指南。
理解题目就像是和谜题初次见面，这时候你得把题目里的每个字、每个条件都当作是神秘的小怪兽。
你得瞪大眼睛，看清楚它们的模样，不然它们就会在你眼皮子底下耍花样。
这就好比相亲，你得把对方的情况摸个透，可不能马虎。
拟定计划呢，就像是绘制寻宝地图。
你要在脑海里翻箱倒柜，找出各种可能的工具和路线。
这时候你那些学过的知识啊，就像一群小跟班，你得挑出最得力的几个。
有时候你可能感觉自己像是个大厨，要从满厨房的食材（知识）里挑出合适的配料来做一道美味的解题大餐。
执行计划就像是真的踏上寻宝之旅啦。
你按照自己画好的地图，小心翼翼地前进。
每一步都得走稳喽，可不能像个莽撞的小牛犊到处乱撞。
这个过程可能会遇到些小坎坷，就像突然蹦出来个小陷阱，不过别怕，只要按照计划稳稳当当的，总能跨过去。
回顾就像是在宝藏到手后，坐在那里慢慢回味这一路的经历。
你要看看自己走的路有没有可以改进的地方，就像一个挑剔的美食家在吃完饭后评价菜品一样。
要是发现哪里可以走得更漂亮，那就像是发现了宝藏里的宝藏，下次再遇到类似的迷宫，就能更轻松地把宝藏抱回家啦。
整个波利亚解题过程，就像是一场超级有趣的冒险游戏。
从最初和谜题的紧张对视，到精心策划，再到勇敢前行，最后惬意回顾。
每个阶段都充满了乐趣和挑战，就像坐过山车，一会儿紧张得心跳加速，一会儿又兴奋得想欢呼。
它让我们在解题这个神秘的领域里，不再像没头的苍蝇乱转，而是像个智慧的小探险家，有条有理地向着答案这个大宝藏前进。
你看，有了波利亚解题法，那些看起来吓人的题目就像是纸老虎，只要我们按照这四个阶段一步一步来，就能轻松把它们搞定。
它就像一把万能钥匙，能打开好多知识宝库的大门呢。
读《怎样解题》有感
读《怎样解题》有感在老师的强力推荐下，我拜读了著名数学家和数学教育家波利亚的著作《怎样解题》。
通过读了这一本书，给了我很深的感触，也给了我很大的启示。
波利亚认为数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考；他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径。
本书是他专门研究解题的思维过程的结晶。
全书都是围绕一张“怎样解题”表中的问题和建议而组织的。
作者在书中引导学生按照表中的问题和建议思考问题，探索解题途径，进而逐步掌握解题过程的一般规律。
在《怎样解题》一书中指出，解题分为四步走：第一，理解题目，即审题。
我们都知道审题是解题过程中最基础的环节，能否审好题是解答题目的关键。
在该部分，作者就明确的告诉我们应该如何审题，即：“为知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件是否能满足？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？”。
在日常的教学中，老师常常对学生强调一定要仔细阅读题目，仔细审题，清楚的理解题目的意思。
但事实告诉我们，学生在解题过程中的最普遍的不足之处——对题目的理解不完整，无法完全挖掘出题目中所蕴含的信息这一状况并没有因此而的得到改善。
通过学习该部分，即可在很大程度上帮助学生形成良好的审题方法，进而养成良好的审题习惯。
这个部分对于那些学习好的，有良好的阶梯习惯的学生来说可能其重要性不太突出，但对于更多的学生来说，学会审题将对他们正确解题起到极大的促进作用。
第二，找到已知量和未知量之间的联系。
“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数获相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去”。
波利亚四步解体法
波利亚四步解题法
•第1步，彻底理解问题。
o为了确保真正理解问题，最好把问题用自己的话换成各种形式反复重新表达。
如果能够清晰有条理的表达出来问题，就解决了问题的一半。
o找出问题的主干
▪要求解的是什么？
▪已知条件是什么？
▪要满足哪些条件？
•第2步，形成解决思路。
o永远要寻求最好的思路
o思路的来源
▪过往解决问题的经验
▪已经掌握的知识
o向内思考
▪有没有解决过与当前问题相关的问题？
▪当时用的办法现在还是否适用？
▪要不要做调整？要做哪些调整？
▪试试改变这个问题的各个组件，已知、未知、条件逐一替换，直到找到与之相似而又解决过的问题
•
•第3步，执行。
o首先要有执行的耐心，要耐得烦。
o每一步都要检查
▪直觉检查
•直觉是问你自己这一步是不是一眼看上去就是对的。
感觉很重要，如
果自己都感觉有问题，那能没有问题吗？
▪证明检查
•证明是问你自己能不能严格证明这一步是对的。
对自己的逻辑思维再
次审查。
•第4步，总结。
o再检查一遍论证过程
o尝试用另外一种方法解题
o寻找更明快简洁的方法
o要思考这次的解法能否用来解决其他问题
•。
波利亚解题实例
用波利亚的解题方法解题在△ABC 中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是c b a ,,，且,43cos cos ,10===a b B A c p 为ABC 内切圆上的动点.求点p 到顶点C B A ,,的距离的平方和的最小值与最大值。
【分析】：第一步：理解题意。
本题的条件是(i)c=10,(ii),43cos cos ==a b B A (iii)P 是ABC 内切圆上的动点，所求的结论是要求出P 点到A ，B ，C 三顶点的距离的平方和的最值。
由此可得，这是一道关于图形的最值问题。
第二步：拟订计划．第二，①ABC 的三边，且的形状及其大小。
确定的ABC 的内切圆上有一动点对①小题，ABC 已具备了三个条件式，三角形不难解出来．对于②小题，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，至再由c=10，43=a b 及222c b a =+，可解得a=6,b=8. 如图1，建立直角坐标系，使直角△ABC 的三个顶点 为A （8，0），B （0，6），C （0，0）.在直角ABC 中，有,2,2=+=+r r c b a所以，内切圆的圆心为),2,2(O '方程为4)2()2(22=-+-y x .设圆上的任一点为P （x,y ）,则有S=222PC PB PA ++因P是内切圆上的点，故o≤z≤4，于是当z=4时，有最小值72，当x=o时，有最大值88。
第四步：回顾讨论．对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：x=O时，P点运动到BC上的M，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72．此外，能否用别的方法来导出结果呢?对第①小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法(略)．本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验．(1)如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的繁杂呈度明显上升．这说明，对于同样的素材(题设条件)，选用不同的加工方法(解题方法)，其繁简程度是有显著区别的．(2)(3)数形结合，会使计算大为简化，并且可能揭露问题.。
波利亚的解题理论
10
2. 掌握转化的方法
解题，实质上就是确立题中条件与问题 或条件与结论逻辑上的必然联系，实现 由未知向已知的转化．因此把一个数学 题转化为我们曾经解决过的与之相似的 数学题就成为解题的关键。如何转化？
11
3. 及时调控的能力
所谓调控，是指对所进行的解题活动（包 括解题模式的识别，解题策略的选择，解 题途径的探索，解题方案的构思，解题前 景的评价等）的自我意识、自我评估和自 我调整.
是成功解决问题的一个必要前提
2. 拟订计划——是探索解题思路的发现过程，是关
键环节和核心内容。
3. 实现计划——是思路打通之后具体实施信息资源
的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”
4. 回顾——是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作
。为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法
.
30
值得注意的四个方面
或者是矛盾的？
(7) 画张图，引入适当的符号． (8) 把条件的各个部分分开，你能否把它们
写下来?
20
第2 找出已知数与未知数之间的关系；如果找不 出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题：你 应该最终得出一个求解的计划——拟定计划．
(1) 你以前见过它吗?你是否见过相同的 问题而形式稍有不同?
求得答案
数学问题解决的策略
1.分析给出的数据信息和条件; 2.表征信息----从外部和大脑内部; 3.建立假设和计划过程; 4.应用公式算法定理,监控这类应用; 5.决定和检验假设,反思.
变更题目的常用方法——题目
分解与组合——穷举法,中途点 等价的题目 回到定义
等价变换 映射到别的领域 简化 特殊的题目 约化 极端情形
考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.
波利亚解题四步骤
第一，弄清问题未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图。
引入适当的符号。
把条件的各个部分分开。
你能否把它们写下来？第二，拟定计划找出已知数与求知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。
你应该最终得出一个求解的计划。
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗? 你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。
你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？第三，实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？第四，回顾反思你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？你能不能把这结果或方法用于其它的问题？下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。
【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2(x＋π12)，g(x)＝1＋12sin 2x.(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．第一步：弄清问题。
学习波利亚“怎样解题表”的启示-精选资料
学习波利亚“怎样解题表”的启示-精选资料学习波利亚“怎样解题表”的启示问题解决或解题，始终是创造性思维方法学研究中不可缺的课题。
中外许多学者在解题理论和解题训练，特别是创造性解题训练方面作出许多贡献，美籍匈牙利数学家乔治?波利亚就是一个突出的代表。
波利亚在“怎样解题表”中将解题分为4个步骤：弄清问题，即明了已知数、未知数和条件；拟订计划，即找出已知数与未知数之间的联系或者考虑辅助问题，并具体拟订一个求解的计划；实现计划，即实现求解计划，检查每一步骤；回顾，即验明所得到的解，并将结果和方法试着用于其他问题。
波利亚提出的解题步骤从不同侧面反映了解题活动的一些共性。
1. 怎样解题表可分为4个环节1.1 解题的首要因素就是理解题目学生如果缺乏对题意的理解和兴趣，并不总是他的错。
教师应对题目精心挑选，难度要适中，要自然且有趣味。
教师可以请学生来指出题目的主要部分，即未知量、已知数据以及条件。
学生应该专心地、反复地，并且从各个方面来考虑题目的主要部分，如果一幅图与该题目有关，应用图表示，以便更好地理解题目。
怎样解题的第一个步骤是弄清问题，即对问题进行恰当的表征。
问题表征是指形成问题空间，包括明确问题的给定，目标和允许的操作。
用我国教育界流行的术语来说，问题表征就是审题，即了解题意的过程。
1.2 解题的关键即是拟订计划从理解题目到构思一个解题方案也许是漫长而曲折的过程，从下列问题开始做尝试是合适的：你知道一道与它有关的题目吗？如果它们有关，你能进行利用吗？当我们理解了题目之后，不要急于动笔演算，因为理解有浅层理解和深层理解之分。
就算是完全弄清了题目，但要最后解决问题，可能还有一段很长的路要走。
即使是一个简单的问题，我们也要养成这样一个好的习惯，在头脑中从整体上设计好一个解题思路，第一步先做什么，第二步再做什么？……1.3 解题的核心即是实现计划要拟订一个方案，构思一个解题的想法，并不很容易，要取得成功需要许多方面，诸如以前学到的知识，良好的思维习惯。
波利亚《怎样解题》中的名言
波利亚《怎样解题》中的名言全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：波利亚（George Pólya，1887-1985）是一位匈牙利数学家，他被誉为解题方法之父。
他的著作《怎样解题》成为了数学解题领域的经典之作，对于数学教育和解题技巧产生了深远影响。
在这本书中，波利亚提出了许多有关解题的原则和方法，其中包含了许多令人深思的名言，下面让我们来一起探讨。
波利亚在《怎样解题》中提出了四步解题法，即理解问题、制定计划、实施计划和回顾。
在这四步中，最关键的是理解问题，因为只有充分理解了问题，我们才能够找到最合适的解决方法。
波利亚强调了问题的重要性，他说：“你必须理解问题，确切地理解问题，否则你就永远不会解出问题。
”这句话告诉我们，解题的第一步是对问题进行深入的分析和理解，只有这样才能找到解题的正确路径。
波利亚在《怎样解题》中提出了许多有关解题思维和方法的启示。
他说：“解题的主要思路是引导性的方向。
”这句话告诉我们，在解决问题的过程中，我们需要根据问题的特点和要求来选择合适的解决方法，找到引导我们向正确答案的方向。
波利亚还提醒我们：“解决问题并不是应用某种固定的方法，而是根据问题的特点来寻找最佳的解题方法。
”这句话告诉我们，解题并非死板的套路，而是一种灵活的思考过程，需要根据问题的情况选择最合适的解决方法。
波利亚还强调了解题的重要性。
他说：“解题是一种独特的技能，它可以训练思维的力量，培养创造性的思维方式。
”这句话告诉我们，解题不仅仅是为了解决具体的问题，更是为了锻炼我们的思维能力和培养我们的创造力。
通过解题，我们可以培养出勇于思考、敢于创新的习惯，从而更好地适应和应对各种挑战。
波利亚在《怎样解题》中提出了解题的一些技巧和策略。
他说：“解题的关键在于适当的选择方法和技巧。
”这句话告诉我们，解题并不是靠运气或者直觉，而是靠合理的思考和正确的方法。
波利亚还提醒我们：“在解题过程中，重要的是保持耐心和专注，不要着急，不要慌张。
2021波利亚的解题理论与中学教学.完整资料PPT
2、你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?
解答告诉他．因为比解答更重要的是解法 启发法的目的是要学习发现和创造和规那么
://wenku. 关于波利亚解题表的解释
，即如何从走向未知，而将题目中的“信 息〞重新编排，适当整理，正是走向未知 的第一步．
四、回忆
1. 能否检验这个论证? 2. 你能否用别的方法导出结果? 3. 能不能一下子看出它来? 4. 能不能把这结果或方法用于其他问题
?
1个例子
例1 k＞a＞b＞c＞0，求证： k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0
读题，读题，反复读题，这是解题时首先要认真 做的事，切莫无视
弄清问题
正如波利亚所说，这是“领会方法的最正确时机〞，“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回忆他所做的 一切，可能有利于探究他刚刚抑制困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：‘关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我 可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习 的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？’ 能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素? 关于波利亚解题表的解释
问题应当用自己的语言重新表达．通 如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.
〔１〕要对自己所教课程有假设趣；
过复述，可以发现学生是否理解了题意， 你能否用别的方法导出结果?
波利亚的‘‘启发法’’和 ‘‘合情推理’’
有没有忽略重要的局部．凡有学生来问问 ://wenku.
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波利亚解题四步骤 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
第一，弄清问题?
未知数是什么已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么条件是什么满足条件是否可能要确定未知数，条件是否充分或者它是否不充分或者是多余的或者是矛盾的
画张图。
引入适当的符号。
把条件的各个部分分开。
你能否把它们写下来？
第二，拟定计划?
找出已知数与求知数之间的联系。
如果找不出直接的联系，你可能不
得不考虑辅助问题。
你应该最终得出一个求解的计划。
你以前见过它吗你是否见过相同的问题而形式稍有不同你是否知道与此有关的问题你是否知道一个可能用得上的定理看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗你能不能利用它你能利用它的结果吗为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素
你能不能重新叙述这个问题你能不能用不同的方法重新叙述它回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。
你能不能想出一个更容易着手的有关问题一个更普遍的问题一个更特殊的问题一个类比的问题你能否解决这个问题的一部分仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度它会怎样变化你能不能从已知数据导出某些有用的东西你能不能想出适合于确定未知数的其它数据如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近
你是否利用了所有的已知数据你是否利用了整个条件你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念
第三，实现计划?
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步是正确的你能否证明这一步是正确的
第四，回顾反思?
你能否检验这个论证你能否用别的方法导出这个结果你能否一下子看出它来
你能不能把这结果或方法用于其它的问题？
下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。
【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2
(x＋π12)，g(x)＝1＋12
sin2x.
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
第一步：弄清问题。
已知条件是什么如本题中，
已知两个三角函数，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝
Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π
6
)]，h(x)
＝12sin(2x＋π3)＋32
.第二步：制订计划。
建立条件与结论之间的联系。
如本题中，
因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋π
6
＝kπ
(k∈Z)，即2x0＝kπ－π
6
(k∈Z)．
第3页共3页?
所以g(x0)＝1＋12sin?2x0＝1＋12sin(kπ－π
6
)．
当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin(－π6)＝1－14＝3
4；
当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝5
4
.
第三步：实现计划。
如本题中，由sin?x、cosx的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．即：h(x)＝f(x)＋g(x)
＝12[1＋cos(2x＋π6)]＋1＋1
2sin2x
＝12[cos(2x＋π6)＋sin2x]＋32
＝12(32cos2x＋12sin2x)＋32
＝12sin(2x＋π3)＋32.
当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π
12
(k∈
Z)时，函数h(x)＝12sin(2x＋π3)＋3
2
是增函数．
故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－5π12，kπ＋π
12
](k∈Z).
第四步：反思回顾．检验反思，查看关键点、易错点及解题过程每一步是否合理、充分，书写是否规范．
如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论。