差分方程的解法

1、常系数线性差分方程的解

方程（ 8）其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。

又称方程（9）

为方程（8）对应的齐次方程。

如果（9）有形如的解，带入方程中可得：

（10）

称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。

显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。

基本结果如下：

（1）若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：

，

（2）若（10）有m重根，则通解中有构成项：

（3）若（10）有一对单复根，令：，，则（9）的通解中有构成项：

（4）若有m 重复根：，，则（9）的通项中有成项：

综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程

（9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：

如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解：

+

（11）

（1）的特解可通过待定系数法来确定。

例如：如果为n 的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。

2、差分方程的z变换解法

对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z 变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的

例1设差分方程，求

解：解法1：特征方程为，有根：

故：为方程的解。

由条件得：

解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：

由条件得

由F（z）在中解析，有

所以，

3、二阶线性差分方程组

设，，形成向量方程组

（12）则

（13）（13）即为（12）的解。

为了具体求出解（13），需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：

（1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。

（2）将A 分解成为列向量，则有

从而，

（3）或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态，找出的内在构造规律，进而分析解的变化规律，获得它

的基本性质。

4、关于差分方程稳定性的几个结果

（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的特征根满足

（2）一阶非线性差分方程

（14）

（14）的平衡点由方程决定，

将在点处展开为泰勒形式：

（15）

故有：时，（14）的解是稳定的，

时，方程（14）的平衡点是不稳定的。