北师大版(2019)高中数学必修第二册第四章 2.3三角函数的叠加及其应用-学案

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第四章三角恒等变换(知识点总结梳理)-高中数学北师大版(2019)必修第二册

2019新教材北师大版数学必修第二册第四章知识点清单目录第四章三角恒等变换§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数公式§3 二倍角的三角函数公式第四章三角恒等变换 §1 同角三角函数的基本关系一、同角三角函数的基本关系式 1. 平方关系：sin 2α+cos 2α=1. 2. 商数关系：tan α= sin αcos α.3. 公式的常见变形(1)sin 2α=1-cos 2α；cos 2α=1-sin 2α.(2)sin α=±√1−cos 2α；cos α=±√1−sin 2α. (3)cos αtan α=sin α.(4)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α. (5)1+tan 2α=1cos 2α；1+1tan 2α=1sin 2α二、由一个三角函数值求其他三角函数值1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值，利用同角三角函数的基本关系式可以“知一求二”.2. 若题目中没有指出角终边所在的象限，则必须根据条件推断该角可能是第几象限角，再分情况加以讨论.三、利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明 1. 利用同角三角函数的基本关系化简或证明时常用的方法(1)化切为弦，即把正切函数化成正弦、余弦函数，从而达到化简的目的. (2)对于含有根号的三角函数式，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造出“sin 2α+cos 2α”的形式，以降低次数，达到化简的目的.四、关于sin α，cos α的齐次式的求值问题1. 关于sin α，cos α的齐次式是指式子中的每一项都是关于sin α或cos α的式子，且每一项的次数相等，通常为一次齐次式、二次齐次式.2. 当齐次式为分式时，可将分子与分母同除以cos α的n(n为齐次式的次数)次幂，此时分式的分子与分母都可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.3. 当二次齐次式为整式时，可将其视为分母为1的式子，然后将分母1用sin2α+cos2α替换，这时再将式子的分子与分母同时除以cos2α，即可化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求得式子的值.五、利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值1. 若已知sin α±cos α，sin αcos α 中的一个,则可以利用方程思想进一步求得sin α, cos α 的值，从而解决相关问题. 常涉及的三角恒等式有：(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α；(2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α；(3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2；(4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin α·cos α.2. 求sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α的值时，要注意结合角的范围进行符号判断.§2 两角和与差的三角函数公式一、两角和与差的三角函数公式二、知识拓展 1. 公式的记忆方法：(1)公式C α+β，C α-β可记为“同名相乘，符号反”. (2)公式S α+β，S α-β可记为“异名相乘，符号同”.(3)公式T α+β，T α-β的结构特征可记为“分子为正切的和或差，分母为1与正切的积的差或和”，符号规律可记为“分子同，分母反”.2. 两角和与差的正切公式的变形：(1)tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β). (2)1-tan αtan β=tan α+tan βtan(α+β)，1+tan αtan β=tan α−tan βtan(α−β).(3)1+tan α1−tan α=tan π4+tan α1−tan π4⋅tan α=tan (π4+α)，1−tan α1+tan α=tan π4−tan α1+tan π4⋅tan α=tan (π4−α).以上式子中各角应保证各式有意义.三、三角函数的叠加公式1：asin α+bcos α=√a 2+b 2sin(α+φ)，其中sin φ=√a 2+b2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.公式2：asin α+bcos α=√a 2+b 2cos(α-φ)，其中sin φ=√a 2+b 2，cos φ=√a 2+b 2，a ，b不同时为0.四、积化和差与差化积公式 1. 积化和差公式(1)cos αcos β=12 [cos(α+β)+cos(α-β)].(2)sin αsin β=-12 [cos(α+β)-cos(α-β)]. (3)sin αcos β=12 [sin(α+β)+sin(α-β)].(4)cos αsin β=12 [sin(α+β)-sin(α-β)].2. 和差化积公式 (1)sin x+sin y=2sinx+y 2cos x−y 2.(2)sin x-sin y=2cosx+y 2sinx−y2.(3)cos x+cos y=2cosx+y 2cos x−y2.(4)cos x-cos y=-2sinx+y 2sinx−y 2.五、利用公式解决给角求值问题利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理运用，使所求式中的非特殊角转化为特殊角，或使式中出现可以正负抵消的项，或使式中出现分子、分母能约分的项，从而达到化简求值的目的. 具体注意以下几点：(1)看角：把角尽量向特殊角或可化简或可求出值的角转化，合理拆角，化异为同； (2)看名称：把式子中的三角函数的名称尽量化成同一名称，例如可以把正切函数化为正、余弦函数，或把正、余弦函数转化为正切函数，再解决问题；(3)看式子：看式子是否满足两角和与差的正弦、余弦、正切公式，准确选择公式求解.六、利用公式解决给值求值问题给值求值，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，其关键在于“变角”，即使“所求角”变为“已知角”，常见的技巧如下：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个已知角的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，应注意“已知角”与“所求角”的关系，通过诱导公式或引入特殊角，将“所求角”变成“已知角”；(3)配角技巧：①2α=(α+β)+(α-β)，②α=(α+β)-β=β-(β-α)，③α=(α+π4)-π4=(α−π4)+π4，④α−β2=(α+β2)-(α2+β).七、利用公式解决给值求角问题1. 解决给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角.2. 通过求角的某个三角函数值来求角，选取函数是关键，一般遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选取正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，选取正弦函数或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正弦函数、余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围是(−π2，π2)，选正弦函数较好.八、利用三角函数的叠加研究函数的性质1. 公式的作用：利用三角函数的叠加公式可将形如asin α+bcos α(a，b不同时为0)的三角函数式转化为Asin(α+φ)或Acos(α+φ)的形式，从而达到化简或求值的目的，也有利于研究函数的图象和性质.2. 形式选择：化为正弦还是余弦的形式，要由具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.§3 二倍角的三角函数公式一、二倍角公式二、半角公式1. 半角的正弦公式：sinα2=±√1−cos α2.2. 半角的余弦公式：cosα2=±√1+cos α2.3. 半角的正切公式：tanα2=±√1−cos α1+cosα=sin α1+cosα=1−cos αsinα.三、知识拓展二倍角公式的变形1. 降幂公式：sin αcos α=12sin 2α；sin 2α=1−cos 2α2；cos 2α=1+cos 2α2.2. 升幂公式：1±sin 2α=(sin α±cos α)2；1+cos 2α=2cos 2α；1-cos 2α=2sin 2α.3. 万能公式：sin 2α=2tan α1+tan 2α；cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α.四、半角公式的应用利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的二倍关系.(2)明范围：求出相应半角的范围，为定符号做准备. (3)选公式：涉及正切时，常利用tan α2=sin α1+cos α=1−cos αsin α进行计算；涉及正弦、余弦时，常利用sin 2α2=1−cos α2，cos 2α2=1+cos α2进行计算.(4)下结论：结合(2)求值. 五、三角函数公式的综合应用三角函数公式在三角函数式的化简、求值以及研究与三角函数有关函数的图象与性质等方面具有重要作用，尤其是研究与三角函数有关函数的图象与性质时，需要先对函数解析式进行化简，化简的过程就是运用公式的过程. 通常情况下，需要先对解析式降幂，变为一次式，再利用三角函数的叠加公式将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)+k 或y=Acos(ωx+φ)+k 的形式，最后研究函数的图象与性质.。

2021学年高中数学第四章2.3三角函数的叠加及其应用课后习题含解析北师大版必修二.docx

2.3 三角函数的叠加及其应用课后篇巩固提升基础达标练1.cos -17π4-sin -17π4的值是( ) A.√2 B.-√2 C.0 D.√22 解析cos -17π4-sin -17π4=cos 17π4+sin 17π4=√2sin 17π4+π4=√2sin 9π2=√2.2.函数f (x )=sin x-cos x+π6的值域为( ) A.[-2,2]B.[-√3,√3]C.[-1,1]D.-√32,√32 解析f (x )=sin x-cos x+π6 =sin x-√32cos x+12sin x=32sin x-√32cos x=√3sin x-π6, 所以函数f (x )的值域为[-√3,√3].3.已知f (x )=sinπ3x+π3-√3cos π3x+π3,则f (1)+f (2)+…+f (2 020)的值为( ) A.2√3B.√3C.1D.0 解析f (x )=sinπ3x+π3-√3cos π3x+π3 =2sin π3x+π3-π3=2sin π3x ,所以周期为6,且f (1)+f (2)+…+f (6)=0, 所以f (1)+f (2)+…+f (2020)=f (2017)+f (2018)+f (2019)+f (2020)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=√3.4.已知向量a =sin α+π6,1,b =4,4cos α-√3,若a ⊥b ,则sin α+4π3等于( )A.-√34B.-14C.√34D.14解析因为a ⊥b ,所以a ·b =4sin α+π6+4cos α-√3=2√3sin α+6cos α-√3=4√3sin α+π3-√3=0,所以sin α+π3=14,sin α+4π3=-sin α+π3=-14.5.在△ABC 中,A=15°,则√3sin A-cos(B+C )的值为 () A.√22 B.√32C.√2D.2A+B+C=π,所以B+C=π-A.所以√3sin A-cos(B+C )=√3sin A-cos(π-A )=√3sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin(15°+30°)=√2.6.(多选)关于函数f (x )=cos 2x-π3+cos 2x+π6,下列说法正确的是( )A.函数f (x )的最大值是√2B.函数f (x )是以π为最小正周期的周期函数C.函数f (x )在区间π24,13π24上单调递增D.函数f (x )在区间π24,13π24上单调递减解析因为f (x )=cos 2x-π3+cos 2x+π6=cos 2x-π3+cos 2x-π3+π2=cos 2x-π3-sin 2x-π3=√2√22cos 2x-π3-√22sin 2x-π3=√2cos 2x-π3+π4=√2cos 2x-π12.所以函数f (x )的最大值是√2,最小正周期为T=2π2=π,选项A,B 正确;由2k π≤2x-π12≤2k π+π(k ∈Z ),得k π+π24≤x ≤k π+13π24(k ∈Z ),所以函数f (x )在区间π24,13π24上单调递减,所以C 错误,D 正确.7.化简:√24sin (π4-x)+√64cos (π4-x)= .(π4-x)+√64cos (π4-x) =√24[sin (π4-x)+√3cos (π4-x)] =√24×2[sin (π4-x)·12+cos (π4-x)·√32] =√22[sin (π4-x)cos π3+cos (π4-x)sin π3]=√22sin (π4-x +π3)=√22sin (7π12-x).(7π12-x)8.已知cos x-π6=-√33,则cos x+cos x-π3的值为 . 解析cos x+cos x-π3=cos x+12cos x+√32sin x =32cos x+√32sin x=√3√32cos x+12sin x =√3cos x-π6=-1.19.已知函数f (x )=sin x+π6+sin x-π6+a cos x+b (a ,b ∈R ,且均为常数),(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若f (x )在区间-π3,0上单调递增,且恰好能够取到f (x )的最小值2,试求a ,b 的值. 解(1)f (x )=sin x+π6+sin x-π6+a cos x+b=2sin x cos π6+a cos x+b=√3sin x+a cos x+b=√a 2+3sin(x+φ)+b.所以,函数f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)可知:f (x )的最小值为-√a 2+3+b.所以,-√a 2+3+b=2.另外,由f (x )在区间-π3,0上单调递增.可知,f (x )在区间-π3,0上的最小值为f -π3.。

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【题组训练】
1. 1－tan 15 = ( )
1＋tan 15
A. 3
B. 3
C.1
3
【解析】选A.1－tan 15＝ tan 45－tan 15
1＋tan 15 1＋tan 45tan 15
D. 1
2
=tan 30°= .3
3
2.已知 <β<α< 3 ,cos(α-β)= 12 ,sin(α+β)=- 3 ,求cos 2α
Tα±β的意识,从而不难获得解题思路.
角度2 给值求值(角)
【典例】1.已知cos (＋)＝4 (α为锐角),则sin α= ( )
65
A. 3 3＋4B. 3＋4 3C. 3－4 3D. 3 3－4
10
10
10
10
2.已知cos α= 4 ,α∈(0,π),tan(α-β)= 1 ,求tan β及tan(2α-β).
2
2.原式=2( 3 sin ＋1 cos )
2 12 2 12
=2(sin cos ＋sin cos )
12 6 6 12
=2sin( ＋)
12 6
=2sin 2.
4
答案: 2
3.因为tan 60°= 3＝1t－anta2n32＋3ttaann3377，所以tan 23°+tan 37°= -3 tan3 23°tan 37°, 所以tan 23°+tan 37°+ t3an 23°tan 37°= . 3
2
所以cos(α+β)=- 1,1所以sin β=sin[(α+β)-α]
14
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

4.2.3三角函数的叠加及其应用-2024-2025学年高中数学(必修第二册)(北师大版)同步课件

2x＋n
＝msin2x＋π3＋n. ∵m>0，
∴由 2kπ＋2π≤2x＋π3≤2kπ＋32π，k∈Z，
得 kπ＋1π2≤x≤kπ＋71π2，k∈Z，
故函数 f(x)的单调递减区间为kπ＋1π2，kπ＋172π，(k∈Z)．
(2)当 x∈0，π2时，2x＋π3∈π3，43π，
则 sin2x＋π3∈－ 23，1，
m＋n＝3，由题意知－ 23m＋n＝1－ 3
解得 m＝2，n＝1.
跟踪训练 2 已知定义在 R 上的函数 f(x) ＝ asin ωx ＋ bcos
ωx(ω>0)．若 f(x)的最小正周期为 π，且对一切 x∈R，都有 f(x)≤f1π2＝ 4，求函数 f(x)的表达式．
解析：利用辅助角公式，可得 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)(其中 tan φ＝ ab)．又最小正周期 T＝2ωπ＝π，∴ω＝2，即 f(x)＝ a2＋b2sin(2x＋φ)．∵对
例2
已知函数
f(x)＝m2 sin
2x＋
3 2 mcos
2x＋n(m>0)
(1)求函数 f(x)的单调递减区间；
(2)设 x∈0，π2，f(x)的最小值是 1－ 3，最大值是 3，求实数 m， n 的值．
解析：(1)f(x)＝m2 sin
2x＋
3 2 mcos
2x＋n
＝m12sin
2x＋
23cos
要点二辅助公式 asin α＋bcos α＝__a_2＋__b_2__s_in_(_α_＋__φ_)_(a，b 不同时为 0)，其中角 φ 所在象限由 a，b 的符号确定，角 φ 的值由 sin φ＝ a2b＋b2和 cos φ＝ a2a＋b2的值确定，也就是由 tan φ＝ba来确定．

高中数学北师大版2019必修第二册三角函数的叠加及其应用

(2)令 2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得函数 f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ＋38π(k∈Z)．注意到 x∈0，π2，所以令 k＝0，得函数 f(x)在0，π2上的单调递增区间为0，38π；同理，其单调递减区间为 38π，π2.
1. 把例3中的函数换为y＝sin x－ 3cos x(0≤x≤2π)，其最大值为________．
(2)令2kπ＋
π 2
≤4x＋
π 4
≤2kπ＋
3π 2
(k∈Z)，得
kπ 2
＋
π 16
≤x≤
kπ 2
＋
5π 16
(k∈Z)．
∴f(x)的单调递减区间为k2π＋1π6，k2π＋51π6(k∈Z)．
一般地，对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取 a2＋b2，化为Asin(ωx＋φ)的形式．公式asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)(或 asin α＋bcos α＝ a2＋b2·cos(α－φ)称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．
提示：cos α＋
3sin
α＝212cos
α＋
3 2 sin
α
＝2sinπ6cos α＋cosπ6sin α＝2sinα＋π6.
3．逆用两角和的正弦公式可以把 acos α＋bsin α 化简为什么？
提示：acos α＋bsin α＝
a2＋b2
a a2＋b2cos
α＋
b a2＋b2sin
α，令
sin(α＋φ)．
2．asin α＋bcos α 可以转化为 a2＋b2cos(α＋φ)吗？
提示：asin α＋bcos α
＝

三角函数的叠加及其应用课件高一下学期数学北师大版

公式特征：和差角，两正切；子同母异，符号连。楼上两客（切）分两边；楼下一间挤（积）两客（切）。
亳州五中
问题导入
亳州五中
典例讲解亳ຫໍສະໝຸດ 五中问题探究亳州五中
问题探究
亳州五中
抽象概括
注意：辅助角公式只适用于“同一个角”的正弦和余弦的线性关系。
亳州五中
典例讲解
亳州五中
典例讲解
亳州五中
练习巩固
亳州五中
§2 两角和与差的三角函数公式 2.3 三角函数的叠加及其应用
高一数学组赵忠保
亳州五中
复习回顾
公式特征：和差角，两余弦；同名积，异号连。余余正正，余在前；前角后角，顺不乱。
亳州五中
复习回顾
公式特征：和差角，两正弦；异名积，同号连。正余余正，交叉站；前角后角，顺不乱。
亳州五中
复习回顾
亳州五中
课堂小结
公式无需记忆，会用配方法推导
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作业布置
P162 习题A组第9题； P163 习题B组第5题。

2020-2021学年数学北师大版(2019)必修第二册学案与作业：2.3 三角函数的叠加及其应用

2.3 三角函数的叠加及其应用(15分钟35分)1.已知角α的终边经过点(-3,4),则sin的值为( )A. B.- C. D.-【解析】选C.因为角α的终边经过点(-3,4),则sin α=,cos α=-, 所以sin=sin αcos+cos αsin =×-×=.2.若α是锐角,且满足sin=,则cos α的值为( )A. B.C. D.【解析】选B.因为α是锐角,且sin=>0,所以α-也为锐角,所以cos===,cos α=cos=cos·cos -sin sin =×-×=.3.已知tan=,则tan α=_______.【解析】因为tan=tan=,所以=,解得tan α=.答案:【补偿训练】已知tan(α+β)=3,tan=2,那么tan β=_______.【解析】tan==2,则tan α=,又tan(α+β)==3, 所以tan β=.答案:4.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=_______. 【解析】由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=1即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=-.答案:-5.已知cos αcos β-sin αsin β=0,那么sin αcos β+cos αsin β的值为_______.【解析】因为cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β)=0,所以α+β=k π+,k∈Z,所以sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)=±1.答案:±16.已知tan=2,tan β=,求的值.【解析】由tan==2,解得tan α=.所以====tan(β-α)===.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=( )A.0B.C.D.1【解析】选D.因为cos(α+β)=sin(α-β),所以cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β,所以cos α(sin β+cos β)=sin α(cos β+sin β).因为α,β均为锐角,所以sin β+cos β≠0,所以cos α=sin α,所以tan α=1.2.若f(x)=3sin x-4cos x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是( )A. B.C. D.【解析】选D.因为f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ),则sin(a-φ)=±1,所以a-φ=kπ+,k∈Z,即a=kπ++φ,k∈Z,而tan φ=且0<φ<,所以<φ<,所以kπ+<a<kπ+π,k∈Z,取k=0,此时a∈.3.设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=,则下列结论正确的是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.a<c<b【解析】选D.因为a=sin 14°+cos 14°=sin(45°+14°)=sin 59°,b=sin 16°+cos 16°=sin(45°+16°)=sin 61°,c==sin 60°,又因为函数y=sin x在0°<x<90°上是增函数,所以sin 59°< sin 60°<sin 61°,所以a<c<b.4.已知cos α=-且α∈,则tan等于( )A.-B.-7C.D.7【解析】选D.因为cos α=-,且α∈,所以sin α=,所以tan α==-,所以tan==7.5.已知α∈,tan α=2,则cos等于( )A. B. C. D.-【解析】选C.由tan α=2得sin α=2cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,所以cos α=,sin α=.因为cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.6.在△ABC中,cos A=,cos B=,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【解析】选B.由题意得sin A=,sin B=,所以cos C=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-×+×=-=-=-<0,所以C是钝角,故△ABC是钝角三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β=_______.【解析】因为α,β为锐角,sin α=,cos β=,所以cos α=, sin β=.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.因为0<α+β<π,所以α+β=π.答案:8.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan(α+β)=_______,α+β=_______.【解析】因为tan β==.所以tan β+tan αtan β=1-tan α.所以tan α+tan β+tan αtan β=1.所以tan α+tan β=1-tan αtan β.又因为1-tanαtan β≠0,所以=1,所以tan(α+β)=1;由于α,β均为锐角,故0<α+β<π,故α+β=.答案:1【补偿训练】已知tan α=,cos β=且0<α<,<β<2π,则α+β的值为_______.【解析】因为<β<2π且cos β=,所以sin β=-,所以tan β==-2,所以tan(α+β)===-1,又因为0<α<,所以<α+β<π,所以α+β=π.答案:π三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知sin=-,sin=,其中<α<,<β<,求角α+β的值.【解析】因为<α<,所以-<-α<0.因为<β<,所以<+β<.由已知可得cos=,cos=-,则cos(α+β)=cos=cos cos+sin sin=×+×=-.因为<α+β<π,所以α+β=.10.已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值. 【解析】tan α=tan[(α-β)+β]===.又因为α∈(0,π),而tan α>0,所以α∈.tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]===1.因为tan β=-,β∈(0,π),所以β∈,所以α-β∈(-π,0).由tan(α-β)=>0,得α-β∈,所以2α-β∈(-π,0).又tan(2α-β)=1,所以2α-β=-.(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)的值为( ) A.16 B.8 C.4 D.2【解析】选C.由于21°+24°=45°,23°+22°=45°,利用两角和的正切公式及其变形可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,(1+tan 22°)(1+tan 23°)=2,故(1+tan 21°)(1+tan 22°)(1+tan 23°)(1+tan 24°)=4.关闭Word文档返回原板块。

北师版高中数学必修第二册精品课件第4章三角恒等变换 §2 2.3 三角函数的叠加及其应用

最低为6元.
(1)试分别建立每件的出厂价格、销售价格关于月份的函数
模型,并分别求出函数解析式;
(2)假设商店每月购进这种商品m件,且当月销售完,试写出该
商品的月利润关于月份的函数解析式;
(3)在(2)的基础上,求该商店月利润的最大值.
解:(1)设月份为x,每件的出厂价格为
f(x)=A1sin(ω1x+φ1)+k1,x∈[1,12],x∈N+,每件的销售价格为

得单调递增区间为 - + ,

+ ,k∈Z.

,
2.若将本例中函数改为f(x)=msin x+mcos x,其中m>0,其他条
件不变,应如何解答?
解:f(x)=msin x+mcos x= msin

+
,其中 m>0,
∴T=2π,值域为[- m, m],

由-+2kπ≤x+

=2sin + .
(2)原式=2

=2sin - .
−

=2 −
反思感悟辅助角公式实质上是两角和与差的正弦、余弦公
式的逆用,化简求值时,要先构造公式右边的形式,再逆用公式.

【变式训练 1】已知 cos - =- ,则 cos x+cos - =(

所以函数 f(x)的图象的对称轴方程是 x=kπ+ (k∈Z).
(k∈Z).
探究三辅助角公式在实际问题中的应用
【例3】某商品一年内每件的出厂价格在6元的基础上按月

2024-2025年北师大版数学必修第二册4.2.3三角函数的叠加及其应用(带答案)

2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练知识点一辅助角公式 1．函数f (x )＝32 sin 2x ＋12cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22．使函数f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)为奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数的φ的一个值是( )A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π33．计算sin π12 －3 cos π12 的值为________．知识点二三角函数的叠加应用 4．已知函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx (ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 的值；(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝－35 ，求cos (α＋β)的值．知识点三三角函数模型的应用5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3 cos π12 t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 的最小值是( )A ．2－2B ．2＋2C ．3D ．12．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π3．若tan θ＝b a (－π2 <θ<π2)，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin (x ＋φ)(0≤φ<2π)，下列判断错误的是( )A ．当a >0，b >0时，φ＝θB ．当a >0，b <0时，φ＝θ＋2πC ．当a <0，b >0时，φ＝θ＋πD ．当a <0，b <0时，φ＝θ＋2π4．将函数y ＝sin (2x ＋φ)，φ∈(0，π)的图象向左平移π12 个单位长度得到函数g (x )的图象，已知g (x )是偶函数，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－33 D ．335．已知函数f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ，则下面结论错误的是( )A ．当x ∈[0，π2 ]时，f (x )的取值范围是[－3 ，2]B ．y ＝f (x )在[π3 ，π2 ]上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称D ．y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到二、填空题6．函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a >0)的最大值为2，则a ＝________．7．函数y ＝sin x －3 cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3 cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．8．(易错题)已知cos (α－π6 )＋sin α＝435 ，则sin (α＋7π6)的值是________．三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22 ，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3 ，求x 的值．学科素养升级练1.(多选题)函数f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ，x ∈R ，下列说法正确的是( )A ．f (x －π12 )为偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间[0，π2 ]上先减后增D ．f (x )的图象关于x ＝π6对称2．(学科素养——数学运算)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，其中ω>0.若f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，求ω的取值范围．2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练1．答案：A解析：f (x )＝32 sin 2x ＋12 cos 2x ＝sin (2x ＋π6 )，所以最小正周期为T ＝2π|ω|＝π，振幅为1.故选A.2．答案：B解析：由题意得f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3 . ∵函数f (x )为奇函数，且定义域为R ， ∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3 ＝0.∴φ＋π3 ＝n π，n ∈Z ，∴φ＝n π－π3，n ∈Z .令2k π＋π2 ≤2x ＋φ＋π3 ≤2k π＋3π2 ，k ∈Z ，得k π＋π12 －φ2 ≤x ≤k π＋7π12 －φ2，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π12－φ2≤0，k π＋7π12－φ2≥π4， k ∈Z ，∴2k π＋π6 ≤φ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z ，∴当φ＝2π3时，满足题意．故选B.3．答案：－2解析：sin π12 －3 cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12 ＝－2cos π4 ＝－2 .4．解析：(1)因为f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx ，所以f (x )＝sin (ωx ＋π6).因为函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx 的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以T ＝2π，ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π6 ＝sin π6 cos π4 －cos π6 sin π4 ＝2－64 .(2)由(1)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝sin α＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝sin (β＋π)＝－sin β＝－35 ，所以sin β＝35. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以cos α＝1－sin 2α ＝513 ，cos β＝1－sin 2β ＝45 ，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513 ×45 －1213 ×35 ＝－1665 .5．解析：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，又0≤t <24，所以π3 ≤π12 t ＋π3 <7π3 ，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 >11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 <－12 .又0≤t <24，因此7π6 <π12 t ＋π3 <11π6 ，所以10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．关键能力综合练1．答案：C解析：原式＝2 ⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＋2＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＋2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，∴x ＋π4 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .当x ＋π4 ＝π4 或3π4 ，即x ＝0或x ＝π2 时，函数y 取得最小值，即y min ＝2 ×22＋2＝3.故选C. 2．答案：A解析：∵f (x )＝cos x －sin x ＝2 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ，∴当2k π≤x ＋π4 ≤π＋2k π(k ∈Z )，即－π4 ＋2k π≤x ≤3π4 ＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递减，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 ，∴－a <a ，－a ≥－π4 ，a ≤3π4 .解得0<a ≤π4 ，∴a 的最大值为π4.故选A.3．答案：D解析：由选项知，ab ≠0，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x )，令cos φ＝aa 2＋b 2 ，sin φ＝b a 2＋b 2，有tan φ＝sin φcos φ ＝b a ＝tan θ(－π2<θ<π2)，0≤φ<2π，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，对于A ，当a >0，b >0时，φ为第一象限角，且0<φ<π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan θ，则φ＝θ，A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，φ为第四象限角，且3π2 <φ<2π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan(θ＋2π)，则φ＝θ＋2π，B 正确；对于C ，当a <0，b >0时，φ为第二象限角，且π2 <φ<π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，C 正确；对于D ，当a <0，b <0时，φ为第三象限角，且π<φ<3π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，D 错误．故选D.4．答案：D解析：将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π12个单位长度，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ 的图象，因为g (x )是偶函数，所以π6 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)，所以φ＝π3 ，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝tan π6 ＝33 .故选D.5．答案：D解析：f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ＝2sin (3x －π3 )，当x ∈[0，π2 ]，3x －π3 ∈[－π3 ，7π6 ]，sin (3x －π3 )∈[－32，1]，f (x )的取值范围是[－3 ，2]，A 正确；当x ∈[π3 ，π2 ]，3x －π3 ∈[2π3 ，7π6 ]，f (x )＝2sin (3x －π3 )单调递减，B 选项正确；当x ＝－π18 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝－2，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称，C 选项正确；由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到y ＝sin 3(x －π3 )＝sin (3x －π)＝－sin 3x ，D 选项错误．故选D.6．答案：3解析：∵f (x )＝a sin x ＋cos x ＝a 2＋1 sin (x ＋φ)，tan φ＝1a ，φ∈(0，π2 )，∴当sin (x ＋φ)＝1时，f (x )取最大值，∴a 2＋1 ＝2，a >0，得a ＝3 .7．答案：2π3解析：因为y ＝sin x ＋3 cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ，y ＝sin x －3 cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的图象至少向右平移2π3 个单位长度可以得到y ＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 的图象．8．答案：－45解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＋sin α＝435 ，得32 cos α＋12 sin α＋sin α＝435 ，即12 cos α＋32 sin α＝45 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝45 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6 ＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝－cos [π2 －(α＋π6 )]＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－45 . 9．解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ，n ＝(sin x ，cos x )，且m ⊥n ，∴m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ·(sin x ，cos x )＝22 sin x －22 cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝0.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝0，∴x ＝π4 ，∴tan x ＝tan π4＝1.(2)由(1)及题意知 cos π3 ＝m ·n |m ||n |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12 .又∵x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝π6 ，解得x ＝5π12.学科素养升级练1．答案：AC解析：由辅助角公式可得：f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ＝2cos (2x ＋π6 )，由题可知f (x －π12 )＝2cos 2x ，为偶函数，A 正确；最小正周期T ＝2π2＝π，故B 错误；令2x ＋π6 ＝t ，t ∈[π6 ，7π6 ]，y ＝2cos t 在区间[π6 ，7π6]先减后增，故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos π2 ＝0，所以f (x )关于点(π6，0)对称，D 错误．故选AC. 2．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin (ωx ＋π4 )，由x ∈(π2 ，3π4 )，得ωx ＋π4 ∈(π2 ω＋π4 ，3π4 ω＋π4 )，因为f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，所以T 2 ＝πω ≥3π4 －π2，得ω≤4，且⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥－π2＋2k π，3π4ω＋π4≤π2＋2k π，解得－32 ＋4k ≤ω≤13 ＋83k ，k ∈Z ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32＋4k <13＋83k ，13＋83k >0，解得－18 <k <118 ，所以k ＝0或k ＝1，当k ＝0时，0<ω≤13 ，当k ＝1时，52≤ω≤3，综上所述，ω的取值范围为(0，13 ]∪[52 ，3].。

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三角函数的叠加及其应用
【学习目标】
1．掌握三角函数的辅助角公式.
2．能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
【学习重难点】
三角函数的辅助角公式及其应用.
【学习过程】
一、初试身手
1．函数f (x )＝5cos x ＋12sin x 的最小值为________.
2．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ).
（1）求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3的值；（2）求f (x )的最小正周期及单调递增区间.
二、合作探究
利用辅助角公式研究函数性质：
【例1】已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π12(x ∈R ). （1）求函数f (x )的最小正周期；
（2）求使函数f (x )取得最大值的x 的集合.
【例2】已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. （1）求函数f (x )的最小正周期；
（2）求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合.
【规律方法】
（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
（2）解此类题时要充分运用两角和(差)、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
【学习小结】
1.辅助角公式：
a sin x ＋
b cos x 其中tan φb a
，φ所在象限由a 和b 的符号确定，或者sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b
2. 2．学习三角恒等变换，不可死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
【精炼反馈】
1．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，b ∈R )，则A ＝________，b ＝________.
2．函数y ＝3sin 4x ＋3cos 4x 的最大值是( )
A ． 3
B ．23
C ．3
D ．6
3．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期为________.。